Capitulo 9 - Matrices De Impedancia 6z63u
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Curso IEE-443 Sistemas Eléctricos de Potencia Capitulo 9: Matrices de Impedancia y itancias
Contenido
Modelos de Redes Matriz de itancia de Buses YB Matriz de Impedancia de Buses ZB Matrices de Imp./. de Mallas Cortocircuitos con Matriz Impedancias Solución de Ecuaciones de Redes Grandes
Modelos de Redes Matemáticamente, las ecuaciones de redes pueden representarse en sistema de nodos (buses), de mallas o de ramas El mas importante es el sistema de nodos Donde las ecuaciones de redes se pueden representar a partir de parámetros de impedancia o itancia Su comportamiento se puede analizar con n-1 ecuaciones (bus de referencia es despreciado pues esta a conectado a tierra). En la forma de itancia, se escribe como:
IB es el vector de inyección de corrientes de buses (positivo si la corriente fluye hacia en nodo) VB es el vector de voltajes medido desde el nodo de referencia YB es la matriz de itancia del sistema
Modelos de Redes
La matriz YB es:
YB es una matriz no-singular de orden (n-1)(n-1) y cuya inversa es ZB :
ZB tiene el mismo orden que YB y se cumple que :
Matriz de itancia de Buses YB
La matriz YB es simple de determinar Las ecuaciones de corrientes son determinadas a partir de fuentes de tensión e impedancias conocidas Las fuentes de voltaje con su impedancia Z (Thevenin) son reemplazadas por fuentes de corriente E*Y en paralelo con una impedancia Y=1/Z (Norton) Consideremos el siguiente circuito simple:
Matriz de itancia de Buses YB
Lo primero es transformar las fuente de tensión a fuentes de corriente:
Se definen 5 nodos, con nodo 0 como referencia
Matriz de itancia de Buses YB A partir del nuevo circuito se pueden escribir las ecuaciones de corrientes de nodos:
Para el nodo 1: b
Para el nodo 2:
Para el nodo 3:
Para el nodo 4:
Para el nodo 5:
Matriz de itancia de Buses YB
Se determina así la relación de corrientes y voltajes en forma matricial:
Donde la forma genérica de YB es:
Matriz de itancia de Buses YB De este modo por inspección se tiene que:
Yii : Corresponde a la auto impedancia del nodo “i” en la diagonal de la matriz y es igual a la suma algebraica de todas las itancias conectadas al nodo “i”
Yik = Yki : Corresponde a los elementos fuera de la diagonal o itancias mutas entre los nodos “i-k” y se calculan como la suma negativa de todas las itancias conectadas entres los nodos “i-k”
La suma de las corrientes entrando al nodo “k” es:
Para el nodo 2 por ejemplo:
Matriz de itancia de Buses YB
Si quisiéramos encontrar el valor de Y22, se cortocircuitan todos los nodos excepto el 2 y se encuentra la razón entre el voltaje V2 y la corriente I2
Asimismo para encontrar la itancia mutua Y21:
Matriz de itancia de Buses YB
Ejemplo 1: Para el siguiente circuito construya la matriz de itancia YB por inspección:
Matriz de itancia de Buses YB
Ejemplo 1: Para el siguiente circuito construya la matriz de itancia YB por inspección:
Calcule Y11 usando el método de inyección de corrientes:
Matriz de itancia de Buses YB Calcule Y11 usando el método de inyección de corrientes:
Se aplica un voltaje unitario al nodo 1 y se cortocircuitan los otros nodos:
Matriz de Impedancia de Buses ZB
La matriz de impedancia de buses (m) es:
A diferencia de la matriz de itancia de buses, la matriz de impedancias no se puede crear por simple inspección del circuito Se puede generar de las siguientes formas:
Inversión de la matriz de itancia Pruebas de circuito abierto Formación paso a paso Por teoría de grafos
Matriz de Impedancia de Buses ZB Inversión de la matriz de itancia
Proceso complejo para grandes redes Generalmente utiliza algoritmos computacionales
Pruebas de circuito abierto
Se mide el voltaje en el bus (V1) al inyectar una corriente de 1.0pu
Se mide el voltaje en V1 al inyectar una corriente en I2
La impedancia Z11 se calcula como V1/I1 ~ V1 La impedancia Z12 se calcula como V1/I2 ~ V1 Todos los otros nodos permanecen en circuito abierto
Matriz de Impedancia de Buses ZB
Ejemplo 2: Para el circuito del Ejemplo 1, construya la matriz de impedancia ZB por inversión y determine Z11 por test de CA:
Matriz de Impedancia de Buses ZB
Ejemplo 2: cont.:
Como se puede observar, la esparcidad (dispersión) de la matriz de impedancia (numero de ceros), se pierde en la matriz de impedancia
Test CA para Z11:
Z11 = [ (3+0.3j) II (2) + 0.2j ] II (1)=0.533+0.05j
Matrices de Imp./. de Mallas
En el marco referencial de mallas (loops) se cumple que:
Donde VL es el vector de voltajes de la malla IL el vector de corrientes de malla (desconocido) ZL la matriz de impedancia de mallas Si la matiz ZL es no singular se puede invertir:
Donde YL es la matriz de itancia de mallas
Matrices de Imp./. de Mallas
ZL la matriz de impedancia de mallas se puede determinar por inspección usando ley de Kirchoff
Matrices de Imp./. de Mallas
ZL la matriz de impedancia de mallas se puede determinar por inspección usando ley de Kirchoff
Matrices de Imp./. de Mallas De este modo por inspección se tiene que:
Zii : Corresponde a la auto impedancia del nodo “i” en la diagonal de la matriz y es igual a la suma algebraica de todas as impedancias en el loop “i”
Zik = Zki : Corresponde a los elementos fuera de la diagonal o impedancias mutas entre los nodos “i-k” y se calculan como la suma negativa de todas las impedancias comunes a los loop “i-k”
La matriz de itancia de mallas se puede determinar invirtiendo la matriz de impedancia de mallas
Cortocircuitos con Matriz Impedancias Para el análisis de cortocircuitos usando la matriz de impedancias se sigue la misma lógica vista en capítulos anteriores (análisis de fallas) Considerando las matrices de impedancia Z0, Z1 y Z2 de un sistema son conocidas, las corrientes de secuencia de falla en un nodo “s” se calculan como (asumiendo VF=1.0pu):
Falla monofásica a tierra
Falla bifásica
Falla bifásica a tierra
Cortocircuitos con Matriz Impedancias Ejemplo 3: Considere un sistema de 4 nodos cuyas impedancias de secuencia 1, 2 y 0 son:
Z1 = Z2 =
Z0 = Para una falla bifásica a tierra en el nodo 4 (VF=1/_0°), determine:
La corriente de falla en el nodo fallado El voltaje en el nodo 4 El voltaje en los nodos 1, 2, y 3
Cortocircuitos con Matriz Impedancias
Ejemplo 3: Cont: La corriente de falla en el nodo fallado (4)
Cortocircuitos con Matriz Impedancias
Ejemplo 3: Cont: La corriente de falla en el nodo fallado (4)
Cortocircuitos con Matriz Impedancias
Ejemplo 3: Cont: El voltaje en el nodo 4
Cortocircuitos con Matriz Impedancias
Ejemplo 3: Cont: El voltaje en el nodo 4
Cortocircuitos con Matriz Impedancias
Ejemplo 3: Cont: El voltaje en los nodos 1, 2, y 3
Ej.: Voltaje en nodo 1 para una falla en el nodo 4 Se usa la impedancia Z14
-
Método similar se aplica para determinar voltajes en nodos 2 y 3:
Cortocircuitos con Matriz Impedancias
Ejemplo 3: Cont: El voltaje en los nodos 1, 2, y 3
Se aplica la matriz de transformación A para obtener voltajes de fase:
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes La solución de redes grandes con varios nodos requiere del almacenamiento de cada elemento de la matriz Sin embargo la redes grandes son muy dispersas presentando una gran cantidad de elementos igual a cero (90%) Existen varias técnicas para resolver matrices dispersas por medio de algoritmos computacionales Estos algoritmos permiten ahorrar una cantidad significativa de tiempo computacional:
Triangulación y factorización Sustitución forward-backward Dispersión y ordenamiento óptimo
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes Triangulación y factorización: Método Crout
La matriz se resuelve por medio del producto entre dos matrices triangulares: superior (U) e inferior (L)
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes
Triangulación y factorización: Método Crout
En general:
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes
Sustitución de Matriz A: Método forward-backward
Entonces vector y es resuelto por medio de sustitución forward:
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes
El vector x es resuelto por medio de sustitución backward:
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes
Ejemplo 4: Para la siguiente matriz de impedancias, determine las sub-matrices L/U y resuelva las corrientes de nodo dado el vector de voltajes por medio de sustitución forward-backward: V=b=
Z=A=
Z*I=V
L=
1.01 0.98 1.00 1.02
A*x=b
U=
I=x=
??
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes
Ejemplo 4: Cont.: Z*I=V
A*x=b
Resolviendo usando sustitución se obtienen las corrientes de nodo: y1=1.010 I1= 0.5129 y2=0.327 I2= 0.2550 y3=0.072 I3= -0.0129 y4=0.254 I4= 0.2536
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes
Ejemplo 5: Para el siguiente circuito asuma que todas las impedancias son igual a 1.0 Ohm y las fuentes de tensión igual a 1.0 V. Determine los voltajes en todos los nodos del sistema respecto del nodo de referencia usando sustitución forwardbackward.
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes
Ejemplo 5: Primero se construye la matriz de itancias por inspección:
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes
Ejemplo 5: Luego se computan los voltajes usando factorización L/U y sustitución F-B: 2 1 -1 0 -1
3 -1 -1 0 0
=
=
-1 3 0 -1 -1
0.933 0.733 0.067 0.267 0.000
-1 0 3 -1 0
0 -1 -1 3 -1
0 -1 0 x -1 2
Resumen
Un circuito eléctrico se puede resolver utilizado las matrices de impedancia o itancia de barras (buses/nodos) La regla general será utilizar matrices de itancia pues son mas fáciles de derivar usando la regla de inyección de corrientes de nodos Esto implica que se requiere la inversión de una matriz (ZB) para obtener los voltajes de nodos dado el vector de corrientes (o cargas) Para sistemas grandes existe mucha dispersidad matricial con varios elementos iguales a cero Para resolver estos sistemas grandes se usan los métodos de factorización L/U y sustitución forward-backward los cuales son fáciles de implementar en algoritmos computacionales
Contenido
Modelos de Redes Matriz de itancia de Buses YB Matriz de Impedancia de Buses ZB Matrices de Imp./. de Mallas Cortocircuitos con Matriz Impedancias Solución de Ecuaciones de Redes Grandes
Modelos de Redes Matemáticamente, las ecuaciones de redes pueden representarse en sistema de nodos (buses), de mallas o de ramas El mas importante es el sistema de nodos Donde las ecuaciones de redes se pueden representar a partir de parámetros de impedancia o itancia Su comportamiento se puede analizar con n-1 ecuaciones (bus de referencia es despreciado pues esta a conectado a tierra). En la forma de itancia, se escribe como:
IB es el vector de inyección de corrientes de buses (positivo si la corriente fluye hacia en nodo) VB es el vector de voltajes medido desde el nodo de referencia YB es la matriz de itancia del sistema
Modelos de Redes
La matriz YB es:
YB es una matriz no-singular de orden (n-1)(n-1) y cuya inversa es ZB :
ZB tiene el mismo orden que YB y se cumple que :
Matriz de itancia de Buses YB
La matriz YB es simple de determinar Las ecuaciones de corrientes son determinadas a partir de fuentes de tensión e impedancias conocidas Las fuentes de voltaje con su impedancia Z (Thevenin) son reemplazadas por fuentes de corriente E*Y en paralelo con una impedancia Y=1/Z (Norton) Consideremos el siguiente circuito simple:
Matriz de itancia de Buses YB
Lo primero es transformar las fuente de tensión a fuentes de corriente:
Se definen 5 nodos, con nodo 0 como referencia
Matriz de itancia de Buses YB A partir del nuevo circuito se pueden escribir las ecuaciones de corrientes de nodos:
Para el nodo 1: b
Para el nodo 2:
Para el nodo 3:
Para el nodo 4:
Para el nodo 5:
Matriz de itancia de Buses YB
Se determina así la relación de corrientes y voltajes en forma matricial:
Donde la forma genérica de YB es:
Matriz de itancia de Buses YB De este modo por inspección se tiene que:
Yii : Corresponde a la auto impedancia del nodo “i” en la diagonal de la matriz y es igual a la suma algebraica de todas las itancias conectadas al nodo “i”
Yik = Yki : Corresponde a los elementos fuera de la diagonal o itancias mutas entre los nodos “i-k” y se calculan como la suma negativa de todas las itancias conectadas entres los nodos “i-k”
La suma de las corrientes entrando al nodo “k” es:
Para el nodo 2 por ejemplo:
Matriz de itancia de Buses YB
Si quisiéramos encontrar el valor de Y22, se cortocircuitan todos los nodos excepto el 2 y se encuentra la razón entre el voltaje V2 y la corriente I2
Asimismo para encontrar la itancia mutua Y21:
Matriz de itancia de Buses YB
Ejemplo 1: Para el siguiente circuito construya la matriz de itancia YB por inspección:
Matriz de itancia de Buses YB
Ejemplo 1: Para el siguiente circuito construya la matriz de itancia YB por inspección:
Calcule Y11 usando el método de inyección de corrientes:
Matriz de itancia de Buses YB Calcule Y11 usando el método de inyección de corrientes:
Se aplica un voltaje unitario al nodo 1 y se cortocircuitan los otros nodos:
Matriz de Impedancia de Buses ZB
La matriz de impedancia de buses (m) es:
A diferencia de la matriz de itancia de buses, la matriz de impedancias no se puede crear por simple inspección del circuito Se puede generar de las siguientes formas:
Inversión de la matriz de itancia Pruebas de circuito abierto Formación paso a paso Por teoría de grafos
Matriz de Impedancia de Buses ZB Inversión de la matriz de itancia
Proceso complejo para grandes redes Generalmente utiliza algoritmos computacionales
Pruebas de circuito abierto
Se mide el voltaje en el bus (V1) al inyectar una corriente de 1.0pu
Se mide el voltaje en V1 al inyectar una corriente en I2
La impedancia Z11 se calcula como V1/I1 ~ V1 La impedancia Z12 se calcula como V1/I2 ~ V1 Todos los otros nodos permanecen en circuito abierto
Matriz de Impedancia de Buses ZB
Ejemplo 2: Para el circuito del Ejemplo 1, construya la matriz de impedancia ZB por inversión y determine Z11 por test de CA:
Matriz de Impedancia de Buses ZB
Ejemplo 2: cont.:
Como se puede observar, la esparcidad (dispersión) de la matriz de impedancia (numero de ceros), se pierde en la matriz de impedancia
Test CA para Z11:
Z11 = [ (3+0.3j) II (2) + 0.2j ] II (1)=0.533+0.05j
Matrices de Imp./. de Mallas
En el marco referencial de mallas (loops) se cumple que:
Donde VL es el vector de voltajes de la malla IL el vector de corrientes de malla (desconocido) ZL la matriz de impedancia de mallas Si la matiz ZL es no singular se puede invertir:
Donde YL es la matriz de itancia de mallas
Matrices de Imp./. de Mallas
ZL la matriz de impedancia de mallas se puede determinar por inspección usando ley de Kirchoff
Matrices de Imp./. de Mallas
ZL la matriz de impedancia de mallas se puede determinar por inspección usando ley de Kirchoff
Matrices de Imp./. de Mallas De este modo por inspección se tiene que:
Zii : Corresponde a la auto impedancia del nodo “i” en la diagonal de la matriz y es igual a la suma algebraica de todas as impedancias en el loop “i”
Zik = Zki : Corresponde a los elementos fuera de la diagonal o impedancias mutas entre los nodos “i-k” y se calculan como la suma negativa de todas las impedancias comunes a los loop “i-k”
La matriz de itancia de mallas se puede determinar invirtiendo la matriz de impedancia de mallas
Cortocircuitos con Matriz Impedancias Para el análisis de cortocircuitos usando la matriz de impedancias se sigue la misma lógica vista en capítulos anteriores (análisis de fallas) Considerando las matrices de impedancia Z0, Z1 y Z2 de un sistema son conocidas, las corrientes de secuencia de falla en un nodo “s” se calculan como (asumiendo VF=1.0pu):
Falla monofásica a tierra
Falla bifásica
Falla bifásica a tierra
Cortocircuitos con Matriz Impedancias Ejemplo 3: Considere un sistema de 4 nodos cuyas impedancias de secuencia 1, 2 y 0 son:
Z1 = Z2 =
Z0 = Para una falla bifásica a tierra en el nodo 4 (VF=1/_0°), determine:
La corriente de falla en el nodo fallado El voltaje en el nodo 4 El voltaje en los nodos 1, 2, y 3
Cortocircuitos con Matriz Impedancias
Ejemplo 3: Cont: La corriente de falla en el nodo fallado (4)
Cortocircuitos con Matriz Impedancias
Ejemplo 3: Cont: La corriente de falla en el nodo fallado (4)
Cortocircuitos con Matriz Impedancias
Ejemplo 3: Cont: El voltaje en el nodo 4
Cortocircuitos con Matriz Impedancias
Ejemplo 3: Cont: El voltaje en el nodo 4
Cortocircuitos con Matriz Impedancias
Ejemplo 3: Cont: El voltaje en los nodos 1, 2, y 3
Ej.: Voltaje en nodo 1 para una falla en el nodo 4 Se usa la impedancia Z14
-
Método similar se aplica para determinar voltajes en nodos 2 y 3:
Cortocircuitos con Matriz Impedancias
Ejemplo 3: Cont: El voltaje en los nodos 1, 2, y 3
Se aplica la matriz de transformación A para obtener voltajes de fase:
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes La solución de redes grandes con varios nodos requiere del almacenamiento de cada elemento de la matriz Sin embargo la redes grandes son muy dispersas presentando una gran cantidad de elementos igual a cero (90%) Existen varias técnicas para resolver matrices dispersas por medio de algoritmos computacionales Estos algoritmos permiten ahorrar una cantidad significativa de tiempo computacional:
Triangulación y factorización Sustitución forward-backward Dispersión y ordenamiento óptimo
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes Triangulación y factorización: Método Crout
La matriz se resuelve por medio del producto entre dos matrices triangulares: superior (U) e inferior (L)
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes
Triangulación y factorización: Método Crout
En general:
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes
Sustitución de Matriz A: Método forward-backward
Entonces vector y es resuelto por medio de sustitución forward:
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes
El vector x es resuelto por medio de sustitución backward:
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes
Ejemplo 4: Para la siguiente matriz de impedancias, determine las sub-matrices L/U y resuelva las corrientes de nodo dado el vector de voltajes por medio de sustitución forward-backward: V=b=
Z=A=
Z*I=V
L=
1.01 0.98 1.00 1.02
A*x=b
U=
I=x=
??
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes
Ejemplo 4: Cont.: Z*I=V
A*x=b
Resolviendo usando sustitución se obtienen las corrientes de nodo: y1=1.010 I1= 0.5129 y2=0.327 I2= 0.2550 y3=0.072 I3= -0.0129 y4=0.254 I4= 0.2536
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes
Ejemplo 5: Para el siguiente circuito asuma que todas las impedancias son igual a 1.0 Ohm y las fuentes de tensión igual a 1.0 V. Determine los voltajes en todos los nodos del sistema respecto del nodo de referencia usando sustitución forwardbackward.
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes
Ejemplo 5: Primero se construye la matriz de itancias por inspección:
Solución de Ecuaciones en Redes Grandes
Ejemplo 5: Luego se computan los voltajes usando factorización L/U y sustitución F-B: 2 1 -1 0 -1
3 -1 -1 0 0
=
=
-1 3 0 -1 -1
0.933 0.733 0.067 0.267 0.000
-1 0 3 -1 0
0 -1 -1 3 -1
0 -1 0 x -1 2
Resumen
Un circuito eléctrico se puede resolver utilizado las matrices de impedancia o itancia de barras (buses/nodos) La regla general será utilizar matrices de itancia pues son mas fáciles de derivar usando la regla de inyección de corrientes de nodos Esto implica que se requiere la inversión de una matriz (ZB) para obtener los voltajes de nodos dado el vector de corrientes (o cargas) Para sistemas grandes existe mucha dispersidad matricial con varios elementos iguales a cero Para resolver estos sistemas grandes se usan los métodos de factorización L/U y sustitución forward-backward los cuales son fáciles de implementar en algoritmos computacionales
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