Aula 05 Matematica E Raciocinio Logico 55492z

Aula 05 Matemática p/ PRF - Policial - 2014/2015 (Com videoaulas) Professor: Arthur Lima

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AULA 05: TÓPICOS DE ÁLGEBRA SUMÁRIO

PÁGINA

1. Teoria

01

2. Resolução de exercícios

83

3. Lista de questões apresentadas na aula

141

4. Gabarito

161

Nesta aula vamos tratar dos tópicos de álgebra do último edital:

Equações e inequações de 1º e 2º graus. Sistemas lineares. Funções. Gráficos. Números inteiros, racionais e reais. Sistema legal de medidas.

Tenha uma boa aula, e me procure em caso de dúvida!

1. TEORIA 1.1 Equações de 1º grau Para começar o estudo deste tópico, vamos trabalhar o seguinte exemplo: “João tinha uma quantidade de bolas cheias, porém 5 murcharam, restando apenas 3 cheias. Quantas bolas tinha João?”. Neste caso, a variável que pretendemos descobrir é o número de bolas. Chamando essa variável de x, sabemos que x menos

5

bolas

que

Matematicamente, temos:

murcharam

resulta

em

apenas

3

bolas

cheias.

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x–5=3 portanto, x = 8 bolas Este é um exemplo bem simples. Note que a variável x está elevada ao expoente 1 (lembra-se que x 1 = x ?) . Quando isso acontece, estamos diante de uma equação de 1º grau. Estas equações são bem simples de se resolver: basta isolar a variável x em um lado da igualdade, ando todos os demais membros para o outro lado, e assim obtemos o valor de x.



! Antes de prosseguirmos, uma observação: você notará que eu não gosto de





usar a letra x, mas sim uma letra que “lembre” o que estamos buscando. No exemplo acima, eu teria usado B (de bolas), pois acho que isso evita esquecermos o que representa aquela variável – principalmente quando estivermos trabalhando com várias delas ao mesmo tempo. O valor de x que torna a igualdade correta é chamado de “raiz da equação”. Uma equação de primeiro grau sempre tem apenas 1 raiz. Vejamos outro exemplo: 3x - 15 = 0 3x = 15 x=5 Note que as equações abaixo NÃO são de primeiro grau: a) x 2 − 16 = 0 b) c)

x + x − 30 = 0 1 + x −5 = 0 x Uma equação do primeiro grau pode sempre ser escrita na forma ax + b = 0 ,

onde a e b são números que chamaremos de coeficientes, sendo que, necessariamente, a ≠ 0 (a deve ser diferente de zero, caso contrário 0.x = 0, e não estaríamos diante de uma equação de primeiro grau). Veja que, isolando x em ax + b = 0 , temos: x=

−b a

Portanto, a raíz da equação é sempre dada por

−b . Na equação de primeiro a

98036882434

grau 2 x − 13 = 0 , a = 2 e b = -13. Portanto, a raiz será x =

−b −( −13) 13 = = . a 2 2

Agora imagine o seguinte problema: “O número de bolas que João tem, acrescido em 5, é igual ao dobro do número de bolas que ele tem, menos 2. Quantas bolas João tem?” Ora, sendo B o número de bolas, podemos dizer que B + 5 (o número de bolas acrescido em 5) é igual a 2B – 2 (o dobro do número de bolas, menos 2). Isto é: B + 5 = 2B – 2



! Para resolver este problema, basta ar todos os termos que contém a





incógnita B para um lado da igualdade, e todos os termos que não contém para o outro lado. Veja: -(-2) + 5 = 2B – B 2+5=B 7=B Sobre este tema, resolva a questão a seguir:

1. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) Antônio recebeu seu salário. As contas pagas consumiram a terça parte do que recebeu, e a quinta parte do restante foi gasta no supermercado. Se a quantia que sobrou foi de R$440,00, o valor recebido por Antonio foi de: a) R$780,00 b) R$795,00 c) R$810,00 d) R$825,00 e) R$840,00 RESOLUÇÃO: Seja S o salário recebido por Antonio. Se ele gastou a terça parte (isto é, com as contas, sobraram S −

S ) 3

S 2 = S . Desse valor restante, a quinta parte (ou seja, 3 3

1 2 × S ), foi gasta no supermercado. Como sobraram 440 reais, podemos dizer que: 5 3 2 1 2 S − × S = 440 3 5 3 98036882434

Vamos resolver a equação de primeiro grau acima, com a variável S: 2 1 2 S − × S = 440 3 5 3 10 2 S − S = 440 15 15 8 S = 440 15 15 S = 440 × 8 S = 825



Resposta: D.

!



1.1.1 Sistemas de equações de 1º grau (sistemas lineares) Em alguns casos, pode ser que tenhamos mais de uma incógnita. Imagine que um exercício diga que: x + y = 10 Veja que existem infinitas possibilidades de x e y que tornam essa igualdade verdadeira: 2 e 8, -2 e 12 etc. Por isso, faz-se necessário obter mais uma equação envolvendo as duas incógnitas para poder chegar nos seus valores exatos. Portanto, imagine que o mesmo exercício diga que: x – 2y = 4 Portanto, temos o seguinte sistema, formado por 2 equações e 2 variáveis: x + y = 10 x − 2y = 4 A principal forma de resolver esse sistema é usando o método da substituição. Este método é muito simples, e consiste basicamente em duas etapas: 1. Isolar uma das variáveis em uma das equações 2. Substituir esta variável na outra equação pela expressão achada no item anterior.

A título de exemplo, vamos isolar a variável x na primeira equação acima. Teremos, portanto: x = 10 − y Agora podemos substituir x por 10 – y na segunda equação. Assim: 98036882434

x − 2y = 4 (10 − y ) − 2y = 4 10 − 3 y = 4 10 − 4 = 3 y 6 = 3y y =2 Uma vez encontrado o valor de y, basta voltar na equação x = 10 – y e obter o valor de x:







x = 10 − y x = 10 − 2

!

x=8

Treine este método com a questão abaixo:

2. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2011) Os professores de uma escola combinaram almoçar juntos após a reunião geral do sábado seguinte pela manhã, e o transporte até o restaurante seria feito pelos automóveis de alguns professores que estavam no estacionamento da escola. Terminada a reunião, constatou-se que: • Com 5 pessoas em cada carro, todos os professores podem ser transportados e 2 carros podem permanecer no estacionamento. • Se 2 professores que não possuem carro desistirem, todos os carros podem transportar os professores restantes, com 4 pessoas em cada carro. O número total de professores na reunião era: A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60 RESOLUÇÃO: Chamemos de C o número de carros disponíveis. Com 5 pessoas em cada carro, seria possível deixar 2 carros no estacionamento, isto é, usar apenas C – 2 carros. Sendo P o número de professores, podemos dizer que P é igual ao número 98036882434

de carros que foram usados (C – 2) multiplicado por 5, que é a quantidade de professores em cada carro: P = (C − 2) × 5 Se 2 professores desistirem, isto é, sobrarem P – 2 professores, estes podem ser transportados nos C carros, ficando 4 pessoas em cada carro. Portanto, o número de professores transportados neste caso (P – 2) é igual à multiplicação do número de carros (C) por 4, que é a quantidade de professores em cada carro: P −2 =C×4



! Temos assim um sistema linear com 2 equações e 2 variáveis:





P = (C − 2) × 5 P −2 =C×4 Vamos isolar a variável P na segunda equação: P =C×4+2 A seguir, podemos substituir essa expressão na primeira equação:

P = (C − 2) × 5 C × 4 + 2 = (C − 2) × 5 4C + 2 = 5C − 10 2 + 10 = 5C − 4C 12 = C Descobrimos, portanto, que o total de carros é C = 12. O total de professores é dado por: P =C×4+2 P = 12 × 4 + 2 P = 50

Resposta: C

1.2 Equações de 2º grau Assim como as equações de primeiro grau se caracterizam por possuírem a variável elevada à primeira potência (isto é, x 1 ), as equações de segundo grau possuem a variável elevada ao quadrado ( x 2 ), sendo escritas na forma

ax 2 + bx + c = 0 , onde a, b e c são os coeficientes da equação. Veja um exemplo: 98036882434

x 2 − 3x + 2 = 0 Nesta equação, a = 1 (pois x 2 está sendo multiplicado por 1), b = -3 e c = 2. As equações de segundo grau tem 2 raízes, isto é, existem 2 valores de x que tornam a igualdade verdadeira. No caso da equação acima, veja que x = 1 e x = 2 são raízes, pois: 12 − 3 × 1 + 2 = 0 e 22 − 3 × 2 + 2 = 0





!



Toda equação de segundo grau pode ser escrita também da seguinte forma: a × ( x − r1 ) × ( x − r2 ) = 0

Nesta forma de escrever, r1 e r2 são as raízes da equação. Tratando do exemplo acima, como as raízes são 1 e 2, podemos escrever: 1× ( x − 1) × ( x − 2) = 0

Desenvolvendo a equação acima, podemos chegar de volta à equação inicial:

1× ( x − 1) × ( x − 2) = 0 x 2 − 2 x − 1x + ( −1) × ( −2) = 0 x 2 − 3x + 2 = 0 A fórmula de Báskara nos dá as raízes para uma equação de segundo grau. Basta identificar os coeficientes a, b e c e colocá-los nas seguintes fórmulas:

x=

−b + b 2 − 4ac 2a e

−b − b 2 − 4ac x= 2a

Como a única diferença entre as duas fórmulas é um sinal, podemos escrever simplesmente:

−b ± b 2 − 4ac x= 2a 98036882434

Para exemplificar, vamos calcular as raízes da equação x 2 − 3 x + 2 = 0 utilizando a fórmula de Báskara. Recordando que a = 1, b = -3 e c = 2, basta substituir estes valores na fórmula:





x=



!

−b ± b 2 − 4ac 2a

−( −3) ± ( −3)2 − 4 × 1× 2 x= 2 ×1 3± 9−8 2 3 ±1 x= 2 x=

Observe esta última expressão. Dela podemos obter as 2 raízes, usando primeiro o sinal de adição (+) e depois o de subtração (-). Veja: x1 =

3 +1 4 = =2 2 2 e

x2 =

3 −1 2 = =1 2 2

Na fórmula de Báskara, chamamos de “delta” ( ∆ ) a expressão b 2 − 4ac , que vai dentro da raiz quadrada. Na resolução acima, b 2 − 4ac = 1 , ou seja, o “delta” era um valor positivo ( ∆ > 0 ). Quando ∆ > 0 , teremos sempre duas raízes reais para a equação, como foi o caso. Veja que, se ∆ for negativo, não é possível obter a raiz quadrada. Portanto, se ∆ < 0 , dizemos que não existem raízes reais para a equação de segundo grau. Já se ∆ = 0 , a fórmula de Báskara fica x =

− b ± 0 −b = . Isto significa que 2a 2a

teremos apenas 1 raiz para a equação, ou melhor duas raízes idênticas. Por 98036882434

exemplo, vamos calcular as raízes de x 2 − 2 x + 1 = 0 . Veja que a = 1, b = -2 e c = 1. Calculando o valor de “delta”, temos:

∆ = b 2 − 4ac ∆ = ( −2)2 − 4 × 1× 1 ∆ = 4−4 =0 Na fórmula de Báskara, temos:







x=

−b ± b 2 − 4ac 2a

x=

−b ± ∆ 2a

!

−( −2) ± 0 2 ×1 2 x = =1 2 x=

Portanto, chegamos apenas ao valor x = 1. Essa equação de segundo grau tem ∆ = 0 , o que leva a apenas 1 raíz, isto é, a 2 raízes de mesmo valor (x = 1). Esta equação poderia ter sido escrita assim: 1 x (x – 1) x (x – 1) = 0 ou simplesmente (x – 1)2 = 0

Tente resolver a questão abaixo:

3. VUNESP – ISS/SJC – 2012) Em uma sala, o número de meninos excede o número de meninas em três. O produto do número de meninos pelo número de meninas é um número que excede o número total de alunos em 129. O total de alunos nessa sala é (A) 25. (B) 27. (C) 30. 98036882434

(D) 32. (E) 36.

RESOLUÇÃO: Seja A o número de meninas e B o número de meninos. O enunciado diz que B excede A em 3, ou seja, B=A+3

Além disso, é dito que o produto entre A e B (isto é, A x B) excede o número total de alunos em 129. Como o total de alunos é dado pela soma A + B, temos: A x B = A + B + 129



!



Temos um sistema com duas equações e duas variáveis: B=A+3 A x B = A + B + 129

Substituindo B por A + 3 na última equação, temos: A x (A + 3) = A + (A + 3) + 129 A2 + 3A = 2A + 132 A2 + A – 132 = 0

Podemos resolver essa equação do 2º grau com a fórmula de Báskara, onde os coeficientes são a = 1, b = 1 e c = -132: −(1) ± 12 − 4 × 1× (−132) A= 2 ×1 A=

−1 ± 529 2

A=



−1 ± 23 2

A = -12 ou A = 11

Como A é o número de meninas, ele deve necessariamente ser um número positivo. Assim, podemos descartar -12 e afirmar que A = 11 meninas. Portanto, o número de meninos é: B = A + 3 = 11 + 3 = 14 98036882434

O total de alunos é: A + B = 11 + 14 = 25 Resposta: A

1.2.1 Equações biquadradas Observe a equação abaixo: x4 – 2x2 – 3 = 0



! Aqui temos uma equação de quarto grau, pois temos a variável x elevada à





quarta potência. Repare ainda que não temos o termo x3 e nem o termo x1 (ou simplesmente x). Isto é, estes dois termos possuem coeficiente igual a zero. Essas equações, onde temos x4 e não temos nem x3 nem x, são chamadas de biquadradas. Elas são importantes porque podemos resolvê-las utilizando o mesmo método que vimos para as equações de segundo grau, com algumas adaptações. O primeiro o é “criar” a variável y, definindo que y = x2. Assim, podemos reescrever a equação inicial, agora em função de y. Basta lembrar que x4 = (x2)2: x4 – 2x2 – 3 = 0 (x2)2 – 2x2 – 3 = 0 y2 – 2y – 3 = 0

Veja que nesta última linha temos uma equação de segundo grau com a variável y. Sabemos resolvê-la, utilizando a fórmula de Báskara: y=

−b ± b 2 − 4ac 2a

2 ± 4 + 12 2 2±4 y= 2 y=

Portanto, temos 2 valores para y: y1 = 3 e y2 = -1 98036882434

Atenção: até aqui obtemos o valor de y apenas. Mas a equação original tinha a variável x, motivo pelo qual devemos buscar os valores de x. Para isto, basta lembrar que y = x2. Considerando y1 = 3, temos: y = x2 3 = x2

x=± 3 Veja que, a partir de y1, obtivemos 2 valores para x: x1 = 3 e x2 = − 3 . A partir de y2 devemos obter outros 2 valores de x, totalizando 4 valores de x (o que era previsível, afinal temos uma equação de 4º grau):







!

y = x2 -1 = x2

x = ± −1 Se estivéssemos trabalhando no conjunto dos números complexos (onde existe raiz quadrada de números negativos), estas seriam as outras duas raízes da equação original: x3 = −1 e x4 = − −1 . Entretanto, em regra devemos considerar que estamos no conjunto dos números reais, onde não existe raiz quadrada de número negativo. Portanto, diante de x = ± −1 , devemos dizer simplesmente que a equação biquadrada x4 – 2x2 – 3 = 0 só tem 2 raízes reais, e não 4. Pratique a resolução de equações biquadradas utilizando a equação abaixo: x4 – 13x2 + 36

Você deverá encontrar y1 = 4 e y2 = 9, e a seguir encontrar x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3 e x4 = -3. 1.2.2 Sistemas de equações de 2º grau Já aprendemos a resolver sistemas formados por duas ou mais equações de primeiro grau, contendo duas ou mais variáveis. Utilizamos para isso o método da substituição. Podemos ter sistemas contendo também equações de segundo grau, onde aplicaremos o mesmo método para resolver. Veja um exemplo a seguir:

x + y = 3 2 2 x − y = −3 Isolando x na primeira equação, temos que x = 3 – y. Efetuando a 98036882434

substituição na segunda equação, temos que: (3 – y)2 – y2 = -3 9 – 6y + y2 – y2 = -3 y=2 Logo, x = 3 – y = 3 – 2 = 1 Veja que neste caso a solução foi bem simples, pois a variável y2 foi cancelada por –y2. Entretanto, ainda que isso não ocorra é possível resolver o



! sistema, utilizando os conhecimentos de equações de 2º grau. Veja este outro



exemplo:

x2 + y = 3 x − y = − 1

Isolando x na segunda equação, temos x = y – 1. Substituindo na primeira equação, temos: (y – 1)2 + y = 3 y2 – 2y + 1 + y = 3 y2 – y – 2 = 0

Com o auxílio da fórmula de Báskara podemos resolver esta equação de segundo grau na variável y: −(−1) ± (−1) 2 − 4 × 1× (−2) y= 2 ×1 y=

1± 3 2

y = 2 ou y = -1

Para y = 2 temos que x = y – 1 = 2 – 1 = 1. Da mesma forma, para y = -1 você pode ver que x = -2. Assim, este sistema possui duas soluções: x=1ey=2 ou x = -2 e y = -1 98036882434

1.3 Inequações de 1º e 2º graus Chamamos de inequação uma desigualdade que utiliza os símbolos > (maior que), < (menor que), ≥ (maior ou igual a) ou ≤ (menor ou igual a). Podemos ter inequações de primeiro grau, segundo grau ou outros graus, dependendo do maior expoente ao qual estiver elevada a variável. Veja alguns exemplos:

x + 7 > 1 (x mais 7 unidades é maior que 1)



! 3x2 < 27 (o triplo de x ao quadrado é menor que 27)





Ao resolver uma inequação não encontraremos o valor exato da variável, mas sim um intervalo onde esta variável pode se encontrar. Exemplificando, vamos resolver a primeira inequação acima: x+7>1

Veja que esta é uma inequação de primeiro grau. Para resolvê-la, vamos isolar a variável x, somando -7 nos dois lados da inequação: x+7–7>1–7 x > -6

Portanto, sabemos que qualquer valor x que seja maior que –6 atende a inequação. Por exemplo, x = 0 atende a inequação, pois 0 > -6. Uma maneira mais formal de representar todos os valores que atendem a inequação é dizer que o conjunto-solução desta inequação (S) é: S = {∀x ∈ R | x > −6}

( leia: o conjunto solução é formado por todo x pertencente ao conjunto dos números reais, tal que x é maior que -6)

Vamos resolver agora a seguinte inequação: -x + 18 < 2x

Podemos “ar” o 18 para o lado direito da inequação (somando -18 nos 98036882434

dois lados da inequação) e “ar” o 2x para o lado esquerdo: -x -2x < -18 -3x < -18 -x < -18/3 -x < -6

Se quisermos obter o valor de x (ao invés de –x), devemos multiplicar ambos os lados da inequação por -1. Entretanto, atenção: neste caso, você deve inverter o sinal da inequação. Observe:





!

x>6



Aqui, teríamos o conjunto solução: S = {∀x ∈ R | x > 6}

Prosseguindo, vamos trabalhar um exemplo de inequação do segundo grau: -x2 +13x > 36

Para resolver uma inequação do segundo grau, você precisa: 1) ar todos os termos para o mesmo lado; 2) substituir o sinal da inequação pelo sinal de igualdade, resolvendo a equação através da fórmula de Báskara; 3) escrever o conjunto-solução da inequação. Vamos efetuar estes os. ando todos os termos da inequação acima para o mesmo lado, temos: -x2 +13x – 36 > 0

Vamos multiplicar os dois membros da inequação por -1, para substituir o sinal negativo de –x2. Lembrando que devemos inverter o sinal da desigualdade, temos: x2 – 13x – 36 < 0

Agora, devemos substituir o sinal > por = , temporariamente, apenas para calcularmos as raízes da equação: x2 – 13x – 36 = 0

Utilizando a fórmula de Báskara, vemos que x1 = 4 e x2 = 9. O próximo o 98036882434

é escrever o conjunto solução da inequação. Como o fator x2 tem coeficiente positivo (1x2), a curva f(x) = x2 – 13x – 36 tem concavidade para cima, cruzando o eixo horizontal em x = 4 e em x = 9. O gráfico desta função seria mais ou menos assim:





!



Observe neste gráfico que f(x) tem valor negativo para x entre 4 e 9 (está abaixo do eixo horizontal). Da mesma forma, f(x) tem valor positivo para x abaixo de 4 e também para x acima de 9 (pois está acima do eixo horizontal), e tem valor igual a zero para x = 4 e para x = 9. Como a inequação que temos é x2 – 13x – 36 < 0, estamos interessados apenas nos trechos onde f(x) é menor que zero (negativa). Marquei em vermelho esses trechos:

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!



Portanto, o nosso conjunto solução é: S = { x ∈ R | 4 < x < 9}

Vamos exercitar a manipulação de inequações do segundo grau encontrando o conjunto solução da inequação abaixo: - x2 + 3x - 2 ≥ 0 Substituíndo o ≥ pelo =, temos: - x2 + 3x - 2 = 0 98036882434

Utilizando a fórmula de Báskara, obtemos x1 = 1 e x2 = 2. O gráfico de f(x) = - x2 + 3x - 2 tem concavidade para baixo, pois x2 tem coeficiente negativo (-1x2). Este gráfico cruza o eixo x em 1 e 2:





!



Como queremos saber a região onde f(x) ≥ 0, isto é, - x2 + 3x - 2 ≥ 0, marquei a região que nos interessa no gráfico abaixo:

98036882434

Portanto, o nosso conjunto solução é a região entre 1 e 2, isto é: S = { x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2} Repare que, no primeiro exemplo que analisamos (x2 – 13x – 36 > 0) tínhamos o sinal >, enquanto no segundo exemplo (- x2 + 3x - 2 ≥ 0) tínhamos o sinal ≥ . No primeiro caso, os valores de x que tornavam x2 – 13x – 36 igual a zero não fizeram parte do conjunto solução. Já no segundo exemplo, os valores de x que tornavam - x2 + 3x - 2 fizeram parte do conjunto solução. Vamos treinar o conteúdo acima resolvendo essa questão:



!



4. ESAF – AFRFB – 2009) Considere as inequações dadas por: f ( x ) = x 2 − 2 x + 1 ≤ 0 e g ( x ) = −2 x 2 + 3 x + 2 ≥ 0 Sabendo-se que A é o conjunto solução de f(x) e B é o conjunto solução de g(x), então o conjunto Y = A ∩ B é igual a: 1 a) Y = x ∈ R | − < x ≤ 2 2 1 b) Y = x ∈ R | − ≤ x ≤ 2 2

c) Y = { x ∈ R | x = 1} d) Y = { x ∈ R | x ≥ 0} e) Y = { x ∈ R | x ≤ 0} RESOLUÇÃO: O primeiro o da resolução é obter as raízes de f(x) e de g(x). Para isso, basta igualá-las a zero e utilizar a fórmula de Báskara. Acompanhe: f(x) = 0 x 2 − 2 x + 1 = 0 x=

−(−2) ± (−2) 2 − 4 × 1× 1 2 ×1

x=

2±0 = 1 2

Observe que nesta equação o ∆ foi igual a zero, de modo que temos duas raízes iguais a 1, e o gráfico da equação apenas toca no eixo horizontal. Esboçando 98036882434

o gráfico de f(x), temos algo assim:





!



Observe que para x = 1 a função f(x) é igual a zero, porém para x > 1 ou x < 1 a função assume valores positivos. Assim, o conjunto-solução da inequação f ( x) ≤ 0 é apenas x = 1, pois para qualquer valor x diferente de 1 teremos f(x) > 0.

Assim, podemos dizer que:

A = { x ∈ R | x = 1}

Analise as alternativas de resposta e veja que nem precisamos trabalhar g(x), pois podemos eliminar as alternativas A, B, D e E, afinal a intersecção entre os conjuntos A e B ( Y = A ∩ B ) não pode conter elementos que não fazem parte de A. De qualquer forma, vamos encontrar o conjunto-solução de g(x). Igualando-a a zero, temos: −2 x 2 + 3 x + 2 = 0 98036882434

−3 ± 32 − 4 × (−2) × 2 x= 2 × (−2) x=

−3 ± 5 −4

1 x = 2 ou x = − 2

Assim, g(x) é uma parábola com a concavidade para baixo (pois o termo x2 é multiplicado por um coeficiente negativo, -2), que toca o eixo horizontal nos pontos 1 x = 2 ou x = − . Esboçando o gráfico, temos: 2



!



Repare que g(x) é igual a zero em x = -1/2 e em x = 2. E g(x) é positiva para x entre -1/2 e 2. Como a nossa inequação é do tipo g ( x) ≥ 0 , podemos escrever o seguinte conjunto-solução: 1 B = x ∈ R | − ≤ x ≤ 2 2

Repare que o ponto x = 1, que é a única solução de f ( x) ≤ 0 , faz parte do intervalo −

1 ≤ x ≤ 2 . Ou seja, x = 1 também é solução da inequação g ( x) ≥ 0 . É por 2

isso que podemos afirmar que a intersecção entre os conjuntos-solução A e B é:

Y = { x ∈ R | x = 1} 98036882434

Resposta: C

1.4 Funções Observe os dois conjuntos abaixo:





!



Veja que as setas servem para associar um elemento do conjunto A a um elemento do conjunto B. Vendo todas as setas, temos uma relação entre os conjuntos A e B. Observe que podemos ter inúmeras relações entre esses dois conjuntos. Observe também que: existem elementos de A que estão ligados a mais de um elemento de B; existem elementos de A que não estão ligados a nenhum elemento de B; existem dois elementos de A ligados ao mesmo elemento de B. Existe uma relação em especial envolvendo esses dois conjuntos, onde cada elemento de A está ligado a um único elemento de B. Veja um exemplo abaixo:

98036882434

É isso que chamamos de função. Ou seja, uma função é uma relação entre elementos de dois conjuntos, que liga cada elemento de um conjunto a um único elemento do outro conjunto. Note que o fato dos elementos 2 e 3 do conjunto A estarem ligados ao mesmo elemento de B (5) não faz com que a relação deixe de

! ser considerada uma função. O que importa é que cada elemento de A está ligado a



apenas 1 elemento de B. Já o primeiro exemplo que vimos não era uma função por dois motivos: - haviam elementos de A que não estavam ligados a nenhum elemento de B (4 e 6); - havia um elemento de A ligado a mais de um elemento de B (5). Voltando a falar do exemplo de função apresentado no desenho acima, você precisa saber identificar os seguintes conjuntos: - Domínio da função (D): é o conjunto onde a função é definida, ou seja, contém todos os elementos que serão ligados a elementos de outros conjuntos. Trata-se, neste exemplo, do conjunto A, afinal todos seus elementos são ligados a elementos do conjunto B; - Contradomínio da função (CD): é o conjunto onde se encontram todos os elementos que poderão ser ligados aos elementos do Domínio. Neste caso, trata-se do conjunto B; - Imagem da função (I):

é formado apenas pelos valores do Contradomínio

efetivamente ligados a algum elemento do Domínio. Veja, por exemplo, que os elementos 4 e 6 do conjunto B não estão ligados a nenhum termo do conjunto A. Portanto, eles fazem parte do Contradomínio, porém não fazem parte do conjunto Imagem. Vamos olhar agora para o conjunto Imagem, isto é, os termos do conjunto B que estão sendo “usados” pela função. Isso nos permitirá conhecer as classificações das funções: a) Função Injetora: se cada elemento do conjunto Imagem estiver ligado a um único elemento do Domínio, a função é chamada injetora. Ex.: 98036882434



! imagem é I = {1, 2, 3, 4, 5, 7}. Veja que o 6 não Neste exemplo, o conjunto





faz parte da Imagem, apesar de ser parte do Contradomínio (B). E cada elemento da Imagem está ligado a apenas um elemento do Domínio, que é o conjunto A. Por isso, a função é Injetora.

b) Função Sobrejetora: se não sobrarem elementos do Contradomínio que não fazem parte do conjunto Imagem, temos uma função sobrejetora. Em outras palavras, trata-se dos casos onde Contradomínio = Imagem. Ex.:

Percebeu que todos os elementos do conjunto B (Contradomínio) estão sendo utilizados pela função (ou seja, este é o próprio conjunto Imagem)? Logo, a função é Sobrejetora. c) Função Bijetora: se as duas coisas acima acontecerem ao mesmo tempo, isto é, a função for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, a função é dita bijetora. Ex.: 98036882434



! da Imagem está ligado a um único elemento do Notou que cada elemento





Domínio (conj. A)? E que a Imagem é igual ao próprio Contradomínio (conj. B)? Portanto, essa função é Bijetora. Qual a importância dessa classificação? Ela nos permite saber se é possível “inverter o sentido” da função. As funções bijetoras são as únicas que sempre permitem inverter, ou seja, só elas tem uma “função inversa”. A função inversa pode ser visualizada simplesmente trocando o sentido das setas, isto é, ligando cada elemento do conjunto B a um único elemento de A. Agora que já vimos os conceitos básicos, vamos introduzir as notações matemáticas. Para cada elemento x do Domínio, a função f levará a um elemento do contradomínio, que denotaremos por f(x) (leia “f de x”, ou “função de x”). Ao definir uma função, geralmente definimos quem é o domínio (D) e quem é o contradomínio (CD) através da notação f:DCD. Na função que vimos acima, tínhamos uma f:AB, ou seja, uma função com Domínio no conjunto A e Contradomínio no conjunto B. Na maioria dos exercícios de concurso você terá f : N → N (domínio e contradomínio iguais ao conjunto dos números naturais), f : Z → Z (inteiros) ou f : R → R (domínio e contradomínio iguais ao conjunto dos números reais). Ao representar uma função graficamente, colocamos no eixo horizontal os valores que o Domínio pode assumir, isto é, os valores de x; e no eixo vertical os valores que a Imagem pode assumir, ou seja, os valores de f(x), que também podemos chamar simplesmente de y:

98036882434



! Exemplificando, vamos representar a função f : R → R onde f(x) = 2x. R , no





caso, é o conjunto dos números reais. Portanto, a função f(x) tem como Domínio todos os números reais, e também os tem como Contradomínio. Se x for igual a 3, por exemplo, f(x) será f(3) = 2x3 = 6. Portanto, teremos o ponto P (3, 6), que podemos localizar no gráfico. Antes, porém, vamos calcular a função para outros valores de x. Veja a tabela abaixo:

Valor de x

Valor de f(x) = 2x

Ponto (x, f(x))

0

0

(0, 0)

1

2

(1, 2)

-1

-2

(-1, -2)

-2

-4

(-2, -4)

Vamos representar os pontos acima no gráfico. Veja:

98036882434

Observe que os pontos marcados formam uma reta. Para cada número real x, teremos um número real dado por f(x) de forma que o ponto (x, f(x)) pertencerá à reta desenhada acima. Antes de avançarmos para as funções mais cobradas (linear e quadrática), veja o exercício abaixo:



! 5. CEPERJ – SEEDUC – 2009) Considere a função f : N → N tal que f(0)=0, e



f (n + 1) = f (n ) + n + 1 para todo n ∈ N . O valor de f(4) é: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 13

RESOLUÇÃO: Podemos começar substituindo n por 0 na expressão f (n + 1) = f (n ) + n + 1 . Veja:

f (0 + 1) = f (0) + 0 + 1 f (1) = f (0) + 0 + 1 Como f(0) = 0, então podemos fazer essa substituição na equação acima e obter o valor de f(1): f (1) = 0 + 0 + 1 f (1) = 1 Podemos agora substituir n por 1. Veja o que acontece:

f (n + 1) = f (n ) + n + 1 f (1 + 1) = f (1) + 1 + 1 f (2) = 1 + 1 + 1 f (2) = 3 Substituindo n por 2, teremos: f (n + 1) = f (n ) + n + 1 f (2 + 1) = f (2) + 2 + 1 f (3) = 3 + 2 + 1 98036882434

f (3) = 6 Finalmente, substituindo n por 3, obtemos o valor de f(4): f (3 + 1) = f (3) + 3 + 1 f (4) = 6 + 3 + 1 f (4) = 10

Resposta: D.





1.4.1 Funções inversas

!



Vamos trabalhar com a função que vimos acima, isto é, f(x) = 2x. Veja que essa função leva um valor x ao valor f(x), que no caso é igual a 2x. Veja isso no diagrama abaixo:

A função inversa fará o caminho contrário, isto é, levará os elementos do conjunto da direita de volta aos elementos do conjunto da esquerda. O caso acima é bem intuitivo: uma vez que f(x)=2x, isto é, os elementos da direita são o dobro daqueles da esquerda, a função inversa será aquela que divide os elementos do conjunto da direita por 2. Simbolizando a função inversa por f −1( x ) , fica claro que neste caso f −1( x ) =

x 11 . Note, por exemplo, que f −1(11) = = 5,5 . 2 2

Se você tiver a função f(x) qualquer, e quiser obter a função inversa, basta: 1. Substituir f(x) por x 2. Substituir x por f −1( x ) 3. Rearranjar os termos, isolando f −1( x ) . 98036882434

Para exemplificar, imagine f ( x ) =

x + 5 . Executando os dois primeiros os 3

acima, temos: x +5 3 f −1( x ) x= +5 3

f (x) =

Agora vamos executar o último o, isolando f −1( x ) :



!





f −1( x ) +5 3 f −1( x ) x −5 = 3 3( x − 5) = f −1( x ) x=

f −1( x ) = 3( x − 5)

x + 5 é f −1( x ) = 3( x − 5) . Para ficar mais 3

Portanto, a função inversa de f ( x ) = claro, observe que f(6) = 7, e que f −1(7) = 6 . Note que:

- o conjunto imagem da função f(x) será o domínio da função inversa; - o domínio da função f(x) será a imagem da função inversa; Para finalizar, lembre-se: apenas as funções bijetoras item uma função inversa.

1.4.2 Funções compostas Veja as duas funções abaixo: f (x) = x + 5 e g(x ) =

x −1 2

Você já sabe calcular, por exemplo, f(4) e g(4). Neste caso, f(4) =9 e g(4)=1. O que seria, então, f(g(4))? Para responder, primeiramente precisamos calcular o que está dentro dos parênteses, isto é, g(4), obtendo o resultado 1. Este resultado é 98036882434

que será substituído na expressão da função f. Assim, f(g(4)) = f(1) = 1 + 5 = 6. A função f(g(x)) é uma função composta. Trata-se de uma função formada por outras duas. Assim, dado um valor de x, é preciso primeiro calcular o valor de g(x) para, a seguir, substituir esse valor na função f, obtendo o resultado final. Ao invés de sempre efetuar esses dois os, é possível descobrir uma expressão que já dê direto o valor de f(g(x)). Veja que basta substituir x por g(x) na expressão da função f:

f (x) = x + 5 f (g ( x )) = g ( x ) + 5





!



Como g ( x ) =

x − 1, podemos substituir o g(x) que se encontra no lado direito 2

da expressão acima. Veja o que obtemos:

f (g ( x )) = g ( x ) + 5 x f (g ( x )) = − 1 + 5 2 x f (g ( x )) = + 4 2

Portanto, a expressão acima já dá o resultado da aplicação da função g, seguida da aplicação da função f. Veja que f (g (4)) =

4 + 4 = 6 , como calculamos 2

acima. Outra forma de simbolizar f(g(x)) é f g ( x ) . Vamos aproveitar as funções f(x) e g(x) acima para calcular g(f(x)):

x −1 2 f (x) −1 g (f ( x )) = 2 ( x + 5) g (f ( x )) = −1 2 x +3 g (f ( x )) = 2 g(x ) =

Observe que as expressões de f(g(x)) e g(f(x)) são bem diferentes. Muito cuidado com isso! Aqui, a ordem importa! 98036882434

É possível ainda calcular a função composta f f ( x ) , ou f(f(x)). Basta substituir o x, na expressão da função f, por f(x). Veja abaixo:

f (x) = x + 5 f f (x) = f (x) + 5 f f ( x ) = ( x + 5) + 5 f f ( x ) = x + 10

Vamos finalizar calculando g(g(x)), isto é, g g ( x ) :



!





x −1 2 g(x ) −1 g g( x ) = 2 x 2 − 1

−1 g g( x ) = 2 x 3 g g( x ) = − 4 2 g(x ) =

6. CEPERJ – SEE/RJ – 2011) Se f ( x ) =

2 , a raiz da equação f f ( x ) = 10 é: x −1

a) 1/3 b) 4/3 c) 5/3 d) 7/3 e) 8/3

RESOLUÇÃO: Aqui trabalhamos com as funções compostas. Se f ( x ) =

2 , então a função x −1

composta f f ( x ) , ou simplesmente f(f(x)) é obtida substituindo o valor de x na função pela expressão de f(x). Veja: f (x) = 98036882434

2 x −1

f f ( x ) = f (f ( x )) =

2 2

−1 x − 1

Veja que nós simplesmente substituímos o x pela expressão de f(x), isto é, por

2 . Vamos rearranjar os termos dessa última equação: x −1 f f (x) =

2 2

−1 x − 1



! 2 2 2 f f (x) = = = 2 x − 1 2 − x + 1 3 − x

−

x −1 x −1 x − 1 x − 1





f f (x) =

2 x − 1 2x − 2 = 2× = 3−x 3−x 3−x x −1

Portanto, f f (x) =

2x − 2 3−x

Portanto, para f f ( x ) = 10 , basta igualar a expressão acima à 10 e obter o valor de x:

2x − 2 = 10 3−x 2 x − 2 = 10 × (3 − x ) 2 x − 2 = 30 − 10 x 12 x = 32 x=

32 8 = 12 3

Resposta: E.

1.4.3 Função linear (1º grau) Veja novamente o gráfico que desenhamos para a função f(x) = 2x:

98036882434



! Calculamos diversos pontos para só então traçar o gráfico e perceber que se





tratava de uma reta. Entretanto, sem desenhar os pontos, você já deveria saber que esta função teria, como gráfico, uma reta. Isto porque a função f(x) = 2x é uma função do tipo f(x) = ax + b, que chamaremos de função de primeiro grau, onde a = 2 e b = 0. Grave isso: as funções de primeiro grau tem como gráfico uma reta. Nestas funções, o coeficiente “a” é chamado de coeficiente angular, pois ele dá a inclinação da reta. Se a > 0, a reta será crescente (como a que vimos acima), e se a < 0 a reta será decrescente. Já o coeficiente “b” é chamado coeficiente linear, e ele indica em que ponto a reta cruza o eixo das ordenadas (eixo y, ou eixo f(x)). Veja que na função f(x) = 2x, o termo b é igual a zero. Portanto, a função cruza o eixo Y na posição y = 0. Para fixar o conhecimento: a função f(x) = -3x + 5 é uma função de primeiro grau (pois o maior expoente de x é 1), onde o coeficiente angular é a = -3 e o coeficiente linear é b = 5. Portanto, seu gráfico é uma reta decrescente (a < 0), que cruza o eixo y na posição y = 5 (pois este é o valor de b). Muitas vezes o exercício pode solicitar o ponto onde a função cruza o eixo horizontal. Veja este ponto, em destaque no gráfico abaixo:

98036882434

Observe que, neste ponto, f(x) = 0. Portanto, para encontrar o valor de x, basta igualar a função a 0:



!

ax + b = 0



Veja que temos uma equação de primeiro grau. Já sabemos que a raiz será x=

−b −b . Ou seja, a função f(x) cruza o eixo x no ponto P ( , 0). a a

1.4.4 Função quadrática (2º grau) As funções de segundo grau são aquelas do tipo f ( x ) = ax 2 + bx + c . Aqui usaremos os conceitos aprendidos para equações de segundo grau. Primeiramente, é bom você saber que as funções de segundo grau têm um gráfico na forma de parábola. Veja um exemplo:

98036882434

Neste exemplo, dizemos que a parábola tem concavidade para cima. Note ainda que a curva cruza o eixo x em dois pontos, marcados no gráfico. Estas são as raízes da função, ou seja, os pontos onde f(x) = 0. Para calcular estas raízes, basta igualar a função a zero e usar a fórmula de Báskara para resolver: ax 2 + bx + c = 0 Além disso, veja que a curva cruza o eixo vertical (f(x)) em um ponto, que é dado pelo coeficiente c (que é o único que não multiplica x).



! Saiba ainda que o coeficiente a nunca pode ser zero, pois se isso ocorrer,





restará apenas f(x) = bx + c, e não mais teremos uma parábola, e sim uma reta. O sinal do coeficiente a determina se a concavidade será para cima ou para baixo. Isto é, se a > 0, a concavidade será para cima, como na figura acima. E se a < 0, a concavidade será para baixo, como você vê na figura a seguir:

Observe que até agora vimos exemplos de funções de segundo grau que cruzavam o eixo X em 2 pontos, que chamamos de raízes. Você deve estar lembrado que, ao estudar as equações de segundo grau, vimos que é possível que as mesmas tenham 2 raízes reais (quando ∆ > 0 ); mas também pode ocorrer de não ter nenhuma raíz real (se ∆ < 0 ). Neste caso, a parábola não cruzará o eixo X. 98036882434

Veja um exemplo:





!



Ainda, você lembra que se ∆ = 0 a função tem 2 raízes reais idênticas. Ou seja, ela apenas toca o eixo X, em um único ponto. Observe esse exemplo abaixo:

98036882434

Vamos fazer uma breve digressão, voltando ao tema Domínio, Contradomínio e Imagem, para fixar esses conceitos. Veja o gráfico acima. Note que todos os

! valores de x são usados (para qualquer número real x, teremos um valor de f(x)).



Portanto, o domínio da função é o conjunto dos números reais. E veja que o contradomínio é o conjunto dos números reais também, pois, a princípio, a função f(x) pode assumir qualquer valor real. Entretanto, note que o gráfico da função apenas toca o eixo x e volta a subir, de forma que nenhum valor f(x) negativo é usado. Portanto, o conjunto Imagem (valores que a função efetivamente assume) é formado pelos números reais não negativos, isto é, maiores ou iguais a zero. Usando notações matemáticas, dizemos que temos uma função f : R → R , cuja imagem é o conjunto I = { x ∈ R | x ≥ 0} (leia: “x pertencente aos Reais, tal que x é

maior ou igual a zero”). As parábolas com concavidade para cima possuem um ponto onde f(x) atinge o seu valor mínimo. Já as parábolas com concavidade para baixo possuem um ponto onde f(x) atinge o seu valor máximo. Veja no desenho abaixo:

98036882434

Veja que a curva em azul é uma função de segundo grau com a>0, ou seja, com concavidade para cima. Neste caso, a função tem um ponto mínimo, identificado pelas coordenadas X mínima (Xmín.) e Y mínima (f(x)mín.). Já a curva em preto é uma função de segundo grau com a<0, tendo concavidade para baixo.



! Assim, a função tem um ponto máximo representado pelas coordenadas X máxima



(Xmáx.) e Y máxima (f(x)máx.). Esse ponto de máximo ou mínimo da função de segundo grau é chamado de Vértice. É fácil obter as coordenadas dele. Basta saber que:

xvértice =

.

−b 2a

A fórmula acima permite calcular o valor da coordenada X no vértice. Uma

vez calculado o valor de da coordenada X, basta substituí-la na função e calcular

f ( xvértice ) , que será o valor máximo ou mínimo da função, dependendo do caso. Vamos rever os conceitos mencionados acima analisando a função

f ( x ) = x 2 − 3 x + 2 . Vemos que a = 1, b = -3 e c = 2. Como a > 0, então o gráfico da função tem concavidade para cima. Calculando o valor de ∆ = b 2 − 4ac , vemos que ∆ = 1, que é positivo, portanto a função tem 2 raízes reais, cruzando o eixo x em 2

pontos. Calculando essas raízes através da fórmula de Báskara, obtemos: x1 = 1 x2 = 2

Como a concavidade é para cima, a função terá um ponto mínimo. A coordenada X deste ponto será:

xvértice =

−b −( −3) 3 = = 2a 2 ×1 2

O valor mínimo da função será dado por: 98036882434

f ( x ) = x 2 − 3x + 2 2

3 3 3 f( ) = −3× + 2 2 2 2

9 9 3 1 f( ) = − + 2 = − 2 4 2 4 Portanto, podemos fazer um esboço do gráfico desta função da seguinte forma:





!



Comece a exercitar seus conhecimentos sobre funções de segundo grau resolvendo esta questão:

7. CEPERJ – PREF. ITABORAI – 2011) Sobre os gráficos das funções f : ℜ → ℜ ( ℜ é o conjunto dos números reais) definida por f ( x ) = x e g : ℜ → ℜ

definida por g ( x ) = x 2 − 3 x + 2 , é correto afirmar que se interceptam em: a) Um único ponto de abscissa positiva 98036882434

b) Um único ponto de abscissa negativa c) Dois pontos distintos com abscissas de sinais contrários d) Dois pontos distintos com abscissas de mesmo sinal e) Mais de dois pontos

RESOLUÇÃO: As duas funções se interceptam nos pontos onde, para um mesmo valor da abscissa x, os valores de f(x) e g(x) são iguais. Efetuando essa igualdade, temos:

g( x ) = f ( x ) x 2 − 3x + 2 = x x 2 − 4x + 2 = 0



!



Podemos obter os valores de x utilizando a fórmula de Báskara:

−b ± b 2 − 4ac x= 2a x=

−( −4) ± ( −4)2 − 4(1)(2) 2(1)

x=

4 ± 16 − 8 2

x=

4 ± 8 4 ± 22 × 2 4 ± 2 2 = = = 2± 2 2 2 2

2 ≅ 1,41, então os valores possíveis para x são 3,41 e 0,59. Logo, as

Como

funções f(x) e g(x) se interceptam em 2 pontos, nos quais as abscissas são aproximadamente x = 0,59 e x = 3,41 (ambas positivas). Resposta: D.

1.5 NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E REAIS As tabelas abaixo resumem o que há de mais importante nessa parte matéria, e talvez seja suficiente para você relembrar os conceitos básicos.

TABELA 01. CONJUNTOS NUMÉRICOS Nome do conjunto

Definição

Exemplos

Observações

(e símbolo) 98036882434

Subconjunto dos números

Números

positivos:

positivos

N* = {1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8,

Números

construídos com

Naturais (N)

os algarismos

N = {0, 1, 2, 3 …}

9, 10, 11...}

de 0 a 9, sem

Lembrar que o zero não é

casas decimais

positivo nem negativo, mas está incluído aqui.

Números

Números

Z = {... -3, -2, -1, 0,

Subconjuntos:



! Não negativos: {0, 1, 2...}



Inteiros (Z)

naturais



1, 2, 3...}

positivos e

Não positivos: {..., -2, -1, 0}

negativos

Positivos: {1, 2, 3...} Negativos: { …-3, -2, -1} Frações: ,

;

Podem ser Números Racionais (Q)

representados

Números decimais

As dízimas periódicas são

pela divisão de

de representação

números racionais. Ex.:

2 números

finita. Ex.:

inteiros

1,25 (igual a )

Não podem ser Números Irracionais (I)

0,333333... ou

ou

Número “pi”:

representados

Não citados no edital, mas

pela divisão de

fazem parte dos Números

2 números

Reais

inteiros R Q Z N

Números Números

Racionais e

Reais (R)

Irracionais

Todos acima

e R I

juntos 98036882434

TABELA 02. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Elem. Neutro

Comut.

Assoc.

Fecham.

Adição

zero

Sim

Sim

Sim

Multiplicação

1

Sim

Sim

Sim

Subtração

Zero

Não

Não



Não: A + (B + C ) ≠ ( A + B ) + ( A + C )

Sim: A × (B + C ) ≠ ( A × B ) + ( A × C )

Não. Ex.:

Não:

5 – 7 = -2

A − (B + C ) ≠ ( A − B ) + ( A − C )





!



Divisão

1

Não

Não

Não. Ex.:

Não:

1 = 0,5 2

A ÷ (B + C ) ≠ ( A ÷ B ) + ( A ÷ C )

TABELA 03. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS Elem. Neutro

Comut.

Assoc.

Fecham.

Adição

zero

Sim

Sim

Sim

Multiplicação

1

Sim

Sim

Sim

Subtração

Zero

Não

Não

Divisão

1

Não

Não

Sim



Não: A + (B + C ) ≠ ( A + B ) + ( A + C )

Sim: A × (B + C ) ≠ ( A × B ) + ( A × C )

Não: A − (B + C ) ≠ ( A − B ) + ( A − C )

Não. Ex.:

Não:

1 = 0,5 2

A ÷ (B + C ) ≠ ( A ÷ B ) + ( A ÷ C )

TABELA 04. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS E REAIS Elem. Neutro

Comut.

Assoc.

Fecham.



98036882434

Adição

zero

Sim

Sim

Sim

Multiplicação

1

Sim

Sim

Sim

Subtração

Zero

Não

Não

Divisão

1

Não

Não

Sim

Não: A + (B + C ) ≠ ( A + B ) + ( A + C )

Sim: A × (B + C ) ≠ ( A × B ) + ( A × C )

Não: A − (B + C ) ≠ ( A − B ) + ( A − C )

Sim

Não: A ÷ (B + C ) ≠ ( A ÷ B ) + ( A ÷ C )

Vamos às explicações detalhadas a respeito de cada conjunto numérico.



1.5.1 NÚMEROS NATURAIS

!



Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de “contagem natural”. Isto é, são aqueles construídos com os algarismos de 0 a 9. O símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos escrever os seus elementos entre chaves: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22…}

As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem infinitos números naturais. Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural propriamente dito (pois não é um número de “contagem natural”). Por isso, utiliza-se o símbolo N* para designar os números naturais positivos, isto é, excluindo o zero. Vejam: N* = {1, 2, 3, 4…} Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais:

a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número “n” é o número “n+1”.

b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número “n” é o número “n-1”. Observe que o número natural zero não possui antecessor, pois é o primeiro número desse conjunto.

c) Números consecutivos: são números em sequência. Assim, {2,3,4} são números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-1, n e n+1} são números consecutivos.

98036882434

d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par.

e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam resto 1.

Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que:



! - a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 + 6 = 18;



12 – 6 = 6. - a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 13 + 5 = 18; 13 – 5 = 8. - a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado ímpar. Ex.: 12 + 5 = 17; 12 – 5 = 7. - a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24. - a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15. - a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado par: 2 x 3 = 6.

1.5.1.1 REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS NA RETA Veja abaixo como os números naturais podem ser representados graficamente, isto é, na reta numérica:

Este é o padrão adotado: os números naturais crescem da esquerda para a direita. A seta à direita significa que o conjunto dos números naturais é infinito. O mesmo não acontece à esquerda, pois não há nenhum número natural abaixo de zero. O ponto à esquerda é também chamado de ponto de origem. Observando a reta, vemos claramente que apenas o zero não possui antecessor, e que todos os números naturais possuem sucessores.

1.5.2 NÚMEROS INTEIROS 98036882434

Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos (negativos). Isto é, Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de números naturais está contido no conjunto de números inteiros, isto é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relação entre N e Z:



!



Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de números. Vejam que os nomes dos subconjuntos são auto-explicativos:

a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os números naturais.

b) Números Inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero também faz parte deste conjunto, pois ele não é positivo nem negativo.

c) Números inteiros negativos = { … -3, -2, -1}. O zero não faz parte.

d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz parte.

1.5.2.1 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA Veja abaixo como os números inteiros podem ser representados na reta numérica:

Aqui seguimos o mesmo padrão: os números inteiros crescem da esquerda 98036882434

para a direita. As setas à direita e à esquerda significam que o conjunto dos números inteiros é infinito para ambos os lados. Temos ainda o ponto de origem, isto é, o zero. Observando a reta, vemos claramente que todos os números inteiros possuem antecessor e sucessor. Dizemos ainda que o conjunto dos números inteiros é simétrico em relação à origem (temos duas metades “iguais”, com o zero no meio). Para finalizar esse tópico, devemos ainda conhecer o operador módulo. O módulo de um número inteiro é a sua distância até o ponto de origem, isto é, o zero. Também é conhecido pelo nome valor absoluto. Veja na reta numérica que tanto o

! número 5 (positivo) quanto o número -5 (negativo) possuem a mesma distância até



o zero. Utilizando o símbolo |A| para representar o módulo do número A, podemos dizer então que: |5| = |-5| = 5 unidades, ou simplesmente 5. Generalizando, podemos dizer que: |A| = |-A| = A Também é possível dizer que o módulo de um número A é o maior entre dois valores: A e –A. Em termos matemáticos, podemos escrever: |A| = max{A,-A} = valor absoluto de A

1.5.3 NÚMEROS RACIONAIS Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números que podem ser escritos na forma

(A dividido por B), onde A e B são números inteiros. Exemplos:

é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número inteiro 4.

é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número inteiro 9, ou a divisão de 15 por -9.

73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 pelo número 1. 98036882434

Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer número natural é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro é também racional! Isto porque qualquer número inteiro é o resultado da divisão dele mesmo por 1, podendo ser representado na forma

(A dividido por 1, onde A é um número inteiro

qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e Racionais, faz sentido para você:





!



O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito na forma , concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional na forma

, o

denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque a divisão de um número por zero é impossível (exceto

0 , cujo valor é indeterminado). 0

No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de números:

a) Frações. Ex.: , ,

etc.

b) Números decimais. Ex.: 1,25 Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um número definido de casas após a vírgula. Por isso, ele também poderia ser escrito na forma

. Neste caso, poderíamos representá-lo como

, ou mesmo

simplificá-lo para .

c) Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente

(a barra indica que o

98036882434

algarismo 3 repete-se indefinidamente). As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também podem ser escritas na forma

. O número deste exemplo poderia ser escrito

na forma . Existem métodos que nos permitem encontrar qual fração

é

equivalente a uma determinada dízima periódica. Outro exemplo de dízima periódica: 1,352525252... ou

.

Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as frações que dão origem a dízimas periódicas. Divida 1 por 3 e você obterá 0,333... , ou simplesmente 0,3 .

! 1 Assim, dizemos que a “fração geratriz” da dízima 0,3 é igual a . Existem métodos 3



que nos permitem, a partir de uma dízima periódica, chegar até a fração que deu origem a ela. Em alguns casos, a parte que se repete já começa logo após a vírgula. Isto é o caso em: 0,333... 0,353535... 0,215215215...

Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início da repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo: 0,1333... 0,04353535... 0,327215215215...

Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa logo após a vírgula, para a seguir estender o método aos casos onde existem números entre a vírgula e o início da repetição.

Casos onde a repetição começa logo após a vírgula: Vamos trabalhar com a dízima 0,333... . Chamemos de X a fração que dá origem a esta dízima. Ou seja, X = 0,333... 98036882434

Como a repetição é formada por um único número (3), se multiplicarmos esta dízima por 10 conseguimos ar, para o outro lado da vírgula, o primeiro número da repetição: 10X = 10 x 0,333... = 3,333...

Observe que 10X = 3 + 0,333... . Veja ainda a seguinte subtração: 10X – X = 3,333... – 0,333...



! Os dois números à direita da igualdade acima possuem infinitas casas





decimais idênticas. Portanto, o resultado desta subtração é: 9X = 3 X=

3 1 = 9 3

1 Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,333... é X = . 3

Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da dízima 0,216216216... . Repare que temos a repetição de 216, e não há nenhuma casa separando a vírgula e o início da repetição. Chamando de X a fração geratriz da dízima, temos: X = 0,216216216...

Para ar a primeira repetição (216) para a esquerda da vírgula, precisamos multiplicar X por 1000: 1000X = 216,216216216...

Efetuando a subtração 1000X – X podemos obter a fração geratriz: 1000X – X = 216,216216216... – 0,216216216... 999X = 216 216 24 = 999 111

X=

Assim, a geratriz de 0, 216 é a fração 98036882434

24 . 111

Casos onde existem números entre a vírgula e o início da repetição: Vejamos como obter a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Veja que, neste caso, temos a repetição do termo 215. Entre a vírgula e o início da repetição temos 3 números (327). Deste modo, chamando de X a fração geratriz, temos: X = 1,327215215215...



! Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, à direita da vírgula, apenas os





termos que se repetem: 1000X = 1327,215215215...

E multiplicando X por 1000000 conseguimos ar a primeira repetição “215” para o lado esquerdo da vírgula: 1000000X = 1327215,215215215...

Assim, podemos efetuar a seguinte subtração: 1000000X – 1000X = 1327215,215215215... - 1327,215215215... 999000X = 1327215 – 1327 999000X = 1325888 X=

1325888 999000

Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Poderíamos ainda simplificá-la, se quiséssemos.

1.5.3.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números são: adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas. Os conceitos vistos aqui também valem para os demais conjuntos numéricos, com as devidas ressalvas que farei ao longo da explicação.

a) Adição: A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. Isto é, a 98036882434

adição de 15 e 6 é: 15 + 6 = 21

Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois números? Vamos exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, você deve posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa das unidades): 728 +46



! A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 8 + 6





obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades (4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima soma: 1 728 +46 4 Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e adicionar também o número que veio da soma anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos colocar este número no resultado: 728 +46 74

Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. Como o segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo: 728 +46 774

Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a próxima operação, vejamos as principais propriedades da operação de adição. 98036882434

- propriedade comutativa: dizemos que a adição de números racionais possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a soma. Isto é, 728 + 46 é igual a 46 + 728.

- propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números racionais, podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.: 2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14.



! - elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer



número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 2; 45 + 0 = 45.

- propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois números racionais SEMPRE gera outro número racionais. Ex: a soma dos números racionais 2 e 5 gera o número racional 7 (2 + 5 = 7).

b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles, o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4 unidades: 9–5=4

Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a subtração de números racionais (veja que, por simplicidade, estamos usando números inteiros nos exemplos, que não deixam de ser também racionais). Vamos efetuar a operação 365 – 97:

365 - 97

Observe que o primeiro o é posicionar um número abaixo do outro, alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a subtração a partir da casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não podemos subtrair 5 – 7. Devemos, portanto, “pegar” uma unidade da casa das dezenas de 365. Levando 98036882434

este valor para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim podemos subtrair 15 – 7 = 8, e anotar este resultado: 365 - 97 8

Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 – 9, e não 6 – 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração acima. Como 5 é menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade da casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6. Vamos anotar este resultado:



!

365



- 97 68

Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais um 3 na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma unidade na operação anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos este 2 para o resultado: 365 - 97 268

E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como 97 é menor que 365, devemos: - subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97; - colocar o sinal negativo (-) no resultado.

Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades da operação de subtração.

- propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números racionais NÃO possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA o resultado. Como vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268. 98036882434

- propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A – B) – C pode ser diferente de (C – B) – A

- elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero de qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 – 0 = 2.

- propriedade do fechamento: a subtração de números racionais possui essa propriedade, pois a subtração de dois números racionais SEMPRE gera outro número racional. Entretanto, repare que esta propriedade não se aplica aos



! números naturais! Isto porque a subtração entre dois números naturais pode gerar



um número negativo, que não faz parte do conjunto dos naturais.

- elemento oposto: para todo número racional A, existe também o seu oposto, com sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de A é aquele número que, somado a A, resulta em zero: A + (-A) = 0

c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 15 três vezes (15 + 15 + 15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ... + 3). Vejamos como efetuar uma multiplicação: 57 x 13

Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos multiplicando os números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a próxima operação:

2 57 x 13 1 98036882434

Agora devemos multiplicar os número das unidades do segundo número (3) pelo número das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da operação anterior: 15 + 2 = 17. Assim, temos: 57 x 13 171



! o algarismo das dezenas do segundo número (1) Agora devemos multiplicar





pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (1). Veja: 57 x 13 171 7 A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos: 57 x 13 171 57

Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 57 x 13 171 570 741

Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 57, transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) surgiu da 98036882434

multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse do algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 zeros, e assim por diante. É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de números. Você deve se lembrar que: - a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25. - a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Ex.: 5x(-5) = -25.



! Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-13),





deveríamos obter -741. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) deveríamos obter 741.

Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação:

- propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15).

- propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24.

- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5.

- propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 5 x 7 = 35, que é racional).

- propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que: Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) 98036882434

Exemplificando: 5x(3+7) = 5x(10) = 50 ou, usando a propriedade: 5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50

d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No caso, 10 ÷ 2 = 5 . Vamos relembrar como efetuar divisões com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18:

!





715 |18

Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) e o 18 de divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). Já 18x3 = 54. Assim, temos: 715 |18 3

Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir efetuar a subtração: 715 |18 -54

3

17

Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5): 715 |18 -54

3

175

Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado, à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para efetuarmos a subtração: 98036882434

715 |18 -54

39

175 -162 13

Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto, encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto.



! Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) pelo





quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é: 715 = 18 x 39 + 13

Como regra, podemos dizer que: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto

As regras de sinais na divisão de números racionais são as mesmas da multiplicação: - a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo. - a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo.

Portanto, se tivéssemos dividido

(-10)

por 2, ou então 10 por (-2),

deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos obter 5.

Vejamos as principais propriedades da operação de divisão:

- propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5.

- propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/2.

- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir 98036882434

qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5.

- propriedade do fechamento: a divisão possui essa propriedade, pois a divisão de números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 2 / 100 = 0,02; que é racional). Entretanto, utilizando este mesmo exemplo vemos que a propriedade do fechamento NÃO está presente na divisão de números inteiros e também de números naturais.



! Para sedimentar seus conhecimentos, segue uma tabela-resumo sobre as





propriedades das operações com números racionais: Elem. Neutro

Comut.

Assoc.

Fecham.

Adição

zero

Sim

Sim

Sim

Multiplicação

1

Sim

Sim

Sim

Subtração

zero

Não

Não

Divisão

1

Não

Não

Sim

Distributiva

Não: A + (B + C ) ≠ ( A + B ) + ( A + C )

Sim: A × (B + C ) ≠ ( A × B ) + ( A × C )

Não: A − (B + C ) ≠ ( A − B ) + ( A − C )

Sim

Não: A ÷ (B + C ) ≠ ( A ÷ B ) + ( A ÷ C )

1.5.3.2 Operações com frações Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos lidando com 2 frações, que nada mais são que operações de divisão. Escrever 5 é equivalente a

escrever 2 ÷ 5 . As frações estão constantemente presentes na resolução de exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada operação com elas: soma, subtração, multiplicação e divisão.

a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo denominador, isto é, com um denominador comum. Este denominador é, simplesmente, um múltiplo comum entre os denominadores das frações originais. 98036882434

Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o básico. Vamos entender isto com o exemplo abaixo: 1 3 + 6 8

Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x3 = 24). Para trocar o denominador da fração

1 para 24, é preciso multiplicar o 6

denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o numerador 1 por 4, para manter a fração. Portanto,

1 4 = 6 24



!





Já para trocar o denominador da fração

3 para 24, é preciso multiplicar o 8

denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o numerador 3 por 3, para manter a fração. Portanto,

3 9 = 8 24

Agora sim podemos efetuar a soma: 1 3 4 9 4 + 9 13 + = + = = 6 8 24 24 24 24

b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo: 1 3 1× 3 3 × = = 6 8 6 × 8 48

c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja isso em nosso exemplo: 1 6 = 1 ÷3 = 1×8 = 8 3 6 8 6 3 18 8

*** Dica importantíssima: trabalhando com frações, normalmente podemos substituir a expressão “de” pela multiplicação. Veja como: - quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente 98036882434

- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é

1 × 1000 ! 3

2 × 25 7

- quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de mulheres (600) presentes em um evento? Simplesmente

1 × (700 + 600) . 4

- por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a resposta é dada pela expressão

5 ×(X −Y ) . 9

Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao longo dos exercícios!





!



1.5.3.3 Operações com números decimais Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da divisão nãoexata de dois números inteiros. São os números que possuem “casas após a vírgula”. A manipulação deles é essencial para a resolução de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas operações em detalhes.

a) Adição de números decimais: A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum. Isto é: - os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra - as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a esquerda. - à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a próxima adição (das casas logo à esquerda). Vamos aplicar estes os na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os números um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical:

13,47 + 98036882434

2,9

Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo acima da casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal do segundo (1). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0. Agora, basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da direita, anotando o resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 = 13), a dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com isso, temos:





!

13,47



+

2,9 16,37

b) Subtração de números decimais: Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a esquerda. Vejamos:

13,47 -

2,9 10,57

Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 – 9 foi preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) e “transformá-la” em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 – 9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do “3” já havia sido utilizada.

c) Multiplicação de números decimais: Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas observações: - devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração, isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro. - o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número de casas 98036882434

decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a vírgula. Vejamos o nosso exemplo:

13,47 x

2,9 12123

+

26940 39,063



! Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação de 13,47





por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 2. Nesta linha há um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à frente do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtém-se 39063. E, lembrando que existem 3 casas decimais nos números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas decimais no resultado, o que leva ao número 39,063.

d) Divisão de números decimais: Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente. Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o número que possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 100, de modo a retirar ambas as casas decimais:

3,5 x 100 = 350 0,25 x 100 = 25

Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, tendo como resultado o número 14.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto aqui, 98036882434

efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em seguida. a) 2,25 + 1,7 b) 2,25 – 1,7 c) 2,25 x 1,7 d) 2,25 / 1,5 e) 0,898 + 1,12 f) 0,898 – 1,12 g) 0,898 x 1,12 h) 0,898 / 0,01 Respostas:



a) 3,95

!



b) 0,55 c) 3,825 d) 1,5 e) 2,018 f) -0,222 g) 1,00576 h) 89,8

1.5.3.4 OPERAÇÕES COM PERCENTUAIS A porcentagem nada mais é do que uma divisão onde o denominador é o número 100. Você certamente deve estar bem habituado a ver porcentagens nas notícias da imprensa. Dizer que 12% (leia “cinco por cento”) dos brasileiros são desempregados é igual a dizer que 12 a cada grupo de 100 brasileiros não tem emprego. Veja outros exemplos:

- “11% do seu salário deve ser pago a título de contribuição previdenciária”: de cada 100 reais que você recebe como salário, 11 devem ser pagos para a previdência.

- “a taxa de analfabetismo de adultos no Brasil é de 20%”: de cada 100 adultos no Brasil, 20 são analfabetos.

- “o número de adolescentes grávidas cresceu 10% em 2011, em relação ao ano anterior”: para cada 100 adolescentes grávidas que existiam em 2010, aram a 98036882434

existir 10 a mais em 2011, isto é, 110 adolescentes grávidas.

- “o número de fumantes hoje é 5%menor que aquele do início da década”: para cada 100 fumantes existentes no início da década, hoje temos 100 – 5, isto é, 95 fumantes.

Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa de um todo, basta efetuar a seguinte divisão:







Porcentagem =

!

quantia de interesse × 100% total

Por exemplo, se queremos saber qual o percentual que 3 crianças representam em um total de 4 crianças, temos:

Porcentagem =

quantia de interesse 3 × 100% = × 100% = 0,75 × 100% = 75% total 4

Podemos transformar um número porcentual (ex.: 75%) em um número decimal (ex.: 0,75), e vice-versa, lembrando que o símbolo % significa “dividido por 100”. Isto é, 75% é igual a 75 dividido por 100, que é igual a 0,75:

75% =

75 = 0,75 100

Da mesma forma, se temos um número decimal (ex.: 0,025) e queremos saber o valor percentual correspondente, basta multiplicá-lo por 100%:

0,025 = 0,025 ×

100 = 0,025 × 100% = 2,5% 100

Por fim, se Porcentagem =

quantia de interesse × 100% , então também total

podemos dizer que: 98036882434

quantia de interesse = porcentagem × total (Obs.: veja que omiti o 100% desta última fórmula, afinal 100% =

100 = 1 ). 100

Esta fórmula acima nos diz que, se queremos saber quanto é 20% de 300, basta multiplicar 20% por 300:

20% de 300 = 20% x 300 = 0,2 x 300 = 60



! Isto é, 60 pessoas correspondem a 20% de um total de 300 pessoas.





Portanto, grave isso: em matemática, o “de” equivale à multiplicação. Portanto, 20% de 300 é igual a 20% x 300, e assim por diante.

1.5.3.5 REPRESENTAÇÃO NA RETA Veja abaixo a reta numérica, onde podemos representar todos os números racionais. As setas nas extremidades denotam que a reta cresce infinitamente para ambos os lados:

É possível localizar a posição exata de um número racional na reta numérica, ainda que ele seja fracionário. Por exemplo, vamos localizar o número

3 , ou 0,75 4

(na forma decimal). Na reta numérica, basta dividirmos o espaço entre 0 e 1 em quatro partes, e colocar o número

3 ao final da terceira delas: 4

1.5.4 NÚMEROS IRRACIONAIS Atenção: o edital não cobra explicitamente o conjunto dos Números Irracionais, entretanto é fundamental conhecê-los (superficialmente) para entender 98036882434

os Números Reais. Os Números Irracionais são aqueles que, ao contrário dos Racionais, não podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não podem ser escritos na forma

(onde A e B são números inteiros). Isto porque esses números são

formados por uma seqüência infinita de algarismos. Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos deparamos com um número irracional:



! (as reticências indicam que este número é composto por infinitos algarismos)





Da mesma forma, o conhecido número

(“pi”), muito utilizado na

trigonometria, possui infinitas casas decimais que não se repetem como em uma dízima periódica, o que faz dele um número irracional:

Não entraremos no estudo das propriedades dos números irracionais, uma vez que eles não foram citados no edital. Entretanto, devo fazer uma observação a respeito da representação desses números na reta numérica: - não é possível localizar precisamente um número irracional na reta numérica. Isto porque esses números tem infinitas casas decimais que não se repetem, não sendo possível escrevê-los na forma

A e usar o mesmo método que vimos para localizar B

os números racionais. Obs.: existem formas indiretas para a localização desses números na reta com boa precisão. Ex.: sabemos que a diagonal de um quadrado de lados iguais a 1 mede exatamente

2 , que é um número irracional. Portanto, basta desenhar esse

quadrado, pegar a sua diagonal e utilizá-la para medir, na reta numérica, a distância entre a origem (zero) e a posição onde deve estar o número

2.

1.5.5 NÚMEROS REAIS O conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números Racionais e Irracionais. Desta forma, podemos dizer que: 98036882434

(O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está contido no dos Racionais, que está contido no dos Reais) E, além disso,

(O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais)

Complementando o diagrama que desenhamos nos tópicos acima, agora temos:





!



No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence aos Números Racionais e Reais, e I/R significa que aquele subconjunto pertence aos Números Irracionais e Reais.

1.5.5.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS As propriedades das operações com números reais são as mesmas já vistas para os racionais.

1.5.5.2 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS NA RETA Dado que os números reais são formados por 2 subconjuntos (racionais e irracionais), sabemos que alguns números reais podem ser posicionados precisamente na reta numérica (os racionais) e outros não podem ser localizados exatamente (os irracionais).

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Marque certo (C) ou errado (E) nas afirmações abaixo: 98036882434

( ) Todo número racional é real, porém nem todo número real é racional ( ) Todo número natural é também inteiro, e todo número irracional não é inteiro ( ) -1520 é um número natural, inteiro, racional e real ( ) 72 é um número natural, inteiro, racional e real ( )

4 é um número natural, inteiro, racional e real

( )

6 é um número irracional e real

( ) 0,789789789... é um número irracional e real ( )

5 é um número racional, porém não é inteiro nem natural 6





( )

!

12 é um número natural e inteiro 6

( ) A multiplicação de dois números naturais resulta sempre em um número natural ( ) A subtração entre dois números naturais resulta sempre em um número natural ( ) O elemento neutro da multiplicação e divisão é o número 1, enquanto o da adição e subtração é o 0 ( ) A propriedade distributiva aplica-se tanto à adição quanto à multiplicação (

) A propriedade associativa está presente na adição e na multiplicação, porém

não é válida na subtração e na divisão (

) A soma de um número racional com um número irracional tem como resultado

um número irracional ( ) É possível localizar o número

11 exatamente na reta numérica

( ) O módulo de um número é igual ao módulo de seu oposto ( ) Todo número inteiro tem um sucessor e um antecessor ( ) Todo número natural positivo tem um sucessor e um antecessor (

) O conjunto dos números inteiros não negativos é equivalente ao conjunto dos

números naturais positivos ( ) Os números decimais, desde que representados com um número finito de casas decimais, fazem parte do conjunto dos números racionais ( ) 53,2% é um número racional, porém não é um número inteiro (

) Sabendo que o número de Euler é e = 2,718281828459045235360287..., ele

deve ser um número real (

) Nos conjuntos dos números inteiros e racionais, a adição e a subtração

possuem a propriedade do fechamento, entretanto o mesmo não ocorre no conjunto 98036882434

dos números naturais (

) A divisão de números inteiros sempre gera um número racional, porém não

necessariamente inteiro.

RESOLUÇÃO: Vamos examinar cada alternativa rapidamente. Se tiver dúvidas, sugiro que você volte no tópico de teoria específico.

( ) Todo número racional é real, porém nem todo número real é racional Certo. Q está contido em R, porém há números reais que não são racionais (ex.: números irracionais).



! ( ) Todo número natural é também inteiro, e todo número irracional não é inteiro



Certo. Sobre a segunda parte, veja que todo número irracional possui infinitas casas decimais, logo não pode ser inteiro.

( ) -1520 é um número natural, inteiro, racional e real Errado. –1520 é negativo, logo não pode ser natural (porém é inteiro, racional e real).

( ) 72 é um número natural, inteiro, racional e real Certo.

( )

4 é um número natural, inteiro, racional e real Certo, pois

( )

4 = 2, que é natural.

6 é um número irracional e real Certo, pois

6 não é exata, sendo formada por infinitas casas decimais.

( ) 0,789789789... é um número irracional e real Errado, pois trata-se de uma dízima periódica, sendo portanto um número racional.

( )

5 é um número racional, porém não é inteiro nem natural 6 Certo.

( )

98036882434

12 é um número natural e inteiro 6 Certo, pois

12 = 2, que é natural e inteiro. 6

( ) A multiplicação de dois números naturais resulta sempre em um número natural Certo. Essa é a propriedade do fechamento na multiplicação de números naturais.





!



( ) A subtração entre dois números naturais resulta sempre em um número natural Errado. Ex.: 5 – 7 = -2 (negativo, portanto não natural)

( ) O elemento neutro da multiplicação e divisão é o número 1, enquanto o da adição e subtração é o 0 Certo.

( ) A propriedade distributiva aplica-se tanto à adição quanto à multiplicação Errado. Somente à multiplicação.

(

) A propriedade associativa está presente na adição e na multiplicação, porém

não é válida na subtração e na divisão Certo.

(

) A soma de um número racional com um número irracional tem como resultado

um número irracional Certo. Um número irracional tem uma quantidade infinita de casas decimais (que não se repetem numa ordem definida). Ao somar com um número racional, o resultado terá também um número infinito de casas decimais, sendo impossível escrevê-lo na forma

A (pois não será uma dízima periódica). Veja um exemplo: B 3 2

+ 2=

1,5 + 1,41421356... = 2,91421356... 98036882434

( ) É possível localizar o número

11 exatamente na reta numérica

Errado. Trata-se de um número irracional.

( ) O módulo de um número é igual ao módulo de seu oposto

Certo. |A| = |-A|

( ) Todo número inteiro tem um sucessor e um antecessor





Certo.

!



( ) Todo número natural positivo tem um sucessor e um antecessor Certo. No conjunto dos números naturais, todos tem um sucessor, e apenas o zero não tem antecessor. Entretanto, como o item mencionou apenas os números naturais positivos, podemos excluir o caso do zero.

(

) O conjunto dos números inteiros não negativos é equivalente ao conjunto dos

números naturais positivos Errado. A diferença é a presença ou não do zero. Veja: - números inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, 4, 5...} - números naturais positivos = {1, 2, 3, 4, 5...}

( ) Os números decimais, desde que representados com um número finito de casas decimais, fazem parte do conjunto dos números racionais Certo. Veja no material teórico os 3 tipos de números racionais (fracionários, decimais e dízimas periódicas).

( ) 53,2% é um número racional, porém não é um número inteiro Certo. 53,2% escrito na forma decimal corresponde a 0,532. Portanto, possui número finito de casas decimais, sendo racional, porém não inteiro.

(

) Sabendo que o número de Euler é e = 2,718281828459045235360287..., ele

deve ser um número real 98036882434

Certo. Trata-se de um número irracional, que também pertence ao conjunto dos números reais.

(

) Nos conjuntos dos números inteiros e racionais, a adição e a subtração

possuem a propriedade do fechamento, entretanto o mesmo não ocorre no conjunto dos números naturais Certo.

(

) A divisão de números inteiros sempre gera um número racional, porém não

necessariamente inteiro.

! Certo, pois a própria definição dos números racionais diz que todos os





números na forma Entretanto, a divisão (ex.:

A , onde A e B são inteiros, faz parte daquele conjunto. B A 6 pode resultar em um número inteiro (ex.: = 3 ) ou não B 2

5 = 2,5 ). 2

1.6 SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS Uma unidade de medida é uma quantidade de uma grandeza física que é usada como um “padrão” para a medida de outras quantidades da mesma grandeza. Por exemplo, o “metro” é uma quantidade específica da grandeza física “comprimento”, sendo utilizado para medir o comprimento de outros corpos. Para cada grandeza física, o Sistema Legal de Medidas define uma unidade padrão de medida. Para trabalhar com comprimento, área, volume, massa e tempo, você precisa conhecer: - qual a unidade padrão de medida daquela grandeza; - quais os principais múltiplos e submúltiplos da unidade padrão de medida; - como converter uma medida de um múltiplo para outro.

1.6.1 Medidas de comprimento A unidade padrão de medida de comprimento é o metro, representado pela 98036882434

letra m. Um metro é dividido em 10 decímetros, que por sua vez é dividido em 10 centímetros, que por sua vez é dividido em 10 milímetros. Assim, podemos dizer que 1 metro é dividido em 100centímetros (10x10), ou em 1000milímetros. Por outro lado, podemos dizer que 1 decímetro é igual a igual a

1 metro (0,1 metro), 1 centímetro é 10

1 metro (0,01 metro), e 1 milímetro é equivalente a 0,001 metro. 100



! Por sua vez, 10 metros equivalem a 1 decâmetro. 10 decâmetros equivalem





a 1 hectômetro, e 10 hectômetros equivalem a 1 quilômetro. Veja isso na tabela abaixo: Milímetro

Centímetro

Decímetro

Metro

Decâmetro Hectômetro Quilômetro

(mm)

(cm)

(dm)

(m)

(dam)

(hm)

(km)

1000mm

100cm

10dm

1m

0,1dam

0,01hm

0,001km

Portanto, se tivermos o valor de um comprimento em qualquer dessas unidades, vejamos como obtê-lo em outra unidade. Pela tabela acima, repare que para “andar” para a direita, basta dividir o número por 10 (por ex.: 10dm/10 = 1m). E, para “andar” para a esquerda, basta multiplicar por 10 (por ex.: 0,001km x 10 = 0,01hm). Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros na unidade hectômetros. Veja que precisamos andar 4 “casas” para a direita (ando por dm, m, dam e chegando em hm). Portanto, precisamos dividir por 10 quatro vezes em sequência: 15cm / 10 = 1,5dm 1,5dm / 10 = 0,15m 0,15m / 10 = 0,015dam 0,015dam / 10 = 0,0015hm

Portanto, 15 centímetros equivalem a míseros 0,0015 hectômetros. Da mesma forma, se quiséssemos escrever 15 hectômetros em centímetros, 98036882434

precisaríamos andar 4 casas para a esquerda, portanto, precisaríamos multiplicar o número 15 por 10 quatro vezes seguidas, obtendo a quantia de 150000cm.

1.6.2 Medidas de área A unidade padrão de medida de área é o metro quadrado, representado pelo símbolo m 2 . Veja a tabela de conversão do metro quadrado em seus múltiplos e submúltiplos:



!

Milímetro

Centímetro

Decímetro

Metro

Decâmetro

Hectômetro

Quilômetro

quadrado

quadrado

quadrado

quadrado

quadrado

quadrado

quadrado

2

2

(mm ) 1.000.000mm

2

(cm ) 2

10.000cm

2

(dm ) 2

100dm

(m ) 2

1m

2

2

2

(dam ) 0,01dam

2

(hm ) 2

0,0001hm

(km ) 2

0,000001km

2

Repare que agora, ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 100, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 100, para garantir que obtenhamos a conversão correta. Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros quadrados na unidade hectômetros quadrados. Precisamos andar 4 “casas” para a direita (ando por dm2, m2, dam2 e chegando em hm2). Portanto, precisamos dividir por 100 quatro vezes em sequência: 15cm2 / 100 = 0,15dm2 0,15 dm2 / 100 = 0,0015m2 0,0015m2 / 100 = 0,000015dam2 0,000015dam2 / 100 = 0,00000015hm2

Portanto, 15 centímetros quadrados equivalem a apenas 0,00000015 hectômetros quadrados. Da mesma forma, se quiséssemos escrever 15 hectômetros quadrados em centímetros quadrados, precisaríamos andar 4 casas para a esquerda, portanto, precisaríamos multiplicar o número 15 por 100 quatro vezes seguidas, o que equivale a escrever o número 15 seguido de 8 zeros (4 x 2), 98036882434

2

obtendo a quantia de 1500000000cm .

1.6.3 Medidas de volume Já a unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico, representado pelo símbolo m3 . Veja a tabela de conversão do metro cúbico em seus múltiplos e submúltiplos:



Milímetro 3

cúbico (mm ) 1000000000mm

3

!

Centímetro

Decímetro

Metro

Decâmetro

Hectômetro

cúbico

cúbico

cúbico

cúbico

cúbico

3

3

(cm )

3

(dm )

1000000cm

3

1000dm

(m ) 3

1m

3

3

3

cúbico (km )

3

(dam )

(hm ) 3

0,001dam

0,000001hm

Quilômetro

3

0,000000001km

3

Repare que agora, ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 1000, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 1000, para obter a conversão correta. Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros cúbicos na unidade hectômetros cúbicos. Precisamos andar 4 “casas” para a direita (ando por dm3, m3, dam3 e chegando em hm3). Portanto, precisamos dividir por 1000 quatro vezes em sequência: 15cm3 / 1000 = 0,015dm3 0,015dm3 / 1000 = 0,000015m3 0,000015m3 / 1000 = 0,000000015dam3 0,000000015dam3 / 1000 = 0,000000000015hm3

Portanto, 15 centímetros cúbicos equivalem a apenas 0,000000000015 hectômetros cúbicos. Da mesma forma, se quiséssemos escrever 15 hectômetros cúbicos em centímetros cúbicos, precisaríamos andar 4 casas para a esquerda, portanto, precisaríamos multiplicar o número 15 por 1000 quatro vezes seguidas, o que equivale a escrever o número 15 seguido de 12 zeros (4 x 3), obtendo a quantia 98036882434

3

de 15.000.000.000.000cm (quinze trilhões de centímetros cúbicos). Para finalizar o estudo de unidades de volume, é importante você conhecer outra unidade muito utilizada: o litro. Sabendo que 1 litro é igual a 1dm3 (decímetro cúbico), você consegue descobrir outros valores facilmente. Veja que, como 1000dm3 = 1 m3, podemos dizer que 1000 litros = 1m3. Trabalhe esta questão: 08. FGV – BESC – 2004) Quantos mililitros há em um milímetro cúbico? (A) 103 (B) 1





(C) 10−3

!



(D) 10−6 (E) 10−9 RESOLUÇÃO: Aqui devemos começar nos lembrando que 1 litro equivale a 1 decímetro cúbico: 1 litro -------------------------- 1dm3

Sabemos também que 1 litro equivale a 1000 mililitros (1000ml). Fazendo essa substituição na relação acima, temos: 1000ml -------------------------- 1dm3 Por outro lado, 1dm3 equivale a 1000cm3, que equivale a 1.000.000mm3. Fazendo essa substituição na relação acima, temos: 1000ml -------------------------- 1000000mm3

ou melhor, 103ml ---------------------106mm3

Igualando essas duas grandezas, temos: 103ml = 106mm3 Como o enunciado pede o equivalente a 1mm3, podemos dividir ambos os lados da equação acima por 106. Veja: 98036882434

103 ml = 106 mm3 103 106 ml = 6 mm 3 6 10 10 −3 10 ml = 1mm3 Portanto, 1mm3 equivale a 10-3ml. Resposta: C

1.6.4 Medidas de tempo



! A unidade padrão de medida de tempo é o segundo, representado pelo





símbolo s. Aqui não trabalharemos da mesma forma que as demais unidades de medida, pois normalmente não contamos o tempo em múltiplos de 10. De qualquer forma, é importante você conhecer o milissegundo (ms): 1 segundo corresponde a 1000ms. As principais unidades de tempo que utilizamos, além do segundo, são o minuto, a hora e o dia. Veja-os na tabela abaixo Milissegundo

Segundo

Minuto

(ms)

(s)

(min)

1.000ms = 1s

1s

1 min = 60s

Hora (h)

Dia

1 h = 60 min

1 dia = 24 h

Note que 1 hora equivale a 3600 segundos (60 x 60). E 1 dia corresponde a 1440 minutos (24 x 60). Para exercitar-nos, vamos escrever 2 horas na unidade segundos. Para isso, podemos utilizar algumas regras de três: 1 hora ------------------------------- 60 minutos 2 horas ----------------------------- X minutos 1× X = 2 × 60 X = 120minutos Continuando, temos: 1 minuto ---------------------- 60 segundos 120 minutos------------------ Y segundos 98036882434

1× Y = 120 × 60 Y = 7200segundos

Pratique esses conceitos na questão abaixo:

09. VUNESP – SEAP/SP – 2012) Valdomiro cronometrou as voltas que correu em uma pista de 400 m e anotou os tempos na tabela a seguir.



!





Pode-se afirmar que o tempo médio dessas quatro voltas foi, em segundos, de (A) 80. (B) 82. (C) 84. (D) 86. (E) 88. RESOLUÇÃO: Sabemos que 1 minuto corresponde a 60 segundos. Assim, os tempos das voltas foram 60+15, 60+18, 60+23 e 60+24 segundos, isto é, 75s, 78s, 83s e 84s. O tempo médio de uma volta é dado pela soma do tempo das 4 voltas, dividido pelo número de voltas (4): Média =

75 + 78 + 83 + 84 320 = = 80 s 4 4

Resposta: A

1.6.5 Medidas de massa A unidade padrão de medida de massa é o grama (e não o quilograma!), representado pelo símbolo g. Veja a tabela de conversão do grama em seus múltiplos e submúltiplos: 98036882434

Miligrama Centigrama Decigrama Grama Decagrama Hectograma Quilograma (mg)

(cg)

(dg)

(g)

(dag)

(hg)

(kg)

1.000mg

100cg

10dg

1g

0,1dag

0,01hg

0,001kg

Assim como no caso das medidas de comprimento, ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 10, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 10, para obter a conversão correta.



! Sabendo disso, observe que 15 centigramas corresponderão a 0,0015





hectogramas (basta dividir por 10 quatro vezes seguidas). Da mesma forma, 15 hectogramas corresponderão a 150.000 centigramas (multiplique por 10 quatro vezes seguidas, ou coloque 4 zeros após o 15). Você já deve ter ouvido falar na tonelada métrica, ou simplesmente tonelada (ton). Uma tonelada equivale a 1.000 quilogramas. Portanto, para obter o valor de 1 tonelada em gramas, basta multiplicar 1.000 por 10 três vezes seguidas (de kg para hg, de hg para dag, e de dag para g), chegando a 1.000.000 gramas.

1.6.6 Sistema monetário brasileiro Quanto ao nosso sistema monetário, o mais importante é você se lembrar que 1 real corresponde a 100 centavos. Assim, tendo uma quantia em reais, basta você multiplicar por 100 e obterá o valor em centavos. Da mesma forma, tendo uma quantia em centavos, basta você dividir por 100 e obterá o valor em reais. Exemplificando: a) R$10,52 = 10,52 x 100 centavos = 1052 centavos b) 278 centavos = 278 / 100 reais = 2,78 reais = R$2,78

Um tipo de questão comum utiliza seus conhecimentos sobre a manipulação das nossas moedas de 1 centavo (R$0,01), 5 centavos (R$0,05), 10 centavos (R$0,10), 25 centavos (R$0,25), 50 centavos (R$0,50) e 1 real (R$1,00). Tente responder a pergunta abaixo: - Qual o número mínimo de moedas para juntarmos R$22,91? 98036882434

Como queremos o número mínimo de moedas, devemos começar pelas moedas de maior valor, ou seja, de 1 real. Com 22 moedas de 1 real, teremos R$22,00. Se pegássemos mais uma moeda de 1 real, aríamos do valor pretendido (R$22,91). Vamos então somar moedas de 50 centavos. Com 1 moeda de 50 centavos, chegamos a R$22,50. Devemos ir agora para as moedas de 25 centavos, caso contrário aríamos de R$22,91. Com 1 moeda de 25 centavos, chegamos a R$22,75. Podemos ainda somar 1 moeda de 10 centavos, obtendo R$22,85, 1 moeda de 5 centavos, obtendo R$22,90, e, finalmente, 1 moeda de 1



! centavo, obtendo o valor pretendido: R$22,91. Portanto, o número de moedas



necessário foi 22 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 27 moedas.

Veja essa questão: 10. FCC – METRÔ/SP – 2012) Ana tem em um cofrinho exatamente: 7 moedas de 1 real, 48 de 50 centavos, 53 de 25 centavos e 29 de 10 centavos. Se Ana pretende totalizar a quantia de 50 reais e, para tal, adicionar quaisquer tipos de moedas às que já tem, então a quantidade mínima de moedas que deverá usar é (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) 7. (E) 8. RESOLUÇÃO: O valor total que Ana possui é: 7 x 1,00 + 48 x 0,50 + 53 x 0,25 + 29 x 0,10 = 47,15 reais

Para chegar a 50 reais, faltam 50 – 47,15 = 2,85 reais. Essa quantia pode ser obtida com 2 moedas de 1 real, 1 moeda de 50 centavos, 1 moeda de 25 centavos e 1 moeda de 10 centavos, totalizando 5 moedas. Resposta: B

Exercício de fixação – Unidades) Efetue as conversões de unidades solicitadas: a) 5litros para m3

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b) 10dam em cm c) 40hm2 em km2 d) 2 dias em minutos e) 36 horas em dias f) 150 milissegundos em segundos g) 20 cm3 em m3 h) 15dag em hg





Respostas:

!



a) 0,005m3 b) 10000cm c) 0,40km2 d) 2880minutos e) 1,5dias f) 0,150s g) 0,000020 cm3 h) 1,5hg

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!

2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS

Seguem abaixo mais exercícios sobre os temas tratados na aula de hoje. Tente resolvê-los antes de ler a minha resolução!

11. CESPE – TJ/RR – 2012) Considere as seguintes definições:

I. os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores inteiros positivos de n, exceto o próprio n; II. um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n; III. dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos divisores próprios do outro.

Com base nessas definições, julgue os itens que seguem.

( ) O número 28 é um número perfeito. ( ) Os números 284 e 220 são números amigos. ( ) Se um número é maior que 1, então o conjunto dos seus divisores próprios tem, pelo menos, 2 elementos. ( ) Nenhum número primo é um número perfeito. RESOLUÇÃO: ( ) O número 28 é um número perfeito. Os divisores de 28 são 1, 2, 4, 7, 14, 28. A soma dos divisores de 28, exceto o próprio número, é 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Portanto, segundo a definição dada no item II do enunciado, o número 28 é perfeito. Item CORRETO. 98036882434

( ) Os números 284 e 220 são números amigos. Fatorando esses dois números, você obtem: 220 = 22 x 5 x 11 284 = 22 x 71

Assim, os divisores de 220 são {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220}. Veja que a sua soma (excluindo o próprio 220) é 284.



! Da mesma forma, os divisores de 284 são {1, 2, 4, 71, 142, 284}. A sua soma





(excluindo o próprio 284) é 220. Logo, segundo a definição III do enunciado, estes números são amigos. Item CORRETO.

( ) Se um número é maior que 1, então o conjunto dos seus divisores próprios tem, pelo menos, 2 elementos. ERRADO. Se um número for primo, ele terá apenas um divisor próprio (o próprio número 1). Veja, por exemplo, que o único divisor próprio de 7 é o número 1.

( ) Nenhum número primo é um número perfeito. O único divisor próprio de um número primo é o 1. Portanto, a soma dos divisores próprios de um número primo é igual a 1. Assim, nenhum número primo é perfeito, pois a soma dos divisores próprios nunca será igual ao próprio número. Item CORRETO. Resposta: C C E C

12. CESPE – TJ/RR – 2012) A caixa d’água de um hospital tem a forma de um cilindro circular reto com 10 metros de altura e capacidade para 30.000 litros de água. Considere que essa caixa d’água, completamente vazia, foi enchida à vazão constante e, 100 minutos depois de iniciado o enchimento, a água atingiu a altura de 3 metros. Com base nessas informações e supondo que nenhuma torneira abastecida pela caixa seja aberta durante o processo de enchimento, julgue os itens a seguir. 98036882434

( ) Quando a água no interior da caixa atingiu 3 metros de altura, mais de 10.000 litros de água haviam sido despejados na caixa. ( ) Para que a caixa fique completamente cheia, serão necessárias mais de 5 horas. ( ) O tempo necessário para que a água no interior da caixa d’água atinja determinada altura é proporcional a essa altura. RESOLUÇÃO: ( ) Quando a água no interior da caixa atingiu 3 metros de altura, mais de 10.000 litros de água haviam sido despejados na caixa.



! temos 30000 litros, uma regra de três simples nos Se em 10 metros de altura





permite saber quantos litros temos em 3 metros de altura: 10 metros ------------------------ 30000 litros 3 metros ------------------------- X litros

10X = 3x30000 X = 9000 litros Item ERRADO.

( ) Para que a caixa fique completamente cheia, serão necessárias mais de 5 horas. Se em 100 minutos foi possível encher 3 metros de altura, vejamos quanto tempo é necessário para encher os 10 metros de altura: 3 metros ----------------- 100 min. 10 metros ----------------- T

3T = 10 x 100 T = 333,33 minutos

Como 5 horas correspondem a 300 minutos, então é CORRETO dizer que serão necessárias mais de 5 horas para encher a caixa.

( ) O tempo necessário para que a água no interior da caixa d’água atinja determinada altura é proporcional a essa altura. Item CORRETO. Foi exatamente isto que nos permitiu resolver o item 98036882434

anterior. Resposta: E C C

13. CESPE – CORREIOS – 2011) Considere que, das correspondências que um carteiro deveria entregar em determinado dia, 5/8 foram entregues pela manhã, 1/5 à tarde e 14 ficaram para ser entregues no dia seguinte. Nessa situação, a quantidade de correspondências entregue pelo carteiro naquele dia foi igual a A 98. B 112. C 26.



D 66.

!



E 82. RESOLUÇÃO: Seja C o total de correspondências que deveriam ser entregues. Sabemos que: Total = entregues de manhã + entregues à tarde + entregues no dia seguinte

5 1 C = C + C + 14 8 5 5 1 C − C − C = 14 8 5 40 − 25 − 8 C = 14 40 C = 80

Como 14 ficaram para o dia seguinte, então naquele dia foram entregues 80 – 14 = 66 correspondências. Resposta: D

14. CESPE – CORREIOS – 2011) Em determinado dia, todas as correspondências recebidas na agência dos Correios da cidade Alfa destinavam-se apenas a moradores dos bairros X, Y e Z. Ao bairro X foi destinada metade das correspondências recebidas na agência menos 30 correspondências; ao bairro Y foi destinada a terça parte das correspondências restantes, isto é, depois de retiradas as do bairro X, e mais 70 correspondências; o bairro Z recebeu 180 correspondências. O total de correspondências recebidas, nesse dia, na agência 98036882434

dos Correios da cidade Alfa foi: A) superior a 680 e inferior a 700. B) superior a 700 e inferior a 720. C) superior a 720. D) inferior a 660. E) superior a 660 e inferior a 680. RESOLUÇÃO: Chamemos de x, y e z o total de correspondências destinadas às agências X, Y e Z respectivamente. Assim, o total de correspondências é:





!

Total = x + y + z

Para X foram metade do total, menos 30, ou seja: x=

x+ y+ z − 30 2

2 x = x + y + z − 60 x = y + z − 60

Retiradas as correspondências de X, sobram y + z. Deste total, em Y ficaram 1/3 e mais 70, ou seja, y+z + 70 3

y=

3 y = y + z + 210 2 y = z + 210

Como Z recebeu 180, então z = 180. Assim, 2 y = 180 + 210 y = 195

E, finalmente, x = y + z − 60 x = 195 + 180 − 60 = 315

Portanto, o total de correspondências é 315 + 195 + 180 = 690. 98036882434

Resposta: A

15. CESPE – CORREIOS – 2011) Considere que sejam cobrados R$ 5,00 para o envio de uma carta comercial simples e uma carta comercial registrada, ambas de até 20g, e R$ 11,10 para o envio de 3 cartas comerciais simples e 2 registradas, todas de até 20g. Nessa situação, a diferença entre o preço cobrado para o envio de uma carta comercial registrada e o cobrado para o envio de uma carta comercial simples, ambas de até 20g, é de A R$ 2,60.





B R$ 2,70.

!



C R$ 2,80. D R$ 2,90. E R$ 2,50. RESOLUÇÃO: Seja S o preço de uma carta simples e R o preço de uma carta registrada. Ao enviar uma carta de cada, o valor pago é de 5 reais, ou seja, S+R=5 R=5–S

Como o custo de 3 cartas simples e 2 registradas é 11,10 reais, então: 3S + 2R = 11,10

Como R = 5 – S, podemos substituir R por 5 – S na equação acima, obtendo: 3S + 2 (5 – S) = 11,10 3S + 10 – 2S = 11,10 S = 11,10 – 10 S = 1,10 real

Portanto, R = 5 – 1,10 = 3,90 reais. Logo, a diferença entre o custo das duas cartas é de 3,90 – 1,10 = 2,80 reais. Resposta: C

16. CESPE – BASA – 2012) A matemática financeira é o ramo da Matemática que 98036882434

se dedica a estudar as operações financeiras, entendendo-se estas como interações entre dois agentes: o financiador, que empresta uma quantia C0 — o principal —, ao outro, o tomador, em determinado momento bem definido, esperando recebê-la mais tarde, acrescida de uma remuneração. A forma de devolução do principal acrescido de remuneração depende da combinação entre tomador e financiador, que consiste em determinar uma função crescente C(t), medida em reais, que determine o valor do dinheiro t meses após o empréstimo e tal que C(0) = C0. Supondo que, na negociação entre os dois agentes, o principal acompanhado da remuneração a ser devolvido ao financiador seja expresso pela função

C(t) = 3.000(1 + 0,01t2), julgue os itens seguintes.





!



( ) O tempo, em meses, necessário para que o valor do principal acompanhado de remuneração seja o dobro do principal será superior a 12 meses RESOLUÇÃO: Para que o valor total C(t) seja igual a 6000 reais, vejamos quanto tempo é preciso: C(t) = 3000(1 + 0,01t2) 6000 = 3000(1 + 0,01t2) 2 = 1 + 0,01t2 1 / 0,01 = t2 100 = t2 t = 10 meses Item ERRADO, pois t < 12 meses. Resposta: E

17. CESPE – CORREIOS – 2011) Um cliente comprou, em uma agência dos Correios, selos comemorativos dos 150 anos do nascimento do padre Landell de Moura e dos 150 anos de fundação da Caixa Econômica Federal (CAIXA). Para o pagamento desses produtos, o cliente entregou certa quantia em reais e notou que 3 do padre Landell de Moura e 1 da CAIXA.

Nessa situação, com relação à quantia entregue para pagamento, o troco a que faz 98036882434

jus o cliente corresponde a a) 20%. b) 5%. c) 8%. d) 10%. e) 12%. RESOLUÇÃO: Seja Q a quantia entregue para pagamento. Vemos que (3/4)Q corresponde aos selos do padre, e (1/5)Q aos selos da CAIXA. Assim, sobram:



!





3 1 Q− Q− Q = 4 5 20 − 15 − 4 Q= 20 1 Q= 20



0, 05Q = 5%Q

Assim, sobra 5% do valor pago, que deve ser devolvido como troco. Resposta: B

18. CESPE – CORREIOS – 2011) Considerando-se que 3 caixas de encomenda do tipo 2B e 3 caixas de encomenda do tipo flex correios custem, ao todo, R$ 12,00 e que 5 caixas do tipo 2B e 10 do tipo flex correios custem, ao todo, R$ 28,00, é correto afirmar que uma caixa do tipo 2B custa a) R$ 2,40. b) R$ 3,15. c) R$ 3,20. d) R$ 1,20. e) R$ 2,00. RESOLUÇÃO: Vamos chamar as caixas 2B simplesmente de “B”, e as caixas flex de “F”. Assim, 98036882434

3 x B + 3 x F = 12 B+F=4 B=4–F

E também: 5 x B + 10 x F = 28 5 x (4 – F) + 10 x F = 28 20 – 5F + 10F = 28 5F = 8 F = 1,6 real



!



Portanto, B = 4 – 1,6 = 2,4 reais. Assim, a caixa 2B custa R$2,40. Resposta: A

19. CESPE – CORREIOS – 2011) Em uma empresa, os empregados têm direito a descanso remunerado de um dia a cada 15 dias trabalhados. Em determinado ano, os dias trabalhados e os dias de descanso somaram 224 dias.

Com base nessa situação, é correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de dias de descanso desses empregados foi a) superior a 16 e inferior a 20. b) superior a 20 e inferior a 24. c) superior a 24. d) inferior a 12. e) superior a 12 e inferior a 16. RESOLUÇÃO: Seja D o número de dias de descanso. Assim, o número de dias trabalhados (T) é 15 vezes maior, ou seja, T = 15D. Além disso, sabemos que a soma dos dias trabalhados e de descanso é 224, ou seja, 224 = T + D 224 = 15D + D 224 = 16D D = 14,93 98036882434

Resposta: E

20. CESPE – TRE/ES – 2011) Com relação a problemas aritméticos e matriciais, cada um dos próximos itens apresenta uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada. ( ) Se em um município que tem 2.500 eleitores, a votação dura 10 horas, cada seção eleitoral possui apenas uma urna, todos os eleitores votam e cada eleitor leva 1 minuto e meio para votar, então, nesse município serão necessárias, no mínimo, 7 seções eleitorais.



! ( ) Se, em um município, as seções eleitorais X, Y e Z têm, juntas, 1.500 eleitores;



os tempos médios de votação nessas seções são 1 minuto e 30 segundos, 2 minutos e 1 minuto por eleitor, respectivamente; o tempo médio de votação nas três seções é de 2.175 minutos; e o número de eleitores da seção Y é igual à metade da soma do número de eleitores das seções X e Z, então, nesse caso, a seção eleitoral que tem o maior número de eleitores é a X. RESOLUÇÃO: ( ) Se em um município que tem 2.500 eleitores, a votação dura 10 horas, cada seção eleitoral possui apenas uma urna, todos os eleitores votam e cada eleitor leva 1 minuto e meio para votar, então, nesse município serão necessárias, no mínimo, 7 seções eleitorais. Se um eleitor gasta 1,5 minuto, então 2500 eleitores gastarão, ao todo, Tempo total = 1,5 x 2500 = 3750 minutos = 62,5 horas

Como o tempo total da eleição é de 10 horas, precisaremos de distribuir os eleitores em pelo menos 7 seções eleitorais para que seja possível que todos votem. Item CORRETO.

( ) Se, em um município, as seções eleitorais X, Y e Z têm, juntas, 1.500 eleitores; os tempos médios de votação nessas seções são 1 minuto e 30 segundos, 2 minutos e 1 minuto por eleitor, respectivamente; o tempo médio de votação nas três seções é de 2.175 minutos; e o número de eleitores da seção Y é igual à metade da soma do número de eleitores das seções X e Z, então, nesse caso, a seção eleitoral que tem o maior número de eleitores é a X. 98036882434

Sejam x, y e z o número de eleitores das seções X, Y e Z , respectivamente. Sabemos que: x + y + z = 1500 y = (x + z) / 2 x + z = 2y Assim, 2y + y = 1500 y = 500 eleitores Além disso, podemos dizer que x + z = 1000.



! O tempo total de votação em cada seção é dado pela multiplicação do tempo





médio de votação pelo número de eleitores. Assim: 1,5x + 2y + 1z = 2175 0,5x + x + 2x500 + z = 2175 0,5x + (x + z) + 1000 = 2175 0,5x + 1000 + 1000 = 2175 x = 350 z = 1000 – x = 1000 – 350 = 650

Assim, a seção com maior número de eleitores é Z. Item ERRADO. Resposta: C E

21. CESPE – TRE/ES – 2011) Apesar da pressão sobre os parlamentares para diminuir ou não aprovar o percentual de reajuste dos seus próprios salários, deputados e senadores aprovaram proposta de aumento de 62%. Com isso, eles arão a ganhar R$ 26,7 mil, fora os valores de verbas de gabinete, indenizatórias, de cotas de agens, telefone e despesas médicas, que, somados, ultraam R$ 100 mil por mês. Internet: <www.correioweb.com.br> (com adaptações).

Tendo como referência o texto acima, julgue os itens que se seguem. ( ) O salário dos parlamentares, antes do reajuste referido no texto, era superior a R$ 16,5 mil. RESOLUÇÃO: 98036882434

Seja S o salário anterior ao reajuste. Sabemos que S mais 62% de S corresponde a 26,7 mil reais. Isto é, S + 62%S = 26700 1,62S = 26700 S = 16481,48 reais

Assim, o salário era INFERIOR a 16,5 mil reais. Item ERRADO. Resposta: E



! 22. CESPE – IBAMA – 2012) Um órgão de controle, ao aplicar sanções contra



empresas petroleiras cujas atividades resultem em agressão ao meio ambiente, determina o valor da multa, em reais, de modo proporcional ao volume de petróleo derramado, em barris, ao tempo de duração do derramamento, em semanas, e à área da região afetada, em quilômetros quadrados. Assim, se determinada empresa petroleira deixar vazar, por três semanas, quatro mil barris de petróleo bruto, causando a contaminação de 950 km2 de superfície marítima, será, em decorrência disso, multada em R$ 5.000.000,00. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. ( ) Considere que, após acidente com um navio petroleiro, que resultou no derramamento de dezenove mil barris de petróleo, afetando uma área de 120 km2, os técnicos da empresa à qual esse navio pertence tenham levado uma semana para conter o derramamento. Nessa situação, a multa a ser aplicada pelo órgão de controle será superior a R$ 900.000,00. ( ) Caso, depois de estancado um vazamento, o petróleo derramado avance por uma área correspondente a 10% da área inicialmente afetada, o valor da multa recebida pela empresa aumentará 10% em relação ao valor que seria estabelecido no momento do estanque. RESOLUÇÃO: ( ) Considere que, após acidente com um navio petroleiro, que resultou no derramamento de dezenove mil barris de petróleo, afetando uma área de 120 km2, os técnicos da empresa à qual esse navio pertence tenham levado uma semana para conter o derramamento. Nessa situação, a multa a ser aplicada pelo órgão de controle será superior a R$ 900.000,00. 98036882434

O enunciado da questão nos apresenta as seguintes grandezas: multa, volume derramado, tempo de derramamento, e área da região. Os valores dados são: Multa R$5000000

Volume

Tempo

Área

4000 barris

3 semanas

950km2

Preenchendo com os dados fornecidos neste item, temos: Multa R$5000000

Volume

Tempo

Área

4000 barris

3 semanas

950km2





X

barris 19000

! 1 semana 120km2

Montando a proporção e calculando X: 5000000 4000 3 950 = × × X 19000 1 120 5000000 4 3 95 = × × X 19 1 12 5000000 1 1 95 = × × X 19 1 1 5000000 1 1 5 = × × X 1 1 1 5000000 =5 X X = 1000000reais

A multa é de 1 milhão de reais. Item CORRETO.

( ) Caso, depois de estancado um vazamento, o petróleo derramado avance por uma área correspondente a 10% da área inicialmente afetada, o valor da multa recebida pela empresa aumentará 10% em relação ao valor que seria estabelecido no momento do estanque. Sejam M, V, T e A os valores da multa, volume, tempo e área de um determinado vazamento. Se a área aumentar em 10%, aremos a ter uma área no valor de 1,1A. O volume e tempo não mudaram. Vejamos qual será o valor da nova multa: 98036882434

Multa

Volume

Tempo

Área

M

V

T

A

X

V

T

1,1A

M V T A = × × X V T 1,1A M 1 = 1 × 1× X 1,1 X = 1,1M





!



Portanto, a multa aumentou também em 10% em relação ao valor inicial “M”. Item CORRETO. Resposta: C C

23. CESPE – IBAMA – 2012) Sabendo que o governo federal ofereceu aos servidores públicos uma proposta de reajuste salarial de 15,8% parcelado em três vezes, com a primeira parcela para 2013 e as demais para os anos seguintes, julgue os itens a seguir. ( ) Um servidor federal com salário de R$ 10.000,00 em 2012, ará a receber, em 2015, após a concessão da última parcela de reajuste, salário inferior a R$11.500,00. RESOLUÇÃO: Com o reajuste, o salário deste servidor ou a ser: Salário = 10000 + 15,8% x 10000 Salário = 10000 + 0,158 x 10000 Salário = 10000 + 1580 = 11580 reais

Este valor é superior a 11500 reais. Item ERRADO. Resposta: E

24. CESPE – IBAMA – 2012) Em uma repartição, 4.000 processos permaneceram sem andamento devido a problema técnico na rede de computadores. Para resolver esse problema, o chefe da repartição direcionou 1/4 dos servidores para fazer uma 98036882434

triagem nos processos, classificando-os em média ou baixa complexidade e em alta complexidade. O chefe, então, disponibilizou 2/5 dos servidores para a análise dos processos de média ou baixa complexidade e 70 servidores para a análise dos processos de alta complexidade, de forma que todos os servidores ficaram ocupados com essas atividades. Após seis semanas de trabalho, havia ainda 3.520 processos aguardando triagem e análise. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. ( ) Caso, após a conclusão da triagem dos 4.000 processos, os servidores responsáveis por essa atividade sejam direcionados à análise dos processos de alta



! complexidade, o número de servidores realizando tal análise será menor que o



dobro daqueles que analisam processos de média ou baixa complexidade. ( ) Mais servidores da repartição foram direcionados para a triagem dos processos do que para a análise de processos de média ou baixa complexidade. ( ) A repartição possui um total de 200 servidores. ( ) Após seis semanas de trabalho, mais de 90% dos processos ainda aguardavam triagem e análise. ( ) Caso o ritmo de trabalho permaneça igual ao das seis primeiras semanas, os funcionários da repartição levarão mais de um ano, contado do início dos trabalhos, para completar a triagem e a análise dos 4.000 processos. RESOLUÇÃO: O total de servidores (S) é igual a soma entre ¼ de S, 2/5 de S e 70: S=

1 2 S + S + 70 4 5

1 2 S − S − S = 70 4 5 20 5 8 S − S − S = 70 20 20 20 7 S = 70 20 1 S = 10 20 S = 200 servidores

Portanto, 50 servidores trabalharam na triagem (1/4 de 200), 80 trabalharam 98036882434

nos processos de baixa e média complexidade (2/5 de 200) e 70 nos de alta complexidade. Após seis semanas de trabalho, havia ainda 3.520 processos aguardando triagem e análise, de modo que apenas 480 dos 4000 processos foram trabalhados em 6 semanas. Com essas informações em mãos, vamos julgar os itens.

( ) Caso, após a conclusão da triagem dos 4.000 processos, os servidores responsáveis por essa atividade sejam direcionados à análise dos processos de alta



! complexidade, o número de servidores realizando tal análise será menor que o



dobro daqueles que analisam processos de média ou baixa complexidade. Caso os 50 servidores da triagem se juntem aos 70 que estão trabalhando nos processos de alta complexidade, teremos 120 servidores executando tal análise, número este inferior ao dobro de 80 (servidores analisando processos de baixa e média complexidade). Item CORRETO.

( ) Mais servidores da repartição foram direcionados para a triagem dos processos do que para a análise de processos de média ou baixa complexidade. A triagem ficou com 50, número menor que os 80 trabalhando nos processos de média ou baixa complexidade. Item ERRADO.

( ) A repartição possui um total de 200 servidores. Item CORRETO, conforme calculamos anteriormente.

( ) Após seis semanas de trabalho, mais de 90% dos processos ainda aguardavam triagem e análise. Após 6 semenas, 3520 dos 4000 processos ainda aguardavam triagem e análise. Percentualmente, temos 3520 / 4000 = 0,88 = 88%. Item ERRADO.

( ) Caso o ritmo de trabalho permaneça igual ao das seis primeiras semanas, os funcionários da repartição levarão mais de um ano, contado do início dos trabalhos, para completar a triagem e a análise dos 4.000 processos. Para finalizar o trabalho de 480 processos foram necessárias 6 semanas. 98036882434

Para finalizar os 4000 processos, vejamos quantas semanas são necessárias: 480 processos --------------------------- 6 semanas 4000 processos----------------------- X semanas

480X = 4000 x 6 480X = 24000 X = 24000 / 480 X = 50 semanas



! Como cada semana tem 7 dias, vemos que 50 semanas correspondem a 50





x 7 = 350 dias, ou seja, menos de 1 ano. Assim, os funcionários levarão menos de um ano para finalizar a triagem e análise dos 4000 processos. Item ERRADO. Resposta: C E C E E

25. CESPE – INPI – 2013) Em um processo de pedido de patentes de um novo equipamento consta um desenho esquemático, desse mesmo equipamento, na escala 1:200. Com base nessa informação, julgue os itens a seguir. ( ) Se o raio do parafuso no referido desenho for 0,05 cm, então o raio do parafuso real será 1 cm. RESOLUÇÃO: Como o desenho foi feito na proporção 1:200, isto significa que 1cm no desenho corresponde a 200cm na escala real. Assim, podemos montar a seguinte regra de três: 1cm ----------------------------- 200cm 0,05cm----------------------- P P x 1 = 0,05 x 200 P = 10cm

Item ERRADO. Resposta: E

26. CESPE – INPI – 2013) Considerando que o custo de produção de um refrigerante em lata seja R$ 0,50 por unidade produzida e que essa mesma latinha 98036882434

seja vendida a R$ 2,50, julgue os itens seguintes. ( ) Se o custo de produção de cada refrigerante for reduzido em 40%, mantendo-se o mesmo valor de venda do produto, então o lucro por latinha aumentará 20%. ( ) O preço de custo do refrigerante em lata representa 20% do valor de sua venda. ( ) É necessário vender 15 refrigerantes para obter-se um lucro líquido de R$ 30,00 RESOLUÇÃO: ( ) Se o custo de produção de cada refrigerante for reduzido em 40%, mantendo-se o mesmo valor de venda do produto, então o lucro por latinha aumentará 20%. Reduzindo-se em 40% o custo de produção, chegamos a um custo de: Custo = 0,50 – 40% x 0,50 = 0,50 – 0,4 x 0,50 = 0,30 por lata



!



O lucro atual por lata é de: Lucro = Venda – Custo = 2,50 – 0,50 = 2,00 reais por lata

Com a redução do custo de produção, o lucro por lata ará a ser de: Lucro = 2,50 – 0,30 = 2,20 reais por lata

O lucro por lata aumentou em 0,20 reais, que correspondem a 10% dos 2,00 que eram o lucro por lata originalmente. Assim, há um aumento de 10% no lucro por latinha. Item ERRADO.

( ) O preço de custo do refrigerante em lata representa 20% do valor de sua venda. Aqui basta calcularmos a porcentagem: P = 0,50 / 2,50 = 1 / 5 = 0,20 = 20% Item CORRETO.

( ) É necessário vender 15 refrigerantes para obter-se um lucro líquido de R$ 30,00 Vimos que o lucro com a venda de um refrigerante é de 2,00 reais. Assim, ao vender 15 unidades o lucro será de 15 x 2,00 = 30,00 reais. Item CORRETO. Resposta: E C C

27. CESPE – INPI – 2013) Tendo em vista que um relator analise 3 relatórios em 2 horas e que todos os relatores tenham essa mesma eficiência, julgue os itens subsequentes. 98036882434

( ) Para analisar 47 relatórios em uma hora e meia, serão necessários 20 relatores. ( ) Se, para cada 5 relatórios analisados, 3 são descartados e 2 são aprovados, então, de um total de 300 relatórios, 180 serão aprovados e 120 descartados. ( ) Em 4 horas, 5 relatores irão analisar um total de 30 relatórios. RESOLUÇÃO: ( ) Para analisar 47 relatórios em uma hora e meia, serão necessários 20 relatores. Sabemos que 1 relator analisa 3 relatórios em 2 horas. Assim, podemos montar a proporção:

Relatores

Relatórios

Tempo





1

3

X

47

!

2



1,5

Quanto MAIS relatores, MAIS relatórios são analisados em MENOS tempo. Assim, a grandeza TEMPO é inversamente proporcional, motivo pelo qual invertemos sua coluna: Relatores

Relatórios

Tempo

1

3

1,5

X

47

2

Montando a proporção: 1 3 1, 5 = × X 47 2

X = 20,88

Item ERRADO, pois são necessários mais de 20 relatores. Como o número de relatores deve ser um número natural, devemos dizer que são necessários pelo menos 21 relatores para analisar 47 relatórios em 1 hora e meia. Com exatamente 20 relatores o tempo gasto seria ligeiramente superior a 1,5 hora.

( ) Se, para cada 5 relatórios analisados, 3 são descartados e 2 são aprovados, então, de um total de 300 relatórios, 180 serão aprovados e 120 descartados. Aqui basta montar uma regra de três: 5 analisados ---------------------- 3 descartados 300 analisados ------------- N descartados 98036882434

5N = 3 x 300 N = 180 descartados Item ERRADO.

( ) Em 4 horas, 5 relatores irão analisar um total de 30 relatórios. Preparando os dados fornecidos para saber quantos relatórios são analisados por 5 relatores em 4 horas, temos:





Relatores

Relatórios

Tempo

1

3

2

5

X

4

!

Quanto MAIS relatórios a serem analisados, MAIS relatores são necessários e MAIS tempo é necessário. As grandezas são diretamente proporcionais. Logo, 3 1 2 = × X 5 4

X = 30 relatórios

Item CORRETO. Resposta: E E C

28. CESPE – INPI – 2013) Sabendo que, para produzir 5 unidades de determinado produto, é necessário 2 operários trabalhando 6 horas por dia durante 3 dias, julgue os itens seguintes. ( ) Considere que exista a necessidade de produção de 20 unidades do produto em 10 dias de trabalho. Nessa situação hipotética, necessita-se de 2 operários trabalhando 8 horas por dia para cumprir essa tarefa. ( ) É possível produzir 50 unidades em 3 dias, utilizando somente 4 operários. RESOLUÇÃO: ( ) Considere que exista a necessidade de produção de 20 unidades do produto em 10 dias de trabalho. Nessa situação hipotética, necessita-se de 2 operários trabalhando 8 horas por dia para cumprir essa tarefa. Vamos tentar descobrir quantas horas de trabalho por dia são necessárias 98036882434

para que 20 unidades sejam produzidas em 10 dias por 2 operários:

Unidades

Operários

Horas

Dias

5

2

6

3

20

2

X

10

Quanto MAIS horas de trabalho por dia, MAIS unidades são produzidas, MENOS operários são necessários e MENOS dias de trabalho são necessários. Invertendo as colunas dos operários e dos dias, temos:



!



Unidades

Operários

Horas

Dias

5

2

6

10

20

2

X

3

6 5 2 10 = × × X 20 2 3

X = 7,2 horas

Item ERRADO.

( ) É possível produzir 50 unidades em 3 dias, utilizando somente 4 operários. Vamos calcular quantas horas de trabalho por dia são necessárias para que 4 operários produzam 50 unidades em 3 dias:

Unidades

Operários

Horas

Dias

5

2

6

3

50

4

X

3

Invertendo as colunas dos operários e dos dias trabalhados, que são inversamente proporcionais às horas trabalhadas por dia, temos:

Unidades

Operários

Horas

Dias

5

4

6

3

50

2

X

3

98036882434

6 5 4 3 = × × X 50 2 3

X = 30 horas

Seria preciso que cada operário trabalhasse 30 horas por dia! Como o dia só tem 24 horas, é impossível produzir 50 unidades com apenas 4 trabalhadores em 3 dias. Item ERRADO. Resposta: E E





!



29. CESPE – INPI – 2013) Em televisões FullHD, a proporção entre a largura e a altura da tela é 16:9. Com base nessa informação, julgue os itens a seguir. ( ) Se a altura for aumentada em 20%, então, para manter a proporção de 16:9, a largura também deverá ser aumentada em 20%. ( ) Se a largura da tela de uma televisão FullHD for 240 cm, então sua altura será de 135 cm. RESOLUÇÃO: ( ) Se a altura for aumentada em 20%, então, para manter a proporção de 16:9, a largura também deverá ser aumentada em 20%. Seja L a largura e A a altura da televisão original. Sabemos que estas medidas estão na proporção de 16:9, ou seja, L ------------------------------- A 16 -----------------------------9 9L = 16A A = 9L/16

Aumentando a altura em 20%, a nova altura será 1,2A. Assim, para manter a proporção, a nova largura (X) será: X ------------------------------- 1,2A 16 -----------------------------9 9X = 16x1,2A X = 16 x 1,2 (9L/16) / 9 X = 1,2L 98036882434

Portanto, a largura também precisará aumentar em 20%. Item CORRETO.

( ) Se a largura da tela de uma televisão FullHD for 240 cm, então sua altura será de 135 cm. Aqui temos: L 16 = A 9 240 16 = A 9







!

A = 135cm

Item CORRETO. Resposta: C C

30. CESPE – INPI – 2013) Considere um reservatório de formato cilíndrico com volume de 60 m3 que esteja conectado a um cano para enchê-lo. Sabendo que a vazão do cano é definida como sendo o volume de água que sai do cano por segundo, julgue os itens seguintes. ( ) Se o reservatório encontra-se vazio e o cano tem uma vazão de 40 dm3 por segundo, então serão necessários 30 minutos para que o tanque fique cheio. ( ) Se, em um cano com 10 cm de raio, a vazão é de 50.000 cm3por segundo e aumenta em 10% para cada centímetro a mais no raio do cano, então, para encher o reservatório em 1.000 segundos, o cano precisará ter 12 cm de raio. ( ) Se, com determinada vazão, são necessárias 3 horas para encher completamente um reservatório com volume de 60 m3, então, ao reduzir-se em 10% essa vazão e substituir-se o reservatório por um novo, com volume 50% maior que o antigo, então o tempo para encher esse novo reservatório aumentará em aproximadamente 67%. ( ) Se o custo para encher esse reservatório de 60.000 dm3 for de R$ 0,03 por segundo, então a utilização de uma vazão de 40.000 mL por segundo será 25% mais econômico que a utilização de uma vazão de 0,0125 m3 por segundo. RESOLUÇÃO: ( ) Se o reservatório encontra-se vazio e o cano tem uma vazão de 40 dm3 por segundo, então serão necessários 30 minutos para que o tanque fique cheio. 98036882434

Sabemos que o cano permite ar 40dm3 de água em 1 segundo. Vejamos em quanto tempo esse cano permite preencher 60m3, lembrando que 60m3 = 60000dm3: 40dm3 ---------------------- 1 segundo 60000dm3 ---------------------- T 40T = 60000 T = 1500 segundos = 1500/60 minutos = 25 minutos

Item ERRADO.



! de raio, a vazão é de 50.000 cm3por segundo e ( ) Se, em um cano com 10 cm



aumenta em 10% para cada centímetro a mais no raio do cano, então, para encher o reservatório em 1.000 segundos, o cano precisará ter 12 cm de raio. Veja que 50000cm3 = 50dm3. Aumentando em 2cm o raio (de 10 para 12cm), a vazão aumenta em 10% + 10% = 20%, ou seja, chega a 60dm3. Assim, em 1000 segundos, serão preenchidos 60 x 1000 = 60000dm3, que é a capacidade total do reservatório. Item CORRETO.

( ) Se, com determinada vazão, são necessárias 3 horas para encher completamente um reservatório com volume de 60 m3, então, ao reduzir-se em 10% essa vazão e substituir-se o reservatório por um novo, com volume 50% maior que o antigo, então o tempo para encher esse novo reservatório aumentará em aproximadamente 67%. Para encher o tanque de 60m3 em 3 horas é preciso uma vazão de 60/3 = 20m3 por hora. Reduzindo-se essa vazão em 10%, chegamos a 20 x 0,9 = 18m3 por hora. Aumentando o volume do reservatório em 50%, chegamos a 1,5 x 60 = 90m3. O tempo para encher o reservatório de 90m3 com vazão de 18m3 por hora é: 18m3 ---------------- 1 hora 90m3 ---------------- X X =5 horas

O tempo de enchimento aumentou em 2 horas. Em relação ao tempo inicial de 3 horas, este aumento é de 2/3 = 0,67 = 67%. Item CORRETO. 98036882434

( ) Se o custo para encher esse reservatório de 60.000 dm3 for de R$ 0,03 por segundo, então a utilização de uma vazão de 40.000 mL por segundo será 25% mais econômico que a utilização de uma vazão de 0,0125 m3 por segundo. Inicialmente vamos converter a unidades de vazão: 40.000mL = 40L = 40dm3 por segundo 0,0125m3 = 12,5dm3 por segundo

O tempo de preenchimento do reservatório com cada vazão é: 60.000 / 40 = 1500segundos 60.000 / 12,5 = 4800segundos



!



O custo de enchimento em cada caso é: 1500 x 0,03 = 45 reais 4800 x 0,03 = 144 reais

Assim, utilizando-se a vazão de 40.000mL por segundo temos uma economia de 144 – 45 = 99 reais. Esta economia representa, em relação aos 144 reais gastos com a vazão de 0,0125m3 por segundo: P = 99 / 144 = 0,6875 = 68,75%

Item ERRADO. Resposta: E C C E

31. CESPE – INPI – 2013) Uma multinacional detentora da patente de três produtos A, B e C licenciou esses produtos para serem comercializados em quatro países, a saber, P1, P2, P3 e P4. Em cada país, o percentual é cobrado por cada unidade comercializada, conforme a tabela abaixo.

Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. ( ) Se 1.000.000 de unidades do produto B forem vendidas no país P2 a R$ 5,00 cada e no país P4 for vendido o mesmo número de unidades do produto B, mas a US$ 3,00 cada, com a cotação US$ 1,00 = R$ 2,04, então os valores recebidos pela 98036882434

multinacional no país P2 será pelo menos 30% maior que os valores recebidos no país P4. ( ) Suponha que o produto B seja vendido nos países P1 e P3 a R$ 2,00 por unidade. Se forem vendidas 1.000 unidades no país P3, então, para que o lucro no país P1 seja 20% maior que em P3, é preciso vender 1.600 unidades no país P1. ( ) Sabendo que a multinacional comercializou 3.100.000 unidades dos produtos A, B e C no país P1 e que a quantidade de unidades vendidas do produto A foi 20% maior que a do produto B, e a quantidade de unidades vendidas do produto C foi 10% menor que a de B, então, se o produto C for vendido a R$ 2,00 cada, o valor



! a patente desse produto no país P1 foi de R$ recebido pela multinacional com



1.800,00. ( ) Se no país P4 for vendido um número X de unidades do produto A, com um preço Y, e no país P3 for vendido 10% a mais de unidades que em P4, no mesmo preço, então o lucro em P4 será, aproximadamente, 33% menor que em P3. RESOLUÇÃO: ( ) Se 1.000.000 de unidades do produto B forem vendidas no país P2 a R$ 5,00 cada e no país P4 for vendido o mesmo número de unidades do produto B, mas a US$ 3,00 cada, com a cotação US$ 1,00 = R$ 2,04, então os valores recebidos pela multinacional no país P2 será pelo menos 30% maior que os valores recebidos no país P4. O total vendido em cada país é dado pela multiplicação entre o preço unitário de venda e a quantidade vendida. Multiplicando-se este valor pelo percentual recebido pela multinacional, temos o total por ela recebido. Calculando o valor recebido em cada país: P2 (produto B) = 1.000.000 x 5 x 5% = 250.000 reais P4 (produto B) = 1.000.000 x 3 x 3% = 90.000 dólares

Repare que o valor recebido em P4 encontra-se em dólares, pois o preço unitário é de US$3,00. Considerando que 1 dólar é igual a 2,04 reais, temos: 1 dólar ------------------------- 2,04 reais 90.000 dólares ----------- X reais X = 183600 reais 98036882434

O valor recebido em P2 é 66400 reais maior que o recebido em P4. Em relação aos 183600 recebidos em P4, essa diferença corresponde a: P = 66400 / 183600 = 0,36 = 36%

Item CORRETO, pois o enunciado diz que a diferença será “pelo menos” 30% maior.

( ) Suponha que o produto B seja vendido nos países P1 e P3 a R$ 2,00 por unidade. Se forem vendidas 1.000 unidades no país P3, então, para que o lucro no país P1 seja 20% maior que em P3, é preciso vender 1.600 unidades no país P1.



O lucro em P3 é:

!



P3 = 1000 x 2 x 2% = 40 reais

Um lucro 20% maior corresponde a 1,2 x 40 = 48 reais. Para isso, temos: P4 = unidades x 2 x 1,5% 48 = unidades x 2 x 1,5% Unidades = 1600 Item CORRETO.

( ) Sabendo que a multinacional comercializou 3.100.000 unidades dos produtos A, B e C no país P1 e que a quantidade de unidades vendidas do produto A foi 20% maior que a do produto B, e a quantidade de unidades vendidas do produto C foi 10% menor que a de B, então, se o produto C for vendido a R$ 2,00 cada, o valor recebido pela multinacional com a patente desse produto no país P1 foi de R$ 1.800,00. Chamando de A, B e C as quantidades vendidas de cada um desses produtos, vemos que A = 1,2B (ou seja, A é 20% maior que B) e C = 0,9B (ou seja, C é 10% menor que B). Como a soma é igual a 3.100.000 unidades, temos: A + B + C = 3.100.000 1,2B + B + 0,9B = 3100000 3,1B = 3100000 B = 1000000 unidades

Logo, 98036882434

A = 1,2B = 1200000 unidades C = 0,9B = 900000 unidades

O valor recebido pela multinacional com a venda de C é: Valor = 900.000 x 2 x 1% = 18.000 reais

Item ERRADO.



! ( ) Se no país P4 for vendido um número X de unidades do produto A, com um



preço Y, e no país P3 for vendido 10% a mais de unidades que em P4, no mesmo preço, então o lucro em P4 será, aproximadamente, 33% menor que em P3. Já vimos que: Valor recebido = unidades x preço unitário x porcentagem

Assim, se em P4 são vendidas X unidades ao preço Y do produto A, cuja porcentagem é 1%, temos: Valor recebido em P4 = X.Y.1% = 0,01XY

Se em P3 for vendido 10% a mais de unidades (1,1X) no mesmo preço Y, o lucro será: Valor recebido em P3 = 1,1X.Y.3% = 0,033XY

Assim, o lucro em P4 em relação ao lucro em P3 é: 0,01XY / 0,033XY = 0,01 / 0,033 = 0,30 = 30%

Portanto, o lucro em P4 é aproximadamente igual a 30% do lucro em P3. Isto é, trata-se de um lucro 70% menor do que o lucro em P3. Item ERRADO. Resposta: C C E E

32. CESPE – INPI – 2013) Considere que a e b sejam, respectivamente, as quantidades de patentes registradas, anualmente, pelas empresas A e B, e que 98036882434

essas quantidades satisfaçam, em qualquer ano, as inequações –a2 + 26a −160 0 e –b2 + 36b − 320 0. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir. ( ) Se cada quantidade, prevista na solução da inequação da empresa B, foi registrada em algum ano, então, em algum momento, a empresa B fez o registro de 19 unidades. ( ) A menor quantidade de patentes, registradas pela empresa A, em determinado ano, foi de 8 patentes. ( ) Se, em determinado ano, as duas empresas registraram a mesma quantidade de patentes, então essa foi igual a 16 unidades.



! ( ) Se, em determinado ano, as duas empresas registraram as quantidades máximas



de patentes previstas pelas inequações, então conclui-se que, nesse ano, a soma da quantidade de patentes foi igual a 36 unidades. ( ) Considerando que, até o final do mês de outubro de determinado ano, a empresa B tenha registrado a patente de 10 produtos, então pode-se concluir que, nos dois últimos meses daquele ano, a empresa registrou a patente de, no máximo, 2 novos produtos. RESOLUÇÃO: ( ) Se cada quantidade, prevista na solução da inequação da empresa B, foi registrada em algum ano, então, em algum momento, a empresa B fez o registro de 19 unidades. Vamos obter o conjunto-solução da inequação B: –b2 + 36b − 320 0

Começamos igualando a zero para obter as raízes: –b2 + 36b − 320 = 0

b=

−36 ± 362 − 4.(−1).(−320) 2.(−1) b=

−36 ± 16 −2

b=

−36 ± 4 −2

b = 20 ou b = 16 Como esta inequação tem a concavidade voltada pra baixo (afinal o termo b2 98036882434

tem como coeficiente o valor negativo -1), ela só será maior ou igual a zero entre as raízes 16 e 20. Isto é, o conjunto solução é: S = {b ∈ |16 ≤ b ≤ 20}

O número16 encontra-se no intervalo entre 16 e 20, logo é uma quantidade de patentes que já pode ter sido registrada pela empresa em algum ano. Item CORRETO.



! ( ) A menor quantidade de patentes, registradas pela empresa A, em determinado



ano, foi de 8 patentes. No caso da empresa A temos: –a2 + 26a −160 0

Começamos igualando a zero para obter as raízes: –a2 + 26a −160 = 0

−26 ± 262 − 4.(−1).(−160) a= 2.(−1) a=

−26 ± 36 2.(−1)

a=

−26 ± 6 −2

a = 16 ou a = 10 Como esta inequação tem a concavidade voltada pra baixo (afinal o termo a2 tem como coeficiente o valor negativo -1), ela só será maior ou igual a zero entre as raízes 10 e 16. Isto é, o conjunto solução é: S = {a ∈ |10 ≤ a ≤ 16}

Observe que o valor a = 8 patentes se encontra fora deste intervalo, não fazendo parte do conjunto de soluções possíveis da inequação. Item ERRADO.

Note que bastaria testarmos a = 8 diretamente na inequação. Com isso, 98036882434

obteríamos um absurdo: –a2 + 26a −160 0 –82 + 26.8 −160 0 -16 0 Isto confirma que a inequação NÃO é atendida pelo valor a = 8.

( ) Se, em determinado ano, as duas empresas registraram a mesma quantidade de patentes, então essa foi igual a 16 unidades.



! Observe que o conjunto-solução da inequação de A vai de 10 a 16, e o de B





vai de 16 a 20. O único valor em comum é 16 unidades. Item CORRETO.

( ) Se, em determinado ano, as duas empresas registraram as quantidades máximas de patentes previstas pelas inequações, então conclui-se que, nesse ano, a soma da quantidade de patentes foi igual a 36 unidades. CORRETO, pois os valores máximos são 16 e 20, totalizando 36 unidades.

( ) Considerando que, até o final do mês de outubro de determinado ano, a empresa B tenha registrado a patente de 10 produtos, então pode-se concluir que, nos dois últimos meses daquele ano, a empresa registrou a patente de, no máximo, 2 novos produtos. ERRADO. O conjunto solução da inequação B nos mostra que esta empresa registra de 16 a 20 patentes no ano. Se ela tiver registrado apenas 10 até outubro, ela registrará entre 6 e 10 patentes no restante do ano, para obter um valor entre 16 e 20 unidades. Resposta: C E C C E

33. CESPE – INPI – 2013) Considere que em um escritório de patentes, a quantidade mensal de pedidos de patentes solicitadas para produtos da indústria alimentícia tenha sido igual à soma dos pedidos de patentes mensais solicitadas para produtos de outra natureza. Considere, ainda, que, em um mês, além dos produtos da indústria alimentícia, tenham sido requeridos pedidos de patentes de mais dois tipos de produtos, X e Y, com quantidades dadas por x e y, 98036882434

respectivamente. Supondo que T seja a quantidade total de pedidos de patentes requeridos nesse escritório, no referido mês, julgue os itens seguintes. ( ) Se T = 128, então as quantidades x e y são tais que x + y = 64, com 0 x 64. ( ) Se, em determinado mês, a quantidade de pedidos de patentes do produto X foi igual ao dobro da quantidade de pedidos de patentes do produto Y, então a quantidade de pedidos de patentes de produtos da indústria alimentícia foi o quádruplo da quantidade de pedidos de patentes de Y. ( ) Se T = 128 e a quantidade x foi 18 unidades a mais do que a quantidade y, então a quantidade y foi superior a 25. RESOLUÇÃO:

! ( ) Se T = 128, então as quantidades x e y são tais que x + y = 64, com 0 x 64.



Seja “a” a quantidade de pedidos de patentes da indústria alimentícia. Foi dito que este total é igual à soma dos demais pedidos, que são x e y, ou seja, a=x+y

O total de pedidos é: T = a + x + y = a + a = 2a

Como T = 128, temos 128 = 2a a = 64

Logo, x + y = a = 64. De fato é preciso que x esteja entre 0 e 64, afinal y não pode ser um número negativo (pois se trata de pedidos de patentes). Item CORRETO.

( ) Se, em determinado mês, a quantidade de pedidos de patentes do produto X foi igual ao dobro da quantidade de pedidos de patentes do produto Y, então a quantidade de pedidos de patentes de produtos da indústria alimentícia foi o quádruplo da quantidade de pedidos de patentes de Y. Sendo x o dobro de y, ou seja, x =2y, temos que: a=x+y a = 2y + y a = 3y 98036882434

Assim, as patentes da indústria alimentícia (“a”) são o TRIPLO das patentes de Y. Item ERRADO.

( ) Se T = 128 e a quantidade x foi 18 unidades a mais do que a quantidade y, então a quantidade y foi superior a 25. Já vimos que, se T = 128, temos que x + y = 64. Agora foi dito ainda que: x = y + 18

Substituindo x por y + 18, temos:





!

x + y = 64 (y + 18) + y = 64 y = 23 unidades

Item ERRADO. Resposta: C E E

34. CESPE – INPI – 2013) Considerando que, em determinado dia, a quantidade de homens e mulheres, em um shopping center, entre 10 h e 20 h, seja dada, respectivamente, pelas expressões y = 5t + 200 e x = 3t + 234, em que t seja a hora correspondente, julgue os itens que se seguem. ( ) A cada hora, a quantidade de homens aumenta 20 unidades a mais do que a quantidade de mulheres. ( ) A quantidade de pessoas no shopping center, às 20 h, é superior à quantidade de pessoas às 10 h. ( ) Ao longo do dia em questão, a quantidade de homens dentro do shopping aumentou, enquanto que a quantidade de mulheres no shopping diminuiu. ( ) A quantidade de homens no shopping torna-se igual à quantidade de mulheres antes das 18 h. RESOLUÇÃO: ( ) A cada hora, a quantidade de homens aumenta 20 unidades a mais do que a quantidade de mulheres. Vejamos as quantidades de homens e mulheres em t = 10 horas e também 1 hora depois, isto é, t = 11 horas: y = 5t + 200 = 5.10 + 200 = 250 homens às 10 horas 98036882434

x = 3t + 234 = 3.10 + 234 = 264 mulheres às 10 horas

y = 5t + 200 = 5.11 + 200 = 255 homens às 11 horas x = 3t + 234 = 3.11 + 234 = 267 mulheres às 11 horas

Portanto, o número de homens aumentou em 5 unidades e o de mulheres em 3 unidades. Repare que estes são justamente os coeficientes da variável “t”. Item ERRADO.



! ( ) A quantidade de pessoas no shopping center, às 20 h, é superior à quantidade de



pessoas às 10 h. CORRETO. Repare que as duas equações são retas crescentes, onde o coeficiente que multiplica a variável “t” é positivo. Assim, à medida que o tempo t a, a quantidade de pessoas no shopping aumenta.

( ) Ao longo do dia em questão, a quantidade de homens dentro do shopping aumentou, enquanto que a quantidade de mulheres no shopping diminuiu. ERRADO. Ambas são crescentes.

( ) A quantidade de homens no shopping torna-se igual à quantidade de mulheres antes das 18 h. Para que essas quantidades sejam iguais, é preciso que x seja igual a y, isto é: x=y 3t + 234 = 5t + 200 234 – 200 = 5t – 3t 34 = 2t t = 17horas

CORRETO, pois as quantidades se igualaram às 17h. Resposta: E C E C

35. CESPE – INPI – 2013) Considere que, em determinado período, a quantidade 98036882434

de refrigeradores no estoque de uma loja e a quantidade de unidades vendidas sejam dadas, respectivamente, pelas funções f(x) = x2 + bx + c, e g(x) = x + a, em que 0 x 10. Considere, ainda, que a quantidade de refrigeradores no estoque da loja no início do dia x seja igual à quantidade que existia no final do dia x –1 e que o gráfico dessas funções está ilustrado na figura abaixo.





!



Com base na situação hipotética acima e nas informações contidas na figura, julgue os itens subsequentes. ( ) A quantidade de refrigeradores, no estoque da loja, no início do primeiro dia do período considerado, era superior a 40 unidades. ( ) O valores de b e c satisfazem a relação b2 – 4c > 0. ( ) A equação f(x) – g(x) = 0 possui uma única raiz real. ( ) No período analisado, o estoque da loja teve a menor quantidade de refrigeradores ao final do 10.º dia daquele período. ( ) Durante o período considerado, a quantidade de refrigeradores vendidos foi superior à quantidade de unidades disponíveis no estoque por um período de 5 dias. ( ) Os valores de a e c satisfazem a relação c – a = 25. RESOLUÇÃO: ( ) A quantidade de refrigeradores, no estoque da loja, no início do primeiro dia do período considerado, era superior a 40 unidades. CORRETO. No momento inicial (x = 0) temos y = 54 unidades no estoque. 98036882434

Basta olhar a curva “f” no gráfico. ( ) O valores de b e c satisfazem a relação b2 – 4c > 0. Observe que a função f(x) possui coeficientes a = 1 (multiplicando x2), b e c. Assim, o “delta” ( ∆ ) desta equação é: ∆ = b2 – 4.a.c = b2 – 4.1.c = b2 – 4c

Note que a função f não cruza o eixo horizontal, isto é, não possui raízes reais. Isto só ocorre quando o “delta” é negativo, isto é,





∆<0



!

b2 – 4c < 0

Item ERRADO.

( ) A equação f(x) – g(x) = 0 possui uma única raiz real. Para que f(x) – g(x) = 0, é preciso que f(x) = g(x). Note que o único ponto no gráfico onde essas duas funções se cruzam (isto é, são iguais), é para x = 5. Logo, este item está CORRETO.

( ) No período analisado, o estoque da loja teve a menor quantidade de refrigeradores ao final do 10.º dia daquele período. ERRADO. Note que a curva “f” tem o seu valor mínimo pouco antes de x = 5 dias.

( ) Durante o período considerado, a quantidade de refrigeradores vendidos foi superior à quantidade de unidades disponíveis no estoque por um período de 5 dias. ERRADO. A curva do estoque (f) é superior à curva de vendas (g) ao longo de todo o período.

( ) Os valores de a e c satisfazem a relação c – a = 25. Para resolver este item precisamos conhecer os coeficientes de f(x) e g(x). Vejamos como obtê-los: 98036882434

No gráfico de g(x), note que quando x = 0 temos g(0) = 29. Isto é, g(0) = 0 + a = 29 a = 29 Logo, g(x) = x + 29.

No gráfico de f(x) vimos que para x = 0 temos f(0) = 54, logo: f(0) = 02 + b.0 + c = 54 c = 54 Assim, temos a = 29 e c = 54, de modo que c – a = 54 – 29 = 25. Item CORRETO.



!



Caso fosse necessário obter o coeficiente b, bastaria notar que, para x = 5, f(x) e g(x) possuem o mesmo valor. Ou seja, f(5) = g(5) 52 + b.5 + 54 = 5 + 29 25 + 5b + 54 = 34 b = -9 Portanto, f(x) = x2 -9x + 54. Resposta: C E C E E C 36. CESPE – INPI – 2013) Acerca da função f(x) = ax2 + bx + c, em que a variável x e as constantes a, b e c são números reais, julgue os itens a seguir. ( ) Se a<0, então a inequação ax2 + bx + c ≥ 0 não tem solução, independentemente dos valores de b e c. ( ) Se os pontos P(0,2), Q(1,5) e R(-1,1) estiverem sobre o gráfico da função f(x), então o ponto T(-2,2) também estará sobre o gráfico de f(x). RESOLUÇÃO: ( ) Se a<0, então a inequação ax2 + bx + c ≥ 0 não tem solução, independentemente dos valores de b e c. ERRADO. Basta que a função f(x) possua raízes reais para que a inequação tenha solução. Como já vimos, para que f(x) possua raízes reais, é preciso que o seu “delta” seja maior ou igual a zero, isto é, b2 – 4ac ≥ 0 98036882434

Esta condição pode ser atendida mesmo que tenhamos a < 0.

( ) Se os pontos P(0,2), Q(1,5) e R(-1,1) estiverem sobre o gráfico da função f(x), então o ponto T(-2,2) também estará sobre o gráfico de f(x). Com os pontos fornecidos podemos obter os coeficientes a, b e c da função. Vejamos:

P(0,2) para x = 0, temos f(x) = f(0) = 2 f(0) = a.02 + b.0 + c = 2 c = 2





!

f(1) = 5 Q(1,5) para x = 1, temos f(x) =

f(1) = a.12 + b.1 + 2 = 5 a + b = 3 R(-1,1) para x = -1, temos f(x) = f(-1) = 1 f(-1) = a.(-1)2 + b.(-1) + 2 = 1 a – b = -1 a = b – 1 Com as equações a + b = 3 e a = b – 1, podemos escrever (b – 1) + b = 3 b=2

Logo, a = b – 1 = 2 - 1 = 1. Portanto, temos a função: f(x) = x2 + 2x + 2

Para verificar se o ponto T(-2, 2) faz parte da função, vejamos qual é o valor de f(-2): f(-2) = (-2)2 + 2.(-2) + 2 = 4 – 4 + 2 = 2

Portanto, f(-2) = 2, de modo que o ponto T está sobre o gráfico da função. Item CORRETO. Resposta: E C

37. ESAF – AFRFB – 2009) Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando ainda que dois cones pesariam o 98036882434

mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera? a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1 RESOLUÇÃO: Vamos escrever equações a partir das informações do enunciado: - A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone: Esfera + Cubo = Cone



!



- A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide: Esfera = Cubo + Pirâmide ou seja, Esfera – Cubo = Pirâmide

- Dois cones pesariam o mesmo que três pirâmides: 2 x Cone = 3 x Pirâmide

Como o enunciado quer uma relação entre o Cubo e a Esfera, vamos tentar chegar a uma equação contendo apenas essas duas figuras. Na última equação, podemos substituir “Cone” por “Esfera + Cubo”, de acordo com a primeira equação. Da mesma forma, podemos substituir “Pirâmide” por “Esfera – Cubo”, de acordo com a segunda equação. Assim: 2 x (Esfera + Cubo) = 3 x (Esfera – Cubo) 2 x Esfera + 2 x Cubo = 3 x Esfera – 3 x Cubo 3 x Cubo + 2 x Cubo = 3 x Esfera – 2 x Esfera 5 x Cubo = Esfera

Logo, a esfera pesa o mesmo que 5 cubos. Resposta: B

38. ESAF – AFT – 2003) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do 98036882434

mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é: a) 50 b) 10 c) 20 d) 40 e) 70



RESOLUÇÃO:

!



Seja C o número de cães, G o número de gatos, Cc os cães que agem como cães, Cg os cães que agem como gatos, Gc os gatos que agem como cães e Gg os gatos que agem como gatos. O número de gatos é igual a 10, ou seja, G = 10. Destes, 90% (ou seja, 9) agem como gatos, isto é, Gg = 9, e os demais agem como cães, portanto Gc = 1. 90% dos cães agem como cães, e 10% agem como gatos, isto é: Cc = 0,9C Cg = 0,1C

Assim, o número de animais que agem como gatos é: Cg + Gg = 0,1C + 9

E o número de animais que agem como cães é: Cc + Gc = 0,9C + 1

O total de animais na clínica é igual a C + G. Assim, se 20% dos animais agem como gatos: 20% x (C + G) = 0,1C + 9 0,2C + 0,2G = 0,1C + 9 0,1C = 9 – 0,2G C = 90 – 2G Como G = 10: 98036882434

C = 90 – 2 x 10 C = 70 cães Resposta: E

39. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) 0, se x é um número racional f ( 6) − f ( 16) é: , o valor de Seja f ( x ) = f (3,2) + f ( 8 )

x − 2, se x é um número irracional a)

3 −1

b) 2 3 − 1



!



c)

6

d)

6 −1



e) 2 RESOLUÇÃO: Sabemos que 6 e 8 não possuem raiz quadrada exata. Portanto,

6 e

8

são irracionais. Seguindo a regra dada pelo enunciado ( f ( x ) = x − 2 , para x irracional), temos: f ( 6) = 6 − 2 e f ( 8) = 8 − 2 Sabemos que

16 é igual a 4, que é um número racional. Da mesma forma,

3,2 também é racional. Portanto, seguindo a regra do enunciado (f(x) = 0, se x é racional), teremos: f ( 16 ) = 0 e f (3,2) = 0 Logo, a expressão

f ( 6) − f ( 16) f (3,2) + f ( 8 )

f ( 6) − f ( 16 ) f (3,2) + f ( 8 ) Notando que

=

pode ser trabalhada da seguinte forma:

( 6 − 2) − 0 0 + ( 8 − 2)

6 = 3×2 = 3 × 2 , e

6− 2 8− 2

=

3× 2− 2 2 2− 2

= 98036882434

=

6− 2 8− 2

8 = 4 × 2 = 2 × 2 , temos:

2( 3 − 1) 2

=

( 3 − 1) = 3 −1 1

Resposta: A. 40. FGV – CAERN – 2010) Em um cofrinho há R$6,00 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos. A quantidade de moedas de 10 centavos é um múltiplo de 7. Quantas moedas de 10 centavos há a mais do que moedas de 25 centavos? a) 32 b) 25 c) 18





d) 11

!



e) 4 RESOLUÇÃO: Como o número de moedas de 10 centavos é múltiplo de 7, vamos dizer que temos “7N” moedas de 10 centavos, e M moedas de 25 centavos. Ao todo, sabemos que temos 6 reais, isto é:

6 = 7N x 0,10 + M x 0,25 6 = 0,7N + 0,25M

Não temos mais informações, mas sabemos que N e M devem ser números naturais (afinal não há número negativo de moedas, ou fracionário). Para simplificar as contas, podemos multiplicar ambos os lados da equação acima por 4 (pois 0,25 x 4 = 1). Veja: 4 × 6 = 4 × 0,7N + 4 × 0,25M 24 = 2,8N + M M = 24 − 2,8N

Podemos, agora, ir testando valores para N (1, 2, 3, 4, 5 etc.) até obter um número natural para M. Se N = 1, temos:

M = 24 – 2,8 x 1 = 21,2

Veja que N não pode ser 1, pois com isso M seria um número fracionário. Testando outros valores de N, veja o que acontece quando N = 5: 98036882434

M = 24 – 2,8 x 5 = 24 – 14 = 10

Portanto, N = 5 e M = 10. Isto é, temos 10 moedas de 25 centavos e 7N, isto é, 35 moedas de 10 centavos. Veja que isso totaliza 6 reais:

10 x 0,25 + 35 x 0,10 = 2,5 + 3,5 = 6



! Assim, a diferença entre o número de moedas de 10 e de 25 centavos é de





35 – 10 = 25 (letra B). Resposta: B

41. FGV – SEFAZ/RJ – 2011) A soma de dois números é 120, e a razão entre o menor e o maior é 1/2. O menor número é (A) 20 . (B) 25 . (C) 30 . (D) 35 . (E) 40 . RESOLUÇÃO: Sejam A e B os dois números do enunciado. A soma deles é 120:

A + B = 120

E a razão entre eles é de 1/2. Considerando que A é o menor deles, então:

A 1 = , portanto B = 2A B 2

Substituindo B por 2A na primeira equação, temos:

A + 2A = 120 3A = 120 98036882434

A = 40

Resposta: E

42. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) Os irmãos Pedro e Paulo estudam no 8º ano do Ensino Fundamental e entraram em uma papelaria para comprar lápis e canetas de que precisavam para o semestre. As canetas que compraram foram todas do mesmo preço. Os lápis que compraram foram também todos do mesmo preço. Pedro comprou 2 canetas e 5 lápis e pagou R$16,50. Paulo comprou 3



! canetas e 2 lápis e pagou também R$16,50. Assim, quem comprar 1 caneta e um



lápis, iguais aos comprados pelos irmãos, pagará: a) R$6,00 b) R$6,20 c) R$6,50 d) R$6,75 e) R$6,90 RESOLUÇÃO: Temos duas variáveis nessa questão: o preço do lápis, que chamaremos de L, e o preço da caneta, que chamaremos de C. Para descobri-las, precisamos de 2 equações, que foram fornecidas pelo enunciado. Veja: - Pedro comprou 2 canetas e 5 lápis e pagou R$16,50. Matematicamente, podemos escrever a frase acima como: 2 × C + 5 × L = 16,50

- Paulo comprou 3 canetas e 2 lápis e pagou também R$16,50. Ou seja, 3 × C + 2 × L = 16,50

Temos, portanto, 2 equações e duas variáveis, montando o sistema linear abaixo: 2 × C + 5 × L = 16,50 3 × C + 2 × L = 16,50 98036882434

Para resolvê-lo usaremos o método da substituição, que consiste em isolar uma variável em uma equação e substituí-la na outra. Vamos isolar L na primeira equação: 2 × C + 5 × L = 16,50 5 × L = 16,50 − 2 × C 16,50 − 2 × C L= 5

Substituindo a expressão encontrada acima na segunda equação, temos:





!

3 × C + 2 × L = 16,50 16,50 − 2 × C 3 ×C + 2×

= 16,50 5 15C + 2 × (16,50 − 2C ) = 82,5 15C + 33 − 4C = 82,5 11C = 49,5 C = 4,5

Como o preço da caneta é C = 4,5, podemos substituir esse valor em qualquer das equações para obter o valor de L: 16,50 − 2 × C 5 16,50 − 2 × 4,5 L= 5 7,50 L= = 1,50 5 L=

Portanto, quem comprar 1 caneta e 1 lápis pagará 4,50 + 1,50 = 6,00.

Resposta: A. 0,3 x + 1,2y = 2,4 o valor de x é: 43. CEPERJ – SEEDUC – 2009) No sistema 0,5 x − 0,8 y = −0,9 a) 1 b) -1 c) 0 d) 2

98036882434

e) 2/3

RESOLUÇÃO: Para facilitar as contas, podemos multiplicar os dois lados das duas equações por 10. Veja:

3 x + 12y = 24 5 x − 8 y = −9

Vamos isolar a variável y na primeira equação:







y=

!

24 − 3 x 8 − x = 12 4

Substituindo na segunda equação, podemos obter x: 5 x − 8 y = −9 8−x ) = −9 4 5 x − 2 × (8 − x ) = −9 5x − 8 × (

5 x − 16 + 2 x = −9 7x = 7 x =1

Resposta: A.

44. CEPERJ – SEEDUC – 2009) A equação x 2 + bx + c = 0 possui raízes 3 e 5. Então, b+c é igual a: a) 7 b) 10 c) 15 d) 19 e) 23

RESOLUÇÃO: Veja na equação do enunciado que a = 1. Sendo r1 e r2 as duas raízes de uma equação de segundo grau, essa equação pode ser escrita da seguinte forma: a × ( x − r 1)( x − r 2) = 0 98036882434

Portanto, a equação do enunciado pode ser escrita como: 1× ( x − 3)( x − 5) = 0

Desenvolvendo essa equação, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, temos:

( x − 3)( x − 5) = 0 x 2 − 5 x − 3 x + 15 = 0 x 2 − 8 x + 15 = 0





!



Comparando a última linha acima com x 2 + bx + c = 0 , vemos que b = -8, e que c = 15. Assim, b + c = -8 + 15 = 7.

Resposta: A. 45. CEPERJ – PREF. BELFORD ROXO – 2011) O ponto A (m 2 − 2m − 15, −2) pertence ao eixo Y, e o ponto B (3, m 2 − 7m + 10) pertence ao eixo x. O valor de m é: a) -2 b) -3 c) 5 d) 2 e) 7

RESOLUÇÃO: Essa questão é interessante pois envolve conhecimentos de plano cartesiano e de equações de segundo grau. Se o ponto A pertence ao eixo Y, o valor da sua coordenada X deve ser igual a zero. Portanto,

m 2 − 2m − 15 = 0 Podemos usar a fórmula de Báskara para resolver a equação acima, onde a = 1, b = -2 e c = -15:

m=

−b ± b 2 − 4ac 2a

m=

−( −2) ± ( −2)2 − 4(1)( −15) 2(1) 98036882434

m=

2 ± 4 + 60 2 ± 8 = = 1± 4 2 2

Portanto existem 2 valores possíveis para m: 5 (isto é, 1+4) e -3 (1-4). Ainda não sabemos qual valor de m é a resposta do exercício, o que nos obriga a analisar outras informações. Como o enunciado disse que o ponto B está no eixo X, isso indica que a sua coordenada Y tem valor igual a zero. Logo,





!

m 2 − 7m + 10 = 0 m=

−b ± b 2 − 4ac 2a

m=

−( −7) ± ( −7)2 − 4(1)(10) 2(1)

m=

7 ± 49 − 40 7 ± 3 = 2 2

Da expressão acima, os valores possíveis para m são 5 e -2. Veja que somente o valor m = 5 atende às duas condições dadas pelo enunciado. Portanto, essa deve ser a resposta. Resposta: C.

46. CEPERJ – PREF. ITABORAÍ – 2011) Um vendedor ambulante compra uma caixa de bombons por R$100,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar 10 bombons e aumentar o preço da dezena em R$5,00. Então, o número original de bombons na caixa era: a) 31 b) 37 c) 40 d) 50 e) 51 RESOLUÇÃO: Seja P o preço que o vendedor paga em cada bombom, e D o número de dezenas de bombons em uma caixa. Portanto, o valor total que o vendedor paga em 98036882434

uma caixa é dado pela multiplicação do número D pelo preço P: D x P = 100 reais

Ao retirar 10 bombons (1 dezena), sobram D – 1 dezenas de bombons na caixa. Entretanto, o preço da dezena é aumentado em R$5,00. Portanto, o preço a a ser P + 5. Como essa caixa é vendida por 100 reais, podemos dizer que a multiplicação da nova quantidade (D – 1) pelo novo preço (P – 5) é igual a 100 também: (D – 1) x (P + 5) = 100





!



Veja que temos 2 equações e duas variáveis (D e P). Vamos utilizar o método da substituição, isolando a variável P na primeira equação: P = 100/D

E, a seguir, substituindo P pela expressão encontrada acima, na segunda equação: (D − 1) × (P + 5) = 100 100 + 5) = 100 D 100 − 5 = 100 100 + 5D − D 100D + 5D 2 − 100 − 5D = 100D (D − 1) × (

5D 2 − 5D − 100 = 0 D 2 − D − 20 = 0 Veja que temos uma equação de segundo grau com a variável D. Vamos usar a fórmula de Báskara para obter os valores possíveis para D:

D 2 − D − 20 = 0 −( −1) ± ( −1)2 − 4 × 1× ( −20) D= 2 ×1 1 ± 1 + 80 1 ± 9 = D= 2 2

Portanto, os valores que D pode assumir são: D=

98036882434

1+ 9 =5 2 ou

D=

1− 9 = −4 2

Como D é o número de dezenas de bombons, só pode ser um número positivo. Portanto, havia na caixa D = 5 dezenas, isto é, 50 unidades.

Resposta: D.



! 47. FGV – MEC – 2008) Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos



os homens fossem retirados da sala, as mulheres ariam a representar 80% dos restantes. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens ariam a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total de pessoas na sala, as crianças correspondem a: (A) 12,5% (B) 17,5% (C) 20% (D) 22,5% (E) 25% RESOLUÇÃO: Chamemos de H, M e C o número de homens, mulheres e crianças, respectivamente. Se saírem todos os homens da sala, sobram M + C pessoas. Desta quantidade, M representa 80%. Isto é: M = 80% x (M + C) M = 0,8M + 0,8C 0,2M = 0,8C M = 4C

Se saírem todas as mulheres da sala, sobram H + C pessoas. Desta quantidade, H representa 75%, ou seja: H = 75% x (H + C) 0,25H = 0,75C H = 3C 98036882434

Portanto, o total de pessoas na sala é de: H + M + C = 3C + 4C + C = 8C

Veja que 8C corresponde ao total, isto é, 100% das pessoas na sala. Assim, podemos montar a proporção abaixo para descobrir o percentual X que as crianças (C) representam: 8C ------------------100% C --------------------X



! Efetuando a multiplicação cruzada (nas diagonais), temos:





8C x X = C x 100% 8X = 1 X = 1/8 = 0,125 = 12,5% Assim, as crianças representam 12,5% do total de pessoas que estavam inicialmente na sala. Resposta: A

48. FGV – PREF. CONTAGEM – 2011)

Considere o conjunto A =

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, e a sentença aberta em A: p(x) = x2 – 5x + 6 = 0. Marque a alternativa abaixo que contém o conjunto dos elementos que satisfazem a sentença aberta p(x). (A) {0,5} (B) {2,4} (C) {3,5} (D) {2,3} RESOLUÇÃO: Devemos substituir x por cada um dos números do conjunto A para verificar se eles satisfazem a igualdade. Por outro lado, podemos calcular as raízes de p(x) através da fórmula de Báskara: x=

−( −5) ± 25 − 4 × 6 × 1 5 ± 1 = 2 ×1 2

Portanto, temos x1 = 3 e x2 = 2, como vemos na letra D. 98036882434

Resposta: D 49. FGV – PREF. CONTAGEM – 2011) Seja p( x ) : 3 x − 7 ≥ x + 3 uma sentença aberta em A = {-7,-5,-3,-2,2,3,5,7}. . Marque a alternativa abaixo que contém o conjunto dos elementos que verificam a sentença aberta . (A) {-7,-5} (B) {-3,-2} (C) {2,3}





(D) {5,7}

!



RESOLUÇÃO: Se 3 x − 7 ≥ x + 3 , então: 3x − x ≥ 3 + 7 2 x ≥ 10 x≥5 Como apenas os elementos da letra D são maiores ou iguais a 5, este é o gabarito.

Resposta: D

50. ESAF – ISS/RJ – 2010) Dois números a e b, a 0, b 0 e b > a, formam uma razão tal que = b/a = (a+b)/b. Calcule o valor mais próximo de . a) 1,618 b) 1,732 c) 1,707 d) 1,5708 e) 1,667

RESOLUÇÃO: Vamos manipular a igualdade:

b ( a + b) = a b b × b = ( a + b) × a b 2 = a 2 + ab 98036882434

a + ab − b 2 = 0 2

Podemos considerar que b seja uma constante, e obter o valor da variável “a” aplicando a fórmula de Báskara:

a=

−b ± b 2 − 4 × 1 × ( −b 2 ) 2 ×1

−b ± 5b2 a= 2







−b ± b 5 2

a=

a = b×

Usando a aproximação

!

−1 ± 5 2

5 ≅ 2, 25 , temos:

a = b×

−1 ± 2, 25 2

a = 0,625b ou a = -1,625b

Considerando a = 0,625b, temos: = b/a = b / 0,625b = 1 / 0,625 = 1,6

Temos, aproximadamente, o resultado da alternativa A. Se você utilizar uma aproximação melhor para a raiz de 5, terá um resultado ainda mais próximo.

Note que, se considerássemos a = -1,625b, teríamos = -0,615, que não figura entre as alternativas de resposta. Resposta: A

51. ESAF – ATRFB – 2009) Em um determinado período de tempo, o valor do dólar americano ou de R$ 2,50 no início para R$ 2,00 no fim do período. Assim, com relação a esse período, pode-se afirmar que: 98036882434

a) O dolar se desvalorizou 25% em relação ao real. b) O real se valorizou 20% em relação ao dólar. c) O real se valorizou 25% em relação ao dólar. d) O real se desvalorizou 20% em relação ao dólar. e) O real se desvalorizou 25% em relação ao dólar. RESOLUÇÃO: Observe que o preço de 1 dólar era R$2,50 e ou para R$2,00. Considerando que o valor inicial corresponde a 100%, vamos usar uma regra de três para verificar quanto representa o valor final: R$ 2,50 ---------------------------- 100%

! ---------------------------- X R$ 2,00





X = 2 x 100% / 2,50 = 0,80 = 80%

Portanto, o dólar ou a valer apenas 80% de seu valor inicial, ou seja, ele sofreu uma desvalorização de 20%. Não temos essa alternativa.

Por outro lado, vejamos quanto valia 1 real no início do período: R$2,50 -------------------------------- 1 dólar R$ 1,00 ------------------------------- X dólares

X x 2,50 = 1 x 1 X = 1 / 2,50 = 0,40 dólares

Da mesma forma, vamos calcular quanto valia 1 real no final do período: R$2,00 -------------------------------- 1 dólar R$ 1,00 ------------------------------- X dólares

X x 2,00 = 1 x 1 X = 1 / 2,00 = 0,50 dólares

Portanto, 1 real valia 0,40 dólares e ou a valer 0,50 dólares ao fim do período considerado. Considerando que o preço inicial representa 100%, temos: 0,40 dólares --------------- 100% 98036882434

0,50 dólares --------------- X

X x 0,40 = 0,50 x 100% X = 125%

Isto é, ao final do período o real valia 125% do seu valor inicial. Isto significa que ele sofreu uma valorização de 25%. Resposta: C



! 52. FCC – PREF. SÃO GONÇALO – 2011 Adaptada) Uma caixa d’água tem 2,4m3



de volume. A caixa está vazia, e uma torneira começa a enchê-la a uma razão constante de 15 litros por minuto. O tempo em que a torneira deve ficar aberta para que a caixa fique cheia é de: a) 2 horas b) 2 horas e 20 minutos c) 2 horas e 40 minutos d) 3 horas e) 3 horas e 30 minutos RESOLUÇÃO: Veja que o volume da caixa está em metros cúbicos, enquanto a vazão (quantidade de água que jorra da torneira por minuto) está em litros. Devemos trabalhar com apenas 1 unidade. Neste caso, vamos transformar 2,4m3 em litros. Veja: 1m3------------------------------------------1000 litros 2,4m3-------------------------------------------X litros 1× X = 2,4 × 1000 X = 2400litros Agora sim, observe que a torneira é capaz de encher 15 litros em 1 minuto. Para calcular o tempo que ela leva para encher 2400 litros, usamos a regra de três abaixo: 15 litros ---------------------------------------- 1 minuto 98036882434

2400 litros ------------------------------------ T minutos 15 × T = 2400 × 1 T =

2400 = 160min. 15

Portanto, a torneira leva 160 minutos para encher a caixa. Entretanto, as respostas estão em horas e minutos. Sabemos que 60 minutos correspondem a 1 hora, 120 minutos a 2 horas, e 180 minutos a 3 horas. Portanto, temos 2 horas e mais 40 minutos (letra C). Você poderia ter usado regras de três, se preferisse. Veja:



! 1 hora -----------------------------60 minutos





X horas-----------------------------160 minutos X=

160 120 + 40 40 = = 2+ horas 60 60 60

Agora basta separar a parte inteira (2 horas) e fazer a seguinte regra de três com a parte fracionária: 1 hora------------------------------- 60 minutos

40 horas--------------------------- M minutos 60 M=

40 × 60 = 40min. 60

Portanto, temos 2 horas e 40 minutos. Resposta: C

53. FGV – CAERN – 2010) Analise as afirmativas a seguir: I–

6 é maior do que

5 2

II – 0,555... é um número racional III – Todo número inteiro tem um antecessor Assinale: a) Se somente as afirmativas I e III estiverem corretas b) Se somente a afirmativa II estiver correta c) Se somente as afirmativas I e II estiverem corretas 98036882434

d) Se somente a afirmativa I estiver correta e) Se somente as afirmativas II e III estiverem corretas RESOLUÇÃO: Vamos comentar cada alternativa:

I–

6 é maior do que

5 2

Vamos assumir que essa afirmativa é verdadeira e testá-la. Se

6>

5 , 2

então, elevando os dois lados ao quadrado:



!





( 6)

2

6>

5 >

2

2

25 4

6 × 4 > 25 24 > 25 Veja que 24 > 25 é um absurdo. Portanto, só se pode concluir uma coisa: 6<

5 , ou seja, a alternativa I é falsa. 2

II – 0,555... é um número racional

0,555... ou 0,5 é uma dízima periódica. Como vimos no tópico 1.5.3 desta aula, as dízimas periódicas também são números racionais, pois podem ser escritos na forma

A , onde A e B são números inteiros. Por mera curiosidade (pois acho B

muito difícil isso cair na sua prova), deixo abaixo a maneira de chegar na fração que é equivalente à dízima periódica 0,555... . Chamemos de

A essa fração. Então, B

podemos dizer que:

A 1 A − = 0,555... − 0,0555... = 0,5 B 10 B 10 A − 1A = 0,5 10B 9A = 0,5 10B 10 50 A = 0,5 × = B 9 9 98036882434

Ou seja,

50 = 0,555... , o que faz dessa dízima um número racional. Essa 9

alternativa está correta.

III – Todo número inteiro tem um antecessor De fato, todo número inteiro tem um antecessor. Basta visualizar a reta numérica, e veremos que para cada número inteiro n, existe um número inteiro n-1, que é o seu antecessor:



!



Assim, essa alternativa também está correta. Resposta: E.

54. CEPERJ – PREFEITURA DE BELFORD ROXO – 2011) Os números x e y são tais que 10 ≤ x ≤ 30 e 40 ≤ y ≤ 60 . O maior valor possível da expressão

a)

1 2

b)

3 4

c)

1 4

d)

2 3

e)

1 6

x é: y

RESOLUÇÃO: O maior valor possível para

x é obtido quando o numerador (x) é o maior y

valor possível e o denominador (y) é o menor valor possível. Como 10 ≤ x ≤ 30 , o maior valor possível de x é 30. E, sendo 40 ≤ y ≤ 60 , o menor valor possível para y é 40. Logo, temos: 98036882434

x 30 3 = = y 40 4 Resposta: B. ********************** Fim de aula. Até o nosso próximo encontro! Saudações, Prof. Arthur Lima





!

3. LISTA DE QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA

1. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) Antônio recebeu seu salário. As contas pagas consumiram a terça parte do que recebeu, e a quinta parte do restante foi gasta no supermercado. Se a quantia que sobrou foi de R$440,00, o valor recebido por Antonio foi de: a) R$780,00 b) R$795,00 c) R$810,00 d) R$825,00 e) R$840,00

2. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2011) Os professores de uma escola combinaram almoçar juntos após a reunião geral do sábado seguinte pela manhã, e o transporte até o restaurante seria feito pelos automóveis de alguns professores que estavam no estacionamento da escola. Terminada a reunião, constatou-se que: • Com 5 pessoas em cada carro, todos os professores podem ser transportados e 2 carros podem permanecer no estacionamento. • Se 2 professores que não possuem carro desistirem, todos os carros podem transportar os professores restantes, com 4 pessoas em cada carro. O número total de professores na reunião era: A) 40 B) 45 C) 50 D) 55

98036882434

E) 60

3. VUNESP – ISS/SJC – 2012) Em uma sala, o número de meninos excede o número de meninas em três. O produto do número de meninos pelo número de meninas é um número que excede o número total de alunos em 129. O total de alunos nessa sala é (A) 25. (B) 27. (C) 30.



(D) 32.

!



(E) 36.

4. ESAF – AFRFB – 2009) Considere as inequações dadas por: f ( x ) = x 2 − 2 x + 1 ≤ 0 e g ( x ) = −2 x 2 + 3 x + 2 ≥ 0 Sabendo-se que A é o conjunto solução de f(x) e B é o conjunto solução de g(x), então o conjunto Y = A ∩ B é igual a: 1 a) Y = x ∈ R | − < x ≤ 2 2 1 b) Y = x ∈ R | − ≤ x ≤ 2 2

c) Y = { x ∈ R | x = 1} d) Y = { x ∈ R | x ≥ 0} e) Y = { x ∈ R | x ≤ 0} 5. CEPERJ – SEEDUC – 2009) Considere a função f : N → N tal que f(0)=0, e f (n + 1) = f (n ) + n + 1 para todo n ∈ N . O valor de f(4) é: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 13 98036882434

6. CEPERJ – SEE/RJ – 2011) Se f ( x ) =

2 , a raiz da equação f f ( x ) = 10 é: x −1

a) 1/3 b) 4/3 c) 5/3 d) 7/3 e) 8/3



! 7. CEPERJ – PREF. ITABORAI – 2011) Sobre os gráficos das funções



f : ℜ → ℜ ( ℜ é o conjunto dos números reais) definida por f ( x ) = x e g : ℜ → ℜ

definida por g ( x ) = x 2 − 3 x + 2 , é correto afirmar que se interceptam em: a) Um único ponto de abscissa positiva b) Um único ponto de abscissa negativa c) Dois pontos distintos com abscissas de sinais contrários d) Dois pontos distintos com abscissas de mesmo sinal e) Mais de dois pontos

08. FGV – BESC – 2004) Quantos mililitros há em um milímetro cúbico? (A) 103 (B) 1 (C) 10−3 (D) 10−6 (E) 10−9

09. VUNESP – SEAP/SP – 2012) Valdomiro cronometrou as voltas que correu em uma pista de 400 m e anotou os tempos na tabela a seguir.

Pode-se afirmar que o tempo médio dessas quatro voltas foi, em segundos, de (A) 80.

98036882434

(B) 82. (C) 84. (D) 86. (E) 88.

10. FCC – METRÔ/SP – 2012) Ana tem em um cofrinho exatamente: 7 moedas de 1 real, 48 de 50 centavos, 53 de 25 centavos e 29 de 10 centavos. Se Ana pretende totalizar a quantia de 50 reais e, para tal, adicionar quaisquer tipos de moedas às que já tem, então a quantidade mínima de moedas que deverá usar é





(A) 4.

!



(B) 5. (C) 6. (D) 7. (E) 8.

11. CESPE – TJ/RR – 2012) Considere as seguintes definições:

I. os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores inteiros positivos de n, exceto o próprio n; II. um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n; III. dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos divisores próprios do outro.

Com base nessas definições, julgue os itens que seguem.

( ) O número 28 é um número perfeito. ( ) Os números 284 e 220 são números amigos. ( ) Se um número é maior que 1, então o conjunto dos seus divisores próprios tem, pelo menos, 2 elementos. ( ) Nenhum número primo é um número perfeito.

12. CESPE – TJ/RR – 2012) A caixa d’água de um hospital tem a forma de um cilindro circular reto com 10 metros de altura e capacidade para 30.000 litros de 98036882434

água. Considere que essa caixa d’água, completamente vazia, foi enchida à vazão constante e, 100 minutos depois de iniciado o enchimento, a água atingiu a altura de 3 metros. Com base nessas informações e supondo que nenhuma torneira abastecida pela caixa seja aberta durante o processo de enchimento, julgue os itens a seguir.

( ) Quando a água no interior da caixa atingiu 3 metros de altura, mais de 10.000 litros de água haviam sido despejados na caixa. ( ) Para que a caixa fique completamente cheia, serão necessárias mais de 5 horas.



! ( ) O tempo necessário para que a água no interior da caixa d’água atinja



determinada altura é proporcional a essa altura.

13. CESPE – CORREIOS – 2011) Considere que, das correspondências que um carteiro deveria entregar em determinado dia, 5/8 foram entregues pela manhã, 1/5 à tarde e 14 ficaram para ser entregues no dia seguinte. Nessa situação, a quantidade de correspondências entregue pelo carteiro naquele dia foi igual a A 98. B 112. C 26. D 66. E 82.

14. CESPE – CORREIOS – 2011) Em determinado dia, todas as correspondências recebidas na agência dos Correios da cidade Alfa destinavam-se apenas a moradores dos bairros X, Y e Z. Ao bairro X foi destinada metade das correspondências recebidas na agência menos 30 correspondências; ao bairro Y foi destinada a terça parte das correspondências restantes, isto é, depois de retiradas as do bairro X, e mais 70 correspondências; o bairro Z recebeu 180 correspondências. O total de correspondências recebidas, nesse dia, na agência dos Correios da cidade Alfa foi: A) superior a 680 e inferior a 700. B) superior a 700 e inferior a 720. C) superior a 720. 98036882434

D) inferior a 660. E) superior a 660 e inferior a 680.

15. CESPE – CORREIOS – 2011) Considere que sejam cobrados R$ 5,00 para o envio de uma carta comercial simples e uma carta comercial registrada, ambas de até 20g, e R$ 11,10 para o envio de 3 cartas comerciais simples e 2 registradas, todas de até 20g. Nessa situação, a diferença entre o preço cobrado para o envio de uma carta comercial registrada e o cobrado para o envio de uma carta comercial simples, ambas de até 20g, é de





A R$ 2,60.

!



B R$ 2,70. C R$ 2,80. D R$ 2,90. E R$ 2,50.

16. CESPE – BASA – 2012) A matemática financeira é o ramo da Matemática que se dedica a estudar as operações financeiras, entendendo-se estas como interações entre dois agentes: o financiador, que empresta uma quantia C0 — o principal —, ao outro, o tomador, em determinado momento bem definido, esperando recebê-la mais tarde, acrescida de uma remuneração. A forma de devolução do principal acrescido de remuneração depende da combinação entre tomador e financiador, que consiste em determinar uma função crescente C(t), medida em reais, que determine o valor do dinheiro t meses após o empréstimo e tal que C(0) = C0. Supondo que, na negociação entre os dois agentes, o principal acompanhado da remuneração a ser devolvido ao financiador seja expresso pela função

C(t) = 3.000(1 + 0,01t2), julgue os itens seguintes.

( ) O tempo, em meses, necessário para que o valor do principal acompanhado de remuneração seja o dobro do principal será superior a 12 meses

17. CESPE – CORREIOS – 2011) Um cliente comprou, em uma agência dos Correios, selos comemorativos dos 150 anos do nascimento do padre Landell de Moura e dos 150 anos de fundação da Caixa Econômica Federal (CAIXA). Para o 98036882434

pagamento desses produtos, o cliente entregou certa quantia em reais e notou que 3 do padre Landell de Moura e 1 da CAIXA.

Nessa situação, com relação à quantia entregue para pagamento, o troco a que faz jus o cliente corresponde a a) 20%. b) 5%. c) 8%.



d) 10%.

!



e) 12%.

18. CESPE – CORREIOS – 2011) Considerando-se que 3 caixas de encomenda do tipo 2B e 3 caixas de encomenda do tipo flex correios custem, ao todo, R$ 12,00 e que 5 caixas do tipo 2B e 10 do tipo flex correios custem, ao todo, R$ 28,00, é correto afirmar que uma caixa do tipo 2B custa a) R$ 2,40. b) R$ 3,15. c) R$ 3,20. d) R$ 1,20. e) R$ 2,00.

19. CESPE – CORREIOS – 2011) Em uma empresa, os empregados têm direito a descanso remunerado de um dia a cada 15 dias trabalhados. Em determinado ano, os dias trabalhados e os dias de descanso somaram 224 dias.

Com base nessa situação, é correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de dias de descanso desses empregados foi a) superior a 16 e inferior a 20. b) superior a 20 e inferior a 24. c) superior a 24. d) inferior a 12. e) superior a 12 e inferior a 16. 98036882434

20. CESPE – TRE/ES – 2011) Com relação a problemas aritméticos e matriciais, cada um dos próximos itens apresenta uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada. ( ) Se em um município que tem 2.500 eleitores, a votação dura 10 horas, cada seção eleitoral possui apenas uma urna, todos os eleitores votam e cada eleitor leva 1 minuto e meio para votar, então, nesse município serão necessárias, no mínimo, 7 seções eleitorais. ( ) Se, em um município, as seções eleitorais X, Y e Z têm, juntas, 1.500 eleitores; os tempos médios de votação nessas seções são 1 minuto e 30 segundos, 2

! minutos e 1 minuto por eleitor, respectivamente; o tempo médio de votação nas três



seções é de 2.175 minutos; e o número de eleitores da seção Y é igual à metade da soma do número de eleitores das seções X e Z, então, nesse caso, a seção eleitoral que tem o maior número de eleitores é a X.

21. CESPE – TRE/ES – 2011) Apesar da pressão sobre os parlamentares para diminuir ou não aprovar o percentual de reajuste dos seus próprios salários, deputados e senadores aprovaram proposta de aumento de 62%. Com isso, eles arão a ganhar R$ 26,7 mil, fora os valores de verbas de gabinete, indenizatórias, de cotas de agens, telefone e despesas médicas, que, somados, ultraam R$ 100 mil por mês. Internet: <www.correioweb.com.br> (com adaptações).

Tendo como referência o texto acima, julgue os itens que se seguem. ( ) O salário dos parlamentares, antes do reajuste referido no texto, era superior a R$ 16,5 mil.

22. CESPE – IBAMA – 2012) Um órgão de controle, ao aplicar sanções contra empresas petroleiras cujas atividades resultem em agressão ao meio ambiente, determina o valor da multa, em reais, de modo proporcional ao volume de petróleo derramado, em barris, ao tempo de duração do derramamento, em semanas, e à área da região afetada, em quilômetros quadrados. Assim, se determinada empresa petroleira deixar vazar, por três semanas, quatro mil barris de petróleo bruto, causando a contaminação de 950 km2 de superfície marítima, será, em decorrência 98036882434

disso, multada em R$ 5.000.000,00. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. ( ) Considere que, após acidente com um navio petroleiro, que resultou no derramamento de dezenove mil barris de petróleo, afetando uma área de 120 km2, os técnicos da empresa à qual esse navio pertence tenham levado uma semana para conter o derramamento. Nessa situação, a multa a ser aplicada pelo órgão de controle será superior a R$ 900.000,00. ( ) Caso, depois de estancado um vazamento, o petróleo derramado avance por uma área correspondente a 10% da área inicialmente afetada, o valor da multa



! recebida pela empresa aumentará 10% em relação ao valor que seria estabelecido



no momento do estanque.

23. CESPE – IBAMA – 2012) Sabendo que o governo federal ofereceu aos servidores públicos uma proposta de reajuste salarial de 15,8% parcelado em três vezes, com a primeira parcela para 2013 e as demais para os anos seguintes, julgue os itens a seguir. ( ) Um servidor federal com salário de R$ 10.000,00 em 2012, ará a receber, em 2015, após a concessão da última parcela de reajuste, salário inferior a R$11.500,00.

24. CESPE – IBAMA – 2012) Em uma repartição, 4.000 processos permaneceram sem andamento devido a problema técnico na rede de computadores. Para resolver esse problema, o chefe da repartição direcionou 1/4 dos servidores para fazer uma triagem nos processos, classificando-os em média ou baixa complexidade e em alta complexidade. O chefe, então, disponibilizou 2/5 dos servidores para a análise dos processos de média ou baixa complexidade e 70 servidores para a análise dos processos de alta complexidade, de forma que todos os servidores ficaram ocupados com essas atividades. Após seis semanas de trabalho, havia ainda 3.520 processos aguardando triagem e análise. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. ( ) Caso, após a conclusão da triagem dos 4.000 processos, os servidores responsáveis por essa atividade sejam direcionados à análise dos processos de alta complexidade, o número de servidores realizando tal análise será menor que o 98036882434

dobro daqueles que analisam processos de média ou baixa complexidade. ( ) Mais servidores da repartição foram direcionados para a triagem dos processos do que para a análise de processos de média ou baixa complexidade. ( ) A repartição possui um total de 200 servidores. ( ) Após seis semanas de trabalho, mais de 90% dos processos ainda aguardavam triagem e análise. ( ) Caso o ritmo de trabalho permaneça igual ao das seis primeiras semanas, os funcionários da repartição levarão mais de um ano, contado do início dos trabalhos, para completar a triagem e a análise dos 4.000 processos.



! 25. CESPE – INPI – 2013) Em um processo de pedido de patentes de um novo



equipamento consta um desenho esquemático, desse mesmo equipamento, na escala 1:200. Com base nessa informação, julgue os itens a seguir. ( ) Se o raio do parafuso no referido desenho for 0,05 cm, então o raio do parafuso real será 1 cm.

26. CESPE – INPI – 2013) Considerando que o custo de produção de um refrigerante em lata seja R$ 0,50 por unidade produzida e que essa mesma latinha seja vendida a R$ 2,50, julgue os itens seguintes. ( ) Se o custo de produção de cada refrigerante for reduzido em 40%, mantendo-se o mesmo valor de venda do produto, então o lucro por latinha aumentará 20%. ( ) O preço de custo do refrigerante em lata representa 20% do valor de sua venda. ( ) É necessário vender 15 refrigerantes para obter-se um lucro líquido de R$ 30,00

27. CESPE – INPI – 2013) Tendo em vista que um relator analise 3 relatórios em 2 horas e que todos os relatores tenham essa mesma eficiência, julgue os itens subsequentes. ( ) Para analisar 47 relatórios em uma hora e meia, serão necessários 20 relatores. ( ) Se, para cada 5 relatórios analisados, 3 são descartados e 2 são aprovados, então, de um total de 300 relatórios, 180 serão aprovados e 120 descartados. ( ) Em 4 horas, 5 relatores irão analisar um total de 30 relatórios.

28. CESPE – INPI – 2013) Sabendo que, para produzir 5 unidades de determinado produto, é necessário 2 operários trabalhando 6 horas por dia durante 3 dias, julgue 98036882434

os itens seguintes. ( ) Considere que exista a necessidade de produção de 20 unidades do produto em 10 dias de trabalho. Nessa situação hipotética, necessita-se de 2 operários trabalhando 8 horas por dia para cumprir essa tarefa. ( ) É possível produzir 50 unidades em 3 dias, utilizando somente 4 operários.

29. CESPE – INPI – 2013) Em televisões FullHD, a proporção entre a largura e a altura da tela é 16:9. Com base nessa informação, julgue os itens a seguir. ( ) Se a altura for aumentada em 20%, então, para manter a proporção de 16:9, a largura também deverá ser aumentada em 20%.

! ( ) Se a largura da tela de uma televisão FullHD for 240 cm, então sua altura será de



135 cm.

30. CESPE – INPI – 2013) Considere um reservatório de formato cilíndrico com volume de 60 m3 que esteja conectado a um cano para enchê-lo. Sabendo que a vazão do cano é definida como sendo o volume de água que sai do cano por segundo, julgue os itens seguintes. ( ) Se o reservatório encontra-se vazio e o cano tem uma vazão de 40 dm3 por segundo, então serão necessários 30 minutos para que o tanque fique cheio. ( ) Se, em um cano com 10 cm de raio, a vazão é de 50.000 cm3por segundo e aumenta em 10% para cada centímetro a mais no raio do cano, então, para encher o reservatório em 1.000 segundos, o cano precisará ter 12 cm de raio. ( ) Se, com determinada vazão, são necessárias 3 horas para encher completamente um reservatório com volume de 60 m3, então, ao reduzir-se em 10% essa vazão e substituir-se o reservatório por um novo, com volume 50% maior que o antigo, então o tempo para encher esse novo reservatório aumentará em aproximadamente 67%. ( ) Se o custo para encher esse reservatório de 60.000 dm3 for de R$ 0,03 por segundo, então a utilização de uma vazão de 40.000 mL por segundo será 25% mais econômico que a utilização de uma vazão de 0,0125 m3 por segundo.

31. CESPE – INPI – 2013) Uma multinacional detentora da patente de três produtos A, B e C licenciou esses produtos para serem comercializados em quatro países, a saber, P1, P2, P3 e P4. Em cada país, o percentual é cobrado por cada unidade 98036882434

comercializada, conforme a tabela abaixo.

Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. ( ) Se 1.000.000 de unidades do produto B forem vendidas no país P2 a R$ 5,00 cada e no país P4 for vendido o mesmo número de unidades do produto B, mas a US$ 3,00 cada, com a cotação US$ 1,00 = R$ 2,04, então os valores recebidos pela



! multinacional no país P2 será pelo menos 30% maior que os valores recebidos no



país P4. ( ) Suponha que o produto B seja vendido nos países P1 e P3 a R$ 2,00 por unidade. Se forem vendidas 1.000 unidades no país P3, então, para que o lucro no país P1 seja 20% maior que em P3, é preciso vender 1.600 unidades no país P1. ( ) Sabendo que a multinacional comercializou 3.100.000 unidades dos produtos A, B e C no país P1 e que a quantidade de unidades vendidas do produto A foi 20% maior que a do produto B, e a quantidade de unidades vendidas do produto C foi 10% menor que a de B, então, se o produto C for vendido a R$ 2,00 cada, o valor recebido pela multinacional com a patente desse produto no país P1 foi de R$ 1.800,00. ( ) Se no país P4 for vendido um número X de unidades do produto A, com um preço Y, e no país P3 for vendido 10% a mais de unidades que em P4, no mesmo preço, então o lucro em P4 será, aproximadamente, 33% menor que em P3.

32. CESPE – INPI – 2013) Considere que a e b sejam, respectivamente, as quantidades de patentes registradas, anualmente, pelas empresas A e B, e que essas quantidades satisfaçam, em qualquer ano, as inequações –a2 + 26a −160 0 e –b2 + 36b − 320 0. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir. ( ) Se cada quantidade, prevista na solução da inequação da empresa B, foi registrada em algum ano, então, em algum momento, a empresa B fez o registro de 19 unidades. ( ) A menor quantidade de patentes, registradas pela empresa A, em determinado ano, foi de 8 patentes. 98036882434

( ) Se, em determinado ano, as duas empresas registraram a mesma quantidade de patentes, então essa foi igual a 16 unidades. ( ) Se, em determinado ano, as duas empresas registraram as quantidades máximas de patentes previstas pelas inequações, então conclui-se que, nesse ano, a soma da quantidade de patentes foi igual a 36 unidades. ( ) Considerando que, até o final do mês de outubro de determinado ano, a empresa B tenha registrado a patente de 10 produtos, então pode-se concluir que, nos dois últimos meses daquele ano, a empresa registrou a patente de, no máximo, 2 novos produtos.



! 33. CESPE – INPI – 2013) Considere que em um escritório de patentes, a



quantidade mensal de pedidos de patentes solicitadas para produtos da indústria alimentícia tenha sido igual à soma dos pedidos de patentes mensais solicitadas para produtos de outra natureza. Considere, ainda, que, em um mês, além dos produtos da indústria alimentícia, tenham sido requeridos pedidos de patentes de mais dois tipos de produtos, X e Y, com quantidades dadas por x e y, respectivamente. Supondo que T seja a quantidade total de pedidos de patentes requeridos nesse escritório, no referido mês, julgue os itens seguintes. ( ) Se T = 128, então as quantidades x e y são tais que x + y = 64, com 0 x 64. ( ) Se, em determinado mês, a quantidade de pedidos de patentes do produto X foi igual ao dobro da quantidade de pedidos de patentes do produto Y, então a quantidade de pedidos de patentes de produtos da indústria alimentícia foi o quádruplo da quantidade de pedidos de patentes de Y. ( ) Se T = 128 e a quantidade x foi 18 unidades a mais do que a quantidade y, então a quantidade y foi superior a 25.

34. CESPE – INPI – 2013) Considerando que, em determinado dia, a quantidade de homens e mulheres, em um shopping center, entre 10 h e 20 h, seja dada, respectivamente, pelas expressões y = 5t + 200 e x = 3t + 234, em que t seja a hora correspondente, julgue os itens que se seguem. ( ) A cada hora, a quantidade de homens aumenta 20 unidades a mais do que a quantidade de mulheres. ( ) A quantidade de pessoas no shopping center, às 20 h, é superior à quantidade de pessoas às 10 h. 98036882434

( ) Ao longo do dia em questão, a quantidade de homens dentro do shopping aumentou, enquanto que a quantidade de mulheres no shopping diminuiu. ( ) A quantidade de homens no shopping torna-se igual à quantidade de mulheres antes das 18 h.

35. CESPE – INPI – 2013) Considere que, em determinado período, a quantidade de refrigeradores no estoque de uma loja e a quantidade de unidades vendidas sejam dadas, respectivamente, pelas funções f(x) = x2 + bx + c, e g(x) = x + a, em que 0 x 10. Considere, ainda, que a quantidade de refrigeradores no estoque da



! loja no início do dia x seja igual à quantidade que existia no final do dia x –1 e que o



gráfico dessas funções está ilustrado na figura abaixo.

Com base na situação hipotética acima e nas informações contidas na figura, julgue os itens subsequentes. ( ) A quantidade de refrigeradores, no estoque da loja, no início do primeiro dia do período considerado, era superior a 40 unidades. ( ) O valores de b e c satisfazem a relação b2 – 4c > 0. ( ) A equação f(x) – g(x) = 0 possui uma única raiz real. ( ) No período analisado, o estoque da loja teve a menor quantidade de refrigeradores ao final do 10.º dia daquele período. ( ) Durante o período considerado, a quantidade de refrigeradores vendidos foi superior à quantidade de unidades disponíveis no estoque por um período de 5 dias. ( ) Os valores de a e c satisfazem a relação c – a = 25. 36. CESPE – INPI – 2013) Acerca da função f(x) = ax2 + bx + c, em que a variável x 98036882434

e as constantes a, b e c são números reais, julgue os itens a seguir. ( ) Se a<0, então a inequação ax2 + bx + c ≥ 0 não tem solução, independentemente dos valores de b e c. ( ) Se os pontos P(0,2), Q(1,5) e R(-1,1) estiverem sobre o gráfico da função f(x), então o ponto T(-2,2) também estará sobre o gráfico de f(x).

37. ESAF – AFRFB – 2009) Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o



! mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando ainda que dois cones pesariam o



mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera? a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1

38. ESAF – AFT – 2003) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é: a) 50 b) 10 c) 20 d) 40 e) 70

39. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) 0, se x é um número racional f ( 6) − f ( 16) , o valor de é: Seja f ( x ) = f (3,2) + f ( 8 )

x − 2, se x é um número irracional 98036882434

a)

3 −1

b) 2 3 − 1 c)

6

d)

6 −1

e) 2

40. FGV – CAERN – 2010) Em um cofrinho há R$6,00 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos. A quantidade de moedas de 10 centavos é um múltiplo de 7. Quantas moedas de 10 centavos há a mais do que moedas de 25 centavos?



a) 32

!



b) 25 c) 18 d) 11 e) 4

41. FGV – SEFAZ/RJ – 2011) A soma de dois números é 120, e a razão entre o menor e o maior é 1/2. O menor número é (A) 20 . (B) 25 . (C) 30 . (D) 35 . (E) 40 .

42. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) Os irmãos Pedro e Paulo estudam no 8º ano do Ensino Fundamental e entraram em uma papelaria para comprar lápis e canetas de que precisavam para o semestre. As canetas que compraram foram todas do mesmo preço. Os lápis que compraram foram também todos do mesmo preço. Pedro comprou 2 canetas e 5 lápis e pagou R$16,50. Paulo comprou 3 canetas e 2 lápis e pagou também R$16,50. Assim, quem comprar 1 caneta e um lápis, iguais aos comprados pelos irmãos, pagará: a) R$6,00 b) R$6,20 c) R$6,50 98036882434

d) R$6,75 e) R$6,90 0,3 x + 1,2y = 2,4 43. CEPERJ – SEEDUC – 2009) No sistema o valor de x é: 0,5 x − 0,8 y = −0,9 a) 1 b) -1 c) 0 d) 2





e) 2/3

!



44. CEPERJ – SEEDUC – 2009) A equação x 2 + bx + c = 0 possui raízes 3 e 5. Então, b+c é igual a: a) 7 b) 10 c) 15 d) 19 e) 23

45. CEPERJ – PREF. BELFORD ROXO – 2011) O ponto A (m 2 − 2m − 15, −2) pertence ao eixo Y, e o ponto B (3, m 2 − 7m + 10) pertence ao eixo x. O valor de m é: a) -2 b) -3 c) 5 d) 2 e) 7

46. CEPERJ – PREF. ITABORAÍ – 2011) Um vendedor ambulante compra uma caixa de bombons por R$100,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar 10 bombons e aumentar o preço da dezena em R$5,00. Então, o número original de bombons na caixa era: a) 31 b) 37

98036882434

c) 40 d) 50 e) 51

47. FGV – MEC – 2008) Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos os homens fossem retirados da sala, as mulheres ariam a representar 80% dos restantes. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens ariam a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total de pessoas na sala, as crianças correspondem a:





(A) 12,5%

!



(B) 17,5% (C) 20% (D) 22,5% (E) 25%

48. FGV – PREF. CONTAGEM – 2011)

Considere o conjunto A =

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, e a sentença aberta em A: p(x) = x2 – 5x + 6 = 0. Marque a alternativa abaixo que contém o conjunto dos elementos que satisfazem a sentença aberta p(x). (A) {0,5} (B) {2,4} (C) {3,5} (D) {2,3} 49. FGV – PREF. CONTAGEM – 2011) Seja p( x ) : 3 x − 7 ≥ x + 3 uma sentença aberta em A = {-7,-5,-3,-2,2,3,5,7}. . Marque a alternativa abaixo que contém o conjunto dos elementos que verificam a sentença aberta . (A) {-7,-5} (B) {-3,-2} (C) {2,3} (D) {5,7} 98036882434

50. ESAF – ISS/RJ – 2010) Dois números a e b, a 0, b 0 e b > a, formam uma razão tal que = b/a = (a+b)/b. Calcule o valor mais próximo de . a) 1,618 b) 1,732 c) 1,707 d) 1,5708 e) 1,667



! 51. ESAF – ATRFB – 2009) Em um determinado período de tempo, o valor do dólar



americano ou de R$ 2,50 no início para R$ 2,00 no fim do período. Assim, com relação a esse período, pode-se afirmar que: a) O dolar se desvalorizou 25% em relação ao real. b) O real se valorizou 20% em relação ao dólar. c) O real se valorizou 25% em relação ao dólar. d) O real se desvalorizou 20% em relação ao dólar. e) O real se desvalorizou 25% em relação ao dólar. 52. FCC – PREF. SÃO GONÇALO – 2011 Adaptada) Uma caixa d’água tem 2,4m3 de volume. A caixa está vazia, e uma torneira começa a enchê-la a uma razão constante de 15 litros por minuto. O tempo em que a torneira deve ficar aberta para que a caixa fique cheia é de: a) 2 horas b) 2 horas e 20 minutos c) 2 horas e 40 minutos d) 3 horas e) 3 horas e 30 minutos

53. FGV – CAERN – 2010) Analise as afirmativas a seguir: I–

6 é maior do que

5 2

II – 0,555... é um número racional III – Todo número inteiro tem um antecessor 98036882434

Assinale: a) Se somente as afirmativas I e III estiverem corretas b) Se somente a afirmativa II estiver correta c) Se somente as afirmativas I e II estiverem corretas d) Se somente a afirmativa I estiver correta e) Se somente as afirmativas II e III estiverem corretas



! BELFORD ROXO – 2011) Os números x e y são 54. CEPERJ – PREFEITURA DE



tais que 10 ≤ x ≤ 30 e 40 ≤ y ≤ 60 . O maior valor possível da expressão

a)

1 2

b)

3 4

c)

1 4

d)

2 3



1 6

x é: y



98036882434





4. GABARITO



1 D

2 C

3 A

8 C

9 A

10 B

15 C

16 E

17 B

22 CC 23 E

!

4 C

6 E

7 D

11 CCEC

12 ECC 13 D

14 A

18 A

19 E

21 E

24 CECEE 25 E

5 D

20 CE

26 ECC 27 EEC

28 EE

29 CC 30 ECCE 31 CCEE

32 CECCE 33 CEE 34 ECEC 35 CECEEC

36 EC 37 B

38 E

39 A

40 B

41 E

42 A

43 A

44 A

45 C

46 D

47 A

48 D

49 D

50 A

51 C

52 C

53 E

54 B

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