1 De Secundaria Matematicas 29124v
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1 Matemáticas 1
En la actualidad, enseñar matemáticas significa propiciar que el estudiante desarrolle una forma de pensamiento que le permita interpretar y comunicar matemáticamente situaciones cotidianas, para lo cual necesita reconocer, plantear y resolver problemas en los que sea útil la herramienta matemática. Con ese propósito, en este libro se proponen actividades interesantes que propician un aprendizaje significativo, alejado de la mera enumeración de conceptos y la resolución mecánica de ejercicios. Se usa un lenguaje claro y sencillo, con la amplitud y el fundamento necesarios para que los alumnos lo comprendan.
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María Trigueros Gaisman María Dolores Lozano Suárez Mónica Inés Schulmaister Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres Emanuel Jinich Charney Mercedes Cortés Lascurain
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El trabajo colaborativo y crítico que se refuerza a lo largo de las actividades permitirá que los estudiantes compartan sus ideas, formulen, comuniquen, argumenten y muestren la validez de los procedimientos y los resultados, a fin de que tomen las decisiones más adecuadas para cada situación.
Matemáticas
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1 Matemáticas María Trigueros Gaisman María Dolores Lozano Suárez Mónica Inés Schulmaister Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres Emanuel Jinich Charney Mercedes Cortés Lascurain
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Diseño de portada
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Edición Digital
Miguel Ángel Flores Medina
C riaga s Ar esú
Edición de Realización
Gabriela Armillas Bojorges
Nájera Hernández
Pablo Mijares Muñoz, Rafael Serrano Pérez Grovas
Alejo
Ariel Ávila Corrección de estilo
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Revisión técnica
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Edición
Rubén García Madero, Leticia Martínez Ruiz y Laura Milena Valencia Escobar
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Diana Paloma Díaz Pérez
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Gerencia
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Colaboración en evaluaciones tipo PISA
De
Coordinación Editorial
Ma. del Pilar Vergara Ríos
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Direcc ión G ene ral de
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d it borado en E orial Santillana po r ue ela f 1 el s s ig u tica á ien m a l d b o e e il N W a t v a Reye te n es Edicio Ma eq s•D e d o n r uip i ó r i e b c cció c li e o: r l i nd D E • eI a n u b e r m t o u v A H y o a g es la San iseñ tig t i ag nia te y D ac o• e Ar Pa ió n ad i o C c o n n o yN e r e r d r e i n o ue ac •G Nizametdin a r i M d i a ó N z ov a M n ca e de u gráfi o a g n lek Se rí Ico ovn c od ión a• ac n i d C
Raymundo Ríos Vázquez Diseño de interiores
Beatriz Alatriste del Castillo y Gil G. Reyes Ortiz Diagramación
Héctor Ovando Jarquín Iconografía
Elvia Valadez Pérez Fotografía
Olivia Vivanco, Thinkstock, Shutterstock, Photostogo, Durga Archivo Digital, Photostock, Latinstock, NASA, Glow Images, Archivo Santillana Ilustración
Héctor Ovando, Ricardo Ríos, Héctor Medina, Gerardo Sánchez, Gustavo del Valle, Margarita Palacios, Marcela Gómez (A corazón abierto), Carmen Gutiérrez, Kathia Recio Digitalización
María Eugenia Guevara, Gerardo Hernández
La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 1 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor. © 2012 por María Trigueros Gaisman, María de los Dolores Lozano Suárez, Mónica Inés Schulmaister, Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres, Emanuel Jinich Charney, María de las Mercedes Cortés Lascurain D. R. © 2012 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V. Avenida Río Mixcoac 274, colonia Acacias, C. P. 03240, delegación Benito Juárez, México, D. F. ISBN: 978-607-01-1054-2 Primera edición: abril de 2012 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802 Impreso en México/Printed in Mexico
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Presentación
El trabajo en equipo es importante porque te ofrece la posibilidad de expresar tus ideas y de enriquecerlas con las opiniones de los demás, así desarrollas tu actitud de colaboración y la habilidad para argumentar.
Este libro de texto está destinado a los alumnos de primer grado de secundaria. Está organizado en secuencias de situaciones problemáticas desarrolladas en torno a contextos de la vida diaria que corresponden a las necesidades de aprendizaje de los adolescentes mexicanos y que representan para ellos un desafío intelectual. En la sección Palabras al docente se describen las etapas de las secuencias y cómo trabajarlas. Mediante la organización en secuencias de situaciones problemáticas se intenta que los alumnos enfrenten los nuevos conocimientos matemáticos proporcionándoles sentido y significado. Por medio de la solución de problemas interesantes y preguntas de reflexión se les motiva a desarrollar las competencias matemáticas (Resolver problemas de manera autónoma, Comunicar información matemática, Validar procedimientos y resultados y Manejar técnicas eficientemente) requeridas para la vida en un ambiente de aprendizaje colaborativo, que les ofrece la oportunidad de incrementar el sentido de responsabilidad y las ventajas de compartir con otros sus ideas y conocimientos. La propuesta didáctica de Matemáticas 1 se inscribe en el enfoque por competencias y la resolución de problemas, en el cual los alumnos pueden activar sus saberes e integrar nuevos conocimientos para dar respuesta tanto a problemas en situaciones comunes, como a situaciones complejas de la vida diaria. El trabajo de los alumnos con el libro les permite: • • • • • •
visualizar con claridad el problema o dar un planteamiento adecuado a la situación; seleccionar entre sus conocimientos y habilidades, aquellos que son necesarios para resolver una situación particular; poner en práctica los conocimientos y habilidades y ajustarlos en función de la situación; prever lo que se necesita para participar en determinada situación; reflexionar, en colaboración con sus compañeros, sobre las nuevas herramientas necesarias para resolver cada situación; tener la posibilidad de trasladar los nuevos aprendizajes de esa experiencia a situaciones y retos nuevos.
De esta manera, los alumnos construyen los conocimientos con sentido y significado, lo que les permite aplicarlos dentro y fuera de la escuela.
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Palabras al alumno
Una actitud positiva hacia el estudio de las matemáticas te permitirá enfrentar situaciones diversas de forma eficiente.
El libro que tienes en tus manos tiene el propósito de acompañarte en tu curso de Matemáticas, del primer grado de secundaria. Esta obra ha sido escrita con la intención de acercarte a las matemáticas mediante el desarrollo de actividades interesantes y de problemas y situaciones cercanos a tu vida cotidiana, de manera que el aprendizaje te resulte entretenido y lleno de significado. Las matemáticas constituyen una forma de pensar y de abordar problemas; entenderlas es fundamental y, por ello, tratamos de ofrecerte muchas opciones para que argumentes, comuniques tus ideas, elabores razonamientos y emplees herramientas matemáticas. Todo ello te dará ocasión para profundizar sobre la manera de pensar en matemáticas y así comprender mejor los conceptos relacionados con la situación o problema que estés trabajando. Resolver problemas requiere dedicación y esfuerzo, por lo que te sugerimos que lleves a cabo un acercamiento con tus compañeros de clase y tu profesor, que incluya momentos de discusión y reflexión tanto individual como grupal en cada uno de los retos planteados. Es importante que aproveches lo que ya conoces, que reflexiones si es útil en esa situación o no lo es, y cuál es la mejor manera de resolverla. Al discutir con tus compañeros y con tu profesor tendrás nuevas oportunidades de reflexionar sobre diferentes maneras de abordar y resolver los problemas, compararlas y tomar decisiones acerca de las ventajas y desventajas de cada una de ellas, cómo se complementan, etc. Así lograrás profundizar en las ideas y los conceptos matemáticos que se requieren en la solución de los problemas y sobre el papel que tienen las matemáticas en la sociedad. Es importante que te preguntes constantemente si tus argumentos son sólidos, si comprendes los proporcionados por otros compañeros o por el profesor, y que trates de resolver por ti mismo otros problemas similares, de manera que puedas percatarte de la posibilidad de utilizar tu propio conocimiento y plantear las dudas que aún tienes y discutirlas de nuevo con el profesor. Hemos disfrutado mucho el hecho de escribir este libro y esperamos que tú también goces al utilizarlo y que adquieras sólidos conocimientos matemáticos para que en el futuro puedas ponerlos en práctica en una variedad de contextos. Los autores
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Palabras al docente El estudio de las matemáticas busca que los jóvenes desarrollen una manera de pensar que les permita expresar, por medio de las herramientas adquiridas, situaciones que se les presenten en diversos entornos, que puedan comprender las explicaciones y los razonamientos de otros, y que sean capaces de utilizar técnicas matemáticas adecuadas para reconocer, plantear y resolver problemas. Por ello, el tratamiento de los contenidos en este libro se realiza mediante secuencias de situaciones problemáticas conformadas por cuatro etapas: inicio, planeación, desarrollo y cierre. En cada secuencia se propone a los estudiantes la confección, en equipos o todo el grupo, de un producto: construir una maqueta, elaborar un informe, realizar una investigación, explicar y justificar razonamientos y estrategias empleadas para resolver un problema, entre otros. En la primera etapa se presenta una situación —una actividad, un juego, una imagen o un texto— cuyo propósito es despertar el interés de los alumnos e invitarlos a reflexionar y encontrar diferentes formas de resolverla. El inicio se complementa con el planteamiento de algunas preguntas para recuperar conocimientos, para meditar sobre la solución del problema y considerar los contenidos por estudiar. Este momento de la secuencia puede trabajarse en equipos o en grupo, usted puede decidir la mejor manera de trabajo de acuerdo con su plan de clases. En la etapa de planeación, que en el libro se titula Nuestro trabajo, se propone el producto que elaborarán los estudiantes, así como su propósito, los recursos y la organización de las actividades que deberán realizar. Durante el desarrollo de la secuencia se proponen actividades diversas, individuales y colectivas, que permitirán a los estudiantes ir de lo informal a lo convencional en la construcción de reglas, fórmulas, algoritmos, definiciones, etc. Es pertinente intervenir lo menos posible en las discusiones de los alumnos para que sean ellos quienes formulen y validen conjeturas y utilicen procedimientos propios al resolver los problemas. Con el propósito de que el educando evalúe su avance individual y colectivo en la construcción del conocimiento, en su producto y en el desarrollo de habilidades y actitudes, se presenta el apartado ¿Cómo vamos?, en el que se propicia la reflexión metacognitiva. Es posible complementar esta sección con otras preguntas como las siguientes: ¿Puedes seguir esta secuencia de argumentos o elaborarlos tú mismo? ¿Comprendiste los razonamientos y las explicaciones de tus compañeros?, etcétera. El cierre de la secuencia se realiza en dos momentos: primero, en Presentación de nuestro trabajo, los alumnos finalizan la confección del producto; se sugiere que lo socialicen con el grupo, incluso con la escuela o la comunidad. De esta manera también comunican, argumentan y comparten los conocimientos. Por último, en el segundo momento, ¿Cómo nos fue?, discuten en grupo varios puntos relacionados con los aprendizajes logrados, el producto, la manera en la que aprendieron y la resolución del problema inicial. Quienes participamos en su elaboración, esperamos que esta obra sea de utilidad para su trabajo docente. Los autores
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Índice Dosificación
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Dados
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Mandala tibetano budista
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1. Fracciones y decimales
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2. Fracciones y decimales en la recta numérica
28
3. Suma y resta de fracciones
34
4. Sucesiones
40
5. Literales y fórmulas
46
6. Construcción de cuadriláteros
50
7. Rectas y segmentos del triángulo
58
8. Reparto proporcional
66
9. Nociones de probabilidad
72
Evaluación tipo PISA
78
10. Criterios de divisibilidad y números primos
82
11. Múltiplos y divisores
88
12. Suma de fracciones y decimales
96
13. Multiplicación de fracciones
104
14. Rectas y ángulos
112
15. Fórmulas de perímetros y áreas de polígonos regulares
118
16. Grandes y chicos
122
Evaluación tipo PISA
128
Bloque
Bloque
Tu libro, de principio a fin
Bloque
8
3
Sombrillas chinas
130
17. Multiplicación de números con decimales
132
18. División con decimales
138
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31. Gráficas
224
20. Polígonos y sus aplicaciones
150
Evaluación tipo PISA
232
21. Áreas y perímetros de polígonos regulares
158
22. Factores sucesivos de proporcionalidad
164
23. Predicciones en un experimento aleatorio
168
24. Diagramas y tablas
174
Evaluación tipo PISA
182
4
Pulseras hechas con cuentas de chaquira
184
25. Números con signo
186
26. Construcción de círculos
194
27. Circunferencia y círculo
200
28. Proporcionalidad: procedimientos expertos
206
Bloque
144
Bloque
19. Ecuaciones de primer grado
5
Sistema Solar
234
32. Problemas aditivos
236
33. Notación científica
242
34. Potenciación y radicación
250
35. Sucesiones aritméticas
258
36. Área y perímetro del círculo
264
37. Proporcionalidad múltiple
270
Evaluación tipo PISA
276
Fuentes de información
278
29. Factor inverso de proporcionalidad 210 30. Problemas de conteo
216
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Dosificación Eje
Tema
Secuencia
Bloque 1 1. Fracciones y decimales Números y sistemas de numeración
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas aditivos
2. Fracciones y decimales en la recta numérica 3. Suma y resta de fracciones
4. Sucesiones Patrones y ecuaciones 5. Literales y fórmulas 6. Construcción de cuadriláteros
Forma, espacio y medida
Figuras y cuerpos 7. Rectas y segmentos del triángulo Proporcionalidad y funciones
8. Reparto proporcional
Nociones de proporcionalidad
9. Nociones de probabilidad
Manejo de la información
Bloque 2 10. Criterios de divisibilidad y números primos Números y sistemas de numeración
Sentido numérico y pensamiento algebraico
11. Múltiplos y divisores Problemas aditivos
12. Suma de fracciones y decimales
Problemas multiplicativos
13. Multiplicación de fracciones
Figuras y cuerpos
14. Rectas y ángulos
Medida
15. Fórmulas de perímetros y áreas de polígonos regulares
Proporcionalidad y funciones
16. Grandes y chicos
Forma, espacio y medida
Manejo de la información
Bloque 3 17. Multiplicación de números con decimales Problemas multiplicativos
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
18. División con decimales
Patrones y ecuaciones
19. Ecuaciones de primer grado
Figuras y cuerpos
20. Polígonos y sus aplicaciones
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Contenidos
Págs.
Semana
Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.
18-27
1y2
Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.
28-33
3
Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.
34-39
4
Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.
40-45
5
Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.
46-49
6
Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.
50-57
7
Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.
58-65
8
Resolución de problemas de reparto proporcional.
66-71
9
Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.
72-77
10
Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos.
82-87
11
Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
88-95
12 y 13
Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.
96-103
14
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.
104-111
15
Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.
112-117
16
Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.
118-121
17
Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.
122-127
18
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
132-137
19
Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
138-143
20
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.
144-149
21
Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.
150-157
22 y 23
Calendarización
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Eje
Manejo de la información
Tema
Secuencia
Medida
21. Áreas y perímetros de polígonos regulares
Proporcionalidad y funciones
22. Factores sucesivos de proporcionalidad
Nociones de probabilidad
23. Predicciones en un experimento aleatorio
Análisis y representación de datos
24. Diagramas y tablas
Números y sistemas de numeración
25. Números con signo
Figuras y cuerpos
26. Construcción de círculos
Medida
27. Circunferencia y círculo
Bloque 4 Sentido numérico y pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
28. Proporcionalidad: procedimientos expertos Proporcionalidad y funciones 29. Factor inverso de proporcionalidad
Manejo de la información Nociones de probabilidad
30. Problemas de conteo
Análisis y representación de datos
31. Gráficas
Problemas aditivos
32. Problemas aditivos
Bloque 5
33. Notación científica
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicativos 34. Potenciación y radicación
Patrones y ecuaciones
35. Sucesiones aritméticas
Forma, espacio y medida
Medida
36. Área y perímetro del círculo
Manejo de la información
Proporcionalidad y funciones
37. Proporcionalidad múltiple
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Contenidos
Págs.
Semana Calendarización
Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.
158-163
24
Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.
164-167
25
Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.
168-173
26
Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.
174-181
27
Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.
186-193
28
Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.
194-199
29
Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.
200-205
30
Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.
206-209
31
Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.
210-215
32
Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.
216-223
33
Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.
224-231
34
Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.
236-241
35
Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
242-249
36
Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.
250-257
37
Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.
258-263
38
Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.
264-269
39
Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.
270-275
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Tu libro, de principio a fin Entrada de bloque Estas páginas se ilustran con una gra ggran an imagen y un texto breve qu que describe la relación que esta guarda con alguno de los contenidos que trabajarás en el bloque. Aquí encontrarás los Aprendizajes esperados, que exponen los conocimientos que desarrollarás al realizar las actividades que se proponen en los temas.
Bloque 4 Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que: t $POTUSVZBTDÓSDVMPTZQPMÓHPOPTSFHVMBSFTRVFDVNQMBODPODJFSUBTDPOEJDJPOFTFTUBCMFDJEBT t -FBTJOGPSNBDJØOQSFTFOUBEBFOHSÈåDBTEFCBSSBT ZDJSDVMBSFT6UJMJDFTFTUPTUJQPTEFHSÈåDBTQBSBDPNVOJDBSJOGPSNBDJØO
Pulseras hechas con cuentas de chaquira Al elaborar collares y pulseras, los huicholes utilizan diseños geométricos, como figuras inscritas en otras figuras. Estos diseños son abstracciones de elementos naturales. La combinación de colores es una parte fundamental en los diseños. La imagen se relaciona con el contenido de la secuencia 30.
185
184
Te invitamos a que, después de trabajar cada bloque, regreses a estas páginas: • •
observa la imagen y encuentra la relación que tiene esta con los contenidos del bloque. haz una nueva lectura de los Aprendizajes esperados y, junto con tus compañeros y profesor, evalúa los logros obtenidos.
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Los temas abordados en cada secuencia se desarrollan en cuatro etapas:
Desarrollo Inicio Durante esta etapa, realizarás actividades individuales y colectivas, que te ayudarán a adquirir nuevos conocimientos y a desarrollar tus competencias matemáticas.
Al inicio encontrarás una situación, ya sea un problema, un juego o una actividad, que deberás analizar a fin de proponer diversas estrategias de solución. La situación inicial se complementa con preguntas que te harán reflexionar sobre lo que ya sabes y sobre las estrategias que puedes definir o aplicar; al mismo tiempo, los cuestionamientos planteados te introducirán en los contenidos que estudiarás en la secuencia.
13
Reúnete con un compañero, lean la información de la página anterior y realicen las actividades siguientes: Š¿Cuánto medirá, desde la barbilla, el largo de la cabeza de cada estatua? ¿Cuánto
Multiplicación de fracciones
medirá la mano? ŠComparen sus respuestas con las de sus compañeros, así como los criterios que usaron para hacer su estimación. Una manera de obtener un estimado para la medida de la longitud de la cabeza es utilizar la relación que existe entre la medida de la cabeza de una persona adulta y su estatura.
Contenido 3FTPMVDJØOEFQSPCMFNBTRVFJNQMJRVFOMBNVMUJQMJDBDJØOZEJWJTJØODPOOÞNFSPTGSBDDJPOBSJPTFOEJTUJOUPT DPOUFYUPT VUJMJ[BOEPMPTBMHPSJUNPTVTVBMFT
La receta de las galletas
Inicio
Desarrollo
Bloque 2
Cabezas y cuerpos
Š¿Qué significa esto?
1BSBMBåFTUBEFMBFTDVFMB .ØOJDBZ»TDBSRVJFSFOMMFWBSHBMMFUBTQBSBTVTDPNQB×FSPTEFHSVQPNÈTMBNBFTUSB.ØOJDBMFQJEJØBTVNBNÈMBSFDFUBEFVOBTRVF 1 MFFODBOUBO DPOMBRVFQVFEFQSFQBSBS EPDFOBTEFHBMMFUBT 2 Ingredientes: tDVDIBSBEBEFNBOUFRVJMMB tIVFWPT t 1 UB[BTEFDIPDPMBUFFOQPMWP 4 t 1 DVDIBSBEJUBEFTBM 2 t 1 MJUSPTEFDSFNB 4
Por ejemplo, en el salón de clases de Mariana midieron al maestro y descubrieron que entre su cabeza y su estatura hay una razón de 1 a 8.
t 3 UB[BTEFB[ÞDBS 4 t 2 UB[BTEFIBSJOB 3
ŠUsen esta información para obtener una aproximación de la longitud de la cabeza del Ángel de la Independencia y de la Estatua de la Libertad, y completen la tabla: Maestro de Mariana
Ángel de la Independencia
Estatua de la Libertad
1.80 m
6.70 m
34 m
Longitud de la cabeza
tDVDIBSBEJUBTEFQPMWPQBSBIPSOFBS
Estatura
t 2 UB[BTEFOVFDFT 3 t 1 EFUB[BEFDIPDIJUPTEFDPMPSFT 3
Š¿Cuál es el factor de proporcionalidad en la situación anterior?
t 3 EFDVDIBSBEBEFWBJOJMMB 4
Con la ayuda de tu compañero mide tu estatura y el largo de tu cabeza. Š¿Cuál es la razón entre la medida de tu cabeza y tu estatura?
Los números fraccionarios se usan en situaciones básicas como en el cálculo de los ingredientes de una receta de galletas para distintas cantidades.
%FTQVÏTEFEJTDVUJSMP .ØOJDBZ»TDBSDPOTJEFSBORVFDBEBQFSTPOBTFDPNFSÈFO QSPNFEJPUSFTHBMMFUBTZDBMDVMBSPOMBDBOUJEBEEFJOHSFEJFOUFTRVFOFDFTJUBO t{$VÈOUBTHBMMFUBTTFQVFEFOIBDFSDPOMBSFDFUBEFMBNBNÈEF.ØOJDB t{$VÈOUBTHBMMFUBTOFDFTJUBOMMFWBSBMGFTUFKP {2VÏQBSUFSFQSFTFOUBOEFMUPUBMEF HBMMFUBTEFMBSFDFUB 0SHBOJDFOVOEFCBUFDPOUPEPFMHSVQPFOFMRVFQSPQPOESÈOEJGFSFOUFTGPSNBTFOMBTRVF QPESÓBONVMUJQMJDBSZEJWJEJSGSBDDJPOFTQPSVOOÞNFSPFOUFSP Š&MNBFTUSPBOPUBSÈMBTEJGFSFOUFTQSPQVFTUBTFOFMQJ[BSSØOQBSBRVFTFEFOBSHVNFOUPTBGBWPSZFODPOUSBEFMBTQSPQVFTUBT Š"MUFSNJOBSEFFTUVEJBSFTUFUFNBDPNQBSBSÈOMBTFTUSBUFHJBTQSPQVFTUBTZEFDJEJSÈODVÈMFTBSHVNFOUPTEFMPTQSFTFOUBEPTFOFMEFCBUFSFTVMUBSPONÈTBEFDVBEPT
Ahora, obtengan una aproximación de la longitud de las cabezas de las estatuas utilizando tus medidas. Š¿Hay diferencias entre su nueva estimación y la que obtuvieron antes? ¿Por qué?
ŠSi una persona tiene una relación de 2 a 15 entre su cabeza y su estatura, y en otra persona la relación es de 1 a 7, ¿es posible saber quién tiene la cabeza de mayor tamaño? Argumenten su respuesta.
Š¿Cuánto medirá la cabeza de cada persona si la altura de ambas es 1.70 m? Š¿Y si miden 1.50 m? ¿Qué sucede si una persona mide 1.50 m y la otra 1.70 m de es-
Planeación
tatura?
La relación entre la longitud de la cabeza de una persona y su estatura es proporcional.
ŠUna tercera persona tiene una relación de 2 a 14 entre su cabeza y su estatura.
Nuestro trabajo
¿Cómo se compara esta relación con la de las otras dos personas? 'PSNBSÈTVOFRVJQPDPOEPTDPNQB×FSPTQBSBQBSUJDJQBSFOVODPODVSTPQBSB DPOTUSVJSVOQBSRVFFOVOQPCMBEP&MUFSSFOPBTJHOBEPBMQBSRVFNJEFN Coméntenlo con sus compañeros y maestro. Š$BEBFRVJQPFOUSFHBSÈVOQMBOPBFTDBMBEFMQBSRVFFOVOBIPKBUBNB×P DBSUB EPOEFTFFYQMJRVFMBNBOFSBFORVFRVFEBSÓBEJTUSJCVJEPZFMÈSFBRVF PDVQBSÓBDBEBVOBEFMBT[POBTRVFTFRVJFSFODPOTUSVJS
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Planeación
Cierre La forma del acuario Un grupo de alumnos construyó su acuario con forma de cilindro, como el que se muestra a la derecha. ¿Se relacionan el radio y el volumen de manera proporcional? Para dar respuesta a la pregunta anterior, en parejas investiguen: Š¿Qué sucede con el volumen si el radio aumenta al doble? Š¿Aumenta también el volumen al doble? Š¿Y si se aumenta al triple la medida del radio? ŠElaboren una tabla en el cuaderno mostrando diferentes medidas para el radio y encuentren el volumen para cada caso. ŠEn este mismo ejemplo, ¿qué sucede si el área de la base aumenta al doble? ¿Lo hace también el volumen? ŠEscriban fórmulas relacionando el radio con el volumen y el área de la base con el volumen, manteniendo la altura del prisma constante. Comenten con el grupo y con el profesor sus experiencias.
Presentación de nuestro trabajo Presenten su acuario y sus tablas al resto del grupo y al profesor. Comenten las características de las tablas que elaboraron para su acuario.
Cierre
Nuestro trabajo. En este apartado encontrarás recomendaciones específicas para hacer un determinado producto a lo largo del desarrollo de los temas. También hallarás sugerencias de las formas en que puedes organizarte — individualmente, en parejas, en equipo o en grupo— e indicaciones del material que necesitarás para llevar a cabo el producto.
En esta última etapa presentarás a tus compañeros y profesor el resultado de tu producto mediante una exposición en el salón, un periódico mural, un dibujo o una construcción geométrica, entre otros.
Š¿Qué diferencias hay entre las tablas que elaboraron? Š¿Qué tipo de prismas usaron otros compañeros? ŠSi se mantiene constante la altura del acuario, ¿cómo se modifica el volumen cuando cambia el área de la base? ŠEncuentren todas las parejas de cantidades (por ejemplo área de la base y volumen) que se relacionan de manera proporcional.
¿Cómo nos fue? Š¿Qué estrategias utilizaste para resolver los problemas de la secuencia? Š¿Qué caracteriza una situación de proporcionalidad múltiple? Š¿Cómo usaste lo aprendido sobre la proporcionalidad múltiple para elaborar las tablas de análisis del acuario? Š¿Qué sucedería si se aumentaran, de manera simultánea, el área de la base y la altura de un prisma? Si se aumentan ambas al doble, ¿aumenta también al doble la medida del volumen? ¿Por qué? ŠPiensa en una situación que involucre proporcionalidad múltiple en tu vida cotidiana. ¿Qué cantidades están involucradas? Š¿Comprendiste cómo obtener la constante de proporcionalidad? Š¿Ya puedes resolver problemas en donde se utiliza la proporcionalidad múltiple? Š¿Cuál fue el ejemplo o problema de la secuencia que más te gustó? ¿Por qué? ¿Qué cantidades se encuentran relacionadas de forma proporcional en él? ŠInventa un problema relacionado con proporcionalidad múltiple y escribe dos maneras en que se puede resolver. Después, intercámbialo con un compañero para que lo resuelva.
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Historias de vida
2. Observa la siguiente imagen y calcula el área de los sectores sombreados.
Estos recuadros contienen relatos sobre personas y acontecimientos o referencias históricas asociados con el contenido de las actividades.
a) ¿Qué datos necesitas para resolver el problema?
b) Con base en la imagen, ¿qué debes hacer para obtener la información necesaria? 3. En la calle de la escuela de Juan decidieron poner algunas señales de tránsito para resguardar la seguridad de sus alumnos. a) Si van a colocar 9 señales de papel en forma circular que miden 25 cm de diámetro, ¿qué cantidad de papel necesitarán para construirlas? b) Si el pliego del papel que usarán mide 1.25 m de largo por 60 cm de ancho, ¿cuántos círculos deben trazar en cada pliego de manera que se desperdicie la menor cantidad de papel?
Señales de tránsito.
¿Cómo vamos? En diferentes momentos del desarrollo de los temas encontrarás este apartado que te permitirá hacer un alto en el camino y evaluar tus avances acerca de lo que has aprendido y del desarrollo del producto.
Las formas circulares también han estado presentes en muchas clases de construcciones. En China, por ejemplo, los Hakka construyeron viviendas que podían albergar a 800 personas. Hoy, estas construcciones aún se mantienen en pie, aunque tienen 1 200 años de antigüedad; y la Unesco las ha declarado parte del Patrimonio Cultural de la Humanidad.
Construcciones círculares. © Christian Kober, Robert Harding. Picture Library.
¿Cómo vamos? Revisen las actividades realizadas hasta ahora, les serán de utilidad para hacer y justificar los cálculos para su proyecto. Š¿Qué área de papel ocuparon para elaborar el Plato del bien comer? Š¿Cuántos círculos trazaron en cada pliego de papel bond? Š¿Cómo calcularon el área de cada tipo de alimento? Š¿Conocer la medida del diámetro fue un dato suficiente para realizar los cálculos anteriores? Š¿Cómo utilizaron lo que aprendieron acerca del cálculo de la corona circular para trazar su Plato del bien comer?
Si en un torneo de futbol participan cinco equipos, ¿cuántos partidos de ida se tendrán que realizar? Como los partidos son sólo de ida, los juegos 1-2 y 2-1 son el mismo, es decir, no importa el orden de los equipos, por lo que se realizan 10 partidos.
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1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 2-3, 2-4, 2-5, 3-4, 3-5, 4-5
Presentación de nuestro trabajo
Calculadora científica que permite calcular el número de combinaciones, sin importar el orden.
Cada equipo presente su propuesta de torneo al resto del grupo. ŠAnalicen los resultados de cada equipo de trabajo, si hay errores corríjanlos de manera grupal. Š¿Qué recurso emplearon para conocer el número de partidos? Š¿Podrían usar una multiplicación para calcular el número de partidos? Š¿Qué objeción pondrían a este recurso, según la información que deben entregar? Š¿Qué recurso permite conocer a los equipos que se enfrentarán en cada partido? ŠUna vez que todos los equipos hayan presentado su propuesta, se hará una votación acerca de cuál es más factible realizar y la presentarán al profesor de Educación Física.
Desarrollo
¡Encuentra el número! Antes de trabajar en el informe, realiza las actividades siguientes. Cuatro estudiantes de secundaria se organizaron para jugar “Encuentra el número que pensé”. Quien encontraba el número ganaba un punto. Uno de ellos propuso los siguientes retos.
Cierre
Espacio tecnológico En este apartado te recomendamos actividades complementarias a las que realizas en el libro. Dichas actividades se basan en el uso de recursos tecnológicos: Internet, calculadora, programa de geometría dinámica, entre otros.
Algunas calculadoras cuentan con la tecla nCr, la cual nos permite obtener el número de combinaciones (cuando el orden de los elementos no importa) de un experimento. Para conocer el número de partidos del torneo, oprime la tecla con el número 5, que representa el número de equipos, después nCr o shift nCr, según la calculadora, aparecerá en la pantalla 5C2, la C indica que se va a calcular el número de combinaciones; después el número 2, que representa a los equipos que participan en cada partido, y el signo =. El resultado que aparece en la pantalla representa el número de partidos. Si cuentas con una calculadora, utilízala para calcular la cantidad de partidos con 8, 10 o 20 equipos. Experimenta este procedimiento con el problema del puesto de jugos.
¿Cómo nos fue? Š¿En cuáles actividades se te facilitó usar un diagrama de árbol? Š¿En cuáles es preferible usar tablas de doble entrada? Š¿En qué otras situaciones puedes emplear diagramas de árbol o tablas de doble entrada para contar las opciones posibles? Describe un ejemplo. Š¿Pudiste calcular el número de partidos del torneo de futbol mediante una multiplicación? Argumenta tu respuesta. ŠEscribe las dudas que te hayan quedado sobre el uso de los diagramas de árbol y de las tablas de doble entrada en la organización del torneo. Coméntalas en clase. Š¿Intercambiaron los procedimientos que utilizó cada equipo para resolver los problemas? Š¿Pudiste seguir las explicaciones de los demás compañeros? Š¿Hiciste preguntas o comentarios a las explicaciones?
ŠResuélvelos para saber cuántos puntos obtendrías en el juego. ŠPienso un número, si le sumo 5, obtengo como resultado 11. ¿Cuál es ese número? ŠPienso un número, si le resto 4, obtengo como resultado 20. ¿Cuál es ese número? ŠPienso un número, si lo multiplico por 6, obtengo como resultado 66. ¿Cuál es ese número? ŠPienso un número, si lo divido entre 3 y el resultado lo multiplico por 8, obtengo como resultado 32. ¿Cuál es ese número?
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ŠPienso un número, si le sumo 9, obtengo como resultado 15.2. ¿Cuál es ese número? Compara tus resultados con los de otros compañeros. Comenten entre ustedes y con el profesor el procedimiento que siguieron para obtener los números. ŠEscribe en lenguaje algebraico, es decir, con letras, números y signos, la situación que se plantea en cada uno de los retos anteriores. Š
Š
Š
Š
lenguaje algebraico. Es el lenguaje que se caracteriza por utilizar letras, números y signos para expresar un enunciado matemático.
Presentación de
Š Con ayuda de tu profesor, compara tus expresiones con las de otros compañeros. ŠLas siguientes expresiones algebraicas corresponden a los retos propuestos por un estudiante. Escribe el reto que le corresponde a cada una. Šx 25 47
Šx
Glosario
7 3 5
Š3.85 x 15.27 Compara tus respuestas con las de otros compañeros y coméntenlas con el profesor. Las igualdades anteriores se llaman ecuaciones; en cada una, el número representado del lado izquierdo del signo igual (=) es el mismo que el representado del lado derecho. La literal que representa el número desconocido se llama incógnita. ¿Qué significa resolver una ecuación? Comenta tu respuesta con tu profesor.
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Te ofrece la definición de palabras o expresiones importantes, relacionadas con el tema que se aborda en la secuencia.
nuestro trabajo En este apartado encontrarás recomendaciones para compartir los resultados de tu trabajo. Y para que puedas evaluar lo que aprendiste, el resultado de tu producto, las dificultades a las que te enfrentaste y la forma en que las resolviste, tanto en lo individual como en lo colectivo, el apartado ¿Cómo nos fue? te ofrece una útil guía.
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Tareas En este apartado te proponemos diferentes actividades para que ejercites tus habilidades, desarrolles nuevas estrategias y refuerces los procedimientos de resolución de problemas que trabajaste en la secuencia.
¿Es la expresión al final de la página 204, igual a la que construyeron antes? Si no es así, expliquen a qué se debe la diferencia. Con base en esta información, ¿cuál de los dos diseños presentados al jardinero permite aprovechar mejor el espacio? Comparen su resultado con la respuesta que dieron al inicio. ¿Coinciden? Coméntenlo con el profesor.
Haz las siguientes activid actividades en el cuaderno. 1. Dibuja dos círculos y calcula el perímetro y el área. a) Para calcular el perímetro de los círculos anteriores, ¿qué datos utilizaste?, ¿qué valor de Pi utilizaste? Explícalo. 2. Elige uno de los siguientes problemas y resuélvelo. Argumenta tu respuesta basándote en lo que trabajaste a lo largo de las actividades. a) La pista en la que Isaac e Iván hicieron el recorrido es circular y tiene 500 metros de longitud. ¿Se cruzaron en algún momento? b) Si en la parte interior de la pista hay una más pequeña que tiene la mitad del diámetro de la grande, ¿en cuánto disminuye su circunferencia?, ¿en cuánto disminuye el área de este círculo? c) Si se aumenta cuatro veces la longitud del diámetro de cualquiera de las dos pistas anteriores, ¿cuánto aumenta la longitud de su circunferencia?, ¿cuánto aumenta el área de este círculo? 3. Con el profesor, lean la siguiente información y analicen cómo se podría utilizar lo descubierto por Jordan para justificar la fórmula del área del círculo. Camille Jordan, matemático francés del siglo XX, descubrió que toda curva cerrada separa al plano en dos regiones: el interior y el exterior. La idea de la medida de Jordan consiste en encerrar la figura de la que se va a medir el área, en enlosados rectangulares (el valor de las áreas de éstos es fácil de hallar). Cuanto más fino sea el enlosado más precisa será la medida del área de la figura.
¿Cómo nos fué? En esta sección, al final de cada leccion, se plantean preguntas para reflexionar acerca de los temas cubiertos para que confirmes la adquisición de los conocimientos descritos en el Contenido de la lección y pongas en práctica los aprendizajes esperados.
Cierre
Presentación de nuestro trabajo Antes de presentar su trabajo, elaboren la tarjeta informativa para su rueda. No olviden indicar todos los datos en la misma unidad de medida. Decoren su rueda y prepárense para la presentación. ŠColoquen en el lugar que el profesor les indique las ruedas diseñadas para recorrer el largo de la cancha. Š¿Cómo calcularon el número de vueltas con respecto al tamaño de las ruedas? Š¿Cuál fue la rueda de mayor tamaño y cuál la de menor tamaño de las elaboradas? Š¿Cómo los ayudó a cumplir con su proyecto saber calcular el área y el perímetro del círculo, independientemente de los diferentes tamaños de rueda que diseñaron?
¿Cómo nos fue? ŠLa relación entre el diámetro de cualquier circunferencia y la longitud de esta, ¿será siempre la misma en todos los círculos? ¿De qué depende? Explícalo. Š¿En qué casos de tu vida cotidiana te podría ser útil calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo? Explícalo. ŠEscribe las dudas que te hayan surgido acerca del cálculo del área del círculo y de la circunferencia. Coméntalas con tus compañeros y tu profesor. ŠAl resolver los problemas planteados en la secuencia, ¿fue importante compartir con tus demás compañeros los procedimientos y estrategias que utilizaste? ¿Por qué?
Evaluación tipo PISA 205
En esta sección al final de cada bloque, encontrarás una evaluación escrita que fue diseñada con el modelo PISA (Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes). Aquí se plantean situaciones en contextos muy cercanos a tu vida cotidiana para que puedas poner en práctica tus conocimientos, habilidades y actitudes.
Evaluación tipo PISA
UNIDAD: Estado civil en gráficas
UNIDAD: El caleidoscopio
En la gráfica 1 se muestra información sobre la situación conyugal de los chihuahuenses según el censo de población realizado por el Inegi en 2010. En la gráfica 2 se muestra la edad promedio a la que contraen matrimonio los mexicanos en toda la República.
Ernesto quiere construir un caleidoscopio. Un caleidoscopio es un aparato que permite visualizar hermosas figuras como la que se muestra en la fotografía. El triángulo resaltado en verde es la imagen real y el resto son reflejos. Se colocaron tres espejos, como lo indica el esquema azul de la derecha. Las imágenes se componen de figuras simétricas, el número de ejes de simetría que tenga la figura dependerá de los ángulos que formen los espejos entre sí.
Gráfica 1: Datos correspondientes al estado de Chihuahua
Gráfica 2: Datos correspondientes a toda la República Mexicana
Cubierta
Espejos
Pregunta 1: EL CALEIDOSCOPIO
Contexto: Personal
Aprendizaje esperado: Construye círculos y polígonos regulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas
La ilustración de la izquierda muestra la forma de la base de los espejos. Describe cómo puede Ernesto trazar la base de la cubierta, si debe tocar los tres vértices de los espejos. 40°
Pregunta 1: ESTADO CIVIL EN GRÁFICAS
Pregunta 2: EL CALEIDOSCOPIO
a) 17.2%
Contexto: Personal
Aprendizaje esperado: Construye círculos y polígonos regulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas
a)
b)
c)
Aprendizaje esperado: Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información
¿Qué porcentaje de los chihuahuenses mayores de 12 años de edad está casado?
Pregunta 2: ESTADO CIVIL EN GRÁFICAS
A continuación se presentan partes de las imágenes que se pueden formar con diversos caleidoscopios. ¿Cuál se podrá observar en el caleidoscopio de Ernesto?
Contexto: Público
b) 4.4% Contexto: Público
c) 38.7%
d) 33.3%
Aprendizaje esperado: Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información
Explica cómo varió la edad promedio en la que contrajeron matrimonio las mujeres mexicanas del 2002 al 2005. Pregunta 3: ESTADO CIVIL EN GRÁFICAS
Contexto: Público
d)
Aprendizaje esperado: Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información
Colorea las casillas “Verdadero” o “Falso” de acuerdo con la tendencia de la gráfica de barras en las afirmaciones que se proponen respecto a la edad promedio a la que contraerán matrimonio los varones mexicanos en el año 2015.
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Será mayor que la de las mujeres
Verdadero
Falso
Será igual para ambos sexos
Verdadero
Falso
Será un año mayor
Verdadero
Falso
Mayor de 28 años
Verdadero
Falso
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1 Matemáticas 1
En la actualidad, enseñar matemáticas significa propiciar que el estudiante desarrolle una forma de pensamiento que le permita interpretar y comunicar matemáticamente situaciones cotidianas, para lo cual necesita reconocer, plantear y resolver problemas en los que sea útil la herramienta matemática. Con ese propósito, en este libro se proponen actividades interesantes que propician un aprendizaje significativo, alejado de la mera enumeración de conceptos y la resolución mecánica de ejercicios. Se usa un lenguaje claro y sencillo, con la amplitud y el fundamento necesarios para que los alumnos lo comprendan.
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María Trigueros Gaisman María Dolores Lozano Suárez Mónica Inés Schulmaister Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres Emanuel Jinich Charney Mercedes Cortés Lascurain
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El trabajo colaborativo y crítico que se refuerza a lo largo de las actividades permitirá que los estudiantes compartan sus ideas, formulen, comuniquen, argumenten y muestren la validez de los procedimientos y los resultados, a fin de que tomen las decisiones más adecuadas para cada situación.
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En la actualidad, enseñar matemáticas significa propiciar que el estudiante desarrolle una forma de pensamiento que le permita interpretar y comunicar matemáticamente situaciones cotidianas, para lo cual necesita reconocer, plantear y resolver problemas en los que sea útil la herramienta matemática. Con ese propósito, en este libro se proponen actividades interesantes que propician un aprendizaje significativo, alejado de la mera enumeración de conceptos y la resolución mecánica de ejercicios. Se usa un lenguaje claro y sencillo, con la amplitud y el fundamento necesarios para que los alumnos lo comprendan.
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1 Matemáticas María Trigueros Gaisman María Dolores Lozano Suárez Mónica Inés Schulmaister Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres Emanuel Jinich Charney Mercedes Cortés Lascurain
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Diseño de portada
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Edición Digital
Miguel Ángel Flores Medina
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Edición de Realización
Gabriela Armillas Bojorges
Nájera Hernández
Pablo Mijares Muñoz, Rafael Serrano Pérez Grovas
Alejo
Ariel Ávila Corrección de estilo
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Revisión técnica
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Edición
Rubén García Madero, Leticia Martínez Ruiz y Laura Milena Valencia Escobar
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Diana Paloma Díaz Pérez
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Colaboración en evaluaciones tipo PISA
De
Coordinación Editorial
Ma. del Pilar Vergara Ríos
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Raymundo Ríos Vázquez Diseño de interiores
Beatriz Alatriste del Castillo y Gil G. Reyes Ortiz Diagramación
Héctor Ovando Jarquín Iconografía
Elvia Valadez Pérez Fotografía
Olivia Vivanco, Thinkstock, Shutterstock, Photostogo, Durga Archivo Digital, Photostock, Latinstock, NASA, Glow Images, Archivo Santillana Ilustración
Héctor Ovando, Ricardo Ríos, Héctor Medina, Gerardo Sánchez, Gustavo del Valle, Margarita Palacios, Marcela Gómez (A corazón abierto), Carmen Gutiérrez, Kathia Recio Digitalización
María Eugenia Guevara, Gerardo Hernández
La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 1 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor. © 2012 por María Trigueros Gaisman, María de los Dolores Lozano Suárez, Mónica Inés Schulmaister, Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres, Emanuel Jinich Charney, María de las Mercedes Cortés Lascurain D. R. © 2012 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V. Avenida Río Mixcoac 274, colonia Acacias, C. P. 03240, delegación Benito Juárez, México, D. F. ISBN: 978-607-01-1054-2 Primera edición: abril de 2012 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802 Impreso en México/Printed in Mexico
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Presentación
El trabajo en equipo es importante porque te ofrece la posibilidad de expresar tus ideas y de enriquecerlas con las opiniones de los demás, así desarrollas tu actitud de colaboración y la habilidad para argumentar.
Este libro de texto está destinado a los alumnos de primer grado de secundaria. Está organizado en secuencias de situaciones problemáticas desarrolladas en torno a contextos de la vida diaria que corresponden a las necesidades de aprendizaje de los adolescentes mexicanos y que representan para ellos un desafío intelectual. En la sección Palabras al docente se describen las etapas de las secuencias y cómo trabajarlas. Mediante la organización en secuencias de situaciones problemáticas se intenta que los alumnos enfrenten los nuevos conocimientos matemáticos proporcionándoles sentido y significado. Por medio de la solución de problemas interesantes y preguntas de reflexión se les motiva a desarrollar las competencias matemáticas (Resolver problemas de manera autónoma, Comunicar información matemática, Validar procedimientos y resultados y Manejar técnicas eficientemente) requeridas para la vida en un ambiente de aprendizaje colaborativo, que les ofrece la oportunidad de incrementar el sentido de responsabilidad y las ventajas de compartir con otros sus ideas y conocimientos. La propuesta didáctica de Matemáticas 1 se inscribe en el enfoque por competencias y la resolución de problemas, en el cual los alumnos pueden activar sus saberes e integrar nuevos conocimientos para dar respuesta tanto a problemas en situaciones comunes, como a situaciones complejas de la vida diaria. El trabajo de los alumnos con el libro les permite: • • • • • •
visualizar con claridad el problema o dar un planteamiento adecuado a la situación; seleccionar entre sus conocimientos y habilidades, aquellos que son necesarios para resolver una situación particular; poner en práctica los conocimientos y habilidades y ajustarlos en función de la situación; prever lo que se necesita para participar en determinada situación; reflexionar, en colaboración con sus compañeros, sobre las nuevas herramientas necesarias para resolver cada situación; tener la posibilidad de trasladar los nuevos aprendizajes de esa experiencia a situaciones y retos nuevos.
De esta manera, los alumnos construyen los conocimientos con sentido y significado, lo que les permite aplicarlos dentro y fuera de la escuela.
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Palabras al alumno
Una actitud positiva hacia el estudio de las matemáticas te permitirá enfrentar situaciones diversas de forma eficiente.
El libro que tienes en tus manos tiene el propósito de acompañarte en tu curso de Matemáticas, del primer grado de secundaria. Esta obra ha sido escrita con la intención de acercarte a las matemáticas mediante el desarrollo de actividades interesantes y de problemas y situaciones cercanos a tu vida cotidiana, de manera que el aprendizaje te resulte entretenido y lleno de significado. Las matemáticas constituyen una forma de pensar y de abordar problemas; entenderlas es fundamental y, por ello, tratamos de ofrecerte muchas opciones para que argumentes, comuniques tus ideas, elabores razonamientos y emplees herramientas matemáticas. Todo ello te dará ocasión para profundizar sobre la manera de pensar en matemáticas y así comprender mejor los conceptos relacionados con la situación o problema que estés trabajando. Resolver problemas requiere dedicación y esfuerzo, por lo que te sugerimos que lleves a cabo un acercamiento con tus compañeros de clase y tu profesor, que incluya momentos de discusión y reflexión tanto individual como grupal en cada uno de los retos planteados. Es importante que aproveches lo que ya conoces, que reflexiones si es útil en esa situación o no lo es, y cuál es la mejor manera de resolverla. Al discutir con tus compañeros y con tu profesor tendrás nuevas oportunidades de reflexionar sobre diferentes maneras de abordar y resolver los problemas, compararlas y tomar decisiones acerca de las ventajas y desventajas de cada una de ellas, cómo se complementan, etc. Así lograrás profundizar en las ideas y los conceptos matemáticos que se requieren en la solución de los problemas y sobre el papel que tienen las matemáticas en la sociedad. Es importante que te preguntes constantemente si tus argumentos son sólidos, si comprendes los proporcionados por otros compañeros o por el profesor, y que trates de resolver por ti mismo otros problemas similares, de manera que puedas percatarte de la posibilidad de utilizar tu propio conocimiento y plantear las dudas que aún tienes y discutirlas de nuevo con el profesor. Hemos disfrutado mucho el hecho de escribir este libro y esperamos que tú también goces al utilizarlo y que adquieras sólidos conocimientos matemáticos para que en el futuro puedas ponerlos en práctica en una variedad de contextos. Los autores
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Palabras al docente El estudio de las matemáticas busca que los jóvenes desarrollen una manera de pensar que les permita expresar, por medio de las herramientas adquiridas, situaciones que se les presenten en diversos entornos, que puedan comprender las explicaciones y los razonamientos de otros, y que sean capaces de utilizar técnicas matemáticas adecuadas para reconocer, plantear y resolver problemas. Por ello, el tratamiento de los contenidos en este libro se realiza mediante secuencias de situaciones problemáticas conformadas por cuatro etapas: inicio, planeación, desarrollo y cierre. En cada secuencia se propone a los estudiantes la confección, en equipos o todo el grupo, de un producto: construir una maqueta, elaborar un informe, realizar una investigación, explicar y justificar razonamientos y estrategias empleadas para resolver un problema, entre otros. En la primera etapa se presenta una situación —una actividad, un juego, una imagen o un texto— cuyo propósito es despertar el interés de los alumnos e invitarlos a reflexionar y encontrar diferentes formas de resolverla. El inicio se complementa con el planteamiento de algunas preguntas para recuperar conocimientos, para meditar sobre la solución del problema y considerar los contenidos por estudiar. Este momento de la secuencia puede trabajarse en equipos o en grupo, usted puede decidir la mejor manera de trabajo de acuerdo con su plan de clases. En la etapa de planeación, que en el libro se titula Nuestro trabajo, se propone el producto que elaborarán los estudiantes, así como su propósito, los recursos y la organización de las actividades que deberán realizar. Durante el desarrollo de la secuencia se proponen actividades diversas, individuales y colectivas, que permitirán a los estudiantes ir de lo informal a lo convencional en la construcción de reglas, fórmulas, algoritmos, definiciones, etc. Es pertinente intervenir lo menos posible en las discusiones de los alumnos para que sean ellos quienes formulen y validen conjeturas y utilicen procedimientos propios al resolver los problemas. Con el propósito de que el educando evalúe su avance individual y colectivo en la construcción del conocimiento, en su producto y en el desarrollo de habilidades y actitudes, se presenta el apartado ¿Cómo vamos?, en el que se propicia la reflexión metacognitiva. Es posible complementar esta sección con otras preguntas como las siguientes: ¿Puedes seguir esta secuencia de argumentos o elaborarlos tú mismo? ¿Comprendiste los razonamientos y las explicaciones de tus compañeros?, etcétera. El cierre de la secuencia se realiza en dos momentos: primero, en Presentación de nuestro trabajo, los alumnos finalizan la confección del producto; se sugiere que lo socialicen con el grupo, incluso con la escuela o la comunidad. De esta manera también comunican, argumentan y comparten los conocimientos. Por último, en el segundo momento, ¿Cómo nos fue?, discuten en grupo varios puntos relacionados con los aprendizajes logrados, el producto, la manera en la que aprendieron y la resolución del problema inicial. Quienes participamos en su elaboración, esperamos que esta obra sea de utilidad para su trabajo docente. Los autores
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Índice Dosificación
12
1
Dados
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Mandala tibetano budista
16
1. Fracciones y decimales
18
2. Fracciones y decimales en la recta numérica
28
3. Suma y resta de fracciones
34
4. Sucesiones
40
5. Literales y fórmulas
46
6. Construcción de cuadriláteros
50
7. Rectas y segmentos del triángulo
58
8. Reparto proporcional
66
9. Nociones de probabilidad
72
Evaluación tipo PISA
78
10. Criterios de divisibilidad y números primos
82
11. Múltiplos y divisores
88
12. Suma de fracciones y decimales
96
13. Multiplicación de fracciones
104
14. Rectas y ángulos
112
15. Fórmulas de perímetros y áreas de polígonos regulares
118
16. Grandes y chicos
122
Evaluación tipo PISA
128
Bloque
Bloque
Tu libro, de principio a fin
Bloque
8
3
Sombrillas chinas
130
17. Multiplicación de números con decimales
132
18. División con decimales
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31. Gráficas
224
20. Polígonos y sus aplicaciones
150
Evaluación tipo PISA
232
21. Áreas y perímetros de polígonos regulares
158
22. Factores sucesivos de proporcionalidad
164
23. Predicciones en un experimento aleatorio
168
24. Diagramas y tablas
174
Evaluación tipo PISA
182
4
Pulseras hechas con cuentas de chaquira
184
25. Números con signo
186
26. Construcción de círculos
194
27. Circunferencia y círculo
200
28. Proporcionalidad: procedimientos expertos
206
Bloque
144
Bloque
19. Ecuaciones de primer grado
5
Sistema Solar
234
32. Problemas aditivos
236
33. Notación científica
242
34. Potenciación y radicación
250
35. Sucesiones aritméticas
258
36. Área y perímetro del círculo
264
37. Proporcionalidad múltiple
270
Evaluación tipo PISA
276
Fuentes de información
278
29. Factor inverso de proporcionalidad 210 30. Problemas de conteo
216
7
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Dosificación Eje
Tema
Secuencia
Bloque 1 1. Fracciones y decimales Números y sistemas de numeración
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas aditivos
2. Fracciones y decimales en la recta numérica 3. Suma y resta de fracciones
4. Sucesiones Patrones y ecuaciones 5. Literales y fórmulas 6. Construcción de cuadriláteros
Forma, espacio y medida
Figuras y cuerpos 7. Rectas y segmentos del triángulo Proporcionalidad y funciones
8. Reparto proporcional
Nociones de proporcionalidad
9. Nociones de probabilidad
Manejo de la información
Bloque 2 10. Criterios de divisibilidad y números primos Números y sistemas de numeración
Sentido numérico y pensamiento algebraico
11. Múltiplos y divisores Problemas aditivos
12. Suma de fracciones y decimales
Problemas multiplicativos
13. Multiplicación de fracciones
Figuras y cuerpos
14. Rectas y ángulos
Medida
15. Fórmulas de perímetros y áreas de polígonos regulares
Proporcionalidad y funciones
16. Grandes y chicos
Forma, espacio y medida
Manejo de la información
Bloque 3 17. Multiplicación de números con decimales Problemas multiplicativos
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
18. División con decimales
Patrones y ecuaciones
19. Ecuaciones de primer grado
Figuras y cuerpos
20. Polígonos y sus aplicaciones
8
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Contenidos
Págs.
Semana
Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.
18-27
1y2
Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.
28-33
3
Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.
34-39
4
Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.
40-45
5
Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.
46-49
6
Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.
50-57
7
Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.
58-65
8
Resolución de problemas de reparto proporcional.
66-71
9
Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.
72-77
10
Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos.
82-87
11
Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
88-95
12 y 13
Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.
96-103
14
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.
104-111
15
Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.
112-117
16
Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.
118-121
17
Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.
122-127
18
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
132-137
19
Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
138-143
20
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.
144-149
21
Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.
150-157
22 y 23
Calendarización
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Eje
Manejo de la información
Tema
Secuencia
Medida
21. Áreas y perímetros de polígonos regulares
Proporcionalidad y funciones
22. Factores sucesivos de proporcionalidad
Nociones de probabilidad
23. Predicciones en un experimento aleatorio
Análisis y representación de datos
24. Diagramas y tablas
Números y sistemas de numeración
25. Números con signo
Figuras y cuerpos
26. Construcción de círculos
Medida
27. Circunferencia y círculo
Bloque 4 Sentido numérico y pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
28. Proporcionalidad: procedimientos expertos Proporcionalidad y funciones 29. Factor inverso de proporcionalidad
Manejo de la información Nociones de probabilidad
30. Problemas de conteo
Análisis y representación de datos
31. Gráficas
Problemas aditivos
32. Problemas aditivos
Bloque 5
33. Notación científica
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicativos 34. Potenciación y radicación
Patrones y ecuaciones
35. Sucesiones aritméticas
Forma, espacio y medida
Medida
36. Área y perímetro del círculo
Manejo de la información
Proporcionalidad y funciones
37. Proporcionalidad múltiple
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Contenidos
Págs.
Semana Calendarización
Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.
158-163
24
Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.
164-167
25
Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.
168-173
26
Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.
174-181
27
Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.
186-193
28
Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.
194-199
29
Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.
200-205
30
Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.
206-209
31
Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.
210-215
32
Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.
216-223
33
Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.
224-231
34
Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.
236-241
35
Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
242-249
36
Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.
250-257
37
Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.
258-263
38
Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.
264-269
39
Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.
270-275
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Tu libro, de principio a fin Entrada de bloque Estas páginas se ilustran con una gra ggran an imagen y un texto breve qu que describe la relación que esta guarda con alguno de los contenidos que trabajarás en el bloque. Aquí encontrarás los Aprendizajes esperados, que exponen los conocimientos que desarrollarás al realizar las actividades que se proponen en los temas.
Bloque 4 Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que: t $POTUSVZBTDÓSDVMPTZQPMÓHPOPTSFHVMBSFTRVFDVNQMBODPODJFSUBTDPOEJDJPOFTFTUBCMFDJEBT t -FBTJOGPSNBDJØOQSFTFOUBEBFOHSÈåDBTEFCBSSBT ZDJSDVMBSFT6UJMJDFTFTUPTUJQPTEFHSÈåDBTQBSBDPNVOJDBSJOGPSNBDJØO
Pulseras hechas con cuentas de chaquira Al elaborar collares y pulseras, los huicholes utilizan diseños geométricos, como figuras inscritas en otras figuras. Estos diseños son abstracciones de elementos naturales. La combinación de colores es una parte fundamental en los diseños. La imagen se relaciona con el contenido de la secuencia 30.
185
184
Te invitamos a que, después de trabajar cada bloque, regreses a estas páginas: • •
observa la imagen y encuentra la relación que tiene esta con los contenidos del bloque. haz una nueva lectura de los Aprendizajes esperados y, junto con tus compañeros y profesor, evalúa los logros obtenidos.
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Los temas abordados en cada secuencia se desarrollan en cuatro etapas:
Desarrollo Inicio Durante esta etapa, realizarás actividades individuales y colectivas, que te ayudarán a adquirir nuevos conocimientos y a desarrollar tus competencias matemáticas.
Al inicio encontrarás una situación, ya sea un problema, un juego o una actividad, que deberás analizar a fin de proponer diversas estrategias de solución. La situación inicial se complementa con preguntas que te harán reflexionar sobre lo que ya sabes y sobre las estrategias que puedes definir o aplicar; al mismo tiempo, los cuestionamientos planteados te introducirán en los contenidos que estudiarás en la secuencia.
13
Reúnete con un compañero, lean la información de la página anterior y realicen las actividades siguientes: Š¿Cuánto medirá, desde la barbilla, el largo de la cabeza de cada estatua? ¿Cuánto
Multiplicación de fracciones
medirá la mano? ŠComparen sus respuestas con las de sus compañeros, así como los criterios que usaron para hacer su estimación. Una manera de obtener un estimado para la medida de la longitud de la cabeza es utilizar la relación que existe entre la medida de la cabeza de una persona adulta y su estatura.
Contenido 3FTPMVDJØOEFQSPCMFNBTRVFJNQMJRVFOMBNVMUJQMJDBDJØOZEJWJTJØODPOOÞNFSPTGSBDDJPOBSJPTFOEJTUJOUPT DPOUFYUPT VUJMJ[BOEPMPTBMHPSJUNPTVTVBMFT
La receta de las galletas
Inicio
Desarrollo
Bloque 2
Cabezas y cuerpos
Š¿Qué significa esto?
1BSBMBåFTUBEFMBFTDVFMB .ØOJDBZ»TDBSRVJFSFOMMFWBSHBMMFUBTQBSBTVTDPNQB×FSPTEFHSVQPNÈTMBNBFTUSB.ØOJDBMFQJEJØBTVNBNÈMBSFDFUBEFVOBTRVF 1 MFFODBOUBO DPOMBRVFQVFEFQSFQBSBS EPDFOBTEFHBMMFUBT 2 Ingredientes: tDVDIBSBEBEFNBOUFRVJMMB tIVFWPT t 1 UB[BTEFDIPDPMBUFFOQPMWP 4 t 1 DVDIBSBEJUBEFTBM 2 t 1 MJUSPTEFDSFNB 4
Por ejemplo, en el salón de clases de Mariana midieron al maestro y descubrieron que entre su cabeza y su estatura hay una razón de 1 a 8.
t 3 UB[BTEFB[ÞDBS 4 t 2 UB[BTEFIBSJOB 3
ŠUsen esta información para obtener una aproximación de la longitud de la cabeza del Ángel de la Independencia y de la Estatua de la Libertad, y completen la tabla: Maestro de Mariana
Ángel de la Independencia
Estatua de la Libertad
1.80 m
6.70 m
34 m
Longitud de la cabeza
tDVDIBSBEJUBTEFQPMWPQBSBIPSOFBS
Estatura
t 2 UB[BTEFOVFDFT 3 t 1 EFUB[BEFDIPDIJUPTEFDPMPSFT 3
Š¿Cuál es el factor de proporcionalidad en la situación anterior?
t 3 EFDVDIBSBEBEFWBJOJMMB 4
Con la ayuda de tu compañero mide tu estatura y el largo de tu cabeza. Š¿Cuál es la razón entre la medida de tu cabeza y tu estatura?
Los números fraccionarios se usan en situaciones básicas como en el cálculo de los ingredientes de una receta de galletas para distintas cantidades.
%FTQVÏTEFEJTDVUJSMP .ØOJDBZ»TDBSDPOTJEFSBORVFDBEBQFSTPOBTFDPNFSÈFO QSPNFEJPUSFTHBMMFUBTZDBMDVMBSPOMBDBOUJEBEEFJOHSFEJFOUFTRVFOFDFTJUBO t{$VÈOUBTHBMMFUBTTFQVFEFOIBDFSDPOMBSFDFUBEFMBNBNÈEF.ØOJDB t{$VÈOUBTHBMMFUBTOFDFTJUBOMMFWBSBMGFTUFKP {2VÏQBSUFSFQSFTFOUBOEFMUPUBMEF HBMMFUBTEFMBSFDFUB 0SHBOJDFOVOEFCBUFDPOUPEPFMHSVQPFOFMRVFQSPQPOESÈOEJGFSFOUFTGPSNBTFOMBTRVF QPESÓBONVMUJQMJDBSZEJWJEJSGSBDDJPOFTQPSVOOÞNFSPFOUFSP Š&MNBFTUSPBOPUBSÈMBTEJGFSFOUFTQSPQVFTUBTFOFMQJ[BSSØOQBSBRVFTFEFOBSHVNFOUPTBGBWPSZFODPOUSBEFMBTQSPQVFTUBT Š"MUFSNJOBSEFFTUVEJBSFTUFUFNBDPNQBSBSÈOMBTFTUSBUFHJBTQSPQVFTUBTZEFDJEJSÈODVÈMFTBSHVNFOUPTEFMPTQSFTFOUBEPTFOFMEFCBUFSFTVMUBSPONÈTBEFDVBEPT
Ahora, obtengan una aproximación de la longitud de las cabezas de las estatuas utilizando tus medidas. Š¿Hay diferencias entre su nueva estimación y la que obtuvieron antes? ¿Por qué?
ŠSi una persona tiene una relación de 2 a 15 entre su cabeza y su estatura, y en otra persona la relación es de 1 a 7, ¿es posible saber quién tiene la cabeza de mayor tamaño? Argumenten su respuesta.
Š¿Cuánto medirá la cabeza de cada persona si la altura de ambas es 1.70 m? Š¿Y si miden 1.50 m? ¿Qué sucede si una persona mide 1.50 m y la otra 1.70 m de es-
Planeación
tatura?
La relación entre la longitud de la cabeza de una persona y su estatura es proporcional.
ŠUna tercera persona tiene una relación de 2 a 14 entre su cabeza y su estatura.
Nuestro trabajo
¿Cómo se compara esta relación con la de las otras dos personas? 'PSNBSÈTVOFRVJQPDPOEPTDPNQB×FSPTQBSBQBSUJDJQBSFOVODPODVSTPQBSB DPOTUSVJSVOQBSRVFFOVOQPCMBEP&MUFSSFOPBTJHOBEPBMQBSRVFNJEFN Coméntenlo con sus compañeros y maestro. Š$BEBFRVJQPFOUSFHBSÈVOQMBOPBFTDBMBEFMQBSRVFFOVOBIPKBUBNB×P DBSUB EPOEFTFFYQMJRVFMBNBOFSBFORVFRVFEBSÓBEJTUSJCVJEPZFMÈSFBRVF PDVQBSÓBDBEBVOBEFMBT[POBTRVFTFRVJFSFODPOTUSVJS
123
104
Planeación
Cierre La forma del acuario Un grupo de alumnos construyó su acuario con forma de cilindro, como el que se muestra a la derecha. ¿Se relacionan el radio y el volumen de manera proporcional? Para dar respuesta a la pregunta anterior, en parejas investiguen: Š¿Qué sucede con el volumen si el radio aumenta al doble? Š¿Aumenta también el volumen al doble? Š¿Y si se aumenta al triple la medida del radio? ŠElaboren una tabla en el cuaderno mostrando diferentes medidas para el radio y encuentren el volumen para cada caso. ŠEn este mismo ejemplo, ¿qué sucede si el área de la base aumenta al doble? ¿Lo hace también el volumen? ŠEscriban fórmulas relacionando el radio con el volumen y el área de la base con el volumen, manteniendo la altura del prisma constante. Comenten con el grupo y con el profesor sus experiencias.
Presentación de nuestro trabajo Presenten su acuario y sus tablas al resto del grupo y al profesor. Comenten las características de las tablas que elaboraron para su acuario.
Cierre
Nuestro trabajo. En este apartado encontrarás recomendaciones específicas para hacer un determinado producto a lo largo del desarrollo de los temas. También hallarás sugerencias de las formas en que puedes organizarte — individualmente, en parejas, en equipo o en grupo— e indicaciones del material que necesitarás para llevar a cabo el producto.
En esta última etapa presentarás a tus compañeros y profesor el resultado de tu producto mediante una exposición en el salón, un periódico mural, un dibujo o una construcción geométrica, entre otros.
Š¿Qué diferencias hay entre las tablas que elaboraron? Š¿Qué tipo de prismas usaron otros compañeros? ŠSi se mantiene constante la altura del acuario, ¿cómo se modifica el volumen cuando cambia el área de la base? ŠEncuentren todas las parejas de cantidades (por ejemplo área de la base y volumen) que se relacionan de manera proporcional.
¿Cómo nos fue? Š¿Qué estrategias utilizaste para resolver los problemas de la secuencia? Š¿Qué caracteriza una situación de proporcionalidad múltiple? Š¿Cómo usaste lo aprendido sobre la proporcionalidad múltiple para elaborar las tablas de análisis del acuario? Š¿Qué sucedería si se aumentaran, de manera simultánea, el área de la base y la altura de un prisma? Si se aumentan ambas al doble, ¿aumenta también al doble la medida del volumen? ¿Por qué? ŠPiensa en una situación que involucre proporcionalidad múltiple en tu vida cotidiana. ¿Qué cantidades están involucradas? Š¿Comprendiste cómo obtener la constante de proporcionalidad? Š¿Ya puedes resolver problemas en donde se utiliza la proporcionalidad múltiple? Š¿Cuál fue el ejemplo o problema de la secuencia que más te gustó? ¿Por qué? ¿Qué cantidades se encuentran relacionadas de forma proporcional en él? ŠInventa un problema relacionado con proporcionalidad múltiple y escribe dos maneras en que se puede resolver. Después, intercámbialo con un compañero para que lo resuelva.
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Historias de vida
2. Observa la siguiente imagen y calcula el área de los sectores sombreados.
Estos recuadros contienen relatos sobre personas y acontecimientos o referencias históricas asociados con el contenido de las actividades.
a) ¿Qué datos necesitas para resolver el problema?
b) Con base en la imagen, ¿qué debes hacer para obtener la información necesaria? 3. En la calle de la escuela de Juan decidieron poner algunas señales de tránsito para resguardar la seguridad de sus alumnos. a) Si van a colocar 9 señales de papel en forma circular que miden 25 cm de diámetro, ¿qué cantidad de papel necesitarán para construirlas? b) Si el pliego del papel que usarán mide 1.25 m de largo por 60 cm de ancho, ¿cuántos círculos deben trazar en cada pliego de manera que se desperdicie la menor cantidad de papel?
Señales de tránsito.
¿Cómo vamos? En diferentes momentos del desarrollo de los temas encontrarás este apartado que te permitirá hacer un alto en el camino y evaluar tus avances acerca de lo que has aprendido y del desarrollo del producto.
Las formas circulares también han estado presentes en muchas clases de construcciones. En China, por ejemplo, los Hakka construyeron viviendas que podían albergar a 800 personas. Hoy, estas construcciones aún se mantienen en pie, aunque tienen 1 200 años de antigüedad; y la Unesco las ha declarado parte del Patrimonio Cultural de la Humanidad.
Construcciones círculares. © Christian Kober, Robert Harding. Picture Library.
¿Cómo vamos? Revisen las actividades realizadas hasta ahora, les serán de utilidad para hacer y justificar los cálculos para su proyecto. Š¿Qué área de papel ocuparon para elaborar el Plato del bien comer? Š¿Cuántos círculos trazaron en cada pliego de papel bond? Š¿Cómo calcularon el área de cada tipo de alimento? Š¿Conocer la medida del diámetro fue un dato suficiente para realizar los cálculos anteriores? Š¿Cómo utilizaron lo que aprendieron acerca del cálculo de la corona circular para trazar su Plato del bien comer?
Si en un torneo de futbol participan cinco equipos, ¿cuántos partidos de ida se tendrán que realizar? Como los partidos son sólo de ida, los juegos 1-2 y 2-1 son el mismo, es decir, no importa el orden de los equipos, por lo que se realizan 10 partidos.
268
1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 2-3, 2-4, 2-5, 3-4, 3-5, 4-5
Presentación de nuestro trabajo
Calculadora científica que permite calcular el número de combinaciones, sin importar el orden.
Cada equipo presente su propuesta de torneo al resto del grupo. ŠAnalicen los resultados de cada equipo de trabajo, si hay errores corríjanlos de manera grupal. Š¿Qué recurso emplearon para conocer el número de partidos? Š¿Podrían usar una multiplicación para calcular el número de partidos? Š¿Qué objeción pondrían a este recurso, según la información que deben entregar? Š¿Qué recurso permite conocer a los equipos que se enfrentarán en cada partido? ŠUna vez que todos los equipos hayan presentado su propuesta, se hará una votación acerca de cuál es más factible realizar y la presentarán al profesor de Educación Física.
Desarrollo
¡Encuentra el número! Antes de trabajar en el informe, realiza las actividades siguientes. Cuatro estudiantes de secundaria se organizaron para jugar “Encuentra el número que pensé”. Quien encontraba el número ganaba un punto. Uno de ellos propuso los siguientes retos.
Cierre
Espacio tecnológico En este apartado te recomendamos actividades complementarias a las que realizas en el libro. Dichas actividades se basan en el uso de recursos tecnológicos: Internet, calculadora, programa de geometría dinámica, entre otros.
Algunas calculadoras cuentan con la tecla nCr, la cual nos permite obtener el número de combinaciones (cuando el orden de los elementos no importa) de un experimento. Para conocer el número de partidos del torneo, oprime la tecla con el número 5, que representa el número de equipos, después nCr o shift nCr, según la calculadora, aparecerá en la pantalla 5C2, la C indica que se va a calcular el número de combinaciones; después el número 2, que representa a los equipos que participan en cada partido, y el signo =. El resultado que aparece en la pantalla representa el número de partidos. Si cuentas con una calculadora, utilízala para calcular la cantidad de partidos con 8, 10 o 20 equipos. Experimenta este procedimiento con el problema del puesto de jugos.
¿Cómo nos fue? Š¿En cuáles actividades se te facilitó usar un diagrama de árbol? Š¿En cuáles es preferible usar tablas de doble entrada? Š¿En qué otras situaciones puedes emplear diagramas de árbol o tablas de doble entrada para contar las opciones posibles? Describe un ejemplo. Š¿Pudiste calcular el número de partidos del torneo de futbol mediante una multiplicación? Argumenta tu respuesta. ŠEscribe las dudas que te hayan quedado sobre el uso de los diagramas de árbol y de las tablas de doble entrada en la organización del torneo. Coméntalas en clase. Š¿Intercambiaron los procedimientos que utilizó cada equipo para resolver los problemas? Š¿Pudiste seguir las explicaciones de los demás compañeros? Š¿Hiciste preguntas o comentarios a las explicaciones?
ŠResuélvelos para saber cuántos puntos obtendrías en el juego. ŠPienso un número, si le sumo 5, obtengo como resultado 11. ¿Cuál es ese número? ŠPienso un número, si le resto 4, obtengo como resultado 20. ¿Cuál es ese número? ŠPienso un número, si lo multiplico por 6, obtengo como resultado 66. ¿Cuál es ese número? ŠPienso un número, si lo divido entre 3 y el resultado lo multiplico por 8, obtengo como resultado 32. ¿Cuál es ese número?
223
ŠPienso un número, si le sumo 9, obtengo como resultado 15.2. ¿Cuál es ese número? Compara tus resultados con los de otros compañeros. Comenten entre ustedes y con el profesor el procedimiento que siguieron para obtener los números. ŠEscribe en lenguaje algebraico, es decir, con letras, números y signos, la situación que se plantea en cada uno de los retos anteriores. Š
Š
Š
Š
lenguaje algebraico. Es el lenguaje que se caracteriza por utilizar letras, números y signos para expresar un enunciado matemático.
Presentación de
Š Con ayuda de tu profesor, compara tus expresiones con las de otros compañeros. ŠLas siguientes expresiones algebraicas corresponden a los retos propuestos por un estudiante. Escribe el reto que le corresponde a cada una. Šx 25 47
Šx
Glosario
7 3 5
Š3.85 x 15.27 Compara tus respuestas con las de otros compañeros y coméntenlas con el profesor. Las igualdades anteriores se llaman ecuaciones; en cada una, el número representado del lado izquierdo del signo igual (=) es el mismo que el representado del lado derecho. La literal que representa el número desconocido se llama incógnita. ¿Qué significa resolver una ecuación? Comenta tu respuesta con tu profesor.
145
Te ofrece la definición de palabras o expresiones importantes, relacionadas con el tema que se aborda en la secuencia.
nuestro trabajo En este apartado encontrarás recomendaciones para compartir los resultados de tu trabajo. Y para que puedas evaluar lo que aprendiste, el resultado de tu producto, las dificultades a las que te enfrentaste y la forma en que las resolviste, tanto en lo individual como en lo colectivo, el apartado ¿Cómo nos fue? te ofrece una útil guía.
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Tareas En este apartado te proponemos diferentes actividades para que ejercites tus habilidades, desarrolles nuevas estrategias y refuerces los procedimientos de resolución de problemas que trabajaste en la secuencia.
¿Es la expresión al final de la página 204, igual a la que construyeron antes? Si no es así, expliquen a qué se debe la diferencia. Con base en esta información, ¿cuál de los dos diseños presentados al jardinero permite aprovechar mejor el espacio? Comparen su resultado con la respuesta que dieron al inicio. ¿Coinciden? Coméntenlo con el profesor.
Haz las siguientes activid actividades en el cuaderno. 1. Dibuja dos círculos y calcula el perímetro y el área. a) Para calcular el perímetro de los círculos anteriores, ¿qué datos utilizaste?, ¿qué valor de Pi utilizaste? Explícalo. 2. Elige uno de los siguientes problemas y resuélvelo. Argumenta tu respuesta basándote en lo que trabajaste a lo largo de las actividades. a) La pista en la que Isaac e Iván hicieron el recorrido es circular y tiene 500 metros de longitud. ¿Se cruzaron en algún momento? b) Si en la parte interior de la pista hay una más pequeña que tiene la mitad del diámetro de la grande, ¿en cuánto disminuye su circunferencia?, ¿en cuánto disminuye el área de este círculo? c) Si se aumenta cuatro veces la longitud del diámetro de cualquiera de las dos pistas anteriores, ¿cuánto aumenta la longitud de su circunferencia?, ¿cuánto aumenta el área de este círculo? 3. Con el profesor, lean la siguiente información y analicen cómo se podría utilizar lo descubierto por Jordan para justificar la fórmula del área del círculo. Camille Jordan, matemático francés del siglo XX, descubrió que toda curva cerrada separa al plano en dos regiones: el interior y el exterior. La idea de la medida de Jordan consiste en encerrar la figura de la que se va a medir el área, en enlosados rectangulares (el valor de las áreas de éstos es fácil de hallar). Cuanto más fino sea el enlosado más precisa será la medida del área de la figura.
¿Cómo nos fué? En esta sección, al final de cada leccion, se plantean preguntas para reflexionar acerca de los temas cubiertos para que confirmes la adquisición de los conocimientos descritos en el Contenido de la lección y pongas en práctica los aprendizajes esperados.
Cierre
Presentación de nuestro trabajo Antes de presentar su trabajo, elaboren la tarjeta informativa para su rueda. No olviden indicar todos los datos en la misma unidad de medida. Decoren su rueda y prepárense para la presentación. ŠColoquen en el lugar que el profesor les indique las ruedas diseñadas para recorrer el largo de la cancha. Š¿Cómo calcularon el número de vueltas con respecto al tamaño de las ruedas? Š¿Cuál fue la rueda de mayor tamaño y cuál la de menor tamaño de las elaboradas? Š¿Cómo los ayudó a cumplir con su proyecto saber calcular el área y el perímetro del círculo, independientemente de los diferentes tamaños de rueda que diseñaron?
¿Cómo nos fue? ŠLa relación entre el diámetro de cualquier circunferencia y la longitud de esta, ¿será siempre la misma en todos los círculos? ¿De qué depende? Explícalo. Š¿En qué casos de tu vida cotidiana te podría ser útil calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo? Explícalo. ŠEscribe las dudas que te hayan surgido acerca del cálculo del área del círculo y de la circunferencia. Coméntalas con tus compañeros y tu profesor. ŠAl resolver los problemas planteados en la secuencia, ¿fue importante compartir con tus demás compañeros los procedimientos y estrategias que utilizaste? ¿Por qué?
Evaluación tipo PISA 205
En esta sección al final de cada bloque, encontrarás una evaluación escrita que fue diseñada con el modelo PISA (Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes). Aquí se plantean situaciones en contextos muy cercanos a tu vida cotidiana para que puedas poner en práctica tus conocimientos, habilidades y actitudes.
Evaluación tipo PISA
UNIDAD: Estado civil en gráficas
UNIDAD: El caleidoscopio
En la gráfica 1 se muestra información sobre la situación conyugal de los chihuahuenses según el censo de población realizado por el Inegi en 2010. En la gráfica 2 se muestra la edad promedio a la que contraen matrimonio los mexicanos en toda la República.
Ernesto quiere construir un caleidoscopio. Un caleidoscopio es un aparato que permite visualizar hermosas figuras como la que se muestra en la fotografía. El triángulo resaltado en verde es la imagen real y el resto son reflejos. Se colocaron tres espejos, como lo indica el esquema azul de la derecha. Las imágenes se componen de figuras simétricas, el número de ejes de simetría que tenga la figura dependerá de los ángulos que formen los espejos entre sí.
Gráfica 1: Datos correspondientes al estado de Chihuahua
Gráfica 2: Datos correspondientes a toda la República Mexicana
Cubierta
Espejos
Pregunta 1: EL CALEIDOSCOPIO
Contexto: Personal
Aprendizaje esperado: Construye círculos y polígonos regulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas
La ilustración de la izquierda muestra la forma de la base de los espejos. Describe cómo puede Ernesto trazar la base de la cubierta, si debe tocar los tres vértices de los espejos. 40°
Pregunta 1: ESTADO CIVIL EN GRÁFICAS
Pregunta 2: EL CALEIDOSCOPIO
a) 17.2%
Contexto: Personal
Aprendizaje esperado: Construye círculos y polígonos regulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas
a)
b)
c)
Aprendizaje esperado: Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información
¿Qué porcentaje de los chihuahuenses mayores de 12 años de edad está casado?
Pregunta 2: ESTADO CIVIL EN GRÁFICAS
A continuación se presentan partes de las imágenes que se pueden formar con diversos caleidoscopios. ¿Cuál se podrá observar en el caleidoscopio de Ernesto?
Contexto: Público
b) 4.4% Contexto: Público
c) 38.7%
d) 33.3%
Aprendizaje esperado: Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información
Explica cómo varió la edad promedio en la que contrajeron matrimonio las mujeres mexicanas del 2002 al 2005. Pregunta 3: ESTADO CIVIL EN GRÁFICAS
Contexto: Público
d)
Aprendizaje esperado: Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información
Colorea las casillas “Verdadero” o “Falso” de acuerdo con la tendencia de la gráfica de barras en las afirmaciones que se proponen respecto a la edad promedio a la que contraerán matrimonio los varones mexicanos en el año 2015.
232
Será mayor que la de las mujeres
Verdadero
Falso
Será igual para ambos sexos
Verdadero
Falso
Será un año mayor
Verdadero
Falso
Mayor de 28 años
Verdadero
Falso
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1 Matemáticas 1
En la actualidad, enseñar matemáticas significa propiciar que el estudiante desarrolle una forma de pensamiento que le permita interpretar y comunicar matemáticamente situaciones cotidianas, para lo cual necesita reconocer, plantear y resolver problemas en los que sea útil la herramienta matemática. Con ese propósito, en este libro se proponen actividades interesantes que propician un aprendizaje significativo, alejado de la mera enumeración de conceptos y la resolución mecánica de ejercicios. Se usa un lenguaje claro y sencillo, con la amplitud y el fundamento necesarios para que los alumnos lo comprendan.
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María Trigueros Gaisman María Dolores Lozano Suárez Mónica Inés Schulmaister Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres Emanuel Jinich Charney Mercedes Cortés Lascurain
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El trabajo colaborativo y crítico que se refuerza a lo largo de las actividades permitirá que los estudiantes compartan sus ideas, formulen, comuniquen, argumenten y muestren la validez de los procedimientos y los resultados, a fin de que tomen las decisiones más adecuadas para cada situación.
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