Bola Peluda 2o14y

Introducción Suena el despertador. Son las 6:30 de la mañana. Víctor se revuelve entre las sábanas, no quiere levantarse, el sueño le supera…pero no puede permitirlo. A las 8:30 tiene una entrevista de trabajo muy importante, puede que determinante para su futuro profesional. – ¡¡Arriba chaval!! Víctor se levanta de la cama de un salto y va directo al baño. Una ducha rápida complementada con un afeitado apurado le dejan nuevo. Desodorante, colonia y a arreglar esa cabeza. Ayer fue día (bueno, más bien noche) de salida informal con los amigos y el peinado fue más bien alocado, pero hoy toca seriedad y hay que bajarlo como sea. Secador por aquí, peine por allá. Y listo, su peinado hacia un lado presenta una completa armonía… ¿completa? – ¡¡Aghh!! Este maldito remolino… ¿va a poder conmigo?…¡¡No!! ¿Podrá conseguir nuestro amigo Víctor que su pelo esté complemente perfecto? El teorema de la bola peluda Pues no, no podrá. Y la razón no es genética, sino matemática. Sí, sí, matemática. Y, cómo no, os voy a explicar por qué. Un campo de vectores tangente sobre una superficie de es una aplicación de esa superficie en que asocia a cada punto de la superficie un vector tangente a la misma en ese punto. Tomando (la esfera conocida por todos, da igual su centro y su radio) como la superficie, un campo tangente a será una aplicación continua tal que para cada punto de se tiene que es un vector tangente a la misma en ese punto (ver figura de la derecha). Pues bien, el teorema de la bola peluda dice lo siguiente: Teorema: (de la bola peluda) Sea

campo de vectores tangente. Entonces

decir, existe al menos un punto

tal que

tiene al menos un cero, es .

¿Y qué tiene que ver esto con el caso de nuestro amigo Víctor? Muy sencillo: suponiendo que su cabeza sea la esfera (no tiene una cabeza totalmente esférica pero es perfectamente válido suponerla así), que tiene un pelo en cada punto (tampoco es exacto, pero nos sirve) y que cada pelo es el vector tangente a la superficie de la cabeza en el punto de la misma donde nace dicho pelo, por mucho tiempo que le dedique a peinarla siempre habrá algún punto donde se deje una coronilla, un remolino, algún pelo tieso o algo parecido. Vamos, que no podrá alcanzar la perfección que desea. Este resultado es topológico y podemos enmarcarlo dentro de la teoría del punto fijo. Su demostración (que no incluyo al necesitar demasiados conocimientos previos) tiene que ver con la teoría de homotopía. En concreto, para quien esté interesado, se basa en el teorema de

la invarianza homotópica del grado. El resultado fue propuesto por Poincaré (¡qué grande!) y demostrado posteriormente por Brouwer. Otras aplicaciones Un teorema tan curioso como éste no podía quedarse ahí, debía tener más aplicaciones. Y las tiene. La más interesante tiene que ver con la climatología, concretamente con el viento. Tomemos la esfera terrestre y el campo tangente que a cada punto de nuestro planeta le asocia el viento que hay en ese punto (tomando este viento como vector definido en cada punto de forma continua). El teorema de la bola peluda nos dice que en todo momento debe existir algún punto de la Tierra en la que no hay viento (el viento tangente en ese punto es cero). En sentido físico, este punto de viento cero será el ojo de un ciclón o anticiclón. Resumiendo, el teorema de la bola peluda nos asegura que debe haber en todo momento un ciclón en algún sitio (este dato está sacado de la Wikipedia inglesa). Pero volvamos a Víctor, que ha debido quedarse hecho polvo al enterarse de que no podrá tener el pelo perfecto. ¿Podemos darle alguna solución? Yo voy a darle dos opciones que pueden ser válidas aunque igual son algo drásticas: – Dejarse el pelo tal cual estaba al salir de la ducha. – Raparse al cero (total, si no va a haber perfección, ¿qué más da?)

Hagamos un trabajo de imaginación, así de lunes... Imaginemos una esfera. ¿La tenéis? Una esfera lisa. Y ahora de repente, empieza a salir pelo, pelo por todos lados… A lo Jorge Cremades pero sin estereotipos. ¿Ok? Cogemos ahora un peine… ¿Qué ocurre? ¿Por dónde empezáis a peinar? ¿Dónde termináis? ¿Se puede peinar todo por igual? La respuesta es rápida: NO, tiene que haber un remolino… Al menos uno. Esto es el Teorema de la Bola Peluda, un teorema de Geometría, un teorema bien bonito de Matemáticas. Claro, el enunciado riguroso nos dice que: "Un campo vectorial continuo definido sobre una esfera de dimensión par, al menos igual a 2, se anula en al menos un punto." El campo vectorial sería la forma de peinar, y ha de ser tangente a la esfera, no vale el "pelo pincho" como animal de compañía. El pelo sería un vector tangente a la superficie, y el remolino, rizo o calvicie sería el punto en el que se anula. Este teorema fue demostrado por primera vez por Luitzen Egbertus Jan Brouwer en 1912. La verdad es que los matemáticos hablamos de esferas en varias dimensiones, así como si nada. Pero pongamos otro ejemplo muy visual. Imaginemos ahora un donut, que para un matemático es un toro, somos así. ¿Se puede peinar sin remolinos? Con la imagen queda bien

claro. ¿Se os ocurre otra figura que se pueda peinar sin remolinos? Pensadlo y opinad en los comentarios. Pero bueno, no tenemos la cabeza en forma de donut, ni siquiera Homer.

Peinando... Este teorema no es una frikada matemática, y como todos los teoremas, NO ES INÚTIL. Nos da mucha información sobre atractores, sobre sistemas dinámicos, sobre estructuras claves en la Teoría del Caos, y por tanto, muy útiles en la Meteorología. De hecho, el Teorema de la Bola Peluda es la explicación matemática de porqué hay forzosamente huracanes en la Tierra. La Tierra es casi una esfera, los vientos hacen de campo de vectores tangentes, y ya lo tenemos... remolino al canto. El teorema dice que debe de haber mínimo uno, pero no hay un máximo. Una pena...

Esta semana vamos a hablar de uno de los teoremas con nombre gracioso de los que existen en matemáticas. Pero este nombre simpático no quiere decir que sea un resultado irrelevante, de hecho, es un teorema importante dentro del campo de la Topología, que es la rama de las matemáticas que estudia la deformación de las figuras geométricas y sus propiedades. Os presento el Teorema de la Bola Peluda: Si n es un entero par al menos igual a 2, todo campo vectorial continuo X sobre la esfera real Sn se anula en un punto al menos; es decir que existe un v tal que: X(v)=0. Para todo aquél que no sea un especialista en topología (de hecho, seguramente habrá muchos especialistas que tampoco) a simple vista este enunciado no tiene nada que ver con una bola con pelo. Entonces, ¿por qué se llama así? La respuesta es sencilla. Este teorema, entre otras muchas cosas, explica “un defecto de fabricación” que tenemos todos: el remolino del pelo. El Teorema de la Bola Peluda viene a decir que si tenemos una esfera en la cual en cada uno de los puntos hay un vector tangente a la superficie, da igual hacia donde vayan esos vectores, que siempre habrá al menos un punto vacío.

Para entenderlo mejor, vamos a llevar esta idea a la cabeza de cualquiera de nosotros. Tomamos la porción de la cabeza en la cual hay pelo, y la suponemos perfectamente esférica. Supongamos que de cada punto de la cabeza sale un pelo, cosa que no es verdad, pero nos lo podemos creer para imaginarlo fácil. En este caso, los pelos son los vectores del teorema. Entonces, al peinar esos “vectores” el teorema nos dice que habrá un punto de la cabeza, que da igual cómo nos peinemos, que siempre se quedará sin pelo y por lo tanto se verá la coronilla. Otra de las cosas que explica el teorema, es el motivo por el cual los huracanes tienen en el centro un punto en el que no ocurre nada, que es conocido como el “ojo del huracán”. Lo mismo ocurre con la forma que toman las nubes cuando se ven por satélite, que seguro que todos hemos visto muchas veces en la previsión del tiempo. Pero lo más importante, la próxima vez que te levantes por la mañana y no haya manera de peinarte decentemente, que nadie te culpe a ti, porque ya puedes decir que la culpa es de la topología.

¿Es posible peinarme sin que se forme un remolino? ¿Cuántas veces os ha ocurrido que os levantáis por la mañana y con las prisas intentáis peinaros y se os queda ese remolino que parece imposible de peinar? Algunos pensaréis que ese remolino lo tenéis por causas genéticas o porque se os forma sin más en ese lugar de la cabeza, sin embargo poco o nada tiene que ver con la genética en este caso, sino más bien con las matemáticas.

Teorema de la bola peluda. Remolino de pelo. Antes de realizar un razonamiento matemático de este hecho vamos a hacer algunas definiciones previas. Un campo de vectores tangente sobre una superficie del espacio tridimensional es una aplicación continua que asocia a cada punto de esa superficie del espacio un vector tangente a la misma en dicho punto. Consideremos como superficie la esfera en el espacio, un campo definido sobre la esfera será una aplicación continua

De tal forma que para cada punto p de la esfera, se tiene que X(p) es un vector del espacio, tangente a la esfera en ese punto p. El teorema que nos explica porqué nos aparecen los remolinos al peinarnos es el conocido como Teorema de la Bola Peluda y su enunciado es el siguiente: Sea

Un campo de vectores tangente. Entonces existe un punto p de la esfera, tal que X(p)=0. Es decir existe al menos un punto de la esfera en el que el campo de vectores es nulo. ¿Pero este resultado cómo se aplica a nuestra cabeza? Pensemos en nuestra cabeza como una esfera (aunque realmente no sea así, pero nos sirve la comparación), y nuestro pelo peinado sería el campo de vectores tangente a la esfera. Entonces el Teorema de la bola peluda nos afirma que existe un punto en nuestra cabeza donde se forma un remolino. Por tanto ese remolino que se nos forma mañana tras mañana no es algo genético y que nos ocurre a nosotros solos, sino que les pasa a todas las personas cuando intentan peinarse. Este hecho es extensible a los animales, pensemos en un gato o un perro con todo su cuerpo lleno de pelo, este Teorema nos dirá que si intentamos peinarlos existirá un punto en su cuerpo donde se forme un remolino. Pero, ¿Se puede aplicar este resultado matemático a otros aspectos cotidianos? La respuesta es afirmativa, como podíais imaginar, otro ejemplo lo encontramos en la meteorología. Pensemos que la Tierra es similar a una esfera, y consideramos el viento como el campo de vectores sobre la Tierra, entonces el Teorema de la bola peluda nos dirá que siempre hay un punto en la Tierra donde no sopla el viento. Físicamente los puntos donde la velocidad del viento es nula, se interpretan como ciclones o anticiclones. Por lo tanto el Teorema nos dirá que siempre existe un punto sobre la superficie de la Tierra en el que hay un ciclón o un anticiclón.

Teorema de la bola peluda en la meteorología Esto no es realmente cierto porque el aire de la atmósfera tiene varias capas una encima de la otra y por lo tanto para que se produzca un ciclón o un anticiclón sobre un punto de la Tierra es necesario que el viento tenga velocidad nula en todos los puntos de las distintas capas sobre la vertical. El Teorema de la bola peluda se cumple en cualquier esfera de grado par, sin embargo, si es posible peinar esferas peludas de dimensión impar. Este teorema fue demostrado por primera vez por Luitzen Egbertus Jan Brouwer en 1912, y su demostración generaliza los resultados obtenidos anteriormente en el Teorema de la curva de Jordan. Una de las consecuencias de éste Teorema de la Bola Peluda es el conocido Teorema del punto fijo de Brouwer, el cual asegura que toda aplicación continua de un conjunto convexo y compacto K de un espacio euclídeo con valores en K, tiene un punto fijo, es decir existe un punto “x” perteneciente a K, tal que “f(x)=x”. El origen de este teorema se atribuye a la observación por parte de Brouwer a una taza de café.

Cuando echamos el azúcar y removemos, parece que siempre hay un punto inmóvil, de donde Brouwer deduce que “en todo momento, hay un punto de la superficie que no ha cambiado de lugar”.

Pues porque lo prohíbe un teorema matemático, que a estas alturas no les extrañará que haya sido denominado jocosamente como El teorema de la bola peluda . Es curioso, pero la explicación del asunto requiere unos conocimientos previos bastante fuertes. Sin embargo, el enunciado es muy fácil de entender cualitativamente: Todo campo de vectores de una esfera bidimensional posee algún cero Estamos en el dominio de la topología, y como sabrán si me han leído los mensajes anteriores, una cabeza humana es topológicamente similar a una esfera bidimensional. ¿Se puede evitar tal maldición?