213892624 Algebra Superior 152p2t

[email protected]

<=pn(q-+p)

q)

" " p1 " -q i .n'ip ,^,'{-¡ (pv-q)^p p ^(-qvp) p^(q+p)

f i

epn(q-+p) e p,r (q -+ p) epr.(q+p) opzi(q-+p)

Demostrar la siguiente tautología:

[-(peq)+_q]vq

,

[--(p ++ q) v _q] v q (p+>q)v(_qvq)

(peq)vV

¡'

l?

[(p

-l [(-p v q) n ^[p ', r-q , qt] -[(-p v q) n (p'z \-)] -[(-pvq) n\-] -(-p ,, q)

,

E

<)peq <]peq clpeq

Simplificar:

t t t t

f"

q)

(peq)

1'

)

<>peq

c)psq €)psq c)peq <]peq e)peq

<>peq <:)peq <>peq

^ (-pvq)l^(^,qvp) (p -+q)^(q-+p)

l,

i i

€)peq €)peq c)peq

V

I,1O APLICACIONES :: Je las aplicaciones rnás importantes del cálculo proposicional,

.-

es a la teoría de los circuitos.

. : , ::uiro consta de las siguientes panes: : -.=:le de electricidad, Hilo conducár y un Interruptor.

i.g;Lrra Superior

u

Jé é cJ

r? -

Hilo conductor

é

J J

En forma esquemática

Sr}T

A.- Interruptor S.T.- Hilo conductor.

\1/

Si el intemrptor A esta cerrado y la fuente esta cargada entonces por S.T circula electricidad; cuando el intemrptor esta cerrado su estado es V, y si esta abierto su estado es F.

é é é é é

I r!

Analicemos el siguiente circuito:

II L.- Lámpara. Si

esta prendida su estado es

V y si esta apagada su estado

es

r!

F.

g

Circuito en Serie

rI

Estados de un circuito en serie.

l!

e

a)l

A V Los intemrptores A y B

est¿in cerrados, entonces

B

L

v

v

L

I f I

r;

r!

esta prendida.

r,

b)

A

B

L

V

F

F

í ! í !l !

El interruptor A esta cerrado y B abierto, L esta apagada.

r! I

c)

!

A F

B V

J

L

t,

F

El intemtptor A esta abierto y B esta cerrado, L esta apagada.

'T ! !

d)

;

A

B

L

F

F

F

rt t

Los interruptores A y B están abiertos, L esta apagada. t2

Lógica Matemática

! r! tl ü

t

It It l'

t t t

:'

3:rr'¡pamos los cuatro estados del ci¡cuito en una sola tabla, vemos que coresponde a la tabla de verdad de la

:,:riunción.

L=A¡B

I

A V V

l}

I I

!t

t

B

L

V

V

F

F F F

F F

F

Circaito en Paralelo

lt

t t I I t t I

Estados del circuito en paralelo a)

Los intemrptores A y B están cerrados, L esta prendida.

t t i

t

A

I I

t i I t i

B

L

V b)

El intemrptor A esta cerrado y B abierto, L esta prendida.

I I

A

i

lr

-: \ ::t: :t .::tr- r

f I ! ! f ! !

B

L

F

V

B cerrado. L esta prendida

+.:.

.--.

--

1

I I

It

rl

{--:=b-

Super:t-rr

t3

d)

Los intemrptores A y B están abiertos, consecuentemente L esta apagada.

A

L

B F

F

F

Agrupando los cuako estados en una tabla, observamos que es análoga alatablade verdad de la disyunción.

L=AvB A

B

V

V

V

F

V

F

F

L

F F

lnt errupt or

C

o

mp I em ent ar

io

Este intemrptor tiene posiciones opuestas.

+

Si A esta cerrado,

"-a-

entonces A, esta abierto.

,, t ,]-r'

'E

.-rn'..,|

El circuito complementario es análogo a la negación. A V

A'

L

F

V

Los intemrptores se designan con las mismas variables de los polinomios p, q, r, t, s, etc. Ejemplos:

l)

Simplificar el circuito representado en la figura.

(p

14

"

q) v (p n r) en virtud de las leyes de Ia lógica ésta próposición es equivalente a: p n (q v r).

Lógica Matemática

S:mplificar el circuito representado en:

(p¡q) v[(pvr)¡-q] (p q) v [(p n -q) v (rn -q)] " [(p q) v (p n -q)] v (r n -q) " lpn(q v-q)lv(r^-q) (p¡V)v(rr,-q) pv(rr,-q)

3)

Simplificar el circuito de Ia figura

[p', (-p ¡ -q)] v (p ,r -q) [(p v

I

-p) n (p v -q)] v (p r -q)

V ¡(pv-q)]v(p^-q) (pv-q) v(p¡-q) (pv[-qv(p¡-q)] pv-q

1-<

4)

Construir el circuito correspondiente al siguiente polinomio p <+ q.

p+>q€)(p-+q)^(q-+p) p+>q<)(-prrq)n(-qv p)

5)

Escribir el polinomio que corresponde al siguiehte circuito.

[(pv-q)v(qn-r)]v-p 6)

Escribir el polinomio que corresponde al siguiente circuito.

{itG "^,q)vrl ¡

l.ll

PROBLENIAS PROPUESTOS

1.

p:3 > 1; q: I

'r-

(p

¡

q)f

v(-rvp)l

l6

-p)v(-r ¡ -q)I

3:5; r:2+ 1:3

Enuncie con palabras las siguientes proposiciones. (pe q)n (q + r) a)

b) c)

v ¡1q^

(-p¡q)v-(pvq) (q-+r)¡(q¡p)

d)

(qvr)n-p

e)

-[p r. (q v -r)]

Lógica Matemática

Determinar el valor de r.erdad de los problemas anteriores. Escriba con simbolos ias proposiciones siguientes, si se conoce que: ñ.< 1-, .. H.- j .y.r

l

¡

_.r

j-:

_{:s:-l-l:5

_-

, ri!

l-.

-

!-. J;_

. ---j-; _:_

I

1

-

_

-J\

-

i:\

+- t:5"-

!'

U'

l-J-+

-1

-i:5"

Encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

a)

-(p¡q)e(pvq)

c)

(p J

0'(-p

b) d)

J q)

Determinar el valor de verdad de q, sí v(p)

a) c)

V(p-+q)=V V(p n

-q):

V

9' l0.

i

l.

e

(p.r -q)

[(-p+

q) n

-q]

+

p

b) d)

(-r v q)

:

V, V(q)

:

F-,

V(r)

:

V

-q+-r (-pnr)nq

cuales de las siguientes.proposiciones son tautologías y cuales son contradicciones, (use tablas).

a) c)

(p¡q)-+(-pJ-q) [(p +q)vp l')[(pnq)^-(pvq)]

b) d)

_(p¡q)v(peq)

t(pvq)^-(p^dln

t(p+q),^,1q_+p)l

use tablas y demuestre cuares son equivarencias v cuales son impricaciones.

a) b) c) d)

[(p-+q)^p]3q (p".q)+-(pvq)el_pv[-qv_(q"p)]l

(-p¡ q)-> (rv p)= [-p v -(p

[_(q

+> q)] <:> -(p

"

vr)_+p] q)

Realice los siguientes,ejempros usando únicamente las leyes de proposiciones. "simplificar: j a) l-f p .- q) -+ -ql , q I *, _p b) Demostrarque: i-pv -[_(p e q),n _(p ¡ q)]l<+p -+ q

c) d) -

(.'paq)-+r (p .n ,q)

e

: v, en ras siguientes proposiciones. b) V[-q -+ (p ¡ -p) ] -- F d) V(q -+ -p) : V

Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas sí: V(p)

a) c)

-p

Denruestre lasiguientetautología: [p _+ (p Demostrar que: [(p _+ q) ,n (q v p)] _(p

j

v q) ] ^

q)

(_p ,rq) <]^ q + _p

+

p J _q

Escriba los circuitos correspondientes a los siguientes polinornios.

a) c)

(p+q)n(q-+r) (p¡q)+(p+>q)

b) d)

(pJq)v(pvq) [(pvq)^ (-pv-q)].L

rp

"

q)

17

CAPITULO

2

Tn;i::.ji,:;.:i

2.1

CONJUNTO DEF'INICION

Conjunto es una colección de objetos que están bien definidos de tal manera que se pueda afirmar sí cualquier objeto dado esta o no en la colección. Con frecuencia se usan letras mayúsculas como A, B, C, para representar conjuntos.

Ejemplo:

A:

{ 1,3,s,7

| B: {2,4,6}

Cada objeto en un conjunto, se denomina elemento o miembro de un conjunto. Simbólicamente: I e A significa " I es un elemento del conjunto A " 2 e A significa" 2 no es elemento del conjunto A "

NOTACION Un conjunto se puede notar de dos formas: por extensión y por comprensión. - Un conjunto se define por extensión o tabulación sí en el se indican todos

y

cada uno de los

elementos que forman el conjunto.

Ejemplo:

A

:

{

a, e,

c,r,t

}

Se lee, el conjunto

A está formado por las letras

a, e, c, r, t.

Un conjunto se define por comprensión si en él constan la o las propiedades que deben cumplir los objetos para ser elementos del conjunto.

Ejemplo:

A= {X i X son letras

de la palabra matemáticas }

Un elemento forma parte de un conjunto, sí y sólo sí al remplazar dicho elemento en la función proporcional convierte esta en una proposición verdadera. Ejemplo:

B:{XeR/X2+3X+2:01 Los elementos del conjunto B se determinan resolviendo la ecuación: X2 + 3X +

X2+3X+2=0

Por lo tanto B

:

<)(X+2)(X+1):0 <:> X+2:0 v X+1:0 o X:-? v X:-l

2:

0

{ -2, -l }

C:{XeR/X3-8X2-x+8:0} Se determinan los elementos del conjunto C

x3-8x2-x+8:o <= xr(x-8)- (x_8):o

(} (x-8)(x'-l):0
€) X-8:0 v X-l:O v X+l:0 <+ X:8 v X:l v X:-1

Entonces

C: { -1, 1,8 }

2.2

CONJUNTO FINITO E INFINITO Es aquel cuyo número de elementos esta determinado , es decir se puede contar hasta él ultimo elemento por cualquier método en caso contrario el conjunto será infinito. 18

Teoría de Conjuntos

¡t tt t t a t t t t t) ? 4 q rl n

t trn

j t. -. - , i

Conjunto finito

,i¡ número menor que l00l ) Conjunto finito ,-: ,-., .:a 1as estrellas impary Con¡unio lnfinito ) . --:. -,r. -1. -1, 0, 1,2,3,4,... Conjunto Infinito ) .:- >ra

:J

CO\JL\TOYACIO

-'- :'.:-'urro

:-;::plr:

sin ningún eremento , se denomina conjunto vacío o nulo. se denota por

.{={XeR/X+4:X+1 B={XeR/X2+t
0:

{}.

}

C = {X / X sean hombres de 5m de estatura }

2.1

CONJUNTO UNIVERSO

Es el conjunto formado de todos los elementos de los conjuntos que estemos considerando, se representa por F-iemplo:

?

A: {X e Z I -5 < X < -l }. El conjunto

universo es

t

U: -s,-1,-3,-2,-tI o U:lXe Z-|

,

B- ,^,1,t",r,,,:),: j':r:.0:!,.8: r9_):?:10, 3,6,e,r5 ].Er conjuntouniversoes: u-{0, 1,2,3,4,5,6,7,s,e, l0,rá,ts'i ó u:i"ó,i,-;,';,i,;,';,";5}:ffi1i1.:?;:,:,

? 2.5

,

;:*

? ,

A B

s

; )

t ¡

o Ac

B +> ( VX e

A)(X

A

pertenece también a

eB)

{X / X es múlripto de 12 } {X / X es múltiplo de 3 } es

múltiplo de 12 ,luego puede escribirse en la forma

I; !'Xr"l*lffijrtfi:reemplazando

f

) ;

: :

DemostrarquéAcB Si X e A' entonces X

,

?

l5}

Ejemplo:

?

) , )

es subconjunto de B si sólo si, cada elemento de

AcB síVX e U,X e A+X e B El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto.

, )

s

14,

SUBCONJUNTO

o y B dos conjuntos no vacíos' A

Simbólicamente

f

; ,

:

Sean los conjuntos:

? ? ?

u.

aP por

i,

se tiene que

C:{X eZt-3<X <0},D:{X eZ/_3<x<3} C cD+>(VX e C)(x e D) iodosbr;;;;;'de

x:l2p

X:3r pero r € z

para algún entero X es múrtipro

es ¿ecir

C están contenidosenD.

].6

CONJUNTOS IGUALES si tienen exactamente los mismos erementos (er orden del listado no riene T'.::?$:1,*Jrr"#:isuales

.t:B<+AcB n BcA : --.-'

o

A:B <+(VXeA)(XeB),r (VXeB)(XeA)

..= tl.l.3.2l 3= lt.a.-r.J) - = \ \ sean letras de la palabra curso )= { c, u, r, o, s --) } = | \ \ sean Ierras de la palabra ,u..o i: i ., ,, ., o, , ¡

SUBCONJUNTO PROPIO

AessubconjuntopropiodeB,siysólosi,AessubconjuntodeByalgunooalgunoselementosdeBno pertenecen a A, y se nota por: E

AgB <)AcB ¡ A+B AgB <)VXeA,Xe B n lXeB,X eA. Sean A:{X eZlX2:a} y B:{X eZ/-4<X <4},entoncesAcB peroA;eB. En lo posterior no se determinará explícitamente si un conjunto es o no subconjunto propio de otro conjunto, esto nos permitirá utilizar indistintamente la notación A c B.

Ejemplo:

B:{X eZl-4<X
3,-2,-7,0,

1

) y C: { -4, -3,-2,-1,0,1,2,3,4\

Otrservación 1 Los símbolos € , c

tienen significados diferentes. entonces aeA o beB, peronoesciertoque: acA o bcA. Encambio las siguientes afirmaciones son verdaderas {a} c A o {b} c A. Se concluye que a la izquierda de e hay un elemento y a la derecha un conjunto, pero a la izquierda y a la derecha de c hay un conjunto.

Enefecto,A:{a,b},

Obseruación 2 Todo subconjunto propio es subconjunto, pero no todo subconjunto es subconjunto propio.

AgB+ACB AcB-+AgB

2.7

V F

CONJUNTOS COMPARABLES

DosconjuntosnovacíosAyBsoncomparables,siysólosiAessubconjuntodeBoBessubconjuntodeA.Es decirA yB son comparablessí: A

cB o B cA.

Ejemplo:

A:{ 1,3,5} AyBsoncomparables AcB B: { 1,3,5,7 } CyAsoncomparables CcA C: { 1,3,5 } DyAnosoncomparables DeA D:{3,7} DyBsoncomparables DcB 2.8

CONJUNTO DE CONJUNTOS

Cuando los elementos de un conjunto son también conjuntos, por ejemplo:

: {{0}, {0,11, 12,3}, {4, 5}, {5,6,7}} B: {{a}, {a, b}, {a, b, c}, {c, d}} C: {{a, e, i}, {a, e, i, o, u}} A

2.9

CONJUNTO POTENCIA O CONJUNTO DE PARTES Este conjunto está constituido por todos los subconjuntos que se pueden formar con los elementos de un conjunto y se nota por:

P(A):{x.rxcA}

Ejemplos: a) 20

I

Hallar el conjunto de partes de A = {0} Los subconjuntos son O, {0}. Luego el conjunto de partes es:

p(A): { O, {0}} Teoría de Conjuntos

e

I

I

ü

t t t t t t t t

Hallarel conjuntodepartesdeB:

Entonces

P(B) = c)

) ) )

-t

}

son: O,

{ a. | -+

},

{-r}.

{-

+ }, {_l }, t i

,i

Hallarel conjunto de partes de

C:

,_r, , por to tanto

,}

._,

{a, e, i }

{i},

{á, e},

i}, {e, i},

{a,i},

{a, e,

{e,

i},

{a, e,

i}

i}} er

20: 2t:2

tj

^B:{l} c: {1,2}

l,

12-¡

D = {1,2,3}

23

E: {1,2,3,4}

:8

21:16

Ejemplos: a)

Determinar cual de los siguientes conjuntos son iguales

a, {0},

{a},

{}.

Soniguales @=1¡ b)

Sean los conjuntos

A={u,e,{a,e},{i,o}};B:{a,e}; s:{e,a};D:{i,o};E:{{a,e}};F:{{i,o}};

G:{"}.

Cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas.

I) 2) 3) 4)

BcC CeA QcA DcA

Aclaración

c)

del

V V F

BeA GcC FcA DeA

ejemplo b) literales

A

Demostrar qué B

c

Pordefinición B :

PortantoB:O

5) 6) 7) 8)'

V

elementos a, e de

,

)

,

2

Hallar el número de subconjuntos de:

) )

)

v X:_l

El número de subconjuntos de un conjunto se determina por ra expresión2,,siendo n número de elementos del conjunto.

) ) ¡¿ , )

I

5

{-

Los subconjuntos son: O, {a}, {e}, por lo tanto P(C) : { o, {a}, {e}, {i}, {a, e}, {a,

?

i

B:

Los subconjuntos

t t

t

§

x:-J

2

, ,

l

2X+5:g .', X+1:g

(}

)

, ¡¿

;¿ Ilzx)'+t12X¡ + 1g ¡ 1= s -¿-[ (2X+sx2x+2)l:0 I

a

, , , ) , ) )

}

l^

2X2+7Y+5=0 .=

f

t t t t

{X e R /2X2+7X+5:0

Primeramente hay que tabular el conjunto B.

1) y

que están sin llaves.

{B}<+ B

Oe

:

O

B c- A n O c. B c>Ac_ O ¡Ac_ B

V V V

V 12).

9) l0) 1l) 12)

GeE FeA AeA CcA

F F

F

V

Son verdaderos porque se a tomado los

Cuales de las siguientes inclusiones son verdaderas.

i)

{r,2} c {1,2,3,4} v

ii) iii) iv)

e)

{3} c {1,2,3,4) V {{4}} c {r,2,3,4) F F {1,{2}} c. {1,2,3,4\ Determine P( P (P ( P (O »)) sí B : P(q=P(B):{o}

Solución Sustituimos

por

C:P(B)

P(c): {o ,{a}}: Sustituimos

p(D)

O

P( P(B)

por

):P(

D:P(C)

P(

o) )

: { a,{a}, {{a \}, {o . { o }}'i : p(p(c)) : p(p(p(o)»

Sustituimos

por

E:P(D)

p(E) : p(p(D)) : p(p(p(c») : p(p(p(p(B»)) P(E) : P(P(P(P(O)))) este conjunto tiene l6 elementos. Demostrar qué (6)

(6) Sea

c

(2)

:

{ )VX:6n, n e Z} y (2) : {X/X:2n,n e Z} X e 6n, entonces X es múltiplo de 6

X:6n

X:2(3n)

X:2r , reZ Es decir X es múltiplo de 2, y por lo tanto (6) Equivalencia Lógica del conjunto de partes

c

(2)

XeP(A)
y A e P(A), entonces:

OeP(A)< rel="nofollow">Ac:A

AeP(A)<+AcA Dado el conjunto

A: {{3}, {4, 5}, 6} . Determine:

¿Cuales de las siguientes expresiones son verdaderas o falsas?.

a) {3} c P(A) b) {4. 5} e P(A) c) O(A) d) {4,5} cA e) {{3}, 6}c P(A) O OeP(A)

F F

V F

F

V

s) 6eA h) @eA i) A e P(A)

V

{3}, 6} e P(A) k) {{4.5\.{3}}cA l) {4.5}c A

V V

F

V

F

Para poder contestar hay que formar el conjunto de partes

. P(A): {{{3}}; {{+, s}}; {6}; {{3}, {+,5}};{{:}, 6}; {$,5},6}; {{3}, {4, 5},e;al

2.IO

DIAGRAMAS DE VENN _ EULER

Consiste en representar el conjunto por medio de una área plana, limitada por una curva cerrada la misma que puede tener distintas formas. Los objetos que se encuentran dentro de la línea cerrada pertenecen al conjunto y cualquier objeto fuera de ella no pertenece al conjunto. Ejemplo:

A:{XeR/-2<X <4}

B : {X / X sean las 5 primeras letras del alfabeto } Entonces A: {-2, -1,0, 1,2,3 } y B: {a, b, c, d, e } 22

OÑ A

B


I

t t t

I 't) I

t t t

s s s ; ,

I

:.II

OPER{CIONES CON CONJUNTOS

:.11.1

Intersección

La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto que se forma con los elementos comunes de A y B. se ien".tapor: AnB Interpretación Gráfica

A¡^,B= {XD(eAnXe B} : o . Los conjuntos A y B no tienen erementos

Sí A n B

La intersección .o.r"rpond. u ta

.ár¡urclá;l{;".

Ejemplos:

1)

Sean:

A:{XeP.t2X2+5X-7:0}

;

s

Tabulemos los conjuntos A

y

y

t

s ,

B.

2

t t ; t

x2 -1=o

<+ (x - lxx+l)

e X-l:0 eX:1

v X+1:g v X:-l

Por tanto:

)

A/rB:{1}

t ) t

Sean: 123

) )

t t

-i\-8:0

-4X+3:g¡

D: {X e R/-3 <X<4

{r x,(x_2)_4(X_2 ):0 X: I ):0 .- ( x_l )( \_2 )( \_t r0 , \-l r: r \_li- 0 = <= r \_2 )(

) )

=,\-lr---r-r

a)

a,

t 1 2

C,^D:{-

7l a, a,

B:{XeR/X2_l=0}

2X2+sX_7=0 €), ¡1ZXf+s12X)_t4l:0 <+ t l(2X+7)(2X-2)l :0 2 <) 2X+7:g , X-1:0 <) X:-7 v X:l

s

,

comunes y se laman disjuntos.

Algebra Superior

-\-l

_i)

}

F

3)

Sean:

E

E

4)

:

{X e R D( < 3}={...,-2,-1, 0, 1,2}

y F:{X e R/X>0} :

{1, 2,3,4,5, 6,...}

= ^F {r,2}

Sean:

G:{a,{b,c},{a,b,c}}

G

M:

{ {a}, { {b, c }}, {a b, {c} }}

^M:O

{{b, c}} {a, b, {c}

PROPIEDADES DE LA INTERSECC]ON Si A, B y C son subconjuntos del conjunto Universo entonces.

l'u) AalA=A

2") AAB:B.\A A^(B^C):(A/-rB)r)C 3'u) 4") Ar)(BuC):(Ar\B)u(Ar\Ci

s'') eu(enc)=GuBtñ 6tu)

A(\ O:A

(AuB)

7"*) AÛ:A

8"") A (AuB):A ^ 1-\ B.¡ =4 9nu) A.(A l0'") A cB<+ AnB:e l1*) A f) BcA l2uu

A

f) BcB

ídem potencia Conmutativa

p^p<+p p^q€)q^p

Asociativa Distributiva Distributiva

p^(q^r)e(pne)¡r

Leyes de Identidad Leyes de Identidad Leyes de Absorción Leyes de Absorc trs consecuencia Es consecuencia directa de Es consecuencia directa de

p,^,(qvr)e(pnq)v(pnr p¡F<+F

p¡Vc+p p¡(pvq)<+p PV(p^q)e>D

pl qsísolosí pAq<+D p^q-) p p^q-) q

2.11.2 Unión se llama unión o reunión de los-conjuntos A y B al conjunto que se forma con los elementos que pertenecen o a B, o simultáneamente a ambos y se denota por A U B, es decir:

AUB:{XiXeAv

aA

X€B}.

Gráficamente

Ejemplos:

l)

Sí A:{XeRtX2-g:0}:

{_3,3}

y B:{XeR/X2*4X+3:0}: {1,3}}

AUB:{-3,1,3}

24


h tr ir f

¡1

l)

¡r

sí c={XeRtx2+4:6x_5}

:t Iri

D:{XeR/X:_3X+:=g1

y

Tabulando los conjuntos se tiene:

c:{3} y D:{1,2} ... cuD:{1,2,3}

a ti t a

sí E: {x

3)

E

q

1)

á

s

/xesunestudiantejoven

uF: {XlXes

}

v

F

= {x/Xtienemásde 30años }

un estudiantejoven o tiene más de30 años }

G:{XeR/-4<X<0}

v

H:{XeP.t-2<X

Tabulando los conjuntos se tiene:

G:{-4,-3,-2,-r}

;

e

G

u H : { -4,

-3,

-2,

v -1,

0,

H:{_1,0, I} I

}

a á

4

PROPIEDADES DE LA LINIO]V

t I

Si A, B y C son subconjuntos del conjunto U, entonces:

I'u) AuA=A

t ?

AuB:BuA

3'") Au(Buc)=GuB)ut 4") ew a-Á

? ? I

?

t t ,

t ?

t t

? ?

Ta

Conmutativa

Asociativa

A cAuB A cB=,AuB-

v (qvr)(:)(pvq)vr

sísolosípvq€)

2.11.3 Diferencia Sean Ay B subconjuntos de U. LadiferenciadeAyB que se nota O_O.E,el subconjuntode por aquellos elementos que representan U constituido a A pero no peftenecen a B, es decir:

A-B:{Xi Xe A nXeB} Ejemplos:

l)

1'

)

A:{X _l<\

B

- {\

= [-+. -+] r X

sean impares

]

A B = { -+. _2.0. 2.1 ,

'?

t ) ) It

)

I

.{lgebra Superior 25

D:{XlXeZ

2)

C:{XlXeZ}

3)

C-D : {XlXeZ*} E: {u, b, c, d} y E-F :{b,c}

4)

G: { {1}, {2,3\, {4,sl}

y

F:

{a, d, e,

f}

H:

G-H : {{2,3), {4,5}} H-G : {0, {1,2,3}}

)

!J //¡/..¡

{0, {1}, {1,2,3} }

J,/

| {2.31

1

PROPIEDADES

1'u) (A-B)cA 2du) (A-B) C\ B:O 3'u) (A-Il) n (A ñ B):U, 4'') Au B:(A-B)..;(A ñ B)u(B-A) 5'u) A-a : A

6'u) o-A:o 7*u)

Si A

f) B:O,

entoncesA-B=A

2.11.4 Complemento Si U es el conjunto universo y A unaparte deU (A c U ). Se llama notadopor: A': U-A: {XlX e U,nX e A }

complementario de

A en U al conjunto

Representación Gráfi ca:

Otras notaciones Á, A" , Cuo

Ejemplos:

l)

Sí

U:{XeR/-5<X<5}

A',: {-2,A,2}

2)

26

Sí U:{XeR/ 0<X<10} B':U_B:{0, 1,2,3,4,5\

-541 -45 3 -3 -l B:{XeRiX>5} Teoría de Conjuntos

Sí.

3)

U

:

{XeR / X I al 19 )

primos del C'

: U- C:

{

sean números enteros del

I

al 20 }

y C:{XeR/

Xseannúmeros

l, 4, 6, g, g, lO, 12, 14, 15, 16, 1g,20 }

¡;.:!///./-r,a

t4'41s

PROPIEDADES: Sean A, B y C subconjuntos de U, entonces

l')

A-B=A rlB'

8"u)

A

(AuB)':A'a

-Á€rB;;T

B'

A r)B)': A'u,

B'

A-(BuC) =(A_B) ñ(A_C

2.11.5 Diferencia Simétrica Sean A y B subconjuntos del conjunto universo u. Se denomina diferencia simétrica de ( A -B ) u ( B -A ). La diferencia simétrica se representa por:

Ay

B al conjunto

A^B:(A_B)u(B_A) Representación Gráfi ca:

Ejemplos:

r)

Sí A: {XeR/X

númerospares positivos, menores que30

A-B: B-A=

2,4.6,8. r0. t:. 14.28 l 17,19.2t.23.2s i

AAB=

2,

4,6,9,

} y

B

: {X/16 <X <26}

10, 12, 14, 17, 1g,21,23,25,251

PROPIEDADES:

1'") a¡n:(aua)-tans.)

2"") AAB:BÂ 3") A'A BJ= A A B +'") (a¡e)ra:ATGAC)

f1 Aô:Á 6'u) AAA--o

2.12

LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUN'TOS Leyes de idem potencia:

nA:A AuA=A A

Leyes Asociativas:

An(BnC):(AnB)nC Au(BuC)=(Au B)uC

Algebra Superior 27

Leyes Conmutatiyas:

Leyes del Complemento:

AuB= BuA A nB: BnA

AnA':O At-¡A': U (A')' : A U,:A

Leyes Distributivas:

Au(BnC):(AuB)n(AuC) An(BuC):(AnB)u(AnC)

Leyes de Identidad:

@':IJ

AnB' : A-B Leyes de Morgan:

An@:A AwA: A A uU:U A nU:A

(A n B)' (A u B)'

: A'LJ B' : A'n B'

Leyes de Absorción:

An(AuB)=4 Au(AnB):A

Ejemplos:

Simplificar 1)

(AuB)u[An(C uB)] Realizamos un cambio de variable

AUB=M y CUB:N (A

2)

u B)u [A n (C uB)] : Mu (A nN)

: : : : : :

AAB

(A

(MuA)n(Mu,N) (A r_.,8 t-.r A) n [(A u B) u (C u B)] [(A u A) u B] n [(A u C) u (B r._.,8)]

(AuB)n[(AuC)uB] (AuB)n[(AuB)uC] (AuB)

uB)-(A nB)

[(AuB)-A]u[(AuB)-B]

uB) n A' ] u [(A u B) n B' ] [(A nA' )u (B.\A' )] u [( An B' ) u ( B nB')] [ou(BnA'»u [(AnB') u o] [(A

BnA')u(AnB') AnB')u(BnA') A-B )u(B-A )

AAB 3)

(A n B)

u (A n B' ) u ( A' n B) u ( A'nB' ) : ¡

[(A n B) u ( AnB' )] v [(A' n B) u ( A'nB' )] [A n (B t-,r B'» v [(A'n (BuB')]

(An U)u(A'nU) (A r-,rA') U 4)

A'AB' : AAB

(A'-B')u(B'-A') A'o(B')' uB'.r(A')' (A'nR)u(B'nA) (AnB') u(BnA') (A-B)u(B*A) 28

:U :U -U :U :U 5)

:AAB :AAB :AAB :AAB :AAB

AAo =A (A-?)u(o-A) (An0')u(OnA')

(AnU)uo (AnU) A


6r

(AnB)n(AnB') :A (AnA)n(BnB') :A :O A¡A

7)

nB)u

(A

n B')

An(BuB,) AnU

o:o

8)

(A

:A :A :A

A

(AnB)-C:(A^B)-(AnC) (An B)-C : [(AnB)_A]u[(AnB)_c] =

:

=

[(A n B) n A'] u [ (A nB) n C,] [(A nA' ) nB] u [ (A nB)n C, ]

(A^B)u[(AnB)nC,]

: Aw [(AnB)nC,] : (AnB)nC' : (AnB)-C También podemos demostrar

(AnB)-(AnC)

= (AnB)_C

: (AnB)nC' : [(AnB)nC']uOl : [(A nB )n C'] u IA'n(A nB)] : [(A nB C'] u [(AnB) nA'] : (A n B) )n n (C'u A') : (AnB)n(An C)' = (AnB)-(AnC) e)

(A-B) = A-(A nB) También podemos demostrar:

= An(AnB)' = An(B'uA,) = (AnA') u (AnB') : @ w (AnB')

A-(A

: (AnB') = (A-B ) l0)

t1)

AuB : (A-B)u(AnB )u(B_A ) : (AnB')u(AnB)u(BnA,) : (A nB,)u ( A nB u (A,nB )l : [An(B'uB)]u(A,nB) : (AnU)u(A'nB) : Au(A,nB) : (AuA')n(AuB) : Un(AuB) = (AuB) AnB: A-(A-B) : A_(AoB') : An (A n B'), : An(A'u(B')' : (An(A,uB) : (AnA')u(AnB) -- Ow (AoB) : AnB

: ^B) : : :

(A-B) (AnB,)uO (AnB')u(AnA,) An(B,uA,) = An (AnB), = A-(AnB)

)

También podemos demostrar:

A-(A-B):AnB : (AnB')uO : (AnB')ut_{Â, : An(B'uA,) : An (,\r-¡Bl, =A-(A¡Bt

?9

t2)

A'

nC:

tC-(A

uB )l u

[(B

n C)-(AnB n C)l

: t C - (A u B )l u {(B n C)- KB n C)n Al} : t c -(A uB )l u {[(B^C)-(B n C)] u [(B n C)*A]] : t C - ( A uB )l w {ow[(B n C)-Al] :tc-(AuB)lu[(BnC)-A] : I C n( AUB )'] u[(B n C) nA,] : I C n (A' nB' )] u t(B n C) nA'l : I A'rr (B'n C )] u [A'n (B n C) )] :A'n[(B'nC)u(BnC)] :A'.rICu@'nB)] =A'n(CwO\ :A'nC

l3)

lA-(B u C)l u(B-A

):

t(AuB) n(B

nA)'l n [(Cn A)'Á (B u C,)]

t(A-B)^(A-c)lu(B-A) [(A nB')n(AnC')] u (B n A')

=

:

[(AnA)n(B'nC')]u(A'nB)

[A n (B'.r C')] u (A'n B ) [A u (A'n B )] n[(B'n C') u (A'n B )] [(A u A') n (A uB )] n {[(B'u (A'n B )] n t C'u (A'n B»] I U n(A uB )] n {[(B'uA)n (B' uB )] n [(C' uA')n (C' uB»] (A uB ) n {t( A'rr B') n Ul n [(A' uC') n (B u C' )]] (A uB ) n {( A'u B') n [(A n C)'n (B r.-.,C')]] (A uB ) n ( A n B)' n (A n C)' n (B u C' ) [(A uB ) n ( B n A)'] n [(C n A)' n (B u C' )] l4)

[(A u B) u (B n A)]' u{[(A n :(A u B)'t-., (A n B)

B)

u

(B u, A)]n[ (A

{[(A u B) u (B n A)]' u [(A n B) u (B u A)]]

[(A n B)

u

(A

uB)u

{U

n

[(A

u B)'n

[(A

u B)]'] u [(A u

[(A u [(A u

B)'u B)'u B)'u

n

(B

nA)]:

B)

u

(A

r._,

B)]']ut(A u

B)

n

(B

n A)l

n {[(A u B) r_., (B n A)]' u

n A)]'] u [(A uB) n (B n A)] [(A u B) n (B n A)] (B n A)'] u [(A u B) n (B n A)] (B n A)] n [(B ñ A),u (A u B)] (A n B)] n [(A'u B ') u (A u B)] (A n B)] n [(A'u A ) u (B 'u B)]

[(A u B) u (B n [(A u

B)

n

(B

A)]'u

[(AuB)'u(AnB)]n(UuU)

B)'u (A n B)] n U B)'u (A n B)] (A u B)'u (A n B) [(A u [(A u

2.12.1 Problemas 1)

Resueltos sotlre Conjuntos

Determine los elementos del conjunto A, si se conoce que:

6eA 3eA ft!rJ,, §\ -L

1r

^

A -: {1,5} {l, s} c {1,5, 10} A + {4,7,8}

c

A

Luego 30

A: {1,2,5,6, 10} Teoría de Conjuntos

"t

Encuentre los elementos del conjunto B sí:

B+A ByAsoníntersecantes ByCsoncomparables A : {u, b, c, ch, d}

C:{a,b,c,g,h}

deB, cheB, eÉB {b,d,g}cB Luego el conjunto B 3)

:

{a, b, c, ch, d, g, h}

Dados los conjuntos grafiquelos con un diagrama de Venn.

A={2,4,6, 8, t0}, B:{2,6,8}, C={2, 4,6,12, 16,20}, D:{12,14,16. t8)

4)

Grafique los siguientes conjuntos

E:{a, b, c, ch, d, e}, F:{b,

5)

c,

d},

G:{ch,

e, C,

h}

En un curso.del prepolitécnico de la EIM en la Espoch, estudian 100 alumnos. Al realizar una encuesta se comprobó lo siguiente:

28 35 eru.nn'lXff:::iliffiill?lü,,i1,,.,.," 33 Alumnos olte cnmhrañ.ta- r-\.,i.

15 g

{l

e 7 final ¿.1

Alumnos que comprend", ÁlÉ"u.u

Alumn los que comprenden Química y Trigonometría

Alum

A'um;::;xI::ili::lÍ!lff#;",i.f,,f,T**." Alumn

É

,.*.rt." l;;;".t :[:-prenden

a) b) c) d)

Cuantos Cuanros Cuantos Cuantos

Química' Trigonom-etría v Álgebra

alumnos no sabían nada? alumnos aprobaron ,áio t.igonor.t.iuZ alumnos alrobaron ,Olo qrjri."z alumnos aprobaron ,oi" iü.u.":

Solución: Vamos a suponer que los conjuntos

. B. C son respecti\.amente U

U

U

euímica. Trigonometna y Álgebra. U

U

Algebra Superior

3l

Respuestas:

a) b) c) d) 6)

U 29 alumnos no sabían nada

l8 alumnos aprobaron sólo Trigonometría 12 alumnos aprobaron sólo euímica 23 alumnos aprobaron sólo Álgebra

En un colegio de 500 alumnos se tiene que:

329 Juegan fútbol 186 Juegan básquet 295 Juegan ping - pong 83 Fútbol y ping - pong 217 Fútbol y básquet 63 Básquet y ping - pong 45 No practican ningún deporte Pregunta:

a)

Cuantos alumnos practican los tres deportes?

Solución:

vamos anombraral conjunto M =

MuN

O

:

500

-

u

futbol,N: básquet y

o:

ping-pong, conocemos además

que:

500 alumnos, menos 45 que no practican ningún deporte. 45 :455 alumnos

Necesitamos determinar I\,I

nNnO: X

I, U, III son regiones

M

= 329

N

-

186

:295 :83 :217

o MnO

MnN NnO

149+x

oril

=63

Con lo que se obtiene:

M

nN:217 *X

MnO:83-X

Determinamos la región I: Cómo N : 186, la región I del diagrama tendrá: 186 -U217 * X )+ x + (63 _ X : )l 186 -217 + X-X -63 + X : - 94 + X

II apricamos M:329, entonces

Para obtener la región

Cómo

er mismo razonamiento que en ra región

32e _ [(217 _ X )+ X + (83 _ X )]

329 -217

+X

-X-

83 +

NnO:63-X

¡ :

29

I:

: +X

La región III se obtiene de Ia misma manera que ras regiones anteriores:

Cómo O :295, entonces. 295 - [(83 - X )+ X + (63 X = 295 _ 83 + X _ X _ - » 63 + X = 149 + X Finalmente: 455 :X + 29 +149+ X+X - 94 + Zll_X+ 83 - X+ 63 _X+X

:X + 447 8:X Respuesta: 8 alumnos practican los tres deportes. 455

7)

-tl

utilice un diagrama de venn y raye la superficie correspondiente

a los conjuntos.

Teoría de Conjuntoi

T

I rD I I t I

(AuBucuD)_(Auc)

9^rnC)u(AnCnD)

D D

I ,

t , t t t t t t t t t t t t t

{[(B

n

C)

u (C^ D)]-(B n

C

nD)] u (A n B nD)

ICu(A^B)]-(AnC)

(A u B

u C uD)-[(A nB) u (A nD) u

(BuD)-(AuC)

(B

n D) u (B nC)u(CnD)l

, ,

I ,

I

A'-[(BnC)-D]

, , ,

{t C

-

(A

)

l ) )

(A

) )

l l ) ) ) I

I

ir::bra

Superior

uB u C)' u

t(B

n C)_A I u [(A n B)_C ] u t(A n C)_B l

u B)l u

[( A

n B)_ c ]],

8)

Determinar los elementos de los conjuntos A, B y C sí:

(AnC)uB' Bn(AuC) (AuB)n(BuC) (AuB)n(AuC) (B'u C' )' BUC' U

- {1,2,6,7,8,10, ll,12,14 = {3,4,5,7,8, ls } : Í3,4,5,6,7,8,9, 13, l5 ) : {1,2,3,4,5,6,7,8,15\

: : :

{5,7,8,

}

15 }

{1,2,3,4,5,7,8,9,11, 13, 15 } {1,2,3,4, 5, 6,7,8,9, 10, 11,12, 13,14, l5 }

Indicaciones:

1.- Graficamos cada operación y numeramos las regiones. 2.- Indicamos las operaciones mediante el rayado. 3.- Sacamos las regiones rayadas de cada conjunto. 4.- Determinamos los elementos tachando uno por uno. Solución:

I:

(AnC)uB' Bn(AuC)

III IV

VI

I

r er

y

lt,

: (AuB)n(BuC)=Bu(AnC) : (AuB)n(AuC):Au(BnC) : (B'ur C')'= [(B r.lC)'] ': B n C : B u C'

T

2, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14\

{3,4,5,7,8, 15} {3,4,5,6,7,8,9,13, 15} {1,2,3,4,5,6,7,8, l5} {5, 7, 8, 15}

{1,2,3,4,5,J,8,9,

ll,

13, 15}

^do pasos ¿

Graficación , numeración de regiones e indicación de las operaciones mediante el rayado.

I

II

V

TTT

VI

.1..

Gráfica que corresponde a la solución (8)

34


_.

Paso

Regiones rayadas de los conjuntos

I II III IV V VI

: Rr, &, Rs, Rz, Rs, : &, Rs, Ro : &, R:, &, Rs, Rr : Rr, Rz, &, Rs, &,

=Rs,R6 : Rl, Rz, R3, R5, R6, Rg

4to paso

Ubicamos los elementos tachando uno por uno.

I

e I, IV y vI' Las regiones comunes de esos conjuntos son Rr, R5 debe quedar una sola región, las , restantes se eliminan en los conjuntos que no intervienen para ese ele;ento. 1 está en R1 así cómo el 2. 6 e I, III, IV. Regiones comunes &, Rr, se elimina R5. 6 esta en Ra. 7 e l,ll,III, IV, V y VI Regiones comunes R5, en esta misma región esta g. el 10 e I' Regiones comunes R,, R¿, Rs, Rr, Rs, de estas queda R7 (Las otras regiones se eliminan en

IV, V, VI).

l0

está en R7 así cómo 12

y

II, ,,I,

14.

3 e II, III, IV y VI. Regiones comunes Rz, Rs, R6, queda R2.También esta en R¿ el 4. 5 e II, rI, IV, v y vI- Regiones comunes Rs, &, queda R6.En esta misma región esta er 9 e III, vI. Regiones comunes Rz, R:,Rs, R6, queda R3.En esta misma región esta er 13. 1 1 e I, VI. Regiones comunes Rr, Rs, R3, queda Rg

15.

Ver gráfica de la solución (pagina anteriorj Finalmente los conjuntos son:

A : {t,2,3,4,6,7,8} B : {3,4,5,7,8,9, 13, t5 } C : {5,6,7,8,10,12,14,15 NorA'e)

}

se debe hacer una gráficaadicional para ir ubicando los elementos que se van determinando.

Determinarlos elementos de A, B y C si se conoce queB

[(A nB)'n (A n B')']' : {2,5,6,7,8,9, : {9, 10, 1l} [(AuB)'uB]' : {12,13} [C'u(AuB)]'

cAc

C.

10, 11}

Solución:

I :(A.,8)'l'u[(AnB')],=(AnB)u(AnB')=An(BuB,):AnU:A : II : [(A uB)'l'n B,:(Ar-,B)nB':(A u B)_B : {2,s,6,7,8,g,10,11} {9, l0, tr} :[c'u(AuB)],:(c,)'n(AuB)':cn(AuB),:c_(AuB) III ={12, t3} I "' y 2do pasos Graficación , numeración de regiones e indicación de las operaciones mediante el rayado

ItI

III

m @ W {lgebra Superior t-5

,@ Gráfica que coresponde a la solución (9)

3"'paso Regiones rayadas de los conjuntos

I :Rz,R, il :Rz III :RI 4ro paso

Ubicamos los elementos tachando uno por uno

y

relacionándolos con los conjuntos

comunes, se tiene:

y

las regiones

2 e l- Las regiones comunes son : R2, & ; queda R3, en esta misma región se ubican 5, 6, 7 y g. 9 e I, II. Regiones comunes R2, también en esta misma región están 10 y I l. 12 e lll. Regiones comunes R, , en esta misma región esta el 13. Finalmente los conjuntos son: Ver gráfica de la solución.

A : {2,5,6,7,8,9, 10, ll} B = {2,5,6,7,8) c : {2,5,6,7} 10)

Determinar los elementos de los conjuntos A, B y C . Si

[(A n B)'n (B n C)'n (A

A n ( B' ,.r C')' [(B n C)'n A'l '

^

:

C)']' : {3,4,5,6}

[(A nB)'n C]' [(A u C)'n B]'

: {5} : {5,6,7,8,9} : {1,2,3,5,7,9) : {1,2,3,4,s,6,8,

e}

Solución:

I : [(A^B)']'u [(B n C)']'u [(An C)]':(AnB)u(BnC)u(An II :An(B't.rC)':An(BnC)

il} v

[8:;]:i::5:[::;]:5

: : [(A u C)' ]'u B' : (A u C) ur B,

C

) : {3,4,5,6} : {5}

r l1:,\,];,t, ?1,, :

11,2,3, 4, 5,0,

S,

S]

i er I y ado ¿ pasos Graficación , numeración de regiones e indicación de las operaciones mediante el rayado.

I

1I

III

@ [r8 36


+-:


-'

Pas.r

Regiones raladas de los conjuntos

I II m IV V

: R:, &, Rs, Rr :R: : Rr, Rr, &, Rz, & : Rr, Rz, R3, R5, Rg : Rr, Rz, &, Rs, Re, Rz, R,

-l'o paso

Determinamos los elementos.

3 e I, IV y V. Regiones comunes R2, R5 : R2 4 e I y V. Regiones comunes R2, &, Rr, Ru I R, 5 e I, II, III, IV y V. Regiones comunes R. 6 e I, Ill y V. Regiones comunes Rs, R* -& 7 e Ill y IV. Regiones comunes R¡, Rs, R¡ : Rr 8 e lll y V. Regiones comunes Rs. Rr, Re : Rz 9 e III, IV y V. Regiones comunes R5, R3 : Rg

1,2 e lY , V.

Regiones comunes Rr, Rz, R5, Rs = R,

Finalmente los conjuntos son:

Ver gráfica correspondiente de la solución

A : {1,2,3,4, s} B : {3,5,6,7} c : {4,5,6,8} 1l)

Determinar los elementos de los conjuntos A, B, C y D . Si

DcC AnC

:

:a

B y D no ínter secantes

(B-A)-c (C'u B)'

U-D (A'-B)' (B'- c)'

B'u

C'

U

=

c, d}

{b, : {l e,l, m} : d, e, f, g, h, i,j, k, n} {u,b,c, : {a, b, c, d, e,j, k, n} : {a, b, c, d, e, f g, j, k,l, m}. : {a, b, c, d, e, f, g, h, i, l, n} : {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, m, k, l, m, n}

Solución: I

II

III IV VI

: (B - A) - C : (B n A') n C, : B n (A, n C, : B n (A. ) y C), : B _ (A u C) : : (C'uB)':(C'),nB':CnB,:C_B :{lg,l,m} : U_D:D'

{b, c, d}

: (A' - B)' - (A, n B, ), : (A, ), u (8, ), : (A u B) : IX; j, i; j; !;rl f; |'rt' ;, *,', : (B'-C)':(8,^C,),:(B,),u(C,),:(BuC) : iu,U, : B'u'C':(BnC), ",a,r',í,g,;,l, r, 11 :i",U,.,a,.,ii,í,i,f,_,r,

\lgebra Superior

3/

l"'y

2do

pasos

Graficación , numeración de regiones e indicación de las operaciones mediante el rayado.

I¡

Iv

V


3"'paso Regiones rayadas de los conjuntos

I:& II III IV V VI

: :

Rs, Rr Rr, Rz, :RI, Rz, Rz, &, Rr, Rz,

: :

R:, Rq, Ro, Rr R¡, R¿ R+, Rs, Ro Rr, R5, R6, R7

4to paso

Determinamos los elementos. d, c, b e I, III, IV, V, VL Regiones comunes R3 g, f e II, ru, V, VI. Regiones comunes Rg m, I e II, V y VI. Regiones comunes Rs, Re : Rs e, a e III, IV, V, VI. Regiones comunes Rz, R¡ : Rz i, h e III, VI. Regiones comunes Rr, Rz, R:, Ru, Rz : Rr k, j e III, IV, V. Regiones comunes Rz, R:, & : & n e III, IV, VI. Regiones comunes Rl, R.2, R: : Rr

Los elementos de los conjuntos se extraen de la gráfica del conjunto sorución

A:{a,e,n} B : {a, b, c, d, e,j, k} C : {i g, j, k,l, m} D:{l,m} 38


F

It ¡D ¡r

t

¡t tt

-l

Determinar los elementos de los conjuntos A, B, C

¡

. Si

:

BcA BnCcA

t t t t t t t t t t t t t t t t

={8,9,10,71,12,13,14,Is,16}

Y-1 A t-, C (B

u

uA'

C)

lJ-c^ BuC'

: {t.2,3, 4, s. 6, z. ró,

r

i

-'

"

I

= {1,2,:,1, 1,g,7,s,g, to, tt, tZ, 13,14, 15, = {1,2,3,8,s,12,13"tq,l\,iz¡

:{1¡,, o,3,4, ') 5, g, g, 12, 13, 14,

l6}

15, 16}

Solución:

I

II

: Y-A_:A' :: {8,9, 10,11,12,13, 14, 15,' 16} :AuC {1,2,3,4,5,6,7,10,f 11

ilI :(B uC)uA'

{1,2,1, 4,s,6,7,8,s, t0, tt, 12, 13, 14, ts, t6 } =Y-c^:c' : {r,2,1,l,e, tz,n,ru,ts,io t

IV V =B

uC'

=

:

U,2,3,4,5,8,5,t2,t1,1'q,15, t6]

f'y_2do pasos Graficación, numeración de regiones e indicación de ras operaciones mediante er rayado.

II

t t t t , ' ') )

Gráfelgue

)

corresponde a la solución ( I2)

) ) ) I

r

paso

Regiones rayadas de cada conjunto.

I =Rs,Re II : Rr, Rz, R¡, &, R, III = R:, R:, &, Rs, & IV = Rr, Rz, & \' : Rr, R2, Rr, R,¡ llgebra Superior 39

4to paso

Determinamos los elementos. 16, 15,14,13,12,9,8 e I, III, IV, V. Regiones comunes 11, 10 e I, IL III. Regiones cornunes Rs

3,2,7 e II, III, IV, V. Regiones comunes R2 5,4 e II, III, V. Regiones comunes Rz, Rr = R¡ 7,6 e ll, III. Regiones comunes Rz, &, &, Rs :

R.6

&

Los elementos de los conjuntos son: Ver gráfica correspondiente a la solución

A : {1,2,3,4,5,6,7} B : {1,2,3,4,51 C : {4,5,6,7,10,11} 2.13

PROBLEMASPROPUESTOS

1)

Sean:

A:

{ d, f, h,j, l}

, B: {., C, e, i} y C:

{d, e, c, k}

Hallar:

a) b) c) d) e) O 2)

i) j) k) l)

(Ar.-,,C)nB

C-A

(A-c)-B (A-B)u(B-c) (A-B)n(B-A) (AnB)aB (A n B)'u C (AurC)'-A

Utilizando las leyes del álgebra de conjuntos demostrar que:

a) b) c) -d) e) 0 3)

c) h)

AnB AuB Buc (AnB)nC

(/ruC)n(AuB)n(A,^B')' An[(B-c)u(c-B)] [(BnC)-(BuC)]nA Au[(C-B)u(B-C)] (A-B)nC An(B-c)

:Au(BnC) :[(AnB)_A]ut(A^B)_clu[(A^c)_(AnB)] :o :(AvCuB)n(A'nBnC)' :(AnC)-(B^C):(AnC)_B:(A*B)n(C_B) :(AnB)_(A^c):(A_c)nB:(AnB)_(BnC)

Determinar los elementos de los conjuntos A, B, C, D, sí

:

AyB, AyC, ByC soníntersecantes DyC, AyD, ByD sonnoíntersecantes. (A'u B)' = {a, e} (A n B)t-,, (B nC) u (A n C) : {b, c, d, e, f}

U-D AuB AuD

(AuBuCuD)' U-(AnBnC) U

4)

: {k, r}

: :

{a, b, c, e, f, g, h, i,j, k, l} {a, b, c, d, e, f, g, h, i,j, k, l}

Determinar los elementos de A, B y C sí:

An(BuC)

:{1,4,5,1t}

BUC

= {t,2, 3, 4,s, 6, 7, 8,9, 10, 1l} :14,7,8,9,10,11) : 11,2,3,4,7,8,9, 10, 11, t2,13,

B-C

Un(BnC)' Un(AuBuC)' U 40

: {a, b, c, d, e, f, i,j, k, l} .:{a,b,c,d,e,f,i} - {a. b. c, d, e. g, h}

: {14, r5} : {1,2,3, 4,s, 6,7,8,9, 10,

1

14,

l5)

1, 12, 13, 14, 15} Teoría de Conjuntos

:I

Encontrar los elementos de A, B, C y

A cD; B

Ay

cD;

C

sí

:

cD; AyB; B y C son intersecantes.

Csondisjuntos.

u (A uC)' U-D:A C u (A u B)' A uB A uB' B

D

: {3,4,5,6,12,13,14,16,17,18,19,20,21,22,23} : 10, 14,15,17,18,19,20,21,23} : {9, {1,2,3,4,5,6,7,9,11,12,13,14,16,17,22} : {1,2,3,4,7,8,9, 10, 11,12, 15,19,19,20,21,23}

Du(AuBuC)' :{1,2,3,4,5,6,7,9,9,10, 6)

11,12,13,14,15,16,17,1g,1g,20,21,22,23}

Determinar los elementos de los conjuntos A, B y C sí

:

AyBsoníntersecantes

AyC;ByCsondisjuntos.

nB)' : {2,3,4, 5,8, 9, 10, tt, t2, t3} -- {2,3,4,5,6,7,9,9} : {6,7,8,9, A'r-i B 10, 11,12,13} : {2,3,4,5,6,7,10,11,12,13} A uB' (A

c'

.11

CAPITULO

3

DEFINICIONES

3.1

La noción acerca de los números surgió en la antigüedad ampliiindose y generalizándose con el tiempo. Los números l'2'3,4," aparecieron debido a Ia necesiád a. o¡i"t* de diferentes conjuntos. Esta sucesión de números se llama Números Naturales y se nota por: N . "ortu.

Es decir N

:

{1, 2,3,4,...), si se agregi a este conjunto el cero se obtiene el conjunto de los números entero Z*: {0, l, 2,3,4,...}:

positivo_s, que se designan por

Las deficiencias de los números enteros positivos pueden ser remediadas en parte extendiendo este sistema al conjunto de los enteros que se notan por: La medición de diferentes magnitudes n,r" númerosracionales; notadospor:

f".r{r*'";3i,;1'.1'";í;}; l" ros números enreros e introducir los Q:{A ¡* ez ¡ nez,n+0},unnúmeroracionalpuedeescribirseen

forma de fracciones diferentes cómo:

!:?:7 :y 3 6 2r

.3630300 ':i=,--=-etc.;

iottt''

-2. -4=_etc. -20 _:-= JÓ30,

Cómo el uso de los números es ilimitado. por ejemplo ar resorver Ia ecuación x2 * 2:0 x= Jr se tiene que Ji r Q' surge entonces la necesidad de un sistema más amplio que incruya este tipo de=números. , Los números decimales indeflnidos no periódicos se llaman irracionales y se notan por: I = {xlx son números decimales indefi nidos no periódicos) El con'iunto de números racionales e irracionales se denominan reales y están representados por: R : raciorial o x es irracional), es decir: {xlx es

R:QuI.

Los números reales pueden ser expresados por medio de puntos en el eje numérico. Se llama eje numérico a una recta infinita en la cual están definidos: _

[Jn punto cero que se denomina origen. - Una dirección positiva que se indicá con una flecha. - Una escala para medir longitudes. En general el eje numérico se dispone en posici-ón horizontal, considerando

positivo la dirección a la derecha del

punto 0.

012 cómo en la matemática la res-olución

de problemas es infinita, y particularmente al resolver Ia ecuación x.+ 1: g cuya solución no pertenece al campo de los reales, ya que no existe un número cuyo cuadrado sea negativo, por

talrazónsurgeunnuevosistemailamadoconjuntodenúmeroscomplejosysenotapor:C={a+bilaefr¡b e 9r, i :

./-l ) . a, er siguiente diagrama se irustra er conjunto

Números Racionales

o Números Complejos C

de números.

Números Enteros

Z

Números Reales R

Números Irracionales

I 42

Números Reales

f]

LOS RE.{LES COMO UN CAMPO

ii.l

Axiomas de Igualdad Propiedad Reflexiva Propiedad Simétrica Propiedad Transitiva Propiedad de la suma de igualdad Propiedad Multiplicativa

3.2.2

a:a Sía:b+b:a Sía=b y b=c=a:c Sía:b yc=c=)a*s=611. Sía:byc:c= a.c:b.c

Axiomas de la Suma

:

Axioma de Clausura Asociativa

J

Idéntico Aditivo

1

(V a, b e R) (l c e R) (a+ 6 ="; (V a, b, c e R) [(a+b) + c :a+(b + c)]

..

Conmutativa,

(Va,beR)(a+b:b+a) (VaeR)(lX:0)(a+Q:¿;

Inverso Aditivo

(V a e R) [3 (-a) e R] [a+ (-a) = 0]

El conjunto.que cumpla con ros axiomas de clausura, asociatividad, idéntico aditivo e inverso aditivo forma una esrructura algebraica llamada grupo, y si cumple con el axioma de conmutatividad se llama grupo conmutativo

-\beliano.

3.2.3

Axiomas del producto

6

Clausura

7

Asociatividad

(V a, b, c e R)(! c e R)(a. b :") (V a, b, c e R) [a.( b .c ): (a. b) .c]

8

Conmutatividad

9

Idéntico Multiplicativo

t0

Inverso Multiplicativo

(Va,beR)(a.b:b.a) R)(l X: 1)(a. I :1. a) (v a e R) (r x=+) r"( 11t.q (V a e

*l=

I os reales forman un grupo ya que cumplen con los axiomas de clausura, asociatividad, idéntico Multiplicativo rn\ erso Multipricativo, y si cumple con el axioma de conmutativid;á fo,,,un un grupo Aberiano.

l1

Distributividad

(V a, b,

c e R) [a.(b + s;:

e

a.b + a.c]

Este axioma relaciona la suma y la multiplicación.

h:il)nffireales 3.2.J

cumpltn ton los

I

I

axiomas anteriores por lo que constituyen una estrucrura algebraica

Axiomas cle Orden ( V x,v e

R)(X+y)

e R*,

XeR*v-XeR vX:0 0eR' t :s srrnL'olos que representan

X.y e R*

Ias relaciones de orden son:

> \fa1,or o igual que < \fenor o igual que - \la¡ or que

_: \fenor que

,\>\'+>(X-y)eR* \>Y<+y<X

.13

Ley de Tricotomía

Ley de Transitividad

Vx,veR X>YvX Y+>(X-Y)eR* X <+(Y-X)eR.

Vx,Y,zeR X

X>Y¡Y>Z-+X>Z

X:Ye(x-Y):0 3.2.5 Teorema Teorema Teorenia Teorema Teorema

VxeR X:X

Teoremas

I 2 3

4 5

Teorema 6 Teorema 7 Teorema 8 Teorema 9 Teorema l0 Teorema l1 Teorema 12

3.3

Ley de Reflexividad

Vx,v,z eR Vx,veR, VzeR+ Vx,v,zeR Vx,veR,Vz eR* Vx,veR,Vz eR Vx,veR,Vz eRVx,y,a,b eR Vx,v,a,b eR Vx,Y,a,b eR* Vx,y,a,b eR Va,c eR Vb,d eR-{0}

X
Va,c eR,

ac -< hd - ->ad

X

¡ Z> 0 -+X.Z Y-+(X+Z)>Y+Z X>Y¡Z>0-->X.Z>Y.Z X <0-+X.Z>Y.Z X>Y¡ Z<0-+X.Z Y¡a>b-+(X+a)>(Y+b) X

a.X Y¡a>b-->a.X>Y.b

ac bd

Vb,d eR*

+> a.d

:

b-c

INTERVALOS

Definición: Seanqb e R y a
y

Se nota:

b,al conjuntodelasX e Rtalesque: a<X

[a,b]: {X e Ria<X
Gráficamente en el eje numérico

2)

Intervalo Abierto

Se llama

intervalo abierto de extremos ay b, al conjunto de las X

,.,- -.-.--..-'-__. --

la,b[:{XeR/a<X

dD

w4 ab


3)

Intervalo Semiabierto a derecha

Se llama Se nota:

intervalo semiabierto a derecha al conjunto de las X e R tales que: a < X < b.


4)

Intervalo Semiabierto a izquierda

Se llama Se nota:

intervalo semiabierto a izquierda al conjunto de las X

44

,_

+_----> ab

-_

gr?,f."Wv¡...'.4

,_

eRtalesque:a<X

la,bl:{XeRia<X
__,- _ =

eRtalesque:a<X

Se nota:

[a,b[:{XeR/a<X

_-

do

ab

_

W¡:ir:.lW%L

,_

Nirmeros Reales

ll

Interyalos Infinitos

a)

[q*[:{XeRlX>u¡

la,-[:{XeRlXru¡ ,a;

b)

a

a

@

%

a

c)

a

]-"o,al={XeRlX

l--,a[:{XeR lX

d)

<-

: §ft-.6)

a

ñ

a

,l .

Otros Intervalos

b) c)

intervalos

Operaciones con

L

,

[a,a] :{X.R/a<X
a

l

,l

.

Entre intervalos realizamos todas ras operaciones que se ejecutan con ros conjuntos. Sean A y B dos intervalos cualesquierá de R. Se tiene entónces:

AnB AuB A-B A'

A+B

:{XeR/XeAaXeB} :{XeR,D(eAvXeB} :{XeRiXeAr.XeB} :{X.RD(ÉA}=R_A :(A-B)u(B-A)

Ejemplos:

Hallar:

a) d) c) j) m)

12,

a[

12,41n[3,4[ 12,3t' [], 5[ u ]4, 5l {2} wl2,3l

Solución:

a)

b) l0, e[ n ]1,81 e) 12,3[ o p, af h) [0,6] - 10,4t k) l-*,2[n [0, +oo[

o]3,6[

12,4[

r-t)3,6[ : ]3, 4[

b)

02 c)

12,

3[

c)

12,3[ [1, 5]

t)

lo, 9[ n ]1,

ol3,4l

l--, 1['

0 . i)

u 15, 6l

l-10, m['

8l

=

ll,

Bl

0.1

=a

n ]3, a[

d)

)2,4)np,af : t3]

§\§ 0 e)

zzA\iJ l,/ _r _§_

2 3

4

[2,3[o[3,4[ :A

4

0

=R-l-o. 1[-[1.:.[

ts§l

a

ZZ.\N 23 4

\igebra Superior +5

12,31', :

c)

0

[,

5]

: ]-*, 2l u [3, co[

R - 12, 3[

23

:

u l5, 6l

)-*,2[ n

+"o[

:

46

[,5[ u ]4,5l 01

[0,21

r)

]-10, co['

: [0,0] u [4,6 ]

: u,5l 45

= R - l-10,

m[:

]-oo,

-l0l

{2} v12,3)

m)

3.4 3.4.1

i)

56 [0,

[0, 6] - 10, 4[

0

[1, 6]

01 k)

h)

INECUACIONES Inecuaciones de Primer Grado

Son inecuaciones de primer grado las siguientes:

1) 2) 3) 4)

aX+5 rel="nofollow">6 aX+6>g aX+6<6

aX+b<0

dondea,b,X e R,a+0

Una inecuación está resuelta cuando al reemplazar los valores reales de X se satisface la desigualdad. Ejemplos: Resolver las inecuaciones siguientes:

a) b)

2X-5>0 3X+2>6

c)

-x+2

d) e)

5X-2<3+2X 2+x _ 2(x-l) > -5x+

7

_

3(x+t)

37-3.1 2x2+7y<x(2x+l)+3x-2

0 Solución:

a)

2X-5>-0

<)2X>5

€x>: 2

EI conjunto solución es:

s:{x.R lx>!}:t!,*t ))

b)

3X+2>g e3X>-2 <>Xr-2 f

46

Números Reales

El conjunto solución

es:

s:{x.Rlxr-?}=l- ;2 , "O[ J

c)

-x+2<0

c)-X<-2 <>X>2


S: {x . R lx

d)

>_2}

es:

=12,a[

5X-2<3+2X <+5X_2X<3+2 <33X<5

<+x<

5 J


es:

s:{xen.lx.l}:l--, Ir J

e)

2

3

¡X_ 2ü-t)_-5X-7

l(X

Ft)

7(2 + X)- 6(X - 1) > 7(_5X + 7) _ 9(X + r) 14 + 7y- 6X + 6> - 35X + 49 _ 9X_ 9 x + 20 >- 44X+ 40

<> 45X> 20

<+X>

20 45

<.)x>1 9


es:

s:{xuRlx>1}:11,*t 99

0

2x2+!-X<X(2X+l)'JX-2 1\

2X2+

3tX<2X2+ **rr-, 7

7 x<16

x-

^7

2

x-

<,

13

l5

16

x<-2

5

-)

x>2

<3 13X > 30

<>x> El conjunto solución

30 13

es:

s:{x.Rlx,*l:119,*t 13

13

_-.-r._.0

3.1.2

Inecuaciones de Otros Tipos

P: i medio de las propiedades de los números reales, se puede resolver las siguientes inecuaciones.

{ax-b)(cx+d) >g ./ - b) (cx + 61 ;' g ,ax-b)(cx+d)<0

,

ia.x

,ar-b)(cx*d)<0

,ar-t)(cr-d)(ex+¡>g {:g=b= Superior

ax +b < 0 cX +d

etc.

Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones:

a) c) e)

c)

b) d) 0

(2x-3)(4-x)>0 (2X+4)(9-X)<0 (4X-5)(x-2)(X+3)>0 X-2

(3x-t)(x-2)>0 (l-x)(3x-s)<0 (l-2x)(x+3)(x_l)<0

h)

(X

X+2 =u

-

r)fX + 3)

2X-l

Solución:

a)

-(U

(2x-3)(4-x)>0

Para resolver esta inecuación utilizaremos la siguiente propiedad:

a.b>0<+

I

u'o

,.,b>0

v Iu.o ¡b<0

Entonces: (2X

-

3) (4

-

X) >

0

* f " 2X-3>0 n 4-X>0 V

L,,r

2X-3<0 ¡.4-X<0

Análisis de I

Sr={XeR/1<x<4}:11,+¡

2X-3>0¡ 4-X>0 é2X>3 ¡-X>-4 <)X> 3 n X<4

22

2

<] I :, cc[ n 2 3,4[ ]

= Análisis

]-co, 4[

2

de II.

2X*3<0¡4-X<0 <>2X<3 n-X<-4 €>X< 3 zrX>4

Sl: A

2

<+l-*, 1[n]a,coI La solución total

es:

2

oZ

Sr = Sr \J Sn

,tr4

: ) 1,4[ 2

Existe una manera abreviada de resolver una inecuación que no sea lineal, es a través de una tabla y

consiste en lo siguiente: 1') Igualamos a cero cada factor. 2o) ordenamos las raíces de cada factor en foram ascendente haciendo pertenecer cada raíz columna de la Tabla. 3") Ubicamos los factore.s en el casillero de la primera columna de la izquierda, antes de (-co). 4') Ubicamos los ceros de cada factor y analizamos los signos antes y dispués del mismo. Si X > 0, se conserva los signos de la recta numérica.

.0

Si X < 0, se invierten los signos de la recta numérica. Resolvemos el ejemplo anterior por este método (2X

l')

2X-3:0 v 4-X:0 X:1 v X:4

a una

-

3) (4

- X) > 0 2')

--;

0

4

a:

2"

3') -@

_¡

4')

2

(2x 3) (4-x) (2x-3) (4-x) Se observa que la solución 48

es:

] ] , +[ Números Reales

iix-

3X-t:0

1)(x-2)>0

x-2:A

x:1

X=2

J

-co

2q

+1

Luego la solución:

S= {X

. R lX< 1vX>2} = -l-*. ll,, 3 l"

IZ,-t

L

p.f:(3X-1)(X-2) c)

(2X+4)(9-X)<0

2X+4:0

x: -ó-)qM

-2

v 9-X:0 v X:9


2x+4

es:

: {x . R lx < -2vX >9}: l-*, -2lu co[ [9,

S

9-x

d)

(1

-X)(3X-5)<0

1-X:0

v 3X-5:0 v X::

x:1

J

-@1+o


es:

S:{X e R lx. I vX>

l}:l--, tlul l,-[

o 15 e)

(4X-5)(X-2)(X+3)>0

4X-5:0

v X-2:0 v X:2

X::

1

-o-3

|

v X+3:g v X:-3

z ü El conjunto solución es: S:{X e Rl -3<X< 5 vx>2}:t_3,:lu[2,cc[

44

os2 4

(l -2x)(x+3)(X_ l)<0

l-2X:0 --

v X+3:0 v X:-3

I

v X-l=0 v X:l

2


es:

S:{XeR -3< X
,l)

2

{igebra Sup:rior

t9

a a

"Y_?">0

c)

x-2:0

X+2

x:2 -ú

v X+2=g v X:-2

a

S : {X . R lX <-2 vX>

-o

2}

:l-*, -2lw

12,

a[

x-l:0 x:t 1,16

-3

2X-l:0

v X+3=6 v X:-3


x:f

2

es:

S: {X e n lx<-3 v

i.^.1}

=l--.-:¡u1 1, r¡

a-

e)

I

b)

X+l

1 .-l x- X+l

c)

(

zx-n

l9-

d)

2x

| )42 --+=-< I zx*ts> x-l x

0

)x

-l _<2 x-l 2X-j .19X 12 . 2X+1 I 3 5 t5 3 5 (t-x ^ j+4x L -i<--4 J

ls

l;X+51a-X)<2(4-X) IJ

1353

c)

--+_ Il1 1r-r< 3x-1

h)

l"

1 *-l rxn1 112 4

- X+l X+3

I 3

Ixrz-x)<x(x-r.)

f

l.

xt-tox'+zlx-18

>o

LX',-t lx'+38x-40 < 0

k)

_ 19-2X t+ _--

x'-2x-ls

>0

Solución:

a)

2. 1

X+l

<>

^1 ¿<_

()

2(X+l)-l r<0

i)

.xl? < L¿{ X-3 X

r)

-.12X2 --_' ---

+4X+2XX+.j) . ,<0 X+6

X+1

X+1

2X+2-l _-__<0 X+l qJ

2X+1

X+l --.-<0

Determinamos las raíces de los factores

2X+1:6 x=-1 2

50

a a

e

a e

J

e e

.l

Resolver Ias siguientes inecuaciones: a)

a

I

(x-lxx+3) 2X-r -

a

-2 El conjunto solución es:

h)

!a Ia

v X+l:0

rz X:-l

Números Reales

-*-1-á6

S=

{x. R l-t <x<-1 } =l-1,-1 t

2z

_1

0

2

b)

-l _<2

' x-l

<)

x-t

_I

-2

<) -1-2(X_l)

x-I -1-2X+2 (_) --
<0

Determinamos las raíces de los factores

I - 2X:0

v X- l:0 v X:1

x:l

2

S:{X eR Ix< I vX>

-"o!tco L

-

22

l}:l-*, 1lull,*t

/

x-1

se excluye el valor de X der denominador ya que la división por cero no esta definida. c)

_x_-- I < _l X+l

€) X- I- +1<0 X+l

X(X+l)-l+X+l

X+l X2+X+X .'--.-<0 X+l X2 +2X .-<0 X+1 -<0 X(2+X)

X+l

Determinamos las raíces de los factores:

X:o

v

X:O

X+2:g -<0v v

v

X=-2

-$-2-1

0

rc

S

:

X+1:g X:-1 {Xe

E

rt rt ri rl

2X-7 l9x

3

5

12

ls

5(2X-7) +3(l9X)+ t2

l0x

D t rt

- 35 + 51X+ 12

67X - t0x 57X X

2X+l I 35 > --+_ 5(2X+l)+3 > lOX+5+3 > 8+23 >

>31

>

3l 57

^

-: \

r:-,1r

R/X <-2v-l <X

<0

}:l _-, _2 [ u ]_1, 0[

s:{x.Rlx=11:tl-|,*t 57

57

0 :r 51

e)

Solución de los sistemas de inecuaciones

( zx-tl rs-2x l--+--<2x

l2X+15> _+_ X-l x

t353

La solución de cualquier sistema de inecuaciones, es la intersección de las soluciones 51 n 52 ¡. sr etc. Determinamos Determinamos S,

31

er)

zx-ll t9-2X <2X 42 2X-tt+z(19_2X) <8X 2X-11+38-4X <8X -8X-2X <_27 _l0x <_27 tOx >27 x >27

S,:{XeRlx .4l:l!,*t 10 S¡

n

5(2X+15) >3(X_1)+sx lOX+75 >3X-3+5X 10X+75 >8X-3 lox _ 8x > _75 _3

2X x

>

_78

>49

Sz: {X e n lx>-39} :l-39,

"o[

32

Sr:{Xe R,X> !):)!,*¡ l0

o

2X+15 > X-l X _---__:_ -.-.+_ 353

l0

l0

51:

e)

10

(t-x - ir4X ) , -t. -l--* )s < 2(4- x) [;x*st+-x)

Determinamos

fr)

7

S¡

-x 2

5(7-x)-30 35-5X-30 -5X+5 -5X - 8X -13X

Determinamos 52

<3+4X -4 5

<2(3+4X)-40 <6+8X-40 <8X-34 <-34-5 < -39

l3x

>39

X

>39 t3

s,:{X.Rlx>3}:l3,co[

f.) _.

s _x

3

+5(4*XI

<

2(J*X)

5X+15(4-X) <6(4_X)

5X+60_l5x <24-6X - lOx <24 _ 6X -l0X + 6X <24 - 60 -4x <-36 4x >36 X >9 60

S::{XeRlX>9}:l9,coI

51: S¡ n 52 Sr:{XeR/X>9}:l9,co[

g) ll*-r.¡x-1

3 )2 1l_>X+ x-r 7 112 4 [-xrz-xr<x(x-¡]

52

Números Reales

Determinamos

S¡

5-,

9,)

Determinamos

<3x-1 3 <18X-2

^I

-x2

15X _ t2 15X _ 18X

:

x-1

rx+14

D

x-1

-J,\

<12-2 <10

x-12X

3X

> -10

X

{X e R,& > -10/3}

> l2X+ >21 +1

-1lX

l0

X S,

8z)

52

21

>22

<-2

3

:

l-10/3,

co[

S,

: {X e R/)( < -2} :l--,

-2[

Determinamos Sj

B:)

<x(x-1) <x-1

x(2 - X)

2-X _2X

:-J

2X

>3

x

>1 2

S.-{XeR/X>11:[1,*[ 22

Sr:Srn52nS3 Sl= A

1 -3. 11!. X+3 3

h)

Determinamos

S1

X+l _>_.t

h,)

_X+l >_l +J ^ X+i I X+3 3

Es decir

X+l _-+

I

^+J

3

>

0

X+l+3(X+j)

-_.......-=--

X+l+3X+9 --_ _>oX+3 4X+10 --_-> X+l

¡'

ri ¡l -

4 1 4 ! ! I

t ! !

4

> l, ^

-co

-3 -2.5 o

-6

-3

0

4X+19=9 v X+3:g

x:_10

v

x:

-3

4

Sr:{X e R,l)( < -3 vX > -2.5}= l-o,_3[ u

]_2.5,co[

Determinamos S,

hz)

X+t X+3

I 3

3

S,

(x+3

)

: {X e RA3. X <0} :l-3, 0[

Sr: {X

e

R/-2.5.X.0} :

l_2.5, 0t

-3

-2.5

á

1 1

_<j

7'

f

x'- tox'+27x- l8>0 + ilx2 F38X-40<0

tx- rl(x-3)(x-6)>o Itx-zl(x-4)(x-5)

f

lx'-

y

Buscamos St

Sz a

través de la tabla

-aaJbó

S¡

:{X

e

R/l

-co245co

< X <3

vX

> 6}=11,

3[u

]6,

o[

S2:{X e RiX < 2 v

4

<X < 5}: l-*, 2lw14, 5l

Sr:Sr n52:11 ,2[ Sr={X e R/1 <X<2:11 ,2Í

i)

X+2 l-2X

x-3

x

X+2 l-2X ___.-<() X_3 X X+2 2X-1 "-+__<0 X-3 X X(X

+ 2)+ (2X

Como se observa la solución esta sólo en el denominador, ya que 3X2 - 5X + 3 tiene raíces imaginarias, para cualquier relación de orden > ó <. Por tanto no se debe tomar en

-

IXX

-3)

(x-3)x X2 +2X+2X2 -6x-x+3 (x-3)x lx2 -5x +3 <0

(x-3)x

S:{XeR/0<X< k)

-I*

cuenta puesto que, no afecta al resultado

<

-603a <0

I .=--<0

(x -3)X

3)

t9-2X

.-- rel="nofollow">0 x'-2x-15

x2 -2x-15+1g-2x >0

(x-s)(x

+3)

x2 _ 4x+4 .--..-=-->0

(X-5)(X+3)

,0

Se debe, a que (X 2)' VX e R {2}, entonces la solución esta en el denominador.

-

-

O se puede resolver tomando en cuenta todos

los

factores, aplicando

la tabla. Si

la

multiplicidad de Ias raíces es par. entonces antes y después del cero es positivo; y si es impar, antes del cero es negativo y después

positivo.

(x-2\2 (X-5XX+3)

>o -.ó -3 5

co

S-{XeR/X<--ivX>5}

54

Números Reales

Como (X + l)' < 0 (S : {-l}), entonces se resuelve sólo la equivalencia indicada -co -6 -3

Observación:

.1r+!x+c<0

Raíz real única: S =

A; g-

-> Raizimaginaria:

ax-+bx+c>0 +{

I Raiz real única: [-Raizimaginaria:

S=A;

x2

1j2

<0

+2x+3<0

=R, {r};

(x

I

Rarz

real

n .u.

5:{rl:

(x

- l)r

<0

[-Rri, i.aginaria.. S: e; x, + 2x + 3 < 0

t), > 0

S-R: xz+2x r3>0

S

-

axr+bx+c<0 +{

ax2+bx+c)0

Raíz real, todo el eje numérico:

S:R; (x-l)'?>0

-+

Raíz imaginaria: S =

R;

x2

+2x+

PROBLEMAS PROPUESTOS

r)

Resolver las siguientes inecuaciones a)

3X+2>X-1

b)

x+2<-x+9

c)

3X+1<4X-3

d)

l-x>3x-5

e)

3X+

0

5X -2

c)

(x-1)(2X+1)>0

h)

(2X+3)(3X-2)<0

i)

3x2-5x+2>0

u)

k)

.(2X+s)(X+1)(2-3X)>0 (3X+7)(3-X)(x_4)<0

v)

1)

2X2+¡-3a6

w)

i)

ll) m)

nl .,

1

:, :;l:.L > -tr3nor

l

x

q)

<0 s)

4>X-7 <2X+

r)

5

<4

5 :x-l l

x) >

3

Y_l

v)

X+l

0

\-5 12X

x-r

z) 3

(x

+ 3)(2

-X)

3>0

2)

Resolver por cualquier método las siguientes inecuaciones

c) '

x-2 > 1x x+4- x_2 x-1 < 2X x -X+l-

e)

\.-".

a)

x

l-x3 r\ d) x+i+3x.0

x_1

X+8

A

X+4

,.X'+4X+4 = '1!, XX l X2 +2X +3

-s)

-l-= =X-3 X¿ +4- X2 +X+4

L\ h)

i) "

x2 I:2 X*2'X, *2

J)

3.6

VALORABSOLUTO

3.6.1

Definición

3X+1 x ;;.ñ

L\ b)

x. 2 x2

-4

->l-X

SeaX e R. elvalorabsolutodeX sedenota

lXl

yest¿definidopor:

,lxl-jo;paraX-o , f x;paraX>o . (x,o"r.;ilo o lxl=j L -X ;paraX

i-sl:s, lsl:s, lol =0, l6l =0"t".

L_X ,paraX<0

3.6.2

Propiedades

l") 2')

El valor absoluto de un número, es un número no negativo lX I > O. de un número negativo, es igual at valor absoruto der mismo con signo contrario T];i'_T ii;i]*t

3") 4') 5') 6)

Cualquier número ¡eal X, es menor o igual que su módulo X

lXf.", Lainecuación lXl rr, Lainecuación

< IX I a>0esiguala Iadobleinecuación -a<X 0esiguala: X<_a v X>a, .

para

El valor absoluto de la suma algebraica de,varios números reales, - es menor ó igual que la suma de valores absolutos de sus suman¿os lx + y I < lx I * lyf. Demostración sí X +

lx

*yl :x

los

y > 0 entonces

porranto l>
lxl vv < lvl'

que: ' -x< l-Xlcomo l-xl='lxl -y< l-ylcomo l-vi,: i,"i,.r,on."s _X_ys Finatmente ix* yl< lxl+ lvl

lxl* lvl.

Esta propiedad se demuestrg para cualquier número de sumandos

lX¡ f X:rX: F,...+X"t<

7")

lx,l, lxrl,

lx,l_...+ lx"l.

El valor absoluto de la diferencia de dos números, no es menor que la diferencia de los varores absolutosdetminuendoysusrraendo lX _Vl > lXl _ lrfDemostración: Sea t: X - Y despejemos X

: y+ t

Sí

lxl= ly, tl < lvl , lrl

pu.uroralprimernriembro

Ixl lvl s ix-yl " lx-il;'lrr

ryr

lvl,lxllvl< l,l

queesroquequeríamosdemosrrar.

El valor absoluto del nroclucto. es igual al producto de los valores absolutos de sus flactores.

lx.v.zl

-lxl ivI lzr

56

Números Reales

Ei I alor absoluto del cociente, es igual al cociente de los valores absolutos del dividendo y del divisor.

E Fr

lxl--

lxl

ivl Itl -__l

El valorabsoluto¿" I

lxl - lvl I < lx_vl i*l= l(4-y)+yl< lxllvl< lx-yl lx-vl* lvl

Demostración

E F E l" h

de Ia misma manera con

(l)

y

P tsi

ll')

lYl= l(y-41*Xl< lv-xlo lxl Ivllx,l lv-xlp..o l;,:x¡':'l_1x_v)l =. ' \rr enronces lvllxl<'l x_vl (2) si en Ia inecuación 12) s¿mfi¿rnss de signo lx-vl= lvl- lii -lx-vl= lxllvl (3) Finalmenre de (l) y (3) -Íx-vl< lxl- lv'l i lx-ylqu.esetresultadode llxl- lvll< lx-vl Jx': lxl

|,,,

1l')

lxl':r'

l:lo)

IX |

it á

r, r, I} ¡,

rt IJ

? n I I ? a ) 1'

I

. ¡y I e

X2 <

y,

(Cuando se trabaja con valores positivos)

Demostración

lxl. lyl e lxl lxi. lxl lvl lxl lvl. ¡vllvl " I txt txl . lxl lvl

It"ttvl,lxllvl ( l*l lxl.lxllvi J\_ 1r I t -l"lsumando lvl._lxllvl <+ c) lxllxl.lvllvl lxl,.lyl, €> l-1'r IXI:,

<+

Geomérricamentl

en lT

I

\ ---a -+ S:A i, >-a-->S:fr a

s

t ; ) )

€) lxl .

iepresenta la distancia entre

cur,a distancia a cero es igual:" aa

,

t

'

lvi

X:-a v X:a

t i

X'.Y' .? lXlr. ¡y¡, ' lx l, - ly'I,. (lxi- lvl) (lxl u lv l). o lxllxl ,-lxllvl_ lxllvl-lvllvl.o lxl,- lyl,.o

<) <> <) c)

x2

q

t t

En forma recíproca

\

<=

X:-Y

rz

Y=\'

Xy

cero; es decir

lxl:u,Xesnúmero

J J

3.6,3 l)

ProblemasResueltos Resolver:

a) lx-:l:s b) [x-: I .s c) o. lx-:l <s d) lx-¡l's Solución:

a)

Geométricamente en lX - : se representa la distancia entre es un número cuya distancia a 3 ei igual a 5.

I

X

lx-:l:s

<) X-3:-5 <+ X: -2

x-3:5

x:8 5

Gráficamente

b)

Geométricamente en

lx-:l.s c)

0

X y 3;esdeciren lX_:l:S;

lx

-s

| <5, X

es unnúmero

cuyadistanciaa3

es

menorque 5.

€) -5<x-3<s

c) 3-5<X<5+3 <+ -2<X<8

' Ix - : I '

5, significa que

puede seriguaia3 esdecir:

X

es un número cuya distancia a 3 es menor que 5, pero

O. lX_: I <S, Xr.3

X

no

Gráficamente

)BX d)

Geométricamente en 5.

lx-:lrs

€) c)

lX - ¡ | > 5, significa queX

x-3<-5 x<-2

es unnúmero

cuyadistanciaa3 esmayorque

v X-3>5 v X>8

Gráficamente

NorA'2)

Los números 2 y 8 no son elementos de los intervalos que se discuten en los casos b, c y d

R'esolver:

a)

lx'-:l:z

c)

lzx - rl _,

-'

d)

l:x-¿l:12 lx*lx+1ll:s

llx-rl-zl:r

0

l-x'+zx-31 : t +2x

lx+rl

e)

c)

b)

lx-rl*lz*3xl:z

i) k) m)

lx'-zl:q*zx lx*ll,-:lx+rl-+:o -:xl *:xl :+

o)

II

q)

x2 +

4x+ 3l

* lzx, *./x+ sl : r _x,

h)

i) r)

n) p)

r)

lzx*rl-lx-31:rs lz*xl :r-zx

lx'+tl:lzx-:l

lsx*zl : r -x

x'-slxl+o:o x'- lxl-o:o

58

Números Reales

It J tI I tt tt

Solución:

a) lx'-:l:z

<) x2-3:-2 e) X2= - I-

v X2-3:2 v X2:5

1

I y II

Resolvemos las ecuaciones

I) D

X2:l e

lxl:t é X:-I <+ lxl:Js .-' X:- J5

X2:5

es: S :

Portanto la sclución

b)l '

u-

I.;x 'lt"'- -41=

'

_1,

X:1

x: J5

l, J5}

3X-4=-l

e

2

{_J5,

V V

3x-4

2

=

1 2

q

3x=1

3X

2

=:2

x=7

6

La solución

es: S :

lt

2

3l

IA''I 2X-r X+l =-l

<_>

__-r-

I)

2x-l X+1 --=_l

II)

X+l

I.


I),

2x*1

X+l -.-

La solución d)

= _1

es: S :

IT

II),

<-) 2x-1 :_x_l +> 3X :0 :O X

2x-t

s 2X-l :X+l :2 <-> X

X+l --=t

{0, 2}

lx' ¡¡.,,¡ ¡--, *-, xn lx.rl--s v X+ lx*t l=s lx*r ¡: -, - , lx+rl:s-x -___Tl- " _--il.I)

lXnl I :

II)

lx*tl:5-¡

-5 -

x:

llx-rl-zl=r

lx-rl-l

X)

(por definición no es posible)

x+l

:-5+x

<-> 1=-5 A es: S : {2}

t, lx-rl-z:-l e lx+tl- r


t)

-(5 +

.-,

Consecuentemente la solución e)

2x-l

_*t

I y II

I

<+ X- l:-l +> X:0

v v

v X+t:5_*

v 2X:4 v x:2

lx-r I -z=

lx-rl::

r

II

x-l:l

X:2

t.J=:ra Superior 59

r) Ix-rl=: Por tanto la solución

<+ X-1:-3

x:

es: S :

v v

-2

X-1:3 X=4

{_2, 0,2, 4}

l-x'-rzx-31 , : r+zx l-«x'-2X+3¡l :l+zx

lx'-zx*tl : I*zx

+> x2-2x+3:-t_2x v

+> X2+4:6 +> X2 =-4 +> imposible La solución

c)

es: S :

xz - 2x +3 :1+2X x2 -4x + 2 :o

v v v

(x-3,4XX_0,6):0

X=3,4; X:0,6

{0,6 ; 3,4}

lx-rl*lz-zxl=z Para resolver esra ecuación hacemos lo siguiente: 1) Eliminamos los_valores absolutos por medio de una tabla. las regiones en la iabla, y

"**";;;;; ri, ,igno,

', |;',:T*"mos

3)

de ros sumandos en cada

Se resuelve la ecuación en cada región. Solución:

I')

-ó i 1co

2") Las regiones son: )-*,?); ¡?,r1;¡r, *¡

:-G-

;r, lx- I t3',1, l, - , | :-Gr--,

r

tr,*[, lx

3o) Resolvemos

En

3 -X+l+2-3X:2 :-l -4X

x=l 1 -. é ; tí

En [1,co[

se

.

I

:

[3,

lJ

I

las ecuaciones de cada región.

En ]-"o, 2 ] se tiene:

pero

_

I,

se

_

lz-:xl :2-3X

r); lz -:xl

r); lz -:x

= -(2 I

_

3x)

:-(2-3X)

tiene;

3

-X+l-2+3Y:2

2X:3

4x=l 1

+(x

r);

2

por tanto la solución en esta región es

Z

tiene:

x_ I _2+3X =2

4X

:5

x

Finalmente la sorución

.: " Il

=¡ ., ru,Írio,

5l

de los puntos obtenidos en cada región, es decir:

14'71

h)

lzxntl - lx-:l - rs I")

2")

-- -+ 3

c¡

l--. =l I. I zx*l I : -tzx* r lr I x_: : -(x-3) t],:1, lzxn tl :zx+ l; lx -: =-(x-3) 2 [3, *[, lzx*11 :zx+r; lx-:l :x-3 I

2

I

60

Números Reales

3') En]-co, _t1

En

2

x

2X+t+X-3

=15 =17

3X

:-19

:17

X

;

J

l7e l- 1, :1 entonces la solución

en esta región es el conjunto vacío.

2

J

[-1,3] 2

-2X-1+X-3:15 :19 -x

En [3, oo[

2X+1-X+3 :15 X La solución total

:

es: S :

l1

{- I 9, I I }

l:x'*2x-81 - lzx'+7X-51 :

1

l1:X.¡' + 2(3X). 24 (2X\2+7(2X)+l0i -' Il"i)l 3,-,- - i-t lr3X+órr3x-{¡j r(2X+5X2X+2)r i l-l , l='

l1x+z¡(3x-4)l - ltzx+s)(x+1)l

1') Eliminamos los valores absolutos utilizando la tabla

xl=-1,

Xz= -2,

X¡:

-1,

x^:! J

-co -+Z1 -2 -1

1

:r 2")

l-*,]1, 2

lp, |

:p,; lp,l :p,

:P,; lP,l :-p, l-2, -11, lp, I : -Pr; lP,l :-p, lp, I : -pr; lp, | : p, ,r,

L*-1, -zj, lp, I

2-

oo

1,,

lp,l:P,; lP:l =p, t1.-t. 4 x+1

Pr:(X+2)(3X_4) P2: (2X + 5) (X + 1) 3") Resolvemos la ecuación en cada región. .En R,

(x

I

: ]--, -i

] 2)(3x - 4) - (2x 15)(x +

3X'f2X-g-{2{,+7X+5) 3X' ,2X -g-2x'_7X_

x2-5x-13-l

l): I

5

x2-5x-14

(x-7)(x+2)

:l :l :0 :0 =0

x--2,x=7

La solución es el conjunto vacío, ya que ninguna de estas raíces pertenecen al

intervalo

l--, -i

l.

Rr: l-* ,-zl (x+ 2¡(3X-4) + (2X +5)(X + tt=

En

I

3X'+2¡-8+2X2+7X+5 =l 5X2+9¡-3 : I

5X2+9Y-4

=0

,_ -qtJsr*so = 2l.u/iet _ -s t12.6 l0 t0 10 ,_ -9r 12.ó , - -9-12.0 ^=.---10 10

x:0,36 ,

En esta

x:-2,17

región 0.i6 e [-=

.

-f ]

ilgebra Superior 61

En&:L-2,-1) -(x 1z'¡ (3x - 4) + (2¡ + 5) (X + l) -(3X'+2X-8)+2X2+7X+5 4X¿-2X+8+2X2+7X+5-l -x2+5x+12 x2 - 5x- 12 (x - 6,77) (X + 1,77)

X:6,77 ; X: En esta región En

=l :l :0 -0 :0 =0

-1,77

-l)

6,77 e l-2,

Ro: t-1,+ l

En

-3x2-2x+B-2x2-jx-5 = I

-5x2-9x+3-l -5x2-9X+2 5X2 +9y-2 (5X)2+9(5X)-10 (5X + 10) (5X

_

l)

:l :l

(x-7)(x+2) X:7 , X:-2

:0

pero -2 e

=0

=0

t1,*t

La solución total es:

5

x: -2 , x:

x2-sx-t:

x2-5x-14

o

=0

5

[1,-[

3X2+2Y-8-2X2-7X-5

:o :o

:

R5:

+:0.2

S

:

{-2.17; -1.77;

0.2: 7l

Pero -2 e t-r,]J

jl

lz

*¡l:l*zx

lznxl =t-

2x

e

t [2+X : -(l -2X) v2 + ¡=+(l _2X)] ^f2+X:- t + 2X v 2+X: f _jXl I ^rr^(-X:-3v3X:_t)

1 -2X> 0 -2X>-1

I

*=;n(X-:"x=-]t _1

3

En la figura se observa que: k)

I I

lx'-zl=q*zx

lx'-zl:q*zx

1l

- l=.1--'r]

4+2X > 0 2X>-4 ¡

X>-2 X>-2 X>-2

A A A

'

,-

l*,;],entonces

la solución

*, r :{-;}

I JX'-2=-t++ 2X)vX2- 2-- r(4rZX)l [X' 2--4-2x v X2-2=412X1

(X'+2X+2:0 v X2- 2X*6 :O v (X + l.6XX _ 3.6) (X: -1.6 v X:3.6) (No tiene solución en R

Ambas raíces pertenecen a la región, es decir {-1.6, 3.6} e n_2, *,f, entonces: s

: {-1.6, 3.6}

lx'+ll=

:

lr*-31. l.l lbl e u:-b v a:b lx'.11-lzx:l ;i=:i;;"rj ,,x,-'r :,1ix_:j -r: c> X: t 2X-2 =0 v X2 2X+q-_O' s.aplicalapropiedad:

<> (X + 2.73)(X - 0.73): 0 v

s:

e X--2.73 v X:0.73

No tiene solución

{-2.73,0.73}

62

Números Reales

Ix- r l'-:lx+ tl -+:0. sí lx* r-3t-4=0

r I :t,entonces

(t-4Xt+1):0

t:4 v t: -l

lx*ll=a,rlx+rl:-r, lX+1¡ =4

s

: {-5, 3}

n) l:x*zl:r-x :r-x lsx*zl

o)

s=

f_l l2

I Ir

-:xl -:xl

:

-1 No riene solución

l-X>0 n (3X +2-_1+X v 3X+z:1_x) é -X>-l n (2X:-3 v 4X:-1) c) X
<+

_]J 4)

=¿

jr +:xl <3

I)

lX * I I

a X r-¡:-4 v X +t:4 eX:_5 v X:3

lt*¡xl::x-¿

I

t

+:xl

-3x:-4, -3x=4 jit :-¿*:x, lr+3xl :l.rx i" _l

I

---L.---

a ^

,)

3X-4> ¡ (l+3X:-3X+4 v l+3X:3X_4) <)3X>4 n(6X:3 vt=-4) ¿-1 <+ X> v F) l) "tX=c> X> 1 ,*-l ' <+

14 23

St: A

It*3¡l :q*3X e 4+3x>0 <+ 3X>-4

II)

n (l +3X:-4_3X v I +3X=q+3X) n (6X=_5 v l:4)

.<] x--+^(x:-: v 36

F)

€) x=-13 ,'' (X---5r

6',

_1

_5

3

Su=

S=S¡ u,

S11

I' sl 1-

uJ'

6

entonces la solución total es:

= J 5l

tel 63

p)

x'-slxl+o:o x'-slxl *6:o e -slxl: -6-x, e slxl:e +x' lSXl:O+X'

<+

6+X'>0 n (5X:-6-X2 v 5X:6+X2)

€) R n(X2+5X+6:0 v-X'+5X-6:0) <) R n ((X+3Xx+2):0 v (X-3XX-2):0) <+ R ^(X:-3vX=-2 v X:3vX:2) S: {-3, -2,2,31 El mismo ejemplo se puede resolver al considerar lX l': X'

lxl'-slxl+a:o rlxl -¡x lxl -zr:o : :

I : lx I z. Al resolver en forma simultánea las dos ecuaciones X:-3 v" X:3 v X---2 v X:2; portanto S:{-3,-2,2,3\

lx

se obtiene:

lx' + +x+ 3 I - lzx' -7x+ 5l : r -x,

q)

l6+:¡x+l) l- l(zx-5XX-1) l:r-x,

Estructuramos una tabla con las raíces de cada sumando, para luego resolver por regiones

-o-3-1

15/z*

En

R1

:l-*,

-3], X2+4X +3 *2Xz +7X-5

-X2+llX_ 2-l_X2

: I -X2

llx :3

En R,

:

[-3,

-l],

x=1e n, ll -x2

- 4x -3

Snr:Z

_ 2X2 +

-2*+3x-9:o

7X-5 : I -X2

2x2 - 3x + 9: o No tiene solución en R

En R,

:

[-1,

l].

Es el resultado de la primera región; X

:

-)

11

EnR":

x2 +4X + 3

¡,;],

4X2 _ a-

En R,- -

r

3X+

+ 7

2x2

*7x+

:0.

5= I

:.

Sp2:

A

€ R¡ .'. sn,: f¿I UlJ

-X2

No tiene solución en R 3

la primera región: X l. -l Es el resultado de r---'--'-'-D'--" -- '.II L2 L I

Sn+: O

"€ Rs .'. Sp5: Z

Finalmente la solución total es: S

r)

S*, U S¡2 t-t S¡¡ \J S¡a t-.,Sns

x'- lxl-o:o x'.- lxl-o=o s

3)

:

: {-3, 3}

Lltl

(lxl-:x lxl*z'l:o

e lxl-::o " lxlnz:o
-3

v

v

X

No tiene solución

Resolver: a)

d)

lr-rl=

13

u

c)

lx-rl t_t <4

Iá* rl, ,

12

b)

I

lx+21

64

<+

- 11)

I

I:x*+l=s

c)

.,

-<J lxl e)

h)

lx+

l-xll.z

lsx

zl l_l - >l lX+6

Iz*llrr

txt

lx-zl

> 1/10

|

Números Reales

e r) Iflx+al< sx-z I x.e't

(

k)

)

l*'-,1 . , lx+zl

1

m) lzx-:l
lz*:xl.x*t

--<0

x-2

lx'+zl.:x

n)

-x'-3lxl*r

q)

Solución: Estos ejemplos se resuelven por medio de las propiedades a)

l)

4

e-6

=L

-z=o

<+-6 + z

lxl." S:

3

o) lx*sl )3X+1 0 x'+zlxl -+
y

siendoa>0.

l-12,241

3

<+-+<

I

<s

3

<+ -72

b)

l:x*+l.g

<X<24

<)-8<3x+4<8 <+ -12

<3X < 4

1, -12¡¡a

4

s

33

c)

:

l-4,

1r J

l.r-111., lxl lxl lrl

lll. ¡.-> -3.1.l x lxl Aquí apareció un sistema de inecuaciones.

["

]'-:

t,, f.: Solución de I)

Solución de

l

-:-+3>0

II)

1 :_J<0

x

Y

3+3X _>0

I -3x =..-<0

X

x

-r-i0¡ 3 + ii.

-i.-

Sr: l--, -lI u ]0, cc[ 51

:51

-a0 +

Srr

:

]-"o, 0[

u ]1, co[

nS¡1

Sr:l--,-1[u]l,cc[ .{leebra Superior

65

d)

X-l 4 <-> -4= llll= X+2 = lX+ 2l

o

Escribimos en forma de sistema.

X-1,-*

Ifrl 1rl L

x+z

X-r.4

X+2

Solución de I)

x-l _4 _> X+2 x-l _+4>0

-+

-q -2

co

5

X+2

X-l+4X+8 X+2 5X+7

X+2

Sr: l-"o, -2lw

->0

[_!,al 5

Solución de

x-1

II)

X+2

x-l -<4 ____4<0 X+2 x-l-4x-8 _<0

-ó 31

X+2

-3X-9 _
-iX+9 _>0

X+2

Su: ]--,

51:

S1

n

u l-2, co[

S¡

Sr:l--,-3lu[-{,"o[ e)

-31

lx* l-xll.z lx* ¡¡ll
_1

<+ -2<x+

<+

lxl

-5

-z-xslxl.z_x

Escribimos en lorma de sistema. a

Il,rl

[ru

lxl>-Z -X

(imposiblepordefiniciónypropiedad 5o,severificaVX e

R)

lxl

Solución de II

lxl <+ -2+ x< X < 2 - X. Tenemos (impos ible ) I[-z+xlX 2-X>X ." 2 >2X

Ix

S: 66

otro sistema:

]-co, 1]

Números Reales

- 5 :+-t>t++

ft

l2X+51

xi

¿l

:X+51

xl -l

i>l

ix

l-

2X+5 (-l

rz

x

2X+5 _->l x

I

II

Solución de I)

2X+5 _<_l

x

2X+5 _+l<0

Sr:

x

r-: ,0[ J

2X+5+X _<0

x

3X+5 _<0

x

Solución de

II)

2X+5

-.->l x

-6-50co

2X+5 __l>0

x 2X+5-X x X+5 _>0 -->0

Su

:

l-.o, -51

u 10, co[

X

Sa: Sr

:

S1

u

S¡

l-"o, -51 u

¡-5,

0[

u

]0,

co[

-1

c) l¡ +ll>z

<+

2

x+7 <-2

x+7>2

2

2

x <_g

S

h)

2

x<-18

x>-10

: l-*, -18[ u ]-10, oo[

Isx-zl

5Y-)

x >-5

2

I__l >[++"_. -<_l X+6 I x+ó I

-18

-10

5X-2

v --->l

- I-

Solución de I )

Solución de

5X-2 X+6 --<_1 5X-2

5X-2 -->1

X+6 5X-2 __l>0 X+6

X+6

5X-2+X+6 -+l<0 X+6

6X+ 4 _-<0

X+6

II )

<0

-2-x -6 ---__-.-->0 X+6

sx

..-.

4X-8

-->0 X+6

iige'ora Superior 61

-co -b-a -á

')

S,:l-6,

-i3

Sr:

Sn

Sr

:

Sr

u

o

Sn:

I

lx-zl> I l0

_2

0

3

<)x-2<-1

x-2>

10

1

10

+> X<2-lv

X

l0

e

u ]2, co[

-6

u 12, o[

l-"o, -2/31- l-6\

l-@, -6[

x<19 l0

>2+ I 10

v

x

>21 l0

S:l-ó,9l..rt ?1,*l 10 l0

1,9 27 10 10

i)

flx,a¡.0 " lsx-2,, LX+O

l-o<X+4<e

5x-2>l [X+6

'1

El sistema inicial se ha transformado en:

f»

x+4>-g x+4
tIt, Solución I)

Solución II)

x+4 >-g >- 13 x S¡ : l-13, co[ Solución de

-->l

x+4 x S¡¡

:

<5

]-co, 5[

III)

5X-2 _>l X+6 §Y-)

X+6

5X-2-X-6 X+6 4X-8 _>0 X+6

Sr:Sr n S¡

>0

Frac.

Snr

:

l-@, -6[

u ]2, co[

nS¡1

Sr:l-13, -6[w]2,sf 68

Números Reales

k)

/ I lr, -,1 I l____t

I lx+zl

II\ -'Y-?o .n x2 -l _>_l

r) Transformamos el sistema

en:

X+2

I r)

x2 -l _

nr)

4_<0

t

X+2

x-2

Solución de I)

x2 -l _>_l

-úJ -2

X+2 x2 -l +l>0 X+2 x2 -l+x+2 X+2

ó

Ya que X2 + X + 1 > 0, Vx e R, entonces:

S1: l-2,

co[

X2 +X+l -_--->0 X+2 -_>0 Solución de II)

x2 -l _
-q -2 *0.3 3.3

x+ x-

-1-x-2

co

0.3 3.3

x+2

X+2

--<0 x2 -x-3 ---<0 X+2

(X+0.3XX-3.3)

:-__-i-t_____

X+2

<0

Su: l-.o, -2[ u ]-0.3, 3.3[

Solución de III)

-@

2

]-co,

2[

m

4 _-<0

x-2

S¡1

l)

Sr:

St

sr:

l-0.3, 2[

:

n S¡ n S¡¡

l2+3xl <x+ I lz +:x <x+l <) I

<)

x+l>0 a[-(X+1)<2+3X<(X+lX X>-1 ¡ (-X-l<2+3X<X+l)

<) X>-1 ¡ lz+zx<X +l Iz+:x > -x-l €) X>- l n {zx<-t l+x ,

iieebra Superior

-:

69

r -l ¡

l*.-1

)2

-l

lr, l+

I _3 _1

t: {r.*,-1.*.-;} m)

lzx-zl

lzx-:l 0 ¡ <+ -2X > -1

x=-! 2

[-(l

lx'+zl.¡x

2x)l

{+x<+

|.-3r-l

¡A

2

a

S=A

lx'+ zl . sx

< +(t _

lzx-z < l-2x tr*-3>-1+2X

"

f

,=

-2X)<2X-3

n (-l + 2X<2X-3 <1-2X

x=12 n

n)

0

2

4

€) 3X>0

X >0

¡ [-3x<x2+2<3x] [xz

n

+z <sX

lx2+z>-:x +2

X >0

fx'-:x

X >0

lx2+:x+2>0 I f(x-2Xx-t) o

A

Tabla I

Tabla II -óL2@

-6

-2

S-{X eR/l<X<2} o)

-l

lx*sl>3X+1

lx*sl >3x+1 e X+5< -(3x+1) v x+5 > 3X+l () X+5<-3X-l v -2X> -4 e 4X<-6 v x<2 <] X < -l x<2 ', S:{XeR/X<2}

70

2-l

2

Números Reales

p) lx*:l >2X

lx+3 i >2X €) X+3<-2XvX+3>2X 3X<-3 v -X>-3 a X<-l v X<3 .g

S:{XeR/X<3} q)

-x'-:lxl+t
l:xl

> l-x2

<+ 9

., 9 9

Tabla

c> -3lXl<-r+x' c> 3lxl > r-x, 3X< -(1-X') ''r 3X>l_X2 3x<x2-1 v 3X+x2_1>0 -x1*:x+l o

x2-3x-l >o v X2+3x_l;ó v (X +3.3XX_0.3)>0

(X-3.3XX+0.3)>0

'

I

,rbl"

1Ir

-o -0.3 3.3 o

-o -3.3 0.3 o

x - 3.3 x + 0.3

r)

x + 3.3

S:{Xe R/X<-0.3v X>0.3} x2+zlxl-+ zlxl 0 ,^. [-(a _ xr) < 2X + (4 _x1] (2 * xx2 +X)>0 a (-4 +X2<2X<4-Xr) [-2,2) <>

[-2,2]

Tabla I

t [zx<+-x, [zx > -++x, n

t¿ [tx+].2Xx -t.2)
tt [1x -:.2.¡1x

+ 1.2) < o

Tabla

II

-ú -3-2 L-2 @

x+3.2

w

Y-

?

a

x+7.2 pf

S:{XeR/-t.2<X<1.2} i,geb'ra Superior

-\.2

J-/

@

lXl :u, lXl.uV

Observación.- Cuandoseaplicalaspropiedades:

lXl >aparaa>0,se

debe considerar lo siguiente:

x : a. Cuando

Xl>a. Cuando a20 y ademásconstante Xl >a <>X<-a v X>a lx | , u,. Cuando a,2 0 y además es variable lxl ru" <+ X a,

a> 0y además constante

:a c) X:-a v X:a X : a,. Cuando a,2 0 y además es variable x :& <3 &,)0 n (X:-a" v X:a,) X

I I I

I I I

y ademásconstante x

0 y además es variable x <+ a, rel="nofollow">0 n (-a,,<X< X 0

Aclaración para los ejemplos q)

-X2-3lXl*f <0. -

r)

Pordefinición

lXl':X2,

I x I ' - ¡ I x I + 1 < 0, introduciendo

-t2_ t2

y

Se aplica indistintamente sólo la propiedad, como si fuese constante

entonceslainecuaciónsetransformaen: auxiliar I X I : t, luego:

una variable

I

rl

|

-l

cr t*j.-1.8 v t+1rr.8 It+'l>1.8 ') 1 ?l )

3-t+l

+ 3t* >0

€)t<-3.3v't>0.3

1

_! =, 4

(,.;)'

e lxl <-:.: ., lxl >0.:

IIt+-¡\2 >_13 I )l 4

e a v lxl>o.s

IIt+-:l >

e

|

,ril t-

)l

\+

S-{XeR/X<-0.3 v X>0.3} xz+zlxl-¿ 10. Aplicando el mismo razonamiento

l¡1,+zlxl -4<0, si lxl: t.

lxl>0.:

<> X<-0.3 v X>0.3 del ejemplo anterior (q)

lt*tl<2.2e-2.2 <2.2 c>

entonces

*

f2+2t-4<0

-3.2

<

1.2

It
_;, "'-

reemplazando t = ll X

[lx l< r.z

(t+l)2-5<0

[|xl>-:.2 (t+l)2 <5

Hln[l x l< r.z

It*rl<Jl

.+ lxl

S:{XeR/-1.2<X<1.2} 4)

Resolver:

a) c)

lx-zl<:lx+zl zlzx-:l.lx+rol

Estas inecuaciones se resuelven usando la propiedad

b) d)

lxl.lYl<->x2
a) lx-zl.:lx+zl

( 13' )

.lx*+l zlx+olrl:x-rl

lzx-sl

)l

<+

10

24

lx-zl. l:x*ztl (x-2)2<(3X+21)'z

X2-4X+1 <9X2+126X+441 -8X2 - 130X - 437 <0

x + ll

q

8x2+t3ox+437>o (X + 4.75) (x + 11.5) > 0 72

Números Reales

I

S

b)

: l-*, -l1.5[ u ]-4.75, al

lzx-:l.lx +al<+ 1zx-s¡'<(x+4)2 é

4x2-2ox+25 < x2+gx+16

c>3X2-28X+9<0

_o1

.,

(¡x)'-zs(¡x)*zz.o

e

(3X-27XX_l)

3

9co

J

3

<)(X-9)(3x-1)<0 <+(x-9)(3x-1)<0

':ri,,r c)

zlzx-tl .lx*rol l+x-o I

. lx+¡6¡€ (4x -

6)2 <

1x + t6¡2

-co

€) l6x2-4gx+J6 < X2 r20x+ I00 <+l5X2-6gx-64<0 <)(x+0.8)(X-5.3)<0 -0.8

0

s d)

zlx+ al

-0.8 5.3 o

:

l_0.8, 5.3[

,l:x- ll crl¡x- rl .zlx

,ol

<+l:x-rl.l2x+t2l

-q -2.2 13 q

e

(3X - t)2 <(zx+ tz)z <> 9x2-6X+1 < 4X2+43¡a1

14

<>5X2_54X_143<0

€) (X

_ 13)

(X + 2.2) <0

s:1-2.2, l)

131

Resolver:

a) lr-xl- lzx n¡l <7 c) lx'-¡x-zl rlx +41<s e) lr-xl-lzx+31 + lx+zl.s

b) d)

z- lxl* lx+zl,¿ lzx-sl-lx'ql*lq-xl,z

Solución: a)

lr-xl-lzx*:l
E.liminamos los valores absolutos a través de la tabla_ -€

--

)-

1

I

6

r-"1*14-r 2x + 3 I -o ___ t.

tI*

l

I

/1

2)

Sacamos las regiones con sus respectivos signos, para reemplazarlos en la inecuación en el tercer paso.

ll2 -+ lr -xl :r -x; lzx+sl : -ex+3) -) ll-xl:l-X; lzx*zl :zx*: t],rl 2 [r,-[ -) r -xl :-(t -x); lzx+El -- zx*t

l-*,

I

3") En

Resolvemos la inecuación en cada región.

R1

:l--, :31; 2..

I

-X+ 2X +3 <7

Este resultado lo intersecam",

"",

J;¿rvalo

de la región.

s,:l-*, -3I 2

R2:

En

tl,2 ll

1-X-2X-3 -3X x -

s2

<7 <9 >-3

[-3t2, 1]

En R3

:

[1, co[

-1 +X -2X-3<7

-X

<

x

> -11

53

:

11

[1, co[

La solución total es launión de las soluciones, es decir 31

Sr: b)

l-oo,

:]l ))

r.,

:

Sr

u

S,

u

S,

[], t] u [1, co[: R

z- lxl * lx +21>+ *-lxl + lx+21>2

l')

2")

-q-20o

)-*.-2[;lxl :-x: lx+zl :-(x+2) l-2. o[;lxl :-x; lx*zi =X +2 lo, *[; lxl : x; lx*zl =X+2 3) En R, : l-*, -2[

x-x-2>2

0 > 4 absurdo

St: A

: l-2, 0[ x+x+2> 2 En R,

2X>

x>0

0

sr: o 74

Números Reales

En

R3

:

]0, co[

-x+x +2>2 2 > 2 absurdo

St: A Sr=Sru52US¡:A c)

lx'-:x+zl+ 1")

lx++l <: <+ lG - 2Xx - l)l

lx+¿l<s

2")

l-*, -+l; lP t-a, tl; lPl I t, zl; lPl I

I Z, "o[;

lf

I

lx*+l :-(x+4) lx*+l :X+4 = -P; lx*¿l :X+4 =P; =P;

=P;

lx++l :X+4

P:(x-2)(x- l) 3o) En R1 : l-co, -4]

-co

+2-x-4 x2-4x-7 (x + 1,3) (X - 5,3) x2-3x

-4

-1.3 5.3

co

<5

<0

-1.3

0

St: A En R2: [-a,

l]

x2-3x+2+X+4

<5

x2 -2x+ 6 x2 -zx+ |

<0 <0

(x-lF

A

esta inecuación

Sr: [,

1]

n

[-a,

verifica el intervalo

l]:

[1,

[], l]

l]

En &:U,21 -x2+3X

-2+X+4

-X2+4X-3 x2-4x+3 (x-3)(x- l)

Sj

:

[1,

<5 <0 >o >0

-co

7

x-3

l]

En Ra: [2,

co[

+2+x+4 x2-2x+l (x-l)' x2-3x

I <X< 1 (Propiedades

<5

<0 de intervalos)

St= A Sr

Aleebra Superior

:

Sr

r.-r 52 r.-r S-,

ur

S¿

: A w fl,1l v [, \w A= tl,

I'l

75

d)

lzx-sl - [x* ql + lq-xl

'z

l")

I a

-ú -4

2")

l-*, -41; lzx - s [-4,5/2];lzx-sl

:

I

=

[4, *[;

-(2x- s); lx -(2x- s); lx

++I ++I

:2X-5; lx*+l :2X-5; lx*+l

lzx-sl

l5/2,41;

oo

Jzx - s I

:4-X :4-X -4-X

=-(x++l; l+-xl

- x+4; l+-xl - r+4i l+-xl - r+4; l+-Xl

:-(4-X)

3') En R¡:l-co,-4[

-2X+5+X+4+4-X>2 -2X>

x<-ll

-ll

2

En

]-4, I) I

nr:

-2X+5

Sr = ]-"o, -4[

-X-4+ 4-X>2

-4X > -3

4X <3 x< -

4 Sz

En

:

l_4,

&=l1,+[ 2

;t

2X-5-X-4+4-X>2 -5 > 2 absurdo

En

&:la,-[

St: O

2){-5-X-4-4+X>2

2X>15 x >15 2

s,=l Sr

:

Sr

u

Sr: l-ú, e)

52 r-.r S:

-4[

u

S¿

f =

-4§

.*t

?

l-*, -a[ w]-4,3141w A w,

u ]-4, 3ta[w]

f

,

*,

],-t

lr-xl- lzx*:l+ lx+zJ.s 1) -q-2

76

J 1 2-

m

Números Reales

2')

lr-xl l-2,1t; lr-xl I:1,It; lr-xl

:1-X lzx*:I :t-X; lzx *:

lr - xl

=-l+X ;lzx*:l

7'*,-21; 2

:t-X;

lzx +:

2

11, *[; 3o)

En

R1

I

-(2x + 3;'

lx*zl lx*zl

I

2X+3;

lx+zl

l;

lx*zl

-(2X + 3);

;

2X+

-(x + 2)

x+2 x+2 (x-2)

:]-oo,-2[

I -X+2X+3-X-2<5 2<5 Sr:Rr

En & :1-2,

-1[ 2

l-X+2X+3+X+2<5

2X<-l

x.-l

2

S, =

En

R3 =

l-2,

-12

t

I -1, lt; 2

l-X-2X-3+X+2<5 -2X<5 2X >-5 2

Sr:l_;,tt En &=ll,-[; -l +x-2x-3+ X+2<5 -2<5

6)

Sa: ]1,

:

Sr

Sr:

R

u

52

px-zl-lo-xl r-lx-rl

_"

Sr

co[

u 33 tr Sr:

Rr \-/

R2uR3ufu

b)

It-xl+l:+zxl

Resolver:

a)

d)

_:J

lx

trH#>lx+zl

-zl-:

>

2

c) llxl .lr, * ,l l_lx_ll

e) lx+rl'+lx+rl-o
,

lx-:1'?+olx-:l+s>16

Solución:

a)

px-zl-lo-xl r*lx -

1')

_

,

rl

Determinamos los valores que reducen a cero al denominador, puesto que la división por cero no esta definida.

r-lx-ll*o o-lx-ll*-r li,']]r1'', silx-rl:r : x-r:r -i,

<> X:0

{igebra Superior

v X:2

77

Lueso:

l-[x-ll+o eX+o¡X+2

2")

Eliminamos los valores absolutos

3")

Sacamos las regiones en el siguiente paso.

l-oo,2/31 -

través de la tabla.

y los términos con sus signos, para reemplazarlos en Ia inecuación

{0}; llX-z

[2t3,1]; lzx tr,6l - {2}; lsx-z ltx-z [6, -[; -z

4")

a

:-(3x-zt;

:(6*x); l*-,1 =-(x-r) lo-xl =3X-2; lu-*l :(6-x); lx-rl:-ir-,t =3x-2; lo-xl :io-xl' ix-ri :i-r :3x-2; lo-xl :-(6-x); lx-rl:(x-1)


En R¡ :l-oo,

?l

- tOl

-)

-3X+2-6+X -. l+X-l -3X+2-6+X -3<0 x --:J -3X+2-6+X-3X <0 x -5X-4 -.--
-"o-| f

o o

5X+4 _>0

x

Buscamos S¡1, haciendo intersección con el intervalo

Snr = l-oo,

]--, ? I - {O }

u 21 -11 53 10,

EnRr:[2,1]

_4 0 53

3

z

3X-2-6+X _. 1+X-l 4X-8

---SJ

-o086

X

4X-8 X

4X-8-3X -_J<0 x

x-8

<0

x -_<0

Buscamos S¡2, haciendo intersección con el intervalo I 1

S*r:['.ll

!u

,

78

Números Reales

:; R.: Li,6l - {Z}; r\ - 2 - 6 + X <1

l-X+l

.tx-8 2-X 4X-8 é-

2-x -

1J

i

s

u

4X-8-6+3X-,., 2-X ?X

-

14

2-x -'1t2-X)
-7 <0

Ia región: Cómo la proposición es verdadera, por tal razón la solución es

:

&rr = Il, 6l - {2} En R":[6, -[ Sn:

3X-2+6-X -" l-X+1 2X+4 ,-J

-co

Z

2cñ

---< 2-X

2X+4 _.J

2-X

2X+4-6+3X -^

2-X sx-2 -'--<(, 2-X

02 S¡a

: [6, co[

S.r:

Snt L,

2

5

SR2 L-,

S¡3

tl

S¡a

ul0,¿lu [2, l] u [1, 6] - {2} u [6, co[ -l-*,+l 533 : l--, -a I u 10, .o[ - {2} 5

b)

h-xl+l¡+zxl t >2 | | t lx - zl-r 1")

Determinamos los valores que reducen a cero al denominador'

lx-zl-3+o

ri lx-zl -¡

<> lx-zl+¡ <= X-2-3 v <.>

x'2=3 X: -1. v X:5

Luego:

lx-zl -3+o <+ X*-1 2")

A través de la tabla eliminamos los valores absolutos

-- -:

ilgebra Superior

,r X+5

t

2

'

co

,19

3")

las regiones; con los signos de los sumandos para reemplazarlos en el siguiente

ff;:* l-a,

l-xl -xl l-xl

-312[;

l-3t2,1[; 11,2f; co[

12,

4")

-

{s};

I

:l-X; =l-X;

1-xl

:

-(1 - X);

=

-(l - x); 3+2Xl

l:*zxl

+2Xl 3+2Xl 3

:l(3*zxl; lx-zl =-(x-2) =3+2X: Jx_z,l =_6_2) = j3'2x): =_Á_2) =3+2Xi lx_2[ lx_zl =X_2


En R, :]-"o, - 3 2-

1

t-x -3- 2X =__....--->?

-X+2-3 -3X-2 \, -l-x _

-ó-1

0

m

lt¿ _,

-l-x

-3X-2+2+2X

_l_x

-x --->0

-1-X x _->0 l+X

S*, = l-m,

-3

2' ¡

en Rr:1:1, l¡

2' l-X+3+2X -X+2-3 X+4

>?

-l-x

>7

-t-x

>0

X+4 __2

-6 -2

-1

X+ 4+2X+2 .....->0 -l-x 3X+6 '-.->0 -l -x 3X+6 --.-<0 X+l

Sn::]

-i .,,

En R3:11,2[

-l+X+3+2X ---

r ) -X+2-3 "

3X+2

-co -l

3X+2+2X+2

-l_x

-+ -

>0

5X+ 4 --->0

-l-x

5X+4 .--<0 X+l 80

Números Reales

Sn::Z En Ra:12,

*[ -

{5)

-l+X+3+2X _>

I

x-2-3

3X+2

-@-72 5 o

>2

x-5 3X+2 __)

>()

x-5

3X+2-2X+10

x-5 X+12 _->0 x-5

>0

S¡a: ]5, co[

Sr: Snr u S¡2 u Sq3 u S¡* Sr:l-.o, - 3 [r.r] _ 3 ,-1[u]5,m[

22

c)

#=x.r¡*fr-lx+zl
l')

t-lx-tl,.o e lx-ll+t

si lx-rl:r

<) X- I =-l <+

X:0

v X- l:1 v X:2

Luego:

l-lx-rl+o

<+X*0 ¡X+2

2") La inecuación

se a transformado en:

zlxl- lx + zl+ lrx , zxx - lil .

r-lx-4

o

-a. -2

Hacemos la tabla:

3")

Sacamos las regiones.

l--,

-21;

l-2,01; 10, 1l;

[1, co[

-{2};

lxl lxl lxl lxl

:-x; lx+zl :-1x+2); lx=-x; lx+21 :(x+2); lx=x; lx+zl :tx+2); lX=x: lX+21 (x+2); lx-

: -(x - l); l1x+:.¡(x- t)l : (x+2)(x-r) : -(X - l); lix+21(x- r)l :-(x+2)(x-1) :-(x- l); l1x*z¡1x- rrl :-(x+2)(x-1) =X-1; Itx*zr(x- l)l : (x+2) (x - l)

4o) Resolvemos la inecuación en cada región. {lgebra Superior

81

En

R1

:]-co, -2]

-2X+X+2+(X+2XX-t)-n

I+X-1 +X-2+2 -X+X2 X2

x

<0

.<0

x <0 En R, =[-2,0[

-2X-X-2-(X+2XX-l) .n 1+X-l

-2x-x-2-x2 -x+2

<0

x

-x2 -4x _<0 x X2+4X >0

x

XIX+4) . , >0

-4

x

X+4>0 >-4

SR

x

l] 2X-X-2-(X+2xX-t)

:

-2

[-2, 0[

En R3:10,

l+X-l 2X-X-2-X2 ___x_

_-x2 x

-I'+2

<0

<0

<0

X2+4X

x -x<0 -->0 x>0 Sru

:10,

<:---

1l

Rq:[,.o[ - {2} 2X-X-2+(X+2XX-l) <0

En

l-X+l 2X-X -2+X2 +X-2' 2-X X2 +2X-4 2-X

<0 <0

(X+3.2Xx-1.2)

<0

2-X Sn¿

:

-ú -1 2 1 ) )

[1; 1.2] w

12,

af 3.2

Sr: S¡ u

SR2

1 1.2

u S¡3 U Spa

: I--,-21u [-2,0[ u ]0, 1l u [], 1.2] u 12, co[

:)-a,1.2)- {0} ul2,oo[ 82

Números Reales

x - tl- lx

+.¡l

', ' 3-lx+ll ">

d)

lx+zl

I

l')

:-lx+tl+o

lx+tl+¡

silx+tl::

X+l:-3 x:-4

v

x+l _J X:2

A

X+2

v

Luego:

:-lx+ll+o

X*-4

<>

2") -co -3

-2 -7

1

co

3") l-co, -31

:-(x-1) ;lxn:l :-(x+3) ;lx+ :-(x-1) ;lx*:l :(x+3) ;lx+ :-(x- 1) ;lx*:l :(x+3) ;lx+ :-(x- 1) ; lx+: :(x+3) ;lx + : (x- 1) ;lx+:l :(x+3) ;lx+

lx; lx; lx; lx; lx-

-{-4}

;

-21

l-3, l-2, -rl [-1, I ] [1, "o[ - {2}

I

:-(x+l) ;lx+zl :-(x+2) :-(x+t) ;lx*zl =-(x+2) :-(x+1) ;lx+zl : (X+2) :(x+l) ;lx+zl : (x+2) :(x+l) ;lx+zl = (x+2)

4o) Resolvemos la inecuación en cada región.

En

R1

:l-co,

-31

- {- 4}

-X+l+X+3

>-x-2

3+X+1

' +X+2

A

Si el numerador tiene raíces imaginarias, para cualquier

relación de orden, ya sea

>0

-co -4

4+X 4+X2 +6X+8 >0 X+4 X2 +6X+12

X'+6X+ x+4

>0

X+4

S¡1

para ) o ( que cero.

Entonces la solución está en el denominador

:

]-4, -3]

-4 -3

En R2:[-3, -2]

-X+l-X-3 3+X'+l

-2X-2 (X+2\

>-(X+2)

>0 4+X -2X-2+X2+6X+8 >0 X+4 X2+4X+6 >0 X+4

.{lgebra Superior

t¡l , ^fa^Ío

¡,,

¡

83

S¡2

En

R3

= [-3, -2]

= l-2,

-t)

-X+ 1-X-3 3+X+l

-2X-2 .--(X

>(X+2)

F2)

4+X

>0

-2X-2-(X+4XX+2) X+4

-2X-2:X2 _6X_8 X+4

- x2 -8x- lo

>U

-6 -6.4 -4 -1.5 6

>o

x + 6.4 x+4

>o

X+4

X2+8X+10

X+4 (X+ l.5XX+6.4t X+4

<0

sR3: [_2, _1,5]

En P.a:[-1,

1]

-X + 1-X -3

>X+2

-2X-2

>X+2

3-X-l

,-x

-)v_, :,'::'-(x

¿-x

-o-1 .6 2 3.6q

>0

+ 2)

x - 3.6 x + 1.6

-2X-2_12_xxx+2) >0 2_x -2X-2-4+X2 >0 2_x x2

-2x-6

>0

2_x Sn¿:

R5:[,

-

>0

(X-3.6Xx+r.6)

En

Frac

Z

_lN

+--

|

.72v I\\\\§ I Lr_]_ _1.6_1 0123.6

=a_wL/12_Za-44,

-_

co[

x-t-x-3 3-X-1 -4 -(X+ZI * -4+X2 -4

>(X+2) -ú 2.8 2 2.8 o >0 >0

2-X x2 -8 >0 2-X tx-z,t?xx+zJil'>f) 2-X SR5

Sr-

:

Snr

12, 2.81

u SR2 u S¡, u

S¡a ur So,

84

Números Reales

e)

Ir+rlr*lx+ll-e<0. si lx*rl:t

t'+t-6<0

<> (t+3Xt_2)<0

(+ (l >-3

n t<2) v (t<-3 ¡ t>2) <+(lX*¡l >-3,' lx+ll 2)rl <-3 n <+ (R n lxnrl s2) v @ lx+ll

"

e lxrll<2 v a <, lx +11

Ix+rlra

ó -2<X+ 1<2 g= [_3,

lx-:l'+olx-¡l

t2+6t+g>16 €) 1'

9

+9>16.

Si

:)'>

t6

(t +

lx-:l:r

l,*:l>¿ lx-: | <-4 v lx-:l +3 >4 <- 7v Ix-:J ": lx-:l >r

llx-:l* : I >+

lx-:l>r

a

lx-:l>r

x-3 <-l v X-3 > x <2 v X >4 1

S

: l-*, 2l u [a, co[

: Recordar: á

lxlr-" : lxl.-u

lx+: l:z

{zx

x'?-sl:ro

zlxl-rol:3

-2x2

- 5x+: I :2X

+:

2x2+X-:l+ l3X2+7y¡21 =6 3X-ll<3 2

-

18.

lsx

3l

l--l+

<

lI-zl.¡

Lx''o - x

<8

z-lx+tl lxlI

zl: xllI -

I

27_

lxi-l?

r-lxl

¡

xl

r-lxl . tx+.¡r '

I

-a+ 28.

Lx'<+

Algebra Superior

x-ll-z+l:+oxl

26.

1

f

x-rl-l+-xl>:

25.

|

fl*'-ol .,

lr-zxl

2-xl+ll*xl.z

r

11*-,1-"

l)

4x+31 <

-

l+.'l ,>] '

t4.

3x-2l.lx-:l X+llr lzx-:l

22. 24.

rl

Ilzx+r¡.,

19.

l:x*zlrs lzx -

sx + 61

1tx-tl

20. 21. z)

lz-:x'lr:

-r

lx2 -5x++>o

lx+zl

-(l

lx'-

I

x-zl+ lz-sxl:z 3x-11-lx-zl:r r-+x'l

n:,

t7.

2

16.

=o

Problemas Propuestos

3.6.4

15.

,

29.

lx+tl

--r---r2-lx-31

> lxl

l,-r,l-lxl

-

3-lx+21

-2J

85

30. 31. 32. JJ.

34. 35. 36. 38.

lx+ll'-slx*ll-o:o +zl + l2x,+5x- zl =¡x+ l*]-rI tx'- 4l :4 -X

-x'+2lxl+r:o Ix,+:l: lzx*rl

40.

lz+xl , r>5

41. 42.

48. 49.

l:x*zlrzx I lzx * sl *21-xl I <s lx*:l> lx-rl lz-:x ,

43. 44. 45. 46. 47.

It*:xl:l*x

39.

I

50. 51.

,<5 I

52.

X+2

lxl-: -"

x'-+lxl+:=o lr-xl=l+x+rl

llz-xl-:lxll lr-:xl.x*l lzx*:l.r-x

lx*sl>lx*ll lr -xl'+ ll It-x'l.x*z-xl -6<0 lz*xl
I

'53.

lx*zl'-alx+zl+s
54. 55.

Ir¿-T t"''l

lxl'*zlxl lz+xl-z

!-<4

lx+s

observación: Ar resolver la inecuación

=4

I

* r r+

l-l

2

+:x + tllzx lx, + x - zi < t . n, ra región desde l_co, -21, se obtiene la inecuación x2 +2x+2<0.Yal sustituirlos valores como: G3)o (3) laproposición es siempre fálsa, por tanto 51 : a' Pero si fuese verdadera al remplazar los mismos valores.en la inecuación, entonces la solución seria la región.

86

Números Reales

CAPITULO

4.I

4

RELACIÓN

una relación de A en B,

es un subconjunto del producto cartesiano Ax B; que indica una correspondencia entre los elementos del conjunto A llamado dominio con los elementos del conjunto B llamado .".ooiao o rango; tal que, a cada elemento del dominio le corresponde uno o más elementos en el recorrido.

Ejemplo:

Sea:A:{ o, l, l6,25lyB:1 0,-1, l, -4,4,-5,5 l.Unarelación deAenBestádadapor: I (o,o), ( l,- I ), ( 1, I ), ee,-+¡, (1 6,4), (25,'-s¡, tis,s) | Notación

A--r+B

A--L-+B X----> + JX A--r+B : { (o,o),

A -i-*

( r-denotarelación )

-+0

0

(1,-1), (1,1), (16,-4), (16,4), (2s,_s), (25,s) I

->l +-l -r4

1

una relación se puede representar fácilmente mediante un diagrama establecer un apareamiento natural entre los elementos
l6

y

B

'> -4

-'5

25

-+_5

4.2 FUNCIÓN una función es una relación, con la restricción de que a cada elemento del.dominio le corresponde, uno y sólo un elemento del recorrido' El conjunto A se denomina conjunto de sarida de f o dominio ¿. ,á

El conjunto B se denominl cgnjunto de lregada de

f

o

iecorrido,

si (x'Y) es un elemento de f. se dice quá Y la imagen d; ". igualafdeX".

se nota

i

Rec(f).

)i;";6-se

escribe

r"i"'.omo Dom(f).

y:f(x), lo cual

se lee

..y

es

Notación.

f: A +B X -+Y

o

A---I-rn X-----+ f(X)

El recorrido o rango de Ia función se puede definir como, el conjunto constituido por todos los elementos de B que están asociados con los de A.

:{ y .

s/Y : f(x), X e A I La variable X recibe el nombre de variable independiente. La variabre Rec(f)

dependiente.

y

recibe el nombre de variable

En general una variable se ha definido como un símbolo que puede ser sustituido por cualquier elemento del conjunto universal. Ejemplos:

1.

SeanA:1 u,",i

a.

I y B:l r,:,S,2 I f de A en B esta dada por:

Una función

r :1

(a,l), (e,3), (i,7) |

.f A-->B Haciendo uso de la definición de una función escribimos:

: f(a) .-. 1 es la imagen de a por f : 3 f(e) .'. 3 es la imagen de e por f 7: f(i) ... 7 es la imagen de i por f Dom(f):l u,.,i I y Rec(f)={ l,:,7 i -.i 5l I

Álgebra Superior 87

b-

Un1

g de A en B esra dada por:

fun_ción 8: I (a.5), (e,3), (i,t) |

e5B por definición

5:g(a) A

1r\ J_g(e, l:g(i)

:

_-_c_+

B

g: A _+

z _-s 5 e _+ 3 l-+1

a e

Dom(g):A,Rec(g):s_{zl Sea

h el subconjunto de AxB A--+B

u\ g./

il.

dado

,7 \¡J \5 ,7

po.l h :

3: 5: I: 7:

h

h(a) h(a) h(e)

{ 1a,:¡, 1u,s;, (e,l), (i,7)

El recorrido o rango

:;::J::i*::. tt

I

|

er siguiente

.¡.*pL n"üiturno, ru, siguienres

X, constituido oorr los puntos l" gráfica. "án" ru¡"onjulto d"r .;. y, constituidos por

que, una recta horizontal"l trazadapor

Ir'

-+

5

a tiene asignados dos valores del no es frrr;;;.'"

El dominio es el subconjunto del eje recta vertical u"r"J"

II'

3

h(i)

Observamos que el elemento conjunto B lo cual dice que h

p"Ii

y

X

tales que, una

los puntos

corteia g.¿i*;.,.

y.?i"T?[**:'"]ffi!]",'":*; "l "",".-,,'"".l.ilpu.ur"ru

ar eje

y,

y,

tales

esta corra ra

Indique cuales de las siguientes expresiones son funciones.

a)

f:R+R

d)

X+3X2+l f:R-+R x

+

/p:$

f:R+R

c)

b)

e)

f:R-+R x -+ lx7 f:R-{ o l-+R

x+l*2 h)

c)

fiR+R

0

X-+3+X f:R-+R

X-

f:[0,4]-+R

I

vt'-'

X-+2

X -++ Solución:

a)

f(X):3X2 + I

Dom(f¡ = P

Rec(f):Il,co[ Es una firnción ya que cualquier paralela al eje Y, corta la gráficaen un sóio punto.

B

_) _>

b)

rñ) =

Dom(O

Rec1fl

lxt

:R :R* u{0}

Es una función.

88

Relaciones y Funciones

c)

f(X):

3+

x

d)

:R :R

Dom(f)

Rec(f)

0

f(x)

:

Dom(f):l-"o, - Jl Rec(f) :n- j O I

oI

:R.-l0l

tw)

Ji,*Í

Es una Relación.

r

Dom(Q=l-.o,-llrf]'2 2'

r^.s-bra Superior

f(x):+ Jk,_ r)

Es una función.

c)

]-*,+]

R Es una Relación.

x'

Rec(f)

:

Rec(f.¡

f(x): +.X+o

Dom(f):n-{

{G:X)

Dom(f):

Es una función.

e)

(x):

h)

,co

I

f(x):2

Dom(f) -- [ 0, 4 ]

:l2

Rec(f.¡ = B

nec(0

Es una relación.

Es una función.

I

89

3.

Cuales de los siguientes conjuntos representan una fünción. Escriba la notación de función-pa.u .udu caso y construya su gráfica.

a) f : I (x,y). nÍx:y,i. c) h= jG,Y) eF/x'-y2:01 e) ,:jG,De R'xy:ll c) ,:l(x,v).rúr [xl+ kr: rl i) p=1(X,v) eR2/y* lxl=ol

il

e:16,v¡ e nÍry:x2+xl

di í: j.f*,", e R2/X2 +y2 rl

Solución:

a)

r:1 (x,y) e R2 ix = y2 | X: Y2 <> Y2: X <+ Jv, = Jx <+y:t Jx

b)

f: [0, co[ -+ R

g:R+[-114,aI

x -+t Jx

X+X2+X

Es una Relación.

c)

s:l1x,v¡ e nÍry:x2+xl Y:X2+X13f(X):X2+X

Es una función

tr:{6,v¡eR2,D(2-y, :ol x2-Y2:0<>Y2:X2

o Jv'=Jt' c) lvl : lxl <.l y =tlxl h: R

+R

x -+tlx

I

Es una relación

d)

u:J(x,y) e R2/x2+yz<41 X' + Y'<

4 . Es Ia ecuación de la circunferencia con centro (0, 0) y r = 2

X-++ Es una relación

4-x2

e)

, :11x,v1 E R, /xy

: ri

v:R-i ol +R-l 0l

x+ 1 X

Es una función.

90


iv:JG,Y)€R2D(2-y':tl X2 - Y': i' e> -y2 = | _ X2 <+ y2 :X2- I <+

g)

f =Jtx.,vt e R2/ | x l+

lxl+ lyl=

y :t J;, -l

u:l-oo,-l]u[l,co[-+R

R2/

lxl+ lvl>2¡X2+y2

de la intersección de soluciones

lü,Y) .

R2

vl: li

r_

lxi'

D

Es una relación

La solución es el área rayada,que resulta

i)

I

c>y:t( r _lxl I

X++(r_lx

X-->+

x={6,9e

lvl=

z;l-1,1 I -+ [-1, I ]

Es una relación

h)

I <+

/ x2 + y2 <

4 ¡x2

p:{ü,v)en3/y+ lxl=oi v+ lxl =o <+ v:- lxl

p:R+]-

+ y2 > I

co,0l

x-+ - lxl

.

i

Es una función

La solución es el área rayada,que resulta de la intersección de soluciones .

+.

Deten{inar cuales de los siguientes conjuntos representan una función sí:

A:11,2,3,41 a)

b) c) d) e)

Álgebra Superior

r,

:

y

B=

jt,u,r,*i

{ ( 1 ,0, (2,u), (3,v), (a,w) f, = 1r r.r). (2.r). 11.1¡, 14.r)l r, - i tt,ul, (2,v), (4,wt I

qf,, -

|

l1t.vr. (2.t¡.1:,yu¡ 14.r,¡ 1(

l.l

). (2.r).

(3.v). t4.w) |

9l

Solución: a)

c)

I

;t

2

>u

J

4

Función

Función

4.3

Relación

Función

Relación

DOMINIO DE LA FUNCIÓN

Para determinar el dominio de la función es necesario recordar lo siguiente:

Expresiones que se encuentran en un denominador, no pueden tomar el valor de cero. 2o) Expresiones afectadas por una raizpar,deben ser no negativas. 1o)

Ejemplos:

l)

Hallar el dominio de

(X):

2)

Solución:

Dom(f): R. u {0}

x2-l>o

(x-lxx+t)>0

3) -ó1-1

bom(f.¡: I - *, -lI u [], 4)

Hallar el dominio de

l+X

- 3X + s

Dom(f): R

6

co

(X):2X2

(X): Jx

I

ry): J€x+r-.fú-li) 2X+3>0 La solución del sistema es el dominio de la función

1-2X>0

- l"--+ t'= +

Dom(f):l-1,11 22 01 92


,i)

+¿

(x) --!G;,+r¿x'-20

f

-X+t>O

|

S,

J-x+1

-ex'+tzx-20 >o

tl o* - t2x+20
<)

: Ay Su : I - *, 1[, Portanto: ): S¡ n S¡ :O

Dom( f

6)

f(X):

EJxl .lli X+1,

4_lxl

_-X+l

,

> 0 , Resolvemos esta inecuación aplicando la definición de valor absoluto.

: l-m, 0l 4+x

En R1

En

[0, co[

4-X _>0 x+1

x+1

-->u -o*4

a

-1

-1 Sr

R2:

-co-1

4 o

-6-5

1

0

: l-6 -al u l-1,01

Dom(f): l- co, -41 u l-1, 4l

7) 8)

f(x): x+l

x-1 Dom(fl:R- {l}

rrxl:/¡+a¡¡--f--2X_31 l¡2r

m

X2 + 4x - 5 >0 (x+5)(x_1)>0 x2

+2x-3

+0

(X+3Xx-1)+0 X + -3 ¡' X * I son valores que se deben excluir, por lo tanto Dom(f): I-*, -51 ull,

e)

rtxl: -L Jx'* t X2 + I >

10)

0.

Se verifica V

X

e

R, entonces: Dom(f)

Determinar el dominio y el recorrido

de: y =

co

I

:R -1

-

l+1 ,*Ñ

Solución:

-lxl-r *,_ -l _ -1 _ -l -rltl,r ,*.-! r+ lxl lxl+r+fi t* trr lxl+ t lxl+

Dom(f):R

t

Para determinar el recorrido se debe despejar v-

-lxl-r I

' - ¡x'!L

\lgebra Superior

I

-+

Y(2

el I X

I

lxlnr)--lxl-l 93

zvlxl+y :- lxl zvlxl*lxl =-i-v lxl tzv+ r)=-r -y lxl = -r-Y 2y +l

I

Luego el recorrido se determina al considerar que:

-1- Y

0

ñ>

(Pordefinición devalorabsoluto

lxl

> Ol. .'.

Se debe tomar en cuenta que hay dos regiones: para 1

X

-J

Y

-0.57

I

-0.6

(x<

X < 0,

y: -x1 y -¿x+t

0)

0

-0.66

Rec(f):

Y

I

[-,,-+[

parax>0, y_-

I

2

.,

-0.66

-0.6

-0.57

-X-l

2X+l (x>0)

-3-2-10 %

t

-1

il)

Determinar el Recorrido

2

de: Y =

l-x2

Para determinar el recorrido se debe resolver

Dominio

Y(l -x1:2 Y-YX2 -2:0 -YX2+Y_ 2:O YXz-Y +2:o YXz:Y -2

X

respecto

a Y,

para luego aplicar las mismas reglas del

En consecuencia:

Y*2

-->0 Y

. Y-?

*co02a

Y-2

Luego: Rec(f) = l-*, 0[ u [2, m[ : 0 .es una asíntota horizontal

Y

ElDom(f)=n-J-r,

Y

De donde

rl

X: -l y X: I

son

asíntotas verticales

12)

Determinar el Recorrido de:

Y=

X

X2

Y(X'?+

l):

X

YX2+Y X:0

Yx?-X+y:0

+l

En consecuencia

r) [r-4y2>o rI¡l v+ o

I) 94

I2

@

(1-2YXt +2Y)>0 Relaciones y Funciones

Luego Rec(f)

li)

:

[-i, i]-

t

o], y :

0 es una asíntota horizontal; el Dom(f)

:

R

-,2


l): X2 YX+Y-X2 :0 -x2 +Yx +Y: o xz-YX -y : o r--:y+{yr Y(X +

Y=^

X+l En consecuencia

-co-4

Y2+4Y >0 Y(Y+4)>0

0

m

+4y

2

Luego Rec(f)

tlr

: ]-*, -41 u [0, co[, Dom(f) : R- {-1};

Determinarel Recorrido

X

: -l

es una

asíntotavertical

0",, =fr

r'.,&t+r : r v:1xr + 1;:

En consecuencia

r) f t-Y'?>o il)1 Y+ o

1

Y:X2+Y2=1 \':Xr = 1-Y2 \ - -_I -Yl Y-

I) l-Y2>0 1

6

(1-YXr +Y)>0

r.

t Jl-Y' Y

95

Luego Rec(f) = t-1,

l5)

ll - {0},


Y(x- l):X+

!.x-Y:X+

y:

0 es asíntota horizontal; Dom(fl

=

¡

X+l

I ==--

x-l

I 1

YX-Y-X_ t:0 YX*X:Y+ I X(Y-l):y+1 x

=I11 y-l

En consecuencia Rec(l)

Dom(fl:

4.4 4.4.1

R-{t}

- R - { l}

FUNCIÓN BIYECTIVA

Definición.- Sea

f

una función de

siguientes: Si fes inyectiva

4.1.2

a) b)

A

en B,

f

se dice biyectiva si cumple con las dos propiedades

Si fes sotreyectiva

Función Inyectiva._ Sea f una función

erementos:

i,, x,,

A;

,

(X,): r6,j,l;;,f"il!1i:T," f

También podemos decir que una función es inyectiva,

diferentes de B. Es decir: V X¡, Xz e A; X,

A-j-B

*ir]

tñ[::"j:,i;,[ili"",

si a elementos diferentes

qr,l + (Xr)

a --tt

de

A

sí para todo par de

corresponden imágenes

B

Inyectiva

No es Inyectiva Gráficamente se puede distinguir cuando una función es inyectiva, si se trazan paralelas al eje de las cortar la gráfica en un sólo punto. X, estas deben 96


F.iemplos:

f es Inyectiva

(x):

h

I - 3x

c(X):

Por definición:

(x,) :

X2

no es inyectiva

-I

Por definición

f(xr -+ X1 : X2 1-3Xr: l-3X2 -3Xr =-3X2 -+ Xr:Xz

g(Xr) : g(Xz) -+ Xr = Xz (x, )' -l : (xz)' -1 (*,)' : (x,)2 = l.,l

l,,l

(x,:-xr)v(x¡ :

x2)

no hay solución única

f l.{.3

es

Inyectiva

g

no es inyectiva

Sobreyectiva._ Una función es sobreyectiva o sobre si, "todo

lu:lci.ón X de A, tal que

(X): y..

y

e

B es la imagen de al ¡nenos un

A-)B

1-

:u

3-

>e

5-

>i

También se dice que f es sobreyectiva, si no existe en B elementos que no sean imágenes de algún elemento de A.

A

Todos los elementos de B son imágenes de A fes sobrey'ectiva

f(A)=B

No todos los elementos de B son imágenes de A g no es sobreyectiva

f(A) E

e

i:s¡L'ra Superior 97

Otra manera de indicar una función sobreyectiva es: al conjunto de

llegada).

f : A -> B cuando Rec(|

=

g

:

f(A). (Recorrido de f

es igual

A

Rec.(f): B

A

g

------>

f es sobreyectiva ht B A

B

no es sobreyectiva

puestoque

h

aeBno

es imagen de

elemento de

es sobreyectiva

i

no es sobreyectiva

yaquebyceBno

ningún

son imágenes de

A

A

Gráficamente se puede distinguir si una función es sobreyectiva, si altrazar paralelas al eje X; estas deben cortar Ia grafica al menos en un punto.

No es sobreyectiva

Es sobreyectiva

No es sobreyectiva

Ejemplos: a)

f: R--+ R

X -+Y-2X+3 Verificamos que

cómof(X)

:Y :

(X):

Y

2X+3 -+ X

-

Y-3 .

2

f(x)-r(Y:3;-21Y-l¡*3 22 (X): Y por tanto f es sobreyectiva. b)

g:R-+R-u{0}

X+Y:X2 Ya que (X): Y: X2 -+ X: + J? (x):r(r J7t= rG): r(-Jv) v r(x):rtJIl > r(x): (- J?f = y v rrxr= (Jl|: v /

portanto g 98

_\i

es sobreyectiva.


Gráficamente una función es biyectiv4 cuando cualquier paralela al eje de las x esta corta la grafica en un sólo punto. En los si*suientes diagramas ilustramos funciones biyectivas

AB

a

-'l

b

>9

c

- ll Biyectiva

FHI Liltil

Biyectiva

No es biyectiva

Ejemplos:

i.

Sea

i

R*

u {0} +

Lo mris práctico

10, 1l una función definida

es

por

f(X): -'i x'+l

probar que es biyectiva -

graficar la función

Si trazamos una paralela al eje de las X, esta corta la gráfica en un sólo punto.

La función es biyectiva. f: R -+

Sea

X -+

R

probar si es biyectiva

(x):

X2 -

4x

Graficamos Ia función.

f no es inyectiva: por tanto la función no es biyectiva. Pero podemos convertirla en biyectiva si se restringe el dominio.

Consideramos:

f,:l--,21-+[-4, oo I X-+x2-4x

y

f2:12,

De esta manera hemos obtenido dos funciones biyectivas. 0

a [-+ [-4, co I X +x2-4x 0

-0,5 -1

-1

-1,

-1,5 -2

-2,5 -3 a

-3,5

-4

-4 -4,5

fi(X):*-+x .{lgebra Superior

f,

(x):

x2 - 4x

99

Escriba las funciones biyectivas que encuentre en la siguiente relación.

h:[-2,2] -+L-2,21

x-, JF-',)

En esta relación encontramos 4 funciones biyectivas. h1: [0, 2] -+ 10,21 h2: l-2,01-+ 10,2)

x

h3:

-+

+rfi-¡J

[-2, 0] --; [-2,01

x-, -JF:F)

X -++

JF:y,)

ha:[0,2) -+ [-2,0]

x+

-JF-r)

Cualquier paralela al eje X corta la gráfica en un sólo punto. 4.

Analice las funciones biyectivas que encuentre en:

g:[-2,2] --» t-:. -1

I

5

X --+ f(X)=

-jx'tl

r00 Relaciones y Funciones

tt

F rt rt b b

Et:

l-2,01 -+

t-:, -

X -+ f(X)

Lt f' at

J

I

s:10,2)

= -:x'fl

- t-r, -ll 1

^--)- x2+1

0

1 q q 4 4

-1

-2

á

4 4 4

4.s.

ruNcróN

4.5.1

Definición.- Sea f : A

¡

Teorema.-

D E

I I ! -

4

B unafunción biyectiv4 es decirque

Entonces

g

define una función inversa de

observación'- La notación directa

t '*

i

f.

Se

. designa una función cuyo conjunto de salida es el conjunto de llegada de la

(f).

f:A-+B x + Y:

f-r:B+A Y+ f -r(Y): X

(X)

Si la correspondencia inversa a la dada también es función, entonces se cumple que:

r'[flx)]--t[fr(x)]-x.

En un mismo sistema de coordenadas cartesianas rectangulares las curvas Y respecto a la bisectriz que pasa por el primero y tercer cuadrante y: X.

Aclaración de:

: (X) y y :

Y=f(X)

r'If(x)]:f tr1(x)l:x Ejemplo: Si y

:

3x + 4 directa

inversa Entonces:

f

-r

f -r1X) son simétricas

Aclaración de:

f''

[(x)]-f tf 1(x)l:x

Ejemplo:

y y: *;4

Y=f-1 (x> Si y:

logu

x

Entonces: -' f.

(a^)

/ l::l . +)

13x+4): rl

a* directa y inversa

f ( log"

x) -

ulogux:"

\3)

I _x-a\t+4: x [3)

1 ; ,

Para determinar la inversa de una función es necesario de la directa intercambiando variables para nuevamente despejar y.

(f) despejar

X

y resolver

respecto de

y,

o

Ejemplos:

I.

Y:2X-3 DespejamosX,2X:Y+3 Y+3

¡:

;

1 1 a

B,

nota f -r , es decir que g: f -r.

3t

1 4 1

v y eB, f X eA, tal que

si f esunabiyeccióndeAenBy g lafuncióndeB enA definidapor:

c: {(Y, x),r.:(x),xeA}.

E, ¡}

e a D b

-;

Y: f(X); locualpermitedefinirunanuevafunción g de B-+A,delasiguieniemanera: Vye c(Y):X e Y=(x).

a It D ,r ¡t

TNvERSA

Álgebra Superior

2

l0l

Gráfica

¡-rg;:I11

Y=2X-3

Si intercambiamos variables. 2Y * para nuevamente despejary

X

:

3

x+3

I --

2

f(x): x u3 2

Portantoy=2X-3 directa , En general si,

f-l(y)= xll

Y : aX + b directa. La

nuevamenteY, entonces

Y: X-b

inversa

2

es

a

inversa se determina al considerar:

X

:

aY + b.

Despejamos

lainversa

+ [0,4] X + Y:X2

f: [0, 2]

Gráfica

Determinamos la inversa de:

Y: X2 X:Y2

Jv2:Jx lvl= Jr Y=rJx En consecuencia

f-l:

[0,

a] -+ [0, 2] Y -+

J.

r-t(y) = Jx

f: R-+R

X -+Y :X3

-2

Determinamos la inversa de:

Y :X3 -2 X :Y3-2 Y3:X+2 Y:

vi;t

Por

tanto: f -l: R -+ R

Y+f-'(Y):t8.2 f(x):

4.

f-'(x):'"'Ei

x3 - 2

X

1

Y

l0

0 -J

a

I

2

X

-10

6

Y

l

Halla¡ las funciones inversas de

-3 1

n

I

6

0

I

2

f: R -+ R

X-+y:x'-4x+3

Graficamos (X) , para lo cual es necesario los siguientes pasos: a) Determinar los interceptos con el eje X (I.) b) Determinar los interceptos con el eje y (I,) c) Determinar las coordenadas del vértice

ta2


Solución: Ix-- Interceptos

a)

X, y:

X'-4x+3:o

0,

(x-3xx-l):0

X-3:0 v X-l=0 X:3 v X:l b)

ly.-InterceptosY X:0,

c)

,t :( *'É#g-')

y:3

tco-a"nadas del vérrice)

( c -ts+tz\ =l-;'

:

(2, -1)

'

1

Cómo esta función no es biyectiva debemos restringir el dominio para obtener dos funciones que separadamente cumplan las condiciones de función inversi. Así tenemos: fi: I - *,21-+ [-1, co I f2:f2,

y

* [+[-t, *

[

X -+ Y :X2-4X+3 X + Y: X2-4x+3 Puesto que: fr V ü son biyectivas, en consecuencia tienen rnversa.

Determinamos las inversas Si Y: X2 - 4X + 3 directa, entonces la inversa es: X:Y'z - 4Y + 3; para poder despeja. y-"o-pt"turno. cuadrado.

"l

X:Y2-2.(4t2)y+4+3-4 X = (Y2 - 2.14t2)y + 4) -l

x=(Y

-2)2 -1

X+1:U-42 (Y-2)2:x+l

=Jkl,

lv-zl Y-2

=rrt[;r)

Y fr':

[-1,

=

2tJET1)

.o[ + ]- *,2)

Yr+fr-'(y):2-

entonces lás inversas son:

ü-': [-1, o

rtfi;l)

Para graficar necesitamos algunos pares ordenados.

fi':2- {il, X Y

I z

[ -+ [2, co I

Yr+fr'(y):z+ rtfi+[ fz'':z+

0 0.6

Gnífica

JEl,

2

.,

4

x

I

0

I

J

0

.0.23

2

0.3

4

Y

2

J

3-4

5-t

4

4.2

Algebra Superior 103

4.6

FUNCIÓN CONSTANTE

La función

X-l.)f o f fi):

K

se llama función constante. Donde

de R se aplica sobre un mismo número Se podría definir de otra manera

f;A+R X-+f(x):K 1)otz/e-4 c4 l1¿-,?

t ; ;

En la notacíón se ve que Dom(Q

Ejemplos:

1)

:

A ,

K

es una constante

arbitraria, todo elemento X

K.

Rec(f)

:

{K}.

2)

f:l-4,4\-+2 x -+ f(x):2

SeaA=[-1,5] y f(x):-2,V Xe[-1,5]

t ;

e q a e a a ,

t

3)

f: [0,3'l -+ 0 X -+ f(x):0

q

t

? e t I e

t

I a

t

4.7 a)

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Una función real f, es creciente en un subconjunto A de R, si para todo X¡, X2 e A, Xt < X2 implica que

(X,) < f(Xr). También se define una función creciente a través de sus incrementos, cómo se ilustra en la figura.

M1 es un punto frjo, M2 es un punto móvil, sus coordenadas son M1 (Xr, Yr), Mz (Xz, y2) respectivamente.

, ) , a, ; ;

- X2 - X¡ incremento Y1 incremento Y

AX

Y=f(X)

AY:

Y2 -

X

La función es creciente porque sus incrementos tienen signos iguales, entonces la

tgü: AY

e

AX

q

tgo>0,

sio'

4' 1'

a ;

a n

A.lgebra Superior

105

b)

Una función es decreciente, si para todo X,, )iu e A, Xr < incrementos tienen signos opuestos.

AY

0,

si

que f(X1) >

(Xr) o cuando sus

Y=f(X)

"^x

tgc¿:tg cr <

Xz implica

a> nl2

Ejemplos: 1)

Sean

f

(X):

-3X +

1,

cü):3x

g

Decreciente

-

1,

Creciente

h(x):3

h

Creciente

NOTA.- La función constante es creciente

4.8 FUNCIONES PARES E IMPARES una función cuya gnífica es simétrica con respecto al origen de coordenadas (-x) = -(x)

se denomina función

impar,

es decir

€(-X)=-

Ejemplo:

"

106

(x): x'

f(-x): cxf : -x,


Una función cuya gráfica es simétrica con respecto al eje vertical se denomina función par. Es decir

fCX): (X)

f(-X)=f(X)

Ejemplo:

(x):x'

(-x): cxF: x', Nota.- la función constante es par

4.9

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Definición.- La función de R en R definida por (x): lX I se denomina función valor absoluto. Dom(f) :RyRec(f -R*u {0}, yaque Ix I > o Es par

f(-X)

:

Gráfica

l-x I : lx

x

I

s¡xro

{ix)-lxl-iI 0 siX:0 L

-x .ix.o

o

(X):lxl:lI

X,

siparaX>0

L-X. s¡paraX<0

Ejemplos: Graficar las siguientes funciones:

a)

fix)- | ? x* ll -)

b)

c) Álgebra Superior

f(x):-¡xu , ]2,¡ +z

f(x):2lx+rl- lx+:l + lz-xl t07

(x):.1,^-xl: lz-xl(x): Ix'+xl -z

d) e)

l:-xl- l+-xl

Solución:

2X+1, si 2X+1>0

Il¡ lX+1,

33

a)

f(x):l?x+11

0,

si

t-

zX+1:0

t, l-zx-l,si

3

{

b)

(x):- 1x+ r(x):-lx

)l

-2X- l,si 33

X+l<0

[.t

X>-3; :0, X<-3 ,

+z

,-r-l ¿t

:

-(X+

2

*;

)+2

')

X+: -x+

+2

X+: -0 2 X+: <0 2

1 2

I

x+ 1 >g 2

2

.

- l"

i

x>-:

.*''

2

X:_:

2

l.. i.,

x<-'

2

x>--

2

x:- 23

2

x+7 2

t

c)

2

si

x.-32

- lx+:l + lz-xl Ixl:rlx+rl Para graficar este tipo de funciones eliminamos

-ó -3

los valores absolutos a través de una tabla.

-1

Resolvemos la función en cada región.

Rr : l- *, -31 (X) :-2(X+ l)+X+ 3+2-X :-2X-2+X+3+2-X : -2X+ 3 108

R2

f(x)

: l-3, -11 :-2(X+l)-X-3+2-X = -2X-2-X-3 +2-X :-4X-3 Relaciones y Funciones

: l-r,2) :2(X+l)-x-3+2_X :2X+2-X-3+Z*X :1

R,

(x)

& f(x)

=]2,-[

:2(X+ t)-x- 3-2+x :2X+2-X-3 -2+X =2X-3

Gráfica

::I

-s -rlo d)

I

a

r -xl - lz-xl - l: -xl l+-xl l1r:-l Eliminamos los valores absolutos por

medio de la tabla.

-6

Resolvemos la función en cada región.

Rr :]- -,1] (X) :-l +X -2+X-3+X -4+X :4X

_ l0

:lt,2l & (X) :l-X-2+X-3+X_4+X :2X_8

:12,3)

& (x)

l234co

:l-x+2-X-3+X_4+X :.4

& -13,41 f(x) =t-x+2_X+3_X : -2X+2

_4+X

R5 :la,aÍ (x) :l-x+2-x+3_X+4_X :-4X+

t0

Gráfica

e)

(x): lX'+xl -z Para

graficar f vamos

a

aplicar la definición de furrción valor absoluto

f X2'X-2. X2+X>0

(x) =l

L-x'-x -2, x2+x

Hay que resolver la inecuación X2 + X > 0

x2+x>0

: : (-1) : f(-3) f(-2)

-ó-1

O o

x(x+l)>o

-ll y [0. co[ :l-x'+x-z

Desde

(x)

<>

co,

(4), + G3) -2 = 4 (-4, +(2)-2:0 (-l)'?+ (-l) -2: -2

-{lgebra Superior 109

(0) :

-2

Gráfica

(l) :1+l-2:0 (2) : 4+2-2:4 En el intervalo l-1, 0[,

(x) : -x2 -x-2 (-1): -2

f(-1/2): -(U4) + (U2) - 2: -(7/4):

f(0) : -2

4.9.1

_1,7s

Construcción de Gráficas de las Funciones que contienen valor Absoluto

Existen 3 casos:

(lxl)

1)Y 2") Y

3) lvl: lml (x) PrimerCaso.-

Y: flxl

y:

Para construir la gráfica de es suficiente analizar la función f(X), las partes de la curva que se encuentran a la derecha del eje vertical, es decir para X > 0 permanecen inalterables, mientras que, para X < 0 se trasladan al lado contrario io..a siméirica con relación al ejé "n vertical, por cuanto y = fl X I es par.

Y=f(lxl)

Y=f(X) Ejemplos: Graficar las siguientes funciones: Y

Paragraficar Y

:X2- : lXl

Interceptos

Ix,

Y:0

x2-3x+2 =o (x-2)(x-l)=0 X:2 v X=l 110

:

Jt¡,":á,Y

:l xl +r,y : y2 -t1x1+z

+ Z , es suficiente que analicemos

Iv,X=o

Y:2

.

Y:X2 -3x+2.

b -h2 " + 4ac c.v.:(__. 2a 4a ). 3 -9+8 : (_.-.-.) 24 : iJ.5, - 0.25j .


Y:X2-:lxl+z

segundo

caso'-

Para construir la gráfica de

Y

: l(X) | , es suficiente

analizar

y: (x)

sin ninguna restricción.

Las partes de la curva donde_y > 0 permanecen inarterables;

p..r9 l.ar partes de la gráfica donde

y< 0 se invierten slmetncamente respecto al eje de las X. Es decir toda la gráfica se encuentra sobre el eje de las X

Y: l(x)l

Ejemplos: Graficar:

Y:lx3-11, v:lx-rl,

y:lx,_6x+sl

-

a, ,)

a, a,

2 1' , 1' ,

a a e a

Algebra Superior

lll

:

Caso.-

Para construir la grírfica de lV | (X), es suficiente analizarY: que f(X) > 0 se invierten simétricamente respecto al eje de las donde (X) < 0 se eliminan. Se observa que lV I «Xl tiene doble signo es decir Y = * (X) es una relación

Tercer

(X). Las partes de la curva en la X , pero las partes de la gráfica

:

lvl:«xt Ejemplos:

lvl : x+4,

Graficar:

I

Yl

=

lvl:

-!-, x'+ l

I

lvl:xr+t.

x

lYl:x2+2,

lYl:x2-5x+4

lv l- ' l¡l-,,

lYl=x2-sx*r

Si en una tunción se tiene I v l: Y

:(

| X I ), a este resultado

rertercaso Ejemplos:

a) lvl: b) c) d)

112

I

X2

lvl : l«lx ll

|

( lx ll I .

a graficar en caden4 es decir

Se procede

se le aplica el segundo caso

y

:

I

«

lxl)

primero

L v u este resultado se le aptica

et

I

-slxl+ol

- !rX] y= lr--=1lx--l

lvl::(xlx(+ *lxl-ol Y zl l:-xl X2


:olución:

ar lvl: lx'-slxl+al Graficamos primero

lx, Y

:0

Y:

(interceptos x)

x2-5x+6 :o (x - 3) (x -2)=

X2 - s

lx I + 6,

pwalo cual

es

Iy, X:O(interceptos

necesario analizary: X2 - 5x + 6 coordenadas del vértice

y)

Y:6

0

X:3 v X:2

c.r.:{-!,-* J.1N ¡ : (2.s, - 0.2s )

Y:x2-slxl+a A este resultado le aplicamos el segundo caso

Y: lx'-slxl+ol Finalmente a este resultado le aplicamos el tercer caso.

lvl- lx'-slxl+ol {lgebra Superior

l13

b)

y:

l: - lxll l=__1,_ll

llxl-rl En este ejemplo hay dos casos, se resuelve en cadena. Eliminamos los valores que reducen a cero al denominador.

Y=

3-lxl --l--l lxl-r

lxl-r*o

<+

sr

<+ <+

lxl:r

lxl*t

A

X:-l v X:1 lxl+r X+-l n X+1 Las rectas verticales X : -l y X: 1, se llaman

este resultado le aplicamos el segundo caso.

asíntotas verticales.

Para obtener las resolvemos para

Y

: l: ' j x-1

asíntotas horizontales

X

(En base al primer caso)

Y(x-1) xY-Y

:3-X :3-X

XY+X x(Y+ 1)

=3 +Y

XY-Y-3+X:0

:3 +Y

x:-- 3+Y Y+l

La recta horizontal Y

c)

:

-

I

es una asíntota

horizontal.

lvl: lx'+lxl-ol

Y:X2+

lxl-o

Graficamos primero:

Y:X2+

lxl-o

-+

Y:0 x2+x-6:o (x+3)(x-2):0 X: -3 o X:2 Ix,

Y:x2+X*

Y: lx'+ lxl-o l14

6

:0 Y: -6

IY, X

CV.

:4. :

I

2a

-b2 +4ac 4a

(- 0.5; - 6.2s)

lvl : lx'" lxl -o

I


ri\ I ,]

f= V\ d)

\/

Y:(x*z) l:-xl Por definición

Y:(x+2)

lr*

:{

I

(x+2x3-X)

3-X>0

3-X:0

0

-(x+2x3-x)

3-X<0

-x2+x+6

x<3

x:3

0

{ x'- x -6

4.10

FUNCIóN srcNo

x>3

x

Esta función esta definida y notada por:

Y: Siglt(x)

{.11 Si

A

{i

si si

X<0

X:0

siX>0

FUNCIÓN CARACTERÍSNCI O INDICATRIZ función f de R en R definida por:

es rm subcoqjunto no vacío de R, la

(x)-{Ir,sixea Lo..i x e e Se llama función característica

ó

[.t,six.a f(x):l Lo..ixeR-A

de A

Ejemplos:

r)

Sea

A: [-2, 2] f-t, sixee

f(x) =-{

[0.

{leebra Superior

'ix*n 115

2)

rtxt:

fx'

,sl

io

| -x'- +x

3)

(x):

-:

l*'

,si ,si

si

i

l-lxl

*o'

X e [0,oo] X e [-3,0] X e ]-co, -3]

X e [-2,2]

siX e [-2,2f

-6

4)

(-:-, I X'+l

(x): i I-lxl *:, (.

s)

-lx

I

*:

0

(x): -lxl*+ -3 -lxl*o

116

siX e [-3,3] siX e l-co, -3[u]3,co[

siX e [-3,3] X e l-4, -31 u [3, a[ siX e l-7, -alw[a,7[ siX e l-9, -7)v17,9[ si X e l-co, -91 u [9, si

"o[


J.I] FT}CION PARTE ENTERA DE X Si\ = Rel enteron,talque n<X
es

biyectiva. Para graficar cualquier función parte entera de X asignamos valores

¡¿nción para obtener los valores de las abscisas.

txl:

0 <3 0<X<

1

a

la

Y

txl:lé1<x<2 ixl:2 <> 2<X< 3 txl:3 €) 3<X< 4

H

txl:-1 <+-l<X< 0 lx):-2c)-2<x<-1

H H

txl:-3 <>-3<x<-2

1234X -1

H

-t

H Ejemplos: Graficar las siguientes funciones:

a) d)

(x):

c)

1(x): lx

tx - 4l

b)

f(x): x [x] I

e)

(x):

x

+

[x]

c)

f(x): txl - x

0

(,.)=ffi

lxl

f(x):ii

xl

Solución:

a)

b)

(x): tx - 4l [x-4]:0 <+ 0<x-4
<+

[x-a]:2 [x - 4]:3

<+

J

3

7<X
a

<+

[x-4]=s

<>

[-a]=-1

<+ -1 <X-4<0

fx-41:-2

e

[x-4]:-3

<>

[x - 4]: -4

<>

tl-..-O

H tH H

1

9<X<10

f(x): x + [xl

H

4

3<X-4<4

[x-4]:4

[X]:0 [X]: I lxl:2 [X]:3 [x]- 4

Álgebra Superior

<>

4<X<5 1<X- 4 <2 5 <X<6 2<X- 4 <3 6<X<7

3<X<4 -2<X-4<-1 2<X<3 -3<X-4<-2 1 <X<2 -4<X-4<-3

t234567A910 ._o H H

0<x

<3 0<X<1, <> l<X<2, c> 2<X<3, <+ 3<X<4, <> 4<X<5,

(x):x, (l,l) (x):x+1, (2,3) (x): x + 2, (3, 5) f(x):x+3, (4,7) (x): x + 4, (5, e) 117

txl:-l <+-l<X<0, (x):x- l, txl:-2 o-2<X<-1, f(x):x - 2,

( 0, -1)

-3)

cl,

[X]: -3 €) -3 < X<-2, f(x)=x-3, txl:-4 <+-4<x<-3, f(x): x - 4,

(-2, -5) (-3, -7)

Los valores que hemos asignado a cada función es el extremo derecho de su respectivo intervalo.

./

6 5

J

4

3 ¿

J

d

v

7

I

12345

a'

c)

/

f(x): [x] -x

v

I

:0 €) 0 < x < 1, f(x): -X lxl:l c>l<X<2, f(X):l-X lxl:2 c>2<X<3, (X):2-3 txl:3 <)3<x<4, f(X):3-x lxl:4 <>4<X<5, f(X):4-X lxl:-l €)-l <X<0, (X)--l -X txl

lxl:: -2 c) -2< X < -1, (X): lxl -3 [x]: -4

-2 -

X

-2, f(x) : -3 - x <> -4 < X < -3, (X): -4 - X <>-3

<x<

NOTA.- En esta tabla hemos asignado a X el extremo derecho de su respéctivo intervalo.

-6

d)

-5

-4 -3

-?

-1

f(x):xlxl

[X]:0 <)0<X<1, txl.: I <:) I <X <2, IXI:2 c)2<X<3, [x]:3 <>3<X<4, [X]:4 <+4<X<5, El--1 <>-1<X<0, [x]: -2 <> -2< x < -1, lxl:-3 <>-3<x<-2, [x]:-4 (]-4<x<-3, 118

12345

(x): 0

I

0

f(x): x

2

2

(x):2x (x):3x

(X):4X

(x): -x (x):-2x (x): -3x (x): -4x

3

6

4

12

5

20

0

0

-1

2

a

6

-3

12


e)

f(x)

lxl

=

Ig"

.X I lxl' t-

siX>0

-., :{

ry):]

lx

Im'

-- x v-

"-Itl'^'

[X]:0

<+ 0 <

l,

siX<0

0

x.< l,

X V,: '0

No esta definido

txl:l €)l< x<2, Yr: X

2

2

lxl=2 a2< x<3,

Y,: I 2

-)

IXI:3

Y,: X

, 4 ;J

<+ 3 <

x<4,

4

J

txl:4 €4< x<5,

-

J

I¡-

x

5

-4

4

Yr=."".X<0

Y2

txl.

txl:-l <)-l<X<0, yz:X lxl:-2 <>-2<X<-1, Yr: '2 I txl:-3 <>-3<X.-2, Yr:L -3

0

-1

_1 2

_;2 J

il

:

0

1

txl:-4 c)-4<X<-3, yr: -4 I txl:-5 c>-5<X.-4, yr: {

f(x)

t

J

-3

-¡

-4

_! 5

E] lxl

llxl (x)

: JX,

I t*l , siX<0 [-

\leebra Superior

si X >0

, Xe, -1

{ il9

r

Y,=

Irl,

lxl:0

si X >

o

<+0<X<1, Yr=

[X]:1 <]1<X<2,

0

0

Y,: f

1

X

,

[X]:2 e2<X<3, Y,: ,x 2

?

Y,: ,x

txl:3

<+3<X<4,

[X]:4

<+4<X<5, Y,:

[x]:5

J J

3

1 4

4

Í 5 <+5<X<6, Yr= -

=)

¡

x

Y,:4,

6

siX

[X]:-l <+-l<X<0, Yz: xI lxl=-2 e-2<X<-1, Yr= tXI: -3

€> -3 <

X<-2, Yr:

[X]:-4 <]-4<X<-3, Y2: [X]:-5 <]-5<X<-4, Yr:

c)

(x):

2

X J

J

-a

x

_!

4

X

J

5

-:4

X

lx lrxt

xtxl,

(x)

x

>0

-XH], X 0 txl = 0 <+0<X<1, Yr:0 lxl = I 4<X<5, Y¡:4X

{

11

I

0

2

2 6

J

4

12

5

20

0

Yz 0

-l

..>

Yr:-XlXl, X<0

[X]:-1 <;-l<X<0, Yz: X lxl:-2 <)-2<X<-1, Y2:2X txl: -3
a

-3 -4

/

4

.f

a

-6 -12 -20


obsen'ación.- Las tablas que coresponden a las funciones: d, e, cada intervalo.

.I.13 Sean

fyg

pertenecen al extremo derecho de

OPERACIONES CON F'UNCIONES

f ¡' g funciones

de

reales

A en R.

1.13.1 suma de Funciones.- se llama tf- sxx) : f(x) + g(X). V x e A. Eldominiode

f+g o de f-g,

suma

de

f

con g

a la

función de A en R definida por:

eselconjuntodetodosloselementosXquesoncomunesalosdominiosdefyg;

es decir:

g):

Dom(f+

n Dom(g)

Dom(f)

o

Dom(f - g): Dom(f) n Dom(g).

Ejemplos:

1)

f:R-{-l}-+R

x-+ La suma de

y

g:R-{2}+R

I

I x-+ x-2

X+l

f

con g

esta definida por:

(f+g)(x):(x) + e(X) ll X+l X-2 X-2+X +l -tr;,)EA

2X-l

r)

f:R -+

R

g: R-+ R

v

X-+ -X (f +

gxx): (x)

(f +

g)(x): )

+

x-

g(x) :-x+

[-x*x,

L

siX20

-* *,-*, , siX<0 siX>0

Io'

siX<0

L-r., -rl

f:

[-3,3] -+

X

-->

Ry

g:

tJx f(x)

+

g(x)

f(-3) + g(-3) f(-2) + g(-2) f(-1) + g(-l) f(-1Q + 91-1lr;

i,:e'lra Superior

lxl lxl

+ R X+-X2

[-3,3]

:l/x

-x'

- V-: -C:l' - 'Ji -tzt'

- 3/-¡ -1-t)':

: -r0,4 -s,2

-

-2

: rE-f-1)' --, \ z \ z) 121

4)

(f+g)(O)

0

(f+eXlá)

iE (r',

(f+eXl)

vl - (lr

:0

(f+gXz)

'Ji -e),

-

a1

(f+eX3)

'Ji -e)'

=

-7,s

=

0,5

Y: sign (¡ + ZD + lX I Aplicando Ia definición de sign X se tiene: Graficar:

Y:signt:+zx)+lxl

¡¡¡' 3+2X <0 :1l-r* o*lxl, 3+2¡:9 Lr*¡1¡

l,* lxl

:1

0+

3+2X >0 ,

x<-:

2

lxl , X: -:2

Il+ lxl , x>-'2 I

4.13.2 Producto de F unciones.- Se llama producto de f con g, a la función (f .s)(X):(X).g(x)paracadaX e A. En el producto se multiplican los valores de las funciones. Ejemplos:

1)

f: [-2,2] -+

R

y

x-+X2El producto (f.gXx) : (x) .efi) : (x'- lxx + 1) 1

de

A

en R def¡rida por:

Dom(f.g): Dom(f) n Dom(g). g: [-2, 2] -+ R

X-+X+

I

: X3+x2-x-l

x

Y

1

-J 0

-0.5

-0.375

0

I

0.5

1.125

'-r

t2

x

-20

-32

122

9

-4-


lr

Sean las funciones:

R y X+-X

f: [-a, a] -+

g:

l-4,4)-+ R

X

-->

(f.eXX)

(f.e)C+) (r.e)C3) (r.e)C2)

3)

*

64 27 8

(r-e)Cl) (f.eXo)

0

(f.eXl)

-l

(f.eX2) (f.eX3)

-)1

(r.gX4)

-64

Sea

I

-8

f(x): lx I y

e(X): (x + l) (X) .g(X)

El producto es: (f.g)(X) =

(f.eXx): lX | (X + 1)

(r.rXD:{

x(x+

l), x>0

-x(x+ l), x<0

4)

Sean las funciones:

f: R-+R X -+ l*X El producto

g:R+R

es: (f.g) X

:

X-+ (r

(f.e)

G):

(1

-X)

sign

sign X

f(X) . g(X)

X

(l

-x) -x)

G1), X < 0 (0) , x:0

{ (l-x)(1), x>0 x-1,x<0

0 ,x:0

{ l-x, x<0 4.13.3 División de Funciones.- Sean f, g Sedenne ratunción

i *. (i),")=H,

funciones reales definidas sobre A.

vx e A, g(X)+ 0.

Ejemplos:

l)

Seanf:R-+R,

X+X2

Elcociente

g:R--> R

X-+-X3

ll)r*l=Úl -' ( e.J*

c(x)

x2

l

-x'

x

*-[:)=R-{o}

Algebra Superior

t23

2)

Seaf:R-+R

X-+-4X

pt

g:R+R X-+>3++

,*l: t(*) = - 4x \e/,. c(x) 4+X2

cocientell)

,o-ll): * (e '/

3)

Seaf:R-+R, g:R-+R

X-+2

Ercocienre

,"*ftj l.l

\ b./

4.14

:

X-+4-X2

lgl l!.],*,(.eJ' ' e(x)= -]4-x2 R- {-2,2}

nuNcróN coMpuESTA

Sean los conjuntos

A, B, C, y las funciones:

f: A-+B g:B-+C

Silogismo, razonamiento deductivo que consta de tres proposiciones la última de las cuales se deduce de las otras dos

h:A+C La función h definida por

h(X): g[(x)],

se denomina

Y=

función compuesta de g con f , h:

f(X)

go

f

o(Y)=o LJ[r<x>l

Enel diagramaobservamos que lafunciónf trasformaalpuntoX e A en f(X):y e B,ylafuncióng trasformaal puntof(X) e B eng[(X)] e C.EsdecirqueX e Asetransformaeng[f(x)] e C,atravésdelafunción intervienen

f y g .h se denomina

h,

función compuesta.

en laque

0ü): glry»

De la definición de función compuesta tenemos que (g o Para definir h, se debe tener presente que el conjunto de llegada

VXeA de f , tiene que ser el conjunto de salida de g.

Observación.- La composición de funciones no es conmutativa

gof+fog

124


Fjemplos:

y fog

Determina¡gof 1

r

si:

flx): J8-:¡-

c(X):)f +3X+2 Pordefinición f o g es: rtg(x)l : (e)

Pordefinición g o fes:

:

ctrCx»

c(Y)

: f,(F,:

:Y2 +3Y +2 =

t-----------

---

l(x-r)'+:/(x -r)+z

sof :lx-rl+:rtfi-l+z 2)

:

=

Jtr.3x{

cq) :(*)'

f(x) :'.'tr*t etrü)l

ros

Jtr;';']

rle(x)l

e(v)

-l(v+tJ " )'

:

f(g)

=

1/c.t

/.-r3

I 'r/X+l

IVx+r *rJ X+l

"aot^ ))

f(x)

I

fog

f./x.r *rf :3X2 + t

v

: e(Y) : lv*zl : l:x'+t+zl gof : l:x'*:l

:

(x) : §)

fog

Hallar (X) Solución:

cü) 'Y2 -3 : Y2

et(x)I -3 3x+2 3X+5 Y2

: lx+zl :3s2 +

Dada la función compuesta g o f

sof ::

(X+1)

{e(x)l : (e)

etr(x)l

4)

s(x)

fit+3x'+3X+l

:3X

+2

I

=:Tx+ 2ll,+r =: lx + 2lt'+ t

y

g(X):

Por definición La función g con variable Función compuesta

X2 - 3.

Y

+/pÍTs) +f§l+s)

Dada la función compuesta g o f: J2x + 2.3x + I Solución: Por definición so ct(x»

y

cG):i/x.

Haturr(x)

f

cü) : V? Y

(X) 6)

:

vY

La función g con variable Y

32x +2.3x+l (3'* + 2.3* + l)' (3'*+2.3x+1)3

Función compuesta

Dada Ia función compuesta g o f= aX2 + bX + c go Por definición clf(x)l

f

cG) -

!

221 Algebra Superior

y

c1x):rlll. r.,."oinar

r(x)

lYl

2lzl

Función g con variable Y

aX2+bX+c

Función compuesta

125

log2(aXz+bX+c)

EI

lvl

2log2(aX2+bX+c)

Y

+ 2 log r(aX2 + bX + c¡

(x)

7)

+2logr(ú'+bX+c)

f: X2 - 2X + S y g(x) : X2 + 3X + l. Determinar f(X) gof :Ct(X» Pordefinición g(Y) : Y2 + 3Y + I Función g con variable Y Y2 + 3Y + I : X2 - 2X + 5 Función compuesta ,z+3.( T¡* 9 +l- 9:*-2X+5, secompletael cuadradoeny 244 Dada Iafunción compuesta g o

tY+( 1)1',1n

I :

[Y+(1)l' 24

x2-2X+s

= x2-2x+5+

:

tY+(:)l' 2

x2

-2x+

5

25 4

,rry

-8X+25

1".11

-8X+25

l2l

2

t J4x' - 8x' + 25

J

Y

)

-31,,,[;'-g¡a25

Y

2

f

-3sJa¡'-s¡alJ

(x)

2

8)

Determinar g(X), si se conoce que:

gof:2X2 +3X+

Solución: Sea

g(X):

AX2 + BX +

sof:ctffi)l

6

4

y

Esta función debe ser del mismo grado de g o

g(Y)-2x2+3x+4 AY2 + BY+ C:2X2 + 3X +4 Es unafunción enY tunción g con variable Y. (Y: f(X): X-1).

A{X2-2X+l)+BX-B+C : AX2-2AX+A+BX-B+C : Ax2+(-2AX+BX)+A-B+C : AX2+(-2A+B)X+(A-B+C) :

(X):X-

I

f

con coeficientes indeterminados, es decir es la

2X2+3x+4 2X2+3x+4 2X2+3x+4 2X2+3X+4

Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de X para formar un sistema de ecuaciones.

x'I X] XO

A:2

_24+B :3 _+ B : 3+2A A-B+C:4 -+ C:4+B-A

Entonces g(X) e)

:

AX'? +

: 3+4 __ 7 :4+7-2:9

BX + C = 2X2 + 7X + g

Determinar g(X),siseconocequego

f :ZX-3 y f(X):X

Solución:

c(X) sof s(Y)

: : :

por tanto

g(X)

: AX+B:

Ax+B

AY+B

126

:

clf(x» 2x-3 2X-3 (función g convariable 2X-3 -+ A:2 y B:-3 2X - 3

y)


f(X-

Sí

1)

Solución;

:X -2 y

Se necesita determinar

(go0(x +2):2X2

(eof)(X + 2) : 2Ir2-X. Calcular g(X) que (X - l) : X - 2 --> f(X) : (X + 1) _ 2 : X _ I -+ (g"0(x):2(x_2)2_(x_2):2x2_9X+ ro

f(X). Ya

-X

Ya se puede determinar g(X). (g o 0(X)

:2X2 - 9X + 19

c(f(x»=2x2-9X+¡g C(X- l):2X2-9X+ 10 -+ s(X):2(X+ 1f -9(X+ l)+ l0 =2X2_5X+3

:

:2X-3.

l,

Sí f(X+ 1) 3x + Haltar(fo g)(X+ l) s(x) Solución: Si f(X+ f(X) :3(X_ t) + 1 :3X_2 Luego se determina la función compuesta (f o g)(x) (g(x)) f(e) 3 e - 2 3(2x 3) 2 6x I - -

r 1)

l):3X+ I +

:

:

Entonces (fo g)(X +

t2)

Sí (f o g)(X Solución:

:

:

:

l)= 61¡ + 1)-

- 1): X' -2X y C1y):

(f o g)(X - 1): X' -2X -+ (foeXX):X2-1 f(e(X))=x2-l

11

=6X

-5

-

X + 3. Determinar

(f o gXX): (X + 1),

-

1

(x)

2(X + 1)

:

x' + 2x+ 1-zx_ 2:x2 -

1

f(x+3):X2- 1 -+ f(X):(x-3f - t:X2-6X+9* 1:X2-6x+ 8 Sí f(2X+3):4X+l y C(X):X2+3. Determinar(fogXX) y (go0(X)

13)

Solución:

f(2X+3):4x+ 1 + f(X):4= Luego

:

2

+I

=2(x-3)+ 1 :2X-6+ 1 : zX-

s

: 2e - 5 : 2(X2 + 3) - 5 : 2X2 + 6 - 5 : 2X2 + t Y2 + 3 : (2X_5)2 + 3 : 4x2 _ 20X+25 +3:4X2 - 20X+2g " 0(X): Cü): Sí (go0(X):X+2 t f(X):X3+6X2+12X+8. Hallar g(X) (f o g)(X)

fG)

(g

t4)

Solución: (g 0ü)

"

:X+2

s(f(X» =X+2 g(X+2)3:x+2

+ c(x):*(Jx-z): Vx- 2+2:1lx

Comprobación

sí

(x) :

X3

Solución:

{.I5

+ 6X2 + l2X+

8 y g(x): ,Jx . Determinar:

(go0(X):c(Y):

3JV

:

(X+2)3

(go 0(X)

:X+2

FUNCIÓN LINEAL

Una función polinomial real de primer grado se denomina función lineal.

fiX)

:

aX + b lraratodo X e & donde 4 b e Ry a+ 0. (X) - rü + b es creciente

si a - 0. si a < 0,

(X):

Dom(f):

R,

aX + b es decreciente

Rec(f): R

Esta función tiene un único cero, o lo que es lo mismo la ecuación aX + (decir f^h

:a

):

b:

0 tiene una única solución, X

: _!. p, a

0 es el punto de intersección con el eje X. Ademas cómo f(0) = b, es el punto de intersección con el

;ie Y en b. Los puntos (-bla 0) y (0, b) son suficientes para trazar la línea recta de f.

.\lgebra Superior

127

La expresión Y = aX

*

con respecto al eje X.

b, se denomina una ecuación de la recta, donde a pendiente, y mide la inclinación de la recta

Ejemplos:

l)

f(x):

-3x + 4

siX=6, Y=4,

2)

f(x):2x

X:1 y:0

3

+I

siX=O, siY: I,

X:-1 2 y:0

(x): x3

3)

32

si

X:0,

x=

Y: -4" 2

4.16

9 2

Y:O

FUNCIÓNCUADRÁTICA

una función polinomial real de segundo grado se denomina función cuadrática. (x):{'+bx+ c, paratodoX e R. Dondea,b, c e Ry a+ 0. cómoa+0 sepuedecompletarel cuadraiJo

f(X):aX2+bX+c

: u[*'*l!')**9-1 (a)' L

:

I ^l(*,*?!r*-4)*eLl 2a- 4a2) a a"')

:

'' z"J -[t "[l**a)'*

b'

= u(*

[

128

a)

*a)' * 2a)

+ac-b2.1

4a2

]

4ac-b2 +u


x=-4. 2a'

si

Y= -b2 +4ac 4a

.--e -.n las coordenadas del

vértice. au -

[- u - - u' + +u..] 4a ) (2u

?:-.a determinar donde crece o decrece f, es suficiente estudiar el comportamiento de la expresión

',1

:no

el cuadrado de un número no puede ser negativo

| [..*]'=

] [

P: r medio del coeficiente

a

-

[, *]' = cuando X: - (bt2al

,,

cuando

[-**]'>0,

0, VxeR

"[".*]'

seconcluye:

x+-(b/2a)

podemos juzgar si la función tiene m¿iximo o mínimo.

cuando a > 0, la función tiene mínimo en

elpunto

( a - h2 + 4ac )

_.

[-;

J

La parábola se abre hacia arriba.

l-,

cuando a < 0, la función tiene m¿Lrimo

en [- u - - u'z + +ac ) [ ,u' 4a )

La parábola se abre hacia abajo.

Car¿cterísticas de las raíces por medio de Discriminantes

f.

.)

.

I

fi,mo f(xl=al|,**a]- *-b'+4ac 4a2 ,l L\ 2a )

I

:¡xt=0

):

b

'.-rJ -,,

-

b2 +4a. .-:¿_:::=n _

b)t-b2-4ac )a) 4a o

',1

-4ac t- -b2 4a'

-¿ .

E'1*

t__ \ +o' ..ibt

- 1o, 1-

',1 vD __i

+ac

---:-_a que es la formula general,

y

la expresión b2

- 4ac: a,

se llama discriminante

129

Para a> 0

I)

Si

^>0,

la función tiene raíces reales y distintas La parábola corta el eje de las X en

f1*12

-b*J6,-4*J -- --=Za-

,t

il)

Si A :

11

)

12

--2a-b-J6t-*) lr-<

0, las raíces de la función son iguales r1

:

12

La parábola corta el eje de las X en un sólo punto.

III)

Si

^

< 0, ia función no tiene raíces reales.

La parábola no corta en el eje de las X.

Paras<0

130

I)

Si

A > 0, la función tiene raíces reales y distintas r¡ +

II)

Si

A:0,

[II)

Si

A < 0, la función no tiene raíces reales

la función tiene raíces iguales r1

:

12

12


?a=

'''

u¡a función cuadrática

=rafrcar

es necesario

lo siguiente:

T§#rTfl-:11#iptosX(Ix)'ParalocualY:0,entoncesax2+bx+c:0.eueseresuelvefacrorandoopor y (Iy). para lo cual X : 0, entonces y: b.

l=,

htermina¡nos interceptos

l' r

Determinar coordenadas del vértice.

cv=f.:L.-u'*¿u') -) (.2, 4a

F-iemplos:

Grafica¡ las siguientes funciones

a) f(X):x,+X+1

d)

b) e)

f(x): -x, _ 6x _ s

(x):x,-6X+e (X):-X'+4x-4

c)

0

f(X¡=¡z+X-6

(x):_x,+3X-5

Solución:

a) f(X):X'z+X+

I

y:0, X2 + X + I :0 No existen raíces reales. X: 0, y: I -1+4\ 3) cv -( --b ,-b' +qu"):.u , l: (-0.s.0.75) 4a /I - =l-' l2a I\-t , +) \ 4) (-1)=l -l+ 1 : I Puntoadicional 1) Interceptos (Ix): 2) Interceptos (Iy):

b)

f(x):x,-6X+e 1) Interceptos(Ix):

y:0,

>3_OX +

g :0

X'z

:3

(x_3xx_3):o

2)-Interceptos(Iy):

X:0, y:9

3) cv =[,],-u2 ++ac]:cv =lg lo*:o) .,l--n={.r' 4) (4) : 16 - 24 + 9: 1 punto adicional

''-t,zu'--u

c) (X): X'+ X - 6 1) Interceptos(Ix): y:0,

+ ]:

:0 x2+x-6 (x+3xx-2) :0 X+3:g '', X-2:¡ X: -3 v X:2

(ly): X:0, y :

2)

Interceptos

3)

cv=(*r*l:", =(;1f)

-6

: Algebra Superior

(3'o)

(-0.5, _6.25)

l3l

d)

(x): -x'- 6x-5 l) Interceptos(Ix):Y:0, -X2-6X-5 :0 X2+6x+5 :0 (x+sxx+ l) :0 X+5:0 v X+1:6 X:-5 v X:-1 X:0, Y:-5

2) Interceptos(Iy): 3)

e)

., =

[*,.qt*) = ., =(+,-.yl

(x):-x'+4x-4 l)

Y:0,

Intercept'os (Ix):

-X2 + 4X- 4 = 0 xz-4x+4 :o

ÍX-3§-'r :0, Y: -4

Xr

13

z :2

2)

Interceptos

3)

cv=(*+*)=." =(=-.#l

(Iy): X

4) f(4):-16+ 16*4= -4.

(x):

-x'+ 3x -

Puntoadicional

#:*;::; 3tE

2) Interceptos (Iy): X

4)

4.r7

:

0,

f(3):-9+9-5:-5

Y = -§ = (1.5,-2.7s)

puntoadicional

ruxcróNExpoNENCIAL (X) : a*, a e R, a > 0 ¡ a + I se llama Dom(f):

Propiedades

exponencial. R, Rec(f1: R..

La ñrnción exponencial es positiva para cualquier valor de X, la gráfica esta dispuesta por encima del eje de las x.

2")

Si la base a , es mayor que uno, la función es creciente.

3)

Si Ia base esta entre 0 < a < 1, la función es decreciente.

4)

Para cualquier base positiva característico que es (0,

t32

Noexisten raíces reales.

.u = [-q, - o'.* ou.) :.u = (- ¡. - g * zo'] 4 ) [zu' 4a )"'-\_2'

La función

1)

:,,.0,

5

1) Interceptos(Ix):Y:0,

3)

: c,,,r

l).

a' : 1 cuando X : 0; por lo

tanto, la función exponencial tiene un punto


F.iemplos:

Graficar las siguientes funciones:

a) f(X; = 2x

b)

n",=

d)

e)

f(X) = -2x

,,*,' = l1)l"l t)l \. /

g) f(x)=l-3x-' ll

=

--: +2^

k)

1

c)

f(x)

0

f(X¡ = 2-x'z

i) r)

h) f(x)= (i),:

1x

f(x)

[;)

f(x)=-22x

= 2lxl*'

r(x) :

(j) ,Y *,

r( x ) : [-!

'1

*'-''* '-

(zJ

'

Solución:

a)

f(X) = 2x

x

f(X):

t

I 4

0

2

=

l1)" lrl

1

2

2

4

x Y

'/

1

4

I 2

0

I

I 2

2

I

¡

2lxl+'

f 2**'

r(x)

,,*',

\L

a

Y

c)

b)

={

2l

[2-** ?X+

I

'

, , , X>

x>0

X:0

x<0

0

z-x+t ,

x<0

\lsebra Supeúor I

J-)

d) r,r,=[])'

'

x>0

[(;). r(x)

=

(i)''' : I (;)' Lt+)

'

x<0

* >0

[i)., X

-'- x<0 rI)

I

Y

e)

X:O

2

f(X) = -2x 1 X Y _l

lrl

2

3

I

I

x

I

4

_,

4

1

1

-4

a

h)

I

¡

,

r(x)

X

-2

I

0

I

2

f

X

Y

0.99

0.98

0.96

0.88

0.66

0

Y

I

,

lo

=

I

0

I

Y

r1x;: t-:x-3

134

t

1

1

(X¡ = 2-x'z

X

2

I

I

Y

f

0

a

--l

2 I

1

,

I

16

,i lr) \ 121

1

0.04

1

0.0s

0 0.08

0.1 r

2

3

4

5

0.l6

0.23

0.33

0.41


x-l

rrxr = 1.2

T+t

k)

X

a

Y

1.1r

f(x)

i)

J

=

1X --:l+2^

1

0

1

2

x

a

-l

0

I

2

-l

1.16

1.23

1.33

1.47

Y

0.2

0.33

0.5

0.6

0.8

0.88

(x):2"

La función f(X) : e' , donde e = 2,718281 es número irracional. Una aproximación de esta función es el polinomio:

x2 Y3 e^:l+X+" +" 21 3!

Xn n!

Esta función tiene una característica propia, su gráfica forma con el eje de las X en el punto (0, l) un ringulo de 45". Ademris con esta ñ.mción se definen otras que aparecen en la matemát;ca eleÁeátal.

como: Shx=""X

_

"_X '

22

oX _ Chx=s rs-*X

Y: Notación

rr

,

ex

Y: lx es una función constante. v2-rLr

rrxr:11i""-''*'-r \2) Si se elimina el valor absoruto, la función queda

x: - 2x i.eet'É Superior

-I:

(x - 1)' -2, entonces

y =f

^L)-'-'-- , completando \2)

-- -'

"

=

f\¿) 1l

''

,

el cuadrado:

.n consecuencia el vértice de esta parábola

135

es:

.

/1\

x:1,

. _)'

=4,como X:lesejedesimetríadelaparábola,portantoessuficiente

"=[';J

dar valores a la izquierda y derecha de ese punto.

X

Y

-l

1

¡ 0

2

1

4

2

2

I

3

4

z. r x2-2lxr-l

Nota:

4.I8

"=[;l

Esta función es par

FUNCIÓNLOGARÍTMICA

La inversa de 'la función exponencial se llama logarítmic4 si Y

Y:log"Xdonde, a>0ya+l

Propiedades: - La función loguX esta definida 1 2.Para a > l. log" X es creciente.

3.4.-

Para 0 < a

<

1,

log"X

vx

: a' direct4 entonces

la inversa será: X = ay

.

> 0, su gráfica se encuentra a la derecha del eje de ordenadas.

es decreciente

La función logarítmica tiene un punto característico (1, 0).

Ejemplos: Graficar las siguientes funciones:

a) b)

(X):

log2X

f(X):

i)

togsX3

i)

c) d)

f(X):

e)

ftx¡

(X):

-

log2lx log2

lr

*

r

I

VFlll

136

(X):

D

(x)= tog,lt-lxll 2

* +j ltog ,1x

l.

I

0 l16ll:loe,ll-xl c) (X): log I VE-:, h)

k)

(x): logr(X2 + 2X) (x): log2(X2-4X+5) (x): ln (1 + X2;

m)

/

-¡

f(x): tog,lx2 -:lxl+l )l

)

2

log3 (3 -

x) Relaciones y Funciones

Solución:

a)

Y:

log2X, Dom(f)=

2Y: X

¡¡6

Forma exponencial

X

Y

I

a

4 1

, 0

b)

2 4

2

8

3

t

Y: logsX3, Dom(f): 8Y =X3

10,

*[

Vg' :x -F_

:X

2Y

c)

d)

Formaexponencial

Y = Iog2l x + r l. Dom(f)-- R- {-t} 2"- lx r ll Formaexponencial :-2Y v X+l :2Y lX*f l=2Y<+X+l :-ZY -l v :2Y -l <+x x Hemos obtenido dos funciones X, : -(2Y + t) v Xr:Zv +l x x":2v

v

x1

_1

Y

1

:

4

J

-,

a

I

0

-J I

-5 2

-9 J

x2 Y

J

1

-1

_1

1

I

2

0

3

7

0

2

J

Dom(f): R - {-1} /{ ?Y : Jx;if Forma exponencial tog,

(r'I = Jii+l' 2:\' = lx*tl J\' : lxnrl \lgebra Superior

t37

lx"rl:4Y

<»

X+1:-4v

9

X=-4Y- I

X+1:4v X:4Y - I

Xr:-(4Y+l) xr

Xz:4Y - |

.:

-17 l6 .|

Y

1

-5

0

I

4

-l

e) v:

t7

aouri^-ostansólo

_1 4 I

a

Y

2

lr"s,{x*+)l OD)v : (X+4) porma exponencial,

_15 l6

x2

0

1

l5

0

t

2

y: tog,(x+4)

Dom(f):l-4,

x: ll)'-¿

"o[

\2)

x Y

1

0

-3

_7

.)

lr

-

4

0

I

2

lvl=togrlt-xl alvl =

_15

2

xl

Dom(f):l_co,0

jwl2,

coI

Forma exponencial

lt-xl=4Y <+ l-X:-4Y v l_X:4Y €) -X :_4Y_l v _X :4y_l <] Xr =4Y+l v Xz:l-4Y Hemos analizado la

función v = logrlt _ Xl

X,:(4Y+ t¡ XI Y

138

17

l6 a

I 4

1

Xz: l- 4\ 2 0

5

I

l7 a

x2 Y

l5

1

16

4

1

I

0

-J

l5

0

I

2


c)

lx{

Y=losr

Dom(f):l1,*

[

1

vt{

[;)"

=

lf']"

=r-,

\8/ x

64

h)

Y=

3t

2

8

.,

Y

z

65

8

64

.l

0

toe:(3-x) :3-X

3"-3

,=(f)".,

<>

:-x

2

Dom(f):3-X>0 Forma exponencial

X:3

<)

- 3Y

x

2.88

2.66

2

0

-7

Y

a

I

0

I

2

v

= tog, (x'? +

2Y

:X2

zx)

Dom

(f):X2 +2X

>0

:x(x+2)>0 Dom (f.¡: ] --, -2lwl 0, * [

+ 2X

Completamos el cuadrado para despejar X

2Y :X2 *2'2

x*t-l

2

Z" = (X+ t;2_t 2Y+l:1x + 1;2

llft.rf =Jl+r' lx+rl =Jl+r\

<+

X+l

=-[+r'

X+1=.[./

€Xr =-ú+2t -l

xr

=

x,

-2.1

Y

a

I

Algebra Superior

x2

-rll*2" -t aa

-2.4 0

v x, =d;i-t

-2.7

=

',ll+21 -1

-J.L

-4

X¡

0.1

2

J

Y

..,

0.2

0.4

0.7

t.2

2

3.1

0

I

2

J

,4

139

i)

=

tosr(x'-+x+s)

Dom

"2r:(Xr_4X+5) 2,

= (X,

2v

:

(f): R , Rec(f): R- u {0}

Completamos el cuadrado para despejar X

).t

_;x

+4) _4 +s

-Z¡2+t

1X 2Y-t :(x-2),

=Jz'-t

lx-zl xr x, Y

k)

Y:

=2-.JY

ex-2=-JrY I éXr =z-Jz"

-t

X-2=Jr'

=2a,{¡ -1

x2

2

1.56

1.35

I

0.3

-0.6

x2

2

0

0.25

0.5

I

2

J

Y

0

Dom

j

=2¡^12'j

v x2

a

ln(1+X2)

e"

v

(f): R , Rec(f): R. u

2.43 0.25

2.6 0.5

J

3.t

4.6

5.8

2

J

4

{0}

:1t+x)

e"-1 =x2

G"-r=¡x¡ €) xr=-SY{

r)

X,

0

Y

0

-0.5 a.2s

-0.8

1.3 -2.5 -4.3

0.5

I

2

X, =JJJ x" 0 0.5 Y

J

0

0.25

0.8

1.3

2.5

4.3

0.5

I

2

3

7.3 4

v=r"r,lr-lxll 2

Solución:

El dominio de esta función es: R - { -1,

-; ,,' =

Y = tos , lt-lxll 2l

I

}

flog,lr-xl. x>o , l.llog,ll+Xl,x<0

L2

Para X >0

Y

:tog,lr-Xl 2

[r" 140

=ll

-xl Relaciones y Funciones

Resoh'iendo esta ecuación z- rY

r-xl=fl)' \2) .,

r-X=-lt)" \z)

c? -, = _ll)" \2)

€) X Y

5 I

a

J

2 0

'-'=(;)" _,

-, =(*)'-'

x,' =ll)'*,

Xz

\2)

1.5

t.2s

X, Y

2

=1-(r' -3 1

0 0

0.5

0.75 2

Eliminar los

valoresdeX<0

Para X< 0 trasladamos ésta curva simétricamente respecto al eje vertical (revisar sección 4.9.1)

Eliminar los

ValoresdeX>0

Uniendo estos resultados se tiene

v=tog,it-lxll 2

\lgebra Superior 141

t

m) f(X): logr[X'"- ,,xt*ll 2

)

Si se elimina el valor determinar

absoluto

el eje de

la función toma la forma: y=log:(x'-:x*l).r-"

simetría

de la curva es

- -]l , en consecuencia -L\ [[x -;]'¿) 4)

Y = I"c,

necesario completar

el vértice de esta parábola está

en:

el

cuadrado.

, y -2

*:1

.

at:¿ =L[^-r)-¡) [t', - :)' . ]l

Forma Exponencial: 2Y =

2'- 4t =l,"-1)' \ 2)

+l2l vF==l*-¿l v X,'2=1+ xr

1.5

Y

",

Rec

(fl:

2.3

2

2.8

0

z" -1> 4

:2Y>!

3.4

x2

1.5

2

Y

1

I

0.6 0

0.3

-0.5 2

o

1

4

I -2 L - oY: 'L _

: :

Y>-2 [-2,

-[

-1.18.t Propiedades de los Logaritmos

lr l) It -i) j)

Ellogaritmodeuno,esigualacero logul=0, a0=l Ellogaritmodelabase,esigualauno logua=1, al=a Si log,X¡=log"Xz = Xr=Xz

X=¿loB"X ,

1,=uloguY

,

3=21ogrl ,5:7logf

El logaritmo de un producto de dos o varios números positivos, es igual a la suma de los logaritmos

de

sus factores.

logu b.c = logu

b +

logu c

Demostración , Ios^b ""

D=a

los-c ;C=a ""

b.c: ulo8ub.ulogu" -

b.c:

ulogub+loguc

Si en esta igualdad tomamos logaritmos en base a

112

,

se tiene:


b+logu

c = log" u'o'" logu b.c = (log" b + logu c)log" a log, b.c = Iog" b + loga c

log"

b.c

Logaritmo de un cociente. Es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

.b ,o*";

logub-log"c

Demostración loq" D=a -los" -* ,

b

c=a

c

Ios- b , D a" c ulo8u " b los"^^ r, -tn. .u'-ou Tomandologaritmosenbasea --a

.b logu :

= log,

c

u'ot'

b-log

ht i=tog, b-log,

Iog,

uc

.)tog

C

logu

1

"

u

h

-=logub-loguc

Logaritmo de una Potencia.-Es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. logu b" = c log, b

Demostración b = ¿lo*

bc

-

a

u

b

clos a

Elevamos a la potencia

b

c ros dos

de la igualdad

Tomamos logaritmos en base a

logu b" = logu u "'o* "

o

log" b" = c logu b.logu a

.

logu b" = c logu b s

I

Logaritmo de una raíz'- El logaritmo de una raíz de un número positivo, es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice d,e laraí2. 1

tog,

)t

Vb = llogu b c

I':nplos: t'''; :;¡ ett.forma logarítmica

1

-

r

x

=

fJ;.b.c

2.

I 4a ..la.b

x=

l-

l

: ¡

r

X= {(a+b[a-b)] -.___.-=¡+

Va

I r-

_:-:-

luo Ju.u

4.

x=

^

6.

X=

log" (a + f)roe " (a+u¡

.l-

r

su Vu'u

ilb'?ñ -

Superior 143

Solución:

r.

x:

fJ;b.c

logX

loe2 . Va-b-c

= =

tos2 + rog(a.b.c)l

l

log2 +

log2 +

2.

tog a.b.c

J

]

{,"*"

+ Iogb + logc)

=

log2* 1 logu *1logb*1tog"

-

Ios

x= logX

@

! su Vuru loeX -

= f2 rorqalai "s¡Va2u

rogX ] (,* aa Jli- rog 5b il6

logX

*

! !

logX logX logX

[,*l.,eq

+ roga

*

]{,o*u

+

* llosu* lrogu * f

beq* aroeu - lrogu -

logz -1togs

)

rosr))togu

[,"r,

+ rogb

*

](r"e,,

. ,"*rr]]

- lu,es- lrog¡ - llogu -1

rogu

l,,ss

* alogu - alogu

rogX=

*,**,8 rogX= *[,**.,"*f)

144

,*

rog X =

rog(a rl" * l(,"r, -

rog X =

*[F'*

a

-

rog

b)+

log X =

*[(-,*

a

-

rog

b)+ 1,og

,,

]

l)l

(r"s

u

u

-

r"s

")]

- 1 lo, u] Relaciones y Funciones

4.

rogX

=

logX

= -lto*u --]-logu

x-

,/u'J3-u ! u, {/u"

*(-

j.-" - i.*o)

logX =

rt j[r.s

logX

=

rogX

= 1[,* "- + rog(u.r)] - (r"s u, . ,"*

rogX

=

fi

r'

1[0,",

u

*

-

rog

u, t/uc]

)Q,ru+

tu

rogb)-(r.* o*

Oi)]

](rosu..r.rl

= 1[0,", u * L,,ru*1loeu -2tosu-]roeu-i"r"] rogX = i[i,* u -l,,ea- i,*.] rogX

logX= 2beu-Lrcra-1tog" logX= lloru -Lbea-Lu,e" (a+uXa-¡)3

5.

Va

6.

logX =

.*JGa#:lL

logX =

rog

logX =

j

1fJiu{u-uf - togu}

[r.*(" *

logX

=

x=

log, (a +

i,"*("

+

o)

*

u)+

6)loe "

rog("

-

u)'

]- 1ro, u

ltog(a-b)- lroeu

(a+u)

= log log" (a + b)los " (u*u) log X = log"(a+ b)log.log"(a+ logX: log(togu(a+U))'z logx= 2loglog"(a+u)] log X

Es c r ib

ir

en

forma exponencial

I.

rogX

2.

IogX

b)

= *[i.-,"-ol-],"*"]+3

rog(a+b)

= 1[,"r" *]{ro*u*zroe.)] -[oe¡+4 rogX : -b)+2log(a+b)-aloga]

log(c+a)-log(a+b)]

][r,"r{"

Alsebra Superior

145

Solución:

t.

logX =

#B.tt"

logX =

*,*F+rog(a+b)3

logX =

,o-

logX=

r"s,ÍF.(a+b)3

- ul-

'ffi

Jr"e"]

+ 3 rog(a + b)

+ log(a + b)3

ffi.(a+b)3 logX =

2.

logX =

i[,*". it os u + z tos ")] - [og b + a tog(c + a)- log(a + b)] 1(rog u*log ú7)- [rog o* rog (c+a)a - rog (a+b)]

logX:

i(,"'"ú7)-bc#

logX =

'o*i[i6e -,"*oiÍ'#

,onffi " b_td1

logX=

(a+b)

üT;7

(a+b) b.(c+a)a

logX =

]

t,

,"r{" - b)+ 2 |og(a

+ b)

-

4

-

rog

IogX=

][.*

t"

- bf

+ log (a + b)2

logX=

|["*

t"

- bf

.1a + u¡'?

-

rog aa

log a]

u' ]

]

logX= logX=

(a-bI.(a+b)'? 4.18.2 Fórmula

de paso de un sistema de Logaritmos en Base

los,N loe.N= "' logna

El factor

-

I

log oa

o

a,

a

otro de Base b

log,*:r]=tog6N rogba

se llama módulo de paso de un sistema de logaritmos de

O base a, a otro sistema

de

logaritmos de base b. 146


Demostración

log.N=X -) ax=N

Consideremos

Tomando logaritmos en base b.

logoax = log6N

Xlogsa

logoN

=

logoN log Por tanto log

Si

"

ra

N

logoN logoa

=

N: b, entonces la fórmula

de paso se transforma

en

log b = "

o

#;

I

log *N=^log"N log,N loguoN=;aft

o

l*lt"u_ Demostraciónde @ y @

log6N

logu¡N=

@

l+logoa

La formula @ se demuestra utilizando @

rog

*N:-f

La formula

I I - = Klogra = fron log*aK K @

N

se demuestra haciendo cambio de base

loguN loguN r^^ \r IoguN loguab logua+logub l+logub _

t\=_

La relación entre logaritmos decimales y naturales esta dada por:

. log"N log . l0 Ejemplos:

l.

Calcular log

25

.log , l0.log

,o 16

Pasamos toda la expresión alabase 2.

rog,5ffi#tr# 2.

Calcular log

tog222=4

,7.log ,49 .log

0n243 Pasamos la expresión a la base 3.

tog,7

3.

= rosz16 =

fi# tr#

= .,st243 -

ros,35=s

Dadolog2:a y log5:b Determinar log ,r 40 Convertimos log rr40 abase l0

5.8 _ log 5+log8 los,.40_ log40 _log log 25 2 log 5 log 52 Áleebra Superior

log 5+3log2 3a+b 2log 5 2b 147

4.

Dado logro3=a y Pasamos log ,o

g

log

r^_ " logrg 3log12 rog 2 30 log ,2.3.5 Necesitamos determinar log

Como

logr63=a

luego

Como

logro5:b

luego

log log

(1-a)= a+atog , a+aloe .5

log 2J=-

Encontrar

log22+log

,3+logr5 l+logr3+log]

,3 y

3s 8

log r5

l+log r3+log r5 =a y log25

l+log ,3+log (1)

5

=b log

,5=![+tog ,3+tog r5) e)

Iog

, s=(b+blog 2 3+btog ,5) , s(t-u)= b+btog r 3 - b+blogr3 (t-u)

log

-r)

Reemplazamos log 2

25

log

,- --;-

0

log

logr3

,:=a[+log23+logr5) ,l=(a+alogr3+alogrs)

log 2 3

365=b.

a base 2.

3

'

en el resultado de Ia ecuación (2)

tog,5=u[r* u*l't-* rt +log,sl l-u

(

log 25=O(f

log

)

-u+a+alog 25+log r5-alogrr)*

I r5=bl.l+loe.s) " " 'l-a

Iogr5=

(O*btogrr+

l-a = 6*Ulogr5) log r5(t-a-U)=U

logrs(t-a)

log,)=-

b

(t-a-b)

Este valor reemplazamos en el resultado de b

(l)

a+a=--

log,3:_ a-a)-ab+ab a l,-e-o - -a(l-a-u)+au (r-u) (r-a[r_u_b) -Tr;Xr_;:b)-=[_"_-ü Por tanto

Iogrr8=

l+log r3+log r5

=3(l-a-b)

., ab +=_- =-l-a-b+a+b l-a-b 1-a-b l-a-b

Demostrar que:

log"N.log6N+logo N.log"N+log"N.log"N= loguN. logoNlog"N N, a, b, c mayores que 0 y diferentes de

log u6" N

Donde

1.

148


FI

h lt h FD h tt tt

Solución: log

" 11l logNa.log*b log*b.log"c

h b b i" l" !} lr

rt

N. log o N + logo N. log N + log N. log N : u

u

log

* a.log *

log*abc _ b.log¡i - Gg - j"g,.., b l"g. "

loguN.logoN.log"N

"

_

loguo"N I

6.

calcular:

*

=

r25

\zt 'EG'*roe"1

Convertimos los términos del exponente a una base común

I'

ll 5l"gr3 = lo8¡5

7'

a

log 06125 = log

4

D

^ ,(S)' l2zz

=

log

,* 2,53

3

) =3log 55 =3alos,5 --

5

.;

6

-los,-5 5 "'

Por tanto

a ¡t

x

D

x=(:fl l'"',,

t

x : (:f ir.c,

¡,

1 ¡? ¡t

fI / =

X:

\rrlJIogss*!rog,, 15 -5

lF-'F

L]

(3)r'e

'

I

s

s-s

Por propiedad (4 )

_1

X=5

t

5

1

Vs'

! B

Calcular: X=23-tog t3 *r2tog72+l

1

13

X = ---'+72l"ct z qt

2t'E 8 *: n--.;-;-+/

; ) ,

2"2' 8 x=.--+.1 :los , l 22 ''

a a

8 x=_---+29

4

,tog 2Zl

, a,

x={-+za

a

X:32.6

.,/3

a)

al ,

logNa.log*c

log*c+log*a+log*b

a

t s

"

.\lgebra Superior

-,..7 -1log14

.,

8.

Calcular: X=3ltlos ¡4 + 2log23-2 v ".logr4 ^=J.J

X=3.a+1 4

.7

x=

2log27 +--i

2'

9.

Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones

a)

(log2 + log5 + log300

b)

(o.z¡

c)

log., 2.log

d)

72tos

I

-

log:).:

5be, :

1('t* o' 2 - 3 tos s 7 4) o

fr

,li

3.log, 4.log 6 5. log r 6.lo9.7 ,"* ,r'J2 * lorog toc2

2

tT)

.7toc aJl2i

e)

lOi,orr-,orro

0

r-r"e e2 +4e-.r,u) P+(:o logr9'

c) 1 3-log a3 , 12los1Z+l

h)

i)

[,", ,.f

+ 6 ,og

i(})

-,,*

(i) - ,.- , Jr * rf

i)

ros

k)

,.r,, (*'Jr).,"*,,

m)

-( (o.t) : r"e1o r;-r'srog(0 r). (o.r)

,

[ros]

'6 *(i)]*,og ¿

[+). "*,,,(+)

tosg+z-roe2o)

Solución;

a)

(log z + tog 5 + Iog 300

-

rog :) .3

ñh

- iorr+ tog5 +1os22.52 .3-tog3 : ,*r,. ) (ogz + tog5 + tog22 +log52 +log3-log:).: r*rtrÉ (tog2 + log

5

+ 2tog2 + 2tog5 + log 3 _ tog 3). 516

(: tog z + : tog s)

(togs.rzs).'.,6 ( tog r ooo)

.

log 103,V5

5Jt

.5J1

b)

1o.z¡i(n'.c622-3rog624)

(o.z¡'l(|* 1o'z¡

(o'z¡

62 zo

Í. il'"'o'

-tog 62 +r)

zo)

';

it"'o' "

'1

)

1

(0'2) t"c 0222 3

21

3.vt 150


213892624 Algebra Superior 152p2t

Overview 3e4r5l

More details w3441

Related Documents 3m3m1z

213892624 Algebra Superior 152p2t

Algebra Superior Cardenas 341c5j

Algebra Superior (radct) 229i

Tarea 5 Algebra Superior 1f1yy

Actividad 3 Algebra Superior 2c1er

Algebra Superior Ejercicios Resueltos 324u50

More Documents from "Diego Sarango" 276a5k

Solucionario Vallejo Zambrano Tomo I (1-7) 56p5a

213892624 Algebra Superior 152p2t

Analisis Juego Perfecto 1r4qa

Medios Transparentes Del Ojo 5h471

6l6m1j

Representantes De La Escuela Estructuralista De La istracion j5721