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Nombre: Edward Isaac Ayala Hernández Matrícula: 91138 Grupo: K048 Materia: Algebra Lineal Nombre del asesor: Dr. Agustín Leobardo Herrera May Actividad: 4. Operaciones con números complejos Ciudad y fecha: Villahermosa, Tabasco. 31 de enero de 2019

1. Resuelva los ejercicios mediante eliminación Gaussiana con pivoteo parcial: a) 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 1 b) −3𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −6 c) 2𝑥1 − 5𝑥2 + 4𝑥3 = 5 Escribimos las ecuaciones en matriz aumentada. 1 −1 1 1 (−3 2 −3 −6) 2 −5 4 5 Ordenamos las ecuaciones de forma que el número de mayor valor absoluto que se encuentra en la primera columna quede en la primera fila. En este caso sería el -3. −3 2 −3 −6 ( 2 −5 4 5) 1 −1 1 1 Para obtener cero en el primer número de la segunda columna multiplicamos la primera fila por 0.6666 y la sumamos en la segunda fila. −3 2 −3 −6 ( 0 −3.6668 2 1) 1 −1 1 1 Multiplicamos la fila 1 por 0.3333 y el resultado lo sumamos a la fila 3 −3 2 −3 −6 ( 0 −3.6668 2 1) 0 −0.3334 0 −1 Multiplicamos la fila 2 por -0.0909 y la sumamos a la tercera fila. −3 2 −3 −6 ( 0 −3.6668 ) 2 1 0 0 −0.1818 −1.0909 Con los valores de la fila 3, despejamos para obtener el valor de 𝑥3 . −0.1818𝑥3 = −1.0909 𝑥3 =

−1.0909 −0.1818

𝑥3 = 6

Una vez obtenido el valor de 𝑥3 despejamos la segunda fila para obtener 𝑥2 . −3.6668𝑥2 + 2𝑥3 = 1 −3.6668𝑥2 + 2(6) = 1 −3.6668𝑥2 + 12 = 1 −3.6668𝑥2 = 1 − 12 −3.6668𝑥2 = −11 𝑥2 =

−11 −3.6668

𝑥2 = 3 Por ultimo despejamos para obtener el valor de 𝑥1 −3𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −6 −3𝑥1 + 2(3) − 3(6) = −6 −3𝑥1 + 6 − 18 = −6 −3𝑥1 = −6 − 6 + 18 −3𝑥1 = −12 + 18 −3𝑥1 = 6 𝑥1 =

6 −3

𝑥1 = −2 Una vez obtenidos los tres valores, sustituimos en las ecuaciones originales para verificar el resultado. 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 1 −2 − 3 + 6 = 1 −5 + 6 = 1

−3𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −6 −3(−2) + 2(3) − 3(6) = −6 6 + 6 − 18 = −6 12 − 18 = −6

2𝑥1 − 5𝑥2 + 4𝑥3 = 5 2(−2) − 5(3) + 4(6) = 5 −4 − 15 + 24 = 5 −19 + 24 = 5 Con esto comprobamos que los valores obtenidos son correctos. 𝑥1 = −2, 𝑥2 = 3 𝑦 𝑥3 = 6.

2. Resuelva los ejercicios por el método iterativo. a) 4.4𝑥1 − 2.3𝑥2 + 0.7𝑥3 = −7.43 b) 0.8𝑥1 + 2.5𝑥2 + 1.1𝑥3 = 12.17 c) −1.6𝑥1 + 0.4𝑥2 − 5.2𝑥3 = 26.12 𝑋1 =

−7.43 2.3 + 4.4 4.4

𝑋2 −

0.7 4.4

𝑋3

𝑋2 =

12.17 0.8 − 2.5 2.5

𝑋1 −

1.1 2.5

𝑋3

𝑋3 =

−26.12 1.6 − 5.2 5.2

𝑋1 +

0.4 5.2

𝑋2

Si se realizan las divisiones para obtener los parámetros llegamos a la siguiente expresión del sistema: 𝑋1 = −1.6886 + 0.52273 𝑋2 − 0.15909 𝑋3

𝑋2 = 4.868 − 0.32 𝑋1 − 0.44 𝑋3 𝑋3 = −5.0231 − 0.30769 𝑋1 + 0.076923 𝑋2

3. Sean z=2 +3i y w= 5 – 4i. Calcule. 𝑧+𝑤 3𝑤 − 5𝑧 𝑧𝑤 2𝑧 + 3𝑤

4. Calcule el conjugado de. a) 1 + 𝑖 1−𝑖

b) 3 − 4𝑖 3+4∗𝑖

c) −7 + 5𝑖 −7 − 5 ∗ 𝑖

d) −3 −3

5. Encuentre las formas polares de los números complejos. a) 𝑖 b) 1 + 𝑖 𝑟 = √1 = 1 0

∝= 𝑎𝑡𝑎𝑛 (1) = atan(0) = 0° c) 1 − 𝑖 d) −1 𝑟 = √1 = 1 0

∝= 𝑎𝑡𝑎𝑛 (−1) = atan(0) = 180° e) 4 + 4𝑖 𝑟 = √32 = 5.657 4

∝= 𝑎𝑡𝑎𝑛 (4) = atan(1) = 45° f)

3√3 + 3𝑖

𝑟 = √18 = 4.243 3 3

∝= 𝑎𝑡𝑎𝑛 ( ) = atan(1) = 45°

6. Efectúe las operaciones: a) (2 − 3𝑖) + (7 − 4𝑖) 2 − 3𝑖 + 7 − 4𝑖 9 − 7𝑖

b) (1 + 𝑖)(1 − 𝑖) 1 − 𝑖2 1 − (−1) 1+1 2

c) (−3 + 2𝑖)(7 + 3𝑖) −21 − 9𝑖 + 14𝑖 + 6𝑖 2 −21 − 9𝑖 + 14𝑖 + 6x(-1) −21 − 9𝑖 + 14𝑖 − 6 −27 + 5𝑖

d) (2 − 3𝑖)(4 + 7𝑖) 8 + 14𝑖 − 12𝑖 − 21𝑖 2 8 + 14𝑖 − 12𝑖 − 21 𝑥 (−1)

8 + 14𝑖 − 12𝑖 + 21 29 + 2𝑖