Aplikasi Turunan Dalam Ekonomi 1ky2d

A. Turunan 1. Pengertian Turunan Suatu Fungsi

Perhatikan grafik fungsi

y=f ( x ) berikut:

Jika variabel x nilainya berubah sebesar h ( ∆ x ) , yaitu dari a ke ( a+h ) , mengakibatkan variabel y nilainya juga berubah sebesar yaitu dari

f (a )

ke

f ( a+ h )

( y +∆ y ) . Oleh karena tingkat perubahan rata-rata dari suatu fungsi perbandingan antara perubahan variabel variabel

x

y

∆y ,

atau dari

y ke

y=f ( x)

adalah

(variabel terikat) dengan perubahan perubahan

(variabel bebas), maka tingkat perubahan rata-rata ini dapat dinyatakan

sebagai: ∆ y f ( a+h ) −f (a) f ( a+h ) −f (a) = = ∆x h ( a+ h )−a

Untuk

∆x

sekecil-kecilnya ( ∆ x

mendekati nol), apabila

diferensi) mempunyai harga, maka harga dari

∆y ∆x

untuk ∆ x

sebagai derifatif pertama atau turunan pertama dari fungsi Definisi

∆y ∆x

(disebut kousien

mendekati nol itu disebut

y=f ( x)

terhadap

x .

Apabila

lim ∆ x→ 0

f ( x+ ∆ x )−f ( x ) ∆x

ada harganya, maka harga tersebut dikatakan sebagai

turunan (derivatif) pertama dari fungsi notasi

y=f ( x )

terhadap

x

dan biasa ditulis dengan

dy df ( x) ' f ( x+ ∆ x )−f ( x ) = = y ' =fdy ( x) = y ' = lim dx x dx ∆x ∆ x→ 0

Jadi,

Proses penarikan limit atas suatu koefisien diferensiasi, dalam hal tambahan variabel bebasnya mendekati nol disebut proses penurunan suatu fungsi atau diferensiasi. Sedangkan hasil yang diperoleh dari diferensiasi disebut turunan atau derivatif.

2. Turunan dalam Berbagai Fungsi 1.1 Turunan Fungsi Aljabar (1) Turunan Fungsi Konstan y=f ( x)=k

dy =0 dx

(k = konstanta) (2) Turunan Fungsi Pangkat y=f ( x)=k . xn

dy =kn . x n−1 dx

(n = bilangan bulat positif) (3) Turunan Suatu Fungsi yang Dipangkatkan y=f ( x)=k {f ( x ) }n

dy =k . n {f ( x ) }n −1 . f ( x ) dx

(4) Turunan Penjumlahan atau Pengurangan Dua Fungsi y=f ( x) ± g ( x)

dy =f ’( x)± g ’ ( x) dx

(5) Turunan Perkalian Dua Fungsi y=f (x) . g (x)

dy =f ’ ( x) . g( x)+f (x) . g ’ (x) dx

(6) Turunan Hasil Bagi Dua Fungsi y=

' ' f ( x ) dy f ( x ) . g ( x ) −g ( x ) . f ( x) = 2 g(x) dx {g ( x ) }

(7) Turunan Fungsi Berantai Jika y = f(z) dan z = f(x), maka dy /dx=dy /dx . dz /dx

1.2. Turunan Fungsi Logaritma Dalam perhitungan logaritma ada 2 basis yang biasanya dipakai yaitu bilangan 10 dan e. Logaritma yang memakai basis 10 disebut logaritma biasa (Brigg), dan yang memakai basis e disebut logaritma naturalis (logaritma Napier). 1 1+ e = lim n n→0

n

( )

= 2,71828

Di sini perlu juga diingat bahwa : e log x = In x , In e = e log e = 1 e

log a = In a

(1) Turunan Fungsi Logaritma Biasa (Bilangan Basis 10)

y = log f(X)

dy dx

=

1 f (x)

.(log

(2) Turunan Fungsi Logaritma Naturalis (Bilangan Basis 6) y = In f(x)

dy dx

1.3. Turunan Fungsi Eksponen

=

Untuk menentukan turunan fungsi eksponen digunakan dua (2) basis bilangan yaitu basis bilangan e dan a (a adalah bilangan bukan e , dan a > 0) (1) Turunan Fungsi eksponen dengan Basis e y=ef (x)

dy f (x) =e . f ’(x ) dx

(2) Turunan Fungsi Eksponen Berbasis Konstanta (a bilangan selain e) f (x)

y=a

dy f (x) =a . f ’ ( x) dx

1.4. Turunan Fungsi Implisit Untuk mencari turunan fungsi implisit dapat dilakukan dengan dua cara yaitu : Pertama,bentuk fungsi dirubah terlebih dahulu menjadi bentuk eksplisit (bila dimungkinkan), baru diselesaikan. Kedua, fungsi tetap dalam bentuk implisit dengan pemecahan melalui diferensial implisit. Contoh : dy dx

Carilah

dari fungsi implisit di bawah ini

(a) 2x+3y–15 = 0 (b) 4 x

2

+ 5xy + 3 y

(c)

x3 +

(d)

x

2

2

– 25 = 0

x 3 y 3 + 2y – 8 = 0 3

+ xy - 2 y

-10 = 0

Penyelesaian : (a) Pertama : Diubah terlebih dahulu menjadi fungsi eksplisit 2x + 3y – 15 = 0

2 y=- 3 x+5

dy dx

2 =- 3

Kedua : Langsung diturunkan melalui pendiferensialan fungsi implisit 2x +3y – 15 = 0

dy dx

dx 2 dx

+3

2+ 3

dy dx

2

=0

3

– 5xy + 3 y

2

= -2

–25 = 0

dy dx dy – 5 –5x dx dx dx

8x

dy dx

2 3

=

(b) 4 x

dy dx – 0 = 0

dy dy 8x–5y–5x dx + 6y dx dy dy -5x dx + 6y dx

dy + 6y dx

-0=0

dy + 2 dx

- 0 =0

=0

=5y –8x

dy dx (6y-5x) = 5y –8x dy dx

=

(c )x 3 +

5 y −8 x 6 y −5 x x 3 y 3 + 2y – 8 = 0

3 x2

dy 2 3 x33 y2 3 x y + + dx

3 x2

2 3 + 3x y +

x3 3 y2

dy dy + 2 dx dx

=0

dy 2 dy 3 x3 . y +2 dx dx dy dx

2 3 2 2 3 ( 3 x y + 2) = −3 x - 3 x y

dy dx

−3 x 2−3 x2 y 3 = 3 x 2 y 3 +2 x 2 + xy - 2 y3 -10 = 0

(d)

dx dx -5x dx + y dx dy 2x + y + x dx

x

2 2 3 = −3 x - 3 x y

dy dx

dy x dx dy dx

-

6 y2

dy + x dx

-

6 y2

-

6y

2

dy dx

-0=0

dy dx = 0

dy dx = 0

2 (x- 6 y ¿ = -2x–y

−2 x− y = x−6 y 2

3. Arti Turunan Suatu Fungsi Turunan (pertama) dari suatu fungsi memiliki 3(tiga) arti penting yaitu: 1. Turunan pertama sebagai angka arah garis singgung (artis geometris). 2. Turunan pertama sebagai tingkat perubahan suatu fungsi (sebagai harga pendekatan). 3. Turunan pertama sebagai kecepatan sesaat (arti fisis).

4. Titik Stasioner Misalkan terdapat fungsi

y=f ( x )

yang dapat diturunkan (diferentiable), untuk

menentukan titik stasionernya kita harus menentukan nilai menggunakan syarat stasioner yaitu : ' f ( x )=0

x

terlebih dulu dengan cara

Dari syarat stasioner persamaan tersebut,

f ' ( x )=0 , akan kita peroleh nilai

x

yang memenuhi

' yang memenuhi f ( c )=0 . Akan kita peroleh :

x=c

Titik (c , f ( c )) disebut sebagai titik stasioner, dan Nilai fungsi

y=f (c ) disebut sebagai nilai stasionernya.

Contoh soal : 3 Tentukan titik stasioner dan nilai stasioner dari fungsi berikut f ( x )=3 x −36 x

Penyelesaian : ' Syarat stasioner f ( x )=0

f ' ( x )=9 x 2−36=0 x 2−4=0 x 1=−2 dan x 2=2 Jadi titik stasionernya adalah

x 1=−2 dan x 2=2

.

Nilai stasioner pada saat

x 1=−2 → f (−2 )=9 (−2 )2−36=0 sehingga (−2,0)

Nilai stasioner pada saat

x 2=2→ f ( 2 ) =9 ( 2 )2−36=0 sehingga (2,0)

5. Harga Ekstrem Nilai ekstrem suatu fungsi dibedakan atas dua yaitu nilai maksimum dan nilai minimum. Nilai maksimum dibedakan atas nilai maksimum absolut dan nilai maksimum relatif. Demikian juga untuknilai minimum absolute dan nilai minimum relatif.

1. Nilai maksimum / minimum absolut Nilai maksimum absolute adalah suatu titik, dimana pada titik tersebut terdapat f(x) paling tinggi dari seluruh nilai f(x) yang ada, yaitu A.

Nilai minimum absoulut adalah suatu titik, dimana pada titik tersebut terdapat f(x) paling rendah dari seluruh nilai f(x) yang ada, yaitu B 2. Nilai maksimum / minimum relatif Nilai maksimum relative adalah suatu titik, dimana pada titik tersebut terdapat f(x) terbesar untuk nilai x tertentu dibandingkan nilai x di sekitarnya, yaitu C. Nilai minimum relative adalah suatu titik, dimana pada titik tersebut terdapat f(x) terkecil untuk nilai x tertentu dibandingkan nilai x di sekitarnya, yaitu B. Cara menentukkan titik ekstrem Untuk menentukan titik ekstrem dapat dilakukan dengan uji turunan pertama, dan uji turunan kedua. - Uji turunan pertama Misalkan f kontinu yang memuat sebuah titik kritis c ' a. Jika f ( x )> 0 untuk semua

x< c dan

' f ( x )< 0

untuk semua

x> c maka

f ( c ) adalah nilai maksimum relatif f . ' b. Jika f ( x )< 0 untuk semua

x< c dan

f ' ( x )> 0

untuk semua

x> c

maka

f ( c ) adalah nilai minimum relatif f . ' c. Jika f ( x )

bertanda sama pada kedua pihak c, maka

f (c)

bukan nilai

ekstrimrelatif f . -

Uji turunan kedua Misalkan f ' dan

f

ada pada setiap titik interval terbuka (a,b) yang memuat c,

' dan misalkan f ( c )=0

a. Jika f <0, maka f ( c ) adalah nilai maksimum relatif f . b. Jika f >0, maka f ( c ) adalah nilai minimum relatif f .

Contoh : Diketahui fungsi

3

2

y=f ( x ) =x −6 x

Tentukan nilai ekstremnya! Penyelesaian: ' Menentukkan titik kritis dengan f ( x )=0

f ' ( x )=3 x2 −12 x

2

3 x −12 x=0 3 x ( x−4 )=0 3 x=0 → x 1=0 x−4=0→ x 2=4 Jadi titik kritisnya adalah 0 dan 4 Dengan uji turunan pertama ' ' 1. Untuk x< 0 maka f ( x )> 0 , sedangkan untuk x> 0 maka f ( x )< 0 Sehingga x=0 merupakan titik maksimum 2. Untuk x< 4

' maka f ( x )< 0 , sedangkan untuk

Sehingga x=4

x> 4

' maka f ( x )> 0

merupaka titik minimum

Dengan uji turunan kedua f (x)=6x-12 1. Untuk x=0 , maka f (0)=-12<0 Sehingga x=0 merupakan titik maksimum 2. Untuk x=4 , maka f (4)=12>0 Sehingga x=4 merupaka titik minimum Nilai maksimum pada saat

x=0 → f ( 0 )=03−6. 02=0 (nilai maksimum fungsi)

Nilai minimum pada saat

x=4 → f ( 4 )=4 3−6. 4 2=−32 (nilai minimum fungsi)

B. Aplikasi Turunan dalam Ekonomi 1. Biaya Total, Biaya Marjinal, dan Biaya Rata-rata Biaya total adalah fungsi dari kuantitas barang yang diproduksi. Besarnya biaya total ini merupakan hasil kali antara banyaknya barang yang diproduksi dengan biaya rata-rata per unit, yang dinyatakan sebagai C=f ( Q ) ¿ Q C´

C = biaya total (total cost),

Q = kuantitas barang yang diproduksi, dan

´ C = biaya

rata-rata per unit barang Fungsi biaya marginal adalah tambahan biaya akibat tambahan satu unit produksi. Fungsi biaya marginal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total, atau dituliskan MC=C ’=

d (C) dQ

Fungsi biaya rata–rata atau biaya per unit (AC) adalah hasil bagi biaya total dengan kuantitas barang yang diproduksi. AC =

C Q

Contoh: Fungsi biaya total sebuah perusahaan manufaktur ditunjukan oleh C=f ( Q)=2,5Q 2 – 20 Q+100 Tentukan a. Fungsi biaya marginal b. Fungsi biaya rata – ratanya c. Perusahaan memproduksi sebanyak 6 unit. Tentukanlah biaya marginal, biaya rataratanya, dan biaya totalnya. Penyelesaian : a. Fungsi biaya marginal 2 C=f ( Q)=2,5Q – 20 Q+100 Maka,

MC=C ’=

d (C) =5 Q – 20 dQ

b. Fungsi biaya rata – rata 2 C 2,5 Q – 20 Q+100 100 AC =f (Q)= = =2,5 Q – 20+ Q Q Q c. Q = 6 Biaya marginalnya, Biaya rata – ratanya, Biaya totalnya,

MC=5(6) – 20=10 AC =2,5( 6) – 20+

100 =11,66 6

C=2,5(6)2 – 20(6)+100=70

Contoh: Fungsi biaya rata–rata untuk memproduksi 1 unit sejenis barang ditunjukan oleh

AC =f (Q)=¿ 5 Q+40+

120 Q

Tentukanlah : a. Fungsi biaya total. b. Fungsi biaya marginal. c. Biaya marginal dan biaya rata – rata jika memproduksi 5 unit. Penyelesaian : a. Fungsi biaya totalnya, C AC = Q 5 Q+ 40+

120 C = Q Q

C=(5 Q+ 40+

120 )Q Q

C=5 Q2+ 40 Q+120 b. Fungsi biaya marginalnya, MC=C ’=10 Q+ 40 c. Q = 5 Biaya marginalnya, Biaya rata – ratanya,

MC=10(5)+ 40=90 AC =5(5)+ 40+

120 =89 5

2. Penerimaan Total, Penerimaan Marginal, dan Penerimaan Rata-rata Fungsi penerimaan total adalah fungsi dari kuantitas barang yang dijual (diproduksi). Besarnya (nilainya) merupakan hasil kali antara kuantitas barang yang diproduksi (dijual) dengan harga barang per unitnya. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut: R=f (Q)

¿ PQ R = total revenu (total penerimaan, total penjualan),

diproduksi atau terjual, dan

Q = kuantitas barang yang

P = harga per unit barang.

Fungsi penerimaan marginal adalah tambahan penerimaan akibat tambahan satu unit barang yang dijual. Fungsi penerimaan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total. Bila fungsi penerimaan total dinyatakan sebagai R=f (Q) maka fungsi penerimaan marginalnya adalah

MR=R' =

d ( R) dQ

Fungsi penerimaan rata-rata (AR) adalah penerimaan total dibagi kuantitas barang yang diproduksi (dijual). AR=

R Q

Contoh : Fungsi total penerimaan sebuah perusahaan swasta dinyatakan oleh R=f ( Q )=−5Q 2+30 Q R = Total penjualan, dan Q = kuantitas barang Tentukanlah a. Fungsi penerimaan marginal b. Fungsi penerimaan rata – rata c. Besarnya penerimaan marginal, penerimaan rata – rata dan penerimaan total, bila barang yang terjual 3 unit d. Buatlah sketsa grafiknya dalam suatu gambar Penyelesaian : a. Fungs penerimaan marginal R = f(Q) = - 5Q2 + 30Q d ( R) MR = R’ = dQ = - 10Q + 30 b. Fungsi penerimaan rata – rata R −5 Q 2+ 30Q AR = R = Q = Q c. Q = 3  Penerimaan marginal MR = - 10Q + 30 = - 10 (3) + 30 = - 30 + 30 = 0  Penerimaan rata – rata AR = - 5Q + 30 = - 5 (3) + 30 = - 15 + 30 = 15  Penerimaan total R = - 5Q2 + 30Q = - 5 (3)2 + 30 (3)

= - 5Q + 30

= - 45 + 90 = 45 d. Sketsagrafiknya

3. Utilitas Total, Utilitas Marginal Fungsi utilitas ialah fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus-menerus ditambah. Utilitas total ialah fungsi dari jumlah barang yang dikomsumsi.Dinyatakan dengan U=f ( Q ) Fungsi utilitas marginal adalah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap satu unit barang yang dikonsumsi. Fungsi utilitas marginal merupakan turunan pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total adalah U = f(Q) maka utilitas marginalnya adalah MU =

d(U ) =U ' dQ

Contoh : Fungsi utilitas dinyatakan dalam persamaan U = 15Q – 5Q2. Tentukanlah a. Persamaan utilitas marginal serta berapa titik ekstrim dari fungsi utilitas totalnya b. Berapa utilitas marginal jika barang yang diproduksi ditambah dari 2 unit menjadi 3 unit Penyelesaian a. U=15 Q – 5 Q 2

MU =U ' =15 – 10 Q U maksimum jika MU = 0 → 0 = 15 – 10Q Q = 1,5 Q=1,5 →U =15 Q – 5 Q2 Untuk U=15 (1,5) – 5 (1,5) 2=11,25 b. Jika Q = 2 → MU = 15 – 10(2) = - 5 Jika Q = 3 → MU = 15 – 10(3) = -15 Jadi, titik ekstrim fungsi utilitas total berada pada koordinat (1,5;11,25). Pada saat konsumen mengkonsumsi 2 unit barang utilitas tambahan sudah menurun dan akan semakin menurun jika ditambah 1 unit lagi, sehingga konsumen harus mengurangi konsumsi terhadap produk tersebut untuk meningkatkan kembali utilitas tambahannya.

4. Elastisitas Elastisitas

y

terhadap

x

relatif dalam variabel terikat

dari fungsi y

y=f (x)

adalah perbandingan antara perubahan

terhadap perubahan relatif dalam variabel bebas

x .

Yang dinyatakan sebagai berikut: ∆y y ∆y x elastistas y terhadap x ( E yx ) = = . ∆x ∆x y x E yx=Elastisitas y terhadap x ∆ y= Perubahan variabel terikat ( y ) ∆y = Perubahan relatif dalam variabel terikat ( y ) y ∆ x=Perubahan variabel terikat ( x ) ∆x =Perubahan relatif dalam variabel terikat ( x ) x Terdapat dua cara pengukuran elastisitas suatu fungsi, yaitu elastisitas busur dan elastisitas titik. 1. Elastisitas Busur

Elastisitas busur mengukur elastisitas suatu fungsi di antara dua titik sepanjang suatu busur. Elastisitas y terhadap x di antara dua buah titik sepanjang busur dari fungsi y=f ( x) , dapat dinyatakan oleh: E=

∆y x . ∆x y

2. Elastisitas Titik Elastisitas titik mengukur elastisitas suatu fungsi pada satu titik tertentu. Dengan ∆ x → 0 , dari persamaan

mengambil harga limit titik dari E= lim

∆ x →0

E=

∆y x . ∆ x y didapat elastitas

y=f ( x) , pada titik (x , y ) sebagai berikut: ∆ y x dy x . = . ∆ x y dx y

Elastisitas dapat digunakan untuk mengukur ketanggapan permintaan dan penawaran suatu barang terhadap perubahan harganya atau pendapat konsumen. 4.1 ElastisitasPermintaan (

ηd ¿

Elastisitas permintaan (terhadap harga) dari suatu barang adalah perbandingan antara perubahan relatif kuantitas barang yang diminta oleh konsumen terhadap perubahan relatif harga barang tersebut. Elastisitas busur dan titik dari fungsi permintaan Qd =f (P) dinyatakan sebagai berikut: a. Elastisitas (Busur) Permintaan ∆Q d Q ∆Q d P ηd = d = . ∆P ∆ P Qd P b. Elastisitas (Titik) Permintaan d Qd P ηd = . dP Qd ηd = elastisitas permintaan P= harga per unit barang

Qd =kuantitasbarang yang diminta

4.2 Elastisitas Penawaran (

ηs ¿

Elastisitas penawaran (terhadap harga) dari suatu barang adalah perbandingan antara perubahan relatif kuantitas barang yang ditawarkan oleh produsen terhadap perubahan

relatif harga barang tersebut. Elastisitas busur dan titik dari fungsi permintaan Q s=f (P) dinyatakan sebagai berikut: a. Elastisitas (Busur) Penawaran ∆ Qs Qs ∆ Qs P ηs = = . ∆P ∆ P Qs P b. Elastisitas (Titik) Permintaan d Qs P ηs = . dP Qs ηs = elastisitas permintaan P= harga per unit barang Qs=kuantitas barang yang diminta 4.3 Sifat keelastisan suatu fungsi 1. Bila |E|=1 , maka fungsi tersebut elastisitas satuan, artinya perubahan akan permintaan atau penawaran barang sama dengan perubahan harga. 2. Bila |E|>1 , maka fungsi tersebut elastis, artinya perubahan akan permintaan atau penawaran barang lebih besar dari perubahan harga. 3. Bila |E|<1, maka fungsi tersebut tidak elastis, artinya perubahan akan permintaan atau penawaran barang lebih kecil dari perubahan harga. 4. Bila |E|=0 , maka fungsi tersebut tidak elastis sempurna, artinya jumlah yang diminta atau ditawarkan tidak mengalami perubahan dengan adanya perubahan harga. 5. Bila |E|=∞ , maka fungsi tersebut elastis sempurna, artinya tanpa perubahan harga, perubahan permintaan atau penawaran dapat berubah dengan sendirinya. Contoh : Berdasarkan hasil penelitian pasar penawaran terhadap sejenis barang ditunjukkan oleh keadaan sebagai berikut. Bila harga per unit barang tersebut 9, maka kuantitas barang yang ditawarkan sebanyak 2 unit. Bila harga perunit barang tersebut naik menjadi 15, maka kuantitas barang yang ditawarkan 14 unit. Tentukan a. Elastisitas busurnya b. Elastisitas titiknya c. Elastisitas penawaran pada tingkat harga 10 per unit d. Tentukan sifat keelastisan dari penawaran tersebut Penyelesaian :

Harga per unit (P) 9 15

Kuantitas yang ditawarkan (Q) 2 14

a. Elastisitas (busur) penawaran Perubahan harga ( ∆ P ) ¿ 15−9=6 Perubahan relatif dalam harga

( ∆PP )= 69

∆ Q s )=14−2=12 Perubahan kuantitas ( Perubahan relatif dalam kuantitas

∆ Qs 12 = =6 Qs 2

( )

Elastisitas (busur) penawarannya adalah ∆ Qs Q 6 ηs = s = =9 ∆P 6 P 9 b. Elastisitas (titik) penawaran Fungsi penawarannya P−9 Qs −2 = 15−9 4−2 2 ( P−9 ) =6 ( Qs−2 ) 2 P−18=6Q s−12 Qs=2 P−16 d Qs =2 dP Maka elastisitas (titik) penawarannya adalah ηs =

d Qs P 9 . =2. =9 dP Qs 2

c. Elastisitas (titik) penawaran pada saat P=10 P=10, makaQ s=4 →(10,4) Qs=2 P−16

d Qs =2 dP Maka elastisitas penawaran pada titik (10,4) adalah ηs =

d Qs P 10 . =2. =5 dP Qs 4

d.

|η s|=|5|>1, maka sifat penawaran barang

tersebut adalah elastis

.

Contoh : 9-1 Matematika Ekonomi edisi ke 5, Nata Wirawan Dari hasil penelitian pasar terhadap penawaran sejenis barang didapat data sebagai berikut: Harga per unit (P) 10 15 20

Kuantitas yang ditawarkan Q ( s )

5 15 25 a. Tentukanlah elastisitas penawaran barang tersebut (1) Bila harga per unit naik dari 10 menjadi 15 (2) Bila harga per unit turun dari 20 menjadi 15 b. Tentukanlah fungsi penawaran yang linier dan tentukanlah elastisitas penawaran pada titik ( 50,85 )

Penyelesaian: a. Bila harga per unit naik dari 10 menjadi 15 ∆ P=15−10=5 ∆ Qs =15−5=10 ∆P 5 1 = = P 10 2 ∆ Qs 10 = =2 Qs 5 ∆ Qs Q 2 ηs = s = =4 ∆ P 1/2 P

Bila harga per unit turun dari 20 menjadi 15 ∆ P=20−15=5

∆ Qs =25−15=10 ∆ P −5 −1 = = P 20 4 ∆ Qs 10 2 = = Qs 25 5 ∆ Qs 2 Qs 5 ηs = = =−1,6 ∆ P −1 P 4 b. Fungsi penawaran P−10 Qs−5 = 15−10 15−5 2 ( P−10 )=Q s−5 2 P−20=Q s−5 Qs=2 P−15 Qs=2 P−15 d Qs =2 P Maka elastisitas pada titik penawaran ( 50,85 ) ηs =

d Qs P 50 100 . =2. = =1,176 dP Qs 85 85

4.4 Elastisitas Produksi (

ηp ¿

Elastisitas produksi adalah koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah faktor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka elastisitas produksinya adalah η p= lim

∆x →0

∆ P x dP x . = . ∆ x P dx P

Contoh : Hitunglah elastisitas produksi dari fungsi produksi

P=5 x 2−5 x 3

pada tingkat faktor

produksi sebanyak 2 unit! Penyelesaian: P=5 x 2−5 x 3 dP =10 x−15 x 2 dx

Pada saat

Maka,

x=2, maka P=−20

η p=−40 .

dan

dP =−40 dx

2 =4 −20

5. Masalah Optimasi 5.1 Penerimaan Total yang Maksimum Bila fungsi penerimaan total dinyatakan sebagai

R=f (Q) , maka penerimaan total

akan maksimum bila dipenuhi syarat: 1. 2.

R' =

dR =0 (syarat yang diperlukan) dQ

R = {{d} ^ {2} R} over {d {Q} ^ {2}} <0 (syarat yang mencukupi)

5.2 Penerimaan Total Maksimum dari Pajak Bila fungsi penerimaan total dari pajak dinyatakan sebagai

T =f (Q) , maka

penerimaan total dari pajak yang diterima pemerintah T, akan maksimum bila dipenuhi syarat: '

1.T =

dT =0 (syarat yang diperlukan) dQ

2.T = {{d} ^ {2} T} over {d {Q} ^ {2}} <0 (syarat yang mencukupi) 5.3 Laba/Profit Maksimum

Pada bab sebelumnya laba/profit( π ¿ adalah fungsi penerimaan total

R=f (Q)

dirumuskan sebagai

π =R−C , dengan R

dan C adalah fungsi biaya total

sehingga π =f ( Q ) . Bila fungsi laba/profit dinyatakan sebagai

C=f (Q) ,

π =f ( Q ) , maka laba akan

mencapai maksimum apabila memenuhi syarat berikut: 1. π ' =

dπ =0 dQ

(syarat yang diperlukan)

2. π = {{d} ^ {2} π} over {d {Q} ^ {2}} <0 (syarat yang mencukupi)

5.4 Biaya Total yang Minimum Bila fungsi biaya total dinyatakan sebagai

C=f ( Q) , maka biaya total akan mencapai

minimum, bila dipenuhi syarat: 1. 2.

C' =

dC =0 (syarat yang diperlukan) dQ

C = {{d} ^ {2} C} over {d {Q} ^ {2}} >0

(syarat yang mencukupi)

5.5 Biaya Rata-rata yang Minimum Bila fungsi biaya rata–rata dinyatakan sebagai

AC =f (Q) , maka biaya rata–rata akan

mencapai minimum, bila dipenuhi syarat: '

1. AC =

dAC =0 (syarat yang diperlukan) dQ

2. AC = {{d} ^ {2} AC} over {d {Q} ^ {2}} >0 (syarat yang mencukupi)

Contoh: 9-10Matematika Ekonomi edisi ke 5, Nata Wirawan Seorang produsen memiliki fungsi permintaan atas barangnya berbentuk:

Qd =5−0,25 P

Sementara biaya rata-rata untuk memproduksi tiap unit barangnya adalah Tentukanlah laba maksimum yang diperolehnya. Penyelesaian: Qd =5−0,25 P → P=20−4 Q Fungsi penerimaan total R=P . Q

.

´ C=3 .

¿ ( 20−4 Q ) Q ¿ 20 Q−4 Q

2

Fungsi biaya total C=Q . C´ ¿3Q

Fungsi laba/profit π =20 Q−4 Q 2−3 Q ¿ 17 Q−4 Q2 Laba akan maksimum apabila 1. Syarat yang diperlukan π ' =0 → π ' =17−8 Q=0 Q=

17 =2,125 8

2. Syarat yang mencukupi π <0 π =-8<0→maksimum pada Q=2,125 Jadi laba maksimum yang diterima adalah 2

π maks ( 2,125 ) =17 ( 2,125 )−4 ( 2,125 ) =18,063

Contoh : 9-6 Matematika Ekonomi Edisi ke 5, Nata Wirawan Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan manufaktur untuk memproduksi sejenis barang dinyatakan oleh fungsi, 1 3 2 C=f ( Q )= Q −4 Q +12 Q+5 3 C= biaya total dan Q= kuantitas barang Pertanyaan: a. Berapa unit sebaiknya perusahaan tersebut berproduksi agar biaya totalnya minimum? Berapa biaya total minimumnya? b. Berapa biaya marginal dan biaya rata – rata per unitnya pada saat biaya total minimumnya?

Penyelesaian: 1 3 2 C= Q −4 Q + 12Q+5 a. 3 C' =Q 2−8 Q+12 Syarat yang diperlukan agar biaya total minimum C' =0 2

Q −8 Q+12=0

( Q−6 )( Q−2 )=0 Q=6 danQ=2

Syarat yang mencukupi C =2Q-8>0 Untuk Q=6 → f (6)=4>0 Untuk Q=2 → f (2)=-4<0 Jadinilai Q yang memenuhi agar biaya total minimum adalah Q=6 Biaya total minimumnya adalah 1 f ( 6 )= 63 −4 .6 2+12.6+ 5 3 ¿ 72−144+ 72+5=5 b. Biaya marginal dan biaya rata – rata saat biaya total minimumnya dC ( MC )= =Q 2−8 Q+12 Biaya marginal dQ 2 Pada saat Q=6, MC=6 −8.6+12

¿0

Biaya rata – rata

( AC )=

C Q

1 5 AC = Q 2−4 Q+12+ 3 Q

Pada saat

5 5 Q=6, maka AC =12−24 +12+ = 6 6

6. Keuntungan Monopoli Keuntungan monopoli adalah keadaan dimana seorang produsen atau penguasa pasar menguasai pasar terhadap sejenis barang tertentu, sehingga ia mampu mengatur kuantitas barang yang ditawarkan atau dijualkan. Jika kuantitas barang atau jasa dikurangi, maka ia dapat menaikan harga barang atau jasa tersebut, sebaliknya jika kuantitas barang atau jasa ditambah, maka ia dapat menurunkan harga barang atau jasa tersebut. Ciri-ciri Pasar Monopoli: 1. Dalam industri hanya terdapat sebuah perusahaan 2. Produk yang dihasilkan tidak memiliki pengganti yang sempurna 3. Perusahaan baru sulit memasuki industri 4. Perusahaan memiliki kemampuan menentukan harga (price maker) 5. Promosi iklan kurang diperlukan Faktor-Faktor Yang Menimbulkan Monopoli a. Hambatan teknis (Technical Barriers to Entry) Ketidakmampuan bersaing secara teknis menyebabkan perusahaan lain sulit bersaing dengan yang sudah ada b. Perusahan memiliki kemampuan atau pengetahuan khusus yang memungkinkan berproduksi sangat efisien c. Tingginya tingkat efisiensi memungkinkan perusahaan monopolis mempunyai kurva biaya yang menurun. Makin besar skala produksi, biaya marjinal makin menurun, sehingga biaya produksi per unit makin rendah Keuntungan Maksimum pada Monopoli Biaya Total (C) Bila biaya rata-rata untuk memproduksi per unit barang sebesar

´ C

dan kuantitas barang

yang diproduksi sebanyak Q , maka besarnya biaya total: C=Q C´ Penerimaan Total (R) Bila harga per unit barang yang dijual sebesar Q , maka besarnya penerimaan totalnya: R=PQ Keuntungan atau Profit ( π ¿

P

dan kuantitas barang dijual sebanyak

Besarnya keuntungan yang diperoleh produsen adalah π =R−C

(1) Syarat yang diperlukan π ' =0 → R' −C' =0 R' =C ' MR=MC (2) Syarat yang mencukupi π <0 ''

''

R −C < 0 R' ' < C''

Pengaruh Pajak terhadap Monopoli Jika terhadap barang atau jasa yang ditawarkan atau dijualkan oleh produsen dikenakan pajak penjualan sebesar t per unit, maka pajak tersebut akan menaikan biaya per unit produk ( ´¿ C sebesar t, dan biaya total (C) akan naik sebesar tQ , sebagai berikut: ´ ´ Biaya per unit produk setelah pajak: Ct =C +t ´ Biaya total setelah pajak sebesar t per unit: Ct =C +tQ=Q C t Besarnya laba yang diperoleh, π =R−Ct ¿ R−( C +tQ ) ¿ R−C−tQ

Laba tersebut akan maksimum, bila dipenuhi dua syarat: 1. Syarat yang diperlukan ' ' π =0 → R =Ct ' 2. Syarat yang mencukupi π <0 → R '' < {C} rsub {t} ''

´ C

= biaya rata-rata per unit produk sebelum pajak

C´ t = biaya rata=rata per unit produk setelah pajak

C

= biaya total sebelum pajak

Ct = biaya total setelah pajak

Contoh: Pada pasar yang bercorak monopoli diketahui fungsi permintaan terhadap sejenis barang Qd =−0,5 P+5 dan biaya rata-rata per unit c´ =2,5 . Jika terhadap barang yang dihasilkan (terjual) dikenakan pajak 0,5 per unit. Tentukanlah kuantitas barang yang harus diproduksi dan tingkat harga per unit barangnya agar mendapat keuntungan yang maksimum. Tentukanlah pula keuntungan maksimumnya. Penyelesaian: Qd =−0,5 P+5 → P=10−2Q

c´ =2,5 → c=2,5+0,5=3

R=P . Q=( 10−2Q ) Q=10 Q−2Q2

Ct =Q . ´c t=3 Q

R' =10−4 Q

Ct =3

R =-4

Ct =0

'

Fungsi keuntungan ( π ¿ π =R−Ct ¿ 10Q−2 Q2−3 Q ¿ 7 Q−2 Q2 Syarat yang diperlukan R' =C 't 10−4 Q=3 → Q=1,75

Syarat yang mencukupi R' '
P=10−2 (1,75 )=6,5 Keuntungan maksimum yang diperoleh π =7 Q−2Q2 π =7 ( 1,75 )−2 ( 1,75 )2 ¿ 6,125

Jadi kuantitas dan tingkat harga barang agar mendapat keuntungan maksimum adalah 1,75 dan 6,5. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah 6,125. 7. Model-model Persediaan Pengendalian persediaan dalam suatu perusahaan sangat penting, oleh karena persediaan yang terlalu banyak mengakibatkan biaya penyimpanan meningkat, dan sebaliknya persediaan yang terlalu sedikit dapat mengakibatkan kekuarangan persediaan barang untuk

diproduksi atau dijual. Pengendalian persedaan mencoba menyeimbangkan antara pemesanan besar yang ekonomis atau menjalankan produksi besar dengan biaya pemeliharaan persediaan. Tujuan dari model persediaan adalah meminimalkan total biaya persediaan. Tujuan dari model persediaan adalah meminimalkan total biaya persediaan. Biaya-biaya dalam model persediaan ini terdiri dari tiga tipe: 1. Biaya pemesanan atau mulai dari menjalankan produksi (set up cost). Biaya pemrosesan dan pemesanan, biaya telpon, biaya pengepakan, biaya ekspedisi termasuk kelompok biaya ini. 2. Biaya pemeliharaan persediaan, termasuk biaya modal(bunga), penyusutan, biaya penyimpanan (carrying cost). 3. Biaya yang berlaku sesaat, termasuk kerugiaan atau kehilangan goodwill (shortage cost). Pada bagian ini akan dipelajari dua model persediaan yaitu, a. Model persediaan yang mengasumsikan bahwa barang-barang masuk sebagai persediaan tidak kontinu. b. Model persediaan yang mengasumsikan bahwa barang-barang masuk sebagai persediaan secara kontinu selama periode pemesanan atau produksi. Kedua model tersebut mengasumsikan bahwa variabel permintaan, harga per unit produk, set up cost, carrying cost per unit adalah konstan. Dua model yang dibahas berikut ini tanpa mempertimbangkan shortage cost nya, dengan demikian total biaya persediaan tiap periode dapat dinyatakan sebagai berikut Total biaya persediaan= total biaya pemesanan + total biaya penyimpanan a. Model pertama Kedatangan barang persediaan tidak kontinu. Untuk model ini total biaya persediaan tiap periode dirumuskan sebagai: C=

c2 Q c 1 D + 2 Q

D = permintaan tiap periode, c1 = set up cost, c2 = carrying cost per unit barang, Q = kuantitas barang yang ditempatkan dalam persediaan pada suatu saat, Q/2=¿ persediaan rata-rata, D/Q = banyaknya kumpulan barang tiap periode.

dan

Biaya persediaan tersebut akan minimum bila dipenuhi dua syarat yaitu : 1.

dC =0 dQ

c2 c 1 D dC c2 c 1 D = − 2 → 0= − 2 dQ 2 Q 2 Q

Q=

2.

d2C >0 dQ 2

√

2c 1 D c2

(untuk Q>0)

Jadi, total biaya persediaan tersebut akan minimum, bila banyaknya barang yang ditempatkan dalam persediaan Q=√ ( 2C 1 D)/c 2 , dalam D/Q kali setiap periode. Selanjutnya dengan memasukkan nilai

Q=√ ( 2C 1 D)/c 2

ke dalam fungsi total biaya

persediaan, didapatlah nilai total biaya persediaan yang minimum.

b. Model kedua Kedatangan barang persediaan sinambung atau kontinu. Bila kedatangan barang persediaan sinambung, maka total biaya persediaannya, dirumuskan sebagai berikut: 1 D c D C= c 2 Q 1− + 1 2 k Q

(

)

D = permintaan tiap periode, c1 = set up cost, c2 = carrying cost per unit barang, Q = kuantitas barang yang ditempatkan dalam pertambahan persediaan, k = tingkat kedatangan barang (kuantitas barang tiap periode) Total biaya persediaan tersebut akan minimum bila dipenuhi dua syarat, yaitu 1.

dC =0 dQ

2.

d2C >0 dQ 2

Dengan menyelesaikan persamaan (1) diperoleh, Q=√ (2c 1 D)/c 2 [1−( D/k )]

Untuk Q > 0, syarat (2) akan terpenuhi. Jadi, total biaya persediaan tersebut minimum bila banyaknya barang yang ditempatkan dalam pertambahan persediaan adalah Q=√ ( 2c 1 D)/c 2 [1−( D/ k )] , dalam D/Q kali setiap periode. Contoh: Untuk memproduksi sejenis barang, sebuah perusahaan membutuhkan bahan baku sebanyak 5000 unit setiap semester. Biaya untuk menyimpan satu unit per bulan sebesar 1,5. Biaya pemesanan sebesar 1. Tentukanlah kuantitas pesanan yang meminimalkan total biaya persediaan dan besarnya total biaya persediaan yang minimum tersebut. a. Bila perusahaan membeli bahan baku, secara periodik dengan jumlah yang besar. b. Bila perusahaan membeli bahan baku, secara periodik dari supplier yang mengirimkan secara terus menerus 1500 unit setiap bulan. Penyelesaian: a. Kasus kedatangan barang persediaan tidak sinambung D = 5000 , c1 = 1 ,c2 = 1,5 x 6 = 9 Q=

√

C=

c2 Q c 1 D + 2 Q

√

2c 1 D 2 ( 1 ) 5000 100 →Q= = c2 9 3

Pada saat Q = 100/3 C=

( 9 ) 100 /3 (1)5000 + =300 2 100 /3

Jadi, kuantitas pesanan agar total biaya persediaan minimum adalah Sedangkan total biaya persediaan yang minimum sebesar 300. b. Kasus kedatangan barang persediaan sinambung D = 5000, c1 = 1, c2 = 1,5x6=9 , k=1500 x 6 = 9000 Q=√ ( 2c 1 D)/c 2 [1−( D/k )]=√ (2 ( 1 ) 5000)/9 [1−( 5000/9000 ) ]

¿

√[ √[] 10000

( 59 )]

9 1−

=

10000 4 9 9

100 3

tiap semester.

¿

√

10000 =25 4

Pada

1 D c D Q=25 → C= c2 Q 1− + 1 2 k Q

(

)

1 5000 ( 1 ) 5000 C= ( 9 ) ( 25 ) 1− + =250 2 9000 25

(

)

Jadi, kuantitas pesanan agar total biaya persediaan minimum adalah 25 tiap semester. Sementara total biaya persediaaan yang minimum tersebut adalah 250.

APLIKASI TURUNAN DALAM EKONOMI

Disusun oleh : Firman Supriadinata

(1308405006)

Valeria TrisnaYunita

(1408405001)

Ikhsan Akbar

(1408405029)

Elvina Liadi

(1408405065)

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA UNIVERSITAS UDAYANA 2016