01 Kunci Mat 11a Peminatan K-13 Edisi 2017-1 4m2p43

Setelah mempelajari bab ini peserta didik mampu: 1. menjelaskan dan menentukan penyelesaian persamaan trigonometri; 2. membedakan penggunaan identitas penjumlahan dan selisih sinus dan kosinus; 3. memodelkan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan trigonometri; 4. menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan identitas penjumlahan dan selisih sinus dan kosinus. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik mampu: 1. menunjukkan sikap rasa ingin tahu dalam mempelajari trigonometri; 2. bersikap pantang menyerah dalam menyelesaikan permasalahan trigonometri dan permasalahan sehari-hari.

Trigonometri Mempelajari

Persamaan Trigonometri

Mencakup

1. Pengertian Persamaan Trigonometri 2. Penyelesaian Persamaan Trigonometri 3. Bentuk-Bentuk Persamaan Trigonometri

Identitas Trigonometri Penjumlahan dan Selisih Dua Sudut

Identitas Trigonometri Sudut Rangkap dan Sudut Pertengahan

Mencakup 1. Identitas Kosinus Penjumlahan dan Selisih Dua Sudut 2. Identitas Sinus Penjumlahan dan Selisih Dua Sudut 3. Identitas Tangen Penjumlahan dan Selisih Dua Sudut 4. Persamaan Trigonometri yang Berkaitan dengan Identitas Penjumlahan dan Selisih Dua Sudut

Mencakup 1. Identitas Sinus Sudut Rangkap 2. Identitas Kosinus Sudut Rangkap 3. Identitas Tangen Sudut Rangkap 4. Identitas Sinus Sudut Pertengahan 5. Identitas Kosinus Sudut Pertengahan 6. Identitas Tangen Sudut Pertengahan 7. Persamaan Trigonometri yang Berkaitan dengan Identitas Trigonometri Sudut Rangkap dan Sudut Pertengahan

Identitas Trigonometri Perkalian dan Penjumlahan/ Selisih Sinus dan Kosinus Mencakup 1. Identitas Perkalian Sinus dan Kosinus 2. Identitas Perkalian Kosinus dan Kosinus 3. Identitas Perkalian Sinus dan Sinus 4. Identitas Penjumlahan Sinus dan Sinus 5. Identitas Selisih Sinus dan Sinus 6. Identitas Penjumlahan Kosinus dan Kosinus 7. Identitas Selisih Kosinus dan Kosinus 8. Persamaan Trigonometri yang Berkaitan dengan Identitas Trigonometri Perkalian dan Penjumlahan/ Selisih Sinus dan Kosinus

Mampu • • •

Menunjukkan rasa ingin tahu tentang trigonometri dan sikap pantang menyerah ketika menemui kesulitan dalam membuktikan dan menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan trigonometri. Menjelaskan tentang persamaan trigonometri dan menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan trigonometri. Menjelaskan dan menggunakan identitas penjumlahan dan selisih sinus dan kosinus untuk menyelesaikan permasalahan.

Matematika Kelas XI

1

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c cos x = –

1 2

3

 cos x = cos 150° Penyelesaian:  x = ± 150° + k × 360°  x = 150° + k × 360° atau x = –150° + k × 360° 1) Untuk x = 150° + k × 360°: k = 0  x = 150° + 0 × 360° = 150° k = 1  x = 150° + 1 × 360° = 510° 2) Untuk x = –150° + k × 360°: k = 0  x = –150° + 0 × 360° = –150° k = 1  x = –150° + 1 × 360° = 210° Oleh karena x dibatasi untuk 0°  x  360° maka x yang memenuhi adalah x = 150°, 210°. Jadi, penyelesaian persamaan cos x = –

1 2

3

adalah x = 150°, 210°. 1 3

 6

+k×



x=



x=

1)

3=0 1 2

3

 3  3

 k  2

 6

Untuk x =

 6

+0×=

k=1x=

 6

+1×=

7 6

k=1x=

k=2x=

 6

+2×=

13 6

k=2x=

k=0x=

 6

,

7 6

,

13 6

.

Jadi, penyelesaian persamaan tan x = adalah x =

 6

,

7 6

,

13 6

.

 

2 cos x = – 2 1

cos x = – 2 2 cos x = cos 135°

Trigonometri

3

 3

2 3

 3

k=1x=

) + k × 2

 k  2 2

 3

+k×

+ k × :  6  6  6

+0×= +1×= +2×=

 6 7 6 13 6

+ k × :  3  3

+0×= +2×=

 3 7 3

Oleh karena nilai x dibatasi untuk 0  x  



3 2

maka

7

nilai x yang memenuhi adalah x = 6 , , 6 . 3 Jadi, himpunan penyelesaian persamaan

3. Jawaban: e 2 + 2 cos x = 0 

Untuk x =

k=0x= 1 3

x=

+ k ×  atau x =

k=0x=

x yang memenuhi adalah x =

atau

2

 6

2)

 3

+ k × 2 atau 2x = ( –

 6

Oleh karena x dibatasi untuk 0  x  3 maka

2

1 2

 sin 2x =

 2x =

Penyelesaian:  x=

sin 2x –

Penyelesaian:

3

 tan x = tan  6

4. Jawaban: c

 sin 2x = sin

2. Jawaban: e tan x =

Penyelesaian:  x = 135° + k × 360° atau x = (360° – 135°) + k × 360°  x = 135° + k × 360° atau x = 225° + k × 360° Untuk x = 135° + k × 360°: k = 0  x = 135° + 0 × 360° = 135° k = 1  x = 135° + 1 × 360° = 495° Untuk x = 225° + k × 360°: k = 0  x = 225° + 0 × 360° = 225° k = 1  x = 225° + 1 × 360° = 580° Oleh karena x dibatasi untuk 0°  x  360° yang memenuhi adalah 135° dan 225°. Jadi, nilai x1 + x2 = 135° + 225° = 360°.

sin 2x –

1 2

7 3 = 0 adalah {  ,  , 6 }. 6 3

5. Jawaban: c tan (x + 15°) = –1  tan (x + 15°) = tan 135° Penyelesaian:  x + 15° = 135° + k × 180°  x = 135° – 15° + k × 180°  x = 120° + k × 180° k = 0  x = 120° + 0 × 180° = 120° k = 1  x = 120° + 1 × 180° = 300° Oleh karena x dibatasi untuk 180°  x  360° maka x yang memenuhi adalah x = 300°. Jadi, penyelesaian persamaan tan (x + 15°) = –1 adalah x = 300°. 6. Jawaban: d 2 sin (x + 15°) = 1  sin (x + 15°) =  sin (x + 15°) =

Jadi, himpunan penyelesaiannya {0°, 60°, 180°}. 8. Jawaban: a 

1–

3 tan (x + )=0 12



tan (x + 12 ) =



3 tan (x + 12 ) = 3

 

1 2

×

2 2

2

 sin (x + 15°) = sin 45° Penyelesaian:  x + 15° = 45° + k × 360° atau x + 15° = (180° – 45°) + k × 360° 1) Untuk x + 15° = 45° + k × 360°  x = 30° + k × 360° k = 0  x = 30° + 0 × 360° = 30° k = 1  x = 30° + 1 × 360° = 390° 2) Untuk x + 15° = (180° – 45°) + k × 360°  x + 15° = 135° + k × 360°  x = 120° + k × 360° k = 0  x = 120° + 0 × 360° = 120° k = 1  x = 120° + 1 × 360° = 480° Oleh karena x dibatasi untuk 0°  x  180° maka x yang memenuhi adalah x = 30°, 120°. Jadi, himpunan penyelesaiannya {30°, 120°}.

3 3

1



tan (x + 12 ) = tan 6 Penyelesaian: 





x + 12 = +k× 6 

x = 12 + k ×  





13

Untuk k = 0  x = 12 + 0 ×  = 12 Untuk k = 1 x = 12 + 1 ×  = 12



13

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 12 , 12 }. 9. Jawaban: b cos 2x – sin x = 0  cos 2x = sin x 

 sin ( 2 – 2x) = sin x Penyelesaian: 1)

 2

– 2x = x + k × 2 

 –3x = – 2 + k × 2 



x= 6 – k×

2 3



Untuk k = 0  x = 6 – 0 ×

7. Jawaban: c 2 cos (2x – 60°) = 1



2 3

Untuk k = –1  x = 6 + 1 ×

1

 cos (2x – 60°) = 2  cos (2x – 60°) = cos 60° Penyelesaian: 2x – 60° = ± 60° + k × 360° 1) 2x – 60° = 60° + k × 360°  2x = 120° + k × 360°  x = 60° + k × 180° k = 0  x = 60° + 0 × 180° = 60° k = 1  x = 60° + 1 × 180° = 240° 2) 2x2 – 60° = 60° + k × 360°  2x2 = 0° + k × 360°  x2 = 0° + k × 180° k = 0  x = 0° + 0 × 180° = 0° k = 1  x = 0° + 1 × 180° = 180° Oleh karena nilai x dibatasi untuk 0°  x  180° nilai x yang memenuhi adalah x = 0°, 60°, 180°.

×





 1 2

1 3

2)

 2

 



= 6

2 3

=

5 6

– 2x = ( – x) + k × 2 –x =

 2

+ k × 2 

x = – 2 – k × 2 3



Untuk k = –1  x = – 2 + 1 × 2 = 2 

5

3

Jadi, himpunan penyelesaiannya { 6 , 6 , 2 }. 10. Jawaban: d 2 cos2 x – 3 cos x + 1 = 0  (2 cos x – 1)(cos x – 1) = 0 Diperoleh: 1) 2 cos x = 1

Matematika Kelas XI

3

1

b)

 cos x = 2



k=1x=





2)



x = – 3 + k × 2 

 x = – 3 + k × 2 

5

k = 1  x = – 3 + 1 × 2 = 3 2) cos x = 1  cos x = cos 0  x = 0 + k × 2 k = 0  x = 0 + k × 2 = 0 k = 1  x = 0 + 1 × 2 = 2 Oleh karena 0 < x < 2 maka x yang memenuhi 

5

x= 3, 3 .  {3

,

5 3

}.

11. Jawaban: e  2 sin2 x – 7 sin x + 3 = 0  (2 sin x – 1)(sin x – 3) = 0  2 sin x – 1 = 0 atau sin x – 3 = 0  2 sin x = 1 atau sin x = 3

1)

sin x =

1 2

Untuk sin x = sin x =

atau 1 2

:

 6

 x=

 6

+ k × 2 atau x = ( –

 x=

 6

+ k × 2 atau x =

a)

Untuk x =

 6

k=0x= k=1x=

Trigonometri

5 6

 6

) + k × 2

+ k × 2

+ k × 2:

k = –1  x =

4

 2

 6

.

x yang memenuhi adalah x = cos x = cos

 6  6

 6

+ (–1) × 2 = – + 0 × 2 = + 1 × 2 =

 6

=

1 2

Jadi, nilai cos x =

<x<

 2

maka

3 1 2

3.

12. Jawaban: c tan x – 6 cotan x – 5 = 0 tan x –

6 tan x

–5=0

––––––––––––––––––––––––––––– × tan x  tan2 x – 6 – 5 tan x = 0  tan2 x – 5 tan x – 6 = 0  (tan x – 6)(tan x + 1) = 0  tan x – 6 = 0 atau tan x + 1 = 0  tan x = 6 atau tan x = –1 Untuk 90°  x  180° (x di kuadran II) tan x bernilai negatif sehingga persamaan yang memenuhi adalah tan x = –1. tan x = –1  tan x = tan 135°  x = 135° + k × 180° k = 0  135° + 0 × 180° = 135° Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 135°.

sin x = 3

1 2

 sin x = sin

Untuk sin x = 3: Tidak ada nilai yang memenuhi persamaan sin x = 3.

Oleh karena x dibatasi untuk –



Jadi, himpunan penyelesaiannya



+ k × 2:

5 7 + (–1) × 2 = – 6 6 5 5 + 0 × 2 = 6 6 5 17 + 1 × 2 = 6 6

k=0x=



x = 3 + k × 2 k = 0  x = 3 + 0 × 2 = 3

b)

5 6

k = –1  x =

 cos x = cos 3 a)

Untuk x =

 6 13 6

11 6

13. Jawaban: a 2 sin x = 3 cotan x 

2 sin x = 3 ×

cos x sin x

 2 sin2 x = 3 cos x  2(1 – cos2 x) = 3 cos x  2 – 2 cos2 x = 3 cos x 2  2 cos x + 3 cos x – 2 = 0  (2 cos x – 1)(cos x + 2) = 0  2 cos x – 1 = 0 atau cos x + 2 = 0 

1

cos x = 2

atau cos x = –2

1

1)

Untuk cos x = 2 :  x = ± 60° + k × 360°  x = 60° + k × 360° atau x = –60° + k × 360° a) x = 60° + k × 360° k = 0  x1 = 60° + 0 × 360° = 60° b) x = –60° + k × 360° k = 0  x = –60° + 0 × 360° = –60° Misalkan x1 = 60° dan x2 = 300° cos (x1 – x2) = cos (60° – 300°) = cos (–240°) = cos (120° + (–1) × 360°)

2)

Jadi, himpunan penyelesaian {30°, 150°}.

1. a.

1

14. Jawaban: e 

(1 +

3 tan x = 1

x) +



tan2



tan x (tan x +

x+

3 tan x = 0 3)=0

 tan x = 0 atau tan x = – 3 1) Untuk tan x = 0: tan x = 0  tan x = tan 0  x = 0° + k × 180° k = 0  x = 0° + 0 × 180° = 0° k = 1  x = 0° + 1 × 180° = 180° 2)

b.



2 =0

1 cos x 1

 2

=– 2 = cos x

 cos x = –

1 2 1 2

2 2

 2

 cos x = cos 135°  x = 135° + k × 360° atau x = –135° + k × 360° 1) Untuk x = 135° + k × 360°: k = 0  x = 135° + 0 × 360° = 135° 2) Untuk x = –135° + k × 360°: k = 1  x = –135° + 1 × 360° = 225° 1

1  sin x 1  sin x

Jadi, penyelesaian persamaan cos x + adalah x = 135° dan x = 225°.

=3

 1 + sin x° = 3(1 – sin x°)  1 + sin x° = 3 – 3 sin x°  sin x° + 3 sin x° = 3 – 1  4 sin x° = 2

1)

+

 cos x = –

Untuk tan x = – 3 :

15. Jawaban: c

 

1 cos x



tan x = – 3  tan x = tan 120°  x = 120° + k × 180° k = 0  x = 120° + 0 × 180° = 120° k = 1  x = 120° + 1 × 180° = 300° Oleh karena x dibatasi untuk 0°  x  180° maka x yang memenuhi x = 0°, 120°, 180°. Jadi, himpunan penyelesaiannya {0°, 120°, 180°}.



1

sin x = 2 2  sin x = sin 45°  x = 45° + k × 360° atau x = (180° – 45°) + k × 360° 1) Untuk x = 45° + k × 360° k = 0  x = 45° + 0 × 360° = 45° 2) Untuk x = (180° – 45°) + k × 360°  x = 135° + k × 360° k = 0  x = 135° + 0 × 360° = 135° Jadi, penyelesaian 2 sin x – 2 = 0 adalah x = 45° dan x = 135°.

1

3 tan x = 1

= 3 adalah

2 sin x – 2 = 0  2 sin x = 2 

Jadi, nilai cos (x1 – x2) = – 2 .

tan2

1  sin x 1  sin x

B. Uraian

= cos 120° = – 2

sec2 x +

Untuk x = (180° – 30°) + k × 360°  x = 150° + k × 360° k = 0  x = 150° + 0 × 360° = 150°

sin x° =

2 4

=

1 2

sin x = sin 30° x = 30° + k × 360° atau x = (180° – 30°) + k × 360° Untuk x = 30° + k × 360° k = 0  x = 30° + 0 × 360° = 30°

2. a.

2 cos

1 2

x–

 2 cos 

cos



cos

 

1 2

x=

1 2 1 2 1 2 1 2  6

2 =0

3 =0 x=

3

x=

3 2

x = cos x=±

 6

 6

+ k × 2

+ k × 2 atau

1 2



x = – 6 + k × 2

Matematika Kelas XI

5

 x=

2 6

 x=

 3

1)

+ k × 4 atau x = –

2)

Untuk x – 20° = –120° + k × 360° x – 20° = –120° + k × 360°  x = –100° + k × 360° k = 1  x = –100° + 1 × 360° = 260° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {140°, 260°}.

+ k × 4



+ k × 4 atau x = – 3 + k × 4  3

Untuk x =

+ k × 4:  3  3

k=0x= 2)

2 6

Untuk x = –

 3

+ 0 × 4 =

b.

+ k × 4:



sin (2x – 15°) =



11 3



sin (2x – 15°) =

 

 3

x yang memenuhi adalah x =

.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan

b.



3 = 0 adalah { 3 }.

3 tan 2x = 3  tan 2x =

3 3

 tan 2x =

3

 tan 2x = tan Penyelesaian: 

2x =



x =

 3  6

 3

+k× +k×

 2

4. a.

Untuk k = 0  x =

 6

+0×

 2

=

Untuk k = 1  x =

 6

+1×

 2

=

Untuk k = 2  x =

 6

+2×

 2

=

Untuk k = 3  x =

 6

+3×

 2

=

 6 2 3 7 6 5 3



3. a.

1

,

7 6

,

5 3



sin x = – 2 atau sin x = 2

1)

   1)

×

2 2

1

 

2)

1

Untuk sin x = – 2 :

b)

cos (x – 20°) = cos 120° x – 20° = ± 120° + k × 360° x – 20° = 120° + k × 360° atau x – 20° = –120° + k × 360° Untuk x – 20° = 120° + k × 360° x – 20° = 120° + k × 360°  x2 = 140° + k × 360° k = 0  x = 140° + 0 × 360° = 140°

Trigonometri

1

a)

1 2

1

(sin x + 2 )(sin x – 2 ) = 0

}.

cos (x – 20°) = –

1



2 cos (x – 20°) + 1 = 0  2 cos (x – 20°) = –1 

6

2 3

2

sin2 x – 4 = 0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {6 ,

1 2 1 2

sin (2x – 15°) = sin 45° 2x – 15° = 45° + k × 360° atau 2x – 15° = (180° – 45°) + k × 360° 1) Untuk 2x – 15° = 45° + k × 360°: 2x – 15° = 45° + k × 360°  2x = 60° + k × 360°  x = 30° + k × 180° k = 0  x = 30° + 0 × 180° = 30° k = 1  x = 30° + 1 × 180° = 210° 2) Untuk 2x – 15° = (180° – 45°)° + k × 360°: 2x – 15° = 135° + k × 360°  2x = 150° + k × 360°  x = 75° + k × 180° k = 0  x = 75° + 0 × 180° = 75° k = 1  x = 75° + 1 × 180° = 255° Jadi, himpunan penyelesaiannya {30°, 75°, 210°, 255°}.

Oleh karena x dibatasi untuk 0 < x < 2 maka

x–

2 sin (2x – 15°) = 1



k = 1  x = – 3 + 1 × 4 =

1 2





k = 0  x = – 3 + 0 × 4 = – 3

2 cos

2 sin (2x – 15°) – 1 = 0

sin x = sin 210° x = 210° + k × 360° atau x = (180° – 210°) + k × 360° Untuk x = 210° + k × 360°: k = 0  x = 210° + 0 × 360° = 210° Untuk x = (180° – 210°) + k × 360°:  x = –30° + k × 360° k = 1  x = –30° + 1 × 360° = 330° 1

Untuk sin x = 2 :  sin x = sin 30°  x = 30° + k × 360° atau x = 150° + k × 360° a) Untuk x = 30° + k × 360°: k = 0  x = 30° + 0 × 360° = 30° b) Untuk x = 150° + k × 360° k = 0  x = 150° + 0 × 360° = 150° Jadi, himpunan penyelesaiannya {30°, 150°, 210°, 330°}.

b.

2 sin2 x + 5 cos x + 1 = 0  2(1 – cos2 x) + 5 cos x + 1 = 0  2 – 2 cos2 x + 5 cos x + 1 = 0  –2 cos2 x + 5 cos x + 3 = 0  (–2 cos x – 1)(cos x – 3) = 0  –2 cos x – 1 = 0 atau cos x – 3 = 0 cos x = – 2 atau cos x = 3

 x=

90 7

+k×

atau

x = –90° – k × 360° a)

Untuk x =

90 7

+k×

360 7

k=0x=

90 7

+0×

=

90 7

= 12 7 °

k=1x=

90 7

+1×

= k=2x= = k=3x= =

450 7 90 7 810 7 90 7

:

360 7

6

360 7 2

= 64 7 ° +2×

360 7

1.530 7

360 7 4

= 218 7 °

+5×

360 7

k=6x=

90 7

+6×

360 7

=

360 7

+4×

90 7

1

(sin 3x – cos 4x)(cos 5x – sin 4x) = 0  sin 3x – cos 4x = 0 atau cos 5x – sin 4x = 0 sin 3x = cos 4x atau cos 5x = sin 4x  sin 3x = sin (90° – 4x) atau cos 5x = cos (90° – 4x) 1) Untuk sin 3x = sin (90° – 4x): sin 3x = sin (90° – 4x)  3x = (90° – 4x) + k × 360° atau 3x = [180° – (90° – 4x)] + k × 360°  7x = 90° + k × 360° atau –x = 90° + 4x + k × 360°

90 7

k=5x=

Untuk cos x = – 2 :

 cos x = cos 120°  x = ± 120° + k × 360°  x = 120° + k × 360° atau x = –120° + k × 360° a) Untuk x = 120° + k × 360°: k = 0  x = 120° + 0 × 360° = 120° b) Untuk x = –120° + k × 360°: k = 1  x = –120° + 1 × 360° = 240° 2) Untuk cos x = 3 Tidak ada nilai x yang memenuhi cos x = 3. Jadi, himpunan penyelesaiannya {120°, 240°}. 5. a.

=

1

 1)

k=4x=

= 270°

2.250 7 3

= 321 7 ° k=7x= =

90 7

+7×

2.610 7

360 7 6

= 372 7 °

b)

Untuk x = –90° – k × 360°: k = 0  x = –90° – 0 × 360° = –90° k = –1  x = –90° – (–1) × 360° = 270° k = –2  x = –90° – (–2) × 360° = 630° 2) Untuk cos 5x = cos (90° – 4x): cos 5x = cos (90° – 4x)  5x = ± (90° – 4x) + k × 360°  5x = (90° – 4x) + k × 360° atau 5x = –(90° – 4x) + k × 360°  9x = 90° + k × 360° atau x = –90° + k × 360°  x = 10° + k × 40° atau x = –90° + k × 360° a) Untuk x = 10° + k × 40°: k = 0  x = 10° + 0 × 40° = 10° k = 1  x = 10° + 1 × 40° = 50° k = 2  x = 10° + 2 × 40° = 90° k = 3  x = 10° + 3 × 40° = 130° k = 4  x = 10° + 4 × 40° = 170° k = 5  x = 10° + 5 × 40° = 210° k = 6  x = 10° + 6 × 40° = 250° k = 7  x = 10° + 7 × 40° = 290° k = 8  x = 10° + 8 × 40° = 330° k = 9  x = 10° + 9 × 40° = 370° b) Untuk x = –90° + k × 360°: k = 0  x = –90° + 0 × 360° = –90° k = 1  x = –90° + 1 × 360° = 270° k = 2  x = –90° + 2 × 360° = 630° Oleh karena nilai x dibatasi untuk 0°  x  360° maka x yang memenuhi adalah x = 10°, 6

2

5

1

= 115 7 °

5

12 7 °, 50°, 64 7 °, 90°, 115 7 °, 130°, 167 7 °,

360 7

170°, 210°, 218 7 °, 250°, 270°, 290°, 321 7 °,

+3×

1.170 7

1

= 167 7 °

4

3

330°.

Matematika Kelas XI

7

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan sin (3x – cos 4x)(cos 5x – sin 2x) = 0 adalah x = 10°,

90 7

2

5

, 50°, 64 7 °, 90°, 115 7 °, 130°,

1

4

167 7 °, 170°, 210°, 218 7 °, 250°, 270°, 290°, 3

321 7 °, 330°. b.

(cotan (2x – 60)° +

3 )(secan 3x –

 cotan (2x – 60)° + secan 3x –

2 )=0

3 = 0 atau

2 =0

 cotan (2x – 60)° = – 3 atau secan 3x = 

1 tan (2x 60)

2 = – 3 atau

 tan (2x – 60)° =  tan (2x – 60)° = – 1)

1  3

1 3

=

2

atau cos 3x = 2

1 3

1 – 3

3:

3

 tan (2x – 60)° = tan (–30°)  (2x – 60)° = –30° + k × 180°  2x° = 30° + k × 180°  x° = 15° + k × 90° k = 0  x° = 15° + 0 × 90° = 15° k = 1  x° = 15° + 1 × 90° = 105° k = 2  x° = 15° + 2 × 90° = 195° k = 3  x° = 15° + 3 × 90° = 285° k = 4  x° = 15° + 4 × 90° = 375°

8

Trigonometri

1 2

3 atau cos 3x = 1 2

Untuk tan (2x – 60)° = tan (2x – 60)° = –

1 cos 3x

2)

Untuk cos 3x = cos 3x =

1 2

1 2

2:

2

 cos 3x = cos 45°  cos 3x = ± 45° + k × 360°  3x = 45° + k × 360° atau 3x = –45° + k × 360°  x = 15° + k × 120° atau x = –15° + k × 120° a) Untuk x = 15° + k × 120°: k = 0  x = 15° + 0 × 120° = 15° k = 1  x = 15° + 1 × 120° = 135° k = 2  x = 15° + 2 × 120° = 255° k = 3  x = 15° + 3 × 120° = 375° b) Untuk x = –15° + k × 120°: k = 0  x = –15° + 0 × 120° = –15° k = 1  x = –15° + 1 × 120° = 105° k = 2  x = –15° + 2 × 120° = 225° k = 3  x = –15° + 3 × 120° = 345° Oleh karena nilai x dibatasi untuk 0°  x  360° maka x yang memenuhi adalah x = 15°, 105°, 135°, 195°, 225°, 255°, 285°, 345°. Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan (cotan (2x – 60)° + 3 )(secan 3x – 2 ) = 0 adalah x = 15°, 105°, 135°, 195°, 225°, 255°, 285°, 345°.

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b Berdasarkan identitas kosinus dan sinus penjumlahan dua sudut diperoleh sebagai berikut. i) cos (2a + b) = cos 2a cos b – sin 2a sin b Pernyataan i) benar. ii) cos (a + 2b) = cos a cos 2b – sin a sin 2b Pernyataan ii) salah. iii) sin (a + 2b) = sin a cos 2b + cos a sin 2b Pernyataan iii) benar. iv) sin (2a – b) = sin 2a cos b – sin 2a sin b Pernyataan iv) salah. Jadi, pernyataan yang benar i) dan iii). 2. Jawaban: c cos 105° = cos (60° + 45°) = cos 60° cos 45° – sin 60° sin 45° 1

1

1

1

= 2 × 2 2 – 2 3 × 2 2 1

1

= 4 2 – 4 6 1

= 4 ( 2  6) 1

3. Jawaban: a sin 75°= sin (45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = =

1 4

=

1 ( 4

2 ×

1 2

3 +

6 +

1 4

2

3 3 3 3

=

96 3 3 93

=

12  6 3 6

1 2

2 ×

1 2

4. Jawaban: c tan 15° = tan (45° – 30°)

Jadi, nilai tan 15° adalah 2 – 3 . 5. Jawaban: a sin (30° + ) + cos (60° + ) = (sin 30° cos  + cos 30° sin ) + (cos 60° cos  – sin 60° sin ) 1

1

=

1 3

1  1 3 3 3 3 3 3

3 1 3

3

1

1

= 2 × cos  + 2 3 × sin  + 2 × cos  – 2 3 × sin  1

1

= 2 cos  + 2 cos  = cos  Jadi, bentuk sederhana dari sin (30° + ) + cos (60° + ) adalah cos .

cos  =

1 3

6 =

6 3

3

 sudut lancip sin  =

3 3

6

1

tan  = 3 , sudut lancip maka: sin  =

3



1 10

10



3 10

1

3

sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin  1 ( 4

6  2) .

=

3 3

×

3 10

+

6 3

×

=

3 3 6 3 10

=

3 3  10  6  10 3  10  10

=

3 30  60 30

tan45  tan30

= 1  tan45  tan30 1

3 3 3 3

=2– 3

cos  =

6  2)

Jadi, nilai dari sin 75° adalah

=

×

6. Jawaban: e

Jadi, nilai cos 105° adalah 4 ( 2  6) .

1 2

=

Jadi, nilai sin ( + ) =

×

1 10

10 10

3 30  60 30

.

Matematika Kelas XI

9

7. Jawaban: b sin x = 5

3

tan x =

3 ,x 5 3 –4

sudut tumpul

9. Jawaban: d sin (p – q) = sin p cos q – cos p sin q 1



sin 30° = sin p cos q – 6 1

 sin p cos q = sin 30° + 6

x 4

1

1

4

2

= 2 + 6 13

= 6 = 3

5

y

2

Jadi, nilai dari sin p cos q = 3 10. Jawaban: c cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

12

12

cos y = 13 , y sudut lancip 5



tan y = 12 tan (x + y) = = =

tanx  tany 1  tanx tany 3 4

 



5 12

3 5 1  ( )  4 12 9  5 12 48 15 48

4

 3 1 2

= =



sin A sin B =



sin A sin B =



sin A sin B =

5 – sin 8 5 – sin 8 5 1 – 8 2 54 8 1 8

A sin B A sin B

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

48

= 12 × 63 =

cos

=

16 – 63

=

16

Jadi, nilai tan (x + y) = – 63 . 12

+ =

1 8 3 4

Jadi, nilai cos (A – B) =

8. Jawaban: b 3

cos  = – 5 ( tumpul)

sin  = 13 ( lancip)

5 8 6 8

11. Jawaban: d

3 4

B

5

12

13

5



3

3



A

5

cos  =

5 13

sin  =

4 5

Pada segitiga berlaku  +  +  = 180°   = 180° – ( + ) sin  = sin (180° – ( + )) = sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin  12

3

5

4

= 13 × (– 5 ) + 13 × 5 36

20

= – 65 + 65 =–

16 65

Jadi, nilai sin  =

10

7

50  5 2

4

Trigonometri

4

1

3

7

sin A = 5

cotan B = 7 = 1

4

cos A = 5

cos B = sin B =

cos C = cos (180° – (A + B)) = –cos (A + B) = –(cos A cos B – sin A sin B) 4

16 – . 65

7 5 2 1 5 2

= –( 5 ×

7 5 2

3

– 5 ×

1 5 2

)

= –( =– =–

28 25 2

3 25 2

–

1

)

=(2 + Jadi, panjang AC = 150(1 +

1 2

tan (A + B) = 2

cos C = –

1 2

2  C = arc cos (– 1 2 )



2

12. Jawaban: a sin (2x + 60°) = a =

1

a 1

diperoleh cos (2x + 60°)

a

= 1 a sin (x + 45°)

1

x + 45° = 1  b2 1  b2 sin (3x + 105°) sin (x + 15°) = sin [(2x + 60°) + (x + 45°)] sin [(2x + 60°) – (x + 45°)] = [sin (2x + 60°) cos (x + 45°) + cos(2x + 60°) sin (x + 45°)] × [sin (2x + 60°) cos (x + 45°)] – cos (2x + 60°) sin (x + 45°)]

= a × 1  b2 + b × 1  a 2 )(a × 1  b2 – b × 1  a 2 ) = (a × 1  b2 )2 – (b × 1  a 2 )2 = a2 × (1 – b2) – b2 × (1 – a2) = a2 – a2b2 – b2 + b2a2 = a2 – b2 Jadi, sin (3x + 105°) sin (x + 15°) = a2 – b2. 13. Jawaban: a ACB = 180° – (60° + 75°) = 45° sin 75° = sin (30° + 45°) = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45° 1

1 2

1 4

2 +

= 2 ×

2 +

Ingat aturan sinus: AB sin 45

1 4

1 2

1 2

3 ×

75° 60° B 300 cm

6 a sin A

=

 AC = =

=

c . sin C

sin 75 sin 45

× AB

b sin B

1 4

2 1 2

1 4

2

6

 3 (tan A – tan B) = 1 + tan A tan B  3 tan A – 1 = tan A tan B + 3 tan B  3 tan A – 1 = (tan A + 3) tan B 

tan B =

3 tan A  1 tan A  3

. . .(2)

Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). 3 tan A  1 tan A  3 1  2 tan A 3 tan A  1 = 2  tan A tan A  3

tan B = 

 (1 – 2 tan A)(tan A + 3) = (3 tan A – 1)(2 + tan A)  –2 tan2 A – 5 tan A + 3 = 3 tan2 A + 5 tan A – 2  –5 tan2 A – 10 tan A + 5 = 0  tan2 A + 2 tan A – 1 = 0  (tan A + 1)2 – 2 = 0  (tan A + 1)2 = 2 tan A = –1 ±

2

 tan A = –1 + 2 atau tan A = –1 – 2  tan A = 0,414 atau tan A = –2,414 Oleh karena A sudut lancip maka tan A bernilai positif sehingga nilai tan A yang memenuh adalah tan A = –1 +

2 =

2 – 1. 2 – 1.

15. Jawaban: d sin  – sin ( – 120°) – sin ( – 240°) = sin  – (sin  cos 120° – cos  sin 120°) – (sin  cos 240° – cos  sin 240°) = sin  – sin  cos 120° + cos  sin 120° – sin  cos 240° + cos  sin 240° 1

× 300

. . . (1)

1

Jadi, nilai tan A adalah

2

1  2 tanA 2  tanA

= 3

 C

A

tan A  tan B 1  tan A tan B

 b

diperoleh cos (x + 45°)

tan B = 1

1  a2

b 1

 tan (A – B) = 3

2x + 60°

2

1

tan A  tan B 1  tan A tan B

= 2  2 (tan A + tan B) = 1 – tan A tan B  2 tan B + tan A tan B = 1 – 2 tan A  tan B (2 + tan A) = 1 – 2 tan A

Jadi, besar sudut C = 135°.

=

3 ) cm.

1

2

AC sin 75

3 ) cm

14. Jawaban: b

1 2

=

3 ) × 300

= 150(1 +

25 25 2

=–

=b=

1 2

1

= sin  – sin  × (– 2 ) + cos  × 2 3 1

1

– sin  × (– 2 ) + cos  × (– 2 3 )

Matematika Kelas XI

11

1

1

1

= sin  + 2 sin  + 2 sin  + 2 3 cos  =

1

– 2 3 cos 

= 2 sin  Jadi, bentuk sederhana dari sin  – sin ( – 120°) – sin ( – 240°) adalah 2 sin .

24 10

sin x =

24 26

cos x =

10 – 26

cos y =

3 5

sin y =

4 – 5

tan y = – a.

dan x di kuadran II sehingga: 26

=

=

112 66 32  126

4 3

2. a.

3

cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y =–

10 26

3 5

=–

30 130

–

=–

126 130

=–

×

24 26

+

4 5

× (– )

96 130

63 65

=

.

=

24 26

=

72 130

=

112 130

×

3 5

+ (–

+

40 130

=

56 65

tan (x  y) tan (x  y)

=

tanx  tany 1  tanx  tany tanx  tany 1  tanx  tany

=

24  ( 4 ) 10 3 24 1  ( )  ( 4 ) 10 3 24   ( 4 ) 10 3 1  (  24 )  (  4 ) 10 3

Trigonometri

10 26

4 5

=

) × (– )

1 2

1 – 4

126 32

147 22

adalah

147 22

.

2 1 3  1 2 1  1 2 1 3  1 21 2

2

61 4

2

21 4

2 4

62 2

1 – 2

61 2

=–

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

×

sin 345° – sin 15° = sin (360° – 15°) – sin (90° – 75°) = –sin 15° – cos 75° = –sin (45° – 30°) – cos (45° + 30°) = –(sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30°) – (cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30°) = – sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = – cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =–

63 65

112 66

tan(x  y) tan(x  y)

Jadi, nilai

y



12

=

dan y di kuadran IV sehingga:

Jadi, nilai sin (x + y) = c.

=–

10

4



112 30 66  30 32  30 126 30

x

Jadi, nilai cos (x – y) = – b.

24

5

72 30



B. Uraian 1. tan x = –

40 30 96 1 30 72   40 30 30 1  96 30 

61 4

2

2

56 65

.

2

2

4

2

Jadi, nilai sin 345° – sin 15° = – b.

2

cos 75 cos165

=

cos (90  15) cos (180  15)

=

sin 15  cos 15

= –tan 15° = –tan (45° – 30°) =–

=–

tan 45  tan 30 1  tan 45 tan 30 1

3 3

1  1 3 3 3 3 3

= – 3

3 3

1 2

61 2. 2

=–

3 3 3 3

=–

96 3 3 93

=

3 3 3 3

×

3

4

12

12

cos  = 5 dan tan  = 3 Oleh karena di kuadran I maka sin dan tan bernilai positif. sin = 13 dan tan = 5 sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin 

12  6 3 – 6

4

= –2 + 3 Jadi, nilai c.

cos 75 cos165

20

= –2 + 3 .

tan45  tan30

=–

3 3 3 3

1  1 3 3 3 3 3 3

×

×

tan ( – ) =

3 3

3 3 3 3 3 3

=

sin86 cos 26  cos 86 sin26 sin49 sin86  cos 49 cos 86 sin 86° cos 26°  cos 86° sin 26° = (cos 49° cos 86°  sin 49° sin 86°) sin (86°  26°) sin 60° = (cos (49°  86°)) = cos 135°

= b.

4. a.





1 2 1 2

3 2



=

3 2

tan 25  tan 85 1  tan 25 tan 85

=

1 2

6

= tan (25° – 85°) = tan (–60°) = –tan 60° = – 3 4

5

Diketahui sin  = 5 , cos  = 13 ,  dan  di kuadran I

5

4

15

48

12

33

= 65 – 65 = – 65

3 3

1  1

3

= 5 × 13 – 5 × 13

tan45  tan30

1

36

56

= –1 Jadi, nilai tan 75° tan 165° = –1. 3. a.

12

= 65 cos ( + ) = cos  cos  – sin  sin 

= – 1  tan45  tan30 × 1  tan45  tan30 1

3

= 65 + 65

tan 75° tan 165° = tan 75° tan (180° – 15°) = tan 75° (–tan 15°) = –tan 75° tan 15° = –tan (45° + 30°) tan (45° – 30°)

=–

5

= 5 × 13 + 5 × 13

=

=

b.

tan   tan  1  tan  tan  12 5 4 12  3 5

4 3



1 20 15



1 16 15 63 15

36 15

48 15

= 

16 63 2

3

Diketahui sin  = 3 , cos  = 4 ,  di kuadran II dan  di kuadran IV. 3

4

2

7



 32  22 =

42  32 =

3

5

Oleh karena  di kuadran II maka cos  dan tan  bernilai negatif. cos  = –

5 3

2 5

dan tan  = –

Oleh karena  di kuadran IV maka sin  dan tan  bernilai negatif. 5

13

 52  42 =

132  52 = 144 = 12

4  9 =3

sin  = –

7 4

dan tan  = 

sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin  2

5

Oleh karena  di kuadran I maka cos  dan tan  bernilai positif.

7 3

3

= 3 × 4 + (– =

5 3

) × (–

7 4

)

6  35 12

Matematika Kelas XI

13

cos ( + ) = cos  cos  – sin  sin  5 ) 3

= (– = tan ( + ) = =

=

=

3 (4)

×

–

2 (3)

× (–

7 ) 4

6. a.



2 cos ( 4 – x) = sin x cos x

3 5  2 7 12

=

tan   tan  1  tan  tan 

2 (cos 4 cos x + sin 4 sin x)

=

2(

(

2 5

)  (

1  ( 

2 5

1



2 5

)(

7 ) 3 7 ) 3

b.

2 7 3 5

3 52 7 3 5

=





sin ( 6 + x) + cos ( 3 + x)

6  35 3 5 2 7







+ cos 3 cos x – sin 3 sin x 1

1

3 × sin x = 2 × cos x + 2 2

 cos A cos B – sin A sin B = 3

1

. . . (1)

1 1

 cos A cos B + sin A sin B = 2

. . . (2)

c.

Tambahkan persamaan (1) dan persamaan (2):



tan ( 4 + x) =

2

cos A cos B – sin A sin B = 3

1

cos A cos B + sin A sin B = 2 ––––––––––––––––––––––––– + 7

2 cos A cos B = 6

2 3 1 2

cos A cos B + sin A sin B = –––––––––––––––––––––––– – 1

tan

 4

 tan x  4

1  tan  tan x

=

1  tan x 1  1 tan x

=

1  tan x 1  tan x

=

cos x cos x cos x cos x

=

cos x  sin x cos x cos x  sin x cos x

7

 cos A cos B = 12 Kurangkan persamaan (2) dari persamaan (1): cos A cos B – sin A sin B =

1

3 × sin x + 2 × cos x – 2 = cos x (terbukti)

cos (A – B) = 2

 

sin x cos x sin x cos x

cos x  sinx

–2 sin A sin B = 6

= cos x  sinx (terbukti)

1



sin A sin B = – 12

tan A tan B =

sin A sin B cos A cos B

7. a.

1

cos x cos 20° – sin x sin 20° = 2 1

1  12 7 12

1

=–7

1

Jadi, nilai tan A tan B = – 7 .

Trigonometri

2



2

14

2 cos x + 1 2 sin x)

= sin 6 cos x + cos 6 sin x

5. cos (A + B) = 3

=

1 2



= cos x + sin x = sin x cos x (terbukti)

7 3

6  35 3 5



 cos (x + 20°) = 2  cos (x + 20°) = cos 60°  x + 20° = ± 60° + k × 360°  x + 20° = 60° + k × 360° atau x + 20° = –60° + k × 360° 1) Untuk x + 20° = 60° + k × 360°: x + 20° = 60° + k × 360°  x = 40° + k × 360°

k = 0  x = 40° + 0 × 360° = 40° k = 1  x = 40° + 1 × 360° = 400° 2) Untuk x + 20° = –60° + k × 360°: x + 20° = –60° + k × 360°  x = –80° + k × 360° k = 0  x = –80° + 0 × 360° = –80° k = 1  x = –80° + 1 × 360° = 280° k = 2  x = –80° + 2 × 360° = 640° Oleh karena nilai x dibatasi untuk 0°  x  360° maka nilai x yang memenuhi adalah x = 40°, 280°. Jadi, penyelesaian cos x cos 20° – sin x sin 20°

k = 0  x = 10° + 0 × 360° = 10° k = 1  x = 10° + 1 × 360° = 370° Oleh karena nilai x dibatasi untuk 0°  x  360° maka nilai x yang memenuhi adalah x = 10°. Jadi, penyelesaian

8. a.

1

sin 100° cos 2x – cos 100° sin 2x =

1 –2

1

sin 2x = – 2 adalah x = 65°, 125°, 245°, 305°. c.

1 2

tan x  tan 50 1 2

1  tan x tan 50

=

sin A cos B  cos A sin B cos A cos B  sin A sin B

=

sin A cos B cos A sin B  cos A cos B cos A cos B cos A cos B sin A sin B  cos A cos B cos A cos B

=

sin A sin B  cos A cos B sin A sin B 1  cos A cos B

=

tan A  tan B 1  tan A tan B

(terbukti)

cos (A  B)  cos (A  B) sin (A  B)  sin (A  B)

=

(cos A cos B  sin A sin B)  (cos A cos B  sin A sin B) sin A cos B  cos A sin B  sin A cos B  cos A sin B

=

2 sin A sin B 2 sin A cos B

=

sin B cos B

= tan B (terbukti) 



9. 3 cos ( + 4 ) = cos ( – 4 ) 



 3 cos  cos 4 – 3 sin  sin 4 



= cos  cos 4 + sin  sin 4 



 3 cos  cos 4 – cos  cos 4 



= sin  sin 4 + 3 sin  sin 4 



2 cos  cos 4 = 4 sin  sin 4

1



2 × 1 2 cos  = 4 × 1 2 sin 

tan ( 2 x – 50°) = tan (–45°)



1 cos A cos B 1 cos A cos B







×

1

tan ( 2 x – 50°) = –1



b.

= –1



1 2

x – 50° = –45° + k × 180° 1 2

x = 5° + k × 180° x = 10° + k × 360°

= –1

sin (A  B) cos (A  B)

1

 sin (100° – 2x) = – 2

 sin (100° – 2x) = sin (–30°)  100° – 2x = –30° + k × 360° atau 100° – 2x = (180° – (–30°)) + k × 360°  –2x = –130° + k × 360° atau –2x = 110° + k × 360°  x = 65° – k × 180° atau –x = –55° – k × 180° 1) Untuk x = 65° – k × 180°: k = 0  x = 65° – 0 × 180° = 65° k = 1  x = 65° – 1 × 180° = –115° k = –1  x = 65° – (–1) × 180° = 245° k = –2  x = 65° – (–2) × 180° = 425° 2) Untuk x = –55° – k × 180°: k = 0  x = –55° – 0 × 180° = –55° k = 1  x = –55° – 1 × 180° = –235° k = –1  x = –55° – (–1) × 180° = 125° k = –2  x = –55° – (–2) × 180° = 305° Oleh karena nilai x dibatasi untuk 0°  x  360° maka nilai x yang memenuhi adalah x = 65°, 125°, 245°, 305°. Jadi, penyelesaian sin 100° cos 2x – cos 100°

1 2

1  tan x tan 50

adalah x = 10°.

= 2 adalah x = 40°, 280°. b.

1 2

tan x  tan 50

 

2

2

2 4 1 2

=

sin  cos 

= tan 

1

Jadi, nilai tan = 2 .

Matematika Kelas XI

15

10.

Diperoleh:

C

4

5 cm

A

4 cm



 D 7 cm

AD =

AC2  CD2

=

25  16

=

9

2

DB  DC

= B

1 2

4

=4 2

=

1 2

4 4 2

2 , dan tan  = 1.

sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin  4

3

1

1

2 + 5 × 2 = 5 × 2 2 2

3

2 + 10

2

7

= 10 2 tan ( – ) = 2

=

= 16  16 = 16  2

4 4 2

2 , cos  =

= 5

= 3 cm DB = AB – AD =7–3 = 4 cm BC =

3

sin  = 5 , cos  = 5 , tan  = 3 , sin  =

=

tan   tan  1  tan  tan  4 3

1 4 3

1  1 1 3 7 3

1

= 7

7

1

Jadi, nilai sin ( + ) + tan ( – ) = 10 2 + 7 .

16

Trigonometri

A. Pilihan Ganda

1–

1. Jawaban: c i) sin 2 = 2 sin  cos  sehingga sin 30° = 2 sin 15° cos 15° (benar) Pernyataan i) benar. ii) sin 2 = 2 sin  cos  sehingga sin 30° = 2 sin 15° cos 45° 1

1

=

1

3 ×

1 2

2 +

1 2

×

1 2

1 –2

2.

1

1

= 4 ( 6 + 2) 1

Jadi, nilai 2 sin 52,5° cos 52,5° adalah 4 ( 6 + 2 ). 2 tan 15 2

1  tan 15

.

1 (3  3

3)

2 tan15 1  tan2 15

adalah

1 (3  3

3) .

5. Jawaban: e sin x = –a = –

a 1

Diperoleh cos x = – 1  a 2 sin 2x = 2 sin x cos x = 2 × (–a) × (– 1  a 2 )

1

–a

1  a2

3 2 = (2a  4a ) 1  a

= 4 6 + 4 2

Ingat identitas 2 =

=

2 2 = 2a(1  2a ) 1  a

2

4. Jawaban: a

3 3 3

2 2 sin 2x cos 2x = 2a 1  a  (1  2a )

3. Jawaban: a 2 sin 52,5° cos 52,5° = sin (2 × 52,5°) = sin 105° = sin (60° + 45°) = sin 60° × cos 45° + cos 60° × sin 45° 1 2

=

Jadi, nilai dari 1 –

2

Jadi, nilai dari 1 – 2 sin2 67,5 adalah

3 3

= 2a 1  a 2 cos 2x = 1 – 2 sin2 a = 1 – 2 × (–a)2 = 1 – 2a2

2. Jawaban: b Ingat identitas cos 2 = 1 – 2 sin2  1 – 2 sin2 67,5° = cos (2 × 67,5°) = cos 135° = cos (90° + 45°) = –sin 45° =

= 1 – tan 30° =1–

 2 = 2 × 0,259 × 0,707  2 = 0,36 (salah) Pernyataan ii) salah. iii) cos 2a = cos2 a – sin2 a sehingga berlaku cos 30° = cos2 15° – sin2 15° Pernyataan iii) salah. iv) cos 30° = cos2 15° – sin2 15° sehingga  cos 30° = cos2 15° – (1 – cos2 15°)  cos 30° = 2 cos2 15° – 1 Pernyataan iv) salah dan pernyataan v) benar. Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan i) dan v).

1 –2

2 tan 15 1  tan2 15

3 2 Jadi, nilai sin 2x cos 2x = (2a  4a ) 1  a .

6. Jawaban: e Identitas trigonometri sudut pertengahan 1

sin 2  = ±

1  cos  2

1

1  cos  2

1

1  cos 

cos 2  = ±

1  cos 

tan 2  = ± =± 1  cos  cos   1 Pernyataan pada pilihan a, b, c, dan d salah dan pernyataan pada pilihan e benar. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan e. 7. Jawaban: e cos 2x = 2 cos2 x – 1  cos x = ±

cos 2x  1 2

1

1

Oleh karena 8 berada di kuadran I maka cos 8 

Matematika Kelas XI

17

bernilai positif. 1 8

cos (2 

1

cos 8  =

)  1

2 cos

=

1 4

1

1 2

5

5

= 2(  13 )2 – 1

21

25

2 2 4

119

= – 169 119

Jadi, nilai cos 4 = – 169 .

1

1

Jadi, nilai cos 8  = 2 2  2 .

11. Jawaban: a 1  sin 2A cos 2A

8. Jawaban: c 1

5

sin 2x = 3 5 = 3 Oleh karena 90°  x  180°

3

2

5

2

= cos2 x

=± =± =±

2  3

1

2 1 6  6 6

1

=±6 6

Jadi, nilai cos x =

1 6

6.

10. Jawaban: b 5

1 – tan  sin 2 = – 13

Trigonometri

5

cos2 A  sin2 A 2

sin A  2 sin A cos A  cos2 A cos2 A  sin2 A

sin A  cos A  sin A  cos A

=

sin A cos A   cos A  cos A  sin A cos A   cos A  cos A

=

 tan A  1 tan A  1

=

1  tan A 1  tan A

1  sin 2A cos 2A

=

×

1  cos A 1  cos A

1  tan A 1  tan A

.

12. Jawaban: a cos 2  =

x 1 2x



(cos 2 )2 =  

 x  1  2x 

1

x 1

1



cos2 2  = 2x



2x cos2 2  = x + 1



1

1

2x cos2 2  – x = 1 1

 (2 cos2 2  – 1) x = 1  x cos  = 1 

× 2 sin  cos = – 13

(sin2 A  cos2 A)  2 sin A cos A

=

Jadi, nilai

1

9. Jawaban: b sin a – cos a = 2p  (sin a – cos a)2 = (2p)2 2  sin a – 2 sin a cos a + cos2 a = 4p2  sin2 a + cos2 a – 2 sin a cos a = 4p2  1 – 2 sin a cos a = 4p2  1 – 4p2 = 2 sin a cos a  1 – 4p2 = sin 2a Jadi, nilai sin 2a = 1 – 4p2.

cos2 A  sin2 A

(sin A  cos A)(sin A  cos A) (sin A  cos A)(sin A  cos A)

2 1 3

1  2 sin A cos A

=

cos 2x  1 2

90°  2x  180°  45°  x  90° Oleh karena 45°  x  90° maka cos x positif.

sin  cos 

=

2x

cos 2x = 2 cos2 x – 1

cos x = ±

= =

maka cos 2x = – 3 cos 2x  1 2

169

= 2( 169 ) – 169

1

18

cos 2 = – 13

cos 4 = 2 cos2 2 – 1

= 2 2 2

 1–



2

=



1 – 2 sin2  = – 13

2

=



5



x=

1 cos 

2

x2 –

1 x2

=( = = = = =

1 )2 cos  1

cos2 

–

1

–

1 2 ( ) cos 

cos2



2)

1  cos2  cos2  cos2  2

2

2

cos2  2

2

2

2

cos  2

2

sin   sin  cos  cos2 

= tan2  + sin2  Jadi, x2 –

1 x2

= tan2  + sin 2 .

13. Jawaban: d sin2 2x – 2 sin x cos x – 2 = 0  (sin 2x)2 – sin 2x – 2 = 0  (sin 2x + 1)(sin 2x – 2) = 0  sin 2x = –1 atau sin 2x = 2 sin 2x = 2  tidak ada nilai x yang memenuhi sin 2x = –1  sin 2x = sin 270° 1)

2x = 270° + k × 360°  x = 135° + k × 180° k = 0  x = 135° k = 1  x = 315° 2) 2x = (180° – 270°) + k × 360°  2x = –90° + k × 360°  x = –45° + k × 180° k = 1  x = 135° Jadi, himpunan penyelesaiannya {135°, 315°}. 14. Jawaban: e 3 cos2 2x + 4 cos 2x – 4 = 0  (3 cos 2x – 2)(cos 2x + 2) = 0  3 cos 2x – 2 = 0 atau cos 2x + 2 = 0 2

 1)

cos 2x = 3



cos x =

5 6

1 6

6 6

×

30

Untuk cos 2x = –2: Tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x = –2. 1 6

30 .

15. Jawaban: c 2

sin   cos   cos   sin  cos  2

cos x =

Jadi, nilai cos x =

2

sin   cos   cos (1  sin ) 2



atau cos 2x = –2

3

tan 2a = – 4 2 tan a 1  tan2 a

    

3

=–4

8 tan a = –3 + 3 tan2 a 3 a – 8 tan a – 3 = 0 (3 tan a + 1) (tan a – 3) = 0 tan2

1

tan a = – 3 atau tan a = 3

Oleh karena tan a > 0 maka nilai yang memenuhi tan a = 3. 1

tan (a – b) = 2 

tan a  tan b 1  tan a tan b



3  tan b 1  3 tan b

1

= 2

1

= 2  6 – 2 tan b = 1 + 3 tan b  –5 tan b = –5  tan b = 1 Jadi, nilai tan2 a – tan2 b = 32 – 12 = 8. B. Uraian 1. a.

Diketahui sin  = –

1 2

dan  di kuadran IV.

Oleh karena  di kuadran IV maka tan  bernilai negatif dan cos  bernilai positif. 1 3

tan  = –

dan cos  =

2

1

 3

3 2

sin 2 = 2 sin  cos 

2

Untuk cos 2x = 3 :

1 2

= 2(– )(

2

cos 2x = 3 2

 2 cos2 x – 1 = 3

=–

5

=



cos2 x = 6

3 2

3 2 1 ) – (– )2 2 2 3 1 2 1 – 4 = 4 = 4 2

=(

2 cos2 x = 3

)

cos 2 = cos2 – sin2 

5



3 2

Matematika Kelas XI

19

tan 2 =

2 tan 

=

2

1  tan 

=

2( 1  (

sin 2 = 2 sin  cos 

1 ) 3 1 2 ) 3

4 5

2 3 1 1 3

= 25 cos 2 = cos2  – sin2  3 5

2 3 2 3

= (– )2 – 9

tan 2 =

=– 3 b.

1 5

Diketahui tan  = – dan  di kuadran II. 26

=

2. a.

Oleh karena  di kuadran II maka sin  bernilai positif dan cos  bernilai negatif. 1 26

dan cos  = –

2 tan  1  tan2  8 3

1

16 9

8

5

sin  =

=

1 26

=

10  26

)(

5 26

5 26

5 2 ) 26

25

1

24

12

–(

Jadi, nilai 2 – 4 sin2 112,5° = – 2 . b.

1 2 ) 26

2 tan 67,5 (1  tan 67,5)(1 tan 67,5)

=

2 tan 67,5 1  tan2 67,5

= tan (2 × 67,5°) = tan 135° = tan (90° + 45°) = –cotan 45° = –1

2 tan  1  tan2 

Jadi, nilai

1

=

2( 5 )

c.

1

1  ( 5 )2 2 5

1

1 25

2

=

24 25

25 24

=

Diketahui cos  =

3 – 5

= c.

5

2 –5

×

5  12

dan  di kuadran III.

Oleh karena  di kuadran III maka sin  bernilai negatif dan tan  bernilai positif. sin  = –

20

Trigonometri

4 5

24

=– 2

= 26 = 13

=

1

8 3 7 9

1

= 26 – 26

tan 2 =

4 3 4 ( )2 3

2( )

2 – 4 sin2 112,5° = 2(1 – 2 sin2 112,5°) = 2(cos (2 × 112,5°)) = 2(cos 225°) = 2(cos (180° + 45°)) = 2(–cos 45°)

)

cos 2 = cos2  – sin2  = (

=

= 2(– 2 2 )

5  13

=

7

9

sin 2 = 2 sin  cos  = 2(

3

= 3 × 7 =  7

1





4 (– )2 5

16

4

= 25 – 25 =  25

3 3

=–

5

24



=

3 5

= 2(– )(– )

4

dan tan  = 3

2 tan 67,5 (1  tan 67,5)(1 tan 67,5)

= –1.

10 sin 78,75° cos 78,75° = 5 × 2 sin 78,75° cos 78,75° = 5 sin (2 × 78,75°) = 5 sin 157,5° Oleh karena sin 157,5° bernilai positif, bentuk di atas dapat dinyatakan: = 5(

1  cos (2  157,5) 2

= 5(

1  cos 315 2

= 5(

1  cos (360  45) 2

=5

1  cos 45 2

)

) )

1

=5

1 2

C

2

2

5

2 2 4

=5

C

tan2 2 = (tan 2 )2 = 2 2 2

ba 2 ) ba

= (± 5

ba

Jadi, nilai 10 sin 78,75° cos 78,75° = 2 2  2 .

= b  a (terbukti)

3. Segitiga ABC siku-siku di B sehingga diperoleh: a

sin A = b

4.

A

a.

b

c

c sin C = b a cos C = b

B

a

1  sin 2 cos 2

C

sin 2A = 2 sin A cos A a

=

2ac b2

c

1  2 sin  cos  cos2   sin2 

=

cos2   2 sin  cos   sin2  cos 2   sin2 

=

(cos   sin )(cos   sin ) (cos   sin )(cos   sin )

=

cos   sin  cos   sin 

(terbukti)

=

cos  sin  cos  cos  sin  cos 

cos 2A = 2 cos2 A – 1 c 2( b )2

=

c.

sin

C 2

2

–1

=

2c b2

=

2c 2  b2 b2

–

b2 b2

=

(terbukti) =

1  cos C 2

=±

b.

a b

1

=±

b b



sin3   cos 3  sin   cos 

1

= 1 – 2 sin 2

sin3   cos 3  sin   cos 

C

=

(sin   cos )(sin2   sin  cos   cos 2 ) sin   cos 

= sin2  – sin  cos  + cos2 

ba 2 ) 2b

= (±

ba

= 2b

=±

Membuktikan

= Ruas kanan (terbukti)

=

C

C

1  tan  1  tan 

ba 2b

sin2 2 = (sin 2 )2

tan 2 = ±

1

sin  cos  sin  cos 

sin3   cos 3  sin   cos 

a b

2

=±

1

×

1 cos  1 cos 

Ruas kiri:

2

=±

d.

1  tan  1  tan 

=

=2× b × b

b.

=

Ruas kiri:

c

cos A = b

a.

1  sin 2 cos 2

Membuktikan

1

1

(terbukti)

1  cos C 1  cos C

1

1

= sin2  + cos2  – 2 × 2 × sin  cos 

a b a b

=±

ba b ba b

=±

ba ba

= 1 – 2 sin 2 = Ruas kanan(terbukti) c.

Membuktikan

1  2 2 1 tan 2 

1  tan2 1

= cos 

Ruas kiri: 1 1

1 tan2 2  2 1 tan 2 

1

= 1

1 x 2 2 1 cos x 2 1 sin2 x 2 1 cos2 x 2

sin2

Matematika Kelas XI

21

5.

1 2

1 2 21 cos x 2 1 1 cos2 x  sin2 x 2 2 21 cos x 2

cos2 x  sin2 x

=

1

= =

1

cos 2 2 x  sin2 2 x

1 cos 2 2 x

1

 sin2 2 x

cos x 1

= cos x = ruas kanan (terbukti)

22

Trigonometri

sin  = tan  (1 – cos )  sin  =

sin  cos 

 sin  =

sin   sin  cos  cos 

(1 – cos )

 sin  cos  = sin  – sin  cos   sin  cos  + sin  cos  = sin   sin  cos  + cos  sin  = sin   sin ( + ) = sin  Pada ABC berlaku  +  +  = 180° sehingga  +  = 180° – .  sin (180° – ) = sin   sin  = sin   =  Oleh karena  =  maka ABC mempunyai dua sudut sama besar sehingga ABC merupakan segitiga sama kaki.

A. Pilihan Ganda

2)

sin 2a – sin 4b

1. Jawaban: d sin x cos y =

= 2 cos 1 (sin 2

3)

1

cos x cos y = 2 (cos (x + y) + cos (x – y)) Pernyataan iii) dan v) salah. Jadi, pernyataan yang benar adalah iv). 2. Jawaban: c cos 75° cos 15° =

1 [cos 2

(75° + 15°) + cos (75° – 15°)]

=

1 (0 2

+

1 ) 2

=

1 4

3. Jawaban: a 6 sin 112,5° sin 22,5° = –3 × (–2 sin 112,5° sin 22,5°) = –3(cos 135° – cos 90°) = –3(cos (90 + 45°) – 0) = –3(–sin 45°) = –3(– 1 2 )

1 (2a 2

+ 4b) cos

– 4b)

1 (2a 2

– 4b)

= 2 cos (a + 2b) cos (a – 2b) Pernyataan pada pilihan d dan e salah. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan c. 6. Jawaban: d cos 75° – cos 165°

= 3 2

=

1 2

(75° + 165°) sin

1 2

(75° – 165°)

2

4. Jawaban: b 20 sin (x + 2y) sin (2y – x) = –10 × (–2 sin (x + 2y) sin (2y – x)) = –10 × [cos (x + 2y + 2y – x) – cos (x + 2y – 2y + x)] = –10(cos 4y – cos 2x) = –10(cos 4y – cos 2x) Jadi, bentuk 20 sin (x + 2y) sin (2y – x) setara dengan –10(cos 4y – cos 2x). 5. Jawaban: c 1) sin 2a + sin 4b 1 1 (2a + 4b) cos (2a – 4b) 2 2

1 2

1

3 × 2 2

6

Jadi, nilai dari cos 75° – cos 165° adalah

1 2

6.

7. Jawaban: a sin100  sin20 cos 250  cos190

=

1 1 2 2 1 1 2 cos (250  190)cos (250  190) 2 2

=

2 sin 60 cos 40 2 cos 220 cos 30

2

Jadi, 6 sin 112,5° sin 22,5° = 3 2 .

1 2

=2×

2

= 2 sin

1 (2a 2

= –2 sin 120° sin (–45°) = 2 sin 120° sin 45°

1 4

Jadi, nilai cos 75° cos 15° =

= 2 cos

= –2 sin

1

= 2 (cos 90° – cos 60°)

+ 4b) sin

= 2 cos (a + 2b) sin (a – 2b) Pernyataan pada pilihan c benar. cos 2a + cos 4b

(x + y) + sin (x – y))

Pernyataan i) dan ii) salah.

1 (2a 2

=

2 sin (100  20)cos (100  20)

2

1 2

3  cos 40

2 cos 220 

1 2

3

cos 40

= cos 220 =

cos 40 cos(180  40)

cos 40

=  cos 40 = –1 Jadi, nilai dari

sin 100  sin 20 cos 250  cos 190

= –1.

= 2 sin (a + 2b) cos (a – 2b) Pernyataan pada pilihan a dan b salah.

Matematika Kelas XI

23

8. Jawaban: e

=–

cos 145  cos 95 sin 145  sin 95

= =

=

1 1 (145  95) sin (145  95) 2 2 1 1 (145  95) sin (145  95) 2 2

2 sin 2 cos

= =

 sin (90  30) cos (90  30)

=

 cos 30  sin 30

=

Jadi, nilai

2 cos

=

3 cos 145  cos 95 sin 145  sin 95

1 ((45  a)°+ (45 2 1 ((45 + a)° + (45 2

2 cos a 2 cos a

Jadi, nilai

=

3.

+ a)) cos  a)) cos

a)°  (45  a)°) a)  (45  a)°)

cos (45  a)  cos (45  a) sin (45  a)  sin (45  a)

= 1.

3

=

60° – cos (–20° )) sin 80°

=

1 1 – ( 2 2

=

1 – 4

sin 80° +

Trigonometri

1 8

3.

 3 1 2

3)

0

= –2 3

12. Jawaban: c sin A  sin B cos A  cos B



1 2 2 1 6 2

=

    2 cos   cos   = sin   cos  = 2 sin

A B 2 A B 2

cos

2

A B 2 A B 2

A B 2 AB 2

A  B

tan  2  =

2 6

3

1 3 1 3

1

sin  2  = 2 A  B

3 2

cos  2  =

1

1 2 1 2

A B

cos (–20°) sin 80° 1 2

× ( (sin (–20° + 80°)

1 4

sin 60° –

1 4

sin (–100°)

A B

1

A B

1

A B

1

     2 sin  2  cos  2  = 2 2



  2 × 2 × cos  2  = 2 2



  cos  2  = 2 2

1

1

A B 2

sin A + sin B = 2 2

– cos (–20°)) sin 80°

sin 80° +

1 2

1 2

A  B

1 – (cos 2

sin 80° +

2  (



– sin (–20° – 80°))

24

3

2 sin 300 cos 300  cos 90



=1

(20° + 40°) – cos (20° – 40°)) sin 80°

1 4

1 8

1 8

3

Jadi, nilai tan 195° + tan 105° = –2 3 . 1 ((45  2 1 ((45 + 2

=

=–

1 8

=

=

1 – (cos 2

1 4

3

2 sin (195  105) cos (195  105)  cos (195  105)

=

10. Jawaban: e sin 20° sin 40° sin 80° = (sin 20° sin 40°) sin 80°

= –

(sin 80°– sin 100°) +

=

sin 45° cos a

1 2 1 2

1 8

11. Jawaban: e tan 195° + tan 105°

= cos 45 cos (  a) =

4

1 4

cos (45  a)° + cos (45 + a)° sin (45 + a)° + sin (45  a)°

2 sin

3 + 1 sin 100°

= – (2 × 0 × sin (–10)) +

9. Jawaban: d

=

1 2

Jadi, sin 20° sin 40° sin 80° =

=

1

2

1 – 4

×

1 4

1

2 3

1 4

sin 80° +

= – (2 cos 90° sin (–10°)) +

2 sin 120 sin 25 2 cos 120 sin 25  sin 120 cos 120

1 4

  

1

 

A B cos (A – B) = cos  2   2

– cos (x + 60° – (x – 60°)] = 4

A B

= 2 cos2  2  – 1



1

= 2( 2 2 )2 – 1

1

1

– 2 [cos 2x – cos 120°] = 4 1

cos 2x – (– 2 ) = 4 × (–2)



1

2

=2× 4 –1 =1–1=0 Jadi, nilai cos (A – B) = 0. 13. Jawaban: b sin 6° – sin 42° – sin 66° + sin 78° = sin 6° – sin 66° + sin 78° – sin 42° = sin 6° – sin 66° + sin 78° – sin 42° 1

1

= 2 cos 2 (6° + 66°) sin 2 (6° – 66°) 1

1

+ 2 cos 2 (78° + 42°) sin 2 (78° – 42°) = 2 cos 36° sin (–30°) + 2 cos 60° sin 18° 1

1

= 2 cos 36° × (– 2 ) + 2 × 2 sin 18° = –cos 36° + sin 18° 1

1

1

Oleh karena sin 18° = 4 ( 5 – 1) = 4 5 – 4 maka: cos 36° = 1 – 2 sin 18°

sin (x + 60°) sin (x – 60°) = 4 untuk 0°  x  360° adalah {90°, 270°}.

1

= 1 – 2 × 16 (5 – 2 5 + 1) =1–

(6 – 2 5 )

=1–

1 4

(3 – 5 )

1

15. Jawaban: a 2

1

1

1

1

1

1

1

=–2

2

1

14. Jawaban: c sin (x + 60°) sin (x – 60°) =

1

3

1

3 = 2

3 1



  sin x = sin   6     1

1

1

 x = – 6  + k × 2 atau x = ( – (– 6 ) + k × 2) 1

x = – 6  + k × 2 11

k = 1  x = – 6 + 1 × 2 = 6 

1

 – 2 [cos (x + 60° + (x – 60°))

–2 sin x × 2

1

sin (x + 60°) sin (x – 60°) = 4

1

sin x = – 2

1)

1 4

3



1

Jadi, nilai sin 6° – sin 42° – sin 66° + sin 78° = – 2 .

1

2

–2 sin x sin 3  = 2



=–4 – 4 5 + 4 5 – 4



2

2



= –( 4 + 4 5 ) + 4 5 – 4 1

2

3

sin 2 (x + 3  – x + 3 ) = 2

sin 6° – sin 42° – sin 66° + sin 78° = –cos 36° + sin 18°

1

1

 –2 sin 2 (x + 3  + x – 3 )

1

1

2

cos (x + 3 ) – cos (x – 3 ) = 2

= 4 + 4 5

1

1

cos 2x + 2 = – 2  cos 2x = –1  cos 2x = cos 180°  2x = ±180° + k × 360°  x = ±90° + k × 180°  x = 90° + k × 180° atau x = –90° + k × 180° Untuk x = 90° + k × 180°: k = 0  x = 90° + 0 × 180° = 90° k = 1  x = 90° + 1 × 180° = 270° k = 2  x = 90° + 2 × 180° = 450° Untuk x = –90° + k × 180° k = 0  x = –90° + 0 × 180° = –90° k = 1  x = –90° + 1 × 180° = 90° k = 2  x = –90° + 2 × 180° = 270° k = 3  x = –90° + 3 × 180° = 450° Oleh karena nilai x dibatasi untuk 0°  x  360° maka nilai x yang memenuhi adalah 90° dan 270°. Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan 1

1

= 1 – 2( 4 ( 5 – 1))2

1 8

1



2)

1

x = ( – (– 6 )) + k × 2 7

 x = 6  + k × 2 Matematika Kelas XI

25

7

1

7

7

11

=–

Jadi, nilai x yang memenuhi 6 dan 6  .

3 2

=– .

2 cos 127,5° cos 97,5° 1

= 2 × 2 [cos (127,5° + 97,5°) + cos (127,5° – 97,5°)] = cos 225° + cos 30° = cos (180 + 45)° + cos 30° = –cos 45° + cos 30° 1

b.

1

1

1

Jadi, nilai 2 cos 127,5° cos 97,5° = – 2 2 +

b.

3. 3. a.

–12 cos 82,5° sin 37,5° 1

= –12 × 2 [sin (82,5° + 37,5°) – sin (82,5° – 37,5°)] = –6(sin 120° – sin 45°) 1

1

1

= –3 3 + 3 2 b.

3 2. c.

cos  + cos 2 + cos 3 = cos 2 + cos  + cos 3

4 sin 20° sin 40° sin 80° = 2 (2 sin 20° sin 40°) sin 80° = 2 (cos 20° – cos 60°) sin 80° = 2 cos 20° sin 80° – 2 cos 60° sin 80° = 2 sin 80° cos 20° – 2 cos 60° sin 80°

sin 3  sin 5  sin 7  sin 9 cos 3  cos 5  cos 7  cos 9

=

sin 5  sin 7  sin 9  sin 3 cos 5  cos 7  cos 9  cos 3

=

2 sin 6 cos ()  2 sin 6 cos 3 2 cos 6 cos ()  2 cos 6 cos 3

=

2 sin 6 [cos ()  cos 3] 2 cos 6 [cos ()  cos 3]

=

sin 6 cos 6

1

= (sin 100° + sin 60°) – 2 × 2 sin 80° = sin (180° – 80°) + sin 60° – sin 80°

= tan 6 (terbukti) Jadi, dapat dibuktikan

1

= sin 80° + 2 3 – sin 80° 1

sin 3  sin 5  sin 7  sin 9 cos 3  cos 5  cos 7  cos 9

= 2 3 Jadi, nilai 4 sin 20° sin 40° sin 80° = 2. a.

3.

(cos 165° + cos 465°)(sin 15° + sin 105°) = (2 cos 315° cos (–150°))(2 sin 60° cos (–45°)) = 2 × 2 cos 315° cos 150° sin 60° cos 45° = 4 × cos (270° + 45°) cos (90° + 60°) sin 60° cos 45° = 4 sin 45°(–sin 60°) sin 60° sin 45° =4×

26

1 2

1 2

Trigonometri

2 × (– 1 3 ) × 1 3 × 1 2 2

2

2

1

= cos 2 + 2 cos 2 ( + 3) cos 2 ( – 3) = cos 2 + 2 cos 2 cos (–) = cos 2 + 2 cos 2 cos  = cos 2 (1 + 2 cos ) (terbukti) Jadi, dapat dibuktikan cos  + cos 2 + cos 3 = cos 2 (1 + 2 cos ).

= –6( 2 3 – 2 2 ) Jadi, nilai –12 cos 82,5° sin 37,5° = – 3 3 +

cos 20° – cos 80° – cos 40° = (cos 20° – cos 80°) – cos 40° = (–2 sin 50° sin (–30°)) – cos 40° = 2 sin 50° sin 30° – cos 40° = 2 sin 50° × 2 – cos 40° = sin 50° – cos 40° = sin (90° – 40°) – cos 40° = cos 40° – cos 40° =0 Jadi, cos 20° – cos 80° – cos 40° = 0.

=–2 2 + 2 3 1 2

3 2

Jadi, (cos 165° + cos 465°)(sin 15° + sin 105°)

B. Uraian. 1. a.

1

=–2 3 × 2 3

k = 0  x = 6  + 0 × 2 = 6 

4. a.

= tan 6.

cos5  = cos  cos  cos3  1

= 2 (cos 2 + cos 0) cos 3  1

= 2 (cos 2 + 1) cos 3  1

= 2 (cos 2 cos  + cos ) cos 2  1 1

= 2 ( 2 (cos 3 + cos ) + cos ) cos 2 

1 1

3

1 8

= 2 ( 2 cos 3 + 2 cos ) cos 2  1

= 4 (cos 3 + 3 cos ) cos 2 

+3

1

= 4 (cos 3cos  + 3 cos cos ) cos 

=–

1 1

1

+ 3 × 2 (cos 2+ cos 0)) cos 

=–

1

= 8(cos 4 + cos 2 + 3 cos 2 + 3) cos  = =

= 5. 1)

+ 3 cos ) 1 1

1

1

2)

5

= 8 ( 2 cos 5 + 2 cos 3 + 5 cos ) 1

= 16 (cos 5 + cos 3 + 4 cos 3 + 4 cos  + 6 cos ) 1

1

b.

5 + sin 3 + sin 3 – sin 

1 (–sin 16

5 + 5 sin 3 – 10 sin )

sin  – 5 sin 3 + sin 5) (terbukti)

BC 2

BC 2

sin5  = sin  sin  sin3 

 2 sin ( 2

1 2 1 2

= – (cos 2 – 1) sin3  1 2

= – (cos 2 sin  – sin ) sin2  1 1

= = =

BC

= =

4 + cos 2 + 3 cos 2 – 3) sin  4 sin  + cos 2 sin 

+ 3 cos 2 sin  – 2 sin )

BC

) BC

) cos ( 2 BC

 cos ( 2

) = 2 cos ( 2

B

C

)

)

B

C

 cos 2 cos 2 + sin 2 sin 2 B

C

B

C

= 2 (cos 2 cos 2 – sin 2 sin 2 ) B

C

B

C

 sin 2 sin 2 + 2 sin 2 sin 2 B

C

B

C

= 2 cos 2 cos 2 – cos 2 cos 2 B

C

B

C

 3 sin 2 sin 2 = cos 2 cos 2

(cos 2 – cos 0)) sin  1 – (–cos 8 1 – (–cos 8

BC

) cos ( 2 BC

sin ) sin2 

1 – (sin 3 – 3 sin ) sin2  4 1 – (sin 3 sin  – 3 sin  sin ) sin  4 1 1 1 – (– (cos 4 – cos 2) – 3 × (– ) 4 2 2

BC

= 2 × 2 sin ( 2

= – ( 2 (sin 3 – sin ) – sin ) sin2  2 3 2

BC

2 sin ( 2 ) cos ( 2 ) = 2 sin 2( 2 ) BC

= – (cos 2 – cos 0) sin3 

sin 3 –

A

= 90° – ( 2 + C)

sin B + sin C = 2 sin A  sin B + sin C = 2 sin (180° – (B + C))  sin B + sin C = 2 sin (B + C) 

=

A

= 90° – 2

A + B + C = 180°  B + C – 2C = 180° – A – 2C  B – C = 180° – (A + 2C)

= 16 (10 cos  + 5 cos 3 + cos 5) (terbukti)

1 1 – (2 2

3 – sin ) – 3 sin )

Jumlah besar sudut segitiga = 180° A + B + C = 180°  B + C = 180° – A

 3)

= 16 (cos 5 + 5 cos 3 + 10 cos )

1 (–sin 16

1 (10 16



1

= 8( 2 cos 5 + 2 cos 3 + 2 cos 3 + 2 cos  + 3 cos )

1 2

+ 3 sin 3 – 3 sin  – 6 sin )

= 4 ( 2 (cos 4+ cos 2)

1 (cos 4 cos  + 4 cos 2 cos + 3 cos  8 1 1 1 ( (cos 5 + cos 3) + 4 × 2 (cos 3 + cos ) 8 2

1 2 1 × (sin 2

= – (– (sin 5 – sin 3) + (sin 3 – sin )

 

sin cos

B 2 B 2

C 2 C cos 2

sin

B

C

1

= 3 1

tan 2 tan 2 = 3 B

C

1

Jadi, nilai tan 2 tan 2 adalah 3 . Matematika Kelas XI

27

A. Pilihan Ganda



1. Jawaban: d sin x +

1 2



sin x = –

3 =0 1 2

3

 sin x = sin 240°  x = 240° + k × 360° atau x = (180 – 240°) + k × 360°  x = 240° + k × 360° atau x = –60° + k × 360° 1) Untuk x = 240° + k × 360°: k = 0  x = 240° + 0 × 360° = 240° k = 1  x = 240° + 1 × 360° = 600° 2) Untuk x = –60° + k × 360°: k = 0  x = –60° + 0 × 360° = –60° k = 1  x = –60° + 1 × 360° = 300° Oleh karena x dibatasi untuk 0°  x  360° maka x yang memenuhi adalah x = 240°, 300° Jadi, penyelesaian persamaan adalah x = 240°, 300°. 2. Jawaban: 2 cos (2x – 60°) = – 3  cos (2x – 60°) = –

1 2

3

 cos (2x – 60°) = cos 150°  2x – 60° = ±150° + k × 360°  2x – 60° = 150° + k × 360° atau 2x – 60° = –150° + k × 360° 1) Untuk 2x – 60° = 150° + k × 360°:  2x = 210° + k × 360°  x = 105° + k × 180° k = 0  x = 105° + 0 × 180° = 105° k = 1  x = 105° + 1 × 180° = 285° 2) 2x – 60° = –150° + k × 360°  2x = –90° + k × 360°  x = –45° + k × 180° k = 0  x = –45° + 0 × 180° = –45° k = 1  x = –45° + 1 × 180° = 135° Oleh karena nilai x dibatasi untuk 0°  x  180° maka nilai x yang memenuhi adalah x = 45°, 105°. Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos (2x – 60°) = – 3 untuk 0°  x  180° untuk adalah x = 45°, 105°. 3. Jawaban: d 3 cotan 3x – 

28

3 =0

3 cotan 3x =

Trigonometri

3

3 3

cotan 3x =

 tan (

 2

– 3x) =

 tan (

 2

– 3x) = tan

3  6

– 3x =

 6

+k×



–3x =

 6

–



–3x = –



x=



 2

1 3

 9

 3

 2

+k×

+k× –k×

 3

k=0x=

 9

–0×

 3

=

 9

k=1x=

 9

–1×

 3

=–

2 9

k = –1  x =

 9

– (–1) ×

 3

=

4 9

k = –2  x =

 9

– (–2) ×

 3

=

7 9

Oleh karena nilai x dibatasi untuk 0  x  nilai x yang memenuhi adalah x =

 9

 2

maka

dan x =

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 3x – = 0 untuk 0°  x 

 2

 9

adalah { ,

4 9

4 9

.

3

}.

4. Jawaban: d cos 2x + sin 3x = 0  sin 3x = –cos 2x  sin 3x = sin (90° + 2x)  3x = 90° + 2x + k × 360° atau 3x = 180° – (90° + 2x) + k × 360°  x = 90° + k × 360° atau 3x = 90° – 2x + k × 360°  x = 90° + k × 360° atau 5x = 90° + k × 360°  x = 90° + k × 360° atau x = 18° + k × 72° Untuk x = 90° + k × 360°: k = 0  x = 90° + 0 × 360° = 90° k = 1  x = 90° + 1 × 360° = 450° Untuk x = 18° + k × 72°: k = 0  x = 18° + 0 × 72° = 18° k = 1  x = 18° + 1 × 72° = 90° k = 2  x = 18° + 2 × 72° = 162° k = 3  x = 18° + 3 × 72° = 234° k = 4  x = 18° + 4 × 72° = 306° k = 5  x = 18° + 5 × 72° = 378°

Oleh karena nilai x dibatasi untuk 0°  x  360° maka nilai x yang memenuhi adalah x = 18°, 90°, 162°, 234°, 306°. Jadi, himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + sin 3x = 0 untuk 0°  x  360° adalah {18°, 90°, 162°, 234°, 306°}. 5. Jawaban: a 2 sin2 x + 3 cos x = 0  2(1 – cos2 x) + 3 cos x = 0  2 – 2 cos2 3x + 3 cos x = 0  2 cos2 x – 3 cos x – 2 = 0  (2 cos x + 1)(cos x – 2) = 0  2 cos x + 1 = 0 atau cos x – 2 = 0  1)

Untuk

1 cos x = – 2 1 cos x = – : 2

cos x =

atau cosx = 2

2 ×

1

3 –

3  2 3 1 3 1

=

42 3 2

=2–

3

8. Jawaban: c 5

1

5

1

8 (sin 12  sin 12  + cos 12  cos 12 ) 5

1

5

1

= 8 (cos 12  cos 12  + sin 12  sin 12 ) 5

1

= 8 (cos ( 12  – 12 ))

1

6. Jawaban: c cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30° =

=

4

cos x = cos 120° x = ±120° + k × 360° x = 120° + k × 360° atau x = –120° + k × 360° Untuk x = 120° + k × 360°: k = 0  x = 120° + 0 × 360° = 120° k = 1  x = 120° + 1 × 360° = 480° Untuk x = –120° + k × 360°: k = 0  x = –120° + 0 × 360° = –120° k = 1  x = –120° + 1 × 360° = 240° k = 2  x = –120° + 2 × 360° = 600° 2) Untuk cos x = 2: Tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan cos x = 2. 3) Oleh karena nilai x dibatasi 0°  x  360° maka nilai x yang memenuhi adalah x = 120°, 240° Jadi, nilai x yang memenuhi 2 sin2 x + 3 cos x = 0 adalah {120°, 240°}.

1 2

3 1 3 1

×

= 8 (cos ( 12 ))

1 – 2

  

1 2

3 1 3 1

=

1 2

2 ×

= 8 (cos ( 3 )) 1

=8× 2 =4 5

4

= =

3 1 1 3  1

1

7

sin A = 5

sin B = 25 25

5

A

B

4

7

24

3

3

A sudut lancip (kuadran I) maka cos A = 5 .

24

B sudut tumpul (kuadran II) maka cos B = – 25 . cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B 3

24

4

7

= 5 × (– 25 ) – 5 × 25 72

28

= – 125 – 125

1 2

100

= – 125

1

tan 60  tan 45 1  tan 60  tan 45

5

9. Jawaban: b

= 4 6 – 4 2 7. Jawaban: c tan 15° = tan (60° – 45°)

1

Jadi, nilai 8 (sin 12  sin 12  + cos 12  cos 12 ) = 4.

100

Jadi, nilai cos (A + B) = – 125 . 10. Jawaban: e 

–= 3  



cos ( – ) = cos 3 1

cos  cos  + sin  sin  = 2

Matematika Kelas XI

29

1



14. Jawaban: b

1

cos  cos  + 4 = 2



cos  cos  =

3

sin  + cos  = 4

1 4

1

1

= 4 – 4 =0 Jadi, nilai cos ( + ) = 0.

1 5

 

– cos  sin  = –cos  sin  =

9



sin2  + 2 sin  cos + cos2  = 16



1 + 2 sin  cos  = 16

9

7

2 sin  cos  = – 16

3



sin 2 = – 16

3 5 3 5 2 5

Jadi, nilai sin 2 = – 16 .

sin ( – ) = 5 sin  cos  – cos  sin  =

(sin  + cos )2 = ( 4 )2



11. Jawaban: c



3



cos ( + ) = cos  cos  – sin  sin 

7

7

15. Jawaban: d cos 2 = 2 cos2  – 1 

cos  = ±

2



cos  sin  = – 5

Oleh karena 157,5° berada di kuadran II maka cos 157,5° bertanda negatif.

sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin  1

2

= 5 – 5 1 1 –5

.

1

=

sin 284° = sin (270° + 14°) = –cos 14° = –cos (2 × 7°) = –(cos2 7° – sin2 7°) = –(( 1  p2 )2 – p2) = –(1 – p2 – p2) = –(1 – 2p2) = 2p2 – 1 Jadi, nilai sin 284° = 2p2 – 1.

2 2 1

Jadi, nilai cos 157,5° = – 2

2 2 .

16. Jawaban: e sin  = p=

1 p 1

2 2 4

=–2

13. Jawaban: e Diketahui sin 7° = p. 2

2 1 2

=–

12. Jawaban: c sin2 62° – cos2 62° = –(cos2 62° – sin2 62°) = –(cos (2 × 62°)) = –(cos 124°) = –(–0,6) = 0,6 Jadi, nilai sin2 62° – cos2 62° adalah 0,6.

Trigonometri

1 2

=–

Jadi, nilai sin ( + ) =

30

cos 315  1 2

 cos 157,5° = –

=–5

Diperoleh cos 7° =

cos 2  1 2

1  p2

p

5 3

5 =

sehingga:

32  ( 5)2

=

95

=

4 =2

cos  = 1

1 3

3



2 3

1 p

2

p

1

 adalah sudut lancip sehingga 2  juga berupa 1

3°

5

sudut lancip. Akibatnya, cos 2  pasti berupa bilangan positif. 1

cos 2  = + =

1  cos  2

1 2

2 3

Substitusikan nilai tan B = 3.

5 3

= =

5 6

=

5 6

=

2 tan A + tan B = 4  2 tan A + 3 = 4  2 tan A = 1

2

1 6

×

tan 2A =

30 1

1

17. Jawaban: d 2 cos2  = 1 + 2 sin 2  2 cos2  – 1 = 2 sin 2  cos 2 = 2 sin 2 1 2



=

tan 2 =

2 tan A 1  tan2 A

sin 2 cos 2 1 2

2 2

1  1 

sin 2 =

dan cos 2 =

=

2

2 2 1 2

=

=

5

1

1 3 4

4

= 3

1 2

1 1 4

tan 2A  tan B

tan (2A + B) = 1  tan 2A tan B =

2 . 5

=

Oleh karena 2sudut lancip maka juga sudut lancip sehingga tan  bernilai positif. tan  = + =

1  cos 2 1  cos 2

= =

13 3

3

13

=– 9

1

Ingat identitas cos p – cos q = –2 sin 2 (p + q)

5

1

sin 2 (p – q) 6 sin 112,5° sin 22,5° = –3(cos 135° – cos 90°) = –3(cos (90 + 45°) – 0) = –3(–sin 45°)

5 5 2 5

=

4

1 3  3

19. Jawaban: a

5 2

=

+3

13

5 2

1

4 3

Jadi, nilai tan (2A + B) = – 9 .

2

1

2

 2

Oleh karena 2 sudut lancip maka diperoleh 1 5

tan A = 2

1

=

30 . Jadi, nilai cos 2  = 6



1



6 6

5 2 5 2  5 2 5 2

( 5  2)2 54

= –3(– 1 2 ) 2

( 5  2)2 =

5 –2

5 – 2.

Jadi, nilai tan  =

18. Jawaban: a Eliminasi tan A dari kedua persamaan: 2 tan A + tan B = 4 × 1 2 tan A + tan B = 4 17

tan A – 3 tan B = – 2

× 2 2 tan A – 6 tan B = –17 ––––––––––––––––– – 7 tan B = 21  tan B = 3

=

3 2

2

Jadi, nilai 6 sin 112,5° sin 22,5° = 3 2 . 2

20. Jawaban: d sin 105  sin 15 cos 105  cos 15

=

1 1 2 2 1 1 2 sin (105  15)sin (105  15) 2 2

=

2 cos 60 sin 45 2 sin 60 sin 45

=

cos 60  sin 60

=

1 2 1  2

2 cos (105  15)sin (105  15)

3

Matematika Kelas XI

31

=

1  3

24. Jawaban: c Diketahui  +  = 90° maka sin  = sin (90° – ) = cos  dan cos  = cos (90° – ) = sin .

3 3

×

=–1 3 3

Jadi, nilai dari

sin 105  sin 15 cos 105  cos 15

cos 2  cos 2 sin 2

adalah – 1 3 . 3

=

21. Jawaban: e cos 195° – sin 15° = cos (270° – 75°) – sin 15° = –sin 75° – sin 15° = –(sin 75° + sin 15°) = –(2 sin 45° cos 30°) = –2 ×

1 2

2 +

1 2

3

2

Jadi, nilai cos 195° – sin 150° = – 1 6 . 2

22. Jawaban: a

3

4

Jadi,

 sin  cos  sin  cos 

=

 cos  cos 

+

sin  sin 

=

 sin  cos 

+

sin  cos 

cos 2  cos 2 sin 2

cos  sin  sin  cos 

= tan  – tan .

cos 3x  sin 6x  cos 9x sin 9x  cos 6x  sin 3x

6

=

2 sin 6x sin (3x)  sin 6x 2 cos 6x sin 3x  cos 6x

=

2 sin 6x sin 3x  sin 6x 2 cos 6x sin 3x  cos 6x

=

sin 6x (2 sin 3x  1) cos 6x (2 sin 3x  1)

=

sin 6x cos 6x

23. Jawaban: b Pada segitiga ABC berlaku A + B + C = 180°  C = 180° – (A + B)  sin (180° – (A + B)) =

5 6



5

sin (A + B) = 6

sin (A – B) = sin 30° = 1

sin A cos B = 2 (sin (A + B) + sin (A – B)) 1 5

1

= 2(6 + 2) ×

= tan 6x Jadi,

cos 3x  sin 6x  cos 9x sin 9x  cos 6x  sin 3x

= tan 6x.

26. Jawaban: d 



2 cos (x + 4 ) = cos (x – 4 )

1 2

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)

1 2

+

25. Jawaban: b

42

8 6 2

=

Jadi, nilai sin A cos B = 3 .

Trigonometri

=

27

Jadi, nilai cos 3x + cos x = – 125 .

32

1(sin  cos   cos  sin ) sin  cos 

cos 3x  cos 9x  sin 6x sin 9x  sin 3x  cos 6x

42

=

=

=

= – 125



sin 90 sin (  ) sin  cos 

3

= 4( 125 ) – ( 5 )

2 3

(2  2)

2 sin  cos 

2 sin (  ) sin (  ) 2 sin  cos 

3

= 4( 5 )3 – 2( 5 )

sin C =

1 2

= – tan  + tan  = tan  – tan 

4 . 3

Oleh karena x lancip maka cos x = 5 dan sin x = 5 . cos 3x + cos x = 2 cos 2x cos x = 2(2 cos2 x – 1) cos x = 4 cos3 x – 2 cos x

5 6

1 2

2 sin (2  2) sin

=–

=–1 6

Diketahui tan x =

=









 2(cos x cos 4 – sin x sin 4 ) = cos x cos 4 + sin x sin 4 



 2 cos x cos 4 – 2 sin x sin 4 



= cos x cos 4 + sin x sin 4





 2 cos x cos 4 – cos x cos 4 









= sin x sin 4 + 2 sin x sin 4 

1 2



2 = 3 sin x × 1 2

3 sin x = cos x



sin x cos x



tan x =

Jadi, nilai tan x =

b)

1 . 3

cos 4x + 3 sin 2x = –1  (1 – 2 sin2 2x) + 3 sin 2x = –1  2 sin2 2x – 3 sin 2x – 2 = 0  (2 sin 2x + 1)(sin 2x – 2) = 0  2 sin 2x + 1 = 0 atau sin 2x – 2 = 0 1

sin 2x = – 2 atau

sin 2x = 2

1 –2

1)

Untuk sin 2x =  sin 2x = sin 210°  2x = 210° + k × 360° atau 2x = (180° – 210°) + k × 360° a) 2x = 210° + k × 360°  x = 105° + k × 180° k = 0  x = 105° + 0 × 180° = 105° k = 1  x = 105° + 1 × 180° = 285° b) 2x = (180° – 210°) + k × 360°  2x = –30° + k × 360°  x = –15° + k × 180° k = 0  x = –15° + 0 × 180° = –15° k = 1  x = –15° + 1 × 180° = 165° 2) Untuk sin 2x = 2 Tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan sin 2x = 2. Oleh karena 0°  x  180°, nilai x yang memenuhi adalah x = 105°, 165°. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {105°, 165°}. 28. Jawaban: a cos 2x – 2 cos x = –1 2 cos2 x – 1 – 2 cos x = –1 2 cos2 x – 2 cos x = 0 2 cos x (cos x – 1) = 0 2 cos x = 0 atau cos x – 1 = 0 Untuk 2 cos x = 0: 2 cos x = 0  cos x = 0  cos x = cos 

x=±

 2

 2

 2

+ k × 2

 2  2

+ 0 × 2 = + 1 × 2 =

 2 5 2

 

+ k × 2  2  – 2

1 2

k=0x=–

+ 0 × 2 = – 

k=1x=

+ 1 × 2 =

2)

27. Jawaban: b



x=–

+ k × 2

+ k × 2:

k=1x=

2

1 3 1 3

=

 2

x=

 2

+ k × 2 atau x = –

k=0x=

cos x cos 4 = 3 sin x sin 4

 cos x ×

    1)

a)

 2

x=

3 2



Untuk cos x – 1 = 0: cos x – 1 = 0  cos x = 1  cos x = cos 0  x = ± 0 + k × 2 k = 0  x = 0 + 0 × 2 = 0 k = 1  x = 0 + 1 × 2 = 2 Oleh karena 0  x  2 maka nilai x yang 1 2

memenuhi adalah x = 0,

,

3 2

, 2.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {0,

1 2

,

3 2

, 2}.

29. Jawaban: a 3 cos 2x + 5 sin x + 1 = 0  3(1 – 2 sin2 x) + 5 sin x + 1 = 0  3 – 6 sin2 x + 5 sin x + 1 = 0  –6 sin2 x + 5 sin x + 4 = 0  (–3 sin x + 4)(2 sin x + 1) = 0 4

 1)

1

sin x = – 3 atau sin x = – 2 4 3

Untuk sin x = – : Tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan 4

sin x = – 3 . 2)

1

Untuk sin x = – 2 : sin x = –  

1 2 1

sin x = sin ( – 6 ) 1

x = – 6  + k × 2 atau 1 6

x = ( – (– ) + k × 2 a)

1 6

x = –  + k × 2 1 6

1 6

1 6

11  6

k = 0  x = –  + 0 × 2 = –  k = 1  x = –  + 1 × 2 =

Matematika Kelas XI

33

1



x = ( – (– 6 ) + k × 2

b)

7

 x = 6  + k × 2 7

7

7

19

k = 1  x = 6  + 1 × 2 = 6  Oleh karena 0  x  2 maka x yang memenuhi 7 11 , 6 . 6

Jadi, himpunan penyelesaiannya

7 11 { 6 , 6 }.

30. Jawaban: d cos 4x + cos 2x = 0  2 cos 3x cos x = 0  cos 3x = 0 atau cos x = 0 a. Untuk cos 3x = 0:



1)

3x =

1

7 6

1. a.

 2



2

1



2

5



2

3

k=2x= 6 +2× 3= 2 

3x = – 2 + k × 2 2

 x=–6 +k× 3 

2



2

3



2

7



2

11

1

k=0x=–6 +0× 3=–6 k=1x=–6 +1× 3= 6 k=2x=–6 +2× 3= 6 k=3x=–6 +3× 3= 6  Untuk cos x = 0 

cos x = 0  cos x = cos 2

1)

x=±

+ k × 2



1

k = 0  x = 2 + 0 × 2 = 2 

34

Trigonometri

3

5

11

2 2 sin (3x – 60°) – 1 = 1 2 2 sin (3x – 60°) = 2 2 2 2



sin (3x – 60°) =



sin (3x – 60°) = 1 2

b.

x = 2 + k × 2 

1

×

2 2

2

 sin (3x – 60°) = sin 45°  3x – 60° = 45° + k × 360° atau 3x – 60° = (180 – 45)° + k × 360°  3x = 105° + k × 360° atau 3x = 65° + k × 360°  x = 35° + k × 120° atau x = 65° + k × 120° Untuk x = 35° + k × 120°: k = 0  x = 35° + 0 × 120° = 35° k = 1  x = 35° + 1 × 120° = 155° k = 2  x = 35° + 2 × 120° = 275° k = 3  x = 35° + 3 × 120° = 395° Untuk x = 65° + k × 120°: k = 0  x = 65° + 0 × 120° = 65° k = 1  x = 65° + 1 × 120° = 185° k = 2  x = 65° + 2 × 120° = 305° k = 3  x = 65° + 3 × 120° = 425° Oleh karena nilai x dibatasi untuk 0°  x  360° maka nilai x yang memenuhi adalah x = 35°, 65°, 155°, 185°, 275°, 305°. Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 2 2 sin (3x – 60°) – 1 = 1 adalah {35°, 65°, 155°, 185°, 275°, 305°}.

k=1x= 6 +1× 3= 6



9

+ k × 2

2

 2

9

, 6 , 6 }.



k=0x= 6 +0× 3 = 6

b.

7

Jadi, himpunan penyelesaiannya { 6 , 6 , 6 ,

+ k × 2



5

11 . 6

 x= 6 +k× 3

2)

3

B. Uraian

3x = ±



3

nilai x yang memenuhi x = 6 , 6 , 6 , 6 , 6 ,



 2

x = – 2 + k × 2

k = 1  x = – 2 + k × 2 = 2  Oleh karena nilai x dibatasi untuk 0  x  2 maka

cos 3x = 0  cos 3x = cos 2 



2)

k = 0  x = 6  + 0 × 2 = 6 

x=

5

k = 1  x = 2 + 1 × 2 = 2 

3 tan (2x + 50°) + 1 = 0 

3 tan (2x + 50°) = –1



tan (2x + 50°) = –



tan (2x + 50°) = – 1 3



tan (2x + 50°) = tan 150°

1 3

×

3

3 3

 2x + 50° = 150° + k × 180°  2x = 100° + k × 180°  x = 50° + k × 90° k = 0  x = 50° + 0 × 90° = 50° k = 1  x = 50° + 1 × 90° = 140° k = 2  x = 50° + 2 × 90° = 230° k = 3  x = 50° + 3 × 90° = 320° k = 4  x = 50° + 4 × 90° = 410° Oleh karena nilai x dibatasi untuk 0°  x  360° maka nilai x yang memenuhi adalah x = 50°, 140°, 230°, 320°. Jadi, himpunan penyelesaian persamaan



sin 36° cos 3x + cos 36° sin 3x = – 1 3 2

 sin (36° + 3x) =

–1 2

4

3 c.

x = 0°, 60°, 180°, 270°, 360°. sin 4x + sin 2x = 0  1 – 2 sin2 2x + sin 2x = 0  –2 sin2 2x + sin 2x + 1 = 0  2 sin2 2x – sin 2x – 1 = 0  (2 sin 2x + 1)(sin 2x – 1) = 0  2 sin 2x + 1 = 0 atau sin 2x – 1 = 0  1)

2

x = 68°, 88°, 188°, 208°, 308°, 328°. 2)

cos (2x + 60°) cos (2x – 60°) = 1 4

1 2

[cos (2x + 60° + (2x – 60°))

+ cos 2x + 60° – (2x – 60°))] = 1 × 1 2

 cos (2x + 60° + (2x – 60°)) + cos (2x + 60° – (2x – 60°))] = 1  cos 4x + cos 120° = 1 2

2

2

sin 2x = – 1 atau sin 2x = 1 2

Untuk sin 2x = – 1 : 2

sin 2x =

36° cos 3x + cos 36° sin 3x = – 1 3 adalah



2

cos (2x + 60°) cos (2x – 60°) = 1 adalah

 sin (36° + 3x) = sin 240°  36° + 3x = 240° + k × 360° atau 36° + 3x = (180° – 240°) + k × 360°  3x = 204° + k × 360° atau 3x = –96° + k × 360°  x = 68° + k × 120° atau x = –32° + k × 120° Untuk x = 68° + k × 120°: k = 0  x = 68° + 0 × 120° = 68° k = 1  x = 68° + 1 × 120° = 188° k = 2  x = 68° + 2 × 120° = 308° k = 3  x = 68° + 3 × 120° = 428° Untuk x = –32° + k × 120°: k = 0  x = –32° + 0 × 120° = –32° k = 1  x = –32° + 1 × 120° = 88° k = 2  x = –32° + 2 × 120° = 208° k = 3  x = –32° + 3 × 120° = 328° k = 4  x = –32° + 4 × 120° = 448° Oleh karena nilai x dibatasi untuk 0°  x  360° maka nilai x yang memenuhi adalah x = 68°, 88°, 188°, 208°, 308°, 328°. Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan sin

b.

2

 cos 4x = 1  cos 4x = cos 0  4x = ±0 + k × 360°  x = k × 90° k = 0  x = 0 × 90° = 0° k = 1  x = 1 × 90° = 90° k = 2  x = 2 × 90° = 180° k = 3  x = 3 × 90° = 270° k = 4  x = 4 × 90° = 360° k = 5  x = 5 × 90° = 450° Oleh karena nilai x dibatasi untuk 0°  x  360° maka nilai x yang memenuhi adalah x = 0°, 60°, 180°, 270°, 360°. Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan

3 tan (2x + 50°) + 1 = 0 adalah {50°, 140°, 230°, 320°}. 2. a.

cos 4x + 1 = 1

–1 2

 sin 2x = sin 210°  2x = 210° + k × 360° atau 2x = (180° – 210°) + k × 360°  x = 115° + k × 180° atau x = –15° + k × 180° a) Untuk x = 115° + k × 180°: k = 0  x = 115° + 0 × 180° = 115° k = 1  x = 115° + 1 × 180° = 295° k = 2  x = 115° + 2 × 180° = 475° b) Untuk x = –15° + k × 180°: k = 0  x = –15° + 0 × 180° = –15° k = 1  x = –15° + 1 × 180° = 165° k = 2  x = –15° + 2 × 180° = 345° k = 3  x = –15° + 3 × 180° = 525° Untuk sin 2x = 1: sin 2x = 1  sin 2x = 1  sin 2x = sin 90°  2x = 90° + k × 360° atau 2x = (180° – 90°) + k × 360°  2x = 90° + k × 360°  x = 45° + k × 180° k = 0  x = 45° + 0 × 180° = 45° k = 1  x = 45° + 1 × 180° = 225° k = 2  x = 45° + 2 × 180° = 405°

Matematika Kelas XI

35

Oleh karena nilai x yang dibatasi untuk 0°  x  360° maka nilai x yang memenuhi adalah x = 45°, 115°, 165°, 225°, 225°, 295°, 345°. Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan sin 4x + sin 2x = 0 adalah x = 45°, 115°, 165°, 225°, 225°, 295°, 345°. 3. a.

b.

cos 67 cos 22 + sin 67 sin 22 sin 130 cos 110 + cos 130 sin 110

sin 105  sin 15 cos 255  cos 165

=

2 cos 60 sin 45 2 cos 210 cos 45

=

2 cos 60 sin 45 2( cos 30) cos 45

=

2 2  (

=

cos (67  22) sin (130  110)

=

=

cos 45 sin 240

Jadi,

=

1 2 1 2

=

2  3

Jadi,

1  3

1 2

×

5. a. 3 3

×



1 2

2 1 2

3)  3 3

2

=–

1 3

3

sin 105  sin 15 cos 255  cos 165

2 3

1 2

3

=–

1 3

3.

24

tan 2 = 3 7 = 7

1

=–3 6

cos 67 cos 22 + sin 67 sin 22 sin 130 cos 110 + cos 130 sin 110

25

24

1

=–3 6 .

2

2

b.

7

2

tan 187,5  tan 52,5 1  (tan 187,5 tan 52,5)2

=

(tan 187,5  tan 52,5)(tan 187,5  tan 52,5) (1  tan 187,5 tan 52,5)(1  tan 187,5 tan 52,5)

=

tan 187,5  tan 52,5 1  tan 187,5 tan 52,5

×

90° <  < 135°  180° < 2 < 270° Oleh karena 180° < 2 < 270° maka tan 2 bernilai positif, sin 2 bernilai negatif, dan cos 2 bernilai negatif.

tan 187,5  tan 52,5 1  tan 187,5 tan 52,5

24

=

7

Diperoleh sin 2= – 25 dan cos 2 = – 25

= tan (187,5° + 52,5°) tan (187,5° – 52,5°) = tan 240° tan 135°

sin 4 = 2 sin 2 cos 2 24

3 × (–1)

7

= 2 × (– 25 ) × (– 25 )

=– 3

336

2

= 625

2

tan 187,5  tan 52,5

Jadi, 1  (tan 187,5 tan 52,5)2 = – 3 .

cos 4 = 2 cos2 2 – 1 7

4. a.

= 2(– 25 )2 – 1

cos 15  cos 75 sin 195  sin 75

=

2 sin 45 sin (30) 2 sin 135 cos 60

=

2 sin 45 sin 30 2 cos 45 cos 60

=

2 2

Jadi,

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

98

= 625 – 1 527

= – 625 336

b.

=1

cos 15  cos 75 sin 195  sin 75

= 1.

Oleh karena 90° <  < 135° maka sin  bernilai positif, cos  bernilai negatif, dan tan  bernilai negatif. sin  =

1  cos 2 2 7

=

36

Trigonometri

527

Jadi, nilai sin 4 = 625 dan cos 4 = – 625 .

1  (  25 ) 2

96

16 25

=

126

= 130

4

= 5

63

= 65

1  cos 2 2

cos  = –

63

Jadi, nilai sin (x + y) = 65 .

7

1  ( 25 )

=–

2

7. CD =

9 25

=– 3

=–5 Jadi, nilai sin  = 6. a.

4 5

dan cos  =

3 –5

.

122  52

=

144  25 12

5

6

D

5 cm

B

sin C = sin (180° – 2) = sin (2) = 2 sin  cos  5

= 2 ( 13 )( 13 ) 120

= 169

10 y

8

120

6

q

cos y = 10

Jadi, nilai sin C = 169 . b.

tan C = tan (180° – 2) = –tan 2a

6

tan y = 8

=

cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y 5

8

12

6

= 13 × 10 – 13 × 10 40

72

= 130 – 130 32 – 130

=

16 – 65 16

8

  = 1  

5

6

= 13 × 10 + 13 × 10

12 5

12 5

2

24 5 119 25 

24

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y 12

2 tan  1  tan2 

2

=

Jadi, nilai cos (x + y) = – 65 . b.

5 cm

= 180° = 180° – (A + B) = 180° – (A + B) = 180° – 2

12

sin y = 10 sehingga:

=

13 cm

 A

tan  = 5 A + B + C  C  C  C a.

x

5 13

64 = 8

13 cm

12

12

sin x = 13

=

144

5

p

100  36

=

cos  = 13

= 169 = 13

=

132  52

12

p=

102  62

=

sin  = 13

12

q=

C

AC2  AD2

= 12 cm

tan x = 5 sehingga:

cos x =

30

= 130 + 130

25

= 5 × 119 120

= 119 120

Jadi, nilai tan C = 119 .

Matematika Kelas XI

37

8. cos 2x = 2 cos2 x – 1 Oleh karena

3 2

b.

 < 2x < 2 

cos x bernilai negatif.

3 4

1

 7 tan A = 2( 2 ) a 1

a 1 1 a 1

=–

2

1

1

tan A = 7

tan (A + B) =

x a

tan A  tan B 1  tan A tan B 1 7

2

=– =–

a a 1

=

=–

a a 1

Jadi, nilai tan (A + B) = 3.

tan x =

sin x cos x

=

a 1 a



=– =–

a 1

1 a

1 a

×

a a

a

Jadi, nilai tan x = –

1 a

a.

9

cos (A  B) cos (A  B)

= 5

 5 cos (A – B) = 9 cos (A + B)  5(cos A cos B + sin A sin B) = 9(cos A cos B – sin A sin B)  5 cos A cos B + 5 sin A sin B = 9 cos A cos B – 9 sin A sin B  14 sin A sin B = 4 cos A cos B 

14

sinA cos A

=4

cos B sin B

 7 tan A = 2 cotan B Jadi, dapat ditunjukkan 7 tan A = 2 cotan B.

Trigonometri

=

10.

1 a 1

1

38



a  1 a  1 2(a  1)

sin x =

9. a.

1

tan B = 2 cotan B = 2 7 tan A = 2 cotan B

< x <  maka

cos 2x  1 2

cos x = –

tan B = 2

1 1 7  2

15 7 5 7

=3

A + B + C = 180°  A + B = 180° – C  C = 180° – (A + B) sin 2A + sin 2B + sin 2C = (sin 2A + sin 2B) + sin 2C = 2 sin (A + B) cos (A – B) + 2 sin C cos C = 2 sin (180° – C) cos (A – B) + 2 sin C cos C = 2 sin C cos (A – B) + 2 sin C cos C = 2 sin C (cos (A – B) + cos C) = 2 sin C (cos (A – B) + cos (180° – (A + B))) = 2 sin C (cos (A – B) – cos (A + B)) = 2 sin C (–2 sin A sin (–B)) = 2 sin C (2 sin A sin B) = 4 sin A sin B sin C (terbukti) Jadi, dapat dibuktikan sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C.

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. menjelaskan definisi lingkaran; 2. menjelaskan persamaan lingkaran dari kurva lingkaran yang diberikan; 3. menggambarkan lingkaran pada koordinat kartesius jika diketahui persamaan lingkaran serta mendeskripsikannya; 4. menentukan kedudukan titik, garis, dan lingkaran terhadap lingkaran; 5. menyebutkan definisi garis singgung lingkaran; 6. menentukan sifat garis singgung lingkaran; 7. menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan lingkaran dengan menggunakan strategi yang tepat; 8. menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan lingkaran. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik mampu: 1. bersikap logis dan percaya diri menyelesaikan masalah kontekstual; 2. bertanggung jawab dan saling menghargai terhadap proses penyelesaian yang berbeda dan kreatif.

Lingkaran Mempelajari

Persamaan Lingkaran

Mencakup

1. Pengertian Lingkaran 2. Persamaan Lingkaran

Kedudukan, Titik, Garis, dan Lingkaran terhadap Lingkaran

Garis Singgung Lingkaran

Mencakup

1. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran 2. Kedudukan Garis terhadap Lingkaran 3. Kedudukan Dua Lingkaran

Mencakup

1. Pengertian Garis Singgung Lingkaran 2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Diketahui Gradiennya 3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran di Suatu Titik pada Lingkaran 4. Persamaan Garis Singgung Lingkaran di Suatu Titik di Luar Lingkaran

Mampu • • • • •

Bersikap logis dan percaya diri menyelesaikan masalah kontekstual. Bertanggung jawab dan saling menghargai terhadap proses penyelesaian yang berbeda dan kreatif. Menentukan sifat garis singgung lingkaran. Menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan lingkaran dengan menggunakan strategi yang tepat. Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan lingkaran dan garis singgung lingkaran.

Matematika Kelas XI

39

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Lingkaran berpusat di titik O(0, 0) dan berjari-jari 4. Persamaan lingkaran: x2 + y2 = r2 ⇔ x2 + y2 = 42 ⇔ x2 + y2 = 16 Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 16. 2. Jawaban: e Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) adalah x2 + y2 = r2. Lingkaran melalui titik (–6, 3): x2 + y2 = r2 ⇔ (–6)2 + (3)2 = r 2 ⇔ r 2 = 36 + 9 = 45 Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 = 45. 3. Jawaban: c Persamaan lingkaran: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⇔ (x – 10)2 + (y + 5)2 = (3 2 )2 2 ⇔ x – 20x + 100 + y2 + 10y + 25 = 18 ⇔ x2 + y2 – 20x + 10y + 107 = 0 Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 – 20x + 10y + 107 = 0. 4. Jawaban: b Dari gambar diperoleh koordinat titik pusat lingkaran P(5, –2) dan jari-jarinya 5. Persamaan lingkarannya: (x – 5)2 + (y – (–2))2 = 52 ⇔ (x – 5)2 + (y + 2)2 = 25 Jadi, persamaan lingkarannya (x – 5)2 + (y + 2)2 = 25. 5. Jawaban: b Persamaan lingkaran yang berpusat di titik M(–4, 8): (x – (–4))2 + (y – 8)2 = r2 ⇔ (x + 4)2 + (y – 8)2 = r2 Lingkaran melalui titik N(1, 5) diperoleh: (x + 4)2 + (y – 8)2 = r2 ⇔ (1 + 4)2 + (5 – 8)2 = r2 ⇔ r 2 = 52 + (–3)2 ⇔ r 2 = 25 + 9 = 34 Persamaan lingkarannya: (x + 4)2 + (y – 8)2 = 34 2 2 ⇔ x + 8x + 16 + y – 16y + 64 – 34 = 0 ⇔ x2 + y2 + 8x – 16y + 46 = 0 Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah x2 + y2 + 8x – 16y + 46 = 0.

40

Lingkaran

6. Jawaban: a Titik pusat lingkaran terletak di tengah diameter, koordinatnya:  −4 + 6 −3 + 1   ,  2 2 

= (1, –1)

Persamaan lingkaran: (x – 1)2 + (y + 1)2 = r2 Lingkaran melalui titik (6, 1), diperoleh: (6 – 1)2 + (1 + 1)2 = r2 ⇔ r2 = 25 + 4 = 29 Persamaan lingkaran: (x – 1)2 + (y + 1)2 = r2 2 ⇔ x – 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = 29 ⇔ x2 + y2 – 2x + 2y – 27 = 0 Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah x2 + y2 – 2x + 2y – 27 = 0. 7. Jawaban: a Perpotongan garis g dan  sebagai berikut. Eliminasi y dari persamaan garis g dan : 2x – 3y = 13 ×1 2x – 3y = 13 3x + y = 3 ×3 9x + 3y = 9 –––––––––––– + 11x = 22 ⇔ x=2 Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan garis g: x = 2 ⇒ 2x – 3y = 13 ⇔ 4 – 3y = 13 ⇔ –3y = 9 ⇔ y = –3 Diperoleh titik A(2, –3). Persamaan lingkaran P dengan titik A(2, –3) sebagai titik pusat sebagai berikut. (x – 2)2 + (y – (–3))2 = 42 ⇔ x2 – 4x + 4 + (y + 3)2 = 16 2 ⇔ x – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = 16 ⇔ x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 Jadi, persamaan lingkaran P adalah x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0. 8. Jawaban: d Persamaan lingkaran: x2 + y2 + 8x – 6y + 4 = 0 Nilai A = 8, B = –6, dan C = 4. Koordinat titik pusat: A

B

8

−6

(– 2 , – 2 ) = (– 2 , – 2 ) = (–4, 3). Jadi, koordinat titik P adalah (–4, 3). 9. Jawaban: c x2 + y2 – 2x + 4y – 13 = 0 ⇔ x2 – 2x + y2 + 4y – 13 = 0 ⇔ (x – 1)2 – 1 + (y + 2)2 – 4 – 13 = 0

Jadi, panjang jari-jari lingkaran tersebut 3 2 satuan. 10. Jawaban: a x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0 2 ⇔ x – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 3 + 9 + 4 ⇔ (x – 3)2 + (y – 2)2 = 16 Diperoleh koordinat titik pusat lingkaran (3, 2) dan jari-jarinya 4. Grafik lingkaran yang sesuai ada pada pilihan a. 11. Jawaban: d Lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y + a = 0 melalui titik (1, 4), diperoleh: 12 + 42 + 6 × 1 – 2 × 4 + a = 0 ⇔ 1 + 16 + 6 – 8 + a = 0 ⇔ a = –15 Diperoleh persamaan lingkaran: x2 + y2 + 6x – 2y – 15 = 0. Jari-jari lingkaran: 1 2

1 2

6 2

−2 2 ) 2

(− A)2 + (− B)2 − C

r = =

(− )2 + (−

=

9 + 1+ 15

− (−15)

= 25 = 5 Jadi, panjang jari-jari lingkaran 5 satuan. 12. Jawaban: a Lingkaran x2 + y2 + px + 8y + 9 = 0 berpusat di 1  titik  – 2 p, –4  .





r = =

( 21 p)

2

−

1 2 p 4

+ (−4)2 – 9

+ 16 – 9 =

1 p2 4

+7

Lingkaran menyinggung sumbu X maka r = |ordinat pusat| Diperoleh: 1 p2 4

 ⇔   ⇔ ⇔

1 4

14. Jawaban: b Lingkaran L: 2x2 + 2y2 – 4x + 3py – 30 = 0 melalui titik (–2, 1), akan dicari nilai p: 2x2 + 2y2 – 4x + 3py – 30 = 0 2 ⇔ 2(–2) + 2(1)2 – 4(–2) + 3p(1) – 30 = 0 ⇔ 8 + 2 + 8 + 3p – 30 = 0 ⇔ 3p – 12 = 0 ⇔ p=4 Diperoleh p = 4, maka lingkaran L: 2x2 + 2y2 – 4x + 12y – 30 = 0 ⇔ x2 + y2 – 2x + 6y – 15 = 0 Pusat lingkaran L adalah (1, –3). Jari-jari lingkaran L:

12 + (−3)2 − (−15) = 25 = 5 Persamaan lingkaran M yang berpusat di (1, –3) dan jari-jarinya 2 × 5 = 10 sebagai berikut. (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⇔ (x – 1)2 + (y + 3)2 = 102 2 ⇔ x – 2x + 1 + y2 + 6y + 9 = 100 ⇔ x2 – 2x + y2 + 6y + 10 = 100 ⇔ x2 + y2 – 2x + 6y – 90 = 0 Jadi, persamaan lingkaran M adalah x2 + y2 – 2x + 6y – 90 = 0. r =

15. Jawaban: c Perhatikan gambar berikut. Y

+ 7 = |–4| 2

1 p2 4

13. Jawaban: e Lingkaran L menyingY y = 2x gung sumbu Y di titik (0, 6) dan pusatnya di r 6 ------- P garis y = 2x. y = 6 ⇔ 2x = 6 ⇔ x=3 X Pusat lingkaran P(3, 6) 0 3 dan jari-jari 3. Persamaan lingkaran L adalah (x – 3)2 + (y – 6)2 = 32 2 ⇔ x – 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = 9 ⇔ x2 + y2 – 6x – 12y + 36 = 0 Jadi, persamaan lingkaran L adalah x2 + y2 – 6x – 12y + 36 = 0. ------------

⇔ (x – 1)2 + (y + 2)2 – 18 = 0 ⇔ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 18 r2 = 18 sehingga r = 18 = 3 2

 + 7  = |–4|2 

1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –3 –4 2x – 4y – 4 = 0

p2 = 9

X

–2

p2 + 7 = 16 1 4

1

–5 –6

⇔ p2 = 36 ⇔ p=±6 Jadi, titik pusat lingkarannya (3, –4) atau (–3, –4). Matematika Kelas XI

41

Misalkan titik pusat lingkaran L adalah (a, b). Titik (a, b) terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0, diperoleh: 2x – 4y – 4 = 0 ⇔ 2a – 4b – 4 = 0 . . . (1) Oleh karena lingkaran L menyinggung sumbu X dan sumbu Y maka jari-jari lingkaran r = a = b. Substitusikan a = b ke dalam persamaan (1). 2a – 4b – 4 = 0 ⇔ 2b – 4b – 4 = 0 ⇔ –2b – 4 = 0 ⇔ b = –2 Diperoleh titik pusat (a, b) = (–2, –2). Persamaan lingkaran L: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⇔ (x + 2)2 + (y + 2)2 = 22 2 ⇔ x + 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 4 ⇔ x2 + 4x + y2 + 4y + 4 = 0 ⇔ x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0 Jadi, persamaan lingkaran L adalah x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0. B. Uraian 1. a.

b.

2. a.

Persamaan lingkaran berpusat di O(0, 0) adalah x2 + y2 = r2. Oleh karena lingkaran melalui titik (3, –2), diperoleh: x2 + y2 = r2 ⇔ 32 + (–2)2 = r2 ⇔ 9 + 4 = r2 ⇔ r2 = 13 Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 13. 1

1

Jari-jari = 2 × diameter = 2 × 12 = 6 Persamaan lingkaran yang berpusat di A(–3, 1) dengan jari-jari 6 satuan adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⇔ (x + 3)2 + (y – 1)2 = 62 2 ⇔ x + 6x + 9 + y2 – 2y + 1 = 36 ⇔ x2 + 6x + y2 – 2y – 26 = 0 ⇔ x2 + y2 + 6x – 2y – 26 = 0 Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 + 6x – 2y – 26 = 0. x2 + y2 – 12x – 8y + 3 = 0 A = –12, B = –8, dan C = 3. A

B

Jari-jari = 62 + 42 − 3 = 49 = 7 Jadi, lingkaran tersebut mempunyai pusat (6, 4) dan jari-jari 7.

Lingkaran

x2

y2

A

B

Pusat lingkaran = (– 2 , – 2 ) = (3, –9)

32 + (−9)2 − (−6) = 96 = 4 6 Jadi, lingkaran tersebut mempunyai pusat (3, –9) dan jari-jari 4 6 . Jari-jari =

x2 + y2 – 4x + 8y + 15 = 0 ⇔ – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = –15 + 4 + 16 ⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 5 Jadi, lingkaran L1 berpusat di titik (2, –4) dan

3. a.

x2

berjari-jari r = b.

5.

Persamaan lingkaran L2 yang berpusat di (2, –4) dan berjari-jari 2 5 adalah: (x – 2)2 + (y + 4)2 = (2 5 )2 ⇔ – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = 20 ⇔ x2 + y2 – 4x + 8y = 0 Jadi, persamaan lingkaran L2 adalah x2 + y2 – 4x + 8y = 0. x2

4. Perhatikan gambar berikut.

Pusat lingkaran = (– 2 , – 2 ) = (6, 4)

42

x2 + y2 = 6x – 18y + 6 ⇔ + – 6x + 18y – 6 = 0 A = –6, B = 18, dan C = –6.

b.

Y

(5,10)

y = 10

(5,b)

0

5

X

Lingkaran menyinggung garis y = 10 di titik (5, 10) berarti koordinat titik pusatnya (5, b) dan jari-jarinya r = 10 – b. Persamaan lingkaran tersebut (x – 5)2 + (y – b)2 = (10 – b)2. Lingkaran melalui titik (1, 2), diperoleh: (1 – 5)2 + (2 – b)2 = (10 – b)2 ⇔ 16 + 4 – 4b + b2 = 100 – 20b + b2 ⇔ 20 – 4b = 100 – 20b ⇔ 16b = 80 ⇔ b=5 Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25. 5. Segitiga ABC siku-siku di A, maka sisi BC merupakan diameter lingkaran. Titik tengah diameter BC merupakan titik pusat lingkaran, yaitu titik (3, 6). Panjang diameter sama dengan panjang BC, yaitu: d = BC =

(6 − 0)2 + (0 − 12)2

=

36 + 144

=

180

1

1

180

Jari-jari = r = 2 d = 2 180 = = 45 4 Persamaan lingkaran dengan pusat (3, 6) dan jarijari r =

45 :

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Substitusikan titik A(4, 6) ke ruas kiri persamaan lingkaran. 42 + 62 – 2 × 4 – 4 × 6 – 20 = 16 + 36 – 8 – 24 – 20 =0 Jadi, titik A(4, 6) terletak pada lingkaran. Substitusikan titik B(5, –1) ke ruas kiri persamaan lingkaran. 52 + (–1)2 – 2 × 5 – 4 × (–1) – 20 = 25 + 1 – 10 + 4 – 20 =0 Jadi, titik B(5, –1) terletak pada lingkaran. Substitusikan titik C(3, 3) ke ruas kiri persamaan lingkaran. 32 + 32 – 2 × 3 – 4 × 3 – 20 = 9 + 9 – 6 – 12 – 20 = –20 (–20 < 0) Jadi, titik C(3, 3) terletak di dalam lingkaran. Substitusikan titik D(7, 4) ke ruas kiri persamaan lingkaran. 72 + 42 – 2 × 7 – 4 × 4 – 20 = 49 + 16 – 14 – 16 – 20 = 15 (15 > 0) Jadi, titik D(7, 4) terletak di luar lingkaran. Jadi, titik-titik yang terletak pada lingkaran adalah titik A dan titik B (pilihan c). 2. Jawaban: b Untuk titik (1, 1) diperoleh: x2 + y2 + 6x – 2y – 15 = 12 + 12 + 6 × 1 – 2 × 1 – 15 = 1 + 1 + 6 – 2 – 15 = –9 (–9 < 0) Titik (1, 1) terletak di dalam lingkaran. Untuk titik (1, 4) diperoleh: 12 + 42 + 6 × 1 – 2 × 4 – 15 = 1 + 16 + 6 – 8 – 15 =0 Titik (1, 4) terletak pada lingkaran.

(x – 3)2 + (y – 6)2 = ( 45 )2 ⇔ – 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = 45 ⇔ x2 + y2 – 6x – 12y = 0 Jadi, persamaan lingkaran luar segitiga ABC adalah x2 + y2 – 6x – 12y = 0. x2

Untuk titik (2, 3) diperoleh: 22 + 32 + 6 × 2 – 2 × 3 – 15 = 4 + 9 + 12 – 6 – 15 = 4 (4 > 0) Titik (2, 3) terletak di luar lingkaran. Untuk titik (–3, 1) diperoleh: (–3)2 + 12 + 6 × (–3) – 2 × 1 – 15 = 9 + 1 – 18 – 2 – 15 = –25 (–25 < 0) Titik (–3, 1) terletak di dalam lingkaran. Untuk titik (–4, –2) diperoleh: (–4)2 + (–2)2 + 6 × (–4) – 2 × (–2) – 15 = 16 + 4 – 24 + 4 – 15 = –15 (–15 < 0) Titik (–4, –2) terletak di dalam lingkaran. Jadi, titik yang terletak pada lingkaran adalah titik (1, 4). 3. Jawaban: e Oleh karena titik A terletak pada lingkaran, substitusikan titik (p, 1) ke dalam persamaan lingkaran. (x – 2)2 + (y + 4)2 = 26 ⇔ (p – 2)2 + (1 + 4)2 = 26 ⇔ p2 – 4p + 4 + 25 = 26 ⇔ p2 – 4p + 3 = 0 ⇔ (p – 3)(p – 1) = 0 ⇔ p – 3 = 0 atau p – 1 = 0 ⇔ p = 3 atau p =1 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 1 atau 3. 4. Jawaban: c Substitusikan x = a + 1 dan y = 2a ke dalam persamaan x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0. x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0 2 2 ⇔ (a + 1) + (2a) – 2(a + 1) – 4(2a) – 20 = 0 ⇔ a2 + 2a + 1 + 4a2 – 2a – 2 – 8a – 20 = 0 ⇔ 5a2 – 8a – 21 = 0 ⇔ (5a + 7)(a – 3) = 0 ⇔ 5a + 7 = 0 atau a – 3 = 0 ⇔

7

a = – 5 atau

a=3

Diambil a = 3 karena a > 0. a+1=3+1=4 Jadi, nilai a + 1 = 4. Matematika Kelas XI

43

5. Jawaban: b Misalkan titik P(24, 7) terletak pada lingkaran, diperoleh: x2 + y2 = a2 ⇔ 242 + 72 = a2 ⇔ 576 + 49 = a2 ⇔ a2 = 625 ⇔ a = 25 Oleh karena titik P harus di dalam lingkaran, jarak titik P terhadap titik O(0, 0) harus kurang dari 25. Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 0 < a < 25. 6. Jawaban: b x – 2y = 5 ⇔ x = 5 + 2y Substitusikan x = 5 + 2y ke dalam persamaan lingkaran x2 + y2 – 4x + 8y + 10 = 0: (5 + 2y)2 + y2 – 4(5 + 2y) + 8y + 10 = 0 ⇔ 25 + 20y + 4y2 + y2 – 20 – 8y + 8y + 10 = 0 ⇔ 5y2 + 20y + 15 = 0 ⇔ y2 + 4y + 3 = 0 ⇔ (y + 3)(y + 1) = 0 ⇔ y1 = –3 atau y2 = –1 y1 = –3 ⇒ x1 = 5 + 2(–3) = –1 y2 = –1 ⇒ x2 = 5 + 2(–1) = 3 Diperoleh titik potong A(–1, –3) dan B(3, –1).

(3 – (–1))2 + (–1– (–3))2

=

42 + 22

=

16 + 4 =

d= =

20 = 2 5 satuan

Syarat garis menyinggung lingkaran adalah D = 0. (2 + 6a)2 – 4(a2 + 1) × 9 = 0 ⇔ 4 + 24a + 36a2 – 36a2 – 36 = 0 ⇔ 24a = 32 a=

Jadi, nilai a adalah

4 3

.

0+9 =3

Diperoleh d = rA – rB = 3. Jadi, kedua lingkaran bersinggungan di dalam. 9. Jawaban: e Dari persamaan lingkaran A: x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0 diperoleh: x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0 ⇔ x2 – 2x + y2 + 4y – 20 = 0 2 ⇔ (x – 1) – 1 + (y + 2)2 – 4 – 20 = 0 ⇔ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 25 Diperoleh titik pusat lingkaran A(1, –2), jari-jari = rA = 5.

=

Substitusikan y = –ax ke dalam persamaan (1). x2 + (–ax) 2 + 2x – 6(–ax) + 9 = 0 ⇔ x2 + a2x2 + 2x + 6ax + 9 = 0 ⇔ (a2 + 1)x2 + (2 + 6a)x + 9 = 0

⇔

(1 − 1)2 + (0 − ( −3))2

rA – rB = 5 – 2 = 3

d=

7. Jawaban: b Persamaan lingkaran L dengan pusat (–1, 3) dan jari-jari r = 1: (x + 1)2 + (y – 3)2 = 12 2 ⇔ x + y2 + 2x – 6y + 9 = 0 . . . (1) Garis g: ax + y = 0 ⇔ y = –ax . . . (2)

Lingkaran

Diperoleh B(1, 0), rB = 2.

Jarak titik A dan B:

Jadi, panjang ruas garis AB adalah 2 5 satuan.

44

Dari lingkaran B: x2 + y2 – 2x – 3 = 0 ⇔ x2 – 2x + y2 – 3 = 0 ⇔ (x – 1)2 – 1 + y2 – 3 = 0 ⇔ (x – 1)2 + y2 = 4

Dari persamaan lingkaran B: (x – 11)2 + (y + 2)2 = r2. Diperoleh titik pusat lingkaran B (11, –2).

Panjang ruas garis AB =

8. Jawaban: e Dari lingkaran A: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25 diperoleh A(1, –3) dan rA = 5.

4 3

(11 − 1)2 + ( −2 − ( −2))2 102 = 10

Kedua lingkaran saling bersinggungan di luar jika d = rA + rB. Sehingga diperoleh: d = rA + rB ⇔ 10 = 5 + rB ⇔ rB = 5 Jadi, nilai r = rB = 5. 10. Jawaban: c Dari persamaan lingkaran P: x2 + y2 – 6x – 2y – 6 = 0 ⇔ x2 – 6x + y2 – 2y – 6 = 0 ⇔ (x – 3)2 – 9 + (y – 1)2 – 1 – 6 = 0 ⇔ (x – 3)2 + (y – 1)2 = 16 Diperoleh pusat lingkaran P(3, 1) dan jari-jari = rP = 4. Jarak titik P(3, 1) dan Q(–2, 13): d=

(3 − ( −2))2 + (1 − 13)2

=

52 + ( −12)2

=

25 + 144 =

169 = 13

Kedua lingkaran saling bebas jika d > rP + rQ. d > rP + rQ ⇔ 13 > 5 + rQ ⇔ rQ < 9 11. Jawaban: e Dari persamaan lingkaran P(x – 7)2 + (y – 10)2 = 100 diperoleh pusat lingkaran P(7, 10) dan jarijari rP = 10. Dari persamaan lingkaran Q(x – 1)2 + (y – 2)2 = r2 diperoleh pusat lingkaran Q(1, 2) dan jari-jari rQ = r. Diketahui rQ > rP, sehingga jarak antara titik P dan Q sebagai berikut.

(7 − 1)2 + (10 − 2)2 2

=

36 + 64 =

100 = 10

Kedua lingkaran bersinggungan di dalam jika d = rQ – rP. Sehingga diperoleh: d = rQ – rP ⇔ 10 = rQ – 10 ⇔ rQ = 20 Jadi, panjang jari-jari lingkaran Q adalah 20. 12. Jawaban: c Perhatikan gambar berikut. Y 1

r1

Diperoleh titik pusat P1(–3, Jarak kedua titik pusat: P1P2 =

3 ) dan P2(1,

3 ).

(1 − (−3))2 + ( 3 − 3)2

42 + 02 = 4 Jadi, jarak kedua pusat lingkaran tersebut adalah 4.

6 +8

P r1

4

b2 – 4ac = 0 ⇒ (2r + 2)2 – 4 × 3 × 3 = 0 ⇔ 4r2 + 8r + 4 – 16 = 0 ⇔ 4r2 + 8r – 12 = 0 ⇔ r2 + 2r – 3 = 0 ⇔ (r + 3)(r – 1) = 0 ⇔ r = –3 atau r = 1

=

2

=

P1

– (2r + 2)x + 3 = 0

Oleh karena lingkaran menyinggung garis, maka diskriminan (D) = 0, yaitu:

Jadi, nilai rQ yang memenuhi adalah {rQ | rQ < 9}.

d=

4 2 x 3

⇔

y= 3x 3 y= 3

P2 r2

r2 T2

O

X

Titik pusat kedua lingkaran pada garis y =

3

berarti ordinat titik pusat adalah 3 . Kedua lingkaran menyinggung sumbu Y (x = 0), maka absis pusatnya sama dengan jari-jari (r). Diperoleh pusat lingkaran adalah (r, samaannya: (x – r)2 + (y – 3 )2 = r2

3 ) dan per-

1

Lingkaran juga menyinggung garis y = 3 x 3 . 1

Substitusikan y = 3 x 3 ke dalam persamaan lingkaran. 1 (x – r)2 +  3 x 3 – 

1

2

3  = r2 

⇔ x2 – 2rx + r2 + 3 x2 – 2x + 3 = r2

13. Jawaban: b Diketahui: x2 + y2 – 18x – 2y + 37 = 0 . . . (1) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 52 ⇔ x2 – 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 52 ⇔ x2 + y2 – 4x – 2y – 47 = 0 . . . (2) 2 2 Eliminasi x dan y dari persamaan (1) dan (2). x2 + y2 – 4x – 2y – 47 = 0 2 x + y2 – 18x – 2y + 37 = 0 ––––––––––––––––––––––––––– – 14x – 84 = 0 ⇔ x = 6 Substitusikan x = 6 ke persamaan (1). x=6 ⇒ x2 + y2 – 18x – 2y + 37 = 0 2 ⇔ 6 + y2 – 18 × 6 – 2y + 37 = 0 ⇔ 36 + y2 – 108 – 2y + 37 = 0 ⇔ y2 – 2y – 35 = 0 ⇔ (y – 7)(x + 5) = 0 ⇔ y = –5 atau y = 7 Diperoleh titik potong (6, –5) dan (6, 7). Jadi, titik potong kedua lingkaran adalah (6, –5) dan (6, 7). 14. Jawaban: d Persamaan lingkaran A sebagai berikut. (x – 6)2 + (y – 4)2 = 22 2 ⇔ x – 12x + 36 + y2 – 8y + 16 = 4 ⇔ x2 + y2 – 12x – 8y + 48 = 0 . . . (1) Persamaan lingkaran B sebagai berikut. (x – 4)2 + (y – 2)2 = 22 2 ⇔ x – 8x + 16 + y2 – 4y + 4 = 4 ⇔ x2 + y2 – 8x – 4y + 16 = 0 . . . (2) 2 2 Eliminasi x dan y dari persamaan (1) dan (2). x2 + y2 – 12x – 8y + 48= 0 x2 + y2 – 8x – 4y + 16 = 0 –––––––––––––––––––––––– – –4x – 4y + 32 = 0 ⇔ –x – y + 8 = 0 ⇔ x = –y + 8 . . . (3)

Matematika Kelas XI

45

Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (2). x = –y + 8 ⇒ x2 + y2 – 8x – 4y + 16 = 0 ⇔ (–y + 8)2 + y2 – 8(–y + 8) – 4y + 16 = 0 2 ⇔ y – 16y + 64 + y2 + 8y – 64 – 4y + 16 = 0 ⇔ 2y2 – 12y + 16 = 0 ⇔ y2 – 6y + 8 = 0 ⇔ (y – 4)(y – 2) = 0 ⇔ y = 4 atau y = 2 Untuk y = 2 ⇒ x = –2 + 8 = 6 Untuk y = 4 ⇒ x = –4 + 8 = 4 Diperoleh titik potong (6, 2) dan (4, 4). Jadi, titik potong kedua lingkaran adalah (6, 2) dan (4, 4).

b.

Diperoleh titik potong (4, –3). Titik pusat lingkaran = titik potong dua garis = (4, –3). Persamaan lingkaran Q sebagai berikut. (x – 4)2 + (y – (–3))2 = 82 2 ⇔ x – 8x + 16 + (y + 3)2 = 64 2 ⇔ x – 8x + y2 + 6y + 9 – 48 = 0 ⇔ x2 + y2 – 8x + 6y – 39 = 0

15. Jawaban: b Persamaan lingkaran P sebagai berikut. (x + 10)2 + (y – 5)2 = 52 2 ⇔x + 20x + 100 + y2 – 10y + 25 = 25 ⇔ x2 + y2 + 20x – 10y + 100 = 0 Eliminasi x2 dan y2 dari persamaan lingkaran P dan Q: x2 + y2 + 10x – 20y + 100 = 0 x2 + y2 + 20x – 10y + 100 = 0 ––––––––––––––––––––––––––– – –10x – 10y = 0 ⇔ y = –x Substitusikan y = –x ke persamaan lingkaran Q: y = –x ⇒ x2 + y2 + 10x – 20y + 100 = 0 2 ⇔ x + (–x)2 + 10x – 20(–x) + 100 = 0 ⇔ x2 + x2 + 10x + 20x + 100 = 0 ⇔ 2x2 + 30x + 100 = 0 ⇔ x2 + 15x + 50 = 0 ⇔ (x + 5)(x + 10) = 0 ⇔ x = –5 atau x = –10 Diambil a = x = –5 dan c = x = –10 karena a > c. Untuk a = –5 ⇒ y = –x ⇔ b=5 Untuk c = –10 ⇒ y = –x ⇔ d = 10 b + d = 5 + 10 = 15 Jadi, nilai b + d adalah 15.

Perpotongan garis 2x – y = 11 dan x + 4y = –8 sebagai berikut. Eliminasi x dari kedua persamaan garis: 2x – y = 11 ×1 2x – y = 11 x + 4y = –8 ×2 2x + 8y = –16 ––––––––––––– – –9y = 27 ⇔ y = –3 Substitusikan y = –3 ke persamaan 2x – y = 11. y = –3 ⇒ 2x – y = 11 ⇔ 2x + 3 = 11 ⇔ 2x = 8 ⇔ x=4

Jadi, persamaan lingkaran Q adalah x2 + y2 – 8x + 6y – 39 = 0. 2. Diketahui: lingkaran x2 + y2 – 8x – 12y + n = 0 melalui titik (–1, 3). a. Akan dicari nilai n dengan mensubstitusikan titik (–1, 3) ke persamaan lingkaran. (–1)2 + 32 – 8(–1) – 12(3) + n = 0 ⇔ 1 + 9 + 8 – 36 + n = 0 ⇔ n = 18 Jadi, nilai n adalah 18. b. Lingkaran x2 + y2 – 8x – 12y + 18 = 0 1 1  Titik pusat: – 2 (–8), – 2 (–12) = (4, 6)

Jari-jari: r = =

B. Uraian Diameter lingkaran = 12 satuan sehingga jarijarinya 6 satuan. Persamaan lingkaran sebagai berikut. (x – (–1))2 + (y – 5)2 = 62 ⇔ (x + 1)2 + y2 – 10y + 25 = 36 2 ⇔ x + 2x + 1 + y2 – 10y – 11 = 0 ⇔ x2 + y2 + 2x – 10y – 10 = 0 Jadi, persamaan lingkaran P adalah x2 + y2 + 2x – 10y – 10 = 0.

42 + 62 − 18 16 + 36 − 18 =

34

Jarak titik O(0, 0) ke titik pusat lingkaran (4, 6). d=

1. a.





c.

42 + 62 =

16 + 36 =

52

Oleh karena d > r maka titik O(0, 0) berada di luar lingkaran. Jarak garis y = 2x – 5 ⇔ 2x – y – 5 = 0 ke titik pusat lingkaran (4, 6) adalah: s = =

2(4) − (6) − 5 22 + ( − 1)2 8−6−5 4+1

=

Oleh karena s =

−3 5

3 5

=

3 5

×

5 5

=

3 5

5

5 ≈ 1,34 < r = 34 ≈ 5,83

maka garis y = 2x – 5 memotong lingkaran di dua titik.

46

Lingkaran

3. : 2x + y = k ⇔ y = k – 2x Substitusikan  ke dalam persamaan lingkaran L. x2 + (k – 2x)2 = 4 2 2 ⇔ x + k – 4kx + 4x2 = 4 ⇔ 5x2 – 4kx + k2 – 4 = 0 Syarat garis  tidak memotong lingkaran L di dua titik yaitu D < 0. (–4k)2 – 4 × 5 × (k2 – 4) < 0 ⇔ 16k2 – 20k2 + 80 < 0 ⇔ –4k2 + 80 < 0 ⇔ k2 – 20 > 0 ⇔ (k – 20 )(k + 20 ) > 0 ⇔ (k – 2 5 )(k + 2 5 ) > 0 +

⇔ k < –2 5 atau k > 2 5 Jadi, batas-batas nilai k adalah k < –2 5 atau k > 2 5. 4. Dari lingkaran A: (x – 3a)2 + (y + a)2 = 25 diperoleh titik pusat A(3a, –a) dan jari-jari r = 5. Dari lingkaran B: (x – 3)2 + (y – 9)2 = 225 diperoleh titik pusat B(3, 9) dan R = 15. Kedua lingkaran bersinggungan di dalam jika d = R – r. d=R–r

⇔

5. Dari lingkaran A: x2 + y2 + 20x + 16y + 64 = 0 1

(3 − 3a)2 + (9 + a)2 = 15 – 5 9 − 18a + 9a2 + 81 + 18a + a2 = 10

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Lingkaran x2 + y2 = 5 berpusat di titik O(0, 0) dan berjari-jari r = 5 . Persamaan garis singgung bergradien m = –2: 2

y = mx ± r 1 + m

2

⇔ y = –2x ± 5 ×

1 + (−2)

⇔ y = –2x ± 5 ×

1+ 4

⇔ y = –2x ± 5 × 5 ⇔ y = –2x ± 5 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = –2x + 5 dan y = –2x – 5.

1

diperoleh pusat lingkaran (– 2 A, – 2 B) = (–10, –8). Jari-jari lingkaran A: rA =

2 5

–2 5

⇔

⇔ 90 + 10a2 = 100 ⇔ 10a2 = 10 ⇔ a2 = 1 ⇔ a = ±1 Jadi, agar kedua lingkaran bersinggungan di dalam, nilai a = –1 atau a = 1.

+

–

90 + 10a2 = 10

⇔

( − A ) + ( − B) 1 2

2

1 2

2

−C

=

(−10)2 + (−8)2 − 64

=

100 = 10

Pusat lingkaran B(–1, 4) sehingga diperoleh: d =

(−1 − (−10))2 + (4 − (−8))2

=

92 + 122

=

225 = 15

Kedua lingkaran tidak berpotongan jika d > rA + rB. d > rA + rB ⇔ 15 >10 + rB ⇔ 5 > rB ⇔ rB < 5 Jadi, panjang rB adalah {rB | rB < 5} agar kedua lingkaran tidak berpotongan.

2. Jawaban: a Persamaan lingkaran: x2 + y2 – 2x + 4y = 0 Titik pusat lingkaran: (a, b) = (1, –2) Jari-jari lingkaran: r =

12 + ( −2)2 − (−4) = 3

Persamaan lingkaran dapat dituliskan (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 Persamaan garis singgung lingkaran yang ber5

gradien m = 12 : y – b = m(x – a) ± r m2 + 1 ⇔

5

5

2 y + 2 = 12 (x –1) ± 3 ( 12 ) + 1

Matematika Kelas XI

47

5

25 144

5

169 144 13 3( 12 )

⇔

y + 2 = 12 (x – 1) ± 3

⇔

y + 2 = 12 (x – 1) ± 3 5

⇔

+1

y + 2 = 12 (x – 1) ± ⇔ 12(y + 2) = 5(x – 1) ± 39 ⇔ 12y + 24 = 5x – 5 ± 39 ⇔ 5x – 12y – 29 ± 39 = 0 ⇔ 5x – 12y – 29 + 39 = 0 atau 5x – 12y – 29 – 39 =0 ⇔ 5x – 12y + 10 = 0 atau 5x – 12y – 68 = 0 Jadi, salah satu persamaan garis singgung lingkarannya adalah 5x – 12y + 10 = 0. 3. Jawaban: a Garis y – 2x + 5 = 0 mempunyai gradien m1 = 2. Titik pusat lingkaran: P(3, –5). Jari-jari lingkaran: r =

80

Misalkan gradien garis singgung lingkaran adalah m. Oleh karena garis singgung lingkaran sejajar garis y – 2x + 5 = 0 maka m = m1 = 2. Persamaan garis singgung lingkaran: y – b = m(x – a) ± r 1 + m2 ⇔ y – (–5) = 2(x – 3) ± ⇔ ⇔

y + 5 = 2x – 6 ±

80 ×

1 + 22

80 × 5

y = 2x – 11 ±

400

⇔ y = 2x – 11 ± 20 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = 2x – 11 ± 20. 4. Jawaban: c x2 + y2 – 6x – 4y – 12 ⇔ x2 – 6x + y2 – 4y 2 ⇔ x – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 ⇔ (x – 3)2 + (y – 2)2

=0 = 12 = 12 + 9 + 4 = 25

Diperoleh pusat lingkaran (3, 2) dan jari-jari r = 5. Garis y = x + 4 bergradien 1, maka garis yang tegak lurus dengan garis tersebut bergradien –1. Persamaan garis singgung: y – 2 = m(x – 3) ± 5 1 + m2 ⇔ y – 2 = –1(x – 3) ± 5 1 + (−1)2 ⇔ y – 2 = –x + 3 ± 5 2 ⇔

y = –x + 5 ± 5 2

Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya adalah y = –x + 5 – 5 2 .

48

Lingkaran

5. Jawaban: b Substitusikan y = 2x + p ke dalam persamaan lingkaran. x2 + y2 = 20 2 ⇔ x + (2x + p)2 = 20 2 ⇔ x + 4x2 + 4px + p2 = 20 ⇔ 5x2 + 4px + p2 – 20 = 0 Diperoleh a = 5, b = 4p, dan c = p2 – 20. Syarat garis menyinggung lingkaran yaitu D = 0. D=0 ⇔ b2 – 4ac = 0 ⇔ (4p)2 – 4(5)(p2 – 20) = 0 ⇔ 16p2 – 20p2 + 400 = 0 ⇔ –4p2 + 400 = 0 ⇔ p2 = 100 ⇔ p = 10 atau p = –10 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 10 atau –10. 6. Jawaban: a Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) adalah x2 + y2 = r2. Lingkaran melalui titik A(3, 1): x2 + y2 = r2 ⇒ (3)2 + (1)2 = r2 ⇔ r2 = 9 + 1 = 10 Diperoleh persamaan lingkaran x2 + y2 = 10. Persamaan garis singgung lingkaran di titik A(3, 1): x1x + y1y = r2 ⇒ (3)x + (1)y = 10 ⇔ 3x + y = 10 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran di titik A adalah 3x + y = 10. 7. Jawaban: d x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 Untuk x = 7 dan y = 1 diperoleh: 72 + 12 – 6(7) + 4(1) – 12 = 49 + 1 – 42 + 4 – 12 =0 Titik (7, 1) terletak pada lingkaran sehingga persamaan garis singgungnya: 6

4

7x + 1y – 2 (x + 7) + 2 (y + 1) – 12 = 0 ⇔ 7x + y – 3x – 21 + 2y + 2 – 12 = 0 ⇔ 4x + 3y – 31 = 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (7, 1) adalah 4x + 3y – 31 = 0. 8. Jawaban: b Pada titik (x, y), x disebut absis dan y disebut ordinat. Substitusikan x = 5 ke dalam persamaan lingkaran. x2 + y2 – 2x + 6y – 7 = 0 2 ⇔ 5 + y2 – 2(5) + 6y – 7 = 0

⇔ 25 + y2 – 10 + 6y – 7 = 0 ⇔ y2 + 6y + 8 = 0 ⇔ (y + 2)(y + 4) = 0 ⇔ y + 2 = 0 atau y + 4 = 0 ⇔ y = –2 atau y = –4 Diperoleh dua titik pada lingkaran yaitu (5, –2) dan (5, –4). Persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, –2). 5x – 2y – (x + 5) + 3(y – 2) – 7 = 0 ⇔ 5x – 2y – x – 5 + 3y – 6 – 7 = 0 ⇔ 4x + y – 18 = 0 Persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, –4). 5x – 4y – (x + 5) + 3(y – 4) – 7 = 0 ⇔ 5x – 4y – x – 5 + 3y – 12 – 7 = 0 ⇔ 4x – y – 24 = 0 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 4x + y – 18 = 0 dan 4x – y – 24 = 0. 9. Jawaban: a Lingkaran L: (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 Substitusikan y = 3 ke persamaan lingkaran L. y = 3 ⇒ (x + 1)2 + (3 – 3)2 = 9 ⇔ (x + 1)2 = 9 ⇔ x + 1 = ±3 ⇔ x = –1 ± 3 ⇔ x = 2 atau x = –4 Diperoleh titik potong (2, 3) dan (–4, 3). Persamaan garis singgung di titik (2, 3): (2 + 1)(x + 1) + (3 – 3)(y – 3) = 9 ⇔ 3x + 3 + 0 = 9 ⇔ 3x = 6 ⇔ x=2 Persamaan garis singgung di titik (–4, 3): (–4 + 1)(x + 1) + (3 – 3)(y – 3) = 9 ⇔ –3x – 3 + 0 = 9 ⇔ –3x = 12 ⇔ 3x = –12 ⇔ x = –4 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah x = 2 dan x = –4. 10. Jawaban: a Lingkaran (x + 4)2 + (y – 2)2 = 20 memotong sumbu X pada saat y = 0. (x + 4)2 + (0 – 2)2 = 20 ⇔ (x + 4)2 + 4 = 20 ⇔ (x + 4)2 = 16 ⇔ x+4=±4 ⇔ x = –4 ± 4 ⇔ x = –8 atau x = 0 Diperoleh titik potong lingkaran terhadap sumbu X adalah (–8, 0) dan (0, 0). Persamaan garis singgung di titik (–8, 0): (–8 + 4)(x + 4) + (0 – 2)(y – 2) = 20 ⇔ –4(x + 4) + (–2)(y – 2) = 20

⇔ –4x – 16 – 2y + 4 – 20 = 0 ⇔ –4x – 2y – 32 = 0 ⇔ 2x + y + 16 = 0 Persamaan garis singgung di titik (0, 0): (0 + 4)(x + 4) + (0 – 2)(y – 2) = 20 ⇔ 4(x + 4) + (–2)(y – 2) = 20 ⇔ 4x + 16 – 2y + 4 – 20 = 0 ⇔ 4x – 2y = 0 ⇔ 2x – y = 0 Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya 2x + y + 16 = 0. 11. Jawaban: d Titik (8, –6) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 100. Persamaan garis g yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 100 di titik (8, –6) adalah: 8 × x + (–6) × y= 100 ⇔ 8x – 6y = 100 ⇔ 4x – 3y = 50 ⇔ 4x – 3y – 50 = 0 Panjang jari-jari lingkaran yang menyinggung garis g sama dengan jarak pusat lingkaran (4, –8) ke garis g: 4x – 3y – 50 = 0 yaitu r = =

4 × 4 − 3 × (−8) − 50 42 + (−3)2

16 + 24 − 50 16 + 9

=

−10 25

10

= 5 =2

Jadi, nilai r adalah 2. 12. Jawaban: d Diketahui lingkaran x2 + y2 = 4 berpusat di titik (0, 0) dan berjari-jari r = 2. Untuk x = 0 dan y = 4 diperoleh: 02 + 42 = 0 + 16 = 16 > 4 Titik (0, 4) berada di luar lingkaran. Misalkan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 4 bergradien m, persamaannya: y = mx + 2 1 + m2 Garis tersebut melalui titik (0, 4), maka: 4 = m × 0 + 2 1 + m2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

4 = 2 1 + m2

1 + m2 = 2 1 + m2 = 4 m2 = 3 m=± 3

Persamaan garis singgung melalui titik (4, 0) dan bergradien m = 3 adalah y = 3 x + 4. Persamaan garis singgung melalui titik (4, 0) dan bergradien m = – 3 adalah y = – 3 x + 4. Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya y = – 3 x + 4. Matematika Kelas XI

49

13. Jawaban: e Titik A(0, 1) terletak di luar lingkaran L karena (0 – 2)2 + (1 + 1)2 > 4. Persamaan garis kutub titik A(0, 1) terhadap lingkaran L: (0 – 2)(x – 2) + (1 + 1)(y + 1) = 4 ⇔ –2x + 4 + 2y + 2 = 4 ⇔ –2x + 2y = –2 ⇔ x–y=1 ⇔ y=x–1 Substitusikan y = x – 1 ke dalam persamaan lingkaran. (x – 2)2 + (x – 1 + 1)2 = 4 ⇔ x2 – 4x + 4 + x2 – 4 = 0 ⇔ 2x2 – 4x = 0 ⇔ 2x(x – 2) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 2 Untuk x1 = 0 maka y1 = 0 – 1 = –1. Untuk x2 = 2 maka y2 = 2 – 1 = 1. Diperoleh titik singgung (0, –1) dan (2, 1). Jadi, titik singgungnya adalah (0, –1) dan (2, 1). 14. Jawaban: d Titik (0, 0) terletak di luar lingkaran x2 + y2 – 6x + 2y + 5 = 0. Garis melalui O(0, 0): y = mx Substitusikan y = mx ke dalam persamaan lingkaran. x2 + (mx)2 – 6x + 2(mx) + 5 = 0 ⇔ (1 + m2)x2 + (2m – 6)x + 5 = 0 Garis y = mx menyinggung lingkaran, berarti: D=0 ⇒ (2m – 6)2 – 4(1 + m2) × 5 = 0 ⇔ 4m2 – 24m + 36 – 20 – 20m2 = 0 ⇔ –16m2 – 24m + 16 = 0 ⇔ 2m2 + 3m – 2 = 0 ⇔ (2m – 1)(m + 2) = 0

P B2

1

Titik pusat lingkaran L:

3  P  – 2 , 2  

Jari-jari lingkaran L: r =

 3 −   2

=

9 4

=

25 4

2

.

+ 22 − 0

+4

s =

5

B1 X

1 2 3 4 5 A

(AP)2 − r 2

=

(x A − xP )2 + (y A − yP )2 − r 2

=

5   2

2

+ ( − 4)2 −  5 

2

2

= 16 =4 Jadi, panjang garis AB adalah 4 satuan.

B. Uraian 1. a.

Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 1

= 80 yang bergradien m = – 2 adalah: 1

y = –2x ± 1

⇔ y = –2x ±

 1    2

80

2

+1

5 4

80

1

⇔ y = – 2 x ± 10 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 1 2

1 2

y = – x + 10 dan y = – x – 10. ⇔ ⇔

x2

x2 + y2 – 10x + 6y – 66 = 0 – 10x + 25 + y2 + 6y + 9 = 66 + 25 + 9 (x – 5)2 + (y + 3)2 = 100 4

Garis singgung dengan m = 3 4

y + 3 = 3 (x – 5) ± ⇔ ⇔

= 2 Titik A(1, –2) di luar lingkaran L. Garis AB merupakan garis singgung lingkaran L yang ditarik dari titik A.

r

2 1

r

Garis singgung dari titik A menyinggung lingkaran L di titik B1 dan B2. Panjang garis AB1 = AB2 = s.

b.

15. Jawaban: c Misalkan lingkaran L: x2 + y2 + 3x – 4y = 0.

3

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2

m = 2 atau m = –2

Jadi, gradiennya 2 dan –2.

Lingkaran

4

1

⇔

50

Y

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

4   3

100

4

y + 3 = 3 (x – 5) ± 10 4

20

50

2

+1

25 9

y + 3 = 3x – 3 ± 3 3y + 9 = 4x – 20 ± 50 4x – 3y – 29 ± 50 = 0 4x – 3y – 29 + 50 = 0 atau 4x – 3y – 29 – 50 = 0 4x – 3y + 21 = 0 atau 4x – 3y – 79 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran 4x – 3y + 21 = 0 dan 4x – 3y – 79 = 0. 2. a.

b.

Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) adalah x2 + y2 = r2. Lingkaran melalui titik (–1, 2): x2 + y2 = r2 ⇒ (–1)2 + (2)2 = r2 ⇔ r2 = 1 + 4 = 5 Diperoleh persamaan lingkaran: x2 + y2 = 5. Persamaan garis singgung lingkaran di titik A(–1, 2): x1x + y1y = r2 ⇒ (–1)x + (2)y = 5 ⇔ –x + 2y = 5 Jadi, persamaan lingkaran x2 + y2 = 5 dan garis singgungnya di titik A adalah –x + 2y = 5. Lingkaran dan garis singgungnya: Y

Oleh karena garis 12x – 5y = 169 juga menyinggung lingkaran (x – 5)2 + (y – 12)2 = p, diperoleh: d= ⇔ d= ⇔ d=

X

3. L: + – 8x – 8y + 24 = 0 ⇔ x2 – 8x + y2 – 8y = –24 ⇔ x2 – 8x + 16 + y2 – 8y + 16 = –24 + 16 + 16 ⇔ (x – 4)2 + (y – 4)2 = 8 Diperoleh titik pusat lingkaran P(4, 4) dan jari-jari r = 8. Garis y = x melalui titik pusat lingkaran sehingga garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran L dan garis y = x tegak lurus dengan garis y = x. Oleh karena garis y = x bergradien 1, garis singgungnya bergradien –1. Persamaan garis singgungnya: 8

−169 169

1 + (−1)2

⇔ y – 4 = –x + 4 ± 8 2 ⇔ y = –x + 8 ± 4 ⇔ y = –x + 12 atau y = –x + 4 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran y = –x + 12 dan y = –x + 4. 4. Cek kedudukan titik (12, –5) terhadap lingkaran x2 + y2 = 169. 122 + (–5)2 = 144 + 25 = 169 Titik (12, –5) terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgung lingkaran di titik (12, –5) adalah 12x – 5y = 169.

25 = 5.

Titik pusat lingkaran L2: P2(10, –7). Jari-jari lingkaran:

102 + (−7)2 − 49 =

y2

y – 4 = –1(x – 4) ±

122 + (−5)2

(−2)2 + 22 + 17 =

r2 = x2

5(12) + 12(−5) − 169

⇔ d = 13 Jari-jari lingkaran (x – 5)2 + (y – 12)2 = p adalah 13, diperoleh: r2 = p ⇔ 132 = p ⇔ p = 169 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 169.

r1 = –1 0

p2 + q2

5. Titik pusat lingkaran L1: P1(–2, 2). Jari-jari lingkaran:

A 2

–5

ap + bq + r

100 = 10.



Y P1 2 –2

10

Q

–7

X

P2

Lingkaran L1 dan L2 bersinggungan di titik Q. Garis  adalah garis singgung persekutuan lingkaran L1 dan L2. Gradien garis P1P2. m1 =

yP1 − yP2 xP1 − xP2

=

2 − (−7) −2 − 10

=–

9 12

3

=–4

Misalkan gradien garis  adalah m. Garis  tegak lurus garis P1P2 maka 3

4

m1m = –1 ⇒ – 4 m = –1 ⇔ m = 3 Menentukan koordinat titik Q. Eliminasi x2 dan y2 dari persamaan lingkaran L1 dan L2. L1: x2 + y2 + 4x – 4y – 17 = 0 L2: x2 + y2 – 20x + 14y + 49 = 0 ––––––––––––––––––––––––– – 24x – 18y – 66 = 0 ⇔ 4x – 3y – 11 = 0 ⇔

y =

4x − 11 3

Matematika Kelas XI

51

Substitusikan y =

4x − 11 3

ke dalam persamaan L1.

4x − 11  2 4x − 11  x2 +  3  + 4x – 4  3  – 17 = 0 





 16 44 + 4x – 3 x + 3

4

– 17 = 0

Garis  bergradien 3 dan melalui titik Q(2, –1) maka persamaan garis :

⇔ 9x2 + 16x2 – 88x + 121 + 36x – 48x + 132 – 153 = 0 ⇔ 25x2 – 100x + 100 = 0 ⇔ x2 – 4x + 4 = 0 ⇔ (x – 2)2 = 0 ⇔ x=2 Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan

y + 1 = 3 (x – 2) ⇔ 3y + 3 = 4x – 8 ⇔ 4x – 3y – 11 = 0 Jadi, persamaan garis singgung di titik singgung lingkaran L1 dan L2 adalah 4x – 3y – 11 = 0.

⇔

x2

y= y=

+

16x 2 − 88x + 121 9

4x − 11 . 3 4 × 2 − 11 3

= –1

Diperoleh koordinat titik Q(2, –1).

52

Persamaan garis yang bergradien m dan melalui titik (x1, y1): y – y1 = m(x – x1)

Lingkaran

4

Matematika Kelas XI

53

Lingkaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Kedudukan Ttiik, Garis, dan Lingkaran terhadap Lingkaran

Persamaan Lingkaran

Pengertian Garis Singgung Lingkaran di Suatu Titik di Luar Lingkaran

Garis Singgung Lingkaran di Suatu Titik pada Lingkaran

Garis Singgung Lingkaran yang Diketahui Gradiennya

Pengertian Garis Singgung Lingkaran

Kedudukan Dua Lingkaran

Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

Persamaan Lingkaran

Pengetian Lingkaran

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Dari gambar diperoleh koordinat titik pusat lingkaran O(0, 0) dan jari-jarinya 2 6 . Persamaan lingkaran:

6. Jawaban: b Lingkaran yang berpusat di titik (2, –3) dan menyinggung sumbu X sebagai berikut. Y

x2 + y2 = (2 6 )2 ⇔ x2 + y2 = 24 Jadi, persamaan lingkaran adalah x2 + y2 = 24.

0

X

2 r=3

–3

2. Jawaban: e 2x2 + 2y2 = 49 49

⇔ x2 + y2 = 2 49

r2 = 2 ⇔ r =

49 2

=

7 2

7

= 2 2 7

Jadi, panjang jari-jari lingkaran r adalah 2 2 satuan. 3. Jawaban: d y = 2x – 3 ⇔ 2x – y – 3 = 0 Jari-jari lingkaran L sama dengan jarak titik O(0, 0) ke garis 2x – y – 3 = 0, yaitu: r=

2(0) − (0) − 3 22 + (−1)2

=

−3 5

⇔ r2 =

9 5

9

x2 + y2 = 5 ⇔ 5x2 + 5y2 = 9 Jadi, persamaan lingkaran L adalah 5x2 + 5y2 = 9. 4. Jawaban: b a = 3 ⇒ (2a + 1, –a + 2) = (7, –1) Diperoleh titik pusat (7, –1) dan r = 2 3 . Persamaan lingkaran sebagai berikut. (x – 7)2 + (y + 1)2 = (2 3 )2 2 ⇔ x – 14x + 49 + y2 + 2y + 1 = 12 ⇔ x2 + y2 – 14x + 2y + 38 = 0 Jadi, persamaan lingkaran P adalah x2 + y2 – 14x + 2y + 38 = 0. 5. Jawaban: a x2 + y2 – 4x + 10y + 17 = 0 ⇔ x2 – 4x + y2 + 10y + 17 = 0 2 ⇔ (x – 2) – 4 + (y + 5)2 – 25 + 17 = 0 ⇔ (x – 2)2 + (y + 5)2 – 12 = 0 ⇔ (x – 2)2 + (y + 5)2 = 12 Jadi, persamaan lingkaran A juga dapat ditulis menjadi (x – 2)2 + (y + 5)2 = 12.

54

Lingkaran

7. Jawaban: a Dari persamaan (x – 1)2 + (y + 3)2 = 18 diperoleh A(1, –3), rA =

Persamaan lingkaran L: x2 + y2 = r2 ⇒

Dari gambar diperoleh koordinat titik pusat lingkaran (2, –3) dan jari-jari 3. Persamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y – (–3))2 = 32 ⇔ (x – 2)2 + (y + 3)2 = 9 2 ⇔ x – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 – 9 = 0 ⇔ x2 + y2 – 4x + 6y + 4 = 0 Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah x2 + y2 – 4x + 6y + 4 = 0.

18 = 3 2 .

Titik pusat lingkaran B = (1, –3). 1

rB = 3 rA = 2 Persamaan lingkaran B sebagai berikut. (x – 1)2 + (y + 3)2 = ( 2 )2 ⇔ (x – 1)2 + (y + 3)2 = 2 Jadi, persamaan lingkaran B adalah (x – 1)2 + (y + 3)2 = 2. 8. Jawaban: c x2 + y2 + 4x – 12y – 9 = 0 ⇔ x2 + 4x + y2 – 12y = 9 ⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 12y + 36 = 9 + 4 + 36 ⇔ (x + 2)2 + (y – 6)2 = 49 ⇔ (x + 2)2 + (y – 6)2 = 72 Jadi, koordinat titik pusat (–2, 6) dan jari-jari 7. 9. Jawaban: d Lingkaran x2 + y2 + 8x – 2y + a = 0 berpusat di 8

−2

titik (– 2 , – 2 ) = (–4, 1). Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (–4, 1) dan berjari-jari 6 adalah (x + 4)2 + (y – 1)2 = 62 ⇔ x2 + 8x + 16 + y2 – 2y + 1 = 36

⇔ x2 + y2 + 8x – 2y + 16 + 1 – 36 = 0 ⇔ x2 + y2 + 8x – 2y – 19 = 0 Jadi, nilai a yang memenuhi adalah –19. 10. Jawaban: a Titik pusat lingkaran:  2, 

1  –2p 

.

Lingkaran menyinggung sumbu Y maka r = |absis titik pusat|| 2

⇒

22 +  − 1 p  − 25 = 2

⇔

4 + p − 25 = 2

⇔

 2 

2

4

p2 4

12. Jawaban: c Substitusikan titik (2, –2) ke dalam persamaan lingkaran. x2 + y2 + 2x – 4y + p = 0 2 ⇔ 2 + (–2)2 + 2(2) – 4(–2) + p = 0 ⇔ 4+4+4+8+p=0 ⇔ 20 + p = 0 ⇔ p = –20 Diperoleh lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y – 20 = 0. Jari-jari lingkaran: r =

– 21 =

22

⇔

p2 4

⇔

p2 = 100

⇔

Titik (0, 2) berada di luar lingkaran A. Jadi, titik yang berada di dalam lingkaran A adalah (4, –7).

= 25 = 5 Jadi, panjang jari-jari lingkaran 5 satuan.

= 25

p = ± 100 = ±10

Jadi, nilai p adalah ±10. 11. Jawaban: a Substitusikan (4, –7) ke ruas kiri persamaan lingkaran A. (x – 3)2 + (y + 7)2 = (4 – 3)2 + (–7 + 7)2 =1+0 = 1( 1 < 16) Jadi, titik (4, –7) berada di dalam lingkaran. Dengan cara yang sama akan diperiksa kedudukan titik (6, –4), (4, –1), (1, 1), dan (0, 2). Untuk (6, –4) ⇒ (x – 3)2 + (y + 7)2 = (6 – 3)2 + (–4 + 7)2 =9+9 = 18 (18 > 16) Titik (6, –4) berada di luar lingkaran A. Untuk (4, –1) ⇒ (x – + (y + = (4 – 3)2 + (–1 + 7)2 = 1 + 36 = 37 (37 > 16) Titik (4, –1) berada di luar lingkaran A. 3)2

(−1)2 + 22 − (−20)

7)2

Untuk (1, 1) ⇒ (x – 3)2 + (y + 7)2 = (1 – 3)2 + (1 + 7)2 = 4 + 64 = 68 (68 > 16) Titik (1, 1) berada di luar lingkaran A. Untuk (0, 2) ⇒ (x – 3)2 + (y + 7)2 = (0 – 3)2 + (2 + 7)2 = 9 + 81 = 90 (90 > 16)

13. Jawaban: d Substitusikan (1, 3) ke ruas kiri persamaan lingkaran B. (x + 5)2 + (y – 3)2 = (1 + 5)2 + (3 – 3)2 = 36 (36 = 36) Jadi, titik (1, 3) berada pada lingkaran B. Dengan cara yang sama akan diperiksa kedudukan titik (–2, 6), (–5, –3), (–3, 9), dan (–8, –2). Untuk (–2, 6) ⇒ (x + 5)2 + (y – 3)2 = (–2 + 5)2 + (6 – 3)2 =9+9 = 18 (18 < 36) Titik (–2, 5) berada di dalam lingkaran B. Untuk (–5, –3) ⇒ (x + 5)2 + (y – 3)2 = (–5 + 5)2 + (–3 – 3)2 = 0 + 36 = 36 (36 = 66) Titik (–5, –3) berada pada lingkaran B. Untuk (–3, 9) ⇒ (x + 5)2 + (y – 3)2 = (–3 + 5)2 + (9 – 3)2 = 4 + 36 = 40 (40 > 36) Titik (–3, 9) berada di luar lingkaran B. Untuk (–8, –2) ⇒ (x + 5)2 + (y – 3)2 = (–8 + 5)2 + (–2 – 3)2 = 9 + 25 = 34 (34 < 36) Titik (–8, –2) berada di dalam lingkaran B. Jadi, titik yang berada di luar lingkaran adalah (–3, 9). 14. Jawaban: c Agar titik D berada di luar lingkaran, pensubstitusian titik D(a, 8) harus memenuhi (a + 5)2 + (8 – 6)2 > 8. (a + 5)2 + (8 – 6)2 > 8 ⇔ a2 + 10a + 25 + 4 > 8 Matematika Kelas XI

55

⇔ a2 + 10a + 21 > 0 ⇔ (a + 7)(a + 3) > 0 Pembuat nol: (a + 7)(a + 3) = 0 +++

––– –7

+++ –3

Jadi, nilai a yang memenuhi adalah {a | a < –7 atau a > –3}. 15. Jawaban: e Substitusikan titik (5, b) ke dalam persamaan lingkaran. x2 + y2 – 4x + 10y + 11 = 0 2 ⇔ 5 + b2 – 4 × 5 + 10b + 11 = 0 ⇔ 25 + b2 – 20 + 10b + 11 = 0 ⇔ b2 + 10b + 16 = 0 ⇔ (b + 8)(b + 2) = 0 ⇔ b = –8 atau b = –2 Jadi, nilai b yang memenuhi adalah b = –8 atau b = –2. 16. Jawaban: c Jari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat (–2, 3) dengan garis singgungnya 4x – 3y + 7 = 0. 4(−2) − 3(3) + 7

r=

4 + (−3) 2

2

=

−8 − 9 + 7 25

=

−10 5

= |–2| = 2

Diameter lingkaran: d = 2r = 2 × 2 = 4 Jadi, diameternya 4 satuan. 17. Jawaban: a Kedua lingkaran sepusat sehingga titik pusatnya sama. Berlaku: x–a=x+1 ⇔ –a = 1 ⇔ a = –1 y+5=y–b ⇔ b = –5 a + b = –1 + (–5) = –6 Jadi, nilai a + b adalah –6. 18. Jawaban: b Pusat lingkaran C adalah C(4, –5) dengan R = 10. Pusat lingkaran D adalah D(–3, –5) dengan jari-jari r. d =

(−3 − 4)2 + (−5 − (−5))2

= (−7)2 + 0 = 7 Lingkaran D berada di dalam lingkaran C sehingga berlaku d < R – r. d
56

Lingkaran

19. Jawaban: e Dari persamaan (x – 5)2 + (y + 3)2 = 100 diperoleh P(5, –3), rP = 10. Dari persamaan (x + a)2 + (y – 1)2 = 25 diperoleh Q(–a, 1), rQ = 5. Kedua lingkaran bersinggungan di dalam sehingga d = rQ – rP. d = rQ – rP ⇔

(−a − 5)2 + (1 + 3)2 = 10 – 5

⇔

a2 + 10a + 25 + 16 = 5

⇔

a2 + 10a + 41 = 5 ⇔ a2 + 10a + 41 = 25 ⇔ a2 + 10a + 16 = 0 ⇔ (a + 8)(a + 2) = 0 ⇔ a = –8 atau a = –2 Jadi, nilai a = –8 atau a = –2. 20. Jawaban: b Eliminasi (y – 2)2 dari kedua persamaan lingkaran. (x + 1)2 + (y – 2)2 = 9 (x – 8)2 + (y – 2)2 = 36 –––––––––––––––––––– – (x + 1)2 – (x – 8)2 = –27 ⇔ (x2 + 2x + 1) – (x2 – 16x + 64) = –27 ⇔ 18x – 63 = –27 ⇔ 18x = 36 ⇔ x=2 Substitusikan x = 2 ke persamaan lingkaran (x + 1)2 + (y – 2)2 = 9. x = 2 ⇒ (x + 1)2 + (y – 2)2 = 9 ⇔ (2 + 1)2 + (y – 2)2 = 9 ⇔ 9 + (y – 2)2 = 9 ⇔ (y – 2)2 = 0 ⇔ y–2=0 ⇔ y=2 Jadi, titik singgung kedua lingkaran adalah (2, 2). 21. Jawaban: a Lingkaran: x2 + y2 = 36 Pusat: (0, 0) dan jari-jari r = 36 = 6 Misalkan garis singgung g: 3x + 4y + 20 = 0 3

⇔ y = –4x – 5 3

Diperoleh gradien garis g adalah m = – 4 . Persamaan garis singgung: y = –mx ± r m2 + 1 2

⇔

3 y = – 4 x ± 6  − 3  + 1

⇔

y = –4x ± 6

 4

3

9 16 + 16 16

3

⇔

5

y = –4x ± 6 × 4 ⇔ 4y = –3x ± 30 Salah satu persamaan garis singgungnya: 4y = –3x – 30 ⇔ 3x + 4y + 30 = 0 Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya adalah 3x + 4y + 30 = 0. 22. Jawaban: c Persamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y + 4)2 = 10 Persamaan garis singgung yang bergradien m = –3: y – b = m(x – a) ± r 1+ m2 ⇔

y + 4 = –3(x – 2) ±

10

1

m= 5 Lingkaran x2 + y2 + 10x – 6y + 8 = 0 dapat disederhanakan menjadi: x2 + y2 + 10x – 6y + 8 = 0 ⇔ x2 + 10x + y2 – 6y = –8 2 ⇔ x + 10x + 25 + y2 – 6y + 9 = –8 + 25 + 9 ⇔ (x + 5)2 + (y – 3)2 = 26 Persamaan garis singgung lingkaran dengan 1

gradien 5 adalah y – b = m(x – a) ± r 1+ m2 1

y – 3 = 5 (x + 5) ± 26

⇔

y – 3 = 5 (x + 5) ±

⇔

1

1

26 26

y= 2 Jadi, garis singgung lingkaran memotong sumbu Y 13

23. Jawaban: e Garis 5x + y = 10 mempunyai gradien m1 = –5. Oleh karena garis singgung tegak lurus dengan garis 5x + y = 10 diperoleh: m × m1 = –1 ⇔ m × (–5) = –1

⇔

13

⇔

di titik (0, 2 ).

1+ (−3)2

⇔ y + 4 = –3x + 6 ± 10 10 ⇔ 3x + y = 2 ± 10 ⇔ 3x + y = 2 + 10 atau 3x + y = 2 – 10 ⇔ 3x + y = 12 atau 3x + y = –8 Jadi, persamaan garis singgungnya 3x + y = 12 dan 3x + y = –8.

⇔

24. Jawaban: b x2 + y2 = 13 Untuk x = –3 dan y = 2 diperoleh: (–3)2 + 22 = 9 + 4 = 13 Titik (–3, 2) terletak pada lingkaran, sehingga persamaan garis singgungnya: x1x + y1y = r2 ⇒ –3x + 2y = 13 Garis singgung memotong sumbu Y, berarti: x=0 ⇒ –3(0) + 2y = 13 ⇔ 2y = 13

1 1 + ( )2 5

26 25

y – 3 = 5 (x + 5) ± 5 ⇔ 5(y – 3) = x + 5 ± 26 ⇔ 5y – 15 = x + 5 ± 26 ⇔ x – 5y + 20 ± 26 = 0 ⇔ x – 5y + 20 + 26 = 0 atau x – 5y + 20 – 26 = 0 ⇔ x – 5y + 46 = 0 atau x – 5y – 6 = 0 Jadi, persamaan garis singgungnya x – 5y + 46 = 0 dan x – 5y – 6 = 0.

25. Jawaban: c (x + 2)2 + (y – 1)2 = 26 Untuk x = –3 dan y = 6 diperoleh: (–3 + 2)2 + (6 – 1)2 = 1 + 25 = 26 Titik (–3, 6) terletak pada lingkaran sehingga persamaan garis singgungnya: (x1 + 2)(x + 2) + (y1 – 1)(y – 1) = 26 ⇔ (–3 + 2)(x + 2) + (6 – 1)(y – 1) = 26 ⇔ (–1)(x + 2) + (5)(y – 1) = 26 ⇔ –x – 2 + 5y – 5 – 26 = 0 ⇔ –x + 5y – 33 = 0 ⇔ x – 5y + 33 = 0 Jadi, persamaan garis singgungnya x – 5y + 33 = 0. 26. Jawaban: c Misalkan titik singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 8y + 15 = 0 adalah T(a, –2), sehingga: a2 + (–2)2 – 4a + 8 × (–2) + 15 = 0 ⇔ a2 + 4 – 4a – 16 + 15 = 0 ⇔ a2 – 4a + 3 = 0 ⇔ (a – 3)(a – 1) = 0 ⇔ a – 3 = 0 atau a – 1 = 1 ⇔ a = 3 atau a=1 Diperoleh titik singgung T1(1, –2) dan T2(3, –2). Persamaan garis singgung di T1 (1, –2): 4

8

x – 2y – 2 (x + 1) + 2 (y – 2) + 15 = 0 ⇔ x – 2y – 2x – 2 + 4y – 8 + 15 = 0 ⇔ –x + 2y + 5 = 0 ⇔ x – 2y – 5 = 0 Persamaan garis singgung di T2 (3, –2): 4

8

3x – 2y – 2 (x + 3) + 2 (y – 2) + 15 = 0 ⇔ 3x – 2y – 2x – 6 + 4y – 8 + 15 = 0 ⇔ x + 2y + 1 = 0 Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya x – 2y – 5 = 0.

Matematika Kelas XI

57

27. Jawaban: c Misalkan koordinat titik P(x1, y1). Titik P di luar lingkaran L. Garis singgung di titik A melalui AP dan garis singgung di titik B melalui BP. Garis g: 7x – y = 25 merupakan garis kutub dari titik P pada lingkaran L. Persamaan garis kutub dari titik P pada lingkaran L: x1x + y1y = 25 sehingga diperoleh x1 = 7 dan y1 = –1. Jadi, koordinat titik P(7, –1). 28. Jawaban: b Misalkan garis singgung lingkaran L di titik A 1

Garis singgung 1 tegak lurus PB1 dan garis singgung 2 tegak lurus PB2. Jarak PQ = (x Q − xP )2 + (yQ − yP )2 = ⇔

(−2 − 5)2 + (5 − b)2 =

PB12 + QB12

42 + 72 65

⇔ + (5 – = 65 ⇔ 49 + 25 – 10b + b2 = 65 ⇔ b2 – 10b + 9 = 0 ⇔ (b – 1)(b – 9) = 0 ⇔ b = 1 atau b = 9 Jadi, nilai b = 1 atau b = 9. (–7)2

b)2

adalah g, maka gradiennya mg = – 2 . OA merupakan jari-jari lingkaran L. Persamaan garis yang melalui OA: y−0 yA − 0 y ⇔ 2

⇔

= =

y=

B. Uraian

x−0 xA − 0 x a 2 x a

1. a.

Lingkaran berpusat di O(0, 0) mempunyai persamaan x2 + y2 = r2. Oleh karena lingkaran menyinggung garis y = 6 maka r = 6, diperoleh: x2 + y2 = r2 ⇔ x2 + y2 = 62 ⇔ x2 + y2 = 36 Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 36.

b.

Lingkaran berpusat di A(2, 7) mempunyai persamaan (x – 2)2 + (y – 7)2 = r2. Oleh karena lingkaran melalui titik (5, 2), diperoleh: (x – 2)2 + (y – 7)2 = r2 ⇔ (5 – 2)2 + (2 – 7)2 = r2 ⇔ 32 + (–5)2 = r2 ⇔ 9 + 25 = r2 ⇔ 34 = r2 Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 2)2 + (y – 7)2 = 34.

2

Gradien garis yang melalui OA: m = a Garis g tegak lurus garis yang melalui OA maka mg × m = –1 ⇒ –

1 2

2

× a = –1 ⇔ a= 1 Jadi, nilai a adalah 1. 29. Jawaban: d L: x2 + y2 – 24x – 12y + 168 = 0 ⇔ x2 – 24x + 144 + y2 – 12y + 36 = –168 + 144 + 36 ⇔ (x – 12)2 + (y – 6)2 = 12 Diperoleh koordinat titik pusat (2, 3) dan jari-jari r = 12 = 2 3 . Titik A dan B merupakan titik singgung dari dua garis singgung yang sejajar sehingga panjang AB sama dengan panjang diameter. Panjang AB = d = 2r = 4 3

2. L: x2 + y2 + 6x – 14y + 9 = 0 a.

=

b.

Y 5) 2,

7

4

Q

(–

1

B1

P(5, b) r B2 O

58

Lingkaran

2

X

1

Jari-jari: r =

Jadi, panjang AB = d = 2r = 4 3 satuan. 30. Jawaban: d

Pusat:  – 2 (6), – (–14)  = (–3, 7) 2   1

(−3)2 + 72 − 9 9 + 49 − 9

= 49 = 7 Jadi, koordinat titik pusat lingkaran L(–3, 7) dan jari-jarinya 7. Persamaan lingkaran dengan pusat (–3, 7) dan r = 5: (x + 3)2 + (y – 7)2 = 52 2 2 ⇔ x + 6x + 9 + y – 14y + 49 – 25 = 0 ⇔ x2 + y2 + 6x – 14y + 33 = 0 Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 + 6x – 14y + 33 = 0.

3. a.

Pusat lingkaran: P(–2, 3) Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik pusat ke garis x + y = 0, yaitu: r=

−2 + 3 + 0 12 + 12

=

Pembuat nol: m(m + 10) = 0 ⇔ m = 0 atau m = –10

1 2

+++ –10

1

⇔ r2 = 2

1

(x – (–2))2 + (y – 3)2 = 2

1

⇔

(x + 2)2 + (y – 3)2 = 2

⇔

1

x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 2 ⇔ 2x2 + 8x + 8 + 2y2 – 12y + 18 = 1 ⇔ 2x2 + 2y2 + 8x – 12y + 25 = 0 Jadi, persamaan lingkaran L: 2x2 + 2y2 + 8x – 12y + 25 = 0.

4. a.

2x2 + 2y2 + 8x – 12y + 25 = 0 Untuk x = –3 dan y = 2 diperoleh: 2(–3)2 + 2(2)2 + 8(–3) – 12(2) + 25 = 18 + 8 – 24 – 24 + 25 = 3 > 0 Oleh karena hasilnya positif, maka titik Q terletak di luar lingkaran L. C berada di dalam lingkaran jika pensubstitusian C(m, 10) menyebabkan (x + 5)2 + (y – 5)2 < 50. (x + 5)2 + (y – 5)2 < 50 ⇔ (m + 5)2 + (10 – 5)2 < 50 ⇔ (m + 5)2 + 25 < 50 2 ⇔ m + 10m + 25 + 25 < 50 ⇔ m2 + 10m < 0 ⇔ m(m + 10) < 0 Pembuat nol: m(m + 10) = 0 ⇔ m = 0 atau m = –10 +++

––– –10

+++ 0

Jadi, nilai m yang memenuhi adalah {m | –10 < m < 0}. b.

+++ 0

Jadi, nilai m yang memenuhi adalah {m | m < –10 atau m > 0}.

Persamaan lingkaran:

b.

–––

C berada di luar lingkaran jika pensubstitusian C(m, 10) menyebabkan (x + 5)2 + (y – 5)2 > 50. (x + 5)2 + (y – 5)2 > 50 ⇔ (m + 5)2 + (10 – 5)2 > 50 ⇔ (m + 5)2 + 52 > 50 2 ⇔ m + 10m + 25 > 25 ⇔ m2 + 10m > 0 ⇔ m(m + 10) > 0

5. Dari persamaan lingkaran C: (x + 6)2 + (y + 8)2 = 169 diperoleh C(–6, –8) dan rC = 13. Dari persamaan lingkaran D: (x + a)2 + (y – 16)2 = 169 diperoleh D(–a, 16) dan rD = 13. Agar kedua lingkaran bersinggungan di luar, d = rC + rD. d = rC + r D ⇔

(−a + 6)2 + (16 + 8)2 = 13 + 13

⇔

(−a + 6)2 + 242 = 26

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

(–a + 6)2 + 242 (–a + 6)2 + 576 (–a + 6)2 (–a + 6)

= 676 = 676 = 100 = ±10

Untuk –a + 6 = –10 diperoleh a = 16. Untuk –a + 6 = 10 diperoleh a = –4. Jadi, nilai a = –4 atau a = 16. 6. Eliminasi (y – 1)2 dari persamaan lingkaran P dan lingkaran Q. (x + 2)2 + (y – 1)2 = 50 (x – 8)2 + (y – 1)2 = 50 –––––––––––––––––––– – (x + 2)2 – (x – 8)2 = 0 ⇔ (x2 + 4x + 4) – (x2 – 16x + 64) = 0 ⇔ 20x – 60 = 0 ⇔ x=3 Substitusikan x = 3 ke persamaan lingkaran P. x=3 ⇒ (x + 2)2 + (y – 1)2 = 50 ⇔ (3 + 2)2 + (y – 1)2 = 50 ⇔ 52 + (y – 1)2 = 50 ⇔ (y – 1)2 = 25 ⇔ y – 1 = ±5 Untuk y – 1 = 5 ⇒ y = 6. Untuk y – 1 = –5 ⇒ y = –4. Diambil C(3, –4) karena C berada di kuadran IV. Persamaan garis bergradien –3 yang melalui titik C sebagai berikut. y = mx + c ⇔ –4 = –3 × 3 + c ⇔ c =5

Matematika Kelas XI

59

Persamaan garis singgung lingkaran L yang

Persamaan garisnya y = –3x + 5. Jadi, persamaan garis tersebut adalah y = –3x + 5.

1

bergradien m = 2 adalah:

7. Titik pusat L1: P1(0, –4). 2

1

2

0 + (−4) − 3 =

Jari-jari L1: r1 =

y – 1 = 2 (x + 2) ±

13 .

Titik pusat L2: P2(4, 2). 2

⇔ 2

4 +2 −7 =

Jari-jari L2: r2 =

13 . Oleh karena jari-jari r1 = r2 maka titik P3 merupakan titik tengah garis P1P2. Koordinat titik pusat = P3  

xP1 + xP2 2

0+4

= P3  2 , 

,

= P3(2, –1) Jari-jari L3: r3 = 2r1 = 2r2 = 2 13 . Persamaan lingkaran L3: (x – xP )2 + (y – yP )2 = r32 3 3 ⇒ (x – 2)2 + (y + 1)2 = (2 13 )2 ⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 52 ⇔ x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0 Jadi, persamaan lingkaran L3: x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0 8. L: x2 + y2 + 4x – 2y – 15 = 0 2 ⇔ x + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 15 + 4 + 1 ⇔ (x + 2)2 + (y – 1)2 = 20 Diperoleh koordinat titik pusat (–2, 1) dan jari-jari r = 20 . g: 6x + 3y – 1 = 0 1

⇔ y = –2x + 6 Diperoleh gradien garis g adalah –2. a. Garis singgung yang sejajar dengan garis g bergradien m = –2. Persamaan garis singgung lingkaran L yang bergradien m = –2 adalah: y – 1 = –2(x + 2) ± 20 1+ (−2)2

b.

⇔ y – 1 = –2x – 4 ± 20 5 ⇔ y = –2x – 3 ± 10 ⇔ 2x + y = –3 ± 10 Jadi, persamaan garis singgungnya 2x + y = –3 ± 10. Garis singgung yang tegak lurus garis g 1

bergradien m = 2 .

60

Lingkaran

20

1 1+ ( )2 2

5 4

⇔ y=x+2±5 ⇔ 2y = x + 4 ± 10 ⇔ x – 2y = –4 ± 10 Jadi, persamaan garis singgungnya x – 2y = –4 ± 10.

yP1 + yP2   2 

−4 + 2  2 

y–1=x+1±

20

9. Persamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25 a. Untuk x = –2 dan y = –6 diperoleh: (x – 2)2 + (y + 3)2 = (–2 – 2)2 + (–6 + 3)2 = 16 + 9 = 25 Jadi, titik (–2, –6) terletak pada lingkaran. b. Persamaan garis singgung lingkaran di titik P(–2, –6) yaitu: (x1 – 2)(x – 2) + (y1 + 3)(y + 3) = 25 ⇔ (–2 – 2)(x – 2) + (–6 + 3)(y + 3) = 25 ⇔ –4(x – 2) – 3(y + 3) = 25 ⇔ –4x + 8 – 3y – 9 = 25 ⇔ 4x + 3y + 26 = 0 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 4x + 3y + 26 = 0. 10. Ordinat titik pusat = 2. Misalkan koordinat titik pusat lingkaran P(a, 2). Garis g: x – 3y + 5 = 0 melalui titik pusat lingkaran berarti titik P(a, 2) terletak pada garis g. Sehingga: a–3×2+5=0⇔a=1 Diperoleh titik pusat: P(1, 2). Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(1, 2) ke titik A(0, –1): r = =

(xP − x A )2 + (yP − y A )2

(1 − 0)2 + (2 − (−1))2

= 12 + 32 = 1 + 9 = 10 ⇔ r2 = 10 Persamaan lingkaran: (x – xP)2 + (y – yP)2 = r2 ⇔ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 10 Persamaan garis singgung di titik A(0, –1): (0 – 1)(x – 1) + (–1 – 2)(y – 2) = 10 ⇔ –x + 1 – 3y + 6 = 10 ⇔ –x – 3y – 3 = 0 ⇔ x + 3y + 3 = 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran di titik A adalah x + 3y + 3 = 0.

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: a

6 =0

2 2 sin x – ⇔

2 2 sin x =

⇔

sin x =

⇔

sin x =

6

2)

3× 2 2 2 1 2

3

π ) 4

= –1

⇔

cos (2x –

π ) 4

=

−1 − 2

⇔

cos (2x –

π ) 4

=

1 2

⇔

cos (2x –

π ) 4

= cos

⇔ 2x –

π 4

=

π 4

⇔ 2x =

π 2

⇔

π 4

2x –

π 4

x =

=

π 4

+1×π=

5π 4

Untuk 2x – π 4

π 4

π

= – 4 + k × 2π:

π

= – 4 + k × 2π

π

×

+ k × 2π

2 2

2 π 4

+ k × 2π:

+ k × 2π

5π 4

.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 1–

⇔

+ k × 2π atau 2x – π 4

π 4

π

2 cos (2x – 4 ) = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah π , 4

π,

5π 4

}.

3. Jawaban: e sin (3x – 60°) = cos (3x – 60°)

π

Untuk 2x –

k=1⇔x=

x yang memenuhi x = 0, 4 , π,

{0,

2 cos (2x – 4 ) = 0

⇔ – 2 cos (2x –

1)

π 4

⇔ x =k×π k=0⇔x=0×π=0 k=1⇔x=1×π=π Oleh karena nilai x dibatasi 0 ≤ x ≤ 2π maka nilai

2. Jawaban: e

π 4

+0×π=

⇔ 2x = 0 + k × 2π

Jadi, nilai tan x = tan 120° = – 3 .

=

π 4

2x –

⇔ sin x = sin 60° ⇔ x = 60° + k × 360° atau x = (180° – 60°) + k × 360° ⇔ x = 60° + k × 360° atau x = 120° + k × 360° 1) Untuk x = 60° + k × 360°: k = 0 ⇔ x = 60° + 0 × 360° = 60° 2) Untuk x = 120° + k × 360°: k = 0 ⇔ x = 120° + 0 × 360° = 120° Oleh karena 90° ≤ x ≤ 270° maka x yang memenuhi adalah x = 120°.

1–

k=0⇔x=

π 4

π

= – 4 + k × 2π

sin (3x − 60°) cos (3x − 60°)

=1

⇔ tan (3x – 60°) = 1 ⇔ tan (3x – 60°) = tan 45° ⇔ 3x – 60° = 45° + k × 180° ⇔ 3x = 105° + k × 180° ⇔ x = 35° + k × 60° k = 2 ⇔ x = 35° + 2 × 60° = 155° k = 3 ⇔ x = 35° + 3 × 60° = 215° k = 4 ⇔ x = 35° + 4 × 60° = 275° k = 5 ⇔ x = 35° + 5 × 60° = 335° Oleh karena nilai x dibatasi untuk 180° ≤ x ≤ 360° maka nilai x yang memenuhi adalah x = 215°, 275°, 335°. Jadi, nilai x yang memenuhi sin (3x – 60°) – cos (3x – 60°) = 0 untuk 180° ≤ x ≤ 360° adalah 215°, 275°, 335°.

+k×π

Matematika Kelas XI

61

4. Jawaban: c cos 6x + ⇔

cos 6x +

⇔

2

cos2

⇔ ⇔

3 cos 3x = 2

3 cos 3x – 2 = 0

3x – 1 +

3 cos 3x – 2 = 0

2 cos2 3x +

3 cos 3x – 3 = 0

(2 cos 3x –

⇔ 2 cos 3x –

3 )(cos 3x +

3 = 0 atau cos 3x + 1

⇔

cos 3x = 2 3 atau

a.

cos 3x = 2 3 = cos 30° ⇔ 3x = ±30° + k × 360° Penyelesaian: 1) 3x = 30° + k × 360° ⇔ x = 10° + k × 120° Untuk k = 0, maka x = 10° Untuk k = 1, maka x = 130° Untuk k = 2, maka x = 250° 2) 3x = –30° + k × 360° ⇔ x = –10° + k × 120° Untuk k = 1, maka x = 110° Untuk k = 2, maka x = 230°

16 − 7 4

=

9 4

β

= =

3

5 3

2

× 4 – 3 ×

3 5−2 7 12

7 C 25 15

2

A

y° x° B

Perhatikan ∆ABC siku-siku di B. AB =

AC2 − BC2

=

252 − 152

=

625 − 225

=

400 = 20

Perhatikan ∆ACD siku-siku di D. AD =

AC2 − CD2

=

252 − 72

=

625 − 49

=

576 = 24 BC

15

3

sin x° = AC = 25 = 5

Jadi, nilai dari

AB

20

4

2 cos 23,5° cos 21,5° – 2 sin 23,5° sin 21,5°

cos x° = AC = 25 = 5

adalah

sin y° = AC = 25

2.

=

Ulangan Akhir Semester

7

24

cos y° = AC = 25

32 − 22 3

5 3

CD

AD

6. Jawaban: d

9−4 3

.

D

5. Jawaban: c Ingat: cos α cos β – sin α sin β = cos (α + β) 2 cos 23,5° cos 21,5° – 2 sin 23,5° sin 21,5° = 2(cos 23,5° cos 21,5° – sin 23,5° sin 21,5° ) = 2 cos (23,5° + 21,5°) = 2 cos 45°

=

3 5−2 7 12

7. Jawaban: a

+ 3 cos 3x = 2 untuk 0° ≤ x ≤180° adalah {10°, 110°, 130°}.

cos α =

7 4

Jadi, nilai cos (α + β) adalah

cos 3x = – 3 (tidak ada nilai x yang memenuhi) Oleh karena 0° ≤ x ≤ 180°, nilai x yang memenuhi adalah {10°, 110°, 130°}. Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan cos 6x

1

7

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

1

=2× 2 2 =

4

3

cos 3x = – 3

b.

62

=

= 4

3)=0 3 =0

42 − ( 7)2 4

cos β =

sin (x + y)°= sin x° cos y° + cos x° sin y° 3

2

=

⎛ 3 ⎞ ⎛ 24 ⎞ ⎜ 5 ⎟ ⎜ 25 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

72

α

+

⎛4⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎜ 5 ⎟ ⎜ 25 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

28

100

4

= 125 + 125 = 125 = 5 4

Jadi, nilai sin (x + y)° = 5 .

10. Jawaban: b

8. Jawaban: a

2(cos θ + sin θ) sin 2θ + cos 2θ + 1

17

13

= B

12

8

tan A =

15 8

tan B =

5 12

Jumlah besar sudut segitiga = 180° ⇔ A + B + C = 180° ⇔ C = 180° – (A + B) tan C = tan (180° – (A + B)) = –tan (A + B)

11. Jawaban: d Jumlah besar sudut segitiga = 180° ⇔ A + B + C = 180° ⇔ A + B = 180° – C 1

sin A cos B = 2 (sin (A + B) + sin (A – B)) 1

= 2 (sin (180° – C) + sin (A – B)) 1

= 2 (sin C + sin 30°)

⎛ tan A + tan B ⎞

= – ⎜ 1 − tan A tan B ⎟ ⎝ ⎠ ⎛

15 5 + 12 8 15 ⎜ 1− × 5 8 12 ⎝

= –⎜

=–

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛

55 24 ⎜ 1 − 25 32 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ 55 ⎝

32 ⎞ ⎟= 7 ⎠

= – ⎜ 24 ×

8

8

= 12 2 2

Jadi, nilai dari sin A cos B adalah 3 . –

12. Jawaban: c cos 52,5° sin 7,5°

220 21

220 21

.

⎛ 145° + 35° ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

sin

⎛ 145° − 35° ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

– sin 45°

= 2 cos 90° sin 55° – sin 45° 1

= 2(0) sin 55° – 2 2 1

=0– 2 2 1

= –2 2 Jadi, nilai dari sin 145° – sin 35° – sin 45° adalah 1

1

1

= 2 (6)

9. Jawaban: b sin 145° – sin 35° – sin 45° = (sin 145° – sin 35°) – sin 45°

–2 2 .

5

= 3

Jadi, nilai tan C = –

= 2 cos

1

= 2 (6 + 2)

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ 45 + 10 ⎜ 24 ⎜ 1 − 75 96 ⎝

= –⎜

2(sin θ + cos θ) 2 cos θ (sin θ + cos θ) 1 = sec θ cos θ

=

15 5

A

2(cos θ + sin θ) 2 sin θ cos θ + 2 cos 2 θ − 1 + 1

=

=

1 (sin 2

(52,5° + 7,5°) – sin (52,5° – 7,5°))

=

1 (sin 2

60° – sin 45°)

=

1 1 ( 2 2

3 –

=

1 4

( 3 –

1 2

2)

2)

Jadi, nilai cos 52,5° sin 7,5° adalah

1 4

( 3 –

2 ).

13. Jawaban: a cos 75° – cos 15° sin 75° – sin 15°

= =

–2 sin 2 cos

1 (75° + 15°) 2 1 (75 ° + 15°) 2

sin sin

1 (75° – 15°) 2 1 (75 ° – 15°) 2

–2 sin 45° sin 30° 2 cos 45° sin 30°

= − sin 45° = cos 45°

1

–2 2 1 2

Jadi, nilai dari

= –1

2 cos 75° − cos 15° sin 75° − sin 15°

adalah –1.

Matematika Kelas XI

63

14. Jawaban: b ⇔

A +B 2

=

A–B= 3 ⇔

A −B 2

= 3π

A+B=

2π 3 4π

1 3

18. Jawaban: b Titik pusat lingkaran terletak di tengah diameter, koordinatnya:

π

⎛2−6 4−2⎞ ⎜ 2 , 2 ⎟ ⎝ ⎠

2

sin A + sin B = 2 sin (

A +B ) 2

1

cos (

A −B 2

)

2

= 2 sin 3 π cos 3 π 1

1

= 2 × 2 3 × (– 2 ) 1

= –2 3 15. Jawaban: d cos 130° – cos 110° = p ⇔ –2 sin (

130° + 110° 2

) sin ( 130° − 110° ) = p 2

⇔

–2 sin 120° sin 10° = p

⇔

–2 × 2 3 × sin 10° = p

⇔

– 3 sin 10° = p

1

⇔

sin 10° =

−p 3

cos 20° = 1 – 2 sin210° =1–2×( =1–2× =

p2 ( 3

)

3 − 2p2 3

Jadi, nilai cos 20° =

3 − 2p2 3

.

16. Jawaban: e Jarak titik pusat lingkaran O(0, 0) ke garis singgung x = –3 adalah 3, maka jari-jari lingkaran L adalah 3. Persamaan lingkaran L yang berpusat di titik O(0, 0) dengan jari-jari r = 3 adalah: x2 + y2 = 32 ⇔ x2 + y2 = 9 Jadi, persamaan lingkaran L adalah x2 + y2 = 9. 17. Jawaban: a Diameter = 8 2 ⇒ jari-jari = 4 2 . Persamaan lingkaran sebagai berikut. (x – (–6))2 + (y – 1)2 = ( 4 2 )2 ⇔ (x + 6)2 + (y – 1)2 = 32 ⇔ x2 + 12x + 36 + y2 – 2y + 1 = 32 ⇔ x2 + y2 + 12x – 2y + 5 = 0 Jadi, persamaan lingkaran A adalah x2 + y2 + 12x – 2y + 5 = 0.

64

Ulangan Akhir Semester

Lingkaran tersebut mempunyai persamaan (x + 2)2 + (y – 1)2 = r2. Oleh karena melalui titik (2, 4) diperoleh: (x + 2)2 + (y – 1)2 = r2 ⇔ (2 + 2)2 + (4 – 1)2 = r2 ⇔ 42 + 32 = r2 ⇔ 16 + 9 = r2 ⇔ 25 = r2 Persamaan lingkaran: (x + 2)2 + (y – 1)2 = r2 ⇔ (x + 2)2 + (y – 1)2 = 25 2 ⇔ x + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 25 ⇔ x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0 Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0. 19. Jawaban: d x2 + y2 – 4x + 10y + c = 0 Diperoleh A = –4, B = 10, dan C = c. r=3 ⇔

−p 2 ) 3

= (–2, 1)

( − A ) + (− B) 1 2

2

1 2

2

−c = 3

⇔

22 + (−5)2 − c = 3

⇔

4 + 25 − c = 3

⇔ 29 − c = 3 ⇔ 29 – c = 32 ⇔ 29 – c = 9 ⇔ c = 20 Jadi, nilai c yang memenuhi adalah 20. 20. Jawaban: b Titik terletak pada lingkaran jika pensubstitusian titik tersebut ke ruas kiri persamaan lingkaran menyebabkan nilai nol. A(–4, –1) ⇒ x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = (–4)2 + (–1)2 – 4(–4) + 6(–1) – 3 = 16 + 1 + 16 – 6 – 3 = 24 (24 > 0) Titik A terletak di luar lingkaran. B(–2, –3) ⇒ x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = (–2)2 + (–3)2 – 4(–2) + 6(–3) – 3 = 4 + 9 + 8 – 18 – 3 =0 Titik B terletak pada lingkaran. (1, –3) ⇒ x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 12 + (–3)2 – 4(1) + 6(–3) – 3 = 1 + 9 – 4 – 18 – 3 = –15 (–15 < 0)

Titik C terletak di dalam lingkaran. D(4, 1) ⇒ x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 42 + 12 – 4(4) + 6(1) – 3 = 16 + 1 – 16 + 6 – 3 = 4 (4 > 0) Titik D terletak di luar lingkaran. E(5, –2) ⇒ x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 52 + (–2)2 – 4(5) + 6(–2) – 3 = 25 + 4 – 20 – 12 – 3 = –6 (–6 < 0) Titik E terletak di dalam lingkaran. Jadi, titik yang terletak pada lingkaran adalah B(–2, –3). 21. Jawaban: c Substitusikan x = a dan y = –2 ke dalam persamaan lingkaran. (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 ⇔ (a – 3)2 + (–2 + 2)2 = 25 ⇔ (a – 3)2 + 0 = 25 ⇔ (a – 3)2 = 25 ⇔ a – 3 = 5 atau a – 3 = –5 ⇔ a = 8 atau a = –2 Jadi, nilai a yang memenuhi adalah –2 atau 8. 22. Jawaban: d Agar titik B(a, 3) terletak di dalam lingkaran, nilai a harus memenuhi (a + 4)2 + (3 – 1)2 < 8. (a + 4)2 + (3 – 1)2 < 8 ⇔ (a + 4)2 + 4 < 8 ⇔ (a + 4)2 – 4 < 0 2 ⇔ a + 8a + 16 – 4 < 0 ⇔ a2 + 8a + 12 < 0 ⇔ (a + 6)(a + 2) < 0 Pembuat nol: (a + 6)(a + 2) = 0 ⇔ a + 6 = 0 atau a + 2 = 0 ⇔ a = –6 atau a = –2 +

– –6

+ –2

Jadi, nilai a yang memenuhi adalah –6 < a < –2. 23. Jawaban: b 2x – y + 1 = 0 ⇔ y = 2x + 1 Substitusikan y = 2x + 1 ke dalam persamaan lingkaran. x2 + y2 – 8x + 2y – 8 = 0 2 2 ⇔ x + (2x + 1) – 8x + 2(2x + 1) – 8 = 0 ⇔ x2 + 4x2 + 4x + 1 – 8x + 4x + 2 – 8 = 0 ⇔ 5x2 – 5 = 0 ⇔ 5(x2 – 1) = 0 ⇔ 5(x – 1)(x + 1) = 0 ⇔ x – 1 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = 1 atau x = –1

x=1 ⇒y=2×1–1=1 x = –1 ⇒ y = 2 × (–1) – 1 = –3 Diperoleh titik P(1, 1) dan Q(–1, –3). Panjang PQ =

(−1 − 1)2 + (−3 − 1)2

=

4 + 16

=

20

= 2 5 Jadi, panjang ruas garis PQ adalah 2 5 . 24. Jawaban: e x – y – 4= 0 ⇔ y=x–4 Substitusikan y = x – 4 ke dalam persamaan lingkaran. x2 + y2 – 8x – 8y + 24 = 0 2 ⇔ x + (x – 4)2 – 8x – 8(x – 4) + 24 = 0 2 ⇔ x + x2 – 8x + 16 – 8x – 8x + 32 + 24 = 0 ⇔ 2x2 – 24x + 72 = 0 ⇔ 2(x2 – 12x + 36) = 0 ⇔ 2(x – 6)2 = 0 ⇔ x–6=0 ⇔ x=6 Substitusikan x = 6 ke dalam y = x – 4. y=x–4=6–4=2 Jadi, garis tersebut menyinggung lingkaran di titik (6, 2). 25. Jawaban: d Titik pusat lingkaran P adalah (–6, –1) dan jarijari r1 = 4. Titik pusat lingkaran Q adalah (–16, –1) dan jarijari r. Jarak kedua pusat: d= =

(−16 − (−6))2 + (−1 − (−1))2 (−16 + 6)2 + 02 2

= (−10) = 10 Kedua lingkaran bersinggungan di luar jika d = r1 + r. d = r1 + r ⇔ 10 = 4 + r ⇔ r =6 Jadi, nilai r = 6. 26. Jawaban: e Titik pusat lingkaran A adalah (–1, 3) dan jari-jari = r. Titik pusat lingkaran B adalah (–1, 12) dan R = 6. 2 2 d = (−1 − (−1)) + (12 − 3) = 02 + 92 = 9 Kedua lingkaran tidak saling menyinggung ataupun memotong jika d > R + r. d>R+r ⇔ 9>6+r ⇔ r <3 Jadi, nilai r yang memenuhi adalah r < 3.

Matematika Kelas XI

65

27. Jawaban: b Cara 1: x2 + y2 + 6x – 2y – 35 = 0 Titik pusat = (–3, 1)

(−3)2 + 12 − (−35) = 45 = 3 5 Jarak titik pusat lingkaran ke garis singgung sama dengan jari-jari lingkaran. y = –2x + n ⇔ 2x + y – n = 0 r= 3 5 Jari-jari = r =

⇔

−3 ⋅ 2 + 1⋅ 1 − n 22 + 12

= 3 5

⇔

−6 + 1 − n 5

= 3 5

⇔

−5 − n 5

= 3 5

⇔

−5 − n 5

2

= ( 3 5 )2

(5 + n)2

⇔ = 45 5 2 ⇔ (5 + n) = 225 ⇔ 5 + n = 15 atau 5 + n = –15 ⇔ n = 10 atau n = –20 Cara 2: Substitusikan y = –2x + n ke dalam persamaan lingkaran. x2 + y2 + 6x – 2y – 35 = 0 2 2 ⇔ x + (–2x + n) + 6x – 2(–2x + n) – 35 = 0 ⇔ x2 + 4x2 – 4nx + n2 + 6x + 4x – 2n – 35 = 0 ⇔ 5x2 – 4nx + n2 + 10x – 2n – 35 = 0 ⇔ 5x2 + (10 – 4n)x + (n2 – 2n – 35) = 0 Oleh karena garis bersinggungan dengan lingkaran, diperoleh: D=0 ⇔ (10 – 4n)2 – 4 × 5 × (n2 – 2n – 35) = 0 ⇔ (100 – 80n + 16n2) – 20 × (n2 – 2n – 35) = 0 ⇔ 100 – 80n + 16n2 – 20n2 + 40n + 700 = 0 ⇔ –4n2 – 40n + 800 = 0 ⇔ –4(n2 + 10n – 200) = 0 ⇔ –4(n + 20)(n – 10) = 0 ⇔ n + 20 = 0 atau n – 10 = 0 ⇔ n = –20 atau n = 10 Jadi, salah satu nilai n yang memenuhi adalah 10. 28. Jawaban: b x2 + y2 – 2x – 44 = 0 ⇔ x2 – 2x + y2 = 44 2 ⇔ x – 2x + 1 + y2 = 44 + 1 ⇔ (x – 1)2 + y2 = 45 Garis 4x + 2y = 7 mempunyai gradien m1 = –2. Garis singgung sejajar dengan garis 4x + 2y = 7, maka m = m1 = –2.

66

Ulangan Akhir Semester

Persamaan garis singgung: y – b = m(x – a) ± r 1 + m2 ⇔ y = –2(x – 1) ±

45 1 + (−2)2

⇔ y = –2x + 2 ± 3 5 5 ⇔ y = –2x + 2 ± 15 ⇔ y = –2x + 2 + 15 atau y = –2x + 2 – 15 ⇔ y = –2x + 17 atau y = –2x – 13 Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya adalah y = –2x + 17. 29. Jawaban: a Lingkaran berpusat di titik P(2, 3) mempunyai persamaan (x – 2)2 + (y – 3)2 = r2. Oleh karena melalui titik Q(5, 0) diperoleh: (x – 2)2 + (y – 3)2 = r2 ⇔ (5 – 2)2 + (0 – 3)2 = r2 ⇔ 32 + (–3)2 = r2 ⇔ 9 + 9 = r2 ⇔ 18 = r2 Persamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y – 3)2 = 18. Persamaan garis singgung di titik Q(5, 0): (x1 – 2)(x – 2) + (y1 – 3)(y – 3) = 18 ⇔ (5 – 2)(x – 2) + (0 – 3)(y – 3) = 18 ⇔ (3)(x – 2) + (–3)(y – 3) = 18 ⇔ 3x – 6 – 3y + 9 = 18 ⇔ 3x – 3y – 15 = 0 ⇔ x–y=5 Jadi, persamaan garis singgungnya x – y = 5. 30. Jawaban: b x2 + y2 – 6x + 4y + 3 = 0 ⇔ x2 – 6x + y2 + 4y = –3 ⇔ x2 – 6x + 9 + y2 + 4y + 4 = –3 + 9 + 4 ⇔ (x – 3)2 + (y + 2)2 = 10 1

Garis x – 3y = 7 mempunyai gradien m1 = 3 . Oleh karena garis singgung tegak lurus dengan garis x – 3y = 7 diperoleh: m × m1 = –1 1

⇔ m × 3 = –1 ⇔ m = –3 Persamaan garis singgung: y – b = m(x – a) ± r 1 + m2 ⇔ y + 2 = –3(x – 3) ±

10 1 + (−3)2

⇔ y + 2 = –3x + 9 ± 10 10 ⇔ y = –3x + 7 ± 10 ⇔ y = –3x + 7 + 10 atau y = –3x + 7 – 10 ⇔ y = –3x + 17 atau y = –3x – 3 Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya adalah y = –3x – 3.

B. Uraian sin2 x –

1.

1 sin 2

2x = 0

⇔ x – sin x cos x = 0 ⇔ sin x (sin x – cos x) = 0 ⇔ sin x = 0 atau sin x – cos x= 0 ⇔ sin x = 0 atau sin x = cos x sin x cos x

1

1

cos A cos B = – 4 cos (A + B)= cos A cos B – sin A sin B 1

=1 4.

13

5

sin A =

1 = 45° + 2 (1 + cos 1 1 1 = ( 2 2 )2 + 2 (1 + 2 1 1 1 = 2 + 2 + 4 3 1 = 1 +4 3 1 sin2 A + cos2 B = 1 + 4 3 .

sin2

Jadi, nilai 3.

12

maka cos A = 13

4

3

sin B = 5 dan sudut B tumpul maka cos B = – 5 . tan (A – B) = = =

⇔ ⇔

3 tan A tan B +

3 (1 + tan A tan B) = tan A – tan B tan A − tan B 1 + tan A tan B

⇔

3 =

⇔

3 = tan (A – B)

⇔ ⇔

A – B = 60° 1 2

5 × ⎛ − 3 ⎞ − 12 13 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 13 12 13

⎛ ⎝

⎞ 5⎠

× ⎜− 3 ⎟ +

−15 − 48 65 −36 + 20 65

×

4 5

5 ×4 13 5

−63

63

= −16 = 16

cos (x +

π 6

) sin (x –

π 6

)=

1 4

3

⇔

sin 2x = 1

⇔

sin 2x = sin

⇔ 2x =

π 2

+ k × 2π atau 2x = (π –

⇔

2x =

⇔

x=

k=0⇔x=

cos (A – B) = cos 60°

⇔ cos A cos B + sin A sin B =

5.

sin A cos B − cos A sin B cos A cos B + sin A sin B

1 π π π π 1 [sin ((x + ) + (x – )) – sin ((x + ) – (x – ))] = 2 6 6 6 6 4 1 π 1 ⇔ [sin 2x – sin 3 ) = 4 2 π 1 ⇔ sin 2x – sin 3 = 4 × 2 1 1 ⇔ sin 2x – 2 = 2

3)

3 = tan A – tan B

=

sin (A − B) cos (A − B)

⇔

30°)

3 tan A tan B = tan A – tan B –

4 B 3

12

5 13

1

(1 + cos 2B)

5

A

1

sin (A – B) = 2 ⇔ A – B = 30° ––––––––– + 2A = 90° ⇔ A = 45° Substitusikan A = 45° ke dalam persamaan A + B = 60° diperoleh ⇒ 45° + B = 60° ⇒ B = 15°.

3

= – 4 – 4 = –1 Jadi, nilai cos (A + B) = –1.

2. cos (A + B) = 2 ⇔ A + B = 60°

sin2 A + cos2 B = sin2 A +

3

cos A cos B = 2 – 4

⇔

⇔ sin x = 0 atau tan x = 1 a. sin x = 0 = sin 0° Penyelesaian: 1) x = 0° + k × 360° Untuk k = 0 maka x = 0° 2) x = 180° + k × 360° Untuk k = 0 maka x = 180° b. tan x = 1 = tan 45° Penyelesaian: x = 45° + k × 180° Untuk k = 0, maka x = 45° Untuk k = 1, maka x = 225° Jadi, nilai x yang memenuhi {0°, 45°, 180°, 225°}.

1 2

1

cos A cos B + 4 = 2

⇔

sin2

⇔ sin x = 0 atau

3

⇔

k=1⇔x= k=2⇔x=

π 4 π 4 π 4

+0×π= +1×π= +2×π=

π 2 π 4

π 2

π 2

) + k × 2π

+ k × 2π +k×π

π 4 5π 4 9π 4

Matematika Kelas XI

67

Oleh karena nilai x dibatasi untuk 0 ≤ x ≤ 2π maka nilai x yang memenuhi adalah x =

π 4

,

5π 4

9. a.

.

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan π 6

cos (x + π

adalah { 4 , 6. a.

5π 4

π 6

)=

1 4

untuk 0 ≤ x ≤ 2π

}.

Jari-jari lingkaran L sama dengan jarak titik O(0, 0) dengan garis x + y = 6 atau x + y – 6 = 0, yaitu: r=

b.

) sin (x –

0+0−6 12 + 12

=

−6 2

=

6 2

×

2 2

=

6 2 2

=3 2

Jadi, jari-jari lingkaran L adalah 3 2. Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r = 3 2 adalah: x2 + y2 = (3 2)2 ⇔ x2 + y2 = 18 Jadi, persamaan lingkaran L adalah x2 + y2 = 18.

7. Titik potong 2x – 3y = –12 dan 3x + y = –7 sebagai berikut. 2x – 3y = –12 × 1 2x – 3y = –12 3x + y = –7 × 3 9x + 3y = –21 –––––––––––– + 11x = –33 ⇔ x = –3 x = –3 ⇒ 2x – 3y = –12 ⇔ –6 – 3y = –12 ⇔ –3y = –6 ⇔ y=2 Diperoleh titik potong (–3, 2). Persamaan lingkaran A sebagai berikut. (x – (–3))2 + (y – 2)2 = ( 2 3 )2 ⇔ (x + 3)2 + (y – 2)2 = 12 Jadi, persamaan lingkaran A: (x + 3)2 + (y –2)2 = 12. 8. Lingkaran L: x2 + y2 + 2x – 8y – 8 = 0 Titik pusat = (–1, 4)

(−1)2 + 42 − (−8) = 25 = 5 Lingkaran M mempunyai pusat (–1, 4) dan berjari-jari rM = 3 × rL = 3 × 5 = 15. Persamaan lingkaran M: (x + 1)2 + (y – 4)2 = rM2 ⇔ (x + 1)2 + (y – 4)2 = 152 2 ⇔ x + 2x + 1 + y2 – 8y + 16 = 225 ⇔ x2 + 2x + y2 – 8y + 17 = 225 ⇔ x2 + y2 + 2x – 8y – 208 = 0 Jadi, persamaan lingkaran M: x2 + y2 + 2x – 8y – 208 = 0.

Jari-jari = rL =

68

Ulangan Akhir Semester

b.

Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) adalah x2 + y2 = r2. Lingkaran melalui titik (1, 3): x2 + y2 = r2 2 ⇔ (1) + (3)2 = r2 ⇔ r2 = 1 + 9 = 10 Jadi, persamaan lingkaran: x2 + y2 = 10. Persamaan garis singgung lingkaran L yang bergradien –3: y = mx ± r 1 + m2 ⇔ y = –3x ±

10 1 + (−3)2

⇔ y = –3x ± 10 10 ⇔ y = –3x ± 10 Jadi, persamaan garis singgungnya y = –3x + 10 dan y = –3x – 10. 10. Selidiki kedudukan titik A(6, 2) terhadap lingkaran. x2 + y2 = 62 + 22 = 36 + 4 = 40 > 20 Titik A(6, 2) terletak di luar lingkaran. Persamaan garis kutub: x1x + y1y = 20 ⇔ 6x + 2y = 20 ⇔ 3x + y = 10 ⇔ y = 10 – 3x Substitusikan y = 10 – 3x ke dalam persamaan lingkaran. x2 + y2 = 20 ⇔ x2 + (10 – 3x)2 = 20 2 ⇔ x + (100 – 60x + 9x2) = 20 ⇔ 10x2 – 60x + 100 = 20 ⇔ 10x2 – 60x + 80 = 0 ⇔ 10(x2 – 6x + 8) = 0 ⇔ 10(x – 4)(x – 2) = 0 ⇔ x – 4 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = 4 atau x = 2 Untuk x = 4 maka y = 10 – 3 × 4 = –2 Untuk x = 2 maka y = 10 – 3 × 2 = 4 Diperoleh titik pada lingkaran (4, –2) dan (2, 4). Persamaan garis singgung di titik (4, –2): x1x + y1y = 20 ⇔ 4x – 2y = 20 ⇔ 2x – y = 10 Persamaan garis singgung di titik (2, 4): x1x + y1y = 20 ⇔ 2x + 4y = 20 ⇔ x + 2y = 10 Jadi, persamaan garis singgungnya 2x – y = 10 dan x + 2y = 10.