324034152-problemas-resueltos-de-control-automatico.pdf 3a3cz

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDA DEL ZULIA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE MECÁNICA DEPARTAMENTO DE AUTOMÁTICA CÁTEDRA CONTROLES AUTOMÁTICOS PROF. ALEJO GUILLEN

PROBLEMAS RESUELTOS DE CONTROLES AUTOMATICOS

1. Un tren de laminación está formado por dos grupos de rodillos, el segundo de los cuales debe girar a una velocidad proporcional al primero. El diagrama de bloque representa un modelo simplificado del sistema: + -

Donde :

es la velocidad de referencia del primer grupo de rodillos es la velocidad real del primer grupo de rodillos es la velocidad real del segundo grupo de rodillos

La función de transferencia del primer grupo es segundo grupo es

.

y la del

son los sensores de velocidad

(tacómetros) que generan una señal proporcional a la señal que miden, siendo

.

Se pide: a. Función de transferencia de lazo abierto b. Función de transferencia de lazo cerrado c. Valor de K para que en estado estacionario (régimen permanente) el segundo grupo gire a una velocidad

mitad del primero.

d. Para el valor de K obtenido en la pregunta anterior, ¿ oscilaciones si

presentará

tiene un incremento de forma escalón unitario?.

Solución: + -

+ -

+ -

a. Función de transferencia de Lazo Abierto.

b. Función de transferencia de Lazo Cerrado.

c. Valor de K para que en estado estacionario (régimen permanente) el segundo grupo gire a una velocidad

mitad del primero.

d. Para el valor de K obtenido en la pregunta anterior, ¿ oscilaciones si

presentará

tiene un incremento de forma escalón unitario?

Las raíces del denominador son:

2. Se da el diagrama esquemático de un sistema de control de nivel de un tanque de agua. El flujo del tanque de salida se regula por medio de una bomba y es V [m/s]. El flujo de entrada se manipula por medio de la posición de una válvula, la cual se regula a través de un controlador proporcional de ganancia K. El área de sección del tanque es 2 m.

Para encontrar la función de transferencia de la válvula, es decir, la relación entre x y u se ha obtenido su respuesta escalón.

Se pide: a. Dibuje el diagrama de bloque del sistema donde se muestras las diferentes variables. b. Obtener la función de transferencia de lazo abierto c. Obtener la función de transferencia de lazo cerrado d. Obtener el error estático, diga una sugerencia para eliminar este error.

Solución: Tanque

Función de Transferencia

Controlador

Función de Transferencia

Válvula

Función de Transferencia U (s) 0.02  X ( s) 2.5s  1

a. Diagrama de Bloque del sistema

0.02 2.5s  1

+

-

Haciendo la perturbación V(s) = 0, se obtiene:

b. Función de transferencia de lazo abierto

c. Función de transferencia de lazo cerrado H (s) 0.004 K  2 H r ( s) s  0.4 s  0.004 d. Error estático

El error del sistema es 0, pero si tuviese algún error se pudiera eliminar colocando un controlador Proporcional Diferencial Integral PID.

3. En la siguiente figura se muestra un tanque térmicamente aislado, donde el flujo de entrada Q [m^3/s] es igual que el flujo de entrada. El volumen del tanque es V [m^3]. La espiral eléctrica de calentamiento da una potencia P [kW]. Se supone un mesclado ideal que la temperatura del agua es uniforme.

a. El proceso se puede describir con el siguiente diagrama de bloque, donde To es la temperatura de entrada y T la temperatura de salida, ambos en ºC. Encuentre las funciones de transferencia

y

.

+ +

b. Supóngase que la señal de salida (temperatura T) se mide un medidor de temperatura que tiene una constante de tiempo de 10 seg. Supóngase que se tiene un regulador para regular la potencia calorífica P, asi como el volumen V=3m^3 y el flujo Q=0.01 m^3/s. Dibuje el diagrama de bloque completo (Lazo cerrado) para el sistema bajo estas condiciones.

Solución: Primera Ley en el Tanque

Transformada de Laplace

Manipulando la ecuación, queda lo siguiente.

a. La ecuación anterior es la representación matemática del siguiente diagrama:

+ +

Por lo tanto, las funciones de transferencia

y

serán

b. Medidor de Temperatura

Regulador de Potencia

Diagrama de Bloque

+ +

-

-

4. Sistema de control de nivel de líquido

Se da: El nivel de liquido es medido y la salida del transmisor de nivel (LT) es enviado a un controlador (LC) que ajusta mediante una válvula de control (VC) el flujo de líquido

. Un segundo flujo de entrada

el

la variable carga (perturbación). Se supone que: 

La densidad del líquido  y el área transversal A del tanque son constantes.



El flujo

 

El transmisor y la válvula de control tienen dinámica despreciable. Instrumentos Neumáticos son utilizados.

es lineal.

Se pide:     

Obtener las ecuaciones del sistema de control. Obtener las funciones de transferencia de cada componente. Diagrama de bloque del sistema. Función de transferencia de lazo abierto (FTLA). Función de transferencia de lazo cerrado (FTLC). i.

Perturbación  0

Aplicar

principio ii.

Perturbación = 0 superposición

de



Error estático y error off – set. Considerando control proporcional. Para eliminarlos que haría Usted.

Solución: Ecuaciones del sistema de control Aplicando la ecuación de continuidad en el Tanque

Transformada de Laplace

Lector de Nivel

Transformada de Laplace

Controlador

Transformada de Laplace

Válvula de control

Transformada de Laplace

Funciones de transferencia Tanque

Lector de nivel

Controlador

Válvula

Diagrama de Bloque del Sistema Q1

Hr

K v

+ Hm

Donde

Q2

+

K L

+

H(s)

Haciendo la perturbación

+

-

Función de transferencia de lazo abierto

Función de transferencia de lazo cerrado

Haciendo

+

+

-

-

Función de transferencia de lazo abierto

Función de transferencia de lazo cerrado

Error estático usando un controlador proporcional

Para una entrada escalón Cuando

Error Off – set

Ambos errores se pueden eliminar cambiando el controlador proporcional por uno PID, (Proporcional Integral Derivativo).

5. Sistema de control de velocidad

Las constantes del sistema son: 

Momento de inercia del motor y carga:



Constante de fuerza contraelectromotriz del motor



Resistencia de armadura total del motor y generador



Ganancia del generador



Ganancia del Amplificador



Ganancia del tacómetro



Resistencia del circuito de campo



Inductancia de circuito de campo

(Despreciable )

Se pide:    

Ecuaciones del sistema de control Función de transferencia de cada componente Función de transferencia de lazo abierto Función de transferencia de lazo cerrado i. ii.



Rango de valores de



Error en estado estacionario y error off – set

donde el sistema es estable

Suponer que:  

Los tacómetros de referencia y de realimentación son idénticos La constante de tiempo del generador de campo es despreciable y el voltaje generado es



La fricción viscosa del motor y carga mecánica es despreciable



La velocidad de la carga es igual a la velocidad del motor

Solución: Tacómetro de Referencia

Función de transferencia

Circuito de campo

Función de transferencia

Amplificador

Función de transferencia

Generador

Función de transferencia

Circuito electro mecánico

Función de transferencia

Ganancia del motor

Función de transferencia

Motor eléctrico

Función de transferencia

Sistema mecánico

Función de transferencia

Tacómetro realimentado

Función de transferencia

Relación entre variables

Función de transferencia

Diagrama de bloque

0.5

+ -

5

50

1

0.5 s

+

s

50 s

Reduciendo el diagrama de bloque

+ -

0.41 2+

2.4 2 s

Haciendo

s

s

+ -

Función de transferencia de lazo abierto

Función de transferencia de lazo cerrado

Haciendo

0.41 2

2.4 2

+ -

s

+ -

Función de transferencia de lazo cerrado

Para valores de

variable

s

+ -

El sistema es inestable para todo los valores de Error de estado estacionario y error off-set

6. Sistema de control de temperatura de tanque.

El objetivo del control es regular la temperatura T del tanque a través del ajuste del flujo de vapor en el serpentín de calentamiento. La variable carga (perturbación) se asume que es la temperatura de entrada

. La temperatura del tanque es medida por una termocupla

(sensor) cuya salida es enviada a través de un transmisor a un controlador electrónico. Puesto que se usa una válvula de control, la salida del controlador (4 a 29 mA) debe ser convertida por a una señal neumática equivalente (13 a 15 psig) por un convertidor I/P. Se pide:     

Ecuaciones dinámicas del sistema Función de transferencia de cada componente Diagrama de bloque del sistema Función de transferencia de lazo abierto Función de transferencia de lazo cerrado i.

ii.  Error estático y error Off – set. Considerando control proporcional Se supone:  

El flujo de entrada y salida w son iguales, tal que el nivel de líquido dentro del tanque permaneces constante. El líquido en el tanque está bien mezclado

 

El tanque está bien aislado. El transmisor y válvula tienen dinámica despreciable.

Solución Aplicando primera ley en el tanque

Donde

y

son el calor específico a volumen constante y la entalpía

de vapor respectivamente. Función de transferencia

Transmisor

Función de transferencia

Controlador

Función de transferencia

Convertidor I/P

Función de transferencia

Válvula de control

Función de transferencia

+ + -

Reduciendo el diagrama

+ + -

Haciendo

(Perturbación)

Función de transferencia de lazo abierto

+

+

Función de transferencia de lazo cerrado

Haciendo Y sustituyendo

+ -

+ -

Función de transferencia de lazo cerrado

Error Estático y Error Off-set

Donde

es la ganancia proporcional

7. Control de temperatura de una cámara En la figura se da un sistema de control de temperatura de un horno

Donde : Temperatura ambiente (perturbación) : Temperatura de referencia (Set-point)

: Constante de la Termocupla : Temperatura controlada (de salida) : Ganancia del potenciómetro de entrada Obtener:  

Ecuación de cada componente del sistema Función de transferencia de cada componente



Función de transferencia de lazo abierto;



Función de transferencia de lazo cerrado;



¿Que tipo de sistema es?



Error de estado estacionario

Solución Amplificador diferencial

+

-

Transformada de Laplace

Función de Transferencia

Amplificador de Potencia

Transformada de Laplace

Función de Transferencia

Resistencia

Transformada de Laplace

Función de Transferencia

Cámara interna

Funciones de transferencia

Cámara Externa

Funciones de transferencia

Puente de Wheastone

Función de transferencia

Potenciómetro de Entrada

Funcion de transferencia

DIAGRAMA DE BLOQUE

+

Haciendo

+ + +

-

+

y sustituyendo

+

+ -

+

Reduciendo el diagrama

+-

Función de transferencia de lazo abierto

Funcion de transferencia de lazo cerrado

El sistema dado es un sistema de 4to orden Error en estado estacionario

8. Control de nivel de líquido

Caudal de entrada :

Caudal de salida

:

Señal de nivel suministrada por el Transmisor de nivel (LT)

:

Nivel de líquido en el tanque :

Nivel de referencia

:

Señal de error

:

Señal de accionamiento de la válvula

El controlador LC tiene una función de transferencia de primer orden con un polo en el origen y un cero en -0.1 y constante

. El LT (celda de

presión diferencial) responde a la ecuación:

La válvula de control de salida de líquido se comporta como un sistema de primer orden de constante de tiempo 2seg y ganancia 3. El área de la base del depósito es constante y de valor 5 Se pide:  

Función de transferencia de cada componente Diagrama de bloque del sistema



Estabilidad del sistema en función de

  

Función de transferencia de lazo abierto Función de transferencia de lazo cerrado Error de estado estacionario

Solución: Tanque (Proceso)

Función de Transferencia

Controlador

Función de transferencia

Válvula

Función de transferencia

Lector LT

Función de transferencia

-+

Perturbación

y simplificando el diagrama

+-

Función de transferencia de lazo abierto

Función de transferencia de lazo cerrado

Para la estabilidad en función de valores de que ,

, el sistema es inestable para los

hacen 0 el denominador de la FTLC, los cuales son ,

. Esto se debe a que la ganancia es siempre

positiva entonces el sistema es siempre estable. Error en estado estacionario

9. Control de posición de un eje giratorio flexible

: Sensor de posición Se pide:   

Obtener las ecuaciones físicas del sistema Diagrama de bloque del sistema Función de transferencia

Nota: 

Despreciar el efecto de



Despreciar el efecto de la fuerza electromotora en el motor



, par de carga (perturbación)

Solución: Amplificador

Función de transferencia

Motor eléctrico

Función de transferencia

Malla eléctrica

Función de transferencia

Sistema de engranes

Función de transferencia

Sistema mecánico

Función de transferencia

Sistema de carga

Función de transferencia

Sensor de posición

Función de transferencia

+

-

+ -

Haciendo

,

y simplificando el diagrama

+ -

Función de transferencia de lazo cerrado

10.

Sistema de control realimentado. (Proceso)

(Elemento final de control EFC)

(Sensor + transmisor)

(Controlador PID) Se pretende que se cumplan las siguientes especificaciones de diseño y

, y el error en estado estacionario

(error

de velocidad). Se pide: 

Determinar si es posible alcanzar las especificaciones de diseño con solo variar el parámetro “a” en el EFC considerando



.

Comprobar que las especificaciones de diseño se cumplen con el dado.

  

Hallar la función de transferencia de lazo abierto Hallar la función de transferencia de lazo cerrado Calcular el error off-set para una perturbación sobre el proceso de tipo escalón unitario.

Con el control PID

+ -

+ -

Función de transferencia de lazo abierto

Función de transferencia de lazo cerrado

Para conocer si el sistema es estable se utiliza el criterio de Routh: para el sistema es estable. Para diseñar el sistema en función de a es necesario construir el gráfico del lugar geométrico de las raíces.

Función de transferencia auxiliar

   

Número Número Número Número



Polos ( ) = raíces del denominador



Centroide =  (lugar de partida de las asíntotas)

de de de de

polos = 4 = v ceros = 0 = w ramas = v = 4 asíntotas = v – w = 4

Angulo de las asíntotas.



Puntos de ruptura

Donde

, de aquí entonces

Interceptando da

Con este valor

y

por lo tanto no se puede cumplir los

parámetros de diseño; es necesario aplicar un control PID. Con el controlador PID propuesto

Función de transferencia de lazo abierto

Función de transferencia de lazo cerrado

3 2 1 x -11 -10 -1 0

o -9 1

-8

-7

x -6

-5

x o 0 -4 -3 -1 -2 -3

Cálculos: Comprobando los nuevos parámetros de diseño

El nuevo lugar geométrico presentará un corte a un radio de 1.76

Polos

Numero de asíntotas V – W = 2

-2

Para a = 2

3 2 1 -11 -1

x -10 0

-9 1

-8

-7

x

-6

-5

oo x -4

o0 -3 -1

-2

-2 -3

Error Off – Set es nulo debido a que se utiliza un controlador PID