Capitulo #8 4c6449

DESCRIPCIÓN BREVE Aquí solo se dará una explicación breve a la solución de ejercicios seleccionados del libro de estadística Mario Triola primera edición.

Morales Pluma Gerardo Instituto Tecnológico de Tijuana

ESTADISTICA INFERENCIAL 1 Capítulo 8

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TIJUANA Ingeniería Industrial Materia: Estadística Inferencial Grupo: 3Z Profesor: Juan Morales Alumno: Morales Pluma Gerardo No. Control: B09210262 Capitulo #7 y #8 Tarea #3 Resolver los ejercicios propuestos

Tijuana B.C a 28 de marzo del 2018

Capítulo 8 Prueba de Hipótesis (Paginas 389-458) 8-2 Fundamentos de la Prueba de Hipótesis (Paginas 409-412)

Ejercicio# 1 Prueba de hipótesis Al informar sobre una encuesta de 61,647 personas en Elle/MSNBC.COM, la revista Elle afirmó que “solo el 20% de los jefes son buenos comunicadores”. Sin realizar cálculos formales, ¿parece que los resultados muéstrales sustentan la afirmación de que menos del 50% de las personas creen que los jefes son buenos comunicadores? ¿Qué concluye después de saber que los resultados de la encuesta se obtuvieron por Internet, de personas que eligieron responder? R=Considerando el gran tamaño de muestra y el porcentaje muestral del 20%, parece que los datos muéstrales apoyan la afirmación de que menos del 50% de las personas creen que los jefes son buenos comunicadores. Puesto que los sujetos de la encuesta constituyen una muestra de respuesta voluntaria y no una muestra aleatoria simple, los resultados muéstrales no deben utilizarse para sacar conclusiones acerca de la población general.

Ejercicio# 2 Interpretación del valor P Cuando termine el ensayo clínico del método XSORT para la selección del género, se llevará a cabo una prueba formal de hipótesis con la hipótesis alternativa de p >0.5, que corresponde a la afirmación de que el método XSORT aumenta la probabilidad de tener una niña, de manera que la proporción de niñas es mayor que 0.5. Si usted fuera el responsable de desarrollar el método XSORT y quisiera demostrar su eficacia, ¿cuál de los siguientes valores P preferiría: 0.999, 0.5, 0.95, 0.05, 0.01, 0.001? ¿Por qué? R=Suponga que p = 0.5, utilizamos este valor ya que normalmente esta probabilidad es utilizada con normalidad al dejarlo al azar con 50% y al estadístico con el otro 50%

Ejercicio# 3 Comprobar si la media es igual a 325 mg Se etiquetan frascos de aspirina Bayer, con la afirmación de que cada tableta contiene 325 mg de aspirina. Un gerente de control de calidad considera que se puede usar una muestra grande de datos para sustentar la afirmación de que la cantidad media de aspirina en las tabletas es igual a 325 mg, como indica la etiqueta. ¿Se puede utilizar una prueba de hipótesis para sustentar dicha afirmación? ¿Por qué? R=La afirmación de que la media es igual a 325 mg se convierte en la hipótesis nula. El procedimiento de la prueba de hipótesis nos permite rechazar o no rechazar esa hipótesis nula, pero nunca es posible sustentar una hipótesis nula, por ende no se debe utilizar para sustentar la afirmación de que un parámetro es igual a algún valor en particular.

Ejercicio# 4 Apoyo a una afirmación En los resultados preliminares de parejas que utilizaron el método Gender Choice de selección del género para incrementar la probabilidad de tener una niña, 20 parejas utilizaron el método, de las cuales, 8 tuvieron niñas y 12 tuvieron niños. Puesto que la proporción muestral de niñas es 8/20 o 0.4, ¿los datos muéstrales pueden sustentar la afirmación de que la proporción de niñas es mayor que 0.5? ¿Se puede utilizar cualquier proporción muestral menor que 0?5 para sustentar la afirmación de que la proporción poblacional es mayor que 0.5? R=No se puede sustentar la afirmación de que la proporción de niñas sea mayor, ya que este no puede ser menor que la poblacional.

Conclusiones sobre afirmaciones. En los ejercicios 5 a 8, tome una decisión sobre la afirmación enunciada. Use solo la regla del evento inusual descrita en la sección 8-2 y haga estimaciones subjetivas para determinar si los eventos son probables. Por ejemplo, si se afirma que una moneda está cargada a favor de las caras y los resultados muéstrales consisten en 11 caras entre 20 lanzamientos, concluya que no hay evidencia suficiente para apoyar la afirmación de que la moneda está cargada a favor de las caras (debido a que es muy fácil obtener 11 caras en 20 lanzamientos por Azar utilizando una moneda legal).

Ejercicio# 5 Afirmación: Al lanzar una moneda se obtienen más caras, y resultan 90 caras en 100 lanzamientos. R=Existe evidencia suficiente para sustentar la afirmación de que la moneda favorece las caras (porque es muy poco probable que el resultado de 90 caras en 100 lanzamientos ocurra por azar si se utiliza una moneda legal). Identificación de H0 y H1. En los ejercicios 9 a 16, examine la afirmación enunciada; después, exprese la hipótesis nula H0 y la hipótesis alternativa H1 de manera simbólica. Asegúrese de emplear el símbolo correcto (M, p, S) para el parámetro indicado.

Ejercicio# 9 El ingreso anual medio de empleados que tomaron un curso de estadística es mayor que $60,000. R= H0: µ = $60,000. H1: µ > $60,000.

8-3 Prueba de una Afirmación Respeto de una Proporción (Paginas 420-425)

Ejercicio# 1 Proporción muestral En una encuesta Harris, se preguntó a un grupo de adultos si estaban a favor de eliminar las monedas de un centavo de dólar, y 1261 respondieron “no”, 491 respondieron “sí”, y 384 no opinaron. ¿Cuál es la proporción muestral de respuestas afirmativas, y qué notación se utiliza para representarla? R= 1261+491+384 𝑥̅ = = 712 ; Para poder sacar la estimacion 3 𝑥 𝑃̂ = 𝑛 =

491 712

3

=

0.68 3

=0.230.

Ejercicio# 2 Encuesta en línea América Online realizó una encuesta en la que pidió a s de Internet que respondieran la siguiente pregunta: “¿Quiere vivir 100 años?”. De 5266 respuestas, 3042 fueron afirmativas. ¿Es válido usar esos resultados de muestra para someter a prueba la afirmación de que la mayoría de los integrantes de la población general desean vivir 100 años? ¿Por qué? R= Dado que 3042 es una cantidad que va por arriba de la mitad de los s, se podría decir que SI, ya que la p > 0.5776

Ejercicio# 3 Interpretación del valor P En 280 ensayos con terapeutas de o profesionales, 123 veces se obtuvieron respuestas correctas a una pregunta. Se obtuvo el valor P de 0.979 cuando se sometió a prueba la afirmación de que p > 0.5 (la proporción de respuestas correctas es mayor que la proporción de 0.5 que se esperaría por el azar). ¿Cuál es el valor de la proporción muestral? Con base en el valor P de 0.979, ¿qué debemos concluir acerca de la afirmación de que p > 0.5? 𝑥 123 R= La proporción muestral es 𝑃̂ = 𝑛 = 280= 0.439. Como el valor P de 0.9789 es alto, no debemos rechazar la hipótesis nula de P =0.5. Debemos concluir que no existe evidencia suficiente para sustentar la afirmación de que p > 0.5.

Ejercicio# 4 Notación y valor P a) Remítase al ejercicio 3 y establezca la diferencia entre el valor de p y el valor P. R=Cuando vemos ambas literales estamos tratando con un valor proporcional a una muestra y el otro es la probabilidad de ver que tan verdadera es dicha proporción. b) Antes establecimos que es más fácil recordar la manera de interpretar los valores P de la siguiente manera: “Si P es un valor bajo, la hipótesis nula se rechaza; si P es un valor alto, la hipótesis nula se queda”. ¿Qué significa esto? R=La hipótesis nula se rechaza si el valor P es muy pequeño, como 0.05 o menos. . En los ejercicios 5 a 8, identifique los valores indicados o interprete la pantalla de resultados que se presenta. Utilice la distribución normal como aproximación de la distribución binomial (como se describe en la parte 1 de esta sección).

Ejercicio# 5 Solicitudes universitarias en línea Un estudio reciente reveló que el 53% de las solicitudes de ingreso a las universidades se envían por Internet (según datos de la National Association of College issions Counseling). Suponga que este resultado se basa en una muestra aleatoria simple de 1000 solicitudes, de las cuales 530 fueron enviadas por Internet. Utilice un nivel de significancia de 0.01 para someter a prueba la afirmación de que, de todas las solicitudes universitarias, el porcentaje que se envía por Internet es igual al 50%. a) ¿Cuál es el estadístico de prueba? R= z =

𝑝̂−𝑝 𝑝𝑞 √ 𝑛

530

−0.5

= 1000 = 1.90 0.5∗0.5 √

1000

b) ¿Cuáles son los valores críticos? R= z =±2.575 (con herramienta tecnológica: ±2.576) c) ¿Cuál es el valor P? R= q=1-0.9713=0.0287 por lo doble 0.0574 d) ¿Cuál es la conclusión? R= No existe suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula de que el porcentaje de solicitudes de ingreso a la universidad enviadas por Internet es igual al 50%. e) ¿Se puede utilizar una prueba de hipótesis para “demostrar” que el porcentaje de solicitudes universitarias que se envían por Internet es igual al 50%, como se afirma? R=No, no se puede utilizar una prueba de hipótesis para demostrar que una proporción poblacional es igual a cierto valor establecido. Ejercicio# 6 Conducción y escritura de mensajes de texto En una encuesta, de un total de 2246 adultos elegidos al azar en Estados Unidos, 1864 dijeron que debía prohibirse escribir mensajes de texto al conducir un automóvil (según datos de Zogby International). Considere una prueba de hipótesis con un nivel de significancia de 0.05 para someter a prueba la afirmación de que más del 80% de los adultos creen que escribir mensajes de texto al conducir debería ser ilegal. a) ¿Cuál es el estadístico de prueba? R=𝑍 =

𝑝̂−𝑝 𝑝𝑞 √ 𝑛

=

1864 −0.5 2246 0.5∗0.5 √ 2246

=

0.3233215547703 0.010550307757

= 30.6457

b) ¿Cuál es el valor crítico? R=z = 11.411 ± (con herramienta tecnológica: ±11.41 c) ¿Cuál es el valor P? R= 0.0829 d) ¿Cuál es la conclusión? R=El método del valor P compara el valor P calculado al nivel de significancia hay evidencia de que más del 80% de los adultos creen que escribir mensajes de texto al conducir debería ser ilegal.

8-4 Prueba de una Afirmación Respeto de una Media: Desviación Estándar Conocida (Paginas 429-432)

Ejercicio# 1 Identificación de requisitos El conjunto de datos 4 del apéndice B incluye las cantidades de nicotina (en miligramos por cigarrillo) de 25 cigarrillos diferentes tamaño grande. Si quisiéramos utilizar esa muestra para someter a prueba la afirmación de que todos los cigarrillos tamaño grande tienen una media de 1.5 mg de nicotina, identifique los requisitos que deben cumplirse. R=Se debe utilizar una muestra aleatoria simple, con desviación estándar poblacional conocida y población distribuida normalmente (debido a que el tamaño de muestra no es mayor que 30).

Ejercicio# 2 Verificación de normalidad Como las cantidades de nicotina de cigarrillos tamaño grande incluidas en el conjunto de datos 4 del apéndice B constituyen una muestra de tamaño n = 25, debemos cumplir con el requisito de que la población se distribuya de manera normal. ¿Cómo verificamos que la población se distribuye normalmente? R=La distribución normal se utiliza como la distribución de las medias muéstrales. Si la población original no está distribuida de manera normal, utilizamos la condición n >30 para justificar el uso de la distribución normal, pero no existe un tamaño de muestra mínimo específico que funcione en todos los casos, tamaños de muestra de 15 a 30 son suficientes si la población tiene una distribución que no se aleja demasiado de la normal.

Ejercicio# 3 Intervalo de confianza Si quisiera construir un intervalo de confianza para someter a prueba la afirmación de que los estudiantes universitarios tienen una puntuación de CI mayor que 100, y quisiera realizar la prueba con un nivel de significancia de 0.01, ¿qué nivel de confianza debería utilizar para el intervalo de confianza? R= 98% o 0.98

Ejercicio# 4 Significancia práctica Una prueba de la hipótesis de que la dieta Zone es eficaz (cuando se utiliza durante un año) da como resultado la siguiente conclusión: Existe evidencia suficiente para sustentar la afirmación de que el cambio medio de peso es menor que 0 (de modo que hay una pérdida de peso). La muestra de 40 sujetos tuvo una pérdida media de peso de 2.1 libras (según datos de “Comparison of the Atkins, Ornish, Weight Watchers, and Zone Diets for Weight Loss and Heart Disease Reduction”, de Dansinger et al., Journal of the American Medical Association, vol. 293, núm. 1). ¿La pérdida de peso de 2.1 libras es estadísticamente significativa? ¿La pérdida de peso de 2.1 libras tiene una significancia práctica? Explique. R=No, esto no es significativo. Explicación: La pérdida de peso promedio de 40 personas después de la dieta durante 1 año es de 2.1 libras. Significa en promedio que cada individuo que ha seguido la dieta durante 1 año ha perdido 2.1 libras en promedio. Ya que hay muchos factores que puedan que tengan afectar a la pérdida de peso durante ese año.

Ejercicio# 13 Estatura al estar sentado Un alumno del autor midió las estaturas de 36 estudiantes varones de su clase, al estar sentados, y obtuvo una media de 92.8 cm. La población de hombres tiene una estatura al estar sentados con una media de 91.4 cm y una desviación estándar de 3.6 cm (según datos de una encuesta antropométrica de Gordon, Churchill, et al.). Utilice el nivel de significancia de 0.05 para someter a prueba la afirmación de que los hombres de esa universidad tienen una estatura media al estar sentados diferente de 91.4 cm. ¿Hay algo en los datos muéstrales que sugiera que no deberían usarse los métodos de esta sección? R=H0: µ = 91.4 cm. H1: µ≠91.4 cm. Estadístico de prueba: z = 2.33. Valores críticos: z = ±1.96. Valor P: 0.0198 (con herramienta tecnológica: 0.0196). Rechace H0. Existe evidencia suficiente para sustentar la afirmación de que los hombres de su universidad tienen una estatura media al estar sentados diferente de 91.4 cm. Como el estudiante seleccionó a sus amigos hombres, utilizó una muestra de conveniencia que podría tener características diferentes a las de la población de hombres de su universidad. Como el requisito de una muestra aleatoria simple no se satisface, no se puede aplicar el método de prueba de hipótesis descrito en esta sección, Ejercicio# 14 Pesos de osos La salud de la población de osos del Yellowstone National Park es vigilada por medio de las medidas periódicas que se realizan a osos anestesiados. Una muestra de 54 osos tiene un peso medio de 182.9 libras. Suponiendo que sabemos que s es igual a 121.8 libras, utilice un nivel de significancia de 0.05 para someter a prueba la afirmación de que la media poblacional de todos estos pesos de osos es mayor que 150 libras. R= n=40 x=182.9 lb σ =121.8 lb α=0.05 µx=150

hipótesis Ho : µ = 150 nula Hi : µ >150 alternativa

𝑧=

182.9 − 150 121,8 √40

z=1.70 Cálculo de los valores P se trata de una prueba de cola derecha, de manera que el valor P es el área a la derecha de z = 1.70, que es 0.0643. Como el valor P de 0.0643 es mayor que el nivel de significancia de α = 0.05, no rechazamos la hipótesis nula. 8-5 Prueba de una Afirmación Respeto de una Media: Desviación Estándar Desconocida (Paginas 439-443)

Ejercicio# 1 Requisito de normalidad Considerando una muestra aleatoria simple de 20 velocidades de automóviles en la carretera 405 de California, se desea someter a prueba la afirmación de que los valores muéstrales se obtuvieron de una población con una media mayor que la velocidad máxima permitida de 65 mi/h. ¿Es necesario determinar si la muestra proviene de una población distribuida de manera normal? Si su respuesta es afirmativa, ¿qué métodos se podrían utilizar para determinarlo? R= Como el tamaño de muestra no es mayor que 30, los datos muéstrales deben provenir de una población con una distribución normal. Para determinar si el requisito de una distribución normal se satisface, examine un histograma y determine si es aproximadamente normal, verifique que no haya valores atípicos (o que a lo sumo haya un valor atípico), o bien, examine una gráfica cuantilar normal o utilice alguna prueba formal de normalidad, como la prueba de Ryan-er que se describió en la sección 6-7.

Ejercicio# 2 gl En estadística, ¿qué significa gl? Si se utilizara una muestra aleatoria simple de 20 velocidades de automóviles en la carretera 405 de California para someter a prueba la afirmación de que los valores muéstrales provienen de una población con una media mayor que la velocidad máxima permitida de 65 mi/h, ¿cuál es el valor específico de gl? R=Los grados de libertad (GL) son la cantidad de información suministrada por los datos que usted puede "gastar" para estimar los valores de parámetros de población desconocidos y calcular la variabilidad de esas estimaciones. Este valor se determina según el número de observaciones de la muestra y el número de parámetros del modelo. Ejercicio# 3 Prueba t ¿Qué es una prueba t? ¿Por qué se utiliza la letra t? R= Una prueba t es una prueba de hipótesis que utiliza la distribución t de Student. Se le llama prueba t porque implica el uso de una distribución t de Student. Ejercicio# 4 Verificación de la realidad A diferencia de la sección anterior, esta sección no incluye el requisito de que se conozca el valor de la desviación estándar poblacional. ¿Qué sección es más probable que se aplique en situaciones reales: esta o la anterior? ¿Por qué? R=Si se tiene una muestra aleatoria simple, una prueba de hipótesis de una afirmación sobre µ podría utilizar la distribución t de Student, porque Se satisfacen una o ambas de las siguientes condiciones: la población se distribuye de manera normal o n > 30 Uso de la distribución correcta. En los ejercicios 5 a 8, determine si la prueba de hipótesis incluye una distribución muestral de medias con distribución normal, distribución t de Student o ninguna de estas (Sugerencia: Consulte la figura 7-6 y la tabla 7-1).

Ejercicio# 5 Afirmación respecto de puntuaciones de CI de profesores de estadística: n> 100. Datos muestrales: n = 15, 𝑥̅ = 118, s = 11. Los datos muéstrales parecen provenir de una población distribuida normalmente, con 𝜇 𝑦 𝜎 desconocidas. R= t de Student. Cálculo de valores P. En los ejercicios 9 a 12, utilice algún recurso tecnológico para calcular el valor P o la tabla A-3 para calcular un rango de valores para el valor P.

Ejercicio# 9 Dulces M&M Prueba de una afirmación sobre el peso medio de dulces M&M: Prueba de cola derecha con n = 25 y estadístico de prueba t = 0.430. R= Tabla A-3: valor P >0.10; con herramienta tecnológica: valor P = 0.3355. 8-6 Prueba de una Afirmación Respeto de una Desviación Estándar o de una Varianza (Paginas 447-450)

Ejercicio# 1 Requisito de normalidad Las pruebas de hipótesis sobre afirmaciones acerca de la media poblacional o de la desviación estándar poblacional requieren de una muestra aleatoria simple, obtenida de una población distribuida de manera normal. ¿En qué difiere el requisito de normalidad para una prueba de hipótesis de una afirmación sobre una desviación estándar del requisito de normalidad para una prueba de hipótesis de una afirmación sobre una media? R= El requisito de normalidad para la prueba de hipótesis de la afirmación acerca de una desviación estándar es mucho más estricto, lo que significa que la distribución de la población debe acercarse más a una distribución normal.

Ejercicio# 2 Método del intervalo de confianza de la prueba de hipótesis Se afirma que las manos de los hombres tienen longitudes con una desviación estándar menor que 200 mm. Usted planea someter a prueba esa afirmación con un nivel de significancia de 0.01 mediante la construcción de un intervalo de confianza. ¿Qué nivel de confianza debería utilizar para el intervalo? ¿La conclusión basada en el intervalo de confianza será igual a la conclusión basada en una prueba de hipótesis que utiliza el método tradicional o el método del valor P? R=tendríamos que utilizar un nivel de confianza del 95% y 99% en el intervalo, con un nivel de confianza alto tenemos menos probabilidad de error que en una prueba hipótesis tradicional. Ejercicio# 3 Requisitos Se afirma que las cantidades diarias de lluvia en Boston tienen una desviación estándar igual a 0.25 pulgadas. Los datos muéstrales indican que las cantidades diarias de lluvia provienen de una población con una distribución muy diferente de la normal. ¿El uso de una muestra muy grande podría compensar la falta de normalidad, de manera que sea posible utilizar los métodos de esta sección para la prueba de hipótesis? R= No. A diferencia de la situación con medias muéstrales, el uso de muestras grandes no compensa la falta de normalidad. No es posible utilizar los métodos de esta sección con datos muéstrales que provienen de una población con una distribución alejada de la normalidad. Ejercicio# 4 Prueba de una afirmación sobre una varianza Se afirma que los pies de los hombres tienen anchuras con una varianza igual a 36 mm2. ¿La prueba de hipótesis de la afirmación de que la varianza es igual a 36 mm2 es equivalente a una prueba de la afirmación de que la desviación estándar es igual a 6 mm? R=La prueba de hipótesis de afirmación si es equivalente a una prueba de afirmación de desviación estándar.

Prueba de afirmaciones sobre variación. En los ejercicios 9 a 20, someta a prueba la afirmación enunciada. Suponga que se selecciona una muestra aleatoria simple de una población distribuida normalmente. Utilice el método del valor P o el método tradicional de prueba de hipótesis, a menos que su profesor le dé otra instrucción.

Ejercicio# 9 Pesos de monedas de un centavo Algunos ejemplos de esta sección incluyeron la afirmación de que las monedas de un centavo, acuñadas después de 1983, tienen pesos con una desviación estándar menor que 0.0230 g. El conjunto de datos 20 del apéndice B incluye los pesos de una muestra aleatoria simple de monedas de un centavo acuñadas antes de 1983, y esa muestra tiene una desviación estándar de 0.03910 g. Utilice un nivel de significancia de 0.05 para someter a prueba la afirmación de que los pesos de las monedas acuñadas antes de 1983 tienen una desviación estándar mayor que 0.0230 g. Con base en esos resultados y los obtenidos en el ejemplo 1, ¿parece que los pesos de las monedas acuñadas antes de 1983 varían más que los de las monedas acuñadas después de 1983? R= H0: 𝜎 = 0.0230 g. H1: 𝜎 > 0.0230 g. Estadístico de prueba: x2 = 98.260. El valor crítico de x2 está entre 43.773 y 55.758. Valor P: 0.0000. Rechace H0. Existe suficiente evidencia para sustentar la afirmación de que las monedas de un centavo acuñadas antes de 1983 tienen una desviación estándar mayor que 0.0230 g. Los pesos de las monedas de un centavo acuñadas antes de 1983 parecen variar más que los de las monedas acuñadas después de 1983.

Ejercicio# 10 Pulsos de hombres Una muestra aleatoria simple de 40 hombres da como resultado una desviación estándar de 11.3 latidos por minuto (de acuerdo con el conjunto de datos 1 del apéndice B). El rango normal del pulso de adultos suele reportarse entre 60 y 100 latidos por minuto. Si la regla práctica de las desviaciones se aplica al rango normal, el resultado es una desviación estándar de 10 latidos por minuto. Utilice los resultados muéstrales con un nivel de significancia de 0.05 para someter a prueba la afirmación de que los pulsos de hombres tienen una desviación estándar mayor que 10 latidos por minuto. R= n=40 hipótesis s=11.3 Ho: s <= 10 σ =10 Hi: s >10 α=0.05 𝑥 = (𝑛 − 1)𝑠 2 /𝜎 2 𝑥 = 39(11.32 )/102 =49.80 Vvalor critico x tabla=13.85 Conclusión x tabla< x Se rechaza la hipótesis