5problemas De Vectores(49-56) 213g4g

PROBLEMAS DE VECTORES

CAPÍTULO 3

TEST 1.-

Dados los vectores mostrados:

6.a =8

I.-

Al multiplicar un escalar positivo por un vector, se obtiene otro vector en el mismo sentido que el primero. II.- Al multiplicar un escalar negativo por un vector, se obtiene otro vector en sentido contrario al primero. III.- Un vector sólo puede ser descompuesto en dos vectores.

b =3 a) b) c) 2.-

d) e)

b−a =5 a + 4b = 20

Dos vectores tienen de módulos 4 y 8, ¿cuál de los valores enteros puede ser resultante de ellos? a) b) c)

3.-

a + b = 11 a − b = 11 a − 2b = 2

3 13 10

d) e)

2 14

a) b) c) 7.-

a) b)

I.-

c) d)

a) b) c)

VFF VVV VFV

d) e)

a) b) c)

VVV VFV VFF

d) e)

e)

9.-

FFV FVF

a)

R = 2C

d)

R = 3C 10.-

b)

R = 10 N

c)

R = 2C

e)

| R | = 20

FFF FVV

La resultante máxima es la suma de sus módulos. La resultante mínima es la diferencia de sus módulos. La resultante sigue la dirección del mayor. La mayor resultante se da cuando están en el mismo sentido. La menor resultante se da cuando tienen sentidos contrarios.

Su resultante es la suma de sus módulos. Su resultante es la diferencia de sus módulos. Su resultante es mayor que su diferencia. El módulo de su resultante se obtiene por el teorema de Pitágoras. El módulo de su resultante puede ser la suma de sus módulos.

Respecto a los vectores mostrados, señalar lo correcto respecto a su resultante. a) b) c) d) e)

Dadas las relaciones, ¿cuál no corresponde?

d) e)

Para dos vectores ortogonales: a) b) c) d)

Para dos vectores de igual módulo que forman un ángulo de 120°, marcar verdadero o falso: I.- Módulo de su resultante es igual al de uno de ellos. III.- Módulo de su resultante es el doble de uno de ellos. III.- El módulo de su resultante es cero.

5.-

e)

8.-

FFV FVV

VFF VVF VVV

Respecto a dos vectores señalar la alternativa incorrecta:

Para dos vectores perpendiculares, señalar verdadero o falso. Módulo de su resultante es igual al módulo de su diferencia. II.- El módulo de la resultante es mayor que el módulo de la diferencia. III.- El módulo de uno de los vectores es mayor que el de su diferencia.

4.-

Respecto a los vectores, señalar verdadero o falso:

10 N 20 N 30 N 0 N.A.

¿Qué podrás decir de la resultante de los vectores mostrados? a) b) c) d) e)

40 N 120 N 80 N 40 3 N 80 3 N

PROBLEMAS DE VECTORES

CAPÍTULO 3

PROBLEMAS RESUEL TOS RESUELTOS A 1.-

problemas de aplicación Se tienen dos fuerzas iguales a 10 N cada una, como muestra la figura, determinar el valor de su resultante. Solución:

b gb g F 1I 100 + 100 + 2b100gG J H 2K

R = 102 + 102 + 2 10 10 cos 60° R=

Solución:

R = 10 3 N

2.-

¿Cuál es la resultante en N, de dos fuerzas de 10 N de módulo cada una, si forman entre sí un ángulo de 90°?

5.-

Nos piden:

R=A+B+C

......... (1)

De la figura:

A=B+C

......... (2)

(2) en (1)

R = A + A ⇒ R = 2A

En la figura, “M” es punto medio del vector “ A ”, obtener el vector “ D ” en función de los vectores B y C .

Solución: R = 102 + 102 R = 10 2 N

3.-

Encontrar la magnir r tud del vector A + B sabiendo que A = 5 unidades, B = 8 unidades. Solución:

r r Observamos que los vectores A y B son perpendiculares entre si: R=A+B R = A2 + B2 R = 52 + 82 R = 89

Solución: o En el triángulo PQR: C=A+B A = C − B ........ (1) o En el triángulo MPQ: A + B = D ........ (2) 2 o (1) en (2): C−B +B=D 2

R ≈ 9 , 4 unidades D= 4.-

En el sistema mostrado, determinar el vector resultante en términos del vector A .

1 B+C 2

e

j

PROBLEMAS DE VECTORES

B

CAPÍTULO 3

3.-

problemas complementarios

Hallar el módulo del vector resultante, si: a =6 , b =8

1.-

El módulo de la resultante de dos vectores perpendiculares es 10 y cuando forman 120° es 2 13 . Hallar el módulo del mayor de ellos. Solución: o Primer caso: cuando son perpendiculares 2

2

Solución:

2

2

Podemos observar que:

A + B = 102 A + B = 100 ........ (1)

b = d+ e + f − a+ c b + a = d + e + f + c ........ (1) Pero piden:

o Segundo caso: cuando forman 120° 2

2

R = a + b + c + d + e + f ........ (2)

2

13

R = A + B + 2 A B cos 120°

Reemplazando (1) en (2):

FG 1IJ H 2K

= 100 + 2 A B −

R

=2

e2 13 j

2

R= a+b+ b+a =2 a+b

e j e j

A B = 48 ........ (2)

Nótese que a y b forman 90°

F GH

R = 2a+ b = 2

o Finalmente: de (1) y (2) A =8 2.-

2

a +b

2

I JK

⇒ R = 2 62 + 10 2

R = 20

B =6

Dos vectores tienen sus módulos en la relación de 5 a 6. La resultante de las dos forma 37° con el menor módulo. ¿Qué ángulo forman los vectores concurrentes?

4.-

En el paralelogramo, determinar la resultante del sistema, en términos de los vectores A y B , (m y n son puntos medios).

Solución: En el triángulo ABC tan 37° =

6 sen φ 5 + 6 cos φ

3 6 sen φ = 4 5 + 6 cos φ

b

Solución:

g b

3 5 + 6 cos φ = 4 6 sen φ

g

15 + 18 cos φ = 24 sen φ ⇒ 8sen φ − 6 cos φ = 5

Aprovechando los puntos medios, adicionamos vectores A/2 y B /2.

8 6 5 sen φ − cos φ = 10 10 10 cos 37° sen φ − sen 37° cos φ =

b

g

sen φ − 37° = Luego:

1 2

1 2

φ − 37° = 30° ⇒ φ = 67°

R = A + B + C + D ........ (1)

PROBLEMAS DE VECTORES

Del triángulo (II):

Del triángulo (I): C=A+

CAPÍTULO 3

B ........ (2) 2

D=B+

A ........ (3) 2

(2) y (3)en (1):

F GH 5 R = e A + Bj 2

R=A+B+ A+

5.-

I F JK GH

B A + B+ 2 2

I JK

Solución:

La figura muestra un trapecio, de vértices A, B, C, D, sabiendo que ”M” es punto medio del segmento AB, determinar el módulo de la resultante de los vectores a y b . BC = 7 ; AD = 13 Solución: Descomponiendo el vector a :

Nos piden: a + b = ?

a = p + q ........ (1) Descomponiendo el vector b : b = m + n ........ (2) (1) + (2): a + b = p + q + n + m ä

a+b=p+m

Descomponiendo a : a = p + q ........ (1)

Entonces: a + b = p + m

Descomponiendo b :

Según los datos y la figura:

b = m + n ........ (2)

p = 10 ; m = 24 ; a + b = 26

(1) + (2):

0 (de la figura)

Luego:

a + b = p + m+ q+ n ä

2

2

2

a + b = p + m + 2 p m cos α

0 (de la figura)

a+b = q+n

b gb g

262 = 102 + 24 2 + 2 10 24 cos α

Como q y n son paralelos:

cos α = 0 ⇒ α = 90°

a + b = q + n = 7 + 13

Finalmente: 64 ° + α + θ = 180°

a + b = 20

64 ° + 90° + θ = 180° ⇒ θ = 26°

6.-

Dado el trapecio MNPQ mostrado en la figura, determinar el valor del ángulo “θ” para que la resultante de a y b sea de 26 unidades. R es punto medio de PQ (MQ = 10 u; NP = 24 u).

7.-

En el siguiente gráfico se muestra un triángulo con dos vectores en su interior, si AB = 2 y BC = 4. Determinar el módulo del vector resultante. Además: AM = MN = NC

PROBLEMAS DE VECTORES

CAPÍTULO 3

Solución: Creamos vectores ”q” y “p” aprovechando los puntos medios; y le damos nombre a los vectores mostrados ( A y B)

Solución: Nos piden:

Descomponemos los vectores y observamos que el vector MA y NC se anulan.

R ⇒ R=A+B

De la figura: A + q = 2p ⇒ A = 2p − q B + p = 2q ⇒ B = 2q − p A+B=q+p Con lo cual: Pero:

R=p+q

R =L ; p =L ; q =L

Lo cual se reduce a : Luego: R2 = p2 + q2 + 2pq cos α

b gb g

L2 = L2 + L2 + 2 L L cos α L2 = 2L2 + 2L2 cos α

cos α = −

Equivalente a:

1 ⇒ α = 120° 2

Con ello la figura correcta es:

b gb g

R = 4 2 + 22 + 2 4 2 cos 60° R = 4 + 16 + 8 R=2 7

8.-

Hallar la medida del ángulo “α” para que la resultante de los vectores mostrados tenga módulo “L”.

9.-

En la figura se muestra un hexágono regular, determinar el vector resultante en términos del vector “C”.

PROBLEMAS DE VECTORES

CAPÍTULO 3

Solución:

10.-

Expresar el vector

x en función de los vectores r1 y r2 . G: baricentro M: punto medio

Aprovechando que el hexágono es regular, trasladaremos los vectores A y E a la parte inferior.

Solución: Ilustrando R=A+B+C+D+E En el triángulo (I):

En el triángulo (II):

C=B+E

C=D+A

Ordenando R:

Analizando el triángulo CMA

C= A+D + B+E +C 123 123

1 r1 + r2 r +r + 3x = r2 ⇒ x = r2 − 1 2 2 3 2

e

F GH

j e j

C

C

x=

R = 3C

I JK

1 r2 − r1 6

e

j

PROBLEMAS PROPUESTOS A 1.-

problemas de aplicación Es posible aplicar a un cuerpo simultáneamente una fuerza de 6 kN y otra de 8 kN de modo que produzcan el mismo efecto de una sola fuerza. Determinar la magnitud de dicha fuerza (kN).

4.-

En la figura mostrada determinar las compor nentes delr vector r r F (en módulo), F = d + e

Rpta. 10 Rpta. 2.-

Dos fuerzas de módulo “F” forman un ángulo de 120°, determinar su resultante. Rpta. F

3.-

Si el vector C posee un módulo de 5 unidades. Hallar el módulo de la resultante del sistema mostrado.

Rpta. 10 u

Fx = 9 Fy = 6

5.-

r r r La figura muestra r r tres r vectores A , B y C . El vector resultante de: B + C − A , es el indicado en la figura por:

PROBLEMAS DE VECTORES

CAPÍTULO 3

B 1.-

(A)

(B)

(C)

problemas complementarios

r Hallar el módulo de “ P ” para que la resultante del sistema sea una fuerza horizontal de 280 N. Rpta.

2.(D) 6.-

(E)

3.-

k 3

Un jugador de fútbol está corriendo a una velocidad de 3 m/s, hacia el norte. Después de una violenta colisión con otro futbolista, tiene una velocidad de 4 m/s, hacia el este. ¿Cuál de los vectores representa el cambio de su velocidad? ¿porqué?

Sea el vector A = (4 ; -3). Determinar un vector unitario en la dirección de A . Rpta.

8.-

Determinar en la figura que se muestra, el ángulo “α” para que la resultante quede en el eje “x”. Rpta. α = 30°

Determinar la magnitud del vector resultante si cada cuadrado tiene de lado 10 m.

Rpta. 10 2 m

7.-

P = 56 10 N

4$ 3$ i− j 5 5

Rpta.

e Aj

Si: A = 2 $j ; B = 4 $j − 3 $i ; C = 2 $i Calcular: A + B + C Rpta.

9.-

37

La magnitud de la resultante de dos fuerzas varía desde un valor mínimo de 3 hasta un máximo de 12, a medida que varía el ángulo comprendido entre las fuerzas. Determinar el valor de la mayor de las fuerzas.

4.-

Rpta. 7,5 10.-

Hallar la resultante del sistema vectorial (módulo). Rpta.

R =0

En el siguiente conjunto de vectores. ¿Cómo deben ser las componentes del vector D, si la resultante del sistema de vectores es cero? además: A = 25; C = 30 y θ = 217°. Rpta. (5; -4)

5.-

Los vectores A y B forman un ángulo “α”. Hallar el ángulo entre −A y −B si: A = 3 $i + 4 $j ; B = $i + $j Rpta. 8°

PROBLEMAS DE VECTORES

6.-

Hallar el módulo de la resultante del sistema mostrado.

CAPÍTULO 3

8.-

Sea un vector A = (6 ; 8) en las coordenadas xy, determine las nuevas coordenadas del vector A en un sistema de coordenadas x’y’, que resulta de girar el sistema xy anterior un ángulo θ = 16° en sentido antihorario. ¿Qué ocurre con el módulo? Rpta.

9.-

b g

A = 8 ; 6 ; A = 10

Hallar: q – p; sabiendo que en el paralelogramo ABCD mostrado se cumple: AC = 5AE ; BC = 3BF y además: EF = pAD + qAB .

Rpta. 10 u 7.-

Calcular la expresión vectorial del vector DE para que la resultante de DB , FG y DE (suma) sea nulo.

Rpta. 2/3

10.-

Hallar el módulo de la resultante del sistema.

Rpta: 45,5 u

Rpta. 2b $i