Radio De Curvatura 5v205k

RADIO DE CURVATURA CURVATURA Según la experiencia, una línea recta no tiene curvatura alguna (su curvatura debe ser cero), puesto que no se dobla en absoluto, mientras que una circunferencia se dobla lo mismo en todos sus puntos (su curvatura debe ser la misma en todos sus puntos). Además, circunferencias de radio pequeño son circunferencias muy curvadas y conforme aumenta el radio r, disminuye la curvatura de la circunferencia, llegando entonces a la recta como caso extremo de una circunferencia de radio infinito (r= ∞). Así, la curvatura de una circunferencia de radio r es precisamente el cociente:

Y la curvatura de una recta es:

La idea intuitiva de Leibniz para introducir el concepto de curvatura de una curva está basada precisamente en este comportamiento de la curvatura de una circunferencia frente a su radio, en un intento por buscar una definición de curvatura que refleje tal comportamiento. Su aproximación hace uso de la llamada circunferencia osculatriz de una curva en un punto (del latín osculari, besar), que es la circunferencia que mejor se adapta a la curva en dicho punto (es decir, la circunferencia que besa a la curva en dicho punto). Para describir brevemente el enfoque de Leibniz, consideremos que partimos de una curva plana, es decir, una curva contenida en un plano del espacio. Así mismo, consideremos que nuestra curva es suficientemente suave como para que en cada punto de ella tengamos una recta tangente a la curva, es decir, una recta que roza tangencialmente a la curva en dicho punto. La recta tangente es la recta que mejor se aproxima a la curva cerca del punto. Por geometría elemental, todos sabemos que por tres puntos no alineados del plano pasa una única circunferencia (en el caso de tres puntos alineados, también podríamos hacer esta afirmación permitiendo circunferencias de radio infinito, esto es, rectas). Por tanto, tres puntos P, Q y R no alineados de una curva plana determinan una circunferencia (Figura 7). Si fijamos el punto P de la curva y hacemos que los puntos Q y R se aproximen cada vez más al punto P, entonces las circunferencias determinadas por estos tres puntos convergen a una circunferencia tangente a la curva en P, que es la llamada circunferencia osculatriz de la curva en el punto P (Figura 8).

Definimos entonces la curvatura de la curva en el punto P como el inverso del radio de su circunferencia osculatriz,

Siendo r(P) el radio de la circunferencia osculatriz en el punto P. Este radio se llama precisamente el radio de curvatura de la curva en P. Pasemos a continuación a conocer brevemente la aproximación de Euler. Para ello, consideremos de nuevo una curva plana con recta tangente en cada uno de sus puntos. Consideremos, así mismo, una recta exterior fija, que será nuestra recta de referencia. Entonces, Euler introduce la curvatura de una curva en un punto de ella como la velocidad de variación del ángulo que forma la recta tangente a la curva en dicho punto con la recta de referencia. Es decir, para cada punto P de la curva, consideremos q(P) el ángulo que forma la recta tangente a la curva en P con la recta de referencia (Figura 9). Dados dos puntos P y Q de la curva, representemos por Δq(P,Q) la diferencia entre ambos ángulos (Figura 10).

Entonces, la curvatura de la curva en P viene dada por:

Donde (P,Q) mide la longitud de la curva entre los puntos P y Q, es decir, la distancia entre P y Q a lo largo de la curva. No es difícil ver que esta otra definición de curvatura coincide con la anterior. De hecho, con esta definición, es fácil comprobar que una línea recta tiene curvatura cero en todos sus puntos, mientras que una circunferencia de radio r tiene la misma curvatura en todos sus puntos, y viene dada por el inverso de su radio, es decir,

Para todo punto P de una circunferencia de radio r. Existe aún una tercera aproximación al concepto de curvatura para una curva plana que está basada en la variación de un sistema de referencia privilegiado (el llamado diedro de Frenet) a lo largo de la curva. Si bien no vamos a entrar aquí en más detalles al respecto, sirva este comentario al menos para hacernos reflexionar sobre lo complicado que puede llegar a ser formalizar matemáticamente conceptos como la curvatura, que nos parecen claros e intuitivos desde un punto de vista informal e impreciso.

La curvatura de una curva en el plano, en un punto de la curva, mide la rapidez con la que la curva abandona la tangente en ese punto.

¿Cómo medimos la curvatura? Por un lado, una recta no tiene curvatura, luego su curvatura es cero, por otro lado, una recta podemos imaginarla como una circunferencia de radio infinito, entonces la curvatura podemos medirla por el inverso del radio de curvatura (1 / R)

RADIO DE CURVATURA El radio de curvatura es una magnitud que mide la curvatura de un objeto geométrico tal como una línea curva, una superficie o más en general una variedad diferenciable embebida en un espacio euclídeo. El radio de curvatura de una circunferencia, es el radio de la circunferencia. Para el caso de una curva cualquiera, el radio de curvatura en un punto, es el radio de la circunferencia que pasa por ese punto y otros dos infinitamente próximos (por tres puntos sólo pasa una circunferencia). En general, el radio de curvatura varía en cada punto de la curva.

 Torsión La curvatura de las curvas en el espacio (por ejemplo la hélice, cuya imagen es similar a un muelle) se define de manera similar (el radio será el de una esfera) a la curvatura de las curvas en el plano, pero en este caso la curvatura se llama torsión. La torsión mide la variación de la dirección del plano osculador. Dado un punto en una curva, el plano osculador es el plano más próximo a la curva que pasa por ese punto. Por lo tanto una curva tiene infinitos planos osculadores (uno en cada punto).

1. Radio de curvatura de una curva El radio de curvatura de una línea curva o un objeto aproximable mediante una curva es una magnitud geométrica que puede definirse en cada punto de la misma que coincide con el inverso de la curvatura en cada punto:

Por otro lado la curvatura es una medida del cambio que sufre la dirección del vector tangente a una curva cuando nos movemos a lo largo de ésta. Para una curva parametrizada cualquiera la curvatura y el radio de curvatura vienen dados por:

Si en lugar de un parámetro cualquiera usamos el parámetro de longitud de arco, la anterior ecuación se simplica mucho, por resultar un vector tangente constante, y puede escribirse como:

a) Curvas planas Para una curva plana cuya ecuación pueda escribirse en coordenadas cartesianas

como

donde t es un parámetro arbitrario, la expresión para el radio de curvatura se reduce a:

En caso que pueda escribirse de tal modo que para cada punto de la curva exista un único valor de , entonces pude tomarse a como el parámetro arbitrario, y el radio de curvatura se puede calcular simplemente como:

2. Radio de curvatura de superficies Una superficie embebida en el espacio euclídeo tridimensional se caracteriza en cada uno de sus puntos por dos radios de curvatura. El centro de ambos radios de curvatura está situado sobre la

recta que contiene al vector normal a la superficie. Si los dos radios de curvatura son finitos entonces se tiene: En un punto elíptico de una superficie, los dos centros de curvatura están situados del mismo lado de la superficie, la curvatura gaussiana es positiva. En un punto hiberbólico de una superficie, los dos centros de curvatura están situados en diferentes lados de la superficie, la curvatura gaussiana es negativa. En un punto parabólico de una superficie, uno de los radios de curvatura es inifinito. La curvatura de una superficie, en un punto, mide la rapidez con la que la curva abandona el plano tangente a la curva en ese punto. En una superficie la curvatura depende de la dirección en la que nos movamos (este detalle no tiene sentido en el caso de curvas lineales, pues sólo nos podemos mover a lo largo de la curva). Euler demostró que en cada punto de una superficie existen dos direcciones en las que la curvatura alcanza su máximo y su mínimo y que estas direcciones son perpendiculares entre si. Podemos visualizar la curvatura de una superficie viendo un cilindro. Si nos movemos a lo largo del cilindro (sobre la generatriz) la curvatura es cero y si nos movemos en dirección perpendicular a la generatriz (recorriendo una circunferencia) la curvatura será máxima (igual a 1 / R, siendo R el radio de la circunferencia). Para calcular la curvatura en una dirección que forma un ángulo a con respecto a una de las direcciones de curvatura máxima o mínima, aplicamos la fórmula: ka = k1 cos2 a + k2 cos2 a Algunas superficies tienen algunos puntos en los que la curvatura, en ese punto, es la misma sea cual sea la dirección. Esos puntos se llaman puntos umbilicales. En la esfera todos los puntos son puntos umbilicales, el elipsoide con los tres ejes distintos, tiene 4 puntos umbilicales.