Calcul Plastique Structures 2l4y59

Département Génie Civil

Année 2009/2010

Calcul plastique des structures Analyse Limite Plastique et principes de l’EC3 A. Bouchaïr Ce document contient les bases générales du calcul plastique des structures même s’il est destiné à la formation continue (Construction Métallique).

Introduction

Généralités

Calcul p plastique q des structures : associé aux états limites ultimes 

Exploite les réserves de résistance de l’acier à différents niveaux : - Le matériau : si ductilité suffisante - La L section ti (classe ( l 1 ou 2) : ffacteur t d de fforme - L’élément de structure : si hyperstaticité, capacité de rotation suffisante et maintien/instabilités 

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1

Introduction 





Matériau

Le calcul élastique consiste à vérifier la résistance des sections et des éléments en considérant que toutes les fibres restent dans le domaine élastique. Le calcul plastique permet d’exploiter la ductilité de l’acier par des « incursions » plus ou moins grandes dans le domaine plastique sans déer l’ELU de la structure. Pour mener un calcul plastique plastique, il est nécessaire que le matériau ait des caractéristiques suffisantes de ductilité (non fragilité). Ceci permet de garantir une capacité à subir des déformations permanentes tout en maintenant un certain niveau de résistance.

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Le calcul plastique Définit deux niveaux de « service » : – Capacités de sections : sans redistribution plastique – bon compromis (performance/coût ingénierie) – accessible à tous – Capacités de section et redistribution plastique – coût ingénierie plus élevé – avantages dans cas particuliers – bâtiments standardisés – réhabilitation ou situations particulières

Redistribution plastique (outil performant) : en pratique utile mais pas indispensable Calcul plastique des structures n°4/66

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2

Plan de la présentation 

Comportement des matériaux (modèles courants)



Caractérisation de sections (sous N et M séparés)



Interaction M-N



Relation Moment-courbure et rotule plastique



Méthodes d’analyse plastique (N et M séparés):  Méthode incrémentale (pas à pas)  Méthode statique  Méthode cinématique



Assemblages : quelques « extraits » Lien avec l’EC3 à faire en association avec les autres présentations

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Comportement des matériaux 

Éprouvette normalisée : permet de qui fournit déterminer la courbe de traction q les caractéristiques mécaniques de base de l’acier (fy, fu, u, A (%))



AB : écoulement plastique (acier doux) – fy



A et B confondus: x% (conventionnelle)



Idéalisation (élastique parfaitement plastique, élastique plastique avec écrouissage, …..)



Décharge élastique ( et u résiduels)

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3

Comportement de matériau Courbe de traction  



Courbe de traction idéalisée Exigences de ductilité (EC3) – (3.2.2) (3 2 2) – fu/fy ≥ 1,1 – Au ≥ 15 % et u ≥15*y Choix possible Annexe Nationale F/So

C

fu 

B A

l/l0

E O

p=0.2%

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

u

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Comportement de matériau Courbes de traction 

  

Les courbes de traction « ductiles » n’ont pas toujours de palier plastique bien défini.  Acier inoxydable (0,2 :limite élastique conventionnelle)  Aciers écrouis (formés à froid, ….)  Aciers à hautes limites d’élasticité La relation de type élastique parfaitement plastique est un outil pratique pour les calculs L’hypothèse de décharge élastique est acceptable pour la plupart des métaux La sur-résistance sur résistance peut poser des problèmes dans certaines situations

Calcul plastique des structures n°8/66

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4

Etude de section N seul (Ne et Np) 

Section homogène : – Ne et Np p confondus ((limite élastique q atteinte au même moment sur la section))



Section non homogène (E ou fy) : – – – – –



Déformation constante sur la section Ne (l’effort normal élastique) : défini par le matériau qui se plastifie en premier Np (l’effort normal plastique) : défini par la plastification totale de la section Np et Ne : différents Si E est constant (contraintes élastiques constantes dans la section)

En construction métallique : – S Section i non h homogène è (E et ffy)) : mixte i acier-béton, i bé …. – Section non homogène (fy) : sections hybrides

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Etude de section N seul    

Tube mixte

Une section de tube circulaire constituée de deux matériaux ductiles parfaitement adhérents (E1=10*E2, fyy1=5*fyy2) La résistance plastique Np (charge de ruine) est atteinte après la plastification des deux matériaux : Np= S1*fy1 + S2*fy2 = 8*fy2**R2 Ne : effort normal élastique (première plastification) calculé en utilisant la déformation constante (1 = 2). Ainsi : Ne= 6,5*fy2**R2 Np/Ne = 1,23  fy1 y

Si suppression de la charge après Ne : contraintes résiduelles dans les deux matériaux

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fy2

2

1

R 2R

E2 E1



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Etude de section M seul 





Rotule plastique

Pour les calculs, la rotule plastique est considérée localisée dans la zone du moment maximum En réalité, la seule section relative à la rotule plastique est plastifiée sur toute sa hauteur mais les sections dans son voisinage sont en phase élasto-plastique Par simplification, seule la rotule plastique est considérée p plastifiée et les autres sections sont considérées élastiques (rigidité et résistance)

P 

M Me

Mp

Me Mp Zone plastifiée 

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Etude de section Facteurs de forme M seul  

Facteur de forme de sections symétriques : plus grand pour la matière concentrée près de l’axe neutre Si section non symétrique (géométrie ou matériau) : les axes neutres élastique et plastique ne sont pas confondus (facteur de forme important)

section

=Mp/Me

1,0

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1,1-1,15

1,27

1,5

1,7

2

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Étude de section M seul Facteur de forme 

Catalogue g ARBED :

Section seule : gain de 10 à 15 % (/ axe yy) Calcul plastique des structures n°13/66

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Etude de section M seul     

Déformations

Hypothèse Navier-Bernoulli (section plane reste plane après déformation élastique et plastique) Phase 1 : toutes les fibres sont en phase élastique Phase 2 (Me) : seule la fibre extrême est plastifiée Phase 3 (Mep) : une partie de la section plastifiée et l’autre élastique Phase 4 (Mp) : toutes les fibres sont plastifiées  e y

1

=e

2

 infini

 e

3

e

4

e

e b*2h

e

e

eepp

p

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Etude de section M seul    

Contraintes

Phase 1 : = My.z/y (section sous M seul en élasticité) Phase 2 : Me = Wel*fy ((moment élastique) q ) Phase 3 : Mep = Me1 + Mp1 Phase 4 : Mp = wpl*fy

fy

y

b*2h

1 e

=fy

=fy

=fy

3

2 e

4

eepp

p

z Calcul plastique des structures n°15/66

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Etude de section M seul      

Me

Application : Section rectangulaire symétrique, homogène (E, fy) M seul : Ft = Fc (intégrale des contraintes sur chaque partie) ANE : confondu avec centre de gravité de section (E constant) Loi de Hooke à respecter :  = E* Relation section homogène : = My.z/Iy Ainsi : Me = fy.Iy/h = fy*b*h2*2/3 = Wel*fy = e y

=fy 

Ft

Fc b*2h

  e

z Calcul plastique des structures n°16/66

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Etude de section M seul     

Mp

Section rectangulaire symétrique, homogène (E, fy) M se seull : Ft = Fc = fy*b*h ANP : divise la section en deux parties égales (fy constant) Aucune relation entre  et  Ainsi : Mp = 2*fy*b*h*(h/2) = fy*b*h2 = Wpl*fy =fy Ft

Facteur de forme (section rectangulaire): Mp/Me = 1,5

ANP

y

Fc  p

b*2h z Calcul plastique des structures n°17/66

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Etude de section M seul      

Mep

Section rectangulaire symétrique, homogène (E, fy) M seul : Ft = Fc ave Fc = Fce + F et Ft = Fte + Ftp AN_EP : partage la section en deux parties vérifiant (Ft=Fc) Loi de Hooke respectée sur la partie élastique (e Section = partie élastique + partie plastique Ainsi : Mep = Me1 + Mp1 = Wel1*fy + Wpl1*fy  e

=fy

e AN_EP

y

e b*2h

ze

Fc

Ft =

Ft Ftp Fce

Fte + F

 ep

 e1

 p1

z Calcul plastique des structures n°18/66

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Etude de section M seul     

Mep

Partie élastique caractérisée par : ze = *h , ( = 0 à 1) Me1= (2/3) (2/3)*b*f b fy*zze2 & Mp1 = b b*fy*(h fy (h2-zze2) Mep = b*fy*h2*(1-2/3) = Mp*(1-2/3) L’inertie « efficace » de la section correspond à la partie élastique Relation parabolique : traduit l’évolution de Mep (entre Me et Mp) fonction de la rigidité de la section  e

=fy y

e AN_EP

y

e

ze

+

ze  e1

b*2h

 p1

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Etude de section Relation MomentMoment-courbure M seul   

1 z Navier-Bernoulli sur section plane (petits R x  v" R déplacements): h La déformation élastique e s’écrit en fonction ze e   des rayons de courbure (sous Me et Mep) Re Rep Le rayon de courbure diminue avec la Rep  Re plastification de la section et tend vers 0 sous Mp 1,6

Mp

1,4

M/Me

1,2

Me

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Re/Rep = h/ze

Calcul plastique des structures n°20/66 9

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Etude de section Rotule plastique 





  

Idéalisation du comportement en flexion – M < Mp : comportement élastiq élastique e linéaire – M = Mp : la section atteint son palier de résistance et se transforme en rotule (rotation libre au-delà de Mp) Ainsi, le comportement élastique parfaitement plastique est défini en flexion de manière analogue à la traction/compression simple (section entière se plastifie au même moment). Avec cette notion, la section e en flexion d’un état élastique à un état ét t plastique l ti sans phase h él élasto-plastique t l ti ((progression i d de lla plasticité sur la hauteur) Ce modèle est particulièrement justifié pour les sections en I En réalité, la résistance est augmentée par l’écrouissage Mp peut être réduit par N et V

Calcul plastique des structures n°21/66

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Etude de section Rotule plastique : Une représentation

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Etude de section M seul    

écrouissage

Une loi  bi-linéaire suffit pour tenir compte de l’écrouissage Le module d’écrouissage d écrouissage est une fraction de E (1/10000 par ex ex.)) Déformation linéaire sur la hauteur de la section Au-delà de Me : parties élastique et plastique (pas de Mp)

=fy

  fy

1 2 3

E/k

E





 fy

 y

fy

y

y

 b*2h z

e

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eepp

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Etude de section mono--symétrie mono M seul   

Section homogène non symétrique : axes neutres élastique et plastique non confondus Me : défini par la fibre la plus sollicitée Le facteur de forme Mp/Me : influencé par l’évolution du bras de levier des « contraintes »

   

ye = yg =7,75*a yp = 10*a Me = 30,4*fy*a3 Mp = 55*fy*a3 Mp/Me = 1,8

Calcul plastique des structures n°24/66

10a*a

ANP y

yp

ANE

ye a*10a z

=fy e

=fy p

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Etude de section M seul

mono--symétrie mono

Section non homogène et non symétrique : – axe neutre élastique q non confondu avec le centre de g gravité – E variable sur la section : influence Ieq et Me – fy variable : influence Me et Mp







Ea/Es = 5 et fya = fys = fy – ye = 5,92*a – Me = 22,6*f 22 6*fy*a3 – Mp = 55*fy*a3 Mp/Me = 2,43 Me : fibre inférieure âme





Ea/Es = 5 / fya= 10*fys= 10*fy – ye = 5,92*a ; yp = 5,5*a – Me = 131,7 131 7*ffy*a a3 – Mp = 302,5*fy*a3 Mp/Me = 1,34 Me : fibre supérieure semelle

Calcul plastique des structures n°25/66

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Etude de section M+N  

Phase élastique

Superposition des contraintes M (triangulaire) et N (rectangulaire) L’équilibre L équilibre de la section s’écrira s écrira : N    x .dS M y    x .z.dS S

 

S

L’axe neutre se déplace en fonction de l’intensité de N La fibre la plus sollicitée se plastifie en premier fy

y

+

=

ANE b*2h







z Calcul plastique des structures n°26/66

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Etude de section M+N Phase élasto élasto--plastique N    x .dS

M y    x .z.dS



L’équilibre de la section s’écrira :



L’axe neutre se déplace en fonction de la plastification (rapport N-M) La phase ultime est atteinte par une plastification en diagramme birectangulaire avec un ANP qui dépend du rapport N-M



S

S

fy

fy

y

ANE

ANP fy

fy

b*2h z Calcul plastique des structures n°27/66

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Etude de section M+N   

Interaction MM-N

L’équilibre de la section s’écrira : N  S  x .dS M y  S  x .z.dS Contraintes bornées par fy avec toutes les fibres plastifiées (matériau élastique parfaitement plastique) Contraintes : centrées (N) et auto-équilibrées (M)

=fy S M /2 y

SN

b*2h

=



zN 

+ ANP



z Calcul plastique des structures n°28/66

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Etude de section section rectangulaire M+N  





Toute la section est plastifiée 2*zN décrit la zone centrale considérée reprendre N N (zN)= fy*2*ZN*b 2*h-2*ZN décrit la partie qui reprend le moment M (zN)= fy*b*(0,25*h2- zN2) L’élimination de zN entre les deux équations donne l’expression du critère d’interaction M-N : 2

 N    1   M p  Np  M

Calcul plastique des structures n°29/66

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Etude de section Interaction MM-N M+N   

Diagramme d’Interaction M-N Pas d’interaction : irréaliste Interaction linéaire : simple mais sévère Interaction non linéaire : dépend des sections et des matériaux

1 0,9 0,8 0,7 0,6 M/Mp



0,5 0,4

circulaire rectangulaire tube_circ

0,3 0,2 0,1 0 0

Calcul plastique des structures n°30/66

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5 0,6 N/Np

0,7

0,8

0,9

1

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Etude de section M seul 

Contraintes résiduelles

Les contraintes résiduelles dans une section en flexion, après une « incursion » dans le domaine plastique plastique, peuvent être estimées en utilisant le principe de la décharge élastique : – Charger en phase élastique-plastique ou plastique – Après Mep ou Mp, décharger élastiquement puis appliquer une charge égale à celle atteinte mais de sens opposé et superposer =fy

fy

b*2h

=

+

p

-

-

+ y

=0,5fy

+ décharge

z Calcul plastique des structures n°31/66

+ -

=fy +

contraintes résiduelles

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Méthodes d’analyse plastique 

L’analyse plastique des structures exploite les caractéristiques élastiques et plastiques des sections de barres soumises à N ou M.



Différentes méthodes sont proposées – Méthode incrémentale (calcul pas à pas) : peut être effectué manuellement ou par des logiciels évolués – Méthode statique – Méthode cinématique

Calcul plastique des structures n°32/66

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Méthode incrémentale Structure à barres tendues      

Structure réticulée à trois barres (sections constantes) soumise à un effort de traction (hyperstatique de degré 1) . Phase élastique : N1 = N3 = 0,29*P, N2 = 0,586*P La barre 2 se plastifie en premier (N2=Np). Ainsi : Pe = 1,71*Np Au-delà de Pe, la structure fonctionne comme si la barre 2 n’existe pas. L’incrément de charge dans chaque barre est : N1 = N3 = 0,71*P La ruine du système est donnée par Pu, la charge de plastification de toutes les barres. Pu = Pe + Pu = 2,41*Np Np/Ne = 1,4 2

1



3

l

1

l

P

P

Calcul plastique des structures n°33/66

3

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Méthode incrémentale Structure à barres tendues 

Relation force-dépacement – Comportement bi-linéaire avec K1 = 2,41*K2 – Si décharge élastique après l’atteinte de Pu, la flèche résiduelle représente environ 30 % de la flèche atteinte sous Pu. P

Pu=1,4*Pe K2

Pe

K1 u*E/(fy*L)

K1 0,59 1 Calcul plastique des structures n°34/66

2

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Méthode incrémentale Structure à barres tendues 

Evolution des forces dans les barres – La barre 2, atteint Np en premier, elle ne peut plus reprendre d’effort d effort et n’a plus de rigidité. Les deux autres barres reprennent les incréments de charge appliqués. – Après décharge complète, les barres 1 et 3 ont un effort résiduel de traction (29 % de Np) et la barre 2 a un effort résiduel de compression (41 % de Np)

1

0,29

-N/Np

N2

N1 Fe 1,7

Fu

(P/Np)

2,4

-0,41 Calcul plastique des structures n°35/66

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Méthode incrémentale 

 

C’est la méthode naturelle de calcul non linéaire des structures. Elle peut être utilisée en considérant différentes possibilités : – Calcul plastique (rotules plastiques) – Calcul élasto-plastique tenant compte de l’évolution de la plasticité sur la hauteur de la section (et éventuellement le long de l’élément) – Peut intégrer les non linéarités géométriques (grands déplacement) au niveau des éléments ou des sections (voilement local) Elle permet d’obtenir la loi globale force-déplacement quelle que soit la finesse du modèle choisi Permet de dispenser des « équivalences » proposées par l’EC3 pour l’analyse des structures (amplification d’effort, défaut initial, …)

Calcul plastique des structures n°36/66

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Méthode incrémentale   

Poutre sur 3 appuis : h = 1 Caractéristiques constantes le long de la poutre EI, Mp Pour F < Fe : phase élastique (M<Mp partout) – distribution élastique des efforts internes

 = FL/64

A

 F

x

2*L/2 y

pas1

B

 -0,09*F

-0,41*F

A

C

L

C

B 0,59*F

  

Première rotule plastique : sur la travée AB (13 = Mp) Effort tranchant non négligeable rotule due au moment de flexion seul

Fe = 4,92*Mp/L

-0,46*Mp x

A

2*L/2 y

Calcul plastique des structures n°37/66

B

L

Mp A. Bouchaïr, C/U/S/T/ - 2009/2010

Méthode incrémentale  



 



Après première rotule : h = 1-1 = 0 Au-delà de Fe : structure isostatique (Nouvelle rigidité, rigidité A distribution des efforts) Superposition des effets (pas 1 et pas 2) : sur deux structures différentes Deuxième rotule : section la plus sollicitée (appui B) 2 rotules : le système se transforme en mécanisme (capacité maximale en charge)

C

F

pas 2

-0,5*F*L x

2*L/2

B

L

C

L

C

y Fu = 6*Mp/L

Mp x

A

2*L/2 y

B

Mp

Fu/Fe = rotule due au moment de flexion seul

Calcul plastique des structures n°38/66

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Flèche à mi mi--travée   

Loi F-u bi-linéaire (en utilisant la rotule plastique) Déformations résiduelles non négligeables g g Rapport des rigidités (initiale et tangente après Fe)  8,4 F*(L/Mp) 6 4,92

Fu

Fe

0,074 0,12 Calcul plastique des structures n°39/66

0,21 u*(Mp*L2)/(EI)

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Moments résiduels   





Moment résiduel en B ~ 0,5*Mp Fe = 4,92*Mp/L Fu = 6*Mp/L Histoire de chargement à ne pas négliger pour les structures hyperstatiques ductiles Redistribution des efforts à considérer

M/Mp 1

MAB(L/2)

Fe -0,22 0 22

MB

Fu F*(L/Mp) -0,46

-0,44

-1

Calcul plastique des structures n°40/66

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Réactions d’appui 

  

F

Réactions d’appui: évolution nonnon linéaire R_résiduelle en B ~ 2 fois A et C Fe = 4,92*Mp/L Fu = 6*Mp/L

A

B

RA

C RC

RB

R(*Mp/L)

5

RB 3,4

RA

2 0,85

Fe -0,46

RC

-0,44

Fu

-1 Calcul plastique des structures n°41/66

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Redistribution des efforts 





La redistribution des efforts permet d’exploiter les capacités maximales des structures La structure perd sa rigidité (un degré d’hyperstaticité avec chaque rotule) Les hypothèses de calcul classiques (de type élastique parfaitement plastique) peuvent être utilisées

 







V









 V





 

 

 Calcul plastique des structures n°42/66

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Autres méthodes d’analyse plastique 

Si les besoins concernent seulement la charge ultime de ruine sans les étapes intermédiaires de calcul. Les deux théorèmes d’analyse limite plastique peuvent être utilisés : Théorèmes statique et cinématique. – 2 théorèmes issus du PTV permettent d’encadrer la charge de ruine Pu – Structure soumise à un système de force {Pj} – Les charges augmentent proportionnellement: un seul paramètre λ – La charge de ruine est notée λr : (Pu = λr.Pj) – Les SPC (sections potentiellement critiques) sont celles où les moments sont maximum (encastrement, appuis, discontinuité fibre moyenne, points de charges ponctuelles, …..)

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Méthodes d’analyse plastique 

Théorème statique : si pour un chargement λs, on peut trouver une distribution d’efforts internes en équilibre avec les forces externes (statiquement issibles) et respectant le critère de plasticité (plastiquement issibles), alors : λs ≤ λr



Théorème cinématique : tout multiplicateur de charge λc obtenu de la relation ci-dessous pour des déplacements cinématiquement issibles tels qu’ils forment un mécanisme pour la structure, est supérieur à λr (i : nombre de rotules plastiques). Pour ce théorème la ruine se fait par mécanismes (mouvement de corps rigides entre rotules).

 c  P j . uj    M pi .  i j



i

Ces deux théorèmes permettent d’encadrer la valeur du facteur de ruine λr

Calcul plastique des structures n°44/66

A. Bouchaïr, C/U/S/T/ - 2009/2010

22

Théorème Statique Mise en œuvre       



Transformer la structure hyperstatique en isostatique associée Déterminer le diagramme M dû aux forces appliquées Déterminer les diagrammes de M dus aux inconnues hyperstatiques Superposer pour obtenir le diagramme réel (Statiquement issible) Déterminer les SPC (sections potentiellement critiques) Déduire la charge de ruine en vérifiant que toutes les SPC sont PA (Plastiquement issibles) par le critère M≤Mp Ceci revient à résoudre une série d’inégalités (graphiquement ou par programmation linéaire) Cette méthode est relativement complexe mais elle donne des charges inférieurs à la charge ultime

Calcul plastique des structures n°45/66

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Théorème Cinématique Mise en œuvre     



Identifier tous les mécanismes de ruine possible de la structure Déterminer toutes les SPC Déduire tous les mécanismes de ruine possibles Cinématiquement issibles (CA) avec (h+1) rotules pour obtenir un mécanisme Déterminer la charge de ruine (λk) relative à chaque mécanisme En déduire la charge de ruine du système : λr = min {λk} ou Pu = min {Pk} Cette méthode est relativement facile à mettre en oeuvre pour des structures courantes mais elle donne des charges supérieures à la charge ultime (on a intérêt à ne pas oublier le bon mécanisme)

Calcul plastique des structures n°46/66

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Théorème statique Poutre continue   

SA = Structure isostatique + une inconnue hyperstatique PA = M ≤ Mp p Système d’inéquations à résoudre (+/- long) F

F

x

A

2*L/2 y

B

F

y

+

x B

L

C

FL/4

=

-X*L

2*L/2

B

C

L

=

A

A

-X*L

C

A

(PL/4-X*L/2)

Calcul plastique des structures n°47/66

B

C

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Théorème statique Poutre continue   

Vérifier : M ≤ Mp p ((dans toutes les sections de la structure)) 2 sections critiques : mi-travée AB et appui B Vérifier les inéquations suivantes : PL XL  Mp 4 2

y x  1 4 2 

et

et

 XL  M p

 x 1

Avec : y 

FL

x

Mp

XL Mp

Résoudre graphiquement les inéquations (axes x-y)

Calcul plastique des structures n°48/66

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Théorème statique   

   

F ruine

Partie non hachurée = vérifie l’inégalité Tous les points du domaine non hachuré vérifient le critère : M≤Mp Méthode statique : la charge de ruine est le maximum des charges respectant le critère de plasticité Ainsi : Fu correspond à y = 6 D’où : Fu = 6Mp/L

y ymax = 6

x

Méthode longue à mettre en œuvre et ne donne que la charge de ruine Elle a l’avantage de borner la charge de ruine par le bas

Calcul plastique des structures n°49/66

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Théorème cinématique Charge ponctuelle poutre continue      

  

Poutre sur trois appuis : h=1 2 rotules suffisent p pour transformer le système y en mécanisme 2 SPC (appui B et sous F) Ainsi : un seul mécanisme de ruine « réaliste » possible We = F*u , J = Mp*(2*2+ 1) et 2= 1= u/(L/2) We = J  Fu1 = 6*Mp/L Fu = min {{Fui}} = Fu1 Méthode rapide Solution bornée par le haut : toute charge calculée > la «bonne» charge de ruine

Calcul plastique des structures n°50/66

F A



M Mp 

u Mp

B

L

C

  

2*L/2 A. Bouchaïr, C/U/S/T/ - 2009/10

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Théorème Cinématique Charge uniforme    

Poutre avec charge répartie : h = 1 2 rotules transforment le système en mécanisme Position de la rotule en travée inconnue Si approximation (x = l/2) : qu 



12 M p l

x A

2

Mp 

Si équation supplémentaire (q minimum):

q Mp 

u

L

dq M  0  qu  11,66 * 2 p dx l

A

Calcul plastique des structures n°51/66

Mp

B



B

Mp

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Théorème cinématique Portique     

Portique simple : h = 1 2 rotules transforment le système en mécanisme 2 SPC: un seul mécanisme pour déterminer la charge ultime de ruine Petits déplacements : pas d’interaction entre déplacements horizontaux et verticaux Compatibilités des rotations (CA)

 1   1  

u h

Égalités des travaux : W e  P * u J  M p * ( 1   2)  2*M p * 

J  W e Pu *  2 * Calcul plastique des structures n°52/66

C 

B 

h Mp h

Mp

u Mp P

A





L

D

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26

Théorème Cinématique Portique

   

Autre exemple : portique (h = 2) 3 rotules transforment le système en mécanisme 4 SPC : 4 mécanismes sont à considérer Charges de ruine pour les différents modes :

3P



Mp

v



Mp

h



D

2*L 2P

u Mp 3P

C 

2  Mp

A

Calcul plastique des structures n°53/66

Mp

B 

h

Mp h

C 

1 A

2M p P1  l

P2 

2P

Mp



D

2*L

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Théorème cinématique Portique (suite)  

Le mode 4 a moins de chance de se produire (travail négatif en partie) Suite des charges de ruine :

P3 

5M p 3h  2l

P4 

3P

2P

u 

5*M p 3h  2l

h Mp

v



u Mp 



Mp

3





2*L

– h = L (mode 2 ou 3)

Pu  minPi 

Mp l

– h = 2L (mode 2)

Mp Pu  minPi  P 2  2l Calcul plastique des structures n°54/66

Mp 3P

u



2P

v



u

Mp



h Mp



4 

2*L

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Théorème cinématique Ruine locale

 

Des ruines peuvent se produire localement (une partie de la structure est h hypostatique i et lle reste h hyperstatique) i ) Exemple : – h = 5 (6 rotules transforment le système en mécanisme), SPC= 7 – Nombre de mécanismes possibles (associant 6 rotules) = 7 – Ici : 3 rotules transforment le système en mécanisme local – Ou 5 (pieds et angles) : mécanisme

Pi 

3M p 2l

P

P 2

3

h

Mp 4

2P 5



6 Mp

v Mp



1

7

2*L Calcul plastique des structures n°55/66

3*L A. Bouchaïr, C/U/S/T/ - 2009/10

L’apport de l’Eurocode 3 : Assemblages semisemi-rigides 

L’assemblage semi-rigide (ou semi-continu) possède de nombreux avantages :  Réduction des coûts de fabrication et de montage (intéressant pour les assemblages standard)  Meilleure optimisation des barres assemblées  Permet de justifier une structure «d’architecte»  Plus de souplesse dans la réhabilitation (accepte l’assemblage avec ses défauts)

Calcul plastique des structures n°56/66

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L’apport de l’Eurocode 3 : Assemblages semisemi-rigides – rigidité et résistance p



 

p2 12



p2 12

p2 16



p2 16

Loi moment-rotation

p2 16 Mj

Assemblage semi-rigide idéal

Pleine résistance Résistance élément Résistance assemblage

p2 24

Résistance partielle 0,25 * Résistance élément

Encastrement parfait

Articulé

 Calcul plastique des structures n°57/66

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Zone d’assemblage Tronçon en Té 

Le tronçon en té est une composante principale de la zone tendue de l’assemblage

Lignes de

Zone tendue

Charnières plastiques

Zone cisaillée

Mb Zone comprimée

Calcul plastique des structures n°58/66

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Tronçon en té Calcul plastique 

Deux étapes de calcul sont donnés dans l’EC3 pour déterminer la résistance et la rigidité du tronçon en té. Le théorème cinématique est utilisé dans les deux cas. – Un calcul de charnières plastiques sur un plaque en flexion (fournit la longueur efficace) – Un calcul sur un tronçon en 2D pour déterminer la résistance et le mode de ruine (ductile, fragile, …). La ruine se produit par : Mp dans la poutre et Np dans le boulon. P Mp Mp

u



n

P 

Mp



2m

v

Mp

n

Calcul plastique des structures n°59/66

Lb

 Np

n

 u1

Np

2m



n

L Pb

Np

n

Np

2m

n

Lb

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Principes de l’Eurocode 3 Sections    

Classes de sections 1 ou 2 Interaction (M-N-V) : limite élastique réduite Effet du voilement par cisaillement (réduction) (EN1993-1.5) Loi élastique parfaitement plastique (E, fy) à utiliser mais une relation plus précise est autorisée EN 1993-1.5)

Calcul plastique des structures n°60/66

A. Bouchaïr, C/U/S/T/ - 2009/10

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Principes de l’Eurocode 3 Éléments et structures



Analyse y au premier p ordre p peut être utilisée si : – cr > 15 : calcul plastique – cr > 10 : calcul élastique - cr = Fcr/FEd multiplicateur de charge de calcul qui provoque l’instabilité élastique en mode global. Les limites peuvent être réduites par l’AN si justification - FEd : charge g de calcul - Fcr : charge critique d’instabilité en mode global calculée avec les rigidités élastiques initiales



L’analyse rigide plastique : à appliquer seulement si les effets de second ordre peuvent être négligés

Calcul plastique des structures n°61/66

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Principes de l’Eurocode 3 Éléments et structures  

Imperfection locale initiale plus grande pour le calcul plastique Analyse globale plastique : – Élastique plastique : sections ou assemblages représentés par des rotules (Méthode incrémentale) – Plastique non linéaire : plastification partielle des barres le long des zones plastiques – Rigide plastique : comportement élastique des barres entre rotules négligé (Mécanismes)



Analyse globale plastique peut être utilisée si : – Capacité de rotation suffisante aux endroit des rotules (section et assemblages) : au moins égale à celle requise – Assemblage a une résistance plus grande que celle de la section (1,2fois) : pas d’exigences de ductilité – Stabilité des barres assurée au niveau des rotules

Calcul plastique des structures n°62/66

A. Bouchaïr, C/U/S/T/ - 2009/10

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Principes de l’Eurocode 3 Éléments et structures – Si la rotule doit se produire en zone d’assemblage, la soudure doit présenter une résistance supérieure à :  Moment plastique des barres attachées



 (1,4 ou 1,7)*Moment résistant de l’assemblage – Les assemblages sont classés en résistance (analyse globale rigide plastique) ou en rigidité et résistance (analyse globale élastique plastique) – Pour tous les cas (couverts ou non) : Il est possible de justifier la résistance, la rigidité et la capacité de rotation des assemblages par des d essais i (EN1990 – Annexe A D) ou des d calculs l l basés b é sur des essais Possibilité d’utiliser directement une méthode d’analyse fine élastique-plastique intégrant le voilement local, le flambement des barres et le flambement global (permet de s’affranchir de certaines exigences)

Calcul plastique des structures n°63/66

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Principes de l’Eurocode 3

Conclusion 

Dimensionnement des structures plus riche mais complexe : – Fait appel aux méthodes avancées d’analyse d analyse des structures – Explore les capacités des matériaux, des sections et des éléments – Permet d’utiliser « le savoir » à tous les niveaux de l’analyse d’une structure y compris les approches expérimentales



Méthode de travail ? – Traiter des cas simples (courants) pour « se donner » confiance – Mieux se former à la mécanique des matériaux et des structures sans oublier les aspects technologiques afin d’avoir la base qui permet de traiter les cas complexes

Calcul plastique des structures n°64/66

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TP Analyse Limite - CUST   

TP basé sur une poutre en I (IPE 100) D’abord D abord sur 2 appuis (rotule plastique: perte de rigidité-déversement) Puis sur trois appuis : notion de redistribution plastique (2 rotules) – Difficulté de réaliser un appui bi-directionnel avec rotation libre) – Le résultat dépend des caractéristiques réelles (fy)

Calcul (fy = 235 MPa): Pe = 25 kN et Pu = 28 kN Essai : Pe = 35 kN et Pu = 39 kN (il faudrait fy = 329 MPa)

45 F (kN)

40 35 30

TP AL No. 4 mars 2005

25 20 15 10

F A

5

D

2*1m

B

0,9m

C

U_D (mm)

0 0

5

Calcul plastique des structures n°65/66

10

15

20

25

30

35

40

45

A. Bouchaïr, C/U/S/T/ - 2009/10

Département Génie Civil

Année 2009/2010

Calcul plastique des structures Analyse limite plastique et principes de l’EC3

FIN Merci pour votre attention

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