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UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

TAREA 1

PRINCIPIO DEL TEOREMA DE BERNOULLI

 PRESENTADO POR: PAOLO CESAR TABOADA ORE  PROFESOR: ING. ROMEL SILVA HURTADO Cusco – Peru 2019

PRINCIPIO DEL TEOREMA DE BERNOULLI OBJETIVO   

Demostrar la aplicabilidad de la ecuación de Bernoulli en un fluido ideal y no ideal. Investigar el funcionamiento y la utilización del teorema de Bernoulli para facilitar el estudio de la hidrodinámica. Conocer más sobre los equipos del laboratorio de mecánica de fluidos.

Marco Teórico 

La dinámica de los líquidos, está regida por el mismo principio de la conservación de la energía , el cual fue aplicado a los fluidos por el físico – matemático Daniel Bernoulli, obteniendo como resultado una ecuación muy útil en este estudio que se conoce con su mismo apellido.

DEFINICIONES. 

Energía Cinética.- La energía cinética es la energía que un objeto tiene debido a su movimiento. Si queremos acelerar un objeto debemos aplicar una fuerza. Para hacerlo necesitamos realizar un trabajo. Como resultado, transferimos energía al objeto, y este se moverá con una nueva velocidad constante. A la energía transferida la conocemos como energía cinética, y depende de la masa y la velocidad alcanzada. La energía cinética puede transferirse entre objetos y transformarse en otros tipos de energía. Por ejemplo, una ardilla voladora podría chocar con una ardilla inmóvil. Tras la colisión, parte de la energía cinética inicial de la ardilla voladora se habrá transferido a la ardilla en reposo o se habrá transformado en otra forma de energía. 1

Energia cinetica : 𝐾 = 2 𝑚 𝑣 2 

Energia Potencial: La energía potencial es la energía mecánica asociada a la localización de un cuerpo dentro de un campo de fuerzas (gravitatoria, electrostática, etc.) o a la existencia de un campo de fuerzas en el interior de un cuerpo (energía elástica). La energía potencial de un cuerpo es una consecuencia de que el sistema de fuerzas que actúa sobre el mismo sea conservativo. Independientemente de la fuerza que la origine, la energía potencial que posee el sistema físico representa la energía "almacenada" en virtud de su posición y/o configuración, por contraposición con la energía cinética que tiene y que representa su energía debida al movimiento. Para un sistema conservativo, la suma de energía cinética y potencial es constante, eso justifica el nombre de fuerzas conservativas, es decir, aquellas que hacen

que la energía "se conserve". El concepto de energía potencial también puede usarse para sistemas físicos en los que intervienen fuerzas disipativas, y que por tanto no conservan la energía, sólo que en ese caso la energía mecánica total no será constante, y para aplicar el principio de conservación de la energía es necesario contabilizar la disipación de energía. El valor de la energía potencial depende siempre del punto o configuración de referencia escogido para medirla, por esa razón se dice a veces que físicamente sólo importa la variación de energía potencial entre dos configuraciones. La energía potencial interviene como se ha mencionado en el principio de conservación de la energía y su campo de aplicación es muy general. Está presente no solo en la física clásica, sino también de la física relativista y física cuántica. El concepto se ha generalizado también a la física de partículas, donde se han llegado a utilizar potenciales complejos con el objeto de incluir también la energía disipada por el sistema. 

Energía de presión: La presión se define como fuerza por unidad de área. Para describir la influencia sobre el comportamiento de un fluido, usualmente es mas conveniente usar la presión que la fuerza. La unidad estándar de presión es el Pascal, el cual es un Newton por metro cuadrado. Para un objeto descansando sobre una superficie, la fuerza que presiona sobre la superficie es el peso del objeto, pero en distintas orientaciones, podría tener un área de o con la superficie diferente y de esta forma ejercer diferente presión. 𝑃=

𝐹 𝐹. 𝑑 𝑤 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 = = = 𝐴 𝐴. 𝑑 𝑣 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

 Ecuación de Bernoulli: La ecuación de Bernoulli es un estudio sobre el efecto del campo gravitacional sobre un fluido, teniendo en cuenta su viscosidad que es estudiada con otras ecuaciones, con respecto a su altura en un trayecto. Para Usar la ecuación de Bernoulli se deben reunir ciertas condiciones. Tener flujo estable en el sistema. Tener un fluido incompresible o que tenga baja compresibilidad. Se desprecia la friccion ya que esta es muy baja. Se tiene un fluido a lo largo de una tubería o línea corriente. La ecuación para una sección seria: 𝑝1 𝑣 21 + + 𝑔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝 2

La siguiente ecuación es para los dos puntos de referencia mostrada en la figura(respecto a la densidad) 𝑝1 𝑣 21 𝑝1 𝑣 21 + + 𝑔𝑧1 = + + 𝑔𝑧2 𝑝 2 𝑝 2 Si dividimos todo por gravedad(g) obtenemos la ecuación respecto al peso especifico del fluido. 𝑝1 𝑣 21 𝑝1 𝑣 21 + + 𝑧1 = + + 𝑧2 𝑦 2𝑔 𝑦 2𝑔

 ¿QUIEN ES BERNOULLI? Daniel Bernoulli provenía de la saga familiar de Bernoulli, que generó grandes avances matemáticos a lo largo de la historia. Era hijo de Johann Bernoulli y nació en Groninga, Países Bajos, donde su padre era entonces profesor de matemáticas. En 1705, su padre obtiene una plaza en la Universidad de Basilea y la familia regresa a la ciudad suiza de donde era originaria.2 Por deseo de su padre estudió Medicina en la Universidad de Basilea, mientras que a la vez, en su casa, su hermano mayor Nicolau y su padre ampliaban sus conocimientos matemáticos. Daniel finalizó los estudios de Medicina en 1721. En principio intentó entrar como profesor en la Universidad de Basilea, pero fue rechazado. En 1723, ganó la competición anual que patrocinaba la Academia de Ciencias sa. Ese mismo año, el matemático prusiano Christian Goldbach, después de quedar impresionado por el nivel matemático de Bernoulli, decide publicar la correspondencia que habían mantenido. En 1724, las cartas publicadas se habían extendido por todo el mundo, y Catalina I de Rusia le propuso ser profesor de la recién fundada Academia de Ciencias de San Petersburgo. Su padre logró que la oferta se ampliara también a su hermano Nicolau, que moriría de tuberculosis en San Petersburgo en 1726. En la Academia, Daniel trabajó en la cátedra de Física. Permaneció ocho años en San Petersburgo y su labor fue muy reconocida. Durante ese tiempo compartió vivienda con el también gran matemático Leonhard Euler, que había llegado a la Academia recomendado por el propio Daniel y al que ya conocía por ser un aventajado alumno de su padre en la Universidad de Basilea.

En el año 1732, vuelve a Basilea, donde había ganado un puesto de profesor en los departamentos de Botánica y Anatomía. En 1738 publicó su obra Hidrodinámica, en la que expone lo que más tarde sería conocido como el Principio de Bernoulli, que describe el comportamiento de un fluido al moverse a lo largo de un conducto cerrado. Daniel también hizo importantes contribuciones a la teoría de probabilidades. Es notorio que mantuvo una mala relación con su padre a partir de 1734, año en el que ambos compartieron el premio anual de la Academia de Ciencias de París. Johann llegó a expulsarlo de su casa y también publicó un libro Hidráulica en el que trató de atribuirse los descubrimientos de su hijo en esta materia. En 1750 la Universidad de Basilea le concedió, sin necesidad de concurso, la cátedra que había ocupado su padre. Publicó 86 trabajos y ganó 10 premios de la Academia de Ciencias de París, solo superado por Euler que ganó 12. Daniel Bernoulli fue elegido miembro de la Royal Society el 3 de mayo de 1750. Al final de sus días ordenó construir una pensión para refugio de estudiantes sin recursos.

 Fluido Ideal. El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripción consideraremos el comportamiento de un fluido ideal cuyas características son las siguientes: Fluido no viscoso: Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido Flujo estacionario: La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo Fluido incompresible: La densidad del fluido permanece constante con el tiempo Flujo irrotacional: No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto.

 Ecuación de continuidad: En física, una ecuación de continuidad expresa una ley de conservación de forma matemática, ya sea de forma integral como de forma diferencial. En mecánica de fluidos, una ecuación de continuidad es una ecuación de conservación de la masa. Su forma diferencial es: 𝜕𝑝 + 𝛥(𝑝𝑢) = 0 𝜕𝑡 P= densidad T=tiempo U= velocidad del fluido

3.- Recolección de datos T1 t2 t3 t4 Tpromedio

13.91 13.26 13.42 13.28 13.4675 T=tiempo en segundos

A1 A2 A3 A4 A5 A6

338.6 223.5 84.6 170.2 255.2 338.6 Donde A= área 𝑚𝑚2

Hp1 Hp2 Hp3 Hp4 Hp5 Hp6

185 173 20 70 83 95 Hp=

𝑃1 𝑚𝑙 𝛾 𝐶𝐴

CA= columna de agua

4.- CALCULOS 𝑄1 = 𝑄2 Donde 𝑄 = 𝑉/𝑇 Donde V = volumen T=tiempo Entonces V= volumen = 2L = 0.002 𝑚3 𝑇𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 𝑇 = 13.4675 𝑠 Para 𝑉1

𝑚3 13.4675 𝑠 𝑚3 𝑄 = 0,00014385 𝑠

𝑄 = 0.002

𝑄

Para hallar 𝑉1 = 𝐴1 1

𝑚3 0,00014385 𝑠 𝑉1 = 338.6𝑚𝑚2 𝑚3 0,00014385 𝑠 𝑉1 = 0,0003386𝑚2

𝑽𝟏 = 𝟎, 𝟒𝟑𝟖𝟓 Para 𝑉2

𝒎 𝒔

𝑝1 𝑣 21 𝑝2 𝑣 2 2 + = + 𝑦 2𝑔 𝑦 2𝑔 2 (0,4385𝑚/𝑠) 𝑣22 185𝑚𝑙 𝑚𝑐𝑎 + = 173𝑚𝑙 𝑚𝑐𝑎 + 2(9,8𝑚/𝑠 2 ) 2(9,8𝑚/𝑠 2 ) 0,6538𝑚 = 𝑣2 𝑠 𝑝2 𝑣 2 2 𝑝3 𝑣 2 3 + = + 𝑦 2𝑔 𝑦 2𝑔 2 (0,6538𝑚/𝑠) 𝑣 23 173𝑚𝑙 𝑚𝑐𝑎 + = 20𝑚𝑙 𝑚𝑐𝑎 + 2(9,8𝑚/𝑠 2 ) 2(9,8𝑚/𝑠 2 ) 1,85101𝑚 = 𝑣3 𝑠 𝑝3 𝑣 2 3 𝑝4 𝑣 2 4 + = + 𝑦 2𝑔 𝑦 2𝑔 2 (1,85101𝑚/𝑠) 𝑣 24 20𝑚𝑙 𝑚𝑐𝑎 + = 70𝑚𝑙 𝑚𝑐𝑎 + 2(9,8𝑚/𝑠 2 ) 2(9,8𝑚/𝑠 2 ) 0,187994𝑚 = 𝑣4 𝑠

𝑝4 𝑣 2 4 𝑝5 𝑣 2 5 + = + 𝑦 2𝑔 𝑦 2𝑔 2 (0,187994𝑚/𝑠) 𝑣24 70𝑚𝑙 𝑚𝑐𝑎 + = 83𝑚𝑙 𝑚𝑐𝑎 + 2(9,8𝑚/𝑠 2 ) 2(9,8𝑚/𝑠 2 )

0,5386𝑚 = 𝑣5 𝑠

𝑝5 𝑣 2 5 𝑝6 𝑣 2 6 + = + 𝑦 2𝑔 𝑦 2𝑔 2 (0,5386𝑚/𝑠) 𝑣 26 83𝑚𝑙 𝑚𝑐𝑎 + = 95𝑚𝑙 𝑚𝑐𝑎 + 2(9,8𝑚/𝑠 2 ) 2(9,8𝑚/𝑠 2 ) 0,7248𝑚 = 𝑣6 𝑠

200

180 160 140 120 100 80 60

40 20 0 Hp1

Hp2

Hp3 Series1

linea de energia

Hp4 Series2

Hp5

Hp6

gradiente hidráulica

5.- CONCLUSIONES    

Las pérdidas de carga se dan por el cambio de diámetro ya que se produce fricción. Gracias a la ecuación de Bernoulli llegue a entender que a menor velocidad, mayor presión y a mayor velocidad menor presión. La altura z eliminamos ya que al nivel de referencia del piso era la misma. A mayor diámetro baja la velocidad y baja la energía cinética.

6.- RECOMENDACIONES.  

Es necesario trabajar con instrumentos de mayor calibración para no tener mucho error en las medidas. Se debe hacer estas prácticas con otros tipos de fluidos para poder ver la diferencia.