Teselado 4i5c2u

Teselado

Un teselado visto en el pavimento de una calle

Teselado Hexagonal de un piso en Roma

Un teselado o teselación1 es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos: 1. que no queden huecos 2. que no se superpongan las figuras

Los teselados se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial. Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.

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Algunos mosaicos sumerios con varios miles de años de antigüedad contienen regularidades geométricas.

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Arquímedes en el siglo III a. C. hizo un estudio acerca de los polígonos regulares que pueden cubrir el plano

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Johannes Kepler, astrónomo alemán, estudió los polígonos regulares que pueden cubrir el plano, en su obra “Harmonice mundi” de1619. Además realizó estudios en tres dimensiones de los llamados sólidos platónicos.

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Entre 1869 y 1891, el matemático Camille Jordan, el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorov y la psicologa Camila Rialestudiaron completamente las simetrías del plano, iniciando así el estudio sistemático y profundo de los llamados teselados.

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Un personaje clave en este tema es el artista holandés M. C. Escher (1898-1972) quien, por sugerencia de su amigo el matemáticoH. S. M. Coxeter, aprendió los teselados hiperbólicos, lo que motivó su interés por el palacio de La Alhambra en Granada. Llegó a un sinnúmero de bellas, curiosas y misteriosas obras de arte.

ángulos que concurren a un vértice

Teselados regulares [editar] Artículo principal: Teselado regular.

Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: Como la unión en cada vértice debe sumar 360º para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ángulos, interiores son estos.

 Triángulos equilateros

 Cuadrados

 Hexágonos

Ej: El cuadrado al tener 90° de angulacion al juntarse si se sumar sus angulos el resultado es 360°

Teselados semirregulares [editar] Son aquellos que contienen 2 o más polígonos regulares en su formación. Un teselado semiregular tiene las siguientes propiedades: 1. Está formada sólo por polígonos regulares. 2. El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice. 3. Existen sólo 8 teselados semi-regulares.

Teselados irregulares [editar] Son aquellos formados por polígonos no regulares

Cuadriláteros [editar] Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo debemos prolongar sus lados paralelos y construir los nuevos paralelogramos congruentes al primero. Con cualquier cuadrilátero, ya sea cóncavo o convexo, es posible cubrir una superficie plana. En el caso cóncavo es fácil de demostrar por el teorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadrilátero forman un paralelogramo y luego tesela. Este método se llama método de la malla invisible.

Triángulos [editar] Con un triángulo escaleno es posible cubrir todo el plano. Esto se verifica formando el paralelogramo correspondiente.

Hexágonos [editar] Además de los hexágonos regulares, los hexágonos no regulares con simetría central también teselan el plano. Otros hexágonos no regulares no teselan el plano.

Teselado de El Cairo [editar]

Teselado de El Cairo

Este teselado aparece frecuentemente en las calles de El Cairo, Egipto y en el arte islámico, de ahí su nombre. Este pentágono posee dos ángulos rectos, un ángulo de 144° y dos ángulos de 108°.Como para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°.

Polígonos Cóncavos [editar] 

Flecha derecha

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Cruz griega

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Angulo himterk

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Chevron ayaoku-landt

Construcción de teselados [editar] Método quita y pon [editar] Escher se hizo famoso por sus cuadros de teselados construidos con estos métodos.

Teselados e isometría [editar] A partir de los movimientos o transformaciones en el plano se pueden lograr diversos diseños.

Notación [editar] La notación comúnmente empleada para identificar los distintos tipos de teselados se debe a Cundy H.M. y Rollet A.P. En su libro "Mathematical models" (1951) los autores proponen una nomenclatura consistente en enumerar en el sentido de las agujas del reloj y separados mediante puntos, los lados de los polígonos que rodean cada vértice. De esta forma, la nomenclatura de los tesalados regulares sería 3.3.3.3.3.3 en el caso de triángulos equiláteros, 4.4.4.4 en el caso de un teselado formado mediante cudrados y, finalmente, para un teselado compuesto de hexágonos regulares, 6.6.6. Con el objetivo de

acortar la notación, se acepta que, cuando el mismo polígono rodea en varias ocasiones el mismo vértice, se indica mediante un superíndice el número de veces que esto sucede. Es decir, la nomenclatura previamente descrita de los teselados regulares pasará a ser 3 6, 44 y 63, respectivamente. Originalmente, la notación fue concebida únicamente para describir teselados regulares pero, en la actualidad, su uso se ha extendido igualmente a teselados semirregulares. La nomenclatura de los ocho teselado semirregulares existentes es la que aparece en el apartado correspondiente. Del mismo modo, también se acepta el uso de esta notación para teselados compuestos por polígonos regulares en los que no todos los vértices están rodeados por los mismos polígnos. Recientemente, una nueva nomenclatura ha sido propuesta por el Grupo EGICAD de la Universidad de Cantabria en un intento de dar respuesta a los inconvenientes (excesiva longitud, relación no unívoca, no intuitiva) que presenta la nomenclatura de Cundy y Rollet.2

Teselados y mallas de doble capa [editar] Las mallas de doble capa son mallas espaciales en la que los nudos se disponen en dos capas o superficies, generalmente paralelas entre sí, y se unen mediante barras situadas bien en uno de los dos planos anteriormente mencionados o en el espacio situado entre ellos. Así, se distingue entre cordón inferior, cordón superior y cordón diagonal. Cada uno de los cordones anteriormente mencionados, que componene una malla de doble capa, puede representarse como un teselado; de forma que toda malla de doble capa resulta de la combinación de tres teselados (inferior, superior, diagonal). 3

Teselado regular Un teselado regular, teselación regular o teselado con polígonos regulares es un teselado del plano que emplea un solo tipo de polígonos regulares,1 que ha sido ampliamente utilizada desde la antigüedad. Solo son posibles teselados regulares empleando triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares. El primer tratamiento matemático sistemático fue el de Kepleren Harmonices Mundi.

Teselaciones regulares [editar] Según Branko Grünbaum y Shephard (sección 1.3), se dice que un teselado es regular si el grupo de simetría del teselado opera transitivamente sobre los elementos del teselado, donde un elemento consiste de un vértice mutuamente incidente, una arista y una tesela. Esto significa que por cada par de elementos hay una operación de simetría que los asocia entre sí.

Esto es equivalente a un teselado arista con arista de polígonos regulares congruentes. Debe haber seis triángulos, cuatro cuadrados o tres hexágonos regulares en cada vértice, produciendo las tres teselaciones regulares.

36 Teselado triangular

44 Teselado cuadrado

63 Teselado hexagonal

Teselados de Arquímedes, uniformes o semirregulares [editar] Artículo principal: Teselado de Arquímedes.

La transitividad de vértice significa que por cada par de vértices existe una operación de simetría que asocia el primer vértice con el segundo. Si el requisito de la transitividad de elemento se relaja a transitividad de vértice, mientras que se mantiene la condición de la teselación arista con arista, aparecen ocho teselaciones adicionales posibles, conocidas como teselados de Arquímedes, uniformes o teselados semirregulares. Téngase en cuenta que hay dos formas especulares (enantiomorfas o quirales) del teselado 34.6 (hexagonal romo), las cuales se muestran en la siguiente tabla. Todos los otros teselados regulares y semirregulares son aquirales.

34.6 Teselado hexagonal romo

34.6 Teselado hexagonal romo (reflexión)

3.6.3.6 Teselado trihexagonal

33.42 Teselado triangular elongado

32.4.3.4 Teselado cuadrado romo

3.4.6.4 Teselado Rombitrihexagonal

4.82 Teselado cuadrado truncado

3.122 Teselado hexagonal truncado

4.6.12 Teselado trihexagonal truncado

Grünbaum y Shephard distinguen la descripción de estos teselados como de Arquímedes refiriéndose únicamente a la propiedad local de que la disposición de las teselas alrededor de cada vértice es la misma, y el término uniforme se refiere a la propiedad global de la transitividad de vértice. Aunque estos producen el mismo conjunto de teselados en el plano, en otros espacios existen teselados de Arquímedes que no son uniformes.

Combinaciones de polígonos regulares que pueden reunirse en un vértice [editar] Los ángulos internos de los polígonos que confluyen en un vértice deben sumar 360 grados. Un regular tiene un ángulo interno de

-gono

grados. Hay diecisiete combinaciones de polígonos

regulares cuyos ángulos interiores suman 360 grados, cada uno referido a una especie de vértice, y en cuatro casos hay dos órdenes distintos cíclicos de polígonos, produciendo veintiún tipos de vértice. Sólo once de estos pueden presentarse en un teselado uniforme de polígonos regulares. En particular, si hay tres polígonos que se encuentran en un vértice y uno tiene un número impar de lados, los otros dos polígonos deben ser del mismo tamaño. Si no es así, tendrían que alternarse alrededor del primer polígono, lo cual es imposible si su número de lados es impar. Con tres polígonos en un vértice:



7.3.42 (no puede aparecer en ningún teselado de polígonos regulares)



8.3.24 (no puede aparecer en ningún teselado de polígonos regulares)



9.3.18 (no puede aparecer en ningún teselado de polígonos regulares)

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3.10.15 (no puede aparecer en ningún teselado de polígonos regulares)

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3.122 - semi-regular, teselado hexagonal truncado



4.5.20 (no puede aparecer en ningún teselado de polígonos regulares)



4.6.12 - semi-regular, teselado trihexagonal truncado



4.82 - semirregular, teselado cuadrado truncado



52.10 (no puede aparecer en ningún teselado de polígonos regulares)



63 - regular, teselado hexagonal

A continuación se presentan los diagramas de vértices como: 6.6.6

Con cuatro polígonos en un vértice: 

32.4.12 - no uniforme, hay dos tipos de vértices: 32.4.12 y 36



3.4.3.12 - no es uniforme, tiene dos tipos diferentes de vértices: 3.4.3.12 y 3.3.4.3.4



32.62 - no es uniforme, se presenta en dos modelos con vértices: 3 2.62/36 and 32.62/3.6.3.6.



3.6.3.6 - semirregular, teselado trihexagonal



44 - regular, teselado cuadrado



3.42.6 - no es uniforme, tiene vértices 3.42.6 y 3.6.3.6.



3.4.6.4 - semi-regular, teselado rombitrihexagonal

A continuación se presentan los diagramas de vértices como: 3.4.6.4

Con 5 polígonos en un vértice:



34.6 - teselado hexagonal romo, posee dos formas entianomórficas o quirales



33.42 - semirregular, teselado triangular elongado



32.4.3.4 - semirregular, teselado cuadrado romo

A continuación se presentan los diagramas de vértices como:

3.3.3.3.3.3

Otros teselados arista con arista [editar] Se puede dibujar cualquier número de teselados no-uniformes de polígonos regulares con aristas compartidas (arista con arista). He aquí cuatro ejemplos: Tales teselados periódicos se pueden clasificar por el número de órbitas de los vértices, aristas y teselas. Si hay

órbitas de vértices, el teselado se conoce como

órbitas de teselas, es llamado

-isoédrico, si hay

-uniforme o

órbitas de aristas, es llamado

-isogonal; si hay -isotoxal. Los

ejemplos anteriores son cuatro de los veinte teselados 2-uniformes. Chavey clasifica todos los teselados de polígonos regulares con aristas compartidas que son al menos 3-uniformes, 3-isoédricos o 3isotoxales.

El plano hiperbólico [editar] Artículo principal: Teselados uniformes en el plano hiperbólico.

Estos teselados están también relacionados con los poliedros regulares y semirregulares y los teselados del plano hiperbólico. Los poliedros semirregulares se hacen a partir de caras que son polígonos regulares, pero sus ángulos en un punto suman menos de 360 grados. Los polígonos regulares en la geometría hiperbólica tienen ángulos más pequeños que el que poseen en el plano. En ambos casos, que la disposición de polígonos sea la misma en cada vértice, no significa que el poliedro o el teselado sea vértice-transitivo.

¿Qué son los teselados? Los teselados son los diseños de figuras geométricas que por sí mismas o en combinación cubren una superficie plana sin dejar huecos ni superponerse, o sea, el cubrimiento del plano con figuras yuxtapuestas.

Un poco de historia Las antiguas civilizaciones utilizaban teselados para la construcción de casas y templos cerca del año 4000 A.C. Por ese tiempo los sumerios realizaban decoraciones con mosaicos que formaban modelos geométricos. El material usado era arcilla cocida que coloreaban y esmaltaban.

Posteriormente otros grupos demostraron maestría en este tipo de trabajo. Ellos fueron los persas, los moros y los musulmanes. El grupo matemático de los pitagóricos analizaron tales construcciones y probablemente éstas los haya conducido al famoso teorema que establece que la suma de los ángulos interiores es igual a un ángulo llano. La palabra teselado proviene de “tessellae”. Así llamaban los romanos a las construcciones y pavimentos de su ciudad.

Tipos de teselados Los teselados pueden ser regulares o irregulares. Dentro de los regulares existen los semirregulares y demirregulares. Los regulares se logran a partir de la repetición y traslación de polígonos regulares.

Los demirregulares (fig. izquierda) se logran a partir de la combinación de varios tipos de polígonos regulares pero de modo que no todos los vértices tengan la misma distribución, en cambio, los semirregulares (fig. derecha) se forman con la combinación de dos o más polígonos regulares pero distribuidos de modo tal que en todos los vértices aparezcan los mismos polígonos y en el mismo orden.

Por último, los irregulares, se forman gracias a la deformación de los lados de un polígono regular. Un teselado es un patrón repetitivo de figuras geométricas, por ejemplo polígonos, que encajan y cubren el plano sin superponerse y sin dejar huecos. Teselar es embaldosar una superficie con figuras regulares o irregulares. Al teselar un plano, entre las figuras, no quedan espacios y tampoco se superponen. Los cubrimientos realizados con baldosas, cerámicos, pastelones, azulejos, tejas en pisos, muros y techos son las más comunes teselaciones que se encuentran en la realidad. Observa el teselado de la derecha, ¿puedes descubrir el patrón que se repite? Teselado Un teselado o teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos: 1. que no queden huecos 2. que no se superpongan las figuras Los teselados se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial. Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios. Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: Como la unión en cada vértice debe sumar 360º para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ángulos, interiores son estos tres. Los teselados irregulares son aquellos que contienen 2 o más polígonos regulares en su formación. Un teselado semiregular tiene las siguientes propiedades: 1. Está formada sólo por polígonos regulares. 2. El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice. 3. Existen sólo 8 teselados semi-regulares. Cuadriláteros

Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo debemos prolongar sus lados paralelos y construir los nuevos paralelogramos congruentes al primero. Con cualquier cuadrilátero, ya sea cóncavo o convexo, es posible cubrir una superficie plana. En el caso cóncavo es fácil de demostrar por el teorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadrilátero forman un paralelogramo y luego tesela. Este método se llama método de la malla invisible. Triángulos Con un triángulo escaleno es posible cubrir todo el plano. Esto se verifica formando el paralelogramo correspondiente. Hexágonos Además de los hexágonos regulares, los hexágonos no regulares con simetría central también teselan el plano. Otros hexágonos no regulares no teselan el plano. Teselado de El Cairo Este teselado aparece frecuentemente en las calles de El Cairo, Egipto y en el arte islámico, de ahí su nombre. Este pentágono posee dos ángulos rectos, un ángulo de 144° y dos ángulos de TESELADOS: 2D-3D Consigna: Tipos.Metodos de generacion.Historia.Teselados tridimencionales.Teselados origami.Usos en el diseño en general.Aplicacion en el diseño industrial. • ¿Qué son los teselados? • • • EJEMPLO DE TESELADO 2D-3D • TESELADO: De acuerdo con el diccionario, la palabra tesela (del latín tessella) significa, "cada una de las piezas cúbicas de mármol, piedra, barro cocido, vidrio, etc., con que los antiguos formaban los pavimentos y mosaicos." Una teselación debe cubrir una superficie plana con piezas (polígonos regulares, diseños especiales, polígonos irregulares…) que no deben superponerse y tampoco dejar espacios vacíos. Todo esto es posible si el ángulo diédrico formado por las piezas que concurren a un mismo vértice suman 360º. La notación utilizada para identificar los teselados utiliza como base el número de lados

de cada uno de los polígonos que concurren a un mismo vértice dispuestos en sentido contrario a las manecillas del reloj. Tomemos como ejemplo el teselado de un cuadrado, este se puede expresar de las siguientes formas siendo todas equivalentes Los teselados son los diseños de figuras geométricas que por sí mismas o en combinación cubren una superficie plana sin dejar huecos ni superponerse, o sea, el cubrimiento del plano con figuras yuxtapuestas. Tipos de teselados INTRODUCCION: Los teselados pueden ser regulares o irregulares. Dentro de los regulares existen los semirregulares y demirregulares. Los regulares se logran a partir de la repetición y traslación de polígonos regulares. [pic] [pic] Los demirregulares se logran a partir de la combinación de varios tipos de polígonos regulares pero de modo que no todos los vértices tengan la misma distribución, en cambio, los semirregulares se forman con la combinación de dos o más polígonos regulares pero distribuidos de modo tal que en todos los vértices aparezcan los mismos polígonos