Calcul Du Tassement 5k196i

Mëysë Faal

Cours de Mécanique et Physique des Sols COURS 9

Calcul du tassement

Tassement d’une couche de sol x ∆S

z

H

Tassement d’une couche de sol x ∆S

H

z

ε zz

=

∆S H

= εv

∆e = − 1+ e

Tassement d’une couche de sol x ∆S

H

z

ε zz

=

∆S H

= εv

∆e = − 1+ e (1)

alors ∆e H ∆S = − 1+ e

Massif stratifié Sous-couche 1 Sous-couche 2

Sous-couche n

Notations : ei ∆ei Hi

= indice des vides au centre de la couche i = var iation de l ' indice des vides au centre de la couche i épaisseur de la couche i

Le profil de sol subdivisé en plusieurs sous-couches

Alors Pour la couche i

∆Si

=

∆ei H i − 1 + ei

Le profil de sol subdivisé en plusieurs sous-couches

Alors Pour la couche i

∆Si

=

∆ei H i − 1 + ei

(2)

Et ainsi Le tassement total S

=

n

∑ 1 ∆S i

∆ ei H i ] = ∑1 [ − 1 + ei n

Exemple de Calcul de Tassement

Gravier

2m

nappe

5m

A

4m

B

4m

Argile

Massif superposé

Exemple de Calcul de Tassement

Grave

2m

5m

A

4m

B

4m

∆σz à A = 100 kPa

Argile

Massif stratifié

∆σz à B = 60 kPa

Exemple de Calcul de Tassement Propriétés Grave Relativement incompressible γd

= 18 kN / m 3

; γ sat

= 22 kN / m 3

Exemple de Calcul de Tassement Propriétés Grave Relativement incompressible γd

= 18 kN / m 3

; γ sat

Argile e0 = 0.8 γs = 2.7 kN/m3 Cc = 0.20; Cr = 0.05

= 22 kN / m 3

Exemple de Calcul de Tassement Distribution des Volumes Vides

Squelette solide

Vv = e Vs = 0.8 m3 Vs=1 m3

Exemple de Calcul de Tassement Distribution des Volumes Vides

Squelette

Vv = e Vs = 0.8 m3 Vs=1 m3

Distribution des Poids Ww

=

γ w × Vv

=

7.84 kN Ws =

Exemple de Calcul de Tassement Distribution des Volumes Vides

Squelette

Vv = e Vs = 0.8 m3 Vs=1 m3

γ sat

Ww + Ws = Vv + Vs

Distribution des Poids Ww

=

γ w × Vv

=

7.84 kN

Ws = Vs × γ w × γ s = 26.46 kN 7.84 + 26.46 kN / m 3 = 0.8 + 1 = 19.06 kN / m 3

Exemple de Calcul de Tassement Distribution des Volumes Vides

Vv = e Vs = 0.8 m3 Vs=1 m3

Squelette

γ sat

Ww + Ws = Vv + Vs

γ sat

(γ s + e) γ w = 1+ e

ou

Distribution des Poids Ww

=

γ w × Vv

=

7.84 kN

Ws = Vs × γ w × Gs = 26.46 kN 7.84 + 26.46 kN / m 3 = 0.8 + 1 = 19.06 kN / m 3 = 19.06 kN / m 3

Exemple de Calcul de Tassement L’étape suivante consiste à calculer les contraintes effectives initiale et finale au centre de chaque couche

Exemple de Calcul de Tassement L’étape suivante consiste à calculer les contraintes effectives initiale et finale au centre de chaque couche

• Etat Initiale à A Contrainte totale

σzz = 2×18 + 3 ×22 + 2 ×19.06 = 140.12 kPa

Exemple de Calcul de Tassement L’étape suivante consiste à calculer les contraintes effectives initiale et finale au centre de chaque couche

• Etat Initiale à A Contrainte totale Pression interstitielle

σzz = 2×18 + 3 ×22 + 2 ×19.06 = 140.12 kPa uw = 5× 9.8 kPa = 49 kPa

(3a)

Exemple de Calcul de Tassement L’étape suivante consiste à calculer les contraintes effectives initiale et finale au centre de chaque couche

• Etat Initiale à A Contrainte totale Pression interstitielle Contrainte effective

σzz = 2×18 + 3 ×22 + 2 ×19.06 = 140.12 kPa uw = 5× 9.8 kPa = 49 kPa σ′zz = σzz - uw = 140.12 - 49 = 91.12 kPa

(3a)

Exemple de Calcul de Tassement L’étape suivante consiste à calculer les contraintes effectives initiale et finale au centre de chaque couche

• Etat Initiale à A Contrainte totale Pression interstitielle Contrainte effective

σzz = 2×18 + 3 ×22 + 2 ×19.06 = 140.12 kPa uw = 5× 9.8 kPa = 49 kPa σ′zz = σzz - uw = 140.12 - 49 = 91.12 kPa

On note que la contrainte effective est inférieure à σ′pc =120 kPa alors l’argile est initialement sur-consolidée

(3a)

Exemple de Calcul de Tassement • Etat finale à A Contrainte totale

σzz = 100 + 2 × 22 + 3 ×22 + 2 ×19.06 = 248.12 kPa

Exemple de Calcul de Tassement • Etat finale à A Contrainte totale Pression interstitielle

σzz = 100 + 2 × 22 + 3 ×22 + 2 ×19.06 = 248.12 kPa uw = 7× 9.8 kPa = 68.6 kPa

(3b)

Exemple de Calcul de Tassement • Etat finale à A Contrainte totale Pression interstitielle Contrainte effective

σzz = 100 + 2 × 22 + 3 ×22 + 2 ×19.06 = 248.12 kPa uw = 7× 9.8 kPa = 68.6 kPa

(3b)

σ′zz = σzz - uw = 248.12 - 68.6 = 179.52 kPa

Exemple de Calcul de Tassement • Etat finale à A Contrainte totale Pression interstitielle Contrainte effective

σzz = 100 + 2 × 22 + 3 ×22 + 2 ×19.06 = 248.12 kPa uw = 7× 9.8 kPa = 68.6 kPa

(3b)

σ′zz = σzz - uw = 248.12 - 68.6 = 179.52 kPa

On remarque que la contrainte effective finale dée la pression initiale de pré-consolidation et ainsi l’argile évolue initialement sur-consolidée à l’état final normalement consolidée.

Exemple de Calcul de Tassement • Tassement de la Première Sous-couche Le sol constituant la première sous-couche évolue de l’état initialement sur-consolidé vers un sol normalement consolidé et ainsi le calcul de la variation de l’indice des vides du sol devrait être effectué en deux étapes.

Exemple de Calcul de Tassement • Tassement de la Première Sous-couche Le sol constituant la première sous-couche évolue de l’état initialement sur-consolidé vers un sol normalement consolidé et ainsi le calcul de la variation de l’indice des vides du sol devrait être effectué en deux étapes.

e

Pente Cr

Pente Cc

log σ’

Exemple de Calcul de Tassement Etape 1

Sol sur-consolidé

(σ′< σ′pc (initial))

∆e1 = - Cr × log10(σ′pc (initial)/σ′I)

Exemple de Calcul de Tassement Etape 1

Sol sur-consolidé

(σ′< σ′pc (initial))

∆e1 = - Cr × log10(σ′pc (initial)/σ′I) Etape 2

Sol normalement consolidé

(σ′= σ′pc (initial)) (3c)

∆e2 = - Cc × log10(σ′F/σ′pc (initial))

Exemple de Calcul de Tassement Etape 1

(σ′< σ′pc (initial))

Sol sur-consolidé

∆e1 = - Cr × log10(σ′pc (initial)/σ′I) Etape 2

Sol normalement consolidé

(σ′= σ′pc (initial)) (3c)

∆e2 = - Cc × log10(σ′F/σ′pc (initial)) e

Pente Cr

∆e1 Pente Cc

∆e2

σ′pc

log σ’

Exemple de Calcul de Tassement Maintenant ∆S

=

H∆e − 1+ e

Exemple de Calcul de Tassement Maintenant ∆S

=

H∆e − 1+ e

H ( ∆e1 + ∆e 2 ) = − 1 + e

Exemple de Calcul de Tassement Maintenant ∆S

=

H∆e − 1+ e

H ( ∆e1 + ∆e 2 ) = − 1 + e =

4 120 . 00 179 . 52 [ 0 . 05 × log 10 ( ) + 0 . 2 × log 10 ( )] 1.8 91 .12 120 . 00

=

0 . 0911 m =

9,11 cm

(3d)

Exemple de Calcul de Tassement Le tassement de la deuxième sous-couche est calculé de la même manière qu’au cas précèdent e Pente Cc

log σ’

Exemple de Calcul de Tassement Le tassement de la deuxième sous-couche est calculé de la même manière qu’au cas précèdent e Pente Cc

log σ’ Le tassement total est alors la somme des tassements obtenus pour chaque sous-couche

Calcul du tassement • Pour calculer le tassement, il est nécessaire d’obtenir les contraintes effectives initiale et finale. • La contrainte initiale peut être calculée à partir des poids des matériaux sus-jacents. • Les pressions interstitielles initiale et finale sont déterminées à partir de la position de la nappe. • Pour trouver la contrainte totale finale, il est nécessaire de connaître l’augmentation de contrainte totale due aux surcharges. • Pour la plupart, le calcul des surcharges peut être approché à partir de la théorie de l’élasticité.

Solutions élastiques utiles en Mécanique des Sols Charge ponctuelle d’intensité P

x H→∞

z

Charge ponctuelle sur un massif semi-infini élastique

Solutions de Boussinesq ∆σ zz

=

∆σ xx + ∆σ yy + ∆σ zz

=

∆ε z

=

R

=

E ν

=

3Pz 3 2πR 5 (1 + ν )Pz (6) πR 3 (1 + ν )P z2 [2(1 − ν ) + 2 ] 2πER R

où x 2 + y2 + z 2

et Module d’Young

= Coefficient de Poisson

Charge circulaire sur une couche élastique profonde

5m

P = 100 kPa r 2m z A

B 5m

Charge circulaire sur une couche élastique profonde Calcul de l’augmentation de contrainte au centre de la zone chargée

∆σ zz

Données

= p(1 − [1 +

a2 z

−3 / 2 ] ) 2

(7a)

p = 100 kPa a = 2.5 m z=2m

(On remarque que l’augmentation de la charge est indépendante des caractéristiques élastiques)

Surcharge à A ∆σ zz = 100 * (1 − [1 + (1.25 ) 2 ] −3 / 2 ) = 75.6 kPa

(7b)

Charge circulaire sur une couche élastique profonde A Noter que ce résultat pourrait aussi être obtenu à partir de l’abaque donnant les facteurs d’influence pour une charge circulaire uniformément répartie (Figure 7). Dans ce cas r/a = 0, z/a = 0.8, et alors Iσ = 0.8

10-3 0

10-2

σ zz Iσ = p

2.0

2

7

z/a

8

1.25

10 10

0.0

4 Les valeurs sur les courbes sont les valeurs de r/a

9 8

1.00

3

6

4

1.5

1

2.5

5

6

10-1

z/a=2/2.5=0.8 r/a=0/2.5=0.0 p=100 kPa

Charge circulaire sur une couche élastique profonde A Noter que ce résultat pourrait aussi être obtenu à partir de l’abaque donnant les facteurs d’influence pour une charge circulaire uniformément répartie (Figure 7).

Dans ce cas r/a = 0, z/a = 0.8, et alors Iσ = 0.8 Pour l’état de contrainte en B, des solutions analytiques sont disponibles. L’abaque pourrait être utilisé.

Dans ce cas r/a = 2, z/a = 0.8, et alors Iσ = 0.03

10-3 0

10-2

σ zz Iσ = p

10-1

1 1.25

2.0

2

z/a 6

3

6 7 8

4 Les valeurs sur les courbes sont les valeurs de r/a

9 8 10 10

0.0

2.5

5 4

1.5

1.00

z/a=2/2.5=0.8 r/a=5/2.5=2.0 p=100 kPa

Augmentation de contrainte sous une surface rectangulaire chargée D

C

A

B

Plan

q

Hauteur

Augmentation de contrainte sous une surface rectangulaire chargée D

C B

Plan

L A

B

L’abaque donne la contrainte à la profondeur z, sous le coin de la surface rectangulaire chargée.

q

hauteur

z

X

∆σ zz X = q I σ ( ABCD)

Lieu d’intérêt du Calcul

8

0.25

3.0

2.0 1.0 0.8

0.20

0.6

0.15 σ zz Iσ = q 0.10

m & n sont interchangeables

0.4 (m = B/z)

0.2

0.05

0.00 0.01

0.1

(n=L/z)

1

10

D

Augmentation de contrainte sous un point quelconque à l’intérieur du rectangle T C O

X

Z

Plan

A

Y O

B

L’abaque donne la contrainte à la profondeur z, sous le coin de la surface rectangulaire chargée. Utilisation du Principe de Superposition

∆σ zz ( ABCD) =

Hauteur

z

∆σ zz (OXAY) + +

∆σ zz (OYBZ ) ∆σ zz (0ZCT )

+

∆σ zz (OTDX)

Lieu d’intérêt du Calcul

Exemple D

T

X

O

C Z

2m 3m

A 3m

Y B 2m

Pour une Charge rectangulaire OZCT m = L/z =1 n = B/z =1

8

0.25

3.0

1.0 0.8

0.20

0.6

0.15

σ zz Iσ = q 0.10

2.0

m & n sont interchangeables

m

0.4

0.2

0.05

0.00 0.01

0.1

(n=L/z)

1

10

Exemple D

T

X

O

C Z

2m 3m

A 3m

Y B 2m

Pour une charge rectangulaire OZCT m = L/z =1 n = B/z =1 alors Iσ = 0.175 Et ainsi ∆σzz = p Iσ = 100 × 0.175 = 17.5 kPa

(9a)

Augmentation de contrainte sous un point quelconque à l’extérieur du rectangle La charge q est uniformément répartie sur l’aire ABCD La contrainte nécessaire à la profondeur z sous le point O, à l’extérieur de la région chargée. O D

C (q)

A

B

Augmentation de contrainte sous un point quelconque à l’extérieur du rectangle chargé La charge q est uniformément répartie sur l’aire ABCD La contrainte nécessaire à la profondeur z sous le point O, à l’extérieur de la région chargée. O D

C

X D

(q) A

B

A

Z

O

(q)

C (q)

T

(q)

(q) B

Y

Etape 1 +q sur OXAY

Augmentation de contrainte sous un point quelconque à l’extérieur du rectangle chargé X D

Z (q)

C (2q) T

(q) A

O

( q) B

Y

Etape 2 +q sur OZCT

Augmentation de contrainte sous un point quelconque à l’extérieur du rectangle chargé Z O X Z O X D (q) C (2q) T D (q) C (q) T (q) A

( q) B

Etape 2 +q on OZCT

(q) Y

A

(0) B

Etape 3 -q on OZBY

Y

Augmentation de contrainte sous un point quelconque à l’extérieur du rectangle chargé Z O X Z O X D (q) C (2q) T D (q) C (q) T (q) A

( q)

(q) Y

B

Etape 2 +q sur OZCT Z O X D (0) C (0) T (q) A

(0) B

Etape 4 -q sur OXDT

Y

A

(0) B

Etape 3 -q sur OZBY

Y

Détermination des contraintes sous une aire de forme quelconque Abaque de Newmark

1.

L’échelle pour cette méthode est déterminée par la profondeur z pour laquelle les contraintes devront être évaluée, alors z est égale à la distance OQ donnée à partir de l’abaque.

O

z

z

Q

Détermination des contraintes sous une aire de forme quelconque Abaque de Newmark

1. 2.

L’échelle pour cette méthode est déterminée par la profondeur z pour laquelle les contraintes devront être évaluée, alors z est égale à la distance OQ donnée à partir de l’abaque. Dessiner la zone chargée en tenant compte de l’échelle de telle sorte que le point où on cherche les contraintes (plus correctement, sa projection verticale à partir de la surface) est à l’origine de l’abaque, l’orientation du dessin importe peu.

O

z

z

Q

Détermination des contraintes sous une aire de forme quelconque Abaque de Newmark

1.

L’échelle pour cette méthode est déterminée par la profondeur z pour laquelle les contraintes devront être évaluée, alors z est égale à la distance OQ donnée à partir de l’abaque.

2.

Dessiner la zone chargée en tenant compte de l’échelle de telle sorte que le point où on cherche les contraintes (plus correctement, sa projection verticale à partir de la surface) est à l’origine de l’abaque, l’orientation du dessin importe peu.

3.

Compter le nombre d’aires (carré) (N) sur la zone chargée, si moins de la moitié de l’aire partielle (carré) est prise en compte dans le décompte, alors c’est à négliger.

Détermination des contraintes sous une aire de forme quelconque Abaque de Newmark

1.

L’échelle pour cette méthode est déterminée par la profondeur z pour laquelle les contraintes devront être évaluée, alors z est égale à la distance OQ donnée à partir de l’abaque.

2.

Dessiner la zone chargée en tenant compte de l’échelle de telle sorte que le point où on cherche les contraintes (plus correctement, sa projection verticale à partir de la surface) est à l’origine de l’abaque, l’orientation du dessin importe peu.

3.

Compter le nombre d’aires (carré) (N) sur la zone chargée, si moins de la moitié de l’aire partielle (carré) est prise en compte dans le décompte, alors c’est à négliger.

4.

L’augmentation de la Contrainte est :

∆σzz = N × [facteur d’échelle(0.001)] ´ [charge de surface (p)]

4m O

Q

Loaded Area