Metode Numerik Mekbat 1i1n6z

BOUNDARY ELEMENT METHOD (BEM) Metode Elemen Batas atau Boundary Element Method (MEB), adalah salah satu dari banyak metode numerik berbasis diskritisasi untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan kondisi batas (boundary conditions) tertentu. Berbeda dengan beberapa pendahulunya seperti Metode Beda Hingga (Finite Difference Method) dan Metode Elemen Hingga (Finite Element Method) yang menyelesaikan problema berbasis diskritisasi pada domain, MEB -identik dengan namanya- memecahkan kasus dengan diskritisasi pada batas (boundary). Salah satu keunggulan dari metode ini adalah fleksibilitasnya dalam memilih nilai internal domain yang akan diselesaikan. Penggunaan MEB sebagai solusi problema fisis yang berbasis persamaan diferensial sudah banyak dilakukan di kalangan engineer dan saintis dunia. Dengan berbagai karakterisitk uniknya, MEB menjadi metode numerik yang handal dalam beberapa kasus fisis. Tidak berlebihan, portal ini akan memberikan pengenalan dan wawasan mengenai MEB kepada para pembelajar demi percepatan perkembangan ilmu pengetahuan di Indonesia. Metode elemen batas (MEB) dapat digunakan sebagai salah satu metode numerik untuk menyelesaikan masalah perpindahan panas stasioner. Solusi-solusi numerik yang diperoleh sangat bergantung pada jumlah segmen yang digunakan untuk mendekati batas pada masalah aslinya. Berdasarkan eksperimen numerik diperoleh jumlah segmen yang lebih banyak secara umum memberikan solusi yang lebih akurat. Finite Difference Method (FDM)

Merupakan salah satu metode numerik untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Prinsipnya adalah mendiskritisasi suatu objek menjadi sejumlah unit-unit tertentu dalam bentuk segiempat. FDM ini akan mengkonversi PDP menjadi persamaan yang sederhana (mudah dikomputasi) yang merupakan pendekatan (numerik). Dibagi menjadi submetode eksplisit dan implisit. FDM biasanya digunakan dalam suatu pemodelan numerik. FDM bekerja dengan menggunakan grid segiempat/kotak-kotak. Pada setiap titik, dilakukan evaluasi persamaan numerik sehingga akan dihasilkan nilai evaluasi sejumlah titik-titik tersebut. Untuk proses evaluasi, membutuhkan initial condition dan boundary condition. Salah satu aplikasi FDM adalah untuk memodelkan aliran airtanah. Dari model tersebut, akan dihasilkan interpolasi/"ramalan" nilai-nilai head pada lokasi dan waktu tertentu. Salah satu software terkenal yang menggunakan FDM adalah Visual Modflow.

Finite Element Method (FEM

)

Pendahuluan Finite Element Method (Metode Elemen Hingga) atau biasa disebut FEM adalah suatu teknik numerik untuk menemukan solusi perkiraan persamaan diferensial parsial (PDP) serta persamaan integral. Pendekatan solusi didasarkan baik pada menghilangkan persamaan diferensial sepenuhnya (masalah steady state), atau rendering PDE ke sistem mendekati

persamaan diferensial biasa, yang kemudian diintegrasikan secara numerik menggunakan teknik standar seperti metode Euler, Runge-Kutta, dll. (id.wikipedia). Bisa juga diartikan sebagai sebuah metode untuk menyelesaikan sebuah persamaan dengan perkiraan kuantitas yang kontinu sebagai satu set jumlah pada titik-titik diskrit, sering secara teratur spasi ke dalam apa yang disebut grid atau mesh. Karena metode elemen hingga dapat disesuaikan dengan kompleksitas permasalahan besar dan geometri biasa, mereka adalah alat yang sangat kuat dalam pemecahan masalah penting dalam transfer panas, mekanika fluida, dan sistem mekanis. Selain itu, ketersediaan komputer cepat dan murah memungkinkan masalah yang sulit dipecahkan dengan menggunakan metode analitik atau mekanis harus dipecahkan secara langsung dengan menggunakan metode elemen. Pembahasan Finite Element Method pada awalnya merupakan kebutuhan untuk memecahkan permasalahan elastisitas yang kompleks dan masalah analisis struktural di dalam sipil dan aeronautical engineering. Usianya lebih dari 40 tahun, dan hingga kini masih tetap dipakai, bahkan makin disukai. Metode ini berusaha memecahkan partial differential equations dan persamaan integrasi lainnya yang dihasilkan dari hasil diskritisasi benda kontinum. Meski berupa pendekatan, metode ini dikenal cukup ampuh memecahkan struktur-struktur yang kompleks dalam analisis mekanika benda padat (solid mechanics) dan perpindahan panas (heat transfer). Biasanya matematikawan mencari closed-form solution untuk suatu kasus fisika, dan karena mentok mereka lalu memanfaatkan metode numerik ini untuk memecahkan kasusnya. Saat ini, banyak sekali software FEM berkeliaran dengan berbagai mutu dan kemudahan. Software ini biasanya sangat ramah-sama-pengguna (-friendly) tapi tidak dompet-friendly (mahal). Contoh dari software ini adalah MSC.NASTRAN, ABAQUS, ANSYS, LSDYNA, dan lainnya. Pengguna software FEM kemudian terbiasa melihat GUI (graphic interface) di mana suatu benda didiskritisasi menjadi sekian puluh bahkan ribu elemen. Istilah baru kemudian muncul yaitu Finite Element Modeling, karena pengguna hanya memodelkan fisik suatu benda dengan elemen-elemen kecil, mendefinisikan sifat-sifat material, memberikan kondisi batas dan pembebanan, menjalankan software. Ini yg dinamakan pre-processing. Fase post-processing biasanya lebih sulit karena pengguna diharapkan bisa menginterpretasi hasil, menganalisis angka dan fisik yang dihasilkan dan melakukan trouble-shooting jika hasilnya kurang memuaskan. Ada yg bilang FEM software ini G-I-G-O alias garbage-in-garbage-out. Dan ini benar! Apa saja yg kita masukkan ke dalam software tentu akan menghasilkan sesuatu, entah itu berupa angka atau berupa error message. Kalau memasukan sampah ya keluarnya juga sampah (begitu arti literalnya). Untuk mengatasi ini, pengguna diharapkan sudah memahami formulasi, jenis elemen, kelebihan dan kelemahan suatu metode sebelum menggunakan FEM software. Finite Element Analysis dibangun sebagai metode numeric untuk analisa tegangan, tapi sekarang pemakainanya telah meluas sebagai metode yang umum untuk banyak permasalahan engineering kompleks dan ilmu-ilmu fisika. Mengandung banyak perhitungan, pertumbuhannya berhubungan dekat dengan pengembangan teknologi komputer. Finitie Element adalah salah satu dari metode numerik yang memanfaatkan operasi matrix untuk menyelesaikan masalah-masalah fisik. Metode lain yang adalah metode analitik, yang untuk melakukannya diperlukan suatu persamaan matematik yang merupakan model dari perilaku fisik. Semakin rumit perilaku fisiknya (karena kerumitan bentuk geometri, banyaknya interaksi beban, constrain, sifat material, dll) maka semakin sulit atau bahkan mustahil di bangun suatu model matematik yang bisa mewakili permasalahan tersebut. Alternatif metodenya adalah dengan cara membagi kasus tadi menjadi bagian-bagian kecil yang sederhana yang mana pada bagian kecil tersebut kita bisa membangun model matematik

dengan lebih sederhana. Kemudian interaksi antar bagian kecil tersbut ditentukan berdasarkan fenomena fisik yang akan diselesaikan. Metode ini dikenal sebagi metode elemen hingga, karena kita membagi permasalahan menjadi sejumlah elemen tertentu (finite) untuk mewakili permasalah yang sebenarnya jumlah elemennya adalah tidak berhingga (kontinum). Ø Jenis-Jenis Finite Element Method Secara umum ada beberapa jenis metode didalam Finite Elemen Method (FEM) yang bisa digunakan untuk mengatasi masalah-masalah yang ada di dalam dunia teknik. Perluasan dari metode finite elemen tersebut memang banyak macamnya. Berikut beberapa perluasan dari Finite Elemen Method (FEM). 1. hp-FEM hp- FEM adalah versi umum dari metode elemen hingga (FEM), sebuah numerik metode untuk memecahkan persamaan diferensial parsial berdasarkan perkiraan piecewisepolinomial menggunakan unsur-unsur variabel ukuran (h) dan derajat polinomial (p). 2. Extended finite element method (XFEM) Extended finite element method (XFEM) adalah metode teknik numerik yang memperpanjang klasik metode elemen hingga (FEM) dengan pendekatan memperluas ruang untuk solusi solusi untuk persamaan diferensial dengan fungsi kontinu. 3. Spectral method Metode spektral adalah sebuah teknik yang digunakan dalam matematika terapan dan komputasi ilmiah tertentu untuk menyelesaikan secara numerik dengan menggunakan persamaan diferensial parsial (PDEs),dan sering juga melibatkan penggunaan Fast Fourier Transform. Metode spectral memiliki tingkat error yang sangat baik yang disebut dengan “exponential convergen” sehingga membuat metode ini menjadi yang tercepat. 4. Meshfree methods Metode meshfree merupakan kelas tertentu dari numerical simulation algorithms untuk mensimulasikan fenomena-fenomena yang berupa fisik. Simulasi algoritma tradisional mengandalkan pada grid atau mesh sedangkan metode meshfree menggunakan pendekatan simulasi geometri dalam peghitungannya. Hal ini menjadi salah satu kelebihan dari metode meshfree dibanding dengan metode konvensional. 5. Discontinuous Galerkin method Metode Galerkin diskontinu pertama kali diusulkan dan dianalisis pada awal 1970-an sebagai suatu teknik untuk menyelesaikan secara numerik persamaan diferensial parsial. Pada tahun 1973 Reed dan Hill memperkenalkan metode Discontinuous Galerkin untuk memecahkan persamaan transpor netron hiperbolik. Metode ini digunakan untuk memecahkan persamaan diferensial parsial dengan menggabungkan fitur dari finite element dan volume element, dan berhasil diaplikasikan untuk ukuran seperti hiperbolik, elips dan parabola.