Aritmatika Dasar f5l1z

ARITMATIKA & ALJABAR

ARITMATIKA Hasil Pembelajaran Setelah menyelesaikan Program ini, Anda diharapkan dapat: 1. 2. 3. 4.

Mengenal jenis-jenis bilangan Melakukan aturan-aturan dasar aritmatika dengan bilangan bulat Menulis bilangan asli sebagai hasil kali bilangan prima Mencari faktor persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan asli 5. Memanipulasi pecahan, rasio dan persentase 6. Memanipulasi bilangan desimal 7. Memanipulasi pangkat

A. JENIS - JENIS BILANGAN

Pengertian No

Nama Bilangan

1

Bilangan Asli (N)

2

BIlangan Cacah

3

BIlangan Bulat (Z)

4

BIlangan Prima

5

BIlangan Rasional (Q)

6

BIlangan Irasional

7

BIlangan Real (R)

Contoh Bilangan Asli adalah himpunan bilangan bulat positif. Nama lain dari bilangan ini adalah Contoh: bilangan hitung atau bilangan yang bernilai 1,2,3,4,5,6,7,8,…. positif. Bilangan Cacah adalah himpunan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

Contoh: 0,1,2,3,4,5,6,7,….

Bilangan Bulat adalah himpunan bilangan Contoh: yang terdiri dari seluruh bilangan baik negatif, -3,-2,-1,0,1,2,3,…. nol dan positif. Bilangan Prima adalah himpunan bilangan asli yang hanya bisa dibagi dirinya sendiri dan Contoh: satu, atau bilangan yang memiliki 2 faktor, 2,3,5,7,11,13,17,…. dan ingat angka satu bukan bilangan prima. Bilangan Rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai p/q dimana p,q ϵ bulat dan q ≠ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu bilangan desimal secara berulang ulang.

Contoh: -2/7, 5/11,….

Bilangan Irasional adalah himpunan bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu decimal berulang.

Contoh: log 2, e, √2, √3, √5, π

Bilangan Real adalah himpunan semua bilangan, kecuali bilangan imajiner

Contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3

8

BIlangan Imajiner

9

BIlangan Komplek

Bilangan Imajiner adalah himpunan bilangan i Contoh: (satuan imajiner) dimana i adalah lambang i, 4i, 5i bilangan baru yang bersifat i2 = -1 Bilangan Kompleks adalah bilangan yang anggota-anggotanya (a+bi) dimana a, b ϵ R, i2 = -1, dengan a bagian real dan b bagian imajiner.

Nilai Tempatbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbb

Contoh: 2-3i, 8+2i

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

Pada dasarnya semua bilangan ditulis dengan menggunakan kesepuluh angka (numeral); 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 yang di mana kedudukan angka menentukan nilai yang diwakilinya. Sebagai contoh: 246 berarti 2 ratusan dan 4 puluhan dan 6 satuan, dengan kata lain 200 + 40 + 6. Di sini angka (numeral) 2, 4 dan 6 masing-masing disebut koefisien ratusan, puluhan dan satuan. Inilah prinsip nilai tempat. Titik-Titik Pada Sebuah Garis dan Urutan (Garis Bilangan) bbbb bbbbb

bbb

Bilangan bulat dapat direpresentasikan oleh titik-titik yang berjarak sama pada sebuah garis lurus, seperti gambar di bawah.

Bilangan-bilangan di atas tersusun berurutan dimulai dari yang paling kecil hingga ke yang paling besar. Pada saat kita bergerak di sepanjang garis lurus tersebut dari kiri ke kanan, bilangan akan bertambah besar. Pada garis tersebut, bilangan-bilangan di kiri suatu bilangan lebih kecil daripada (<) bilangan tersebut dan bilangan-bilangan di kanannya lebih besar daripada (>) bilangan tersebut. Misalnya 8 > 5 karena 8 direpresentasikan oleh sebuah titik di sebelah kanan 5. Demikian pula, 3 < 6 karena 3 berada di sebalah kiri 6. Pengertian urutan masih tetap berlaku untuk bilangan negatif, contoh: –5 < 3 dan –2 > –4 karena titik yang menyatakan –5 berada di kiri titik yang menyatakan 3. Serupa halnya, –2 berada di kanan –4.

Tanda Kurung bb

bbbb

Tanda kurung harus digunakan pada bilangan negatif untuk memisahkan tanda minus pada bilangan dari simbol operasi aritmatikanya. Misalnya, 5 – – 3 haruslah ditulis 5 – (–3) dan 7 x – 2 harus ditulis 7 x (–2). Janganlah sekali-kali menulis dua simbol operasi aritmatika secara berurutan tanpa menggunakan tanda kurung.

Penambahan dan Pengurangan b

b

Menambahkan dua bilangan akan menghasilkan jumlahnya (sum) dan mengurangkan dua bilangan akan menghasilkan selisihnya (difference). Menambahkan berarti bergerak ke kanan dari bilangan

pertama dan mengurangkan berarti bergerak ke kiri dari bilangan pertama, contohnya 3 + 2 = 5 dan 2 – 5 = –3.

Menambahkan sebuah bilangan negatif sama seperti mengurangkan bentuk positif bilangan tersebut. Misalnya 7 + (–2) = 7 – 2 yang hasilnya sama dengan 5. Mengurangkan bilangan negatif sama seperti menambahkan bentuk positif bilangan tersebut. Misalanya 7– (–2) = 7 + 2 = 9. Jadi berapakah nilai: (a) (b) (c) (d)

8 + (–3) = .... 9 – (–6) = .... (–4) + (–8) = .... (–14) – (–7) = ....

Perkalian dan Pembagian bb

bbbb

Mengalikan dua bilangan menghasilkan hasilkali-nya (product) dan membagi dua bilangan hasilbagi-nya (quotient). Mengalikan atau membagi dua bilangan positif atau dua bilangan negatif menghasilkan bilangan positif. Sebagai contoh: 12 x 2 = 24 dan 12 : 2 = 6

dan

(–12) x (–2) = 24 (–12) : (–2) = 6

Mengalikan atau membagi bilangan positif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan negatif. Sebagai contoh: 12 x (–2) = –24 (–12) : 2 = –6 8 : (–4) = –2 Jadi berapakah nilai dari: (a) (b) (c) (d)

(–5) x 3 = .... 12 : (–6) = .... (–2) x (–8) = .... (–14) : (–7) = ....

Tanda Kurung dan Aturan Prioritas bb

bb

bb

Tanda kurung dan aturan prioritas digunakan untuk menghilangkan keraguan dalam suatu perhitungan. Sebagai contoh, 14 – 3 x 4 dapat berarti: 11 x 4 = 44 atau 14 – 12 = 2 Bergantung pada operasi yang mana didahulukan. Untuk menghilangkan keraguan itu kita mengandalkan aturan prioritas.

Pada sembarang perhitungan yang melibatkan keempat operasi aritmatika kita melakukan sebagai berikut: (a) Bekerja dari arah kiri tentukanlah nilai perkalian dan pembagian terlebih dahulu, sehingga ini akan menyisakan perhitungan yang hanya melibatkan penambahan dan pengurangan. (b) Jika pada perhitingan terdapat tanda kurung, maka tanda kurung ini terlebih dahulu ditentukan nilainya. Sebagai contoh, tentukan nilai: 4 + 5 x 6 : 2 – 12 : 4 x 2 – 1 pada langkah pertama dari kiri ke kanan diperoleh: 4 + 30 : 2 – 3 x 2 – 1 pada langkah kedua dari kiri ke kanan diperoleh: 4 + 15 – 6 – 1 dan pada langkah terakhir diperoleh: 19 – 7 = 12 bila terdapat tanda kurung maka tanda kurung ini terlebih dahulu ditentukan nilainya, sehingga: (4 + 5 x 6) : 2 – 12 : 4 – 1 = 34 : 2 – 6 – 1 = 17 – 7 = 10 Ini berarti bahwa: 14 – 3 x 4 = 14 – 12 = 2 Karena, dengan membaca dari kiri kita mengalikan sebelum kita mengurangkan. Tanda kurung haruslah digunakan untuk mendapatkan hasil lainnya: (14 – 3) x 4 = 11 x 4 = 44 Karena aturan prioritas menyatakan bahwa tanda kurung haruslah dikerjakan terlebih dulu. Sehingga, 34 + 10 : (2 – 3) x 5 = .... Perhatikan bahwa apabila tanda kurung digunakan kita dapat menghilangkan tanda perkalian dan mengganti tanda pembagian dengan gris, sehingga: 5 x (6 – 4) menjadi 5(6 – 4) dan (25 – 10) : 5 menjadi (25 – 10)/5 atau

25−10 5

Ketika menentukan nilai dari pernyataan yang mengandung tanda-kurung dalam kurung, tanda kurung yang paling dalam terlebih dahulu ditentukan nilainya, sebagai contoh: 3(4 – 2(5 – 1)) = 3(4 – 2 x 4) = 3(4 – 8) = 3(–4)

= –12 Sehingga, 5 – (8 + 7(4 – 1) – 9/3) = ....

Hukum Dasar Aritmatika bbb

bbb

Semua pekerjaan yang telah Anda lakukan sampai sejauh ini dilakukan dengan asumsi bahwa Anda telah mengetahui aturan-aturan tentang penggunaan operasi aritmatika yang tentu saja Anda sudah bisa. Namun demikian, terdapat perbedaan antara mengetahui aturan itu saja dan menyadari keberadaan aturan-aturan tersebut. Keempat operasi aritmatika itu adalah: Penambahan dan Pengurangan Perkalian dan Pembagian Di mana pada setiap pasangan operasi yang satu adalah kebalikan dari operasi yang satunya. 1. Komutatif Dua bilangan bulat dapat ditambahkan atau dikalikan dalam urutan manapun tanpa mempengaruhi hasilnya. Sebagai contoh: 5 = 8 = 8 = 5 = 13 dan 5 x 8 = 8 x 5 = 40 Kita katakan bahwa penambahan dan perkalian adalah operasi komutatif. x + y = y + x dan xy = yx Urutan pengurangan atau pembagian dua bilangan bulat sangat mempengaruhi hasilnya. Sebagai contoh: 4 – 2 ≠ 2 – 4 karena 4 – 2 = 2 dan 2 – 4 = –2 Perhatikan bahwa ≠ berarti tidak sama dengan. Selain itu; 4:2≠2:4 Kita katakan bahwa pengurangan dan pembagian bukanlah operasi komutatif. 2. Asosiatif Cara yang digunakan untuk mengasosiasikan tiga atau lebih bilangan bulat dengan penambahan atau perkalian tidak mempengaruhi hasilnya. Sebagai contoh: 3 + (4 + 5) = (3 + 4) + 5 = 3 + 4 + 5 = 12 Dan 3 x (4 x5) = (3 x 4) x 5 = 3 x 4 x 5 = 60 Kita katakan bahwa penambahan dan perkalian adalah operasi asosiatif. x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z Cara yang digunakan untuk mengasosiasikan tiga atau lebih bilangan bulat dengan pengurangan atau pembagian akan mempengaruhi nilainya. Sebagai contoh: 3 – (4 – 5) ≠ (3 – 4) – 5 karena 3 – (4 – 5) = 3 – (–1) = 3 + 1 = 4 dan (3 – 4) – 5 = (–1) – 5 = –6 Begitu juga, 24 : (4 : 2) ≠ (24 : 4) : 2 karena 24 : (4 : 2) = 24 : 2 = 12 dan (24 : 4) : 2 = 6 : 2 = 3 Kita katakan bahwa pengurangan dan pembagian bukanlah operasi asosiatif. 3. Distributif Perkalian didistribusikan pada operasi penambahan dan pengurangan dari kiri atau kanan. Sebagai contoh: 3 x (4 + 5) = (3 x 4) + (3 x 5) = 27 dan (3 + 4) x 5 = (3 x 5) + (4 x 5) = 35 3 x (4 – 5) = (3 x 4) – (3 x 5) = –3 dan (3 – 4) x 5 = (3 x 5) – (4 x 5) = –5

x(y + z) = xy + xz Pembagian didistribusikan pada penambahan dan pengurangan dari kanan tetapi tidak dari kiri. Sebagai contoh: (60+15) 60 15 = + (60 + 15) : 5 = (60 : 5) + (15 : 5) atau 5 5 5 karena (60 + 15) : 5 = 75 : 5 = 15 dan (60 : 5) + (15 : 5) = 12 + 3 = 15 akan tetapi, 60 : (15 + 5) ≠ (60 : 15) + (60 : 5) karena 60 : (15 + 5) = 60 : 20 = 3 dan (60 : 15) + (60 : 5) = 4 + 12 = 16 Begitu juga, (20 – 10) : 5 = (20 : 5) – (10 : 5) karena (20 – 10) : 5 = 10 : 5 = 2 dan (20 : 5) – (10 : 5) = 4 – 2 = 2 tetapi 20 : (10 – 5) ≠ (20 : 10) – (20 : 5) karena 20 : (10 – 5) = 20 : 5 = 4 dan (20 : 10) – (20 : 5) = 2 – 4 = –2 4. Unsur Identitas Terdapat dua bilangan real yang berlainan, 0 dan 1 yang memenuhi x + 0 = x dan x . 1 = x 5. Invers Setiap bilangan x, kecuali nol mempunyai invers penambahan (disebut juga negatif), –x , yang memenuhi x + (–x) = 0. Setiap bilangan x, kecuali nol mempunyai invers perkalian (disebut juga kebalikan), x-1 , yang memenuhi x . x-1 = 1.

Latihan 1. Carilah nilai dari masing-masing soal: (a) 16 – 12 x 4 + 8 : 2 = .... (b) (16 – 12) x (4 + 8) : 2 = .... (c) 9 – 3(17 + 5(5 – 7)) = .... (d) 8(3(2 + 4) – 2(5 + 7)) = .... 2. Tunjukkan bahwa: (a) 6 – (3 – 2) ≠ (6 – 3) – 2 (b) 100 : (10 : 5) ≠ (100 : 10) : 5 (c) 24 : (2 + 6) ≠ (24 : 2) + (24 : 6) (d) 24 : (2 – 6) ≠ (24 : 2) – (24 : 6)

B. FAKTOR Faktor bb

bb

Setiap pasangan bilangan asli disebut faktor-faktor dari hasilkali mereka. Contohnya, bilangan 3 dan 6 merupakan faktor dari 18 kerena 3 x 6 = 18. Faktor dari 18 bukan hanya yang dua ini saja. Kumpulan faktor lengkap untuk 18 ialah 1, 2, 3, 6, 9, 18 karena 18 = 1 x 18 =2x9 =3x6 Tentukan faktor-faktor dari: (a) 12 (b) 25 (c) 17 Bilangan Primabb bb Jika suatu bilangan asli hanya memiliki dua faktor yang berupa bilangan itu sendiri dan bilangan 1, bilangan asli ini disebut bilangan prima. Keenam bilangan prima yang pertama ialah 2, 3, 5, 7, 11 dan 13. Bilangan 1 bukanlah bilangan prima karena bilangan ini hanya memiliki satu faktor, yaitu bilangan itu sendiri. Faktorisasi Primabb bb Setiap bilangan asli dapat ditulis sebagai hasilkali yang hanya melibatkan faktor-faktor prima. Sebagai contoh, bilangan 126 memiliki faktor-faktor 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, dan 126, yang diantaranya 2, 3 dan 7 merupakan bilangan prima sehingga 126 dapat ditulis sebagai: 126 = 2 x 3 x 3 x 7 Untuk memperoleh faktorisasi prima ini, bilangan tersebut dibagi secara berurutan dengan bilangan prima yang semakin membesar, dengan demikian:

sehingga 126 = 2 x 3 x 3 x 7 Perhatikan bahwa suatu faktor prima dapat saja muncul lebih dari sekali dalam faktorisasi prima. Sekarang carilah faktorisasi prima dari: (a) 84 (b) 512 Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)bb fggggg ggg bb Faktor persekutuan terbesar (FPB) dua bilangan asli adalah faktor terbesar yang sama-sama dimiliki oleh kedua bilangan tersebut. Sebagai contoh, faktorisasi prima dari 144 dan 66 ialah 144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 66 = 2 x3 x 11 Hanya bilangan 2 dan 3 yang sama-sama dimiliki kedua faktorisasi itu dan oleh sebab itu faktor terbesar yang sama-sama dimiliki oleh kedua bilangan asli ini (FPB) ialah 2 x 3 = 6. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)bb

fggggg

ggg

bb

Bilangan asli terkecil yang dapat habis dibagi oleh pasangan bilangan asli, disebut kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Kelipatan persekutuan terkecil ini juga diperoleh dari faktorisasi prima masing-masing dari kedua bilangan tersebut. Sebagai contoh: 144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 66 = 2 x3 x 11 KPK = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 11 = 1584 Carilah FPB dan KPK dari 84 dan 512 !

C. PECAHAN Pembagian Bilangan Bulatbb Pecahan adalah bilangan yang dinyatakan oleh satu bilangan bulat bilangan bulat lain

penyebut (atau pembagi). Sebagai contoh,

pembilang 3 5

ggg yang dibagi oleh

ialah pecahan dengan

pembilang 3 dan penyebut 5. Karena pecahan ditulis sebagai sebagai satu bilangan bulat dibagi oleh bilangan bulat lainnya suatu rasio pecahan ini disebut bilangan rasional. Pecahan dapat berupa pecahan wajar, takwajar atau campuran. 4  Pada pecahan wajar, pembilangnya lebih kecil daripada penyebutnya, sebagai contoh 7 

Pada pecahan takwajar pembilangnya lebih besar daripada penyebutnya, sebagai contoh 12 5



Pecahan campuran berupa bilangan bulat dan pecahan, sebagai contoh

Sehingga

−8 11

6

2 3

merupakan pecahan wajar. Pecahan dapat positif atau negatif.

Mengalikan Pecahanbb

fgg

bbbbbbb

Dua pecahan dapat dikalikan dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebutnya secara independen. Sebagai contoh: 2 5 2× 5 10 × = = 3 7 3× 7 21 Contoh lainya:

5 2 10 × = 9 7 63

Kata “dari” apabila diselipkan di antara dua pecahan berarti perkalian. Sebagai contoh: Setengah dari setengah kue sama dengan seperempat kue. Dengan kata lain, 1 1 1 1 1 ×1 1 × = = 2 dari 2 = 2 2 2 ×2 4 Sedangakan, sepertiga dari dua perlima itu sama artinya dengan: 1 2 1 2 1× 2 2 × = = 3 dari 5 = 3 5 3× 5 15 Pecahan Ekuivalen bb

fgg

bbbbbbb

Mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama adalah ekuivalen dengan mengalikan pecahan tersebut dengan satu: 4 ×3 4 3 4 4 = × = × 1= 5 ×3 5 3 5 5 4 ×3 12 = 5 ×3 15

Sekarang,

sehingga pecahan

4 5

12 15

dan pecahan 4 5

bilangan yang sama dan oleh karena itu kita sebut

dan

12 15

keduanya menyatakan

pecahan ekuivalen.

Pecahan kedua, yang ekuivalen dengan pecahan pertama, dapat dicari dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan bilangan yang sama. Sehingga jika kita mengalikan pembilang dan penyebut pecahan

7 5

dengan 4 kita peroleh pecahan ekuivalen

28 20 . Kita dapat membalik proses ini dan mencari pecahan ekuivalen yang memiliki pembilang terkecil dengan meniadakan faktor persekutuannya. Ini dikenal sebagai menyederhanakan pecahan ke sukusuku terkecilnya. Sebagai contoh: 16 96 dapat disederhanakan ke suku-suku terkecilnya sebagai berikut: 16 4 × 4 4 4 4 = = × = 96 24 × 4 24 4 24 Pecahan

4 24

dapat juga disederhanakan:

4 4 4 1 = = = 24 6 ×4 6 ×4 6 Karena

1 6

tidak dapat disederhanakan lagi, kita lihat bahwa

terkecilnya ialah

16 96

disederhakan ke suku-suku

1 6 .

Membagi Pecahan

bbbbbbb 1 Pernyataan 6 : 3 berarti banyaknya 3 dalam 6, yang sebanyak 2. Serupa halnya, pernyataan 1 : 4 berarti banyaknya

bb

1 4

fgg

dalam 1, tentu saja ada 4. Dengan kata lain:

1 4 1: =4=1 × 4 1 Perhatikan bagaimana pembilang dan penyebut dari pembagi dipertukarkan dan pembagian diganti dengan perkalian. Jadi, dua pecahan dibagi dengan mempertukarkan pembilang dan penyebut dari pembaginya dan mengalikan hasilnya. Sebagai contoh:

2 5 2 7 14 : = × = 3 7 3 5 15 Pecahan

7 5

disebut kebalikan (reciprocal)

5 7 .

Menambahkan dan Mengurangkan Pecahanbb fggggg gg bb Dua pecahan hanya dapat langsung ditambahkan atau dikurangkan jika keduanya memiliki penyebut yang sama, yang dalam hal ini kita menambahkan atau mengurangkan pembilang dan membaginya dengan penyebut persekutuannya. Sebagai contoh: 2 3 2+3 5 + = = 7 7 7 7 Jika kedua pecahan itu tidak memiliki penyebut yang sama, keduanya harus dtulis kembali dalam bentuk yang ekuivalen sehingga keduanya memiliki penyebut yang sama, yang disebut penyebut persekutuan (common denominator). Sebagai contoh: 2 1 2× 5 1 ×3 10 3 13 + = + = + = 3 5 3× 5 5 ×3 15 15 15 di mana 15 adalah KPK dari 3 dan 5. Contoh lainnya: 5 1 − =… 9 6 KPK dari penyebut 9 dan 6 adalah 18 maka: 5 1 5 × 2 1×3 10 3 7 − = − = − = 9 6 9× 2 6 × 3 18 18 18 Rasio dan Mengurangkan Pecahanbb fggggg gg bb Jika suatu bilangan cacah dipisahkan menjadi beberapa pecahan di mana setiap pecahan memiliki penyebut yang sama, pembilang pecahan akan membentuk rasio (perbandingan). Sebagai contoh, jika sejumlah air garam dalam tangki mengandung

1 3

garam dan

2 3

air, garam dan air

dikatakan memiliki rasio “satu banding dua”, yang ditulis 1 : 2. Berapakah rasio yang dibentuk komponen A, B dan C jika suatu senyawa mengandung

A,

1 6

dari B dan

1 12

dari C?

Karena KPK dari penyebut 4, 6 dan 12 adalah 12 maka: 3 9 4 dari A ialah 12 1 6

dari B ialah

dan sisanya

1 12

2 12 dari C

3 4

dari

Ini memastikan bahwa komponennya adalah rasio pembilangnya. Dengan kata lain: A:B:C 9:2:1 Perhatikan bahwa jumlah bilangan dalam rasio sama dengan penyebut persekutuannya (9 + 2 + 1 = 12). Persentase dan Mengurangkan Pecahanbb fggggg gg bb Persentase merupakan suatu pecahan yang penyebutnya sama dengan 100. Sebagai contoh, jika 5 di antara 100 orang adalah kidal maka fraksi orang kidal ialah

5 100

yang ditulis sebagai 5% (lima

persen). Jadi jika 13 di antara 100 mobil berwarna merah, maka persentase mobil merah adalah 13%. 13 Karena fraksi mobil yang berwarna merah ialah 100 maka ditulis sebagai 13%. Berapakah persentase resistor yang rusak dalam satu pak yang terdiri dari 25 buah resistor jika 12 di antaranya rusak? 12 12 × 4 48 = = Fraksi resistor yang rusak ialah 25 25 × 4 100 yang ditulis sebagai 48%. Perhatikan bahwa ini sama dengan: 12 12 ×100 = ×25 × 4 = (12 × 4 ) °=48 25 25

(

)(

)

suatu pecahan dapat dikonversi ke persentase dengan mengalikan pecahan tersebut dengan 100. Untuk mencari persentase bagian dari suatu kuantitas, kita mengalikan kuantitas tersebut dengan persentase yang ditulis sebagai pecahan. Sebagai contoh, 24% dari 75 ialah.... 24 24 6×4 ×25 ×3=18 24% dari 75 = 100 dari 75 = 100 x 75 = 25 × 4 . Bilangan Desimal engurangkan Pecahanbb fggggg gg bb Jika suatu bilangan bulat dibagi dengan bilangan bulat kedua yang bukan salah satu faktor dari bilangan bulat pertama maka hasilnya tidak akan berupa bilangan bulat lain. Sebagai contoh, dengan menggunakan kalkulator akan kita lihat bahwa: 25 : 8 = 3,125 yang berupa bilangan yang lebih besar dari 3 tetapi lebih kecil daripada 4. Sebagaimana pada bilangan bulat, kedudukan suatu numeral (angka) di dalam bilangan memperlihatkan nilainya. Di sini bilangan 3,125 menyatakan: 3 satuan + 1 persepuluhan + 2 perseratusan + 5 perseribuan 1 2 5 Artinya 3 + 10 + 100 + 1000 di mana tanda koma menunjukkan pemisahan satuan dari persepuluhan. Bilangan yang ditulis dalam format ini disebut bilangan desimal. Pecahan Sebagai Desimal engurankan Pecahanbb fggggg gg bb Karena suatu pecahan merupakan satu bilangan bulat dibagi oleh bilangan bulat yang lain, pecahan tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk desimal cukup dengan melakukan pembagian. Sebagai contoh:

7 =7 : 4=1,75 4 Desimal Sebagai Pecahanengurangkan Pecahanbb fggggg Desimal dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Sebagai contoh: 1224 153 1,224= yang dalam suku-suku terkecilnya sama dengan 1000 125 Contoh lainnya: 0,52 =

gg bb

52 13 = 100 25

Desimal Takberkesudahangurangkan Pecahanbb fggggg gg bb Mengkonversi pecahan menjadi bentuk desimalnya dengan melakukan pembagian selalu menghasilkan suatu untaian numeral (angka) yang tak terhingga setelah tanda koma. Untaian angka ini bisa saja berisi barisan nol yang tak berhingga atau untaian angka ini dapat saja berisi pola angka yang berulang terus-menerus. Pola angka yang berulang terus menerus ini dapat ditulis dalam format sederhananya. Sebagai contoh: 1 =1:3=0,3333 … 3 Di sini pola stelah tanda koma ialah angka 3 yang takterhingga. Kita sederhanakan ini dengan menempatkan titik di atas angka 3 untuk memperlihatkan perulangannya, yang dengan demikian: 0,3333 …=0, 3´ yang diartikan sebagai nol koma tiga berulang. Untuk pecahan lain perulangan ini dapat saja terdiri atas barisan angka, dalam hal ini sebuah titik ditempatkan di atas angka pertama dan terakhir dalam barisan tersebut. Sebagai contoh: 1 =0,142857142857142857 …=0, 1´ 4285 7´ 7 dan 2 =0,181818 …=0, 1´ 8´ 11 Kadang-kadang pola berulang ini dibentuk oleh barisan nol yang takterhingga, yang dalam hal ini kita cukup menghilangkannya saja. Sebagai contoh: 1 =0,20000 … ditulis sebagai 0,2 5 Desimal Takberkesudahan Sebagai Pecahananbb fggggg gg bb Sembarang desimal yang memperlihatkan suatu pola berulang yang takberkesudahan dapat dikonversi menjadi bentuk pecahannya. Sebagai contoh: ´´ Untuk mengkonversi 0,181818...= 0, 1 8 ke bentuk pecahannya kita perhatikan bahwa karena terdapat dua angka yang berulang kita mengalikannya dengan 100 untuk menghasilkan: ´ ´1 8´ 100 ×0, ´1 8=18, ´´ Mengurangkan 0, 1 8 dari kedua sisi persamaan ini menghasilkan: ´ ´ ´1 8−0, ´ 100 ×0, ´1 8−0, 1´ 8=18, 1´ 8´ Dengan kata lain:

99 ×0, 1´ ´8=18,00 99 ×0, 1´ ´8=18

Ini berarti bahwa: 18 2 0, ´1 8´ = = 99 11 ´ ´ Dengan cara yang sama, bentuk pecahan 2,0 31 5 dapat dicari sebagai berikut: ´ 5=2,0+0,0 ´ 2,0 31 3´ 1 5´ dan karena terdapat tiga angka berulang: ´ ´31 5´ 1000× 0,0 3´ 1 5=31,5 ´ ´ Mengurangkan 0,0 3 1 5 dari kedua sisi persamaan ini menghasilkan: ´ ´ ´ 1000× 0,0 3´ 1 5−0,0 3´ 1 5=31,5 3´ 1 5−0,0 3´ 1 5´ Dengan kata lain: ´ 999 ×0,0 3´ 1 5=31,5 Sehingga: 31,5 315 0,0 3´ 1 5´ = = 999 9990 Ini berarti bahwa: 315 315 35 7 2,0 3´ 1 5´ =2,0+0,0 3´ 1 5´ =2+ =2 =2 =2 9990 9990 1110 222 ´´ ´´ Tentukan bentuk pecahan 0, 2 1 dan 3, 2 1 !

D. EKSPONENSIAL Memangkatkan Suatu Bilangan anbb fggggg gg bb Operasi aritmatika berupa pemangkatan suatu bilangan diperoleh dari perkaliaan berulang. Sebagai contoh: 10 x 10 x 10 x 10 = 104 yang berarti bilangan 10 dikalikan dengan bilangan itu sendiri 4 kali. Pangkat disebut juga indeks dam bilangan yang dipangkatkan disebut basis (bilangan pokok). Di sini bilangan 4 adalah pangkat (indeks) dan 10 adalah bilangan pokoknya (basis). Sehingga 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 55 , karena bilangan 5 (basisnya) dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak 5 kali (pangkat atau indeksnya). Pangkat Satu anbb fggggg Sembarang bilangan yang dipangkatkan 1 sama dengan bilangan itu sendiri. 31=3

gg bb

991=99 1 1 1 = 5 5

()

a1 = a

Perkalian Bilangan dan Penambahan Pangkat

anbb

fggggg

gg bb

Jika dua bilangan masing-masing ditulis sebagai suatu basis yang dipangkatkan dengan suatu bilangan maka hasilkali kedua bilangan tersebuat sama dengan basis yang sama dipangkatkan dengan jumlah pangkatnya. Misalnya, 16 = 24 dan 8 = 23 , jadi: 16 x 8 = 24 x 23 = (2 x 2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2) =2x2x2x2x2x2x2x2 = 27 = 24+3 Perkalian mempersyaratkan penambahan pangkatnya. ab x ac = ab+c Perhatikan bahwa kita tidak dapat menggabungkan pangkat yang berbeda dengan basis yang berbeda. Sebagai contoh: 22 x 43 tidak dapat ditulis sebagai 85 tetapi kita dapat menggabungkan basis yang berbeda dengan pangkat yang sama. Sebagai contoh: 34 x 54 = (3 x 3 x 3 x 3) x (5 x 5 x 5 x 5) = 15 x 15 x 15 x 15 = 154 = (3 x 5)4 23 x 43 = (2 x 4)3 = 83 Pembagian Bilangan dan Pengurangan Pangkat anbb fggggg gg bb Jika dua bilangan masing-masing ditulis sebagai suatu basis yang dipangkatkan dengan bilangan tertentu maka hasilbagi kedua bilangan tersebut sama dengan basis yang sama yang dipangkatkan dengan selisih pangkat keduanya. Sebagai contoh: 15.635 : 25 = 56 : 52 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5 x5) : (5 x 5) 5 ×5 × 5× 5 ×5 ×5 ¿ 5× 5 =5x5x5x5 = 54 = 56-2 = 625 Pada pembagian dengan basis yang sama, pangkat-pangkat harus dikurangkan. ab : ac = ab-c Perhatikan bahwa kita tidak dapat menggabungkan pangkat yang berbeda dengan basis yang berbeda. Sebagai contoh: 45 : 23 tidak dapat ditulis sebagai 22 tetapi kita dapat menggabungkan basis yang berbeda dengan pangkat yang sama. Sebagai contoh: 95 : 35 = (9 : 3)5 = 35 7 7 2 27 :5 7=( 2 :5 ) = 5

()

Pangkat Nol anbb fggggg Sembarang bilangan yang dipangkatkan nol (0) sama dengan satu. Sebagai contoh: 1 = 31 : 3 1 = 31-1 = 30

gg bb

a0 = 1 Pangkat Negatif

anbb

fggggg

gg bb

Bilangan yang dipangkatkan dengan pangkat negatif menandakan pangkat kebalikannya. Sebagai contoh: −2 0−2 6 =6 0

¿ 6 :6 ¿ 1:6 ¿

Selain itu

2

2

1 2 6

6−1=

1 6

Pangkat negatif menandakan kebalikannya. a−1=

1 a

Perkalian Pangkat anbb fggggg gg bb Jika suatu bilangan ditulis sebagai suatu basis yang dipangkatkan kemudian bilangan itu dipangkatkan lagi hasilnya akan sama dengan basis tersebut yang dipangkatkan dengan hasil kali pangkat-pangkatnya sebagai contoh: (8)2 = (23)2 = 23 x 23 = (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2) = 26 = 22x3 = 64 (25)3 = (52)3 = 52x3 = 56 Pada pemangkatanpangkat-pangkatnya harus dikalikan. (ab)c = abxc Pembagian dan Akar Bentuk Pecahan Kita baru saja melihat bahwa

anbb

fggggg

gg bb