Analisis-vectorial-ejercicios-resueltos.doc 2j244e

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EJERCICIOS RESUELTOS ANALISIS VECTORIAL 1. Hallar el coseno del ángulo que

3. Si

forman

son perpendiculares B = -2ai + (a + 1)j determinar los valores de “a”. a) 1 y 2 b) 1 y 3 c) 2 y 3 d) 1 y –2 e) –2 y 3 Solución: Por propiedad de perpendicularidad: A� B = 0 � 3(- 2a) + (a + 2)(a + 1) = 0

los

vectores

A = 12i + 5j

y

B = 3i - 4j 16 25 16 d) 65

16 45 8 e) 65

a)

b)

c)

16 55

cosq = cosq =

A = 3i + (a + 2)j ;

2

2

a - 3a + 2 = 0 a -2 � a= 2 a -1 � a = 1

A� B A

sabe:

- 6a + a + 3a + 2 = 0

Solución: cosq =

se

B (12, 5) � (3, - 4)

1y 2

122 + 52 32 + (-4)2 36 - 20 13(5)

4. Dados 16 65

cosq =

Rpta.

2. Si se sabe que: A = (x - 2)i - (4 + x)j y B = -4i + xj son vectores paralelos. Hallar el valor positivo de “x” a) 12 b) 10 c) 9 d) 8 e) 6 Solución: Las componentes de ambos vectores deben ser proporcionales debido a que son múltiplos: x - 2 -4 - x = -4 x x2 - 2x = 16 + 4x

x2 - 6x - 12 = 0 x -8 x +2 x=

los

Rpta.

vectores:

A = 2i + 3j ,

B = i - 2j y C = -4i + j . Hallar el valor de m + n , de tal forma que sea posible expresar la combinación lineal: mA + nB = C a) 8 d) 5

b) 7 e) 4

c) 6

Solución: m(2, 3) + n(1, - 2) = (- 4, 1) Igualando componentes: �2m + n = -4 � �3m - 2n = 1 Resolviendo el sistema: � 2 �2m + n = -4 � �3m - 2n = 1 7m = -7 �

m = -1 Sustituyendo: 2(-1) + n = 4 � n = 6 8

Rpta.

Luego: m + n =

5

Rpta.

1

www.EjerciciosdeFísica.com 5. En la figura, calcular el módulo de la resultante del sistema de vectores: 7. Dados dos vectores A y B de igual

magnitud forman un ángulo q . ¿En qué relación están los módulos de los vectores A + B y A - B ?

A = 12 u

C 60º B = 16 u

a) 6 11

b) 5 13

d) 6 13

e) 5 10

c) 4 13

Solución: Resultante total: R = 3C = (1) A+B A+B A+B

2 2 2

2

3 A+B 2

…

= 144 + 256 - 192

A + B = 4 13 Sustituyendo en (1): 3 R = (4 13) � R = 6 13 2

r=

formado por los puntos A(3, 4) , B(- 2, 5) y C(5, - 6) . 2

b) 20 u e) 25 u2

Rpta.

en función de los vectores A y B .

2

c) 22 u

Y A X

3 4 1 -2 5 1 S= = (15 + 12 + 20 + 8 - 25 + 18) 2 5 -6 2 3 4

1 (48) � S = 24 u2 2

�q � cot2 � � �2 �

8. En la figura expresar el vector X - Y

Solución:

Rpta.

B

a) 11B - 3A 12

b) 13B - 3A 12

11B - A 12 d) 14B - 5A 12 Solución:

2

q� 2� e) sec � � �2 �

Solución: Se sabe que:

Rpta.

6. Hallar la superficie del triángulo

S=

c)

D = X 2 + X 2 - 2X 2 cosq = 2X 2(1 - cosq) Dividiendo: �q � 2cos2 � � S 1 + cosq �2 � r= = = D 1 - cosq 2 �q � 2sen � � �2 �

= 122 + 162 + 2(12)(16)cos120º

a) 18 u d) 24 u2

2 �q � b) cos � � �2 �

S = X 2 + X 2 + 2X 2 cosq = 2X 2(1 + cos q)

2

= A + B + 2AB cosq

2

q� 2� a) sen � � �2 � q� tan2 � �� �2 � q� 2� d) cot � � �2 �

e) 14B - 3A 12

c)

www.EjerciciosdeFísica.com Utilizando y como A B coordenados: 3 1 1 1 X = B+ A = A+ B 6 4 4 2 4 2 1 2 Y = - B+ A = A- B 6 4 2 3 Restando los vectores: 1 7 X-Y = - A+ B 4 6 14B - 3A 12

X-Y =

ejes

En la figura OPQR es cuadrado. Expresar el vector C función de los vectores A y B .

Rpta.

a) 2 + 2 A + 2 B

9. En la figura OPQR es un cuadrado, expresar el vector X como combinación lineal de los vectores A y B .

b) 3A + 2B 4

A

X

2- 2 2 A+ B 2 2

S

C

d) 2 - 2 A + 2 B 2

O

R

B

Solución: Sea “L” lado del cuadrado:

N

P

Q

M O

R

B

OM + X = A + B Pero observe que:

Luego: A +B 2 +X = A+B 2 A + 2B X = A+B4

O

P

Q

A 2 O

X

N

M B

R

S

-B

Vector unitario en la dirección de OS : U OS =

A+B

A +B 2

C

A

Solución: Por la ley del triángulo:

2OM =

Q

A

e) 4 - 2 A + 2 B 2 2

Q

c) 3A + B 2 d) 3A - 2B 4 e) 3A + 2B

c)

un en

P

2

b) 2 - 2 B + 2 A 2 2

2

P

Rpta.

10.

2

a) 2A + 3B 4

3A + 2B 4

X=

A-B L 2

OS = L .

A-B L

2

=

A-B 2

=

2 (A - B) 2

En el triángulo OSP: OS + C = A 2 (A - B) + C = A 2 C=

2- 2 2 A+ B 2 2

Rpta.

3

R

www.EjerciciosdeFísica.com X OM = m OM 3A + 2B 4 = 2 L L 5 5 5 2 X

11.

En la figura OPQR expresar el vector X como combinación lineal de los vectores A y B . a) 3A - 2B b) 4A - 3B

P

c) 3A + 2B 4

A

M

Q

X B

Rpta.

Utilizando los datos de la figura el producto escalar de los vectores A y B.

Nhallar

Y

e) 3A + 2B 5

R

O

Solución: En el gráfico: M

P

Q

P

L 2

M

N

0 L

O

R Fig. 1

A A + 2B = 2 2 A + 2B A+ A + OQ 2 OM = = 2 2

O

Fig. 2

OQ = B +

3A + 2B OM = 4 L2 L = 5 4 2 En la figura 2 ( D OPM) por relaciones métricas: L 2 � L2 = m� � 5 � � m= X = L 5 �2 � 5 Igualando vectores unitarios: Además: OM =

L2 +

X

5 b) 3 e) –9

a) 0 d) 9

m

A

Q

A 2

X

B

3

B

4

3A + 2B 5

X=

12.

d) 2A + 3B 4

A

5X 3A + 2B = 2 2

c) –3

Solución: R Hallando los vectores A y B : A = - 3i + 3j = (-3, 3) B = 5i + 2j = (5, 2) El producto escalar será: A� B = (-3, 3) � (5, 2) = -15 + 6 A� B = - 9 Rpta.

13.

Hallar

C Y en el paralelepípedo

mostrado, si (A +8B) � C = 6 29 . B C

4 Z 6

A

10

X

www.EjerciciosdeFísica.com 2 (4i - 5j + 3k) 5 5 c) (4i - 5j + 3k) 3 1 e) (4i - 5j + 3k) 5

3 (4i - 5j + 3k) 5 3 d) (4i - 5j + 3k) 4

a)

Solución: Ubicando coordenadas:

Solución: Vector unitario en la dirección de A : 4i - 5j + 3k U = A 42 + (- 5)2 + 32

Y (0, 8, 0)

(0, 8, 6)

B

(0, 4, 0)

(10, 8, 0)

C

Z

U

X

(10, 0, 6)

A = 10i - 8j + 6k

=

15.

C

=

C

29 En la condición:

29

(5i - 2j)

14.

3 (4i - 5j + 3k) Rpta. 5

los

“ ab”.

Si

A^B.

b) 16 e) 36

Además: c) 27

b + 6 = b2

Rpta.

Hallar el vector paralelo A = 4i - 5j + 3k ; cuyo módulo es 3 2 .

(4i - 5j + 3k)

2

2 2 4a - a - 3b = 0 � a = b Sustituyendo con la condición a - b = 6 :

C (100 + 16) = 6(29) 24

5

Solución: Por condición de perpendicularidad: (2, a, - 3b)g(2a, - 1, b) = 0

(20i - 8j) � (5i - 2j) = 6 29

C =

3 2

Dados

valor de a- b = 6 . a) 7 d) 40

(A + B) � C = 6 29 C

50 1

vectores: A = 2i + aj - 3bk y B = 2ai - j + bk ; hallar el

1

C= C U

A

=

4i - 5j + 3k

B=

(5i - 2j) 29 Expresión vectorial de C : C

=

B = 3 2� U �= �A�

B = 10i - 6k Vector unitario en la dirección de C : 10i - 4j U = C 102 + (- 4)2

U

A

(4i - 5j + 3k) 5 2 El vector paralelo B , será: U

(10, 0, 0)

A

b)

2

a

b - b- 6 = 0 � a= 9 b -3 � b= 3 b + 2 � b = -2 � a = 4 Finalmente de acuerdo alternativas:

a

las

5

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Rpta.

ab = 27

a) -24i + 18j - 48k

b) 24i + 18j + 48k

c) 24i - 18j + 48k

d) 12i + 18j + 48k

e) -24i + 18j + 48k

16.

Hallar el módulo de la resultante del siguiente conjunto de vectores. a) 12 Z C(0, 0, 6)

b) 15

Solución: Ubicando las coordenadas: AB = -4i + 3j BC = 4i - 3j + 12k

c) 16

C(4, 0, 12)

d) 18

P

O

e) 20

X A(8, 0, 0)

B(0, 10, 0)

A(4, 0, 0)

X

AB = -8i + 10j BC = -10j + 6k AC = - 8i + 6j R = AB + BC + AC

R = -16i + 12k (-16)2 + 122 R =

Rpta.

20

17.

Hallar el vector F , si F = T + P sabiendo además que: T = 50 N . P = 52 N .

U

12

Y

Solución: Restando coordenadas:

R =

Z

U

AB

BC

B(0, 3, 0)

T

Y

4

3

Por definición de vector unitario: � -4i + 3j � T= T U = 50 � � AB � (-4)2 + 32 � � � - 4i + 3j � T = 50 T = - 40i + 30j 5 � 4i - 3j + 12k � P = P U BC = 52� � � 42 + (- 3)2 + 122 � � � 4i - 3j + 12k P = 52 � P = 16i - 12j + 48k 13 Como: F = T + P Rpta. F = - 24i + 18j + 48k

18.

Hallar el módulo de la fuerza resultante de F y T , si: F = 25 N y T = 30 N . a) 42 Z

Z

b) 44

P 12 Y

T

X

6

3

c) 45

3

4

d) 48

F

4

6

X

T 10

Y

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e) 50

Solución: De acuerdo al gráfico: Z AB = -3i - 6j + 6k BC = 3i - 4j

3

C(3, 0, 6)

F

4 B(0, 4, 6)

6

X

T

Y

10 A(3, 10, 0)

Expresión vectorial de T : � -3i - 6j + 6k T = T U AB = 30 � � (-3)2 + (- 6)2 + 62 � �- 3i - 6j + 6k � T = 30 � � � 9 �

� � � �

T = -10i - 20j + 20k Expresión vectorial de F : 3i - 4j F= F U = 25 BC 32 + (- 4)2 �3i - 4j � F = 25 � �� F = 15i - 20j � 5 � De donde la resultante: R = F + T R = 5i - 40j + 20k R =

52 + (- 40)2 + 202 R = 45 N Rpta.

7