Calcul Fondations 424i52

Conservatoire National Des arts et métiers

CONSTRUCTIONS CIVILES B3 Michel BERTHAUD / Alain DUVIVIER

Séquence 2 CALCUL DES FONDATIONS - SEMELLES

IDEES PRINCIPALES

IDEES DEVELOPPEES

EXEMPLES DE CALCUL

ETUDES DE CAS

RETOUR AU PLAN GENERAL

CNAM de Basse-Normandie Reproduction et diffusion interdites sans l’accord de l’auteur

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CONSTRUCTIONS CIVILES B3


Michel BERTHAUD / Alain DUVIVIER

Séquence 2 IDEES PRINCIPALES Retour au plan

OBJECTIFS:

Il s'agit de déterminer les fondations superficielles par semelles filantes ou isolées

dans les cas courants.

PLAN DE L'ETUDE:

I) LES FONDATIONS SUPERFICIELLES II) DESCENTES DE CHARGES III) DIMENSIONNEMENT IV) CALCUL DES ARMATURES V) SEMELLES AVEC CHARGES EXCENTREES VI) DESSIN DES FONDATIONS

Séquence 2 - CALCUL DES FONDATIONS - Semelles

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Séquence 2 COURS Retour au plan

I) LES FONDATIONS SUPERFICIELLES a) - définitions Les fondations superficielles sont définies par opposition aux fondations profondes. Les fondations profondes sont les fondations par pieux ou par puits: ce sont avant tout des fondations pour lesquelles la largeur est inférieure au 1/6 de la hauteur d'encastrement, lorsque celle-ci est supérieure à 3 m. Une fondation qui ne répond pas à ces critères est considérée comme superficielle.

0 1

0,5

1,0 1,5

a ' en m 2,0

Fondations superficielles

2 3

Fondations profondes: se reporter au DTU 13.2 et aux

4

p

normes particulières.

5 6

a'


p en m

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b) - différentes fondations superficielles Les fondations superficielles se répartissent en deux grandes familles: Î

les radiers: ils ne sont pas étudiés ici. Ils seront étudiés par la suite.

Î

les semelles: Ce sont de simples élargissements de la base d'un mur ou d'un poteau pour

répartir la charge correspondante sur une surface de sol suffisante.

c) - différentes formes de semelles On distingue deux familles de semelles, en prenant en compte leur largeur. Î

Î

les semelles rigides : •

pour terrain courant homogène

•

charge moyenne

•

calcul par la méthode des bielles

•

rupture par cisaillement ou poinçonnement de la partie centrale

les semelles larges ou souples : •

pour terrain hétérogène de faible résistance ou pour de fortes charges

•

calcul en poutre console

•

disposition rare, à éviter

•

peuvent être renforcées par : •• un libage (semelle en T) •• ou un glacis (semelle trapézoïdale)

aa

aa <3 aa a'<3a

Proportions courantes courantes proportions


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aa

aa a>3a ' > 3a

libage libage

glacis glacis

Semelle trapézoïdale semelle trapézoïdale

semelle Semelle en en T T

d) - documents de référence –

Précis de Bâtiment (AFNOR/NATHAN) Maîtrise du BAEL 91 (Perchat et Roux, édité chez EYROLLES) Norme NF P 06 001 : Charges d'exploitation Norme NF P 06 004 : Charges permanentes DTU 13.11 :

Fondations superficielles CCT et CCS

DTU 13.12 :

Règles pour le calcul des fondations superficielles

DTU 20.11 :

Murs enterrés en sous-sol.

BAEL

Article B.9

:


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II) DESCENTE DE CHARGES a) - but On calcule la charge ultime ée par la semelle. La neige n'est pas prise en compte. La combinaison d'actions à considérer est la suivante ( BAEL 99 Art. B.9.2):

N u = 1,35 ⋅ G + 1,50 ⋅ QB Lorsque l'action du vent est importante (rarement) on est amené à considérer les combinaisons d'actions suivantes:

N u = 1,35 ⋅ G + 1,50 ⋅ QB + W N u = 1,35 ⋅ G + 1,50 ⋅ W + 1,3ψ 0 QB

avec

ψ 0 = 0,77

N u = G + 1,50 ⋅ W b) - méthodes de calcul Il s'agit de "peser" le bâtiment.

Î

1ère méthode: on peut calculer le poids total et ettre qu'il se répartit uniformément sur

la fondation. C'est un cas simple et rarement utilisé. Î

2ème méthode: on peut modéliser la structure et calculer les actions aux appuis, méthode

complexe qui s'applique bien aux bâtiments ossaturés (avec des portiques). Î

3ème méthode: C'est la méthode généralement utilisée: •

on découpe le bâtiment en zones représentatives,

•

on "descend" les charges sur 1,00 m. de largeur de mur ou sur un poteau sans se

préoccuper de la continuité des éléments sauf de manière forfaitaire pour les poteaux. On peut appliquer la loi de dégression des charges selon la norme NF P 06 001 (voir annexe 1).


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III) DIMENSIONNEMENT DES SEMELLES a) - contrainte de calcul du sol La résistance du sol est donnée dans le rapport de sol ou le CCTP par sa contrainte ultime de rupture

q u exprimée en MPa . Dans les cas courants (charge centrée, tassements différentiels faibles) on en déduit la contrainte de calcul à l'état limite ultime: Nota 1:

qc =

qu . 2

certains rapports de sol ne tiennent pas compte du DTU 13.12 publié en Mars 1988 et

fournissent encore la contrainte issible du sol (appelée aussi taux de travail du sol ou encore capacité portante du sol)

σS

exprimée en MPa ou en bar . Dans ce cas on peut prendre comme

q c = 1,35 ⋅ σ S

contrainte de calcul: Dans les calculs q c est toujours exprimée en MPa

b) - semelle sous mur (semelle filante) – D'une manière générale, quelle que soit la forme de la semelle, il y a trois dimensions à déterminer pour définir la géométrie de la semelle. Î

Longueur: Une semelle sous un mur, appelée aussi semelle filante, est calculée pour une

longueur de 1,00 mètre. Î

Largeur: Lorsqu'on connaît la charge apportée par le mur et la contrainte de calcul du sol,

on détermine la largeur de la semelle par une relation du type : contrainte

du sol ≥

effort normal surface

soit en considérant une longueur de mur et de semelle de b' = 1,00 m :


qc ≥

Nu N = u a '⋅b' a'

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a' ≥

soit encore: •

pour N u en MN et q c en MPa ,

a' est exprimé en m .

•

pour N u en kN et q c en MPa ,

a' est exprimé en mm .

a' ≥ 400 mm ,

On prendra toujours Î

Nu . qc

c'est la largeur minimale d'un godet.

Hauteur : ( DTU 13.12, Annexes 1 et 2) •

Cas des semelles massives sans armature transversale :

Une semelle continue sous mur peut ne pas comporter d'armature transversale si :

ddo 0

••

le mur transmet à la semelle une charge verticale, uniforme et centrée,

••

h ≥ a '− a

aa

ou bien

h ≥ 2 ⋅ d0

ddo 0 avec : armatures longitudinales armatures longitudinales

hh

a: a' :

largeur du voile

d0 :

débord de la semelle

largeur de la semelle

aa' '

•

Cas des semelles rigides :

On appelle semelle rigide une semelle pour laquelle:

( a '− a ) ≤ d ≤ a '− a 4

ou encore

d0 ≤ d ≤ 2 ⋅ d0 2

avec en complément des annotations précédentes:

d:

hauteur utile

h − d = 30 à 50 mm : enrobage Nota 2:

Quelles que soient les conditions de fissuration, les bureau d'études prévoient généralement

un enrobage de 50 mm . C'est cette valeur que l'on retiendra dans tous nos calculs.


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Michel BERTHAUD / Alain DUVIVIER 2d 2d

d

2

d/2

ddo 0

a a

semelle massive sans arm.tr.

dd

hh

aa'' semelle rigide semelle rigide

•

Cas des semelles souples :

Les semelles souples ( d 0 ≥ 2 ⋅ d ) ne sont pas étudiées dans ce cours.

c) - semelle sous un poteau – Î

Dimensions horizontales : les dimensions horizontales des semelles sous poteau sont

représentées par les symboles a ' et b' avec b' ≤ a ' .

qc ≥

On calcule la surface de la semelle à partir de la relation:

Nu N N = u soit S = a '⋅b' ≥ u S a '⋅b' qc

Si le poteau est carré ou rond on en déduit a ' .

Nota 3:

Sous un poteau rond il est plus facile de prévoir une semelle carrée qu'une semelle

circulaire, on prend alors a = ∅ du poteau.

Si le poteau est rectangulaire la semelle peut être :

homothétique

ou

b b' = a a'

à débord égal

a' = a + 2 x

b' = b + 2 x

et

aa'' a' a'

aa bb' '

bb

a x x

bb

b' b'

xx


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Les calculs sont conduits en théorie avec des semelles à débords homothétiques (méthode des bielles). Cependant, dès que la longueur du poteau est supérieure à trois fois sa largeur, la semelle devient disproportionnée, exagérément longue par rapport à sa largeur. Il est préférable de choisir alors des débords égaux. On connaît S , a et b . Il faut calculer a ' et b' dans chaque cas : Semelle homothétique

Semelle à débord égal

(utilisation générale)

(utilisation plus rare)

S = a '⋅b' b b' = a a' S=

S = a '⋅b'

⇔

a' =

a 2 ⋅ b' ⇔ b' = b

a b' b b⋅S = a

et

b' =

b a' a

a' = a + 2 x

b Nu ⋅ a qc

et

b' = b + 2 x

S = (a + 2 x ) ⋅ (b + 2 x ) =

Nu qc

équation du second degré dont x est l'inconnue et dont seule la racine positive doit être retenue Î

Dimensions verticales

Comme pour une semelle sous mur on doit avoir :

( a '− a ) ≤ d ≤ a '− a 4 soit:

(b'−b) ≤ d ≤ b ' −b 4

mais aussi

 (a '− a ) (b'−b)  (a '− a ) d ≥ Max  ; = 4  4  4

soit:

[

avec b' ≤ a '

et d ≤ min ( a '− a );

]

(b'−b) = (b'−b)

( a '− a ) ≤ d ≤ (b'−b) 4

On choisit généralement pour d la valeur la plus proche de a , arrondi au multiple de 5 La hauteur réelle de la semelle sera :

cm supérieur.

h = d + 5cm

Cette hauteur minimale devra être contrôlée et, au besoin, corrigée pour respecter les conditions d'enrobage supérieur des aciers.


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d) - vérifications des semelles – Î

vérification de la contrainte réelle du sol:

Les calculs précédents nous ont conduit à des dimensions de semelle pour lesquelles on n'a pas tenu compte ni du poids propre de la semelle ni du poids propre des terres de remblai. Ces valeurs n'étant pas négligeables, il convient de vérifier que la contrainte réelle du sol

σ sol

au niveau de la surface d'appui de

la semelle reste inférieure à la contrainte de calcul q c , soit:

σ sol ≤ q c avec

σ sol =

N u + 1,35 ⋅ (G0 + G1 ) a '⋅b'

où

G0

est le poids de la semelle

G1

est le poids propre du remblai

Î

condition de non-poinçonnement •

Cas général

Dans le cas de semelles sur sol donnant lieu à des contraintes de sol relativement élevées ( σ sol > 0,6 MPa ) sous l'effet de charges localisées, il faut vérifier le comportement de la semelle vis à vis

h≥

du poinçonnement. Cette vérification est inutile si:

a '− a 2

 a ⋅b  Pu' = N u + 1,35 ⋅ (G0 + G1 ) 1 − 2 2  a '⋅b'  

[

'

On appelle Pu la charge poinçonnante:

]

La condition de non-poinçonnement s'écrit ( BAEL 99 Art. A.5.2,42):

Pu' ≤ 0,045 ⋅ uc ⋅ h ⋅ avec:

f cj

a1 = a + h

a 2 = a + 2h

b1 = b + h

b2 = b + 2h

•

avec

γb ⇒

uc = 2 ⋅ (a1 + b1 )

u c = 2 ⋅ ( a + h + b + h) = 2 ( a + b + 2 h)

Cas des semelles filantes

A priori la condition de non-poinçonnement ne s'applique pas, la charge ne pouvant pas être considérée comme localisée. On peut cependant faire la vérification en prenant: b = b' = b1 = b2 = 1,00 m .


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•

Cas des semelles isolées rectangulaires

Dans ce cas la condition devient:

[N

u

f cj  (a + 2h) ⋅ (b + 2h)  + 1,35 ⋅ (G0 + G1 ) 1 − ≤ 0,09 ⋅ (a + b + 2h) ⋅ h ⋅  γb a '⋅b'  

]

Au cas où la condition de non-poinçonnement n'est pas vérifiée, il faut augmenter la hauteur h de la semelle.

IV) CALCULS DES ARMATURES

Dans le cas de charges centrées, le règlement ( BAEL 99 Art. B.9.3) autorise et préconise l'utilisation de la méthode des bielles pour la détermination des ferraillages des semelles filantes ou isolées à condition que les dimensions soient homothétiques.

a) - cas des semelles filantes – Les armatures sont de 2 types : Î

Armatures transversales : placées en travers de la semelle. Pour une semelle rigide on

calcule les armatures transversales par la méthode des bielles. •

Effort de traction

On considère que les efforts provenant du mur sont transmis au sol par l'intermédiaire de bielles de béton obliques et équilibrées par les armatures. Ces bielles ont leur origine en A, intersection de BC avec l'axe du mur. a y Nu

A bielle de béton comprimée

B dR d ho dF

C Armature tendue

D

O

dT dx

x a'


x

E q

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Soit un élément de semelle de largeur dx et de longueur unité, situé à la distance x de l'axe Oy . Le sol

dR = q c ⋅ 1 ⋅ dx

exerce une action élémentaire:

qc =

Or

Nu a'

donc

On peut projeter dR sur AE et Ox en :

dR =

Nu ⋅ dx . a'

dF qui comprime la bielle de béton dT qui tend l'armature.

En comparant les triangles semblables (OEA et dR , dT ) on obtient :

dT x = dR h0 En intégrant de 0 à

soit

dT =

Nu ⋅ x ⋅ dx a '⋅h0

a' on obtient l'effort de traction dans l'armature : 2 T=

a'

∫0

2

dT =

a'

∫0

2

Nu N ⋅ a' ⋅ x ⋅ dx = u 8 ⋅ h0 a '⋅h0

La hauteur h0 n'est pas évidente à évaluer. Les triangles ACO et BCD sont homothétiques, on peut donc

a ' 2 ( a '− a ) 2 = h0 d

écrire:

D'où l'effort de traction dans les armatures: •

a ' a '− a = h0 d

⇒ T=

N u ⋅ ( a '− a ) 8⋅d

Section des armatures transversales

On peut donc calculer la section des armatures à mettre en place sur 1,00 m de longueur de semelle:

Ast = •

T f su

soit

Ast =

N u ⋅ ( a '− a ) 8 ⋅ d ⋅ f su

Bien que les calculs ne donnent pas de sections minimales, en pratique on utilise les

ferraillages minimaux suivants:

•

••

diamètre minimum:

8 mm

••

espacement maximum:

33 cm soient 3 aciers par m.

Arrêt des barres

Les armatures sont normalement terminées par des crochets normalisés, cependant certains cas permettent d'utiliser des ancrages droits. On peut donc distinguer trois cas de figures en fonction des valeurs des longueurs de scellement droit l s et de la largeur de la semelle a ' .


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Rappel:


les longueurs de scellement droit (ou ancrages rectilignes) sont données dans le règlement

( BAEL 91-99 Art. A.6.1,22). Les ancrages courbes sont définis dans le règlement en BAEL 91-99 Art.6.1,25.

••

ls >

a' 4

⇒

ancrage par crochets normalisés

••

a' a' ≤ ls ≤ 8 4

⇒

ancrage rectiligne sur toute la largeur de la semelle

••

ls <

a' 8

⇒

deux possibilités:

•••

ancrage rectiligne une barre sur deux sur toute la largeur de la

semelle, la suivante de longueur 0,71 ⋅ a ' , axée. •••

ancrage rectiligne de toutes les barres de longueur 0,86 ⋅ a ' ,

prolongées alternativement jusqu'au bord de la semelle d'un coté et de l'autre. D'autre part il ne faut pas oublier les amorces des aciers du mur qui doivent être descendues au moins jusqu'à la nappe inférieure de la semelle. Î

Armatures longitudinales : Ce sont des armatures de répartition définies forfaitairement:

( DTU 13.12, Art. 2.5.3)

A Asl ≥ Max  st ;  4

 A f  avec au minimum 3 barres, où A f prend l'une des valeurs suivantes: 

A f = 3,0 cm² pour des aciers doux A f = 2,0 cm² pour des HA Fe E 400 A f = 1,6 cm² pour des HA Fe E 500 (Ce sont ces aciers qui sont couramment utilisés) Pour les grandes longueurs, les barres successives doivent avoir un recouvrement d'au minimum 35 ∅ . Il faut assurer la continuité dans les angles.


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b) - cas des semelles isolées – Les armatures sont "transversales" dans les 2 directions. Î

Semelle carrée : chaque nappe se calcule par la relation précédente sans se préoccuper

de la différence des valeurs de d . Î

Semelle rectangulaire : on calcule les armatures dans chaque sens (avec b' ≤ a ' ). • armatures parallèles au sens a

Asta =

N u ⋅ ( a '− a ) 8 ⋅ d a ⋅ f su

• armatures parallèles au sens b

Astb =

N u ⋅ (b'−b) (∅ a + ∅ b ) avec d b = d a − 2 8 ⋅ d b ⋅ f su

(armatures principales)

En pratique on ne connaît pas ∅ b puisque Astb n'est pas encore connue, on prendra donc: d b ≈ d a − ∅ a Les aciers Asta sont toujours placés en nappe inférieure parallèlement au grand coté a (rappel: a ≥ b et a ' ≥ b' ). Î

Arrêt des barres

Les armatures sont normalement terminées par des crochets normalisés, cependant certains cas permettent d'utiliser des ancrages droits. On peut donc distinguer deux cas de figures en fonction des valeurs des longueurs de scellement droit l s et de la largeur de la semelle a ' .

Rappel: les longueurs de scellement droit (ou ancrages rectilignes) sont donnés dans le règlement ( BAEL 91-99 Art. A.6.1,22). Les ancrages courbes sont définis dans le règlement en BAEL 91-99 Art.6.1,25.

•

ls >

a' 4

⇒

ancrage par crochets normalisés

•

ls ≤

a' 4

⇒

ancrage rectiligne sur toute la largeur de la semelle

Les conditions sont similaires dans le sens b .


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D'autre part il ne faut pas oublier les amorces des aciers du poteau qui doivent être descendues au moins jusqu'à la nappe inférieure de la semelle dans le cas d'une charge centrée, et avec un retour horizontal de

35 ∅ , dans le cas d'une charge excentrée (avec moment fléchissant). c) - conditions de fissuration – Quel que soit le type de semelle, le calcul des armatures est conduit à l'état limite ultime, en fissuration non préjudiciable. Dans le cas où la fissuration est préjudiciable, les sections d'acier obtenues par les calculs précédents sont

, ). majorées forfaitairement de 10% (coefficient multiplicateur de 110 Dans le cas où la fissuration est très préjudiciable, les sections d'acier obtenues par les calculs en fissuration non préjudiciable sont majorées forfaitairement de 50% (coefficient multiplicateur de 1,50 ).

d) - enrobage Les aciers des semelles doivent être enrobés au minimum de 3 cm. Il est très fréquent de prévoir un enrobage de 5 cm, par sécurité, même en fissuration non préjudiciable (voir Nota 2).


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V) SEMELLES AVEC CHARGES EXCENTREES a) - présentation du problème – Le calcul par la méthode des bielles est un calcul très simple autorisé par le BAEL uniquement dans le cas de charge centrée et de semelle à débords homothétiques. Dans tous les autres cas c'est la méthode dite "des moments" ou encore du CEB (Comité Européen du Béton) qui doit être utilisée. C'est cette méthode qui est définie ici. On ne rentrera pas dans le détail de la théorie, on se contentera de calculer les dimensions et le ferraillage de la semelle.

b) - dimensionnement de la semelle – L'axe du couple de flexion est supposé perpendiculaire au plan contenant le plus grand coté du poteau. La contrainte du sol est supposée uniformément répartie. Le moment M u est calculé en tenant compte des effets du second ordre ( BAEL 99 Art. A.4.3,5).

Nu a Mu

e

N u + 1,35 ⋅ G0

σ sol a'

2e

a' −e 2

a' −e 2

a'


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e=

On obtient alors

Mu N u + 1,35 ⋅ G0

(on néglige G1 )

La section de la semelle se calcule comme précédemment en augmentant la dimension dans le sens d'action de M u de la valeur 2e , soit: S = a ' r ⋅b' = Nota 3:

Nu , avec ensuite: a ' = a ' r +2e qc

on n'est plus astreint à utiliser des débords homothétiques, on utilise alors

fréquemment des débords égaux.

c) - calculs des armatures On calcule les aciers à la base de la semelle nécessaires à équilibrer le moment de flexion dans une section

S1 située à une distance de 0,35 ⋅ a (voir Nota 6) de l'axe du poteau en ne prenant en compte que le réaction du sol au delà de cette section. Il existe alors deux possibilités pour le moment:

Î

Î

2e <

2e ≥

a' + 0,35 ⋅ a 2

a' + 0,35 ⋅ a 2

⇒

VuS 1

a' − 0,35 ⋅ a = ( N u + 1,35 ⋅ G0 ) 2 a ' −2 e a' − 0,35 ⋅ a 2 2

⇒

M uS 1 = VuS 1

⇒

VuS 1 = ( N u + 1,35 ⋅ G0 )

⇒

M uS 1 = VuS 1 (e − 0,35 ⋅ a )

Par la suite, la valeur de M uS 1 étant établie, on calcule:

M uS 1 f bu .b0 . d ²

Î

µ=

Î

α = 1,25.(1 − 1 − 2. µ )

Î

z = (1 − 0,4.α ). d

Î

Asta =

avec b0 = b'

M uS 1 z . f su


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Dans le sens transversal, il n'y a généralement pas de moment, le calcul se fait par la méthode des bielles

soit:

Nota 4:

Astb =

N u ⋅ (b'−b) 8 ⋅ d b ⋅ f su

Dans le cas de semelle sous voile avec un moment, les calculs sont similaires en

prenant b = b' = 1,00 m

Nota 5:

Tous les calculs complémentaires tenant compte de la fissuration ou pour les arrêts

de barres, les enrobages ou les espacements restent les mêmes.

Nota 6:

Au cas où on utilise la méthode des moments alors que la charge est centrée (c'est

le cas en théorie dès que l'on veut faire le calcul avec des semelles à débords égaux sous charges centrée), on calcule par rapport à une section située S1 à une distance de 0,25 ⋅ a de l'axe du poteau en ne prenant en compte que le réaction du sol au delà de cette section.

VI) DESSIN DES FONDATIONS Il comprend un plan et une ou plusieurs coupes, souvent à plus grande échelle, pour définir le coffrage. Des détails sont souvent nécessaires. Le ferraillage qui est en général simple peut s'indiquer sommairement et dans un calepin si les armatures sont préfabriquées. •

Pour faire ressortir les semelles on peut dessiner leur contour en traits renforcés et le contour des murs ou des poteaux en traits forts.

•

Les axes horizontaux des semelles sont repérés dans les 2 directions. Ces axes sont aussi ceux des murs porteurs et doivent se retrouver sur tous les autres plans du projet.

•

La cotation d'implantation (en cotes cumulées) est préférable mais au bureau d'études on ne sait pas en général par quel angle du bâtiment la construction va commencer. Il faut donc réaliser cette cotation de manière logique par rapport à l'implantation probable.


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•


L'indication du niveau des fondations est primordiale et il faut préciser de quel niveau il s'agit, fond de fouille ou arase supérieure. En général on essaie d'avoir une arase supérieure commune et on indique le niveau du fond de fouille des semelles qui peut être variable mais doit respecter la mise hors gel de la surface d'appui sur le sol ( − 0,80 m pour notre région).

•

Sur un dessin de coffrage ou de ferraillage le béton coupé est laissé blanc. On n'utilise la représentation symbolique du béton (pointillés et ronds) que sur des dessins de détail et jamais mélangée avec des armatures.

•

Sur le plan des fondations doivent figurer les canalisations enterrées qui ent sous les semelles ou sous le dallage ou dans le vide sanitaire car ces canalisations seront mises en place en même temps que les fondations. Des coupes et des détails sont souvent nécessaires.

•

Les semelles sont coulées sur un béton de propreté de 50 mm d'épaisseur minimale qui donne une assise plane et horizontale et évite au béton de la semelle de se mélanger avec le terrain sous-jacent.

A chaque fois que cela est possible les semelles sont coulées directement dans une rigole creusée dans le terrain, ce qui évite le coffrage et le décoffrage et permet un bon encastrement, mais cause souvent des imprécisions sur la largeur de la semelle. Ce sont finalement les armatures longitudinales (et transversales si elles existent) qui matérialiseront la largeur réelle de la semelle.


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Séquence 2 EXEMPLES DE CALCUL

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Exemple 1 Déterminer la dimension et le ferraillage de la semelle filante suivante soumise à une charge centrée: Î

poids propre du BA:

g 0 = 25 kN/m3

poids propre du remblai:

g1 = 20 kN/m3

1) - Inventaire des hypothèses: • largeur du voile:

a = 0,25 m

• enrobage minimal des aciers:

c ≥ 4 cm

• résistance ultime du sol: qu = 0,80 MPa

Î

qc =

qu 2

=

0,80 = 0,40 MPa 2

• béton:

f c28 = 25 MPa

Î f bu =

0,85 0,85 f c 28 = × 25 = 1,5 1,5

• aciers:

f e = 500 MPa

Î f su =

fe 500 = = 115 , 115 ,

• charges permanentes: G = 300 kN/m

14,16 Mpa

435 MPa

• charges d'exploitation: Q = 150 kN/m • fissuration non préjudiciable

2) - Calcul de la charge ultime: • combinaison d'action:

N u = 1,35 ⋅ G + 1,50 ⋅ Q

Î N u = 1,35 ⋅ 300 + 1,50 ⋅ 150 soit


=

630 kN/m 0,63 MN/m

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2) - Calcul de la charge ultime: • combinaison d'action:

N u = 1,35 ⋅ G + 1,50 ⋅ Q

Î N u = 1,35 ⋅ 300 + 1,50 ⋅ 150

=

soit

630 kN/m 0,63 MN/m

3) - Dimensions de la semelle: • largeur a ' de la semelle: a ' =

Nu qc

Î a' =

0,63 0,40

=

1,575 m

arrondi au multiple de 5 cm par excès soit:

a' = • hauteur utile d avec:

( a '− a ) ≤ d ≤ a '− a 4

• hauteur réelle h avec h = d + 5cm

Î

1,60 m

(1,60 − 0,25) ≤ d ≤ (1,60 − 0,25) ⇒ 4 d =

0,35 m

=

0,40 m

Î h = 0,35 + 0,05

4) - Vérifications de la semelle • poids propre de la semelle:

G0 = 1,00 ⋅ a '⋅h ⋅ g 0

Î G0 = 1,00 ⋅ 1,60 ⋅ 0,40 ⋅ 0,025

= 0,016 MN

• poids propre du remblai:

G1 = 1,00 ⋅ (a '− a ) ⋅ ( pe − h) ⋅ g1

Î G1 = 1,00 ⋅ (1,60 − 0,25) ⋅ 0(,80 − 0,40) ⋅ 0,020 = 0,0108 MN

• vérification de la contrainte réelle du sol:

σ sol =

N u + 1,35 ⋅ (G0 + G1 ) a '⋅b'

• conclusion:

Î Î

σ sol =

0,630 + 1,35 ⋅ (0,016 + 0,011) = 0,416 1,60 ⋅ 1,00

la contrainte réelle du sol est supérieure à la

contrainte de calcul: la semelle n'est pas assez large: il faut reprendre les calculs. On aurait pu se dispenser de reprendre les calculs si on avait majoré la charge ultime de 10% afin de tenir compte forfaitairement du poids propre de la semelle et du remblai.


22/12




Majoration de 10% de Nu, uniquement pour le

3 bis) - Dimensions de la semelle:

dimensionnement • largeur a ' de la semelle: a ' =

110 , ⋅ Nu qc

Î a' =

110 , ⋅ 0,63 = 1,7325 ⇒ arrondi au multiple 0,40 a' =

de 5 cm par excès soit: • hauteur utile d avec:

( a '− a ) ≤ d ≤ a '− a 4


Î

1,75 m

(1,75 − 0,25) ≤ d ≤ (1,75 − 0,25) ⇒ 4

Î h = 0,40 + 0,05

d =

0,40 m

=

0,45 m

4 bis) - Vérifications de la semelle • poids propre de la semelle:

G0 = 1,00 ⋅ a '⋅h ⋅ g 0

Î G0 = 1,00 ⋅ 1,75 ⋅ 0,45 ⋅ 0,025 = 0,020 MN

• poids propre du remblai:

G1 = 1,00 ⋅ (a '− a ) ⋅ ( pe − h) ⋅ g1

Î G1 = 1,00 ⋅ (1,75 − 0,25) ⋅ 0(,80 − 0,45) ⋅ 0,020 = 0,0105 MN

• vérification de la contrainte réelle du sol:

N u + 1,35 ⋅ (G0 + G1 ) a '⋅b'

0,630 + 1,35 ⋅ (0,020 + 0,011) = 0,384 1,75 ⋅ 1,00

Î

σ sol =

• conclusion:

Î

σ sol < q c ⇒

• condition de non-poinçonnement

Î la semelle est filante et q c < 0,60 MPa ⇒ il n'y

σ sol =

la semelle est vérifiée

a rien à vérifier.

5) - Détermination de la section d'acier tendu • Aciers principaux Asta ' = • choix des aciers

N u ⋅ ( a '− a ) 8 ⋅ d ⋅ f su

Valeur de base de Nu pour les aciers

0,630 × (1,75 − 0,25) 8 × 0,40 × 435

Î Asta '

=

Î

9 HA 10 par m


soit

= 6,79.10-4 m ² 7,07 cm²

23/12




• longueur de scellement: l s = 44 ⋅ Φ L • arrêt

l s avec

des

barres:

comparaison

de

a' a' et 4 8

• Aciers longitudinaux:

A  AstL ≥ Max  sta ' ; 1,6cm²   4  • choix des aciers


24/12




exemple 2 Déterminer la dimension et le ferraillage de la semelle isolée sous poteau suivante soumise à une charge centrée: Î

poids propre du BA:

g 0 = 25 kN/m3

poids propre du remblai:

g1 = 20 kN/m3

1) - Inventaire des hypothèses: • Dim. du poteau:

a = 0,40 m b = 0,30 m

• enrobage minimal des aciers:

c ≥ 4 cm

• résistance ultime du sol: qu = 1,40 MPa

Î qc =

qu 2

=

1,40 = 0,70 MPa 2

• béton:

f c28 = 25 MPa

Î f bu =

0,85 0,85 f c 28 = × 25 = 1,5 1,5

• aciers:

f e = 500 MPa

Î f su =

fe 500 = = 115 , 115 ,

• charges permanentes: G = 300 kN/m

14,16 Mpa

435 MPa

• charges d'exploitation: Q = 183 kN/m • fissuration préjudiciable

2) - Calcul de la charge ultime: • combinaison d'actions:

N u = 1,35 ⋅ G + 1,50 ⋅ Q

Î N u = 1,35 ⋅ 300 + 1,50 ⋅ 183

=

soit

680 kN/m 0,68 MN/m

3) - Dimensions de la semelle: • Surface S de la semelle: S =

Nu qc

Î S =


0,680 0,70

=

0,972 m²

25/12




• Largeur de la semelle: b' =

b ⋅S a

• Longueur de la semelle: a ' =

a b' b

• hauteur utile d avec:

( a '− a ) ≤ d ≤ (b'−b) 4


4) - Vérifications de la semelle • poids propre de la semelle: Î G0 = 1,20 ⋅ 0,90 ⋅ 0,45 ⋅ 0,025

G0 = ⋅a '⋅b'⋅h ⋅ g 0

= 0,0122 MN

• poids propre du remblai: Î G1 = (1,2 ⋅ 0,9 − 0,4 ⋅ 0,3) ⋅ (0,8 − 0,45) ⋅ 0,02

G1 = ( a '⋅b'− a ⋅ b) ⋅ ( pe − h) ⋅ g1

= 0,0067 MN • vérification de la contrainte réelle du sol:

σ sol =

N u + 1,35 ⋅ (G0 + G1 ) a '⋅b'

Î Î

• conclusion:

σ sol =

0,680 + 1,35 ⋅ (0,012 + 0,007) = 0,653 1,20 ⋅ 0,90

la contrainte réelle du sol est inférieure à la

contrainte de calcul: la semelle est vérifiée •

vérification

de

la

condition

poinçonnement: si σ sol > 0,6 puis h <

de

non- Î σ sol = 0,653 > 0,6

a '− a 2

h = 0,45 ≥

1,20 − 0,40 = 0,40 2

vérification

inutile 5) - Détermination des sections d'acier tendu • Aciers sens a : Asta =

N u ⋅ ( a '− a ) 8 ⋅ d a ⋅ f su

• majoration pour fissuration préjudiciable

Î Asta

=

0,680 × (1,20 − 0,40) 8 × 0.,40 × 435

Î 1,10 ⋅ 3,91


= 3,91.10-4 m ² = 4,30 cm²

26/12



• choix des aciers sens a : • détermination de d b ≈ d a − ∅ a • Aciers sens b : Astb =

N u ⋅ (b'−b) 8 ⋅ d b ⋅ f su

• majoration pour fissuration préjudiciable • choix des aciers • longueur de scellement: l s = 44 ⋅ Φ L • arrêt des barres sens a : comparaison de

l s avec

a' a' et 4 8

• arrêt des barres sens b : comparaison de

l s avec

b' b' et 4 8


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DEGRESSION DES CHARGES D'EXPLOITATION EN FONCTION DU NOMBRE D'ETAGES (NORME NF P 06-001) Conditions d'utilisation: Bâtiments à étages à usage d'habitation. Principe de calcul: L'occupation des locaux est indépendante d'un niveau à l'autre. Utilisation:

Calculs des éléments porteurs de la structure: fondations, murs, poteaux, etc...

Schéma de principe de la structure d'un Q bâtiment

Cas de charges identiques

Q1

Q1 = Q2 =... = Qn = Q

Q1 ≠ Q2 ≠... ≠ Qi ≠... ≠ Qn

∑0 = Q0

∑0 = Q0

0

Q2

∑1 = Q0 + Q

∑1 = Q0 + Q1

Q3

∑2 = Q0 + 1,9 ⋅ Q

∑2 = Q0 + 0,95 ⋅ (Q1 + Q2 )

Q4

∑3 = Q0 + 2,7 ⋅ Q

∑3 = Q0 + 0,90 ⋅ (Q1 + Q2 + Q3 )

Q5

∑4 = Q0 + 3,4 ⋅ Q

∑4 = Q0 + 0,85 ⋅ (Q1 + Q2 + Q3 + Q4 )

Qn

------------------

 3 + n    ⋅ Q  2  

∑n = Q0 +  pour n ≥ 5

avec:

Cas de charges différentes

------------------

 3 + n  n   ⋅ ∑ Qi   2n  1 

∑n = Q0 +  pour n ≥ 5

Î

Q0

valeur de référence de la charge d'exploitation pour le toit ou la terrasse,

Î

Qi

valeur de la charge d'exploitation pour le plancher de l'étage i la numérotation étant

effectuée du haut vers le bas.


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Exemples d'application:


Nombre d'étages: 7

Cas de charges identiques

Cas de charges différentes

Q0 = 1000 N m²

Q0 = 1000 N m²

Q4 = 2300 N m²

Q1 = 1500 N m²

Q1 = 1500 N m²

Q5 = 2000 N m²

Q2 = 1700 N m²

Q6 = 1800 N m²

Q3 = 2000 N m²

Q7 = 1600 N m²

∑0 = Q0

= 1000

∑0 = Q0

= 1000

∑1 = Q0 + Q = 1000 + 1500 = 2500

∑1 = Q0 + Q1 = 1000 + 1500 = 2500

∑2 = 1000 + 1,9 ⋅ 1500 = 3850

∑2 = Q0 + 0,95 ⋅ (Q1 + Q2 ) = 1000 + 0,95 ⋅ 3200 = 4040

∑3 = 1000 + 2,7 ⋅ 1500 = 5050

∑3 = Q0 + 0,90 ⋅ (Q1 + Q2 + Q3 ) = 1000 + 0,90 ⋅ 5200

∑4 = 1000 + 3,4 ⋅ 1500 = 6100 ------------------

 3 + 7   ∑7 = Q0 +  2  ⋅ Q = 1000 + 5 ⋅ 1500   = 8500

= 5680

∑4 = Q0 + 0,85 ⋅ (Q1 + Q2 + Q3 + Q4 ) = 1000 + 0,85 ⋅ 7500 = 7375

------------------

 3 + n  n  3 + 7  = Q + ∑n 0  2n  ⋅ ∑ Qi  = 1000 +  2 ⋅ 7 ⋅ 12900   1   = 1000 + 0,714 ⋅ 12900 = 10214


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Séquence 2 EXERCICES

Retour au plan Si une donnée venait à manquer, vous devrez formuler des hypothèses judicieuses et cohérentes vous permettant de poursuivre les calculs.

Exercice n° 1

Vous devez étudier et définir les dimensions et le ferraillage d'une semelle sous le poteau défini ci-dessous: Î dimensions du poteau prévues par l'architecte: a = 400 mm b = 300 mm Î caractéristiques des matériaux employés béton:

fcj = 28 MPa,

cg = 25 mm

aciers longitudinaux

Fe E 500,

η = 1,6

aciers transversaux

Fe E 500

La contrainte ultime du sol est de:

qu =

1,20 MPa

Les charges de service appliquées en pied de poteau sont les suivantes: G=

630 kN

QB =

270 kN

La profondeur de l'arase inférieure est de -0,80 m au minimum par rapport au sol voisin.

Nota: aucune venue d'eau extérieure n'est prévisible au niveau des fondations.

Vous réaliserez le plan de coffrage de la semelle et le plan de ferraillage accompagné d'une coupe et d'une nomenclature détaillée y compris l'amorce de ferraillage du poteau en 6 HA 12.


30/12



Exercice N° 2

Calculer les dimensions et les armatures d'une semelle rigide sous poteau rectangulaire • de section:

0,35 m x 0,25 m

• soumis à une charge centrée ultime de

Nu = 1,45 MN

• pour une contrainte ultime du sol de

qu = 0,65 MPa

Effectuer les vérifications d'usage. Représenter la section de la semelle et son ferraillage sur un schéma à l'échelle.

Exercice N° 3

Un mur en béton banché de 20 cm d'épaisseur est soumis aux charges suivantes: • masse du mur et de éléments qu'il e

Mg = 11,5 t/m

• charge d'exploitation

Mq = 8,3 t/m

La contrainte ultime du sol est de 13 bars L'enrobage minimum est de 5 cm. La fissuration est considérée préjudiciable. Dimensionner et vérifier la semelle nécessaire sous le mur. Calculer les aciers nécessaires au ferraillage correct de cette fondation .


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Exercice N° 4

Vous devez étudier la fondation d'un poteau en béton armé de 0,300 x 0,400 à la base d'un bâtiment. Cette fondation sera rigide et homothétique. Les caractéristiques mécaniques sont les suivantes: • charge ultime en pied de poteau:

Nu = 3,04 MN

• moment ultime en pied de poteau:

Mu = 0.456 MN.m

• résistance du sol

qu = 2,80 MPa

• béton

f c 28 = 30 MPa

• enrobage

c ≥ 4 cm

Exercice N° 5

Vous avez reçu sur chantier un ferraillage qui ne vous est pas destiné a priori. Le fabricant ne veut pas le récupérer et vous dit de l'utiliser si vous le pouvez. Les caractéristiques de ce ferraillage sont les suivantes: • largeur apparente de la semelle avec un enrobage ≥ 4 cm:

0,85 m

• dimension apparente du voile:

0,20 m

• aciers principaux avec crochets normaux:

7 HA 10 par m

• aciers longitudinaux filants:

5 HA 8

A quelle charge centrée ultime correspond cette semelle dans le cas de fissuration non préjudiciable? Quelle est la contrainte ultime minimale du sol correspondant à la charge précédemment calculée? Quelle serait la hauteur de la semelle? Mêmes questions dans le cas de fissuration préjudiciable. Mêmes questions dans le cas de fissuration très préjudiciable.


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Exercice N° 6

Vous devez déterminer les dimensions de la semelle sous un poteau, effectuer les vérifications et déterminer les sections d'acier théoriques et pratiques correspondant aux hypothèses formulées ci-dessous: Î dimensions du poteau: a = 300 mm b = 200 mm Î valeurs des charges de service: G = 456 kN Q = 280 kN Î caractéristiques des matériaux employés béton:

fcj = 28 MPa,

cg = 25 mm

aciers longitudinaux

fe E 500,

η = 1,6

aciers transversaux

fe E 500

Î contrainte ultime du sol:

qu =

0,80 MPa

Î des venues accidentelles d'eau extérieure considérée très agressive sont prévisibles au niveau des fondations.

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