Algoritmos De Ordenamiento Y Busqueda En C opy

Universidad Católica del Maule Departamento de Computación e informática Ingeniería civil informática Estructura de datos Profesor Hugo Araya

Algoritmos de Ordenamiento y Búsqueda

Alumno: Jonathan Nicolás Sepúlveda Castillo Fecha entrega: 13 de Mayo 2013

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Resumen En esta investigación se hizo comparaciones de algoritmos de ordenamiento (Buble Sort, Shell Sort, Quick Sort), con el fin de decidir cuál es el más conveniente o eficaz, para esto se obtuvieron los tiempos de ejecución y cantidades de instrucciones con diferentes tamaños de listas, esto se realizó en Windows y Linux. Lo mismo se realizo con los algoritmos de búsqueda (secuencial, binaria, interpolación). Los resultados arrojaron que para el ordenamiento de datos lo mejor es ocupar el Shell Sort, en el caso de la búsqueda de datos es más conveniente usar el ordenamiento binario. Ambos algoritmos fueron elegidos por su velocidad y estabilidad al usar lista de gran tamaño sin depender mucho del hardware o del S.O. Palabras clave: Buble Sort, Quick Sort, Shell Sort, búsqueda, secuencial, interpolación, algoritmo.

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Índice    

1. Introducción………………………………………pág.5 2. Investigación y problemática…………………….pág.6 3. Marco teórico: análisis de algoritmos…………….pág.7 4. Desarrollo de la parte experimental y recolección de datos…………………………………………………pág.7  5. Tablas o 5.1. Algoritmos de ordenamiento:  5.1.1. Buble Sort………………………..pág.8  Tabla 1.1.1 (tiempo)……………………pág.8  Tabla 1.1.2 (instrucciones)……………..pág.8  5.1.2. Shell Sort………………………...pág.9  Tabla 1.2.1 (tiempo)……………...........pág.9  Tabla 1.2.2 (instrucciones)……………..pág.9  5.1.3. Quick Sort……………………...pág.10  Tabla 1.3.1 (tiempo)…………………..Pág.10  Tabla 1.3.2(instrucciones)….…………Pág.10 o 5.2.Algoritmos de Búsqueda:  5.2.1. Búsqueda secuencial…………...Pág.11  Tabla 2.1.1 (tiempo)…………………..pág.11  Tabla 2.1.2 (instrucciones)……………pág.12  5.2.2. Búsqueda binaria……………… pág.13  Tabla 2.1.1 (tiempo)…………………..pág.13  Tabla 2.1.2 (instrucciones)……………pág.14

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 5.2.3. Búsqueda interpolación………. pág.15  Tabla 2.1.1 (tiempo)………………… pág.15  Tabla 2.1.2 (instrucciones)…………....pág.16  6. Interpretación de datos obtenidos……………….pág.17 o 6.1. Algoritmos de ordenamiento:  6.1.1. Buble Sort…….………………. pág.17  Figura 1.1.1………….………………. pág.18  Figura 1.1.2………….…………….….pág.18  6.1.2. Shell Sort……………………… pág.19  Figura 1.2.1…..……………………… pág.20  Figura 1.2.2…………………………...pág.20  6.1.3. Quick Sort……..……………… pág.21  Figura 1.3.1…………………………...pág.22  Figura 1.3.2………………………...... pág.22 o 6.2. Algoritmos de Búsqueda:  6.2.1. Búsqueda secuencial.………… pág.23  Figura 2.1……………………………..pág.24  6.2.2. Búsqueda binaria……………… pág.24  Figura 2.2……………………………..pág.25  6.2.3. Búsqueda interpolación………...pág.26  Figura 2.3……………………………..pág.27  7. Análisis de resultados y soluciones…………...pág.28 o 7.1.Solución para el ordenamiento de datos.... ……………………………………………...pág.28 o 7.2. Solución para la búsqueda de datos…... pág.29  8. Conclusiones……………………………… …pág.30

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1. Introducción Los desarrolladores de software siempre caen en la problemática de cómo dejar satisfecho al cliente con su producto final, que métodos o algoritmos son los mejores para que el programa tenga un funcionamiento óptimo y además haya un buen aprovechamiento de los recursos. En esta investigación analizaremos distintos algoritmos para resolver 2 problemas planteados: ordenar una lista de números y encontrar un número en una lista, para esto se harán pruebas implementando los distintos algoritmos, registrando sus tiempos de ejecución y número de instrucciones cambiando la cantidad de elementos de la lista o arreglo. Con los resultados listos se decidirá cuál es el mejor algoritmo para resolver cada problema. Este informe estará dividido en una parte experimental, una recolección de resultados o datos, el análisis de los mismos y una decisión para dar solución a cada problema planteado.

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2. Investigación y problemática Se tiene diferentes algoritmos en investigación (3 de ordenamiento y 3 de búsqueda), implementados en el lenguaje de programación “C”. Con estos trabajaremos lo que llamamos el “análisis de algoritmos”. Los algoritmos se someterán a prueba en distintas situaciones (S.O, cantidad de datos, hardware). Habrá comparación entre estos, se verán la eficacia de cada uno, el comportamiento en diferentes casos. En esta investigación se responderán interrogantes como las siguientes:     

¿Cómo trabaja cada algoritmo? ¿es conveniente tal comportamiento? ¿Qué factores influyen en su comportamiento? ¿Qué deficiencias o ventajas tiene cada algoritmo? ¿Cuál es el más conveniente? ¿Por qué? ¿Cuál es el menos conveniente? ¿Por qué?

Como objetivo tenemos el aprender a analizar, diferenciar. Llegar a tomar la mejor decisión en como implementar o elegir un algoritmo de forma más eficaz, con el mejor uso de recursos, y mejor funcionamiento del producto final (Software).

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3. Análisis de algoritmos Esta es una herramienta para hacer una evaluación de un diseño, permite establecer la calidad de un algoritmo y compararlos con otros que dan solución al mismo problema sin siquiera implementarlos. Esto implica asociar a cada algoritmo una función matemática que mida su eficacia, para ver esto se utiliza como referencias su estructura y tiempo de ejecución como variables principales. En este caso no utilizaremos esta técnica, sino que trabajaremos de la forma exhaustiva implementando cada programa, tomando sus tiempos y número de instrucciones. Igual llegaremos a nuestro objetivo que es: ver que es la mejor implementación para resolver cada problema.

4. Desarrollo de la parte experimental y recolección de datos Para hacer el análisis se implementaran en lenguaje C los algoritmos “Buble Sort”, “Shell Sort” y “Quick Sort” (en la parte de algoritmos de ordenamiento); “búsqueda secuencial”, “búsqueda binaria” (en la parte de algoritmos de búsqueda). Las variables a buscar serán el tiempo de ejecución y la cantidad de instrucciones, que se verán en listas de datos de varios tamaños. En esta ocasión este experimento se realizara en los sistemas operativos Windows 7 y Fedora 17 (Linux) en la misma máquina (notebook). El equipo a utilizar tiene las siguientes especificaciones de hardware que influyen en los resultados:  Procesador Intel® Core™ i3 primera generación de 2.40 GHz.  RAM de 4 Gb.  Estructura de 64 bit soportada. Los resultados numéricos de la implementación serán expuestos en las siguientes páginas en tabla para cada algoritmo:

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5. Tablas  5.1.Algoritmos de ordenamiento: 5.1.1. Buble Sort

Tabla 1.1.1

Tiempo Algoritmo Buble Sort S.O: Linux – Fedora 17 (64 bit)

S.O : Windows 7 Pro (64bit) N

Ordenado Inverso

Aleatorio

N

Ordenado

Inverso

Aleatorio

1000

0.0

0

0

1000

0

0

0

10000

0.0

0

1

10000

0

0

0

100000

18

36

43

100000

19

36

44

200000

74

148

175

200000

75

144

174

300000

168

325

384

300000

172

346

391

400000

305

587

665

400000

302

564

694

500000

489

916

1038

500000

470

885

1085

600000

-

-

-

600000

692

1270

1566

700000

-

-

-

700000

933

1740

2134

800000

-

-

-

800000

1228

2267

2792

900000

-

-

-

900000

1556

2888

3552

1000000

-

-

-

1000000

1914

3568

4392

Algoritmo Buble Sort Numero de instrucciones N Ordenado Inverso 1000 500499 2498499 10000 50004999 249984999 100000 5000049999 2499984999 200000 20000099999 99999699999 300000 45000149999 224999549999 400000 80000199999 399999399999 500000 125000249999 624999249999 600000 180000299999 899999099999 700000 245000349999 1224998949999 800000 320000399999 1599998799999 900000 405000449999 2024998649999 1000000 500000499999 2499998499999

8

Aleatorio 1432851 149200267 15009968375 59960205271 135166553935 240413179583 375422331883 540456926855 735557933775 960337562975 1216174836647 1500398181655

Tabla 1.1.2

5.1.2. Shell Sort Tabla 1.2.1 Tiempo Algoritmo Shell Sort S.O: Linux – Fedora 17 (64 bit)

S.O : Windows 7 Pro (64bit) N

Ordenado Inverso

Aleatorio

N

Ordenado

Inverso

Aleatorio

1000

0

0

0

1000

0

0

0

10000

0

0

0

10000

0

0

0

100000

0

0

0

100000

0

0

0

200000

0

0

0

200000

0

0

0

300000

0

0

1

300000

0

0

0

400000

0

0

1

400000

0

0

0

500000

1

1

1

500000

0

0

0

600000

-

-

-

600000

0

0

0

700000

-

-

-

700000

0

0

0

800000

-

-

-

800000

0

0

0

900000

-

-

-

900000

0

0

0

1000000

-

-

-

1000000

0

0

0

Tabla 1.2.2

N 1000 10000 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000 900000 1000000

Ordenado 8033 120044 1500054 3200057 5100062 6800060 8500069 10800065 12600066 14400063 16200068 18000064

Algoritmo Shell Sort Numero de instrucciones Inverso 42493 572558 7521238 15944043 23598359 33689648 49636925 49902764 60057841 70980853 77922189 85779790

9

Aleatorio 89543 2050577 103176363 152285011 243829801 278088731 267649769 425415889 588968753 576421845 668385733

5.1.3. Quick Sort Tabla 1.3.1 Tiempo Algoritmo Quick Sort S.O: Linux – Fedora 17 (64 bit)

S.O : Windows 7 Pro (64bit) N

Ordenado Inverso

Aleatorio

N

Ordenado

Inverso

Aleatorio

1000

0

0

0

1000

0

0

0

10000

-

-

0

10000

0

0

0

100000

-

-

0

100000

-

-

0

200000

-

-

-

200000

-

-

0

300000

-

-

-

300000

-

-

0

400000

-

-

-

400000

-

-

0

500000

-

-

-

500000

-

-

0

600000

-

-

-

600000

-

-

0

700000

-

-

-

700000

-

-

0

800000

-

-

-

800000

-

-

1

900000

-

-

-

900000

-

-

1

1000000

-

-

-

1000000

-

-

1

N 1000 10000 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000 900000 1000000

Ordenado 1099 109990 -

Algoritmo Quick Sort Numero de instrucciones Inverso 9990 99990 -

10

Aleatorio 19915 263202 3241123 6912695 10662310 14609596 18493308 22638567 26618672 31182977 35490639 39642089

Tabla 1.3.2

 5.2.Algoritmos de búsqueda 5.2.1 Búsqueda secuencial Tabla 2.1.1

Tiempo Algoritmo Búsqueda Secuencial S.O: Linux- Fedora 17 (64 bit) N

1° numero

1000 0 10000 0 100000 0 200000 0 300000 0 400000 0 500000 0 600000 0 700000 0 800000 0 900000 0 1000000 0 S.O: Windows 7 Pro (64 bit) N 1000 10000 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000 900000 1000000

Opciones a buscar en lista Ultimo numero Numero del Medio 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Opciones a buscar en lista Ultimo numero Numero del Medio

1° numero 0 0 0 0 0 0 0 -

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Numero no se encuentra

0 0 0 0 0 0 0 -

0 0 0 0 0 0 0 -

11

Numero no se encuentra 0 0 0 0 0 0 0 -

Llamadas N 1000 10000 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000 900000 1000000

1° numero 1003 10003 100003 200003 300003 400003 500003 600003 700003 800003 900003 1000003

Algoritmo Búsqueda Secuencial Opciones a buscar en lista Ultimo numero Numero del Medio 1003 10003 100003 200003 300003 400003 500003 600003 700003 800003 900003 1000003

1003 10003 100003 200003 300003 400003 500003 600003 700003 800003 900003 1000003

Tabla 2.1.2

12

Numero no se encuentra 1003 10003 100003 200003 300003 400003 500003 600003 700003 800003 900003 1000003

5.1.2. Búsqueda binaria Tabla 2.2.1

Tiempo Algoritmo Búsqueda Binaria S.O: Linux- Fedora 17 (64 bit) N

1° numero

1000 0 10000 0 100000 0 200000 0 300000 0 400000 0 500000 0 600000 0 700000 0 800000 0 900000 0 1000000 0 S.O: Windows 7 Pro (64 bit) N 1000 10000 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000 900000 1000000

Opciones a buscar en lista Ultimo numero Numero del Medio 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Opciones a buscar en lista Ultimo numero Numero del Medio

1° numero 0 0 0 0 0 0 0 -

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Numero no se encuentra

0 0 0 0 0 0 0 -

0 0 0 0 0 0 0 -

13

Numero no se encuentra 0 0 0 0 0 0 0 -

Llamadas N 1000 10000 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000 900000 1000000

1° numero 33 49 61 65 69 69 69 73 73 73 73 73

Algoritmo Búsqueda Binaria Opciones a buscar en lista Ultimo numero Numero del Medio 37 65 69 73 73 73 73 77 77 77 77 77

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Numero no se encuentra 36 48 64 68 68 72 72 72 72 76 76 76

Tabla 2.2.2

14

5.2.3. Búsqueda Interpolación Tabla 2.3.1

Tiempo Algoritmo Búsqueda interpolación S.O: Linux- Fedora 17 (64 bit) N

1° numero

1000 0 10000 0 100000 0 200000 0 300000 0 400000 0 500000 0 600000 700000 800000 900000 1000000 S.O: Windows 7 Pro (64 bit) N 1000 10000 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000 900000 1000000

Opciones a buscar en lista Ultimo numero Numero del Medio 0 0 0 0 0 0 0 -

-

Opciones a buscar en lista Ultimo numero Numero del Medio

1° numero 0 0 0 0 0 0 0 -

0 0 0 0 0 0 0 -

Numero no se encuentra

0 0 0 0 0 0 0 -

0 0 0 0 0 0 0 -

15

Numero no se encuentra -

Llamadas N 1000 10000 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000 900000 1000000

Algoritmo Búsqueda interpolación Opciones a buscar en lista Ultimo numero Numero del Medio

1° numero 4 4 4 4 4 4 4 -

4 4 4 4 4 4 4 -

1497 14997 149997

299997 449997 599997 749997 -

Numero no se encuentra Error Error Error Error Error Error Error 2.3.2

16

6. Interpretación de datos obtenidos Lo primero que podemos observar en forma general es la gran diferencia entre los S.O (esto no es relevante en el objetivo de nuestra investigación ya que estamos comparando algoritmos no sistemas, pero no está demás aclarar), donde Windows no soporta un arreglo mayor a 500.000 elementos a diferencia de Linux que funciona con 1 millón de datos sin problemas. La otra observación general es que al parecer los tiempos de ejecución son directamente proporcionales a la cantidad de instrucciones. A continuación haremos un análisis individual de cada de algoritmo:

 6.1 Algoritmos de Ordenamiento 6.1.1 Buble Sort Este podría decirse que es el más simple de implementar entre los 3 algoritmos ocupados, tiene un funcionamiento simple donde va revisando cada elemento y lo compara con el elemento anterior, pero esto consume mucho tiempo en comparar. A continuación el código del Buble Sort:

Por lo visto en sus tiempos de ejecución tiene un comportamiento exponencial, por lo cual su grafica, que se presentará a continuación, tiene un

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gran aumento a medida que se aumenta la cantidad de datos. El peor caso para este algoritmo es la lista aleatoria .

Windows

Figura 1.1.1

1200 1000 800 Ordenado

600

Inverso 400

Aleatorio

200 0 -200000

0

200000

400000

600000

800000 1000000 1200000

-200

Linux

Figura 1.1.2 5000 4500 4000 3500 3000 Ordenado

2500

Inverso 2000

Aleatorio

1500 1000 500 0 -200000 0 -500

200000

400000

600000

800000 1000000 1200000

18

6.1.2 Shell Sort Este algoritmo trabaja como base con los valores intermedios de la lista. Tiene como código lo siguiente:

El comportamiento del tiempo de este ordenamiento es casi constante en T=0 segundos, un funcionamiento rápido, solo en Windows hay valores que llegan a T=1 segundo, pero en Linux se mantiene constante en 0. El peor caso para este algoritmos es la lista aleatoria. En la siguiente página se exponen los gráficos que demuestran esto:

19

Windows

Figura 1.2.1

1,2 1 0,8 Ordenado

0,6

Inverso 0,4

Aleatorio

0,2 0 -200000

0

200000

400000

600000

800000 1000000 1200000

-0,2

Linux

Figura 1.2.2 1 0,9 0,8 0,7 0,6 Ordenado 0,5

Inverso

0,4

Aleatorio

0,3 0,2 0,1 0 -200000

0

200000

400000

600000

800000 1000000 1200000

20

6.1.3 Quick Sort Este algoritmo tiene la particularidad que ocupa una función recursiva para ordenar la lista. Su código es el siguiente:

El comportamiento, que se puede observa en los datos obtenidos, es lineal y constante en T=0, funcionamiento rápido. Eso si este tiene un gran problema, en cierto momento (al aumenta la cantidad de elementos) el programa no es soportado por el equipo y deja de responde, esto ocurre tanto en Windows como en Linux. Esto es causado por la cantidad de llamadas que usa este algoritmo, al ser recursivo, dejando corto de memoria al equipo. El peor caso es lista aleatoria. A continuación los grafico que muestran lo anteriormente dicho:

21

Windows

Figura 1.3.1

1 0,9 0,8 0,7 0,6 Ordenado 0,5

Inverso

0,4

Aleatorio

0,3 0,2 0,1 0 -100000

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

Linux

Figura 1.3.2 1,2 1 0,8 Ordenado

0,6

Inverso 0,4

Aleatorio

0,2 0 -200000

0

200000

400000

600000

800000 1000000 1200000

-0,2

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 6.2 Algoritmos de búsqueda Aquí analizaremos la cantidad de instrucciones (la cual es la misma para Windows y Linux) en vez de el tiempo, ya que los algoritmos de búsqueda son muy rápidos y los valores entregados son solo t=0 segundos, además solo se ocupara una lista ordenada ya que la búsqueda binaria solo soporta eso y sería la única forma de compararlo con los demás algoritmos.

6.2.1 Búsqueda secuencial La búsqueda secuencial es simple de entender su funcionamiento, este simplemente va revisando cada uno de los elementos y cuando encuentra lo deseado indica en qué posición esta. Su código es el siguiente:

El comportamiento de este es lineal y va en aumento constante. Al buscar diferentes números en una lista de mismo tamaño el número de instrucciones es el mismo, ya que siempre recorre todos los elementos de la lista a pesar de ya haber encontrado lo deseado. El número de instrucciones cambia proporcionalmente solo al cambiar el tamaño de la lista o arreglo. A continuación se expone el grafico de lo anteriormente dicho:

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Búsqueda Secuencial (numero de instrucciones)

Figura 2.1

1200000 1000000 800000 1° numero 600000

Ultimo numero Numero del Medio

400000

no encuentra 200000 0 -200000

0

200000 400000 600000 800000 1000000 1200000

-200000

6.2.2 Búsqueda Binaria Este algoritmo, en forma grafica, tiene un comportamiento un tanto “raro” pero efectivo: primero empieza buscando en la posición media de la lista o arreglo, después en se va a los valores que están antes del dato del centro y después a los que están después. Su código es el siguiente:

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Se puede observar que al buscar un elemento que está en el centro de la lista el número de instrucciones es 1. También se puede ver que hay una relación entre la cantidad de instrucciones al buscar el primer dato y el último dato, esto se puede representar con la siguiente fórmula: I primero+ 4 =I ultimo I primero : es la cantidad de instrucciones del primer elemento de la lista. I ultimo: es la cantidad de instrucciones del último elemento de la lista. A continuación el grafico de lo anterior dicho: Búsqueda Binaria (numero de instrucciones)

Figura 2.2

90 80 70 60 1° numero

50

Ultimo numero

40

Numero del Medio

30

no encuentra

20 10 0 -200000

0

200000 400000 600000 800000 1000000 1200000

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6.2.3 Búsqueda interpolación El código de este algoritmo es el siguiente:

Lo que se puede observar en este es que el número de llamadas en buscar el primer y último elemento no cambia al cambiar el tamaño del arreglo (se mantiene en # = 4 para ambos caso). Una cosa importante que se puede rescatar es que para ambos S.O en algoritmo deja de responder después de los 500 mil elementos, esto le da limitaciones a pesar de funcionar bien con listas menores a los 500 mil elementos. Además da error cuando no se encuentra. El grafico que muestra será expuesto a continuación

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Búsqueda interpolación (numero de instrucciones)

Figura 2.3

900000 800000 700000 600000 1° numero

500000

Ultimo numero

400000

Numero del Medio

300000

Numero no se encuentra

200000 100000 0 -500000 0 -100000

500000

1000000

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1500000

7. Análisis de resultados y soluciones En lo que son las preguntas planteadas en el inicio de este informe, algunas como el funcionamiento de los algoritmos han sido respondidas en la sección anterior. Para lo demás podemos responder lo siguiente:

 7.1. Solución para el ordenamiento de datos  En lo que tiene que ver con los factores que intervienen en el funcionamiento, podemos encontrar la cantidad de datos y el ambiente o sistema (S.O) donde se trabaja.  En el tema del mejor algoritmo, podemos dejar como el más conveniente el Shell Sort, porque es rápido y es soportado por los 2 sistemas en su totalidad. ¿Por qué no el Quick Sort que mas rápido?, la respuesta a esto es simple ya que al llegar a una determinada cantidad de datos el programa no es soportado por el equipo, lo que limita su funcionamiento y no garantiza un buen funcionamiento en cualquier maquina o sistema.  El peor vendría siendo el Buble Sort por el tiempo que ocupa en ordenar arreglos, especialmente los muy grandes.

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 7.2. Solución para la búsqueda de datos  Los factores que influyen son los mismos que en el ordenamiento de datos  Podemos dejar como el mejor algoritmo la búsqueda binaria, ya que ocupa pocas instrucciones en buscar algún elemento y además soporta sin problemas un arreglo de 1 millón de elementos. Pero si para listas que no superan los 500 mil elementos es preferible el algoritmo de búsqueda interpolación, especialmente cuando se busca valores de los extremos del arreglo.  El peor sería la búsqueda secuencial, porque ocupa muchas instrucciones en buscar algún dato o elemento.

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8. Conclusiones y sugerencias Ya con los resultados listos de nuestra investigación, podemos rescatar diferentes cosas. En el caso especifico de los algoritmos de ordenamiento, se observa que el algoritmo Quick Sort tiene un mejor funcionamiento que los demás, las razones son su velocidad de ordenamiento y su estabilidad al ordenar listas de gran tamaño. En el caso de los algoritmos de búsqueda, el mejor caso se observa en el algoritmo de búsqueda binaria, tal decisión es porque necesita pocas instrucciones para cumplir su función y se comporta de forma estable en grandes listas o arreglos. Tomando un caso más general los algoritmos son comparados para ver cuál es el más conveniente por factores como su tiempo de ejecución, cantidad de instrucciones y, algo muy importante, su estabilidad en distintas condiciones como S.O, hardware, etc. Estos están condicionados por la estructura de tal código (recursiva, no recursiva, etc.) y forma ocupar las iteraciones (for, while). El trabajo practico que se a realizado no se aleja mucho a lo teorico. Como sugerencia general para optimizar el trabajo hecho es el revisar bien que valores son más relevantes de analizar, para ahorrar tiempo. Otra sugerencia más conveniente es aplicar el análisis de algoritmos para poder decidir sin ni siquiera implementar los diferentes algoritmos.

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