Analisis Bidimensional De Datos 3f3114

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS

INFORME DE ANALISIS BIDIMENSIONAL DE DATOS ASIGNATURA :

Análisis Estadístico de Datos Mineros

ESTUDIANTES :

Angel Anthony Flores Pauca

CODIGO

:

07-31116

DOCENTE

:

Ing. Jorge Segura

AÑO

:

Tercero TACNA – PERÚ 2012

INTRODUCCIÓN Estadística, disciplina que estudia cuantitativamente los fenómenos de masa o colectivos, o sea, aquellos fenómenos cuyo estudio solo puede efectuarse a través de una colección de observaciones; es decir , La Estadística es una disciplina que utiliza recursos matemáticos para organizar y resumir una gran cantidad de datos obtenidos de la realidad, e inferir conclusiones respecto de ellos. En muchas ocasiones no basta con estudiar la descripción de un fenómeno y sus variaciones, es conveniente conocer a qué son debidas esas variaciones. Puede resultar interesante e incluso necesario estudiar los cambios producidos en una variable en relación con otras, o cómo influyen unas variables para que otra cambie. Cuando se estudian conjuntamente varias variables se entra en el campo de la estadística multivariable (muchas variables). Si el estudio se reduce a dos variables, como en este tema, se llama estadística bidimensional. La estadística bidimensional estudia fenómenos en los que intervienen dos variables conjuntamente, buscando la relación que existe entre ambas. Así, por ejemplo, se puede estudiar la influencia que tienen los ingresos de una determinada familia en los gastos que tiene, o cómo influye la velocidad de un cierto automóvil en su consumo de combustible, o qué relación existe entre la ley de cabeza de mineral y el costo de ella. Una variable bidimensional se representa por un par (X, Y), donde X es la primera variable y toma los valores X1, X2, X3,...,Xn e Y la segunda y toma los valores, Y1, Y2, Y3, ...,Yn. Sin embargo, al considerar dos variables de una población o muestra, no podemos afirmar que se trata de una variable bidimensional porque la relación entre las variables puede no ser estadística.

ANALISIS BIDIMENSIONAL En numerosas ocasiones interesa estudiar simultáneamente dos (o más) caracteres de una población. En el caso de dos (o más) variables estudiadas conjuntamente se habla de variable bidimensional; si se trata de dos caracteres cualitativos, de par de atributos. 1. Notación: M = {(X1, Y1) (X2, Y2),…,(Xn, Yn)} 2. Análisis cualitativo: En el estudio visto de regresión y correlación se ha tratado solo el caso de variables cuantitativas (ingresos, salarios, precios, etc.). Con variables de tipo cualitativo se puede construir tablas de contingencia, a través de las cuales se puede estudiar la independencia estadística entre los distintos atributos. Si dos atributos son dependientes, se pueden construir una serie de coeficientes que nos midan el grado asociación o dependencia entre los mismos. a) Diagrama de dispersión En un problema de este tipo, se observan los valores (xi, yj) y se representan en un sistema de ejes coordenados, obteniendo un conjunto de puntos sobre el plano, llamado “diagrama de dispersión o nube de puntos”.

En los diagramas de arriba se puede observar cómo en el de la izquierda, una línea recta inclinada puede aproximarse a casi todos los puntos, mientras que en el otro, cualquier recta deja a muchos puntos alejados de ella. Así pues, el hacer un análisis de regresión lineal sólo estaría justificado en el ejemplo de la izquierda. Como se puede ver en ambos diagramas, ninguna recta es capaz de pasar por todos los puntos, y seguir siendo recta. De todas las rectas posibles, la recta de regresión de y sobre x es aquella que minimiza un cierto error, considerando a X como variable explicativa o independiente y a Y como la explicada o dependiente.

b) Gráfico QQ plot Los diagramas de cuantiles comparan en un sistema de coordenadas cartesianas, los cuantiles muestrales (eje X) con los cuantiles esperados bajo la hipótesis normalidad. Si la distribución de partida es normal dichos diagramas tenderán a ser rectas que pasan por el origen. Cuanto más se desvíen de una recta menos normal serán los datos. En la Figura se muestran posibles diagramas de cuantiles según la forma de la distribución de frecuencias.

Diagramas de cuantiles correspondientes a distintos tipos de distribuciones 3. Análisis cuantitativo: Las variables cuantitativas son las que pueden expresarse numéricamente. Una primera clasificación, basada en el tipo de valores que puede tomar, permite distinguir entre variables cuantitativas discretas que son, frecuentemente el resultado de contar y, por tanto, toman sólo valores enteros y continuas, que resultan de medir y pueden contener cifras decimales. Las variables cuantitativas discretas con un número pequeño de valores se tratarían de manera similar a las variables cualitativas antes descritas. a) Covarianza Para las variables estadísticas bidimensionales se define la “covarianza’’ como la media aritmética de los productos de las desviaciones respecto de la media de cada una de las variables componentes. Es decir: Cxy = sumatoria (x*y) – (x prom.*y prom.) Una covarianza positiva y alta indica que ambas variables crecen o decrecen simultáneamente, es decir, presentan una fuerte correlación. Cuando mayor sea la covarianza, más estrecha es la relación entre las variables. Cxy > 0

correlación positiva

Una covarianza alta y negativa indica que cuando una variable crece, la otra decrece y viceversa, es decir, presentan una fuerte correlación inversa. Cuanto menor sea la covarianza, puesto que es negativa, más estrecha es esta relación entre las variables. Cxy < 0

correlación negativa

La covarianza cero o próxima a cero indica que no existe relación entre las variables. Cxy = 0

correlación nula

b) Coeficiente de correlación Un coeficiente de correlación expresa el grado de relación entre variables. Su valor o magnitud fluctúa de +1 (perfecta correlación positiva) a -1 (Perfecta correlación negativa). Si X e Y denotan las dos variables que se consideran, un diagrama de dispersión muestra la localización de los puntos (X,Y) en un sistema de coordenadas rectangulares. Si todos los puntos en este diagrama de dispersión parecen encontrarse cerca de una recta, como en (a) y (b) la correlación se dice lineal. Si Y tiende a incrementarse cuando se incrementa X, como en (a) la correlación se dice positiva o correlación directa. Si Y tiende a disminuir cuando se incrementa X, como en (b) la correlación se dice negativa o correlación inversa. Si todos los puntos parecen estar cerca de una curva, la correlación se dice no lineal y una ecuación no lineal es la apropiada para la regresión o estimación, una correlación no lineal puede ser a veces positiva o negativa. Si no hay ninguna relación entre las variables (c) se dice que no hay correlación entre ellas, es decir no están correlacionadas.

Asi por ejemplo, la correlación que existe entre inteligencia y rendimiento es positiva, dado a que los alumnos más inteligentes tienden a obtener altos rendimientos académicos. El que una correlación sea estadísticamente significativa quiere decir que conocemos la probabilidad de error cuando sabemos que X e Y correlacionan. Es decir, conocemos el márgen de error en el sentido de que la relación entre X e Y se deba simplemente a una casualidad o al azar y no a factores causales estructurales que asocian a las variables.

PROCESO PRÁCTICO - EXCEL ANALISIS BIDIMENSIONAL DE DATOS

MODELO NO LINEAL Nº

X

Y

1

240

2

MINIMOS CUADRADOS

Y*

ei

XY

X²

Y²

25

6000

57600

625

34,10985915 82,98953382

236

31

7316

55696

961

31,73840376 0,545240107

3

290

45

13050

84100

2025

63,75305164 351,6769459

4

274

60

16440

75076

3600

54,26723005 32,86465133

5

301

65

19565

90601

4225

70,27455399 27,8209198

6

316

72

22752

99856

5184

79,16751174 51,3732245

7

300

80

24000

90000

6400

69,68169014 106,4675183

8

296

84

24864

87616

7056

67,31023474 278,5482644

9

267

75

20025

71289

5625

50,1171831 619,1545769

10

276

60

16560

76176

3600

55,45295775 20,67559326

11

288

50

14400

82944

2500

62,56732394 157,9376311

12

261

38

9918

68121

1444

46,56

73,2736

Σ

3345

685

194890

939075

43245

685

1803,3277

promedio

278,75

57,0833333

16240,8333

78256,25

3603,75

ANALISIS CUANTITATIVO VARIABLE VALOR COVARIANZA

328,8541667

D.E. DE (X)

23,5518046

D. E. DE (Y)

18,5807173

C.CORRELACION

0,751478714

C.CORRELACION

0,751478714

R

0,751465235

VARIANZA DE X

605,1136364

VARIANZA DE Y

376,6287879

57,08333333 150,2773083

POR MATRICES

[

12

3345

3345

939075

11,75680751

-0,041877934

-0,041877934

0,000150235

]

[

a b

] = [

685 194890

]

MATRIZ INVERSA

[

]

[

a b

] = [

-108,177465 0,59286385

GRAFICO DE DISPERCION 90

80 70 60 50

Series1

40

Linear (Series1)

30 20

y = 0.5929x - 108.18 R² = 0.5647

10 0 0

100

200

300

MODELO NO LINEAL

400

]

PROCESO PRÁCTICO - MANUAL ANALISIS BIDIMENSIONAL DE DATOS

MODELO NO LINEAL  VACULO DE Y* ∑Y=b∑x+na ∑ XY = b ∑ x2 + a ∑ x ___________________________________ 685 = b*3345 + 12*a (-278,75) 194890 = b *939075 + 3345*a ___________________________________ -190943,75 = 932418,75*b - 3345*a 194890 = 939075*b + 3345*a ___________________________________ 3946,25 = 6656,25*b  b = 0,5928  a = -108,159 Y* = b x + a Y* = (0,5928) x + (+108,159) Y* = 34,113 Y* = 31,742 Y* = 63,753 Y* = 54,268 Y* = 70,274 Y* = 79,166 Y* = 69,681 Y* = 67,309 Y* = 50,118 Y* = 55,454 Y* = 62,567 Y* = 46,562  CALCULO DE LA COVARIANZA Cxy = XY – X Y Cxy = 16240,8 – (278,75) (57,08) Cxy = 329,75

 CALCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACION P = Cxy = 329,75 = 0,7531 SxSy (23,552) (18,591) 

Sx2 = ∑ x2 – nx2 = 939075 – 12 (278,75)2 = 554,6875 n 12 Sx = 554,6875 ½ = 23,552



Sy2 = ∑ y2 – ny2 = 43245 – 12 (57,08)2 = 345,6236 n 12 Sy = 345,6236 ½ = 18,591

 CALCULO DE LA VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR S2 = ∑ei2 = 1803,384 = 180,3384 n-2 12-2 SE = 180,3384 ½ = 13,429

PROCESO PRÁCTICO - EXCEL ANALISIS BIDIMENSIONAL DE DATOS

REGRESION MULTIPLE REGISTROS DE PLANTA CONCENTRADORA

Rec. Planta 86 89 83 80 88 86 82

Cu-T 1,2 1 1,6 1,8 1,2 1,3 1,5

x1

CuS 0,3 0,4 0,3 0,4 0,7 0,6 0,5

Zn 0,01 0,01 0,02 0,01 0,04 0,03 0,01

COVARIANZA x2

x3

Ag 0,003 0,002 0,004 0,003 0,001 0,005 0,003

x4

x1

-0,00836735 -0,00061224

0,000114286

x2

0,00122449

-4,28571E-05

x3

-1,42857E-06

x4 COEFICIENTE DE CORRELACION x1 x1

x2

x3

x4

-0,23465763

-0,2136544

0,375340516

x2

0,777713771 -0,256173769

x3

-0,10625593

x4

PERCENTILES RANGO

X1

X2

X3

X4

0,05

5

1,06

0,3

0,01

0,0013

0,1

10

1,12

0,3

0,01

0,0016

0,15

15

1,18

0,3

0,01

0,0019

0,2

20

1,2

0,32

0,01

0,0022

0,25

25

1,2

0,35

0,01

0,0025

0,3

30

1,2

0,38

0,01

0,0028

0,35

35

1,21

0,4

0,01

0,003

0,4

40

1,24

0,4

0,01

0,003

0,45

45

1,27

0,4

0,01

0,003

0,5

50

1,3

0,4

0,01

0,003

0,55

55

1,36

0,43

0,013

0,003

0,6

60

1,42

0,46

0,016

0,003

0,65

65

1,48

0,49

0,019

0,003

0,7

70

1,52

0,52

0,022

0,0032

0,75

75

1,55

0,55

0,025

0,0035

0,8

80

1,58

0,58

0,028

0,0038

0,85

85

1,62

0,61

0,031

0,0041

0,9

90

1,68

0,64

0,034

0,0044

0,95

95

1,74

0,67

0,037

0,0047

GRAFICOS DE DISPERCION  X1 – X2 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4

Series1

0.3 0.2 0.1 0 0

0.5

1

1.5

2

 X1 – X3 0.045 0.04 0.035 0.03 0.025 Series1

0.02 0.015 0.01 0.005 0 0

0.5

1

1.5

2

 X1 – X4 0.006 0.005 0.004 0.003

Series1

0.002 0.001 0 0

0.5

1

1.5

2

 X2 – X3 4

3.5 3 2.5 2

Series1

1.5 1 0.5 0 0

10

20

30

40

50

60

70

 X2 – X4 0.006 0.005 0.004 0.003

Series1

0.002 0.001 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

 X3 – X4 0.006 0.005 0.004 0.003

Series1

0.002

0.001 0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

GRAFICOS QQ PLOT  X1 – X2 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4

Series1

0.3 0.2 0.1 0 0

0.5

1

1.5

2

 X1 – X3 0.04 0.035

0.03 0.025 0.02

Series1

0.015 0.01 0.005 0 0

0.5

1

1.5

2

 X1 – X4 0.005 0.0045 0.004 0.0035 0.003 0.0025

Series1

0.002 0.0015 0.001 0.0005 0 0

0.5

1

1.5

2

 X2 – X3 0.04 0.035 0.03 0.025 0.02

Series1

0.015 0.01 0.005 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

 X2 – X4 0.005 0.0045 0.004 0.0035 0.003 0.0025

Series1

0.002 0.0015 0.001 0.0005 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

 X3 – X4 0.005 0.0045 0.004 0.0035 0.003 0.0025

Series1

0.002 0.0015 0.001 0.0005

0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

PROCESO PRÁCTICO - EXCEL ANALISIS BIDIMENSIONAL DE DATOS

REGRESION MULTIPLE TABLA DE DATOS Nº

Y

X1

X2

X1Y

X2Y

X1^2

X2^2

X1X2

1

0,46

8,4

3,7

3,864

1,702

70,56

13,69

31,08

2

0,35

9,3

3,6

3,255

1,26

86,49

12,96

33,48

3

0,41

7,7

2,8

3,157

1,148

59,29

7,84

21,56

4

0,43

9,8

4,2

4,214

1,806

96,04

17,64

41,16

5

0,4

7,3

2,5

2,92

1

53,29

6,25

18,25

6

0,33

8,5

3

2,805

0,99

72,25

9

25,5

7

0,38

9,5

2,5

3,61

0,95

90,25

6,25

23,75

8

0,49

7,4

3,8

3,626

1,862

54,76

14,44

28,12

9

0,42

7,8

4

3,276

1,68

60,84

16

31,2

∑

3,67

75,7

30,1

30,727

12,398

643,77

104,07

254,1

COVARIANZA x1 x1

x2 0,10283951

x2 COEFICIENTE DE CORRELACION x1 x1 x2

x2 0,18899957

POR MATRICES 9 75,7 30,1

75,7 643,77 254,1

30,1

a0

254,1 104,07

a1 a2

3,67

=

30,727 12,398

MATRIZ INVERSA 11,68 -1,10 -0,68

-1,10 0,15 -0,04

-0,68

a0

-0,04 0,30

a1 a2

0,48

=

PERCENTILES

RANGO

X1

X2

0,05

5

7,34

2,5

0,1

10

7,38

2,5

0,15

15

7,46

2,56

0,2

20

7,58

2,68

0,25

25

7,7

2,8

0,3

30

7,74

2,88

0,35

35

7,78

2,96

0,4

40

7,92

3,12

0,45

45

8,16

3,36

0,5

50

8,4

3,6

0,55

55

8,44

3,64

0,6

60

8,48

3,68

0,65

65

8,66

3,72

0,7

70

9,3

3,76

0,75

75

9,3

3,8

0,8

80

9,38

3,88

0,85

85

9,46

3,96

0,9

90

9,56

4,04

0,95

95

9,68

4,12

-0,03 0,04

GRAFICOS DE DISPERCION 4.5 4 3.5

3 2.5 Series1

2 1.5 1

0.5 0

0

2

4

6

8

10

12

GRAFICOS QQ PLOT 4.5 4 3.5 3 2.5 Series1

2 1.5 1 0.5 0 0

2

4

6

8

10

12

CONCLUSIONES  El estudio de la relación entre dos caracteres de una variable estadística bidimensional es el objeto de la regresión lineal.  Las medidas de dispersión son utilizadas para indicar el grado de uniformidad (homogeneidad) entre los datos de la variable en estudio. Permiten determinar el grado de desviación (dispersión) que tienen los datos con respecto a la media o a la mediana. Las dos más comunes son varianza y desviación estándar.  Es importante recordar que mientras mas fuerte sea la correlación entre dos variables mayor el poder predictivo existente entre ellas. El término "correlación", se utiliza cuando las variables involucradas en la relación son de tipo intervalo (proporcional), es decir cuantitativas en sentido estricto, pero además la "correlación", busca mediante la medida de co-variación de variables, predecir a partir del conocimiento de una de ellas el comportamiento de la otra variable.  La nube de puntos de una distribución bidimensional nos da una primera idea de la relación existente entre los datos de la misma.  Cuando la nube de puntos del diagrama de dispersión permita deducir algún tipo de dependencia entre las dos variables X, Y, concentrándose los puntos alrededor de una cierta línea (línea de regresión) se plantean dos cuestiones: a) Definir la línea. b) Medir el nivel de aproximación de dicha línea. c) Sí la línea es una recta, el problema es un caso típico de regresión lineal.