Aplicaciones De Las Ecuaciones Diferenciales 1f4z2m

INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS DEBER No. 4

ECUACIONES DIFERENCIALES (ING. RAMIREZ) I TERMINO 2012-2013 APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1.-) Un paracaidista cuya masa es de 75 Kg se deja caer desde un helicóptero que se mantiene suspendido a 4000 m arriba de la superficie, y cae hacia la tierra bajo la influencia de la gravedad. Supóngase que la fuerza gravitacional es constante y que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea del paracaidista, con constante de proporcionalidad k1= 15 Kg/seg, cuando el paracaídas está cerrado y constante k2 = 105 kg/seg cuando el paracaídas está abierto. Si el paracaídas no se abre sino un minuto después de que el paracaidista abandona el helicóptero, ¿ al cabo de cuántos segundos llegará a tierra? 2.-) La taza de crecimiento de una población es proporcional al número de sus habitantes. Si después de 18 años la población se ha duplicado y después de 25 años la población es de 200. 000 habitantes, hallar a) el número inicial de habitantes, y b) el número de habitantes que habrá dentro de 100 años 3.-) El método de carbono 14 se usa a menudo para determinar la edad de un fósil. Por ejemplo, en una caverna de Sudáfrica se encontró un cráneo humanoide junto con los restos de una fogata. Los arqueólogos creen que la edad el cráneo es igual al de la fogata. Se ha establecido que solamente el 2% de la cantidad original de carbono 14 queda en la madera quemada de la fogata. Calcule la edad el cráneo si la semivida (tiempo en que tarda una sustancia radioactiva en desintegrarse la mitad) del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años 4.-) Supóngase que a la media noche se descubre un cadáver el cual tiene una temperatura de 85 oF y que la temperatura ambiente es constante y de 70oF. El cadáver se envía en forma instantánea a la morgue en donde la temperatura es de 40oF. Al cabo de una hora se encuentra que la temperatura del cuerpo es de 60oF. ¿ A qué hora ocurrió la muerte? 5.-) Un inductor de 0.5 henrios es conectado en serie con una resistencia de 6 ohmios . Inicialmente el Si el sistema es perturbado por una fuerza electromotriz de 12 voltios en el intervalo de tiempo 2 < t < 8 (seg), y luego cesa. Inicialmente no hay corriente que atraviesa el circuito. Determine la intensidad de corriente que atraviesa el circuito en los tiempos t = 4, 6 y 10 seg. 6.-) Un alumno de la ESPOL es portador del virus de la gripe H1N1 y a pesar de ello viene a la ESPOL que tiene 5000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional, no sólo a la cantidad de infectados, sino también a a cantidad de alumnos no infectados (modelo logístico). Determine la cantidad de alumnos infectados 6 días después, si se observa que a los 4 días que la cantidad de infectados es 50. 7.-) Harry Potter sabe que la única forma de derrotar a Lord Voldemort es produciendo un compuesto llamado DUPREE, para luego ingerirlo combinado con agua, lo que le proporcionará más poderes que su eterno rival y así finalmente acabar con él. Para ello necesita de dos sustancias clave: “saliva de lagarto con gripe” y “moco de rata de alcantarilla”. Hermione le dice a Harry que la rapidez de transformación de la cantidad del compuesto es proporcional al producto de las cantidades NO transformadas de las sustancias antes mencionadas (suponer que una onza de cada sustancia es necesaria para generar una onza del compuesto). Ron ha podido conseguir 4 onzas de la primera sustancia y 5 onzas de la segunda para iniciar el procedimiento. Al cabo de 50 minutos, Harry ha fabricado una onza de DUPREE. Hermione le recuerda que necesita suministrarse 1.5 onzas para alcanzar los efectos deseados. ¿Cuánto tiempo más debe transcurrir para obtener la dosis necesaria?

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8.-) Un resorte vertical con constante de 5 lb/pie tiene suspendido un peso de 16 libras. Se aplica una fuerza

externa dada por F(t)=24 sen 10t, t ≥ 0. Se asume que actúa una fuerza amortiguadora dada numéricamente en libras por 4v, donde v es la velocidad instantánea del peso en pies por segundo. Inicialmente el peso está en reposo en su posición de equilibrio. Determine la posición del peso en cualquier tiempo. 9.-) Un punto se mueve en el primer cuadrante del plano xy de modo que la tangente a su trayectoria forma con los ejes coordenados un triángulo cuya área es igual a la constante a 2 . Encuentre la trayectoria del punto. 10.-) Un hombre y un bote de motor juntos pesan 1960 N. Suponga que el empuje del motor es equivalente a una fuerza constante de 50 N en la dirección del movimiento; si la resistencia del agua es numericamente igual al doble de la velocidad en m/s y si el bote está inicialmente en reposo, encuentre: a) la velocidad del bote en el instante y b) la velocidad límite 11.-) El primero de Enero usted compra por 1000 dólares un certificado de depósito que paga el 6 % de interés compuesto continuo , y que vence a los 3 meses. Después coloca los 1000 dolares y el interés en una cuenta de ahorros que paga un interés del 4.8% de interés compuesto. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta de ahorros el primero de Octubre del mismo año?

12.-) Suponga que su equipo de trabajo ha sido llamado para resolver un problema en un restaurante de comida rápida cuyos propietarios piensan que el café debe prepararse a 170° Fahrenheit. Pero a esa temperatura el café está demasiado caliente y si a un cliente se le derramara por accidente le provocará quemaduras de tercer grado. Lo que necesitan es un recipiente especial donde se calienta el agua a 170°F para preparar el café a esa temperatura, después enfriarlo con rapidez hasta una temperatura en que se pueda beber, como 140°F, y mantenerlo ahí, o al menos sobre los 120°F durante un periodo razonable de tiempo sin tener que recalentarlo. Para enfriar el café, tres compañías han formulado propuestas con las siguientes especificaciones: a) Valdiviezo S.A. tiene un recipiente que reduce la temperatura de un líquido de 200°F a 100°F en 90 minutos, manteniendo la temperatura constante de 70°F b) Rivadeneira S.A. ofrece un recipiente que reduce la temperatura de un líquido de 200°F a 110°F en 60 minutos, manteniendo una temperatura constante de 60°F. c) Ramírez S.A. propone un recipiente que reduce la temperatura de un líquido de 210°F a 90°F en 30 minutos, manteniendo una temperatura constante de 50°F. El trabajo de usted y de su equipo, consiste en hacer una recomendación acerca del recipiente que debe adquirirse. ¿Cúal sería su recomendación? Explique y justifique su respuesta. 13.-) La ley de enfriamiento/calentamiento de Newton afirma que la rapidez con que un cuerpo varía su temperatura es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea. Se saca una botella de vino tinto de una bodega, que es un lugar frío a temperatura constante de 10  C , y se deja reposar en una habitación a temperatura constante de 22

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C . Si por experiencia previa se conoce que dejando la botella en esa habitación durante 12 horas su temperatura alcanzaría los 18  C , ¿cuál es el momento óptimo para beber el vino si queremos que su temperatura sea de 12  C ? 14.-) Un paracaidista cuya masa es de 60 Kg se deja caer desde un helicóptero que se mantiene suspendido a 2000 m arriba de la superficie, y cae hacia la tierra bajo la influencia de la gravedad. Supóngase que la fuerza gravitacional es constante y que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea del paracaidista. Se sabe que la velocidad límite antes de abrirse el paracaídas es 60 m/s y la velocidad límite después de abrirse el paracaídas es 6 m/s. Si el paracaídas se abre 10 segundos después de que el paracaidista abandona el helicóptero, ¿Al cabo de cuántos segundos llegará a tierra? 15.-) Una taza de café está recién preparado con agua hirviendo. Inicialmente se encuentra en la cocina la cual está a 30 grados centígrados y se enfría hasta 90 grados en 5 minutos. Luego de 6 minutos es llevada al comedor el cual está a una temperatura de 21 grados , perdiendo ahí 5 grados en 3 minutos. . Determine en que momento el café estará listo a ser servido, si la temperatura ideal de tomarlo es 45 grados 16.-) Una persona solicita un préstamo de 10.000 dólares para comprar un automóvil. El prestamista carga un interés a una tasa anual del 18% de interés continuo y que el deudor efectúa pagos continuamente con una cuota constante K . determine la cuota de pago K necesaria para cubrir la deuda en 5 años y halle también cuanto interés se paga durante el período de los 5 años

17.-) La intensidad I de la luz a una profundidad de x metros bajo la superficie de un lago satisface la ecuación: d I/dt = ( -1.4 ) I

a) ¿ A que profundidad la intensidad de la luz es la mitad de la intensidad Io en la superficie (donde x=0)?

b) ¿Cuál es la intensidad a una profundidad de 10 m ( como fracción de Io)? c) ¿A que profundidad de el 1% de la intensidad correspondiente a la superficie.? 18.-) Una pizza horneada a 195°C se retira del horno a las 5:00 p.m. en un cuarto de cocina qué esta a una temperatura constante de 30°C ; lugar en que permanece 5 minutos, tiempo en que pierde 60 °C . Inmediatamente es llevada al comedor, el que está a una temperatura constante de 20°C, bajando ahí su temperatura 15°C en un minuto.¿ A qué hora deberá servida la pizza si se sabe que la temperatur óptima de comerla es a los 50° C? 19.-) La población de una colonia de mosquitos obedece la ley de crecimiento no inhibido. Si en un principio existen 1000 mosquitos y después de 1 día hay 1800 , a) ¿Cúal será el tamaño de la colonia después de 3 días? b) ¿Cuánto tiempo pasará hasta que haya 10.000 mosquitos? 20 .-) El primero de Enero usted compra por 1000 dólares un certificado de depósito que paga el 6 % de interés compuesto continuo , y que vence a los 3 meses. Después coloca los 1000 dolares y el interés en una cuenta de ahorros que paga un interés del 4.8% de interés compuesto. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta de ahorros el primero de Octubre del mismo año? 21.-) Un circuito eléctrico RC con una resistencia R= 150 ohmios y una capacitancia C= 2 x10-4 faradios, es perturbado con una fuerza electromotriz que crece linealmente desde 0 hasta 100 voltios en los 10 primeros segundos, cesando la misma después de este tiempo. Determine la carga q(t) acumulada en el capacitor en el tiempo t=15 seg. y la intensidad de corriente i(t) en el tiempo t =20 seg.. Considere que inicialmente no hay carga en el capacitor y que la corriente inicial en el circuito es cero.

22.-) La intersección con el eje y de la normal a una curva está dado por : y + lny. Determinar la ecuación de dicha curva, sabiendo que pasa por el punto (1,1) 23.-) Hallar la ecuación de la familia de curvas con la propiedad de que la distancia del origen a la recta tangente en un punto P(x,y) de una curva es igual a la abscisa en P. 24.-) La tangente a una familia de curvas en el punto P(x,y) corta los ejes coordenado formando con ellos un triángulo; y si se trazan desde P segmentos rectilíneos perpendiculares a los ejes, se forma con estos un rectángulo. Hallar la familia de curvas con la propiedad de que el área del triangulo sea siempre el doble que la del rectángulo. 25.-) Todos conocemos el gran peligro que amenaza al mundo por la aparición del virus de la gripe AH1N1 . Se conoce que el virus se reproduce de acuerdo al modelo logístico . Se conoce que un individuo infectado adquiere originalmente 1000 virus, y al cabo de 1 día tiene 1800. Se sabe también que si un infectado tiene mas de 10.000 muere indefectiblemente. Si un enfermo de este mortal virus se da cuenta de su contagio desde el principio y vive a 4 días del hospital mas cercano que tiene la cura para su mal, ¿Cree usted que llegará a tiempo para salvarse? Explique su respuesta 26.-) La ley de enfriamiento/calentamiento de Newton afirma que la rapidez con la que varía la temperatura es proporcional a la diferencia entre la temperatura de cuerpo en cualquier instante y la temperatura ambiente (entorno alrededor del objeto). Ante una llamada anónima, usted junto con unos detectives llegan a la escena de un crimen en un departamento del centro de la ciudad y encuentran en la sala el cuerpo inerte de un joven con heridas de bala. Determinan que siendo las 2h30 la temperatura en la sala es de 21ºC y la temperatura del cuerpo del joven en

ese instante es de 30ºC. Noventa minutos después, antes del levantamiento del cadáver, determinan que la temperatura del cuerpo es de 24ºC. Si en el momento en que el joven fue asesinado su temperatura corporal era de 37ºC, determinar la hora del asesinato. 27.-) Un circuito LC con una intensidad de corriente nula al inicio , un condensador capacitancia 0.04 faradios y un inductor de una inductancia de 1 henrio, es conectado en el tiempo t=0 una fuente de voltaje que proporciona un voltaje definido por la función :

25t 0 ≤ t ≤ 4 voltios, ( donde t es dado en segundos)   100 t > 4 a) Determine la corriente que atraviesa el circuito ∀t ≥ 0

b) Halle la intensidad de corriente en el circuito en los tiempos: t=2 seg y t=5seg 28.-) Un circuito RC tiene una fem de 300 cos(2t) voltios, una resistencia de 200 omhios, una capacitancia de 0,02 faradios. Inicialmente no hay carga en el condensador. Hallar la corriente en el circuito en t = 4π segundos. 29.-) Un circuito RL está conectado a una fem de 9 voltios, a un reóstato que le otorga una resistencia de 30 omhios entre 0 y 20 seg. y de 50 ohmios después de los 20 seg.; a una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inicial. Hallar la corriente en el circuito para los tiempos t = 10 segundos y en t= 30 seg. 30.-) Bajo circunstancias naturales, la población de ratones de una cierta isla podría aumentar con una rapidez proporcional al número de ratones presentes en cualquier tiempo, considerando que en la isla no había gatos. En la isla no hubo gatos desde principios de 1980 hasta principios de 1990, y durante este tiempo la población de ratones se duplicó, alcanzando el número de 100.000 a principios de 1990. En este tiempo la gente de la isla se alarmó por el número cada vez mayor de ratones; por ello importó un cierto número de gatos para acabar con ellos. Si la rapidez de crecimiento natural indicado para ratones fue de ahí en adelante contrarestado por la actividad de los gatos, los que mataron 1.000 ratones por mes; ¿cuántos ratones quedaron a principios de 1991? 31.-) Los “Vulturis” son una secta europea de vampiros muy antigua y poderosa que han decidido finalmente acabar con “Forks”, un pueblo norteamericano de 3500 habitantes dentro del estado de Washington. Los “Cullen”, una familia americana de vampiros radicada en Forks, al enterarse de la situación, investigaron sobre pasados ataques de los Vulturis a otros pueblos del mundo, y se enteraron que la razón de cambio del número de personas asesinadas es proporcional al producto del número de personas muertas por el número de personas no atacadas. Además, descubrieron que ya hay en el pueblo 500 personas muertas. Al día siguiente, los Cullen, comandados por Edward y, los lobos del pueblo, liderados por Jacob, deciden dejar el actual lío amoroso por Bella Swan y todos sus problemas ancestrales atrás para unir fuerzas y evitar que los Vulturis alcancen su objetivo, pero se ha confirmado que ahora existen 620 personas asesinadas. Se debe evitar que los Vulturis maten a la mitad del pueblo, de ser así, será imposible poder derrotarlos porque se unirán a ellos los infectados. ¿Con cuántos días cuentan como máximo los defensores del pueblo para preparar un ataque antes de que los Vulturis logren su meta?