11.trabajo Cilindro Y Esferas Huecas De Paredes Delgadas Arreg 1 6f4c21

Resistencia de Materiales I

Mag. Ing. Máximo Alejandro Crispín Gómez

CILINDRO Y ESFERAS HUECAS DE PAREDES DELGADAS CALCULO DEL ESFUERZO PERPENDICULAR AL EJE DEL RECIPIENTE, ESFUERZO TANGENCIAL O CIRCUNFERENCIAL

Fig. 1 Consideremos ahora el equilibrio en Z de la porción de cilindro que se muestra en la figura. La fuerza resultante de las presiones es equilibrada por la resultante de los esfuerzos normales es la pared del recipiente. Como estos esfuerzos son paralelos a las circunferencia media de la sección transversal, se denomina esfuerzos circunferencial (σc).

Fig. 2 Planteando el equilibrio en Z σc (2tΔx) = p(2rΔx) De donde el esfuerzo circunferencial será: σc = pr / t

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Fig.3

Fig. 4

F = pDL P= 2Lt σc Igualando P y F, se tiene: σc = pr/t CALCULO DEL ESFUERZO LONGITUDINAL Separemos el cilindro en dos partes y analicemos el equilibrio en x para una de ellas. La fuerza del resultante de las presiones es equilibrada por la resultante de los esfuerzos normales en la pared del recipiente. Como estos esfuerzos son paralelos al eje longitudinal del cilindro, se denominan esfuerzos longitudinales (σL)

Fig. 5 La presión y el esfuerzo longitudinal actúa sobre áreas iguales π.r^2 y 2π rt respectivamente. Por lo tanto la ecuación de equilibrio x será: σL (2πrt) = p (π.r ^2) Luego el esfuerzo longitudinal será: σL = p r / 2t

RECIPIENTES ESFÉRICOS:

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F1  p

Fig. 6

 . D2 4

Fig. 7

El análisis de recipientes esféricos a presión es semejante al descrito para el esfuerzo longitudinal. La fuerza resultante F1 producida por la presión del fluido, es igual a la magnitud de la presión del fluido multiplicada por el área proyectada del hemisferio.

F1  p Aproyectada  p 

 . D2 4

Aplicando la ecuación de equilibrio estático, se tiene:

 FH  0 F2  F1  p 

 . D2 4

................( I )

El esfuerzo en las paredes del recipiente esférico pude determinarse nuevamente por medio de σ = F2 /A El área en este caso es A = π x D x e

F2   . A    . D. e...............( II ) Igualando la ecuación (I) y (II)

p

. D2 4

   . D. e

p. D  .e 4



p. D 4e

Se nota que la magnitud del esfuerzo unitario en un recipiente esférico cerrado es igual a la del esfuerzo longitudinal en un recipiente cilíndrico cerrado.

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PROB 1. Se tiene un tanque de presión compuesto por dos cilindros delgados coaxiales como se representa en la figura, antes del montaje hay una ligera unión entre los dos cilindros, esto es, el interior es demasiado grande para deslizarse dentro del exterior. El cilindro exterior se calienta, se coloca sobre el interior y se le enfría, consiguiendo un ajuste por contracción. Si los dos son de acero y el diámetro medio del conjunto es 10cm. Hallar las tensiones tangentes en cada envuelta, producidas por la contracción, si la ligera unión inicial (de los diámetros) era de 0.025cm., el espesor interior de la pared es de 0.25cm y el del exterior 0.20cm.

Fig. 8

Fig. 8.1

Fig. 8.2

Solución: Evidentemente, hay una presión uniforme distribuida en las caras contiguas de los dos cilindros, se observa en la figura. Hay que observar que no hay cargas exteriores. Se pude considerar que la presión p aumenta el diámetro del cilindro exterior y disminuye el interior, para que pueda encajar en el interior de aquel.

Considerando la ligera unión entre los dos radios es:



0.025  0.0125cm 2

pL EA 𝑝(𝑟 2 ) 𝑝(𝑟 2 ) + = 0.0125 (𝐸)(𝑒𝑒𝑥𝑡 ) (𝐸)(𝑒𝑖𝑛𝑡 ) 𝑝52 𝑝52 + = 0.0125 (2.1 × 106 )(0.25) (2.1 × 106 )(0.20)

Despejando el valor de “p” se tiene:

p = 117 Kg./cm2.

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Reemplazando el valor de “p” en la fórmula de esfuerzo tangencial: Determinando el esfuerzo en el cilindro interior: σT =

p(r) 117 × 5 = = −2340 𝐾𝑔/𝑐𝑚2 (eint ) 0.25

Determinando el esfuerzo en el cilindro interior: σT =

p(r) 117 × 5 = = 2925 𝐾𝑔/𝑐𝑚2 (eext ) 0.20

Ejemplo: Se tiene un tanque de aire comprimido de forma cilíndrica y terminada en dos semiesferas. El diámetro del cilindro y las semiesferas es de am y contiene en su interior un gas que está a la presión de 200kg/cm^2. Que espesor deberá tener como mínimo si es de acero y cuyo yiel point es de 2600kg/cm^2 para ser usado con coeficiente de seguridad 2.

Fig. 8.4 Podemos deducir que debido a que el cuerpo esta formado por un cilindro y una esfera entonces: σL = σLcilindro +σLesfera σL = pD/2t + pD/4t

Podemos deducir que debido a que el cuerpo está formado por un cilindro y una esfera entonces: σL = σLcilindro +σLesfera

σL = pD/2t + pD/4t σL = 3(200kg/cm2)100cm /4t = 15000kg/tcm2

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σT = σTcilindro + σTesfera σT = pD/2t + pD/4t σT = (200kg/cm2)100cm /2t = 1000kg/tcm2

Pero para reemplazar debemos hallar primero el esfuerzo permisible:

Entonces reemplazamos el esfuerzo permisible en (*)y (**): σL = 1300kg/cm2 = 1500kg / tcm2 t = 11.54 cm σT =1300kg/cm2 = 1000kg / tcm2 t = 7.69 cm Para que el recipiente aguante las presiones debe tener el mayor espesor: t = 11.54 cm evaluamos ssi cumple la condicion r/10 > t 11.54 cm < 50/10 cm 7.69 cm < 50/10 cm

Nos damos cuennta que ningun espesor cumple con la regla , por tanto se deduce que el recipiente debe ser de pared gruesa y merece otro tipo de analisis .

Problema 2. Un cilndro de diametro igual a16 cm y de espesor de 0.3 cm tiene enrollado en toda su area lateral alambre de 0.1 cm de diametro . el alambre ha sido enrollado con una tension inicial de 600 kg/cmˆ2 . luego se aplica una presion interna radial uniforme de 100 kg/cmˆ2 . determinar los esfuerzos desarrollados en el cilindro y en el alambre

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Fig. 9

Problema 3: Una tuberia de agua de fundicion de 20 cm de diametro esta sometido a una presion interior de 14kg/cm^2. ¿Cuál debe ser el espesor del tubo para que la tension del trabajo no exceda 250kg/cm^2? σT = Pr/h → 250= 14*10 / h → h= 0.56cm

Problema 4: el tanque de un compresor de aire consiste en un cilindro cerrado por dos extremos semiesfericos. El cilindro tiene 60 cm de diametro y esta sometido a 35kg/cm^2. Si el material es un acero de limite de fluencia 2500kg/cm^2 y se usa un coeficiente de rozamiento 3.5, calcular el espesor de la pared necesario. Como σT = 2σL , calculemos σT = Pr/h 2500/3.5 = 35*30/h → h= 1,47cm Problema 3: ¿Cuál es el aumento de radio en el problema 1? σT = Pr / h → 𝜎 = E𝜀 → 𝜀𝑇 = Pr / Eh (deformacion tangencial unitaria) 𝛿

𝜀 = 𝐿 → 𝛿𝑇 = 𝜀𝐿

𝛿𝑇 =

𝑃𝑟

→ 𝛿𝑇 = 𝐸ℎ2𝜋𝑟

2𝜋𝑃𝑟 2 𝐸ℎ

2𝜋r + 2𝜋P𝑟 2 / Eh r + P𝑟 2 / Eh

→ longitud final

→ Radio final

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La deformación longitudinal EL provoca una deformación tangencial -u EL ---- > u coeficiente de poisson 𝑃𝑟

𝜀𝐿 = 2𝐸ℎ