2.2 Fuerzas Sobre Superficies Sumergidas (planas Y Curvas).docx 6o706h
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2.2 FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS (PLANAS Y CURVAS) -Fuerza ejercida por un líquido sobre un área plana: La fuerza F ejercida por un líquido sobre un área plana A es igual al producto del peso específico
γ
del líquido por la profundidad
la misma.
hcg
del centro de gravedad de la superficie y por el área de
F=γ hcg A
Siendo las unidades típicas
kp=
kp N ∙ m ∙m2 o N= 3 ∙ m∙ m2 3 m m
Se observa que el producto del peso específico
γ
por la profundidad del centro de gravedad
de la superficie es igual a la presión den el centro de la gravedad del área. La línea de acción de la fuerza pasa por el centro de presión, que se localiza mediante la fórmula:
y =
Donde
I cg
I cg + y cg y cg ∙ A
es el momento de inercia del área respecto de un eje que pasa por su centro de
gravedad (véase figura 3.1). Las distancias
y se miden a lo largo del plano y a partir de un eje
determinado por la intersección del plano que contiene la superficie y de la superficie del líquido.
-Fuerzas hidrostáticas sobre superficies curvas sumergidas: Para una superficie curva sumergida, la determinación de la fuerza hidrostática resultante es más complicada, en virtud de que es común que se necesite la integración de las fuerzas de presión que cambian de dirección a lo largo de la superficie curva. La manera más fácil de determinar la fuerza hidrostática resultante
F R que actúa sobre una
superficie curva bidimensional es determinar las componentes horizontal y vertical
FH y
FV
por separado: MECÁNICA DE FLUIDOS
UNIDAD II: HIDRÓSTATICA
1. La componente horizontal de la fuerza hidrostática que actúa sobre una superficie curva es igual (en magnitud y respecto a la línea de acción) a la fuerza hidrostática que actúa sobre la proyección vertical de esa superficie curva:
F H =F x
2. La componente vertical de la fuerza hidrostática que actúa sobre una superficie curva es igual a la fuerza hidrostática que actúa sobre la proyección horizontal de esa superficie curva, más (menos, si actúa en la dirección opuesta) el peso del bloque de fluido:
FV =F y +W
La magnitud de la fuerza hidrostática resultante que actúa sobre la superficie curva es
F R= √ F 2H + F 2V , la tangente del ángulo que forma con la horizontal es
tan α =F V / F H .
EJERCICIOS: EJERCICIO 1: Considere una presa de 200 ft de altura y 1200 ft de ancho llena a toda su capacidad. Determine a) la fuerza hidrostática sobre la presa y b) la fuerza por unidad de área de la misma cerca de su parte superior y cerca del fondo. Tomamos
la
62.4 lbm/ f t 3
densidad
del
y la gravedad como
agua
32.2
como
ft s2
La presión media sobre una superficie es la presión en el centroide (punto medio) de la superficie, y se determina que es
Pmedia =Pc =ρg hc = ρg
(
¿ 62.4
( h2 )
lbm ft 32.2 2 3 ft s
)(
¿ 6240 lbf / f t
1 lbf () 2002 ft ) [ 32.2lbm ∙ ft / s ] 2
2
Entonces la fuerza hidrostática resultante que actúa sobre la presa se convierte en:
(
F R=P media ∙ A= 6240
lbf ( 200 ft ∙1200 ft )=1.50 x 109 lbf 2 ft
)
MECÁNICA DE FLUIDOS
UNIDAD II: HIDRÓSTATICA
La fuerza resultante por unidad de área es la presión, y su valor en la parte superior y la parte inferior de la presa se convierte en:
Psuperior = ρg hsuperior =62.4
Pinferior =ρg hinferior =62.4
lbm ft lbf ∙ 32.2 2 ∙ 0 ft =0 2 3 ft s ft
[
]
lbm ft 1lbf lbf ∙ 32.2 2 ∙ 200 ft ∙ =12480 2 3 ft ft s ft 32.2 lbm∙ 2 s
EJERCICIO 2: El lado del muro de una presa de 100 m de largo que está en o con agua tiene forma de un cuarto de círculo con un radio de 10 m. Determine la fuerza hidrostática ejercida sobre la presa y su línea de acción cuando dicha presa está llena hasta el borde. Tomamos la densidad del agua como
1000 kg/m3 .
Análisis: Consideramos el diagrama de cuerpo libre del bloque líquido encerrado por la superficie circular de la presa y sus proyecciones verticales y horizontales. Las fuerzas hidrostáticas que actúan sobre las superficies planas verticales y horizontales, así como el peso del bloque de líquido son: Fuerza horizontal en superficie vertical:
F H =F x =Pmedia ∙ A=ρg hc A=ρg
( R2 ) A
(
¿ 1000
kg m 9.81 2 3 m s
)(
)( 102m ) ( 10 m∙100 m ) ( 1 kg1∙Nm/ s ) 2
¿ 4.905 x 107 N La fuerza vertical sobre la superficie horizontal es cero ya que coincide con la libre superficie del agua. El peso del bloque de líquido por m longitud es:
FV =W =ρgV =ρg [ w ∙ π R2 / 4 ]
=
(
1000
kg m 1N 9.81 2 [ ( 100 m) π ( 10 m )2 /4 ] 3 2 m s 1 kg ∙m/ s
)(
)
MECÁNICA DE FLUIDOS
(
)
UNIDAD II: HIDRÓSTATICA
7
¿ 7.705 x 10 N A continuación, la magnitud y dirección de la fuerza hidrostática que actúa sobre la superficie de la presa se vuelven:
F R= √ F 2H + F 2V = √(4.905 x 107 N )2+(7.705 x 107 N)2=9.134 x 107 N
tan θ=
FV 7.705 x 107 N = =1.571 →θ=57.5 ° F H 4.905 x 10 7 N
Por lo tanto, la línea de acción de la fuerza hidrostática pasa a través del centro de la curvatura de la presa, haciendo 57.5 ° hacia abajo desde la horizontal.
MECÁNICA DE FLUIDOS
UNIDAD II: HIDRÓSTATICA
γ
del líquido por la profundidad
la misma.
hcg
del centro de gravedad de la superficie y por el área de
F=γ hcg A
Siendo las unidades típicas
kp=
kp N ∙ m ∙m2 o N= 3 ∙ m∙ m2 3 m m
Se observa que el producto del peso específico
γ
por la profundidad del centro de gravedad
de la superficie es igual a la presión den el centro de la gravedad del área. La línea de acción de la fuerza pasa por el centro de presión, que se localiza mediante la fórmula:
y =
Donde
I cg
I cg + y cg y cg ∙ A
es el momento de inercia del área respecto de un eje que pasa por su centro de
gravedad (véase figura 3.1). Las distancias
y se miden a lo largo del plano y a partir de un eje
determinado por la intersección del plano que contiene la superficie y de la superficie del líquido.
-Fuerzas hidrostáticas sobre superficies curvas sumergidas: Para una superficie curva sumergida, la determinación de la fuerza hidrostática resultante es más complicada, en virtud de que es común que se necesite la integración de las fuerzas de presión que cambian de dirección a lo largo de la superficie curva. La manera más fácil de determinar la fuerza hidrostática resultante
F R que actúa sobre una
superficie curva bidimensional es determinar las componentes horizontal y vertical
FH y
FV
por separado: MECÁNICA DE FLUIDOS
UNIDAD II: HIDRÓSTATICA
1. La componente horizontal de la fuerza hidrostática que actúa sobre una superficie curva es igual (en magnitud y respecto a la línea de acción) a la fuerza hidrostática que actúa sobre la proyección vertical de esa superficie curva:
F H =F x
2. La componente vertical de la fuerza hidrostática que actúa sobre una superficie curva es igual a la fuerza hidrostática que actúa sobre la proyección horizontal de esa superficie curva, más (menos, si actúa en la dirección opuesta) el peso del bloque de fluido:
FV =F y +W
La magnitud de la fuerza hidrostática resultante que actúa sobre la superficie curva es
F R= √ F 2H + F 2V , la tangente del ángulo que forma con la horizontal es
tan α =F V / F H .
EJERCICIOS: EJERCICIO 1: Considere una presa de 200 ft de altura y 1200 ft de ancho llena a toda su capacidad. Determine a) la fuerza hidrostática sobre la presa y b) la fuerza por unidad de área de la misma cerca de su parte superior y cerca del fondo. Tomamos
la
62.4 lbm/ f t 3
densidad
del
y la gravedad como
agua
32.2
como
ft s2
La presión media sobre una superficie es la presión en el centroide (punto medio) de la superficie, y se determina que es
Pmedia =Pc =ρg hc = ρg
(
¿ 62.4
( h2 )
lbm ft 32.2 2 3 ft s
)(
¿ 6240 lbf / f t
1 lbf () 2002 ft ) [ 32.2lbm ∙ ft / s ] 2
2
Entonces la fuerza hidrostática resultante que actúa sobre la presa se convierte en:
(
F R=P media ∙ A= 6240
lbf ( 200 ft ∙1200 ft )=1.50 x 109 lbf 2 ft
)
MECÁNICA DE FLUIDOS
UNIDAD II: HIDRÓSTATICA
La fuerza resultante por unidad de área es la presión, y su valor en la parte superior y la parte inferior de la presa se convierte en:
Psuperior = ρg hsuperior =62.4
Pinferior =ρg hinferior =62.4
lbm ft lbf ∙ 32.2 2 ∙ 0 ft =0 2 3 ft s ft
[
]
lbm ft 1lbf lbf ∙ 32.2 2 ∙ 200 ft ∙ =12480 2 3 ft ft s ft 32.2 lbm∙ 2 s
EJERCICIO 2: El lado del muro de una presa de 100 m de largo que está en o con agua tiene forma de un cuarto de círculo con un radio de 10 m. Determine la fuerza hidrostática ejercida sobre la presa y su línea de acción cuando dicha presa está llena hasta el borde. Tomamos la densidad del agua como
1000 kg/m3 .
Análisis: Consideramos el diagrama de cuerpo libre del bloque líquido encerrado por la superficie circular de la presa y sus proyecciones verticales y horizontales. Las fuerzas hidrostáticas que actúan sobre las superficies planas verticales y horizontales, así como el peso del bloque de líquido son: Fuerza horizontal en superficie vertical:
F H =F x =Pmedia ∙ A=ρg hc A=ρg
( R2 ) A
(
¿ 1000
kg m 9.81 2 3 m s
)(
)( 102m ) ( 10 m∙100 m ) ( 1 kg1∙Nm/ s ) 2
¿ 4.905 x 107 N La fuerza vertical sobre la superficie horizontal es cero ya que coincide con la libre superficie del agua. El peso del bloque de líquido por m longitud es:
FV =W =ρgV =ρg [ w ∙ π R2 / 4 ]
=
(
1000
kg m 1N 9.81 2 [ ( 100 m) π ( 10 m )2 /4 ] 3 2 m s 1 kg ∙m/ s
)(
)
MECÁNICA DE FLUIDOS
(
)
UNIDAD II: HIDRÓSTATICA
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¿ 7.705 x 10 N A continuación, la magnitud y dirección de la fuerza hidrostática que actúa sobre la superficie de la presa se vuelven:
F R= √ F 2H + F 2V = √(4.905 x 107 N )2+(7.705 x 107 N)2=9.134 x 107 N
tan θ=
FV 7.705 x 107 N = =1.571 →θ=57.5 ° F H 4.905 x 10 7 N
Por lo tanto, la línea de acción de la fuerza hidrostática pasa a través del centro de la curvatura de la presa, haciendo 57.5 ° hacia abajo desde la horizontal.
MECÁNICA DE FLUIDOS
UNIDAD II: HIDRÓSTATICA
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