Carte Statistica.pdf 5u5e4p

Prefaţă Cuvântul statistică a devenit unul dintre cele des folosite sau auzite în viaţa de zi cu zi. Se vehiculează, mai mult sau mai puţin în cunoştinţă de cauză, diferite noţiuni statistice. Expresii ca „statistica sugerează că...”, „statistic vorbind...”, „o simplă statistică arată că...” şi multe altele se pot auzi la tot pasul. Câte persoane, oare, n-au văzut un grafic, n-au calculat o medie, n-au auzit de un sondaj? Şi exemplele sunt mult mai numeroase. În multe cazuri, cei neavizaţi asociază statistica cu o simplă „colecţie” de date. Statistica, însă, reprezintă mai mult decât atât, ea este ştiinţa culegerii şi prelucrării, analizei datelor. Este un instrument, o metodă ştiinţifică de analiză, larg folosită, în multe domenii, în ştiinţele sociale rolul ei devenind din ce în ce mai important cu deosebire în ultimii 30-40 de ani. Statistica aduce un plus de rigoare ştiinţifică, potenţează abilitatea de a lua decizii, suplimentează calităţile unui bun manager etc. Putem spune că obiectul de studiu al statisticii sociale îl constituie fenomenele şi procesele care se produc într-un număr mare de cazuri, variază de la un element la altul, de la un caz la altul, sunt forme individuale de manifestare în timp, în spaţiu şi ca formă organizatorică. Statistica, ca orice ştiinţă, şi-a elaborat procedee şi metode speciale de cercetare, cum sunt cele ale observării de masă, ale centralizării şi grupării, procedee şi modele de analiză şi interpretare statistică. Statistica socială se poate defini astfel ca o disciplină care studiază latura cantitativă a fenomenelor şi proceselor sociale de masă, în condiţii concrete de timp şi de spaţiu, în strânsă legătură cu latura lor calitativă.

Complexitatea şi amploarea cercetării statistice fac imperios necesară perfecţionarea continuă a metodelor de observare, prelucrare, analiză. În acelaşi timp, dezvoltarea metodelor statisticii este strâns legată de progresele în de teoria probabilităţilor şi statistica matematică, precum şi de cele din domeniul informaticii. Deşi problematica statisticii este amplă şi deosebit de complexă, în linii mari, se consideră că aceasta îndeplineşte două funcţii. Prima este de a descrie seturi de date, iar cea de-a doua de a determina inferenţe. Ca un exemplu al funcţiei descriptive, să presupunem că am vrea să ştim câţi absolvenţi ai unei facultăţi au promovat examenul de licenţă în anul 2007. Pentru a răspunde la această întrebare, va trebui să obţinem numărul studenţilor acelei facultăţi, care au promovat examenul de licenţă în anul 2007. În ceea ce priveşte funcţia inferenţială, să presupunem că pentru acceptarea de către un beneficiar a unui lot de produse, acesta trebuie să satisfacă anumite cerinţe de calitate. În unele cazuri, controlul fiecăruia dintre aceste produse este posibil şi puţin costisitor. În astfel de situaţii se poate opta pentru controlul întregului lot şi apoi se poate accepta sau respinge acest lot. În cele mai multe cazuri însă, acest procedeu este inaplicabil din diverse motive (timpul necesar, costul controlului, control distructiv etc.). Se apelează atunci la studiul unui eşantion şi, folosind rezultatele acestui studiu, se trasează inferenţe în aşa fel încât rezultatele să se aplice tuturor produselor. Studiind doar o mostră, există însă riscul ca rezultatele să nu fie foarte precise şi inferenţa trasată să nu fie corectă. În acest sens, statistica ajută în luarea de decizii în condiţii de incertitudine, oferind metode pentru determinarea mărimii probabilităţii concluziilor obţinute. Fiecare afirmaţie statistică făcută, trebuie însoţită şi de indicarea probabilităţii ca rezultatele găsite să fie consecinţa unor factori întâmplători. Ne vom axa în prezenta lucrare în special pe funcţia inferenţială a statisticii. Vom folosi totuşi şi câteva tehnici ale statisticii descriptive, tehnici care vor fi prezentate pe scurt. Cartea de faţă îşi propune să prezinte, într-o manieră accesibilă, câteva elemente ale statisticii teoretice şi ale statisticii aplicate, dorind să se constituie într-un ghid pentru cei ce vor să 4

utilizeze metodele statistice în domeniul ştiinţelor sociale. După cum am mai spus, statistica este strâns legată de teoria probabilităţilor. Am considerat necesar, ca, pentru o mai bună înţelegere, în primul capitol, să prezentăm pe scurt câteva elemente din această teorie. În cel de-al doilea capitol sunt expuse şi explicate elemente ale statisticii teoretice. O problemă deosebit de importantă în statistica socială o constituie analiza legăturilor dintre fenomene. De aceea am considerat necesar sa alocăm un capitol destul de vast, capitolul al treilea, acestei probleme. Capitolul al patrulea abordează problema obţinerii datelor cu ajutorul sondajelor. Sunt prezentate diferite tipuri de sondaje, indicatorii rezultaţi pe baza lor, precum şi procedee de extindere a rezultatelor la întreaga populaţie. Ultimul capitol, al cincilea, tratează problema verificării ipotezelor statistice şi este cel care vine să-i confere cercetătorului gradul de siguranţă în susţinerea afirmaţiilor făcute. Pentru a nu rămâne o lucrare pur teoretică, pentru o mai bună înţelegere, noţiunile, metodele prezentate, sunt însoţite de exemple de aplicare practică. Sunt recunoscător celor care, prin aprecieri critice, sugestii sau propuneri, vor contribui la îmbunătăţirea acestei lucrări.

5

1 Probabilităţi Vom folosi destul de des, în cele ce urmează, conceptul de probabilitate. În teoria probabilităţilor, noţiunile de eveniment şi probabilitate sunt concepte de bază. Noţiunea de eveniment se află la frontiera dintre empiric şi teoretic. Generarea sau producerea unui anumit fenomen, care poate fi repetat ori de câte ori dorim, poartă numele de experienţă. Vom înţelege prin probă orice reluare a unei experienţe. Rezultatele unei experienţe poartă numele de evenimente, sau, mai exact, orice rezultat posibil al unei experienţe se numeşte eveniment elementar. Ca definiţie a probabilităţii producerii unui eveniment reţinem formularea dată de Laplace: probabilitatea producerii unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul rezultatelor favorabile producerii evenimentului şi numărul total al rezultatelor egal posibile. Sau, cu alte cuvinte, probabilitatea producerii unui eveniment reprezintă frecvenţa sa relativă din cadrul unei clase de referinţă ce conţine evenimente similare. Să apelăm în continuare la o experienţă foarte uzuală, aceea a aruncării cu zarul. În urma acestei experienţe poate să apară una dintre cele şase feţe. Să convenim să notăm cu Ai ( i  1,6 ) evenimentul constând în apariţia feţei cu i puncte. Probabilitatea de a obţine „trei” (realizarea evenimentului A3) la aruncarea cu zarul este de unu la şase (1/6), din moment ce toate cele şase feţe (clasa de referinţă) au aceleaşi şanse şi doar una este etichetată „trei”. Deci: 1 P ( Ai )  , i  1,6 . 6 Acceptând definiţia conform căreia probabilitatea este identificată cu frecvenţa relativă, probabilitatea va fi întotdeauna un număr cuprins între 0 şi 1. 6

Evenimentul care se realizează totdeauna în urma unei experienţe îl vom numi eveniment sigur (notat de obicei cu ); astfel, probabilitatea de a obţine o faţă cu cel puţin un punct la o aruncare cu zarul este un eveniment sigur, din moment ce orice faţă conţine cel puţin un punct. Deci P()  1 . Evenimentul care nu se realizează în nici-o probă a experienţei se numeşte eveniment imposibil (notat de obicei cu ); în contextul aruncării cu zarul ar corespunde situaţiei în care zarul sar aşeza pe o muchie sau pe un colţ. Deci P ( )  0 . Să mai remarcăm o proprietate. Să notăm cu A evenimentul apariţiei feţei cu un punct şi cu B apariţia feţei cu unul sau două puncte. În mod evident, realizarea evenimentului B implică realizarea 1 2 1 evenimentului A, adică A  B . Totodată, P ( A)  , P( B)   . 6 6 3 Rezultă deci: A  B  P ( A)  P ( B ) . De cele mai multe ori însă, nu vom fi interesaţi în obţinerea probabilităţii unui eveniment elementar şi, cu atât mai puţin, a evenimentului sigur sau a celui imposibil. Vom fi nevoiţi atunci să „combinăm” probabilităţile diferitelor evenimente. Formula adunării probabilităţilor pentru evenimente incompatibile Două evenimente se numesc incompatibile, dacă producerea unuia dintre ele într-o probă, atrage după sine imposibilitatea producerii celuilalt eveniment în aceeaşi probă. În contextul experienţei aruncării cu zarul, oricare dintre cele şase evenimente, este incompatibil cu celelalte cinci (de exemplu, apariţia feţei cu 3 puncte atrage după sine imposibilitatea apariţiei feţelor cu 1, 2, 4, 5 sau 6 puncte). Formula adunării probabilităţilor incompatibile afirmă că: dacă A şi B sunt două evenimente incompatibile, probabilitatea ca oricare dintre ele să apară este egală cu suma probabilităţilor de apariţie a fiecăreia dintre ele. Vom scrie acest lucru astfel: 7

P( A  B)  P( A)  P( B) ,

dacă evenimentele A şi B sunt incompatibile ( A  B   ), sau, în general: P( A1  A2  ...  An )  P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An ) ,

dacă evenimentele A1,A2,…,An sunt incompatibile Ai  A j  , i  j.

Astfel, probabilitatea obţinerii în urma unei aruncări cu zarul a unei feţe pare (realizarea evenimentului A2 sau A4 sau A6) va fi: P( A2  A4  A6 )  P( A2 )  P( A4 )  P( A6 )  1 1 1 3 1      . 6 6 6 6 2

Formula adunării probabilităţilor pentru evenimente compatibile Două evenimente se numesc compatibile dacă în cel puţin o probă a experienţei se realizează amândouă. În contextul experienţei aruncării cu zarul, dacă evenimentul A constă în „apariţia feţei cu 1 sau 2 puncte”, evenimentul B în „apariţia feţei cu 1 sau 3 puncte”, iar evenimentul C în „apariţia feţei cu 2 sau trei 3 puncte”, atunci acestea sunt incompatibile în totalitatea lor, dar compatibile două câte două. Formula simplă de adunare a probabilităţilor nu mai este valabilă atunci când fenomenele sunt compatibile. În acest caz, ea devine: P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) ,

dacă evenimentele A şi B sunt compatibile ( A  B   ). Să exemplificăm. Presupunem că dorim să aflăm, în urma 8

unei aruncări cu zarul, probabilitatea apariţiei unui număr divizibil cu 2 sau cu 3. Aceasta ar însemna apariţia feţelor 2, 4 sau 6 – evenimente incompatibile –, pentru divizibilitatea cu 2 (să notăm acest eveniment cu A) şi 3 sau 6 – evenimente incompatibile –, pentru divizibilitatea cu 3 (să notăm acest eveniment cu B). În mod evident, avem: P( A)  P( A2  A4  A6 )   P ( A2 )  P ( A4 )  P ( A6 ) 

1 1 1 3 1     6 6 6 6 2

P( B)  P( A3  A6 )  1 1 2 1  P ( A3 )  P ( A6 )     6 6 6 3

Aplicând formula adunării probabilităţilor incompatibile, am obţine P( A  B)  P( A)  P( B ) 

1 1 5   , 2 3 6

rezultat greşit, deoarece apariţia feţei 6 înseamnă atât realizarea evenimentului A (adică divizibil cu 2), cât şi a evenimentului B (adică divizibil cu 3). În mod evident, aceasta nu trebuia luată în calcul decât o singură dată. Aplicând formula adecvată în acest caz, obţinem: P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) 

 P( A2  A4  A6 )  P ( A3  A6 )  P( A6 ) 

1 1 1 2    . 2 3 6 3

Formula înmulţirii probabilităţilor evenimentelor independente Vom spune că două evenimente sunt independente dacă 9

producerea unuia nu afectează în nici un fel producerea celuilalt. Să presupunem că vrem să aflăm care sunt şansele să obţinem, prin aruncarea simultană a două zaruri diferite, „trei” pe fiecare dintre ele. Rezultatele posibile, în urma aruncării simultane a două zaruri, sunt următoarele: Zarul 1 Zarul 2 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6

Zarul 1 Zarul 2 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6

Zarul 1 Zarul 2 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6

După cum se observă, probabilitatea de a obţine „trei” simultan pe fiecare zar este de 1/36. Formula înmulţirii ne oferă o modalitate mai simplă de a ajunge la acelaşi rezultat: dacă două fenomene sunt independente atunci probabilitatea ca ambele să se petreacă în acelaşi timp este produsul probabilităţii fiecăruia, adică: P( A  B)  P( A)  P ( B ) .

În exemplul nostru, aruncarea unui zar nu afectează în nici un fel aruncarea celuilalt, aşa că vom folosi formula înmulţirii şi vom avea: P( A3(1)  A3( 2) )  P( A3(1) )  P( A3( 2) ) 

1 1 1   6 6 36

unde am notat cu A3(1) , A3( 2) realizarea evenimentului A3 pe primul, 10

respectiv al doilea zar. Dar dacă prin aruncarea simultană am dori să obţinem 1 pe un zar şi 5 pe celălalt? Acest lucru ar fi posibil în două moduri: apariţia feţei 1 pe primul zar şi a feţei 5 pe al doilea zar (evenimente independente) sau invers. Totodată, evenimentele constând din apariţiile (1; 5) sau (5; 1) sunt incompatibile. Ţinând cont de toate acestea, deducem că această probabilitate va fi:





P ( A1(1)  A5( 2) )  ( A5(1)  A1( 2) ) 



 



 P ( A1(1)  A5( 2) )  P ( A5(1)  A1( 2) )   P ( A1(1) )  P( A5( 2) )  P ( A5(1) )  P( A5( 2) ) 

1 1 1 1 2 1      6 6 6 6 36 18

Formula probabilităţii condiţionate În anumite situaţii suntem conduşi la calculul probabilităţii unui eveniment B, în ipoteza că un alt eveniment A de probabilitate nenulă s-a produs. O astfel de probabilitate va fi denumită probabilitatea evenimentului B condiţionată de evenimentul A va fi notată cu PA (B) , sau cu P( B | A) şi va fi egală cu: PA ( B ) 

P( A  B) . P ( A)

Din formula de mai sus rezultă imediat:

P( A  B)  P( A)  PA ( B) . Să considerăm următorul exemplu. Presupunem că avem o urnă care conţine 4 bile albe şi 5 bile roşii. Se extrag două bile, pe rând, prima bilă extrasă nefiind reintrodusă în urnă. Să calculăm probabilitatea ca ambele bile extrase să fie roşii. Să notăm cu A evenimentul care constă în apariţia unei bile roşii la prima extragere şi cu B evenimentul care constă în apariţia unei bile roşii la a doua 11

extragere. Evenimentul care ne interesează este, evident, A  B . 5 4 1 Avem mai întâi P ( A)  , iar apoi PA ( B)   , deoarece dacă 9 8 2 prima bilă extrasă a fost roşie, numărul bilelor roşii rămase în urnă este 5  1  4 , iar numărul total al bilelor rămase în urnă devine 9  1  8 . În aceste condiţii obţinem P( A  B)  P( A)  PA ( B) 

12

5 1 5   . 9 2 18

2 Clasificarea şi ordonarea datelor Odată ales un set de date „primare” pentru un studiu, în ideea obţinerii unor rezultate corecte, acestea trebuie selectate, ierarhizate şi prelucrate în cadrul unui sistem informaţional adecvat scopurilor propuse de respectivul studiu. Metodele utilizate pentru prelucrarea sau reprezentarea datelor cu care lucrăm, depinde de tipul acestora. Deşi există mai multe criterii de clasificare în tipuri de date [7], ne vom opri doar asupra aceluia care le deosebeşte după forma de exprimare. Conform acestui criteriu, deosebim:  date cantitative – cu variantele exprimate numai prin numere;  date calitative – cu variantele exprimate numai prin cuvinte. Acestea din urmă pot fi transpuse în limbaj cifric prin codificare. La rândul lor, datele cantitative se împart în:  continue – pot lua orice valoare dintr-un anumit interval. O proprietate importantă a acestui tip de date este aceea că nu este posibil să obţinem două valori identice. Dacă acest lucru s-ar obţine, de exemplu, prin măsurarea cu un anumit instrument, aceasta ar însemna că respectivul instrument nu este destul de performant şi, sigur, cu unul mai bun, am fi putut distinge între cele două valori. Ceea ce defineşte însă datele continue nu este numărul înregistrat, ci dimensiunea teoretică fundamentală;  discrete – pot lua numai anumite valori, de obicei, dar nu obligatoriu, întregi. Numărul zilelor însorite dintr-un an calendaristic este un exemplu de dată discretă. Nu are nici un sens să vorbim de „536 zile însorite”. Indiferent de cât de precis ar fi „instrumentul” cu care am măsura, nu am fi putut obţine decât o valoare cuprinsă între 0 şi 365. La fel, nu putem spune că 15,3 studenţi au obţinut nota 8 la un examen, oricât de „precis” i-am număra. Să remarcăm faptul că, pentru datele discrete, putem avea valori egale, fără ca aceasta să fie rezultatul unei măsurări incorecte, ci să exprime egalitatea pentru o anume caracteristică.

13

2.1 Serii de distribuţie Una dintre noţiunile fundamentale ale statisticii este frecvenţa. Considerând, de exemplu, rezultatele unei grupe de studenţi la un examen, putem aprecia o entitate izolată – un student – prin răspunsul la întrebarea „Ce notă a luat studentul X la examen?”. Dar atunci când ne referim la întreaga grupă, ne aşteptăm la întrebări de genul „Câţi studenţi au promovat examenul şi câţi nu?”, „Câţi studenţi au luat nota 7?” etc. Întrebările lansate ascund deja în ele împărţirea studenţilor în grupe, după caracteristica de grupare „nota la examen” („promovaţi – nepromovaţi”, „nota 7 – alte note”). Răspunsul la întrebările respective nu înseamnă altceva decât căutarea frecvenţelor caracteristicii respective sau, cu alte cuvinte, a numărului de indivizi care populează fiecare clasă a caracteristicii. Putem deci defini acum seria de distribuţie simplă ca fiind o paralelă între şirul variantelor sau intervalelor de variaţie ale caracteristicii atributive1 şi şirul frecvenţelor corespunzătoare fiecărei variante sau interval. Este cunoscută şi sub numele de distribuţie unidimensională. Ca serie complexă, seria de distribuţie este o paralelă între trei sau mai multe şiruri de date, în cadrul cărora se regăsesc două sau mai multe variabile atributive şi şirul frecvenţelor corespunzătoare. Prin urmare, putem avea distribuţii bidimensionale, tridimensionale etc. Frecvenţele specifice seriilor de distribuţie pot fi:  frecvenţe absolute – reprezintă numărul de unităţi statistice corespunzătoare fiecărei grupe sau variante; sunt numere naturale, convenim să le notăm cu fi şi, dacă N este volumul colectivităţii supuse studiului, avem k

f1  f 2  ...  f k   f i  N ; i 1

 frecvenţe relative – se determină ca raport între frecvenţele O caracteristică atributivă reprezintă un atribut, o proprietate a unităţilor statistice dintr-o colectivitate statistică, după care se face gruparea acestora. 14

absolute şi numărul total de unităţi; sunt numere subunitare, mai mari sau egale cu zero, convenim să le notăm cu pi şi satisfac k

p1  p 2  ...  p k   pi  1 , i 1

deoarece

p1 

f f1 f , p2  2 ,..., pk  k .  fi  fi  fi

În mod obişnuit, atunci când se utilizează expresia „frecvenţe relative” se presupune că este vorba despre frecvenţe relative la unitate (  pi  1). Frecvenţele relative la 100 (  pi  100 ) se numesc „procente” (se notează cu semnul %), iar cele relative la 1000 (  pi  1000 ) se numesc „promile” (se notează cu semnul ‰). Facem aceste precizări pentru a sublinia că semnele % şi ‰ înlocuiesc cuvintele „procente”, respectiv „promile” şi pentru a evita pleonasme de genul „procentul promovaţilor în grupă este de 87%” sau inadvertenţe terminologice de genul „procentul naşterilor în România a fost de 15‰”. Să remarcăm faptul că frecvenţele relative la unitate pot fi interpretate ca ponderi ale claselor în totalul populaţiei. Totodată, ele pot fi interpretate şi ca probabilităţi empirice, în sensul că pi reprezintă probabilitatea ca, alegând la întâmplare un individ din cei N, el să aparţină clasei i. Un alt tip de frecvenţe care pot fi calculate sunt frecvenţele cumulate. Ele au menirea de a arăta câţi indivizi (sau ce proporţie sau ce procent din aceştia) fie se găsesc sub ori până la o anumită valoare a caracteristicii de grupare, fie au atins ori au depăşit acea valoare. În primul caz avem de-a face cu frecvenţe cumulate crescătoare (ascendente), în cel de-al doilea caz, cu frecvenţe cumulate descrescătoare (descendente). Din definiţia seriei de distribuţie, rezultă faptul că unităţile statistice sunt distribuite în clase omogene fie după variante, fie după 15

intervale de variaţie ale caracteristicii de grupare. Repartizarea unităţilor după variante este specifică variabilelor calitative, dar şi variabilelor cantitative discrete, cu un domeniu îngust de variaţie. Construirea distribuţiilor după variante nu ridică probleme deosebite. Un exemplu de distribuţie unidimensională după variante este dat în tabelul 2.1 (s-au calculat şi frecvenţele cumulate crescător). Tabelul 2.1 Exemplu de repartiţie după variante – repartiţia studenţilor după nota la un examen Nota la Frecvenţe Frecvenţe Frecvenţe Frecvenţe examen absolute absolute relative relative (xi) (fi) cumulate (pi) cumulate crescător crescător 3 2 2 0,025 0,025 4 4 6 0,050 0,075 5 10 16 0,125 0,200 6 16 32 0,200 0,400 7 8 40 0,100 0,500 8 20 60 0,250 0,750 9 16 76 0,200 0,950 10 4 80 0,050 1,000 80 1,000 

Repartizarea unităţilor după intervale de variaţie este specifică variabilelor cantitative continue, dar şi celor discrete cu un domeniu larg de variaţie. Construirea acestor distribuţii este mai dificilă. Numărul de intervale şi, implicit, mărimea intervalelor de variaţie, este unul dintre elementele esenţiale căruia trebuie să i se acorde o atenţie deosebită. Pentru determinarea numărului de intervale J există mai multe propuneri:  Brooks şi Carruthess2 propun: J  5 lg N , unde N = numărul total de observaţii; 2

C.E.P.Brooks şi N.Carruthess, Handbook of Statistical Methods in Meteorology. 16

 Croxton şi Cowden3 propun ca numărul de intervale să fie cuprins între 6 şi 16;  H.A.Sturges propune J  1  3,322 lg N (formula cel mai des utilizată). Făcând presupunerea că gruparea se face pe intervale de mărimi egale, din formula lui Sturges obţinem că mărimea fiecărui x  xmin interval va fi: K  max unde xmax şi xmin reprezintă valoarea J maximă, respectiv minimă din totalul observaţiilor. Totuşi, stabilirea numărului de grupe depinzând numai de N, ignoră complet amplitudinea distribuţiei şi, mai ales, modul în care unităţile statistice sunt distribuite pe intervale (lucru esenţial în metodologia de aplicare, de exemplu, a unor teste statistice, cum ar fi testul Χ 2 („hi - pătrat”), care impune condiţii asupra numărului total de indivizi, dar şi asupra numărului de indivizi dintr-o grupă). Trebuie subliniat, deci, faptul că, în aceste situaţii, intuiţia statisticianului, bazată pe practica sa, are un rol determinant în alcătuirea seriei de distribuţie. O serie de distribuţie greşit alcătuită, nu poate conduce decât la rezultate eronate. Mai trebuie menţionat faptul că, la alcătuirea seriilor de distribuţie după intervale de variaţie, pentru a nu apărea înregistrări duble, trebuie specificat obligatoriu care capăt al intervalului de variaţie se include în interval. De asemenea, trebuie menţionat că, în cadrul prelucrărilor ulterioare, drept reprezentant al intervalului de variaţie se va considera centrul acestuia. Un exemplu de distribuţie unidimensională după intervale de variaţie este dat în tabelul 2.2 (s-au calculat şi frecvenţele cumulate crescător).

3

F.E.Croxton şi D.J.Cowden, Applied General Statistics. 17

Tabelul 2.2 Exemplu de repartiţie după intervale de variaţie – repartiţia unui grup de persoane după înălţime Intervalul Reprezentantul Frecvenţe Frecvenţe Frecvenţe Frecvenţe de grupei absolute absolute relative relative înălţime (xi) (fi) cumulate (pi) cumulate - cm crescător crescător [145;155) 150 6 12 0,05 0,05 [155;165) 160 12 18 0,10 0,15 [165;175) 170 36 54 0,30 0,45 [175;185) 180 30 84 0,25 0,70 [185;195) 190 24 108 0,20 0,90 [195;205) 200 12 120 0,10 1,00 ∑ 120 1,00 -

2.2 Reprezentarea grafică a seriilor de distribuţie Pentru seriile de distribuţie, reprezentările grafice specifice sunt: histograma, poligonul frecvenţelor şi curba frecvenţelor cumulate. Histograma Se deosebesc două tipuri de histogramă:  Histograma prin batoane. Este specifică seriilor de distribuţie după variante ale caracteristicii atributive; poate fi folosită şi pentru reprezentarea distribuţiilor după intervale de variaţie, caz în care centrele acestor intervale sunt luate ca elemente de referinţă. Histograma corespunzătoare datelor din tabelul 2.1 este prezentată în figura 2.1.  Histograma prin dreptunghiuri (prin coloane sau bare dreptunghiulare). Este specifică distribuţiilor după intervale de variaţie; pentru distribuţiile cu variabile continue, nu se lasă spaţii libere între coloanele histogramei; pentru distribuţiile cu variabile discrete, pot fi lăsate spaţii libere între coloane dar de aceeaşi mărime. Acest tip de histogramă este folosit şi pentru calculul grafic al dominantei. În principiu, metodologia de construcţie a acestor histograme 18

este aceeaşi. Pe abscisă se trec valorile scării de reprezentare aferente caracteristicii de grupare; pe ordonată se trec valorile scării aferente frecvenţelor. Pentru histograma prin batoane, se ridică de pe abscisă, din dreptul diviziunilor scării, perpendiculare a căror înălţime este proporţională cu frecvenţele corespunzătoare fiecărei variante. Pentru histograma prin coloane, din dreptul intervalelor de pe abscisă, se ridică dreptunghiuri (coloane) a căror înălţime este proporţională cu frecvenţele corespunzătoare fiecărui interval. Poligonul frecvenţelor Se obţine prin unirea vârfurilor batoanelor sau prin unirea mijlocului bazelor superioare ale dreptunghiurilor din histogramele corespunzătoare. Exemplul corespunzător datelor din tabelul 2.1 este prezentat în figura 2.2. pi

pi

0,50

0,50

0,40

0,40

0,30

0,30

0,20

0,20

0,10

0,10 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 2.2. Poligonul frecvenţelor notelor

3 4 5 6 7 8 9 10 Nota Figura 2.1. Frecvenţa notelor obţinute la un examen

Nota

Curba frecvenţelor cumulate Este cunoscută şi sub numele de Ogivă sau Curba lui Galton. În principiu, modul de construcţie nu diferă de cel prezentat la histogramă; deosebirea constă în aceea că, pe ordonată este trecută scara de reprezentare a frecvenţelor cumulate. Cumularea frecvenţelor se poate face în două sensuri: de la 19

începutul seriei spre sfârşitul acesteia (caz în care se obţine curba ascendentă), sau de la sfârşitul seriei spre începutul său (caz în care se obţine curba descendentă). Este folosită mai frecvent pentru distribuţiile după intervale de variaţie. De pe abscisă, din dreptul intervalelor, se ridică dreptunghiuri a căror înălţime este proporţională cu frecvenţele cumulate corespunzătoare fiecărui interval. Prin unirea extremităţilor din dreapta ale bazelor superioare ale acestor dreptunghiuri, se obţine ogiva. Exemplul corespunzător datelor din tabelul 2.2 este prezentat în figura 2.3. ∑p 1,00

i

0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 [145;155) [155;165) [165;175) [175;185) [185;195) [195;205)

Figura 2.3 Curba frecvenţelor cumulate

h

Din combinarea modurilor de dispunere a frecvenţelor în interiorul câmpului de variaţie, delimitat de variantele minimă şi maximă ale caracteristicii de grupare, rezultă următoarele tipuri de distribuţie:  distribuţii simetrice – au frecvenţa maximă plasată în centrul seriei, iar celelalte frecvenţe, descrescătoare şi egale două câte două, se situează simetric de o parte şi de alta a frecvenţei maxime; aceste distribuţii se întâlnesc în practică extrem de rar; 20

 distribuţii moderat asimetrice – prezintă o uşoară abatere de la simetrie, cu o extindere fie spre stânga, fie spre dreapta a frecvenţelor faţă de frecvenţa maximă; distribuţiile de acest gen sunt foarte des întâlnite în practică;  distribuţii extrem asimetrice – au frecvenţa maximă plasată în una din cele două extremităţi; sunt destul de frecvent întâlnite în practică, având însă o serie mai restrânsă decât distribuţiile moderat asimetrice;  distribuţii multimodale sau multiforme – frecvenţa maximă nu este unică; sunt combinaţii ale celor trei forme anterioare şi se întâlnesc mai rar în practică. Forma distribuţiilor este dată de gradul de concentrare sau de destindere a unităţilor dintr-o colectivitate dată, în interiorul câmpului de variaţie a caracteristicii de grupare. Astfel, pot fi distribuţii cu o boltă îngustă (ascuţită) determinată de faptul că majoritatea unităţilor sunt concentrate în zona centrală a seriei; ele sunt cunoscute sub numele de distribuţii leptocurtice. Se întâlnesc distribuţii cu o boltă larg deschisă, determinată de o destindere a frecvenţelor, aproximativ uniformă, pe o zonă mai mare a domeniului de variaţie; acestea sunt cunoscute sub numele de distribuţii platicurtice. În cazul în care se doreşte evidenţierea părţilor unui întreg, a elementelor structurale ale unui indicator, se utilizează diagramele de structură. Pentru construirea lor, figura geometrică cel mai frecvent utilizată este cercul. După trasarea sa, acesta se sectorizează în funcţie de nivelurile indicatorilor structurali. În mod obligatoriu, diagramele de structură sunt însoţite de legendă. Să presupunem că datele din tabelul 2.1 le grupăm în patru categorii: picaţi la examen (notele 3 şi 4), note slabe (5 şi 6), note bune (7 şi 8) şi note foarte bune (9 şi 10), obţinând: Tabelul 23 Notele studenţilor grupate în patru categorii Note 3-4 5-6 7-8 9-10 fi 6 26 28 20 % 8 25 34 33 21

Pentru sectorizarea cercului, procedăm astfel: aria cercului este echivalenta numărului total de studenţi (80); aceasta înseamnă că, dacă celor 80 de studenţi le corespund 360○, atunci celor 6 studenţi le corespund 27○, celor 26 le corespund 117○, celor 28 le corespund 126○ şi, în fine, celor 20 le corespund 90○. Se reprezintă unghiurile la centru corespunzătoare acestor valori, iar sectoarele se haşurează sau se colorează diferenţiat, conform figurii 2.4. Structura notelor

8% 25% Note 3-4 Note 5-6

33%

Note 7-8 Note 9-10 34%

Figura 2.4 Exemplu de diagramă de structură

2.3 Indicatorii seriilor de distribuţie 2.3.1Indicatorii tendinţei centrale Să presupunem că două grupuri de câte 10 studenţi, obţin la un examen următoarele rezultate: Grupul 1:

5,

7,

6,

8,

8,

7,

6,

7,

7,

6

Grupul 2:

9,

8,

9,

9,

10,

8,

8,

9,

7,

10

Distribuţiile notelor obţinute de cele două grupuri sunt prezentate în figurile 2.5 şi 2.6. 22

fi 4 3 2 1 1

2

3

4

5

6

8

7

9

10 Note

Figura 2.5. Distribuţia notelor pentru primul grup fi 4 3 2

1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 Note

Figura 2.6. Distribuţia notelor pentru al doilea grup

Se poate uşor observa că forma distribuţiilor este identică, numai că poziţia distribuţiei celui de-al doilea grup este deplasată pe axă, datorită notelor mai mari obţinute. Spunem, de obicei, că localizarea celor două distribuţii diferă. În multe cazuri se poate dovedi utilă o modalitate de a caracteriza numeric localizarea unei distribuţii, în scopul identificării diferenţelor între diverse distribuţii, mai complicate decât cele din exemplul de mai sus. În acest sens, avem la dispoziţie indicatorii tendinţei centrale (sau ai centrului de grupare): media, mediana şi modul (dominanta). Media este expresia sintetică a nivelurilor individuale ale unei variabile oarecare, concretizată într-un singur nivel reprezentativ, care evidenţiază ceea ce este esenţial, firesc, tipic şi obiectiv în dezvoltarea unui fenomen [7]. 23

Prin definiţie, media anihilează toate abaterile variantelor caracteristicii de la nivelul său. Deşi se deosebesc mai multe tipuri de medii, pentru scopul lucrării noastre ne vom opri doar asupra a două dintre ele: media aritmetică şi media pătratică. Pentru fiecare dintre ele deosebim două forme:  forma simplă, se foloseşte atunci când numărul variantelor caracteristicii este egal cu numărul unităţilor statistice supuse studiului, adică atunci când nu se repetă nici-o variantă;  forma ponderată se foloseşte atunci când cel puţin o variantă se repetă, fiind specifică seriilor de distribuţie. Media aritmetică simplă Funcţia determinantă este de tip adiţional, adică nivelul general (total) al caracteristicii X se obţine prin însumarea variantelor xi. Calculul mediei are la bază următoarea proprietate: substituind, în cadrul funcţiei determinante, variantele xi cu media lor, nivelul general al caracteristicii X nu trebuie să se schimbe. Deci: x1  x2  ...  xn   xi x  x  ...  x  nx  xi nx   xi  x  n

Media aritmetică ponderată Pentru media aritmetică ponderată, se foloseşte – în principiu – aceeaşi metodologie, cu deosebirea că fiecare variantă este ponderată (înmulţită) cu frecvenţa corespunzătoare. Deci: x1 f1  x2 f 2  ...  xn f n   xi f i xf1  xf 2  ...  xf n  x  f i

x  f i   xi f i  x 

24

 xi f i  fi

Comparând relaţia mediei aritmetice ponderate cu cea a mediei aritmetice simple, se observă că nivelul mediei aritmetice ponderate este dependent de frecvenţele corespunzătoare fiecărei variante. Pentru exemplul nostru cu notele grupului de 80 de studenţi (tabelul 2.1), media este:

x

 xi f i   fi

3  2  4  4  5  10  6  16  7  8  8  20  9  16  10  4  2  4  10  16  8  20  16  4 568   7,10 80



Media pătratică Este utilizată ca model matematic în calculul unuia dintre indicatorii sintetici ai variaţiei şi anume abaterea standard sau abaterea medie pătratică. Metodologia de calcul este similară cu cea de la media aritmetică, funcţia determinantă fiind tot de tip adiţional; deosebirea constă în aceea că, în cazul mediei pătratice, se foloseşte pătratul variantelor caracteristicii. Astfel: Media pătratică simplă

x12  x22  ...  xn2   xi2 x p2  x p2  ...  x p2  nx p2

nx p2   xi2  x p 

25

 xi2 n

Media pătratică ponderată

x12 f1  x22 f 2  ...  xn2 f n   xi2 f i x p2 f1  x p2 f 2  ...  x p2 f n  x p2  f i

x p2  f i   xi2 f i  x p 

 xi2 f i  fi

Pentru exemplul nostru cu notele grupului de 80 de studenţi (tabelul 2.1), media pătratică este:

xp 

 xi2 f i  fi





3 2 2  4 2 4  5 210  6 216  7 2 8  8 2 20  9 216  10 2 4  2  4  10  16  8  20  16  4



4276  53,45  7,31 80

Dacă pentru aceeaşi serie se calculează media aritmetică şi media pătratică, întotdeauna x  x p . Facem precizarea că în cazul seriilor alcătuite după intervale de variaţie, indiferent de tipul de medie, se va lucra cu centrele intervalelor. Aceasta, datorită faptului că, în interiorul intervalelor, unităţile statistice se consideră uniform repartizate. Mediana este acea valoare a caracteristicii care împarte seria ordonată (crescător sau descrescător) în două părţi egale. Pentru seriile alcătuite după variante ale caracteristicii de grupare se deosebesc două cazuri: a) Când seria are un număr impar de termeni – mediana este

26

varianta caracteristicii care ocupă locul central ( x n 1 ) în cadrul seriei 2

ordonate crescător sau descrescător. De exemplu, fie seria: 15, 27, 10, 38, 23, 31, 18. Ordonăm seria: 10, 15, 18, 23, 27, 31, 38. Mediana este 23, ocupând locul (7  1) / 2  4 . b) Când seria are un număr par de termeni – mediana este dată de media aritmetică a celor doi termeni centrali din seria xn  xn ordonată crescător sau descrescător (

2

2

1

). 2 De exemplu, fie seria: 15, 27, 10, 38, 23, 31, 18, 40. Ordonăm seria: 10, 15, 18, 23, 27, 31, 38, 40. Mediana este (23  27) / 2  25 (media aritmetică a locurilor

4 şi 5). Pentru seriile de distribuţie alcătuite după intervale, se foloseşte relaţia:   fi  k Me  Li    Sn  ,  2  f Me

unde: Li

 fi 2 Sn k fMe

= limita inferioară a intervalului în care se plasează mediana; = jumătate din numărul de unităţi statistice, conform definiţiei medianei; = suma frecvenţelor intervalelor care preced intervalul în care se plasează mediana; = mărimea intervalului de variaţie; = frecvenţa intervalului în care se plasează mediana.

Această relaţie are la bază ipoteza că, în interiorul intervalului de variaţie, unităţile statistice sunt uniform distribuite. 27

Astfel, pentru exemplul nostru cu repartiţia grupului de persoane după înălţime (tabelul 2.2), vom avea: Li = 175 Privind frecvenţele absolute cumulate, observăm că termenul de rang 60 – cel care împarte seria în două părţi egale –, deci şi mediana, se vor afla în intervalul [175;185);  f i  60 ; 2 Sn = 6+12+36 = 54; k = 10; fMe = 30. Aplicând formula, obţinem: Me  175  60  54 

10  177 . 30

Dominanta (modul) este acea valoare a caracteristicii care are frecvenţa cea mai mare. Din definiţie, rezultă că dominanta este un indicator specific seriilor de distribuţie. Pentru seriile de distribuţie realizate după variante ale caracteristicii de grupare nu se ridică nici-o problemă în determinarea dominantei. Pentru seriile de distribuţie realizate după intervale de variaţie se foloseşte relaţia:

Do  Li 

1 k 1   2

în care: Li = limita inferioară a intervalului în care se plasează dominanta; k = mărimea intervalului de variaţie; 1 = frecvenţa maximă minus frecvenţa precedentă; 2 = frecvenţa maximă minus frecvenţa următoare. 28

Se observă că şi în cazul dominantei, relaţia este aplicabilă seriilor de distribuţie unidimensionale alcătuite după intervale egale. Pentru exemplul nostru cu repartiţia grupului de persoane după înălţime (tabelul 2.2), vom avea: Li = 165 Privind frecvenţele absolute, observăm că cea mai mare frecvenţă (65) este în intervalul [165;175); k = 10; 1 = 36 – 12 = 24; 2 = 36 – 30 = 6. Aplicând formula, obţinem: Do  165 

24  10  173 . 24  6

Spre deosebire de mediană, care este influenţată doar de numărul de cazuri observate, media este foarte sensibilă la valori extreme, ea fiind influenţată atât de numărul de cazuri, cât şi de valoarea lor. Spre exemplu, presupunând că măsurăm timpul de reacţie al unei persoane, se poate întâmpla ca un factor care provoacă o reacţie rapidă de obicei, să determine, în câteva cazuri, reacţii mai lente, datorate neatenţiei persoanei respective în acele situaţii. Dacă aceste „valori extreme” sunt consecinţa unui proces diferit de cel urmărit în studiu, calcularea mediei poate duce la un rezultat înşelător, iar calcularea medianei va fi preferată. (După cum vom vedea, există „criterii” – teste statistice –, pentru eliminarea valorilor care se abat în mod frapant de la majoritatea celorlalte date). Având în vedere acest lucru, conchidem că media va fi folosită dacă acordăm atenţie proprietăţilor numerice ale datelor (şi suntem convinşi că au fost eliminate valorile aberante), în timp ce mediana va fi folosită dacă aceste proprietăţi numerice nu sunt importante sau dacă pot induce în eroare. Modul este preferat atunci când avem nevoie de o măsurare rapidă, sau suntem interesaţi de un caz anume. Media, mediana şi dominanta constituie sistemul indicatorilor tendinţei centrale. Ei se plasează, de regulă, în zona 29

centrală a distribuţiilor unidimensionale moderat asimetrice, fapt ce la conferă un grad ridicat de semnificaţie, de reprezentativitate, având o importanţă deosebită în practica de analiză statistică. Mediana şi dominanta sunt cunoscute ca făcând parte din grupa indicatorilor de poziţie. 2.3.2 Indicatorii variaţiei Gradul de semnificaţie a indicatorilor prezentaţi anterior este strâns legat de câmpul de variaţie a valorilor unui fenomen, de modul de dispersare a acestor valori în interiorul câmpului de variaţie, de gradul de aglomerare a cazurilor în jurul unor valori etc. Mărimile de localizare discutate mai sus au în vedere doar unele aspecte ale distribuţiei frecvenţelor şi nu prezintă toate informaţiile ce pot fi aflate prin examinarea datelor. Aceste informaţii sunt cuantificate cu ajutorul unor indicatori specifici dintre care ne vom opri asupra amplitudinii, dispersiei, abaterii medie pătratică (abaterea standard), coeficientului de variaţie. Amplitudinea variaţiei oferă posibilitatea delimitării câmpului de variaţie a unui fenomen. Se deosebesc două variante: a) Amplitudinea absolută – calculată ca diferenţă între varianta maximă şi varianta minimă ale caracteristicii: Aa  xmax  xmin

b) Amplitudinea relativă – se calculează ca raport între amplitudinea absolută şi media caracteristicii respective, exprimându-se în procente:

Ar 

Aa  100 . x

Pentru exemplul nostru cu notele obţinute de cei 80 de 30

studenţi (tabelul 2.1), avem xmax  10 (nota maximă), xmin  3 (nota minimă) şi x  7,10 (media). Aplicând formulele, obţinem: Aa  10  3  7 puncte; 7 Ar   100  98,59 % . 7,10

Dispersia (sau, varianţa) se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratului abaterilor variantelor caracteristicii de la media lor (fiind de fapt, momentul centrat de ordinul doi), folosind una dintre relaţiile: ( xi  x ) 2    simplă; 2

n  ( xi  x ) 2 f i ponderată. 2   fi

Dezvoltând pătratele de la numărător şi distribuind numitorul, vom obţine o formulă de calcul mai simplă pentru dispersie. Astfel:

  xi2  2 xi x  x 

2

  2



n

 

 xi2 n

 xi  2x 

 xi2  2 x  x  x 2   xi2  x 2 , n

n

şi, analog pentru forma ponderată. Vom avea în final: 2 xi2     x  simplă; 2

n

31



nx  n n

2



2 xi2 f i     x  ponderată.  fi 2

Un mod simplu de a reţine acest lucru este: „Dispersia este egală cu media pătratelor minus pătratul mediei”. Utilizarea acestei formule pentru exemplul nostru cu notele obţinute de cei 80 de studenţi (tabelul 2.1), este prezentată în tabelul 3.3. Tabelul 3.3 Exemplu de determinare a dispersiei xi f i xi fi x i2 xi2 f i 3 4 5 6 7 8 9 10 

2 4 10 16 8 20 16 4 80

Obţinem:  2 

6 16 50 96 56 160 144 40 568

9 16 25 36 49 64 81 100 -

18 64 250 576 392 1280 1296 400 4276

4276  7,10 2  3,04 . 80

Pentru calcularea varianţei la nivel de eşantion – deci nu la întreaga populaţie –, în cazul în care volumul acestuia n este mic (se consideră eşantioane mici acelea pentru care n  30 ), pentru a atenua erorile de reprezentativitate şi, deci, a diminua diferenţele dintre indicatorii sintetici ai sondajului şi parametrii echivalenţi ai bazei de selecţie se foloseşte formula:

2 

 ( xi  x ) 2 simplă; n 1

32

( xi  x ) 2 f i    ponderată.  fi  1 2

Dispersia nu poate fi folosită la caracterizarea variaţiei distribuţiei (unităţile sale de măsură fiind „unităţi pătrate”), fiind utilizată doar ca bază de calcul pentru abaterea medie pătratică. În literatura de specialitate mai este cunoscută şi sub numele de varianţă. Abaterea standard sau abaterea medie pătratică se calculează ca radical din dispersie, deci ca o medie pătratică – simplă sau ponderată – a abaterilor absolute ale variantelor caracteristicii de la media lor, folosind una dintre relaţiile:

( xi  x ) 2     2

n

( xi  x ) 2 f i      fi 2

simplă;

ponderată.

Fiind un indicator de gradul I, ca şi media, poate fi folosită în caracterizarea variaţiei, determinându-se cu ajutorul său intervalul mediu de variaţie, astfel:

x    x   ; x   . Pentru exemplul nostru avem:

  3,04  1,74 , deci intervalul mediu de variaţie va fi:

7,10  1,74; 7,10  1,74  5,36; 8,88 . 33

Coeficientul de variaţie se determină ca raport între abaterea standard şi nivelul mediu al unei variabile oarecare, exprimându-se, de obicei, în procente. El este de fapt, expresia relativă a abaterii standard, adică ponderea acesteia în valoarea mediei. Deci, se calculează după următoarea relaţie: Cv 

 x

 100 .

Cu cât nivelul său este mai apropiat de zero, cu atât variaţia unui fenomen este mai redusă, mai slabă. În acest caz colectivitatea studiată este mai omogenă; indicatorii sintetici folosiţi în analiza diferitelor caracteristici ale acestei colectivităţi, au un grad din ce în ce mai ridicat de semnificaţie. Cu cât nivelul coeficientului de variaţie este mai îndepărtat de zero, cu atât variaţia fenomenului studiat este mai pronunţată; eterogenitatea colectivităţii statistice este din ce în ce mai accentuată; indicatorii sintetici au în acest caz un grad de semnificaţie din ce în ce mai redus. În practică se consideră semnificative valorile lui v de până la 30%. Nivelurile mai mari, presupun faptul că indicatorii sintetici, folosiţi mai ales în calcule estimative, introduc erori din ce în ce mai mari. Pentru evitarea acestor situaţii, atunci când v  30% , se recomandă împărţirea colectivităţii în grupe omogene şi determinarea indicatorilor sintetici pentru fiecare grupă. Aplicând formula pentru exemplul nostru, obţinem: Cv 

1,74  100  24,51% , 7,10

ceea ce reflectă o colectivitate destul de omogenă. Coeficientul de variaţie este folosit pe scară largă în analiza statistică, alături de abaterea standard, apreciindu-se cu ajutorul său nu numai intensitatea variaţiei unui fenomen, ci şi gradul de semnificaţie a unor valori tipice, cum este – spre exemplu – media. Ca o concluzie a acestui paragraf, să reţinem faptul că 34

indicatorii determinaţi sunt în mod direct influenţaţi de valori extreme, unele dintre aceste valori fiind chiar aberante, nefiind caracteristice populaţiei studiate. Există metode de a depista şi a elimina aceste valori, dar ne vom ocupa de ele în capitolul 5. Să mai reţinem faptul că există modalităţi de a asocia valori numerice conceptelor vagi de localizare şi dispersie. Datorită proprietăţilor lor, unele dintre aceste modalităţi pot fi mai potrivite în anumite situaţii. Odată ce se hotărăşte folosirea unei anumite modalităţi de măsurare a localizării sau dispersiei unei distribuţii a datelor, nu trebuie uitat faptul că există şi alte astfel de modalităţi, ce reflectă mai bine anumite aspecte.

2.3.3 Indicatorii variabilei alternative a lui Bernoulli În practică se întâlnesc deseori variabile ale căror variante se exclud reciproc, adică una dintre variante este alternativa celeilalte, atunci când sunt doar două posibilităţi de răspuns. De exemplu, un produs care nu întruneşte condiţiile impuse de normele standardizate de execuţie, este considerat rebut; posibilitatea de a fi în acelaşi timp şi produs corespunzător este exclusă. Denumirea de variabilă alternativă are la bază urna cu două stări. Să convenim deci că avem o variabilă aleatoare X care are doar două stări posibile: x1, cu frecvenţa absolută f1 şi x2 , cu frecvenţa absolută f2. Convenim să atribuim stării x1 (răspunsuri afirmative „Da”, situaţie favorabilă etc.) cifra 1 şi stării x2 (răspunsuri negative „Nu”, situaţie nefavorabilă etc.) cifra 0. Fie f1 f2 frecvenţele relative ale stărilor x1 şi x2; p ,q f1  f 2 f1  f 2 evident, p  q  1 . Să determinăm pentru această variabilă indicatorii media, dispersia şi abaterea medie pătratică. Avem:

35

 xi f i  x1 f1  x2 f 2  1  f1  0  f 2  p f1  f 2 f1  f f1  f  fi 2 2  ( xi  x ) f i  ( x1  x ) f1  ( x 2  x ) 2 f 2  2  f1  f 2  fi x

 (1  p) 2

f1 f2  (0  p ) 2  f1  f 2 f1  f 2

 q 2 p  p 2 q  pq (q  p)  pq .

Am obţinut deci: media:

x  p;

dispersia:

 2  pq ;

abaterea standard:

  pq  p(1  p) .

36

3 Corelaţia în analiza legăturilor dintre fenomene 3.1 Introducere Corelaţia este o metodă statistică utilizată pentru a determina relaţiile dintre două sau mai multe variabile. Există mai multe tipuri de corelaţii, atât parametrice, cât si neparametrice. Metodele parametrice sunt preferate, deoarece sunt mai solide, ceea ce înseamnă creşterea şansei de a respinge o ipoteză falsă. Coeficientul de corelaţie este o valoare cantitativă ce descrie relaţia dintre două sau mai multe variabile. El variază între -1 şi +1, unde valorile extreme presupun o relaţie perfectă între variabile, în timp ce 0 înseamnă o lipsă totală de relaţie. Etimologic „corelaţia” îşi are rădăcina în cuvântul latinesc correlatio = relaţie cu…; cuvântul corelaţie are – în esenţă – şi în limba română acelaşi înţeles, exprimând relaţia, legătura reciprocă dintre fenomene. Variabilitatea fenomenelor social-economice este determinată, în majoritatea cazurilor, de acţiunea simultană a mai multor factori; o parte dintre aceşti factori favorizează evoluţia unui fenomen, alţii o frânează sau acţionează chiar în sens invers. Sensurile şi intensităţile diferiţilor factori se schimbă în condiţii de timp şi spaţiu, astfel că evoluţia fenomenelor dependente înregistrează şi ea tendinţe diferite faţă de cele anterioare. Raporturile de cauzalitate dintre fenomenele socialeconomice pot fi cuantificate şi analizate cu ajutorul corelaţiei. Informaţiile obţinute sunt deosebit de utile, mai ales pentru faptul că, metodele specifice pe care statistica le pune la dispoziţia cercetătorului, oferă posibilitatea cunoaşterii, în principal, a următoarelor aspecte:  existenţa raporturilor de cauzalitate dintre fenomene;  contribuţia fiecărui factor la variabilitatea globală a 37

fenomenelor efect;  intensitatea legăturilor cauzale dintre fenomenele şi procesele social-economice;  tendinţele evolutive ale corelaţiei dintre fenomene. Analiza corelaţiei oferă o paletă largă de informaţii, fiind preferată altor metode de studiere a legăturilor dintre fenomene, deşi determinarea indicatorilor specifici corelaţiei este mult mai dificilă. 3.2 Corelaţia – noţiune, tipuri Corelaţia este expresia sintetică a intensităţii legăturilor cauzale dintre fenomene. Cuplul corelativ poate cuprinde două sau mai multe variabile, din care una este variabila efect, cunoscută sub numele de variabilă rezultativă, simbolizată în general cu Y, iar celelalte sunt variabile cauză, cunoscute sub numele de variabile factoriale – fiind simbolizate cu X1, X2, X3,... Se deosebesc mai multe tipuri de corelaţie. a) După numărul de variabile din cuplul corelativ, se disting: a1) Corelaţie simplă. În cadrul său cuplul corelativ cuprinde două variabile, din care una este variabila rezultativă Y şi cealaltă variabila factorială X. a2) Corelaţie multiplă. Cuplul corelativ cuprinde trei sau mai multe variabile, dintre care una este variabila rezultativă Y şi celelalte sunt variabilele factoriale X1, X2, X3,... Dat fiind faptul că, în general, variabilitatea unui fenomen social-economic este determinată de acţiunea simultană a mai multor factori, corelaţia simplă apare mai mult ca o corelaţie parţială, determinată în condiţiile considerării celorlalte influenţe din afara cuplului corelativ al acestui tip de corelaţie ca fiind constante. b) După sensul legăturilor factoriale, se deosebesc: b1) Corelaţie directă. În cadrul său variabilitatea 38

rezultativei Y se produce în acelaşi sens cu variabilitatea factorialei X (sau factorialelor X1, X2, X3,...). b2) Corelaţia inversă. În cadrul său variabilitatea rezultativei Y se produce în sens invers cu variabilitatea factorilor determinanţi. c) După forma legăturilor cauzale, se disting: c1) Corelaţie lineară. Constă în aceea că variabila rezultativă Y înregistrează o tendinţă lineară ca urmare a factorilor determinanţi. c2) Corelaţia nelineară. În acest caz, variabilitatea rezultativei Y se integrează într-o tendinţă de tip nelinear (parabolic, exponenţial, logaritmic etc.). Cunoaşterea formei corelaţiilor prezintă un interes deosebit în estimarea tendinţelor evolutive ale fenomenelor efect în strânsă legătură cu variabilitatea factorilor determinanţi. Evident, o tendinţă lineară a rezultativei Y, sugerează faptul că nivelurile acestei variabile cresc sau descresc aproximativ în progresie aritmetică; tendinţa nelineară, evidenţiază modificarea acestor niveluri în progresie geometrică, exponenţială etc. Aceste informaţii sunt deosebit de utile în calculele de previziune precum şi în modelarea tendinţelor evolutive. 3.3 Metode orientative în analiza corelaţiei În analiza corelaţiei, pot fi folosite, în funcţie de rigurozitatea rezultatelor cerute, metode puternice, care, cu o anumită probabilitate, pot afirma / infirma existenţa şi intensitatea legăturii, sau metode mai simple, dar nu atât de precise în afirmarea / infirmarea acestei legături. Prezentăm în continuare două dintre metodele expeditive, des utilizate în practică.

3.3.1 Metoda grafică 39

Această metodă elementară presupune construirea şi folosirea corelogramei în analiza corelaţiei. Modul de construire al corelogramei este următorul: pe abscisă se trec valorile scării de reprezentare a variabilei factoriale X; pe ordonată se trec valorile variabilei rezultative Y; prin unirea punctelor corespunzătoare coordonatelor (x,y) se obţine corelograma. Cu ajutorul acestei metode se pot evidenţia următoarele aspecte: a) Sensul corelaţiei – este dat de sensul corelogramei; dacă punctele corespunzătoare coordonatelor (x,y) se dispun pe o corelogramă a cărei tendinţă este ascendentă, atunci între cele două variabile există o corelaţie directă; dacă punctele se dispun pe o corelogramă descendentă, atunci între cele două variabile este o corelaţie inversă. b) Forma corelaţiei – este dată de forma corelogramei; dacă oscilaţiile evidenţiate de corelogramă au aproximativ aceeaşi amplitudine, atunci corelaţia este lineară; dacă amplitudinile acestor oscilaţii sunt diferite, evidenţiind o schimbare de tendinţă, atunci corelaţia este nelineară (de tip parabolic, exponenţial, logistic etc.). Metoda grafică este frecvent folosită în analiza corelaţiei, fiind utilizată în foarte multe cazuri ca element esenţial în alegerea funcţiilor statistico-matematice pentru analiza regresiei şi intensităţii corelaţiei. 3.3.2 Metoda tabelului de corelaţie Metoda presupune gruparea ambelor caracteristici, x şi y întrun tabel cu dublă intrare. Tabelul de corelaţie este un astfel de tabel cu dublă intrare în care pe coloane se trec grupele formate după variaţia caracteristicii factoriale x (sau variantele caracteristicii factoriale), ordonate crescător, iar pe linii se înscriu grupele referitoare la variaţia caracteristicii dependente y (sau variantele acestei caracteristici), de preferinţă ordonate descrescător. Se recomandă ca, atunci când seria este alcătuită după intervale de 40

variaţie, să se utilizeze intervale egale de grupare, un număr suficient de grupe, iar numărul de grupe să fie acelaşi pentru cele două caracteristici studiate (atunci când este posibil). Fiecare celulă a tabelului se află la întretăierea unei anumite grupe (variante) după x, cu o altă grupă (variantă) după y; în celula respectivă se trece numărul unităţilor care se înscriu simultan în cele două grupe considerate (după variaţia lui x şi după variaţia lui y). Atunci când frecvenţele din tabel tind să se concentreze în jurul unei diagonale, între cele două caracteristici reprezentate există legătură de corelaţie. În caz contrar (frecvenţe distribuite neuniform în tot tabelul) variabilele x şi y sunt independente. Tabelul de corelaţie arată atât existenţa, cât şi sensul legăturii; dacă majoritatea frecvenţelor sunt localizate pe diagonala principală (stânga-jos – dreapta-sus), legătura este directă, iar când se situează pe diagonala secundară (stânga-sus – dreapta-jos), legătura este inversă. Prin această interpretare a concentrării frecvenţelor, valabilă în cazul ordonării descrescătoare a grupelor referitoare la variaţia caracteristicii dependente y, tabelul de corelaţie se apropie de metoda grafică. În situaţia ordonării crescătoare a valorilor lui y (tabelul 6.2.3), interpretarea sensului legăturii este opusă. 3.4 Corelaţia simplă În cadrul analizei corelaţiei se au în vedere, în principal, două aspecte esenţiale: a) Regresia – cu ajutorul căreia, prin folosirea şi interpretarea coeficienţilor de regresie ai diferitelor funcţii statistico matematice, se determină contribuţiile factorilor determinanţi la variabilitatea fenomenelor efect; b) Intensitatea corelaţiei – sintetizată cu ajutorul coeficienţilor de corelaţie. Pentru corelaţia simplă, primul aspect poate fi evidenţiat cu ajutorul funcţiilor: lineară – pentru legăturile cauzale de tip linear; parabolică, hiperbolică, exponenţială, logaritmică, semilogaritmică, logistică etc. – pentru legăturile cauzale de tip nelinear. 41

Problema care se pune constă în determinarea unei legături funcţionale între variabila factorială X şi cea rezultativă Y: Y  f (a1 , a2 ,..., ak , X )

care să satisfacă:

yi  f (a1 , a2 ,..., ak , xi ) , i  1, n unde x1 , x 2 ,..., x n , y1 , y 2 ,..., y n sunt valorile cunoscute ale factorialei, respectiv ale rezultativei (valori empirice), iar a1 , a 2 ,..., a k sunt parametri care trebuie determinaţi. Determinarea parametrilor se face cu ajutorul „metodei celor mai mici pătrate”, al cărui principiu constă în minimizarea sumei pătratelor diferenţelor dintre valorile empirice şi cele teoretice. Deci: n

S   ( yi  f (a1 , a 2 ,..., a k , xi )) 2  min . i 1

Minimul acestei expresii se obţine pentru acele valori ale parametrilor a1 , a2 ,..., ak , soluţii ale sistemului de ecuaţii normale S  0 , j  1, k , sistem care poate fi rezolvat printr-una dintre a j metodele de rezolvare ale sistemelor liniare. Vom prezenta în continuare trei dintre cele mai utilizate funcţii în studiul corelaţiilor: funcţia liniară, funcţia parabolică şi funcţia hiperbolică. Vom face unele observaţii asupra comportării acestor, vom prezenta sistemele de ecuaţii normale precum şi graficele unor funcţii din aceste categorii. Pentru mai multe detalii, precum şi pentru comportarea altor funcţii utilizate în studiul corelaţiei vezi [6]. O observaţie general valabilă este aceea că, în cazurile în care apar, termenii liberi sintetizează nivelul variabilei rezultative Y în absenţa influenţei factorialei X. Funcţia liniară y  a  bx este strict crescătoare pentru b  0 42

şi strict descrescătoare pentru b  0 . Sistemul de ecuaţii normale pentru funcţia liniară este:

 na  b x  2 a  x  b x

 

y  xy

Un exemplu de funcţii liniare este prezentat în figura 3.1.

Figura 3.1 Exemplu de funcţii liniare

Funcţia parabolică, y  a  bx  cx 2 , are un punct de extrem b  de coordonate ( ; ) , acest punct fiind de minim dacă c  0 şi 2c 4c respectiv de maxim dacă c  0 , iar graficul funcţiei este simetric în b raport cu dreapta x   . Sistemul de ecuaţii normale pentru 2c funcţia parabolică este: 43

 na   a x a x 2  

 b x  b x 2  b x 3

 c x 2  c x 3  c x 4

  

y  xy  x2 y

Un exemplu de funcţii parabolice este prezentat în figura 3.2.

Figura 3.2 Exemplu de funcţii parabolice

b este strict crescătoare pentru x b  0 şi strict descrescătoare pentru b  0 . Sistemul de ecuaţii normale pentru funcţia hiperbolică este:

Funcţia hiperbolică y  a 

44

  na  1 a  x 



b

 b

1 x 1

x2



y



y x



,x0

Un exemplu de funcţii hiperbolice este prezentat în figura 3.3.

Figura 3.3 Exemplu de funcţii hiperbolice

Alegerea legăturii funcţionale dintre cele două variabile supuse studiului – şi nu numai dintre cele prezentate mai înainte – depinde, într-o foarte mare măsură, de experienţa şi intuiţia cercetătorului. Subliniem, totuşi, importanţa unui criteriu puternic, cel al „abaterii reziduale minime” în alegerea celei mai potrivite expresii a legăturii, în momentul în care există dubii asupra naturii acesteia. În ce constă acest criteriu? Pentru fiecare dintre funcţiile presupuse a descrie legătura dintre variabilele studiate, se calculează abaterea reziduală, 45

( y  Y )2   i i , n

unde yi reprezintă valorile empirice, iar Yi reprezintă valorile teoretice, obţinute prin înlocuirea valorilor factorialei X în expresia teoretică a funcţiei. În final, dintre funcţiile propuse, se va alege cea pentru care această abatere reziduală este cea mai mică. De exemplu, cunoscând următoarele date referitoare la două serii de valori: X Y

1,5 13,0

1,8 11,3

2,5 9,0

3,2 7,7

3,4 7,4

4,0 6,7

4,5 6,3

5,2 5,9

5,7 5,6

6,3 5,4

se cere să se determine natura legăturii dintre cele două variabile, utilizând funcţia lineară, funcţia parabolică şi funcţia hiperbolică, iar apoi, pe baza principiului abaterii reziduale minime, să se determine care din cele trei funcţii aproximează cel mai bine legătura dintre variabile. Pentru cazul unei legături liniare Y  a  bX , sistemul de ecuaţii normale pentru estimarea parametrilor modelului este: 38,1  b  78,3  10  a   38,1  a  169,01  b  263,91

obţinut prin înlocuirile:

n  10 ,  xi  38,1 ,  yi  78,3 ,  xi2  169,01 ,  xi yi  263,91 . În urma calculelor, se obţin parametrii: a  13,33 , b  1,44 , iar ecuaţia de regresie are forma: Y  13,33  1,44 X . Valorile ajustate se obţin înlocuind valorile lui X cu fiecare 46

dintre valorile seriei iniţiale, astfel: Y1  13,33  1,44  1,5  11,17 Y2  13,33  1,44  1,8  10,74 ... obţinându-se tabelul următor: X 1,5 1,8 2,5 3,2 3,4 4,0 4,5 5,2 5,7 6,3 Y  13,33  1,44 X 11,17 10,74 9,73 8,72 8,43 7,57 6,85 5,84 5,12 4,26

Calculând abaterea reziduală pentru acest caz, se obţine: 10

1 

 ( yi  Yi ) 2 i 1

10



8,89  0,94 . 10

Pentru cazul unei legături parabolice Y  a  bX  cX 2 , sistemul de ecuaţii normale pentru estimarea parametrilor modelului este:

 38,1  b  169,01  c  78,3  10  a   38,1  a  169,01  b  827,88  c  263,91 169,01  a  827,88  b  4321,23  c  1077,09  obţinut prin înlocuirile: n  10 ,  xi  38,1 ,  y i  78,3 ,  xi2  169,01 ,  xi y i  263,91

 x 3i  827,88 ,  xi4  4321,23 ,  x i2 yi

 1077,09

În urma calculelor, se obţin parametrii: a  18,53 , b  4,66 , c  0,42 , iar ecuaţia de regresie are forma: Y  18,53  4,66 X  0,42 X 2 47

Valorile teoretice obţinute sunt prezentate în tabelul următor: X Y

1,5 1,8 2,5 3,2 3,4 4,0 4,5 5,2 5,7 6,3 12,48 11,50 9,49 7,89 7,51 6,57 6,01 5,58 5,52 5,73

Calculând abaterea reziduală pentru acest caz, se obţine: 10

2 

 ( yi  Yi ) 2 i 1

10



0,92  0,30 . 10

b , sistemul X de ecuaţii normale pentru estimarea parametrilor modelului este:

Pentru cazul unei legături hiperbolice Y  a 

 10  a  3,23  a

 3,23  b  1,30  b

 

78,3 29,18

obţinut prin înlocuirile: n  10 , 

1  3,23 ,  yi  78,3 , xi



y 1  1,30 ,  i  29,18 2 xi xi

În urma calculelor, se obţin parametrii: a  2,99 , b  15,00 , iar ecuaţia de regresie are forma: Y  2,99 

15 X

Valorile teoretice obţinute sunt prezentate în tabelul următor: X 1,5 1,8 2,5 3,2 3,4 4,0 4,5 5,2 5,7 6,3 Y 12,99 11,32 8,99 7,68 7,40 6,74 6,32 5,87 5,62 5,37 48

Calculând abaterea reziduală pentru acest caz, se obţine: 10

 ( yi  Yi ) 2 i 1

3 

10



0,0052  0,022 . 10

Pe baza principiului abaterii reziduale minime, deducem că dintre cele trei funcţii propuse, funcţia parabolică aproximează cel mai bine legătura dintre cele două variabile. Să mai facem o observaţie importantă. Unul din principalele capitole ale statisticii are în vedere posibilitatea de a face predicţii. Deşi nu se găsesc relaţii perfecte în lumea reală, prin intermediul regresiei se pot face predicţii ale unei variabile (rezultativă), în funcţie de valoarea alteia (factorială). Predicţia este procesul de estimare a valorii unei variabile cunoscând valoarea unei alte variabile. Ori, pentru creşterea gradului de încredere a estimărilor făcute, se poate folosi orizontul previzional, determinat cu ajutorul uneia dintre relaţiile:  y  t , pentru cazul linear;

sau

 y  

Yi  v , pentru cazul nelinear, 100

unde:

t  argumentul funcţiei (t ) 

( yi  Yi ) 2   v

 Y

n

1 2

;

 100 (coeficientul de variaţie). 49

t

e 0



u2 2 du

;

Se obţin astfel intervalele de încredere (Yi  y ; Yi  y) , ale căror limite se înscriu pe două drepte paralele cu dreapta de regresie în cazul linear şi pe două curbe în cazul nelinear. Pentru exemplul precedent, dacă, de exemplu, am fi vrut să estimăm valoarea lui Y pentru X  6,5 am fi putut spune că ne aşteptăm ca această valoare să fie în intervalul (Yi  y ; Yi  y) , obţinut astfel: Y  9,18 ; 10

3 

 ( yi  Yi ) 2 i 1



0,0052  0,022 ; 10

10 0,022 v   100   100  0,23965 ; 9,18 Y 15 15 Yi  2,99   2,99   5,30 ; X 6,5 Y v 5,30  0,23965  y   i    0,01 ; 100 100 Yi  y  5,29 ; Yi  y  5,31 ,



adică în intervalul 5,29 ; 5,31 . 3.4.1 Coeficientul de regresiei liniare)

corelaţie

Pearson

(cazul

Intensitatea corelaţiei simple lineare este dată de coeficientul de corelaţie lineară al lui Pearson:

50

rXY 

n xi yi   xi   yi 

n x

2 i



 xi 2  n yi2  yi 2



În practică se consideră că dacă: 0  rXY  0,2 între cele două variabile nu există nici-o legătură;

0,2  rXY  0,5 există o legătură slabă;

0,5  rXY  0,75 există o legătură de intensitate medie; 0,75  rXY  0,95 există o legătură puternică; 0,95  rXY  1 există o legătură relativ deterministă. De exemplu, considerând următoarele două serii de valori: X Y

2,1 1,8

1,3 3,7

3,4 2,6

5,2 4,5

4,7 5,3

2,6 2,2

3,8 2,8

1,9 3,4

să se determine coeficientul de corelaţie Pearson. Avem:

 x  25;  y  26,3;  xy  88,56;  x 2  91,6;  y 2  96,27 şi, înlocuind în formulă, obţinem:

rXY  

8  88,56  25  26,3 (8  91,6  25 2 )  (8  96,27  26,3 2 )

708,48  657,5 107,8  78,47





50,98  0,55 91,97

adică o legătură directă, de intensitate medie. Odată calculat coeficientul de corelaţie, nu trebuie să ne grăbim să-l interpretăm direct, trebuie mai întâi verificată 51

semnificaţia sa. Acest lucru presupune consultarea unei tabele special construite (Tabelul anexă nr.1). Se poate respinge astfel ipoteza conform căreia există o relaţie adevărată (semnificativă) între variabile, iar eventualele asocieri se datorează întâmplării. Dacă o relaţie este semnificativă din punct de vedere statistic, adică este de încredere, înseamnă că vom obţine rezultate similare dacă s-ar reface experimentul. În utilizarea tabelului anexă nr.1 putem alege diferite praguri de semnificaţie, însă, la nivelul comunităţii ştiinţifice internaţionale, se consideră că pragul minim acceptat pentru a considera o relaţie semnificativă statistic este 0,05, dar acesta poate fi şi mai mic (implicit, gradul de încredere, mai mare). Pentru testarea semnificaţiei unui coeficient de corelaţie este necesară parcurgerea următorilor paşi: 1. Se alege nivelul de semnificaţie dorit, să zicem de 0,05. 2. Se stabileşte tipul de relaţie între variabile: bilaterală, respectiv unilaterală. Cercetătorul este cel care decide ce valoare va consulta. În cazul în care din punct de vedere teoretic, se urmăreşte să se demonstreze că două variabile se corelează fie direct, fie invers, va fi folosit testul unilateral. Dacă asemenea informaţii lipsesc şi se doreşte relevarea doar a coeficientului de corelaţie fără a se preciza direcţia legăturii, vorbim despre testul bilateral. 3. Se citeşte din tabel valoarea lui r pentru coloana corespunzătoare numărului de grade de libertate ( n  2 , n fiind numărul de subiecţi). 4. Dacă valoarea lui r obţinută în urma calculării sale o depăşeşte pe cea din tabel, atunci aceasta este semnificativă la pragul de semnificaţie ales, în cazul nostru de 0,05 şi numărul de grade de libertate specificat. Se poate observa că valoarea coeficientului de corelaţie necesară pentru un r „semnificativ” scade pe măsură ce creşte numărul de subiecţi, implicit gradele de libertate. Se remarcă astfel că valorile foarte mici ale coeficienţilor de corelaţie pot fi semnificative numai dacă se lucrează cu grupe mari de subiecţi. 52

3.4.2 Cazul regresiei neliniare În cazul regresiei nelineare (parabolică, hiperbolică, exponenţială, logaritmică etc.) pentru determinarea intensităţii corelaţiei se foloseşte raportul de corelaţie, care are la baza metodologiei de calcul descompunerea dispersiei generale în dispersii factoriale. Astfel:

 y2  





2 yx

 yi  y 2

(dispersia generală);

n

2  y xi  y 

(dispersia valorilor teoretice faţă de

n

media lor sau dispersia variaţiei explicate; am ţinut cont că y x  y );

 yi  y xi 

2



2 yyx



(dispersia valorilor teoretice faţă de

n

cele empirice, sau dispersia variaţiei neexplicate, sau dispersia reziduală). Avem că: 2  y2   y2x   yy (regula de adunare a dispersiilor). x

Împărţind prin  y2 , obţinem: 1

 y2x  y2



2  yy x

 y2

; R  2

 y2x  y2

, sau R  1 

unde: R2 = coeficientul de determinaţie. 53

2

2  yy x

 y2

Din coeficientul de determinaţie obţinem raportul de corelaţie: R  R  1 2

2  yy x

 y2

, care are proprietatea: 0  R  1 .

Pentru exemplul în care am determinat dintre cele trei funcţii pe cea hiperbolică, intensitatea corelaţiei, dată de raportul de corelaţie, ar fi fost:

  yi  Yi  2   yi  y 

2

R  1

 1

0,0052  0,99 23,849

valoare care evidenţiază o legătură relativ deterministă între cele două variabile. 3.4.3 Coeficientul de corelaţie eneahoric În anumite situaţii, din diverse motive, se renunţă la clasificarea în amănunt a datelor continue, acestea fiind grupate pentru fiecare variabilă în câte trei clase (inferior-mediu-superior, dezacord-indiferent-acord, sub medie-medie-peste medie etc.). În acest caz, în care suntem interesaţi de clasele extreme, datele se aranjează într-un table particular. Vom calcula în acest caz coeficientul de corelaţie eneahoric pentru un număr de subiecţi. Pentru a prezenta formula de calcul a acestui coeficient de corelaţie, să acceptăm, pentru ambele variabile, clasificarea inferiormediu-superior. Datele vor fi grupate într-un table, după cum urmează:

X Y

Superior

Mediu 54

Inferior

Superior Mediu Inferior

n1 b n4

a c e

A  n1  a  n2

n2 d n3

B  n4  e  n3

C  n2  d  n3

D  n1  b  n4

Formula după care se determină r în acest caz particular este:

r

n1  n3  n2  n4   A  B  A  B   n 

2

 A  B C  D  n

  C  D 2   C  D    n   

,

unde n reprezintă numărul total de subiecţi (după cum se observă, în calcule nu intră varianta mediu-mediu). Valoarea r astfel obţinută este comparată cu valoarea din Tabelul anexă nr.1 corespunzătoare la n  2 grade de libertate, asemănător modului amintit la explicarea interpretării semnificaţiei coeficientului de corelaţie r al lui Pearson. De exemplu, presupunând că un număr de 82 de subiecţi, au răspuns la două întrebări şi au fost clasificaţi după cum urmează: X Superior Y Acord 15 Indiferent 2 Dezacord 3

Mediu

Inferior

10 12 8

2 6 8

D  20

C  16

Înlocuind în formulă, obţinem:

55

A  27 B  19

r

15  8  2  3 

27  1916  20 82

 27  192  16  20  16  202    27  19     82 82    

 0,45 .

Pentru 80 grade de libertate şi un nivel de semnificaţie   0,05 (test bilateral), din tabelul anexă nr.1 avem r  0,2172 , deci putem aprecia că r calculat este semnificativ. 3.4.4 Coeficienţii de corelaţie biserial şi triserial În practică, există situaţii în care suntem nevoiţi să studiem legătura dintre o variabilă continuă şi una discontinuă (dihotomică, respectiv trihotomică). În aceste cazuri se utilizează un coeficient de corelaţie biserial, respectiv triserial. Condiţia care se impune în calcularea unor astfel de coeficienţi de corelaţie este ca numărul de subiecţi n să fie mai mare sau egal cu 50. Coeficientul de corelaţie biserial Considerând că variabila dihotomică poate lua valorile A şi B, formula de calcul al coeficientului de corelaţie biserial este: r

x1  x 2 pq  s y

unde: x1 = media valorilor variabilei continue pentru subiecţii care au caracteristica A a variabilei dihotomice; x 2 = media valorilor variabilei continue pentru subiecţii care au caracteristica B a variabilei dihotomice; s = abaterea standard a variabilei continue pe întreg lotul de subiecţi;

56

pq = valoare care se ia dintr-un tabel special (tabelul anexă nr.2) y în funcţie de p, sau de q.

De exemplu, un eşantion de 200 de persoane este ales să aprecieze printr-o notă de la 1 la 5 activitatea generală a autorităţilor locale (variabila continuă), iar apoi să-şi exprime acordul sau dezacordul cu privire la realizarea unui proiect de interes local (variabila dihotomică). Rezultatele sondajului sunt prezentate în tabelul următor: Note Acord Dezacord Total

1 7 22 29

2 12 24 36

3 15 18 33

4 26 12 38

5 52 12 64

Total 112 88 200

Calculând, obţinem:

x1 

 xi f i  1  7  2  12  3  15  4  26  5  52  3,93 112  fi

(media celor care au fost de acord cu proiectul)

x2 

 xi f i  1  22  2  24  3  18  4  12  5  12  2,64 112  fi

(media celor care şi-au manifestat dezacordul faţă de proiect)

 xi f i  3,36 (media generală)  fi 2  xi  x  f i  2 s   2,10 (dispersia generală)  fi x

s  1,45

57

p

112 88  0,56 ; q   0,44 200 200

În tabelul anexă nr.2 , pentru p  0,56 sau q  0,44 , găsim pq  0,6247 . y Înlocuind, avem: 3,93  2,64 r  0,6247  0,56 . 1,45

Coeficientul de corelaţie triserial Constituie, de fapt, o particularizare a coeficientului de corelaţie biserial şi se aplică în cazul în care una din variabile este continuă, iar cealaltă apare sub forma unei clasificări trihotomice (de exemplu, bun-mediu-slab, acord-indiferent-dezacord etc.). Formula de calcul, în acest caz, este: r

x1  x3 1  y1 y 3 s  p1 p3

unde: x1 = media valorilor variabilei continue pentru subiecţii care au caracteristica extremă a variabilei trihotomice; x 3 = media valorilor variabilei continue pentru subiecţii care au cealaltă caracteristică extremă a variabilei trihotomice; s = abaterea standard a variabilei continue pe întreg lotul de subiecţi; y = valoare care se ia dintr-un tabel special (tabelul anexă nr.2) p în funcţie de p, sau de q. Se observă că grupul celor incluşi în categoria medie nu intră în calculele formulei. 58

Reluând exemplul precedent, să presupunem că o parte dintre cei chestionaţi au fost indiferenţi faţă de proiectul propus, rezultatele fiind prezentate după cum urmează:

Acord Indiferent Dezacord Total

1 5 3 25 33

2 7 2 23 32

Note 3 15 4 21 40

4 28 8 7 43

5 35 9 8 52

Total 90 26 84 200

Calculând, obţinem:

 xi f i  1  5  2  7  3  15  4  28  5  35  3,90 90  fi

x1 

(media celor care au fost de acord cu proiectul)

x3 

 xi f i  1  25  2  23  3  21  4  7  5  8  2,40 84  fi

(media celor care şi-au manifestat dezacordul faţă de proiect)

x

 xi f i  3,25 (media generală)  fi

 xi  x  f i  2,01 (dispersia generală) s   fi 2

2

s  1,42

p1 

90 26 84  0,45 ; p 2   0,13 ; p3   0,42 . 200 200 200

În tabelul anexă nr.2, pentru p1  0,45 sau q1  0,55 , găsim 59

y1  0,8796 . p1 Analog, y3  0,9307 . p3

pentru

p3  0,42

sau

q3  0,58 ,

găsim

Înlocuind, avem: r

3,90  2,40 1   0,58 . 1,42 0,8796  0,9307

3.5 Metode neparametrice în studiul corelaţiei 3.5.1 Corelaţia rangurilor Pentru corelaţia neparametrică următorii coeficienţi:  coeficientul de corelaţie Spearmann:

  1

6 d i2 n(n 2  1)

se

utilizează

,

unde: d i  diferenţele dintre rangurile celor două variabile;  coeficientul de corelaţie Kendall:



2S , n(n  1)

unde:

60

frecvent

S  PQ P   pi Q   qi pi = numărul de ranguri superioare lui i al variabilei dependente (sub linia i); qi = numărul de ranguri inferioare lui i al variabilei dependente (sub linia i). În cazul coeficienţilor de corelaţie Spearmann şi Kendall, seria valorilor factorialei (şirul valorilor xi) se ordonează crescător. De exemplu, cunoscând următoarele date referitoare la ponderile deţinute de unele judeţe în exportul ramurii (Y) şi ponderile deţinute în valoarea totală a producţiei industriale a aceleiaşi ramuri (X), se cere să se stabilească dacă există legătură între cele două variabile, calculând coeficientul Spearman şi coeficientul Kendall. Judeţul Alba Bacău Cluj Dolj Ialomiţa Mureş Vaslui Vrancea

Ponderea în Ponderea în valoarea exportul ramurii producţiei industriale (Y) (X) 1,10 0,82 2,30 0,97 7,30 4,31 3,60 2,26 2,00 1,15 4,40 3,88 2,50 1,55 1,70 0,98

Pentru determinarea coeficientului Spearmann alcătuim tabelul:

61

Judeţul Alba Bacău Vrancea Ialomiţa Vaslui Dolj Mureş Cluj Total

Am găsit că

Rang după: X Y 1 1 2 4 3 2 4 3 5 5 6 6 7 7 8 8 * *

 d i2  6

 1

di

d i2

0 -2 1 1 0 0 0 0 *

0 4 1 1 0 0 0 0 6

şi-l înlocuim în formulă:

66 36 1  0,928 . 8(64  1) 8  63

Putem aprecia că există o puternică legătură între cele două caracteristici. Pentru coeficientul Kendall alcătuim tabelul: Judeţul Alba Bacău Vrancea Ialomiţa Vaslui Dolj Mureş Cluj Total

Rang după: X Y 1 1 2 4 3 2 4 3 5 5 6 6 7 7 8 8 * *

62

pi

qi

7 4 5 4 3 2 1 0 26

0 2 0 0 0 0 0 0 2

Din tabelul de mai sus, avem: P   pi  26 Q   qi  2

şi, înlocuind, obţinem:



2(26  2) 48   0,857 . 87 56

Observaţie. Trebuie neapărat să atragem atenţia asupra unui lucru esenţial în aplicarea coeficienţilor de corelaţie a rangurilor. Dat fiind faptul că în cazul acestor coeficienţi nu se lucrează cu valorile efective ale celor două serii a căror corelaţie se urmăreşte, ci cu rangurile atribuite lor în cadrul seriilor, trebuie acordată o atenţie sporită tocmai acestor valori efective. Să presupunem că în exemplul precedent, ponderea maximă (jud. Cluj) ar fi fost nu de 4,31, ci de 57,3. În mod evident, noua valoare ar fi fost tot maximă, rangul său ar fi fost tot 8, iar coeficienţii de corelaţie a rangurilor ar fi fost neschimbaţi, cu toate că valoarea 57,3 este o valoare aberantă, diferenţiindu-se mult faţă de restul valorilor supuse studiului. Dar, vom vedea că există metode pentru determinarea şi eliminarea unor astfel de valori. Totuşi, rămâne semnalul de alarmă: atenţie în aplicarea coeficienţilor de corelaţie a rangurilor!

3.5.2 Coeficientul de asociere Coeficientul de asociere este o metodă de măsurare a intensităţii legăturii dintre două caracteristici alternative (care it numai două forme de manifestare sau valori). Practic, orice caracteristică statistică poate fi transformată într-o caracteristică alternativă. De exemplu, pentru caracteristicile numerice se calculează media, după care se poate împărţi colectivitatea în două grupe alternative, una cuprinzând unităţile statistice cu valori sub 63

medie, iar cealaltă valorile superioare mediei. Tabelul de asociere este o formă particulară a tabelului cu dublă intrare. În tabel se înscriu variaţia factorialei x (pe coloană) şi variaţia rezultativei y (pe linie). Celulele tabelului vor conţine deci frecvenţele cu care unităţile colectivităţii se înscriu în cele patru grupe formate prin intersecţia caracteristicilor x şi y, după cum urmează: y x x1 x2 Total

y1

y2

Total

a c a+c

b d b+d

a+b c+d a+b+c+d

adică: a = numărul de unităţi statistice care poartă caracteristica x1 a lui X şi y1 a lui Y; b = numărul de unităţi statistice care poartă caracteristica x1 a lui X şi y2 a lui Y; c = numărul de unităţi statistice care poartă caracteristica x2 a lui X şi y1 a lui Y; d = numărul de unităţi statistice care poartă caracteristica x2 a lui X şi y2 a lui Y. Produsul a∙d arată gradul de realizare a legăturii directe dintre X şi Y, iar produsul b∙c gradul de legătură inversă între aceste două caracteristici cercetate. Pentru determinarea valorii numerice a coeficientului de asociere, care să indice existenţa şi intensitatea unei legături, formula cea mai utilizată este cea propusă de Yule: Q

ad  bc . ad  bc

Acest indicator poate să ia valori între -1 şi +1, arătând nu numai gradul de intensitate al asocierii celor două caracteristici, dar şi sensul ei. Semnul indicatorului arată sensul asocierii: directă, 64

atunci când Q > 0 şi inversă, atunci când Q < 0. Dacă indicatorul are valoare nulă, nu există legătură de asociere între X şi Y. Dacă Q tinde către ± 1, legătura este foarte puternică (apropiată de o legătură de tip funcţional). Asocierea completă (Q = ± 1) se produce atunci când una din frecvenţe (a, b, c sau d) este nulă. De exemplu, să presupunem că o grupă de 40 de studenţi a susţinut examene la două discipline înrudite. Din cei 40 de studenţi, au promovat ambele examene 22 ( a  22 ), 5 au promovat primul examen şi au picat la al doilea ( b  5 ), 3 au picat la primul examen şi l-au promovat pe al doilea ( c  3 ), iar 10 au picat ambele examene ( d  10 ). Să se decidă dacă există sau nu o legătură sau nu între gradele de promovabilitate la cele două examene. Avem tabelul: y x x1(P) x2(N) Total

y1(P)

y2(N)

Total

22 3 25

5 10 15

27 13 40

Calculând, obţinem: Q

22 10  5  3 205   0,87 22 10  5  3 235

ceea ce ne indică o legătură directă puternică între gradele de promovabilitate la cele două examene. 3.6 Corelaţia multiplă Regresia multiplă se exprimă în general prin:

65

Y  a 0  a1 f1 ( X 1 )  a 2 f 2 ( X 2 )  ...  a n f n ( X n )   a n 1 f n1 ( X 1 , X 2 ,..., X n )

parametrii determinându-se prin metoda celor mai mici pătrate. Pentru determinarea intensităţii corelaţiei multiple se foloseşte raportul de corelaţie multiplă:

 yi  y x1i x2i ...xni 

2

R  1

  yi  y 

2

.

3.7 Corelaţia parţială Corelaţia parţială presupune determinarea intensităţii legăturii cauzale dintre variabila rezultativă Y şi o singură variabilă factorială Xi, cu excluderea influenţei celor variabile independente. În acest scop se folosesc coeficienţii de corelaţie parţială. Prezentăm aceşti coeficienţi pentru cazurile particulare a două şi trei variabile factoriale:  pentru Y  f  X 1 , X 2  : ryx1  ryx2 rx1x2 ryx1. x2  1  ryx2 2 1  rx21x2 (corelaţia dintre Y şi X1, neglijând influenţa lui X2); ryx2 . x1 

ryx2  ryx1 rx1x2 1  ryx2 1 1  rx21x2

(corelaţia dintre Y şi X2, neglijând influenţa lui X1); 66

 pentru Y  f  X 1 , X 2 , X 3  :

ryx1. x2 x3 

ryx1. x2  ryx3 . x2 rx1x3 . x2 1  ryx2 3 . x2 1  rx21x3 . x2

(corelaţia dintre Y şi X1, neglijând influenţa lui X2 şi X3);

ryx2 . x1x3 

ryx2 . x3  ryx1. x3 rx1x2 . x3 1  ryx2 1. x3 1  rx21x2 . x3

(corelaţia dintre Y şi X2, neglijând influenţa lui X1 şi X3);

ryx3 . x1x2 

ryx3 . x1  ryx2 . x1 rx3 x2 . x1 1  ryx2 2 . x1 1  rx23 x2 . x1

(corelaţia dintre Y şi X3, neglijând influenţa lui X1 şi X2). De exemplu, considerând următoarele trei serii de valori: Y X1 X2

3,1 1,2 2,4

3,8 1,5 2,8

4,7 2,3 4,3

5,6 2,6 4,7

6,3 2,8 4,9

6,9 3,2 5,6

8,3 3,6 5,8

10,2 4,1 6,2

să se determine legătura dintre cele trei variabile, printr-o funcţie de forma Y  a  b  X 1  c  X 2 , raportul de corelaţie multiplă, precum şi coeficienţii de corelaţie parţială. Sistemul de ecuaţii normale pentru determinarea parametrilor funcţiei este:

67

 b x1  b x12  b x1 x2

 na   a  x1 a x   2

 c x2  c  x1 x2  c  x22

  

y  x1 y  x2 y

adică:

 21,3  b  36,7  c  48,9  8 a   21,3  a  63,59  b  107,13  c  146,21 36,7  a  107,13  b  181,63  c  245,5  obţinut prin înlocuirile:

n  8 ,  x1  21,3 ,  x2  36,7 ,

 x1 x2

 107,13 ,

 x12

 63,59 ,  x22  181,63

 y  48,9 ,  x1 y  146,21 ,  x2 y  245,5

Rezolvând acest sistem, obţinem soluţiile: a  1,78 ; b  5,037 ; c  1,979

şi, deci, funcţia:

y  1,78  5,037 x1  1,979x2 . Valorile teoretice obţinute sunt prezentate în tabelul următor: X1 X2 Y

1,2 1,5 2,3 2,6 2,8 3,2 3,6 4,1 2,4 2,8 4,3 4,7 4,9 5,6 5,8 6,2 3,07 3,79 4,86 5,57 6,19 6,82 8,44 10,16

Raportul de corelaţie multiplă este dat de:

R  1

2  yy x

 y2

 y i  y x  0,065062  1  1  0,999162 2 38,82875   yi  y  2

i

Pentru determinarea coeficienţilor de corelaţie parţială avem nevoie de coeficienţii de corelaţie simplă dintre Y şi X1, Y şi X2 şi 68

dintre X1 şi X2. Aplicând formula lui Pearson, obţinem: rYX1  0,979 ; rYX 2  0,933 ; rX1 X 2  0,986 .

Putem determina acum coeficienţii de corelaţie parţială. Astfel: - corelaţia dintre Y şi X1, neglijând influenţa lui X2: ryx1. x2  

ryx1  ryx2 rx1x2 1  ryx2 2

1  rx21x2



0,979  0,933  0,986 1  0,933 2 1  0,986 2



0,059062  0,984243 0,359876  0,166745

- corelaţia dintre Y şi X2, neglijând influenţa lui X1 ryx2 . x1  

ryx2  ryx1 rx1x2 1  ryx2 1

1

rx21x2



0,933  0,979  0,986 1  0,979

 0,032294  0,950029. 0,203860  0,166745

69

2

1  0,986

2



4 Populaţie şi eşantion 4.1 Introducere Una dintre sursele de obţinere a informaţiilor statistice, care, în prezent, se bucură de o atenţie deosebită, este sondajul statistic. În debutul oricărei cercetări se ridică întrebarea dacă datele necesare acesteia trebuie să fie culese de la întreaga populaţie (a nu se înţelege neapărat „populaţie” în sensul de mulţime de oameni), sau numai de la o parte a acesteia. Opţiunea între cele două răspunsuri posibile depinde de o serie de aspecte practice. Dacă în unele situaţii, timpul, resursele financiare sau umane nu constituie o problemă, sau populaţia ţintă nu este prea numeroasă, culegerea datelor de la toată populaţia este mai avantajoasă, obţinându-se o imagine exactă a problematicii investigate. În alte cazuri însă, cercetătorul, din diverse motive – timp, resurse financiare şi umane, dispersare geografică – nu poate aborda întreaga populaţie pentru a obţine datele necesare, este constrâns să se limiteze doar la o parte, mai mică sau mai mare, a acesteia, efectuând astfel o cercetare prin sondaj. Am putea spune astfel că sondajul este un compromis datorat insuficienţei resurselor. Dar, depăşind problema resurselor, o cercetare a unei întregi populaţii este în unele cazuri imposibilă datorită lipsei de eficienţă. Spre exemplu, dacă am vrea să stabilim durata maximă de funcţionare a unui tip de aparate electrice, să zicem frigidere, ar trebui să lăsăm toată „populaţia” de frigidere să funcţioneze până se defectează. Şi încă un motiv important, dar deseori pierdut din vedere, pentru care cercetarea doar a unei părţi şi nu a întregului este de preferat în unele cazuri. În dorinţa de a obţine date de la întreaga populaţie – mai ales când volumul acesteia este mare –, se apelează la un numeros personal auxiliar care, datorită lipsei de specializare, poate genera erori mai grave decât în cazul în care s-ar analiza doar o parte din acea populaţie, dar utilizând numai personal specializat. 70

Cele câteva motive expuse mai sus vor să se constituie într-o pledoarie în favoarea cercetării statistice prin sondaj. Sondajul statistic, cunoscut şi sub numele de anchetă statistică prin sondaj, este o cercetare parţială ale cărei rezultate se generalizează, se extind, prin procedee probabilistice, asupra bazelor de selecţie din care au fost extrase unităţile studiate. [7] Înainte de abordarea diferitelor metode de extragere a părţii care urmează a fi supusă studiului, trebuie fixat conţinutul principalelor concepte folosite. Populaţia sau colectivitatea statistică este definită ca totalitatea obiectelor de aceeaşi natură (indiferent care ar fi această natură) luată în considerare de statistician în cadrul studiului problemei sale. Un element al populaţiei îl vom desemna prin termenul general de unitate statistică sau individ (chiar dacă este vorba despre un frigider!). Totalitatea operaţiilor cu ajutorul cărora, din ansamblul populaţiei vizate, se extrage o parte ce va fi supusă studiului constituie operaţia de eşantionare. Eşantionul reprezintă mulţimea alcătuită din acele unităţi statistice care au fost extrase din baza de selecţie şi vor fi supuse studiului în cadrul sondajului. Mărimea unui eşantion este numărul de indivizi extraşi din populaţie pentru a constitui eşantionul. Mărimea populaţiei este numărul total de indivizi care compun colectivitatea din care se extrage eşantionul. De obicei, se notează cu n mărimea eşantionului şi cu N mărimea populaţiei. Raportul n/N este denumit proporţia sondajului sau fracţia de sondaj. Eroarea de reprezentativitate este diferenţa dintre nivelurile indicatorilor sintetici folosiţi în cadrul sondajului pentru analiza eşantionului şi nivelurile indicatorilor similari folosiţi pentru analiza bazei de selecţie. [7] Eroarea de reprezentativitate este determinată, în final, de:  stabilirea incorectă a volumului şi structurii eşantionului;  natura şi aria de întindere a erorilor de observare;  folosirea incorectă a metodelor de extrapolare a rezultatelor 71

sondajului în estimarea parametrilor bazei de selecţie. [7] Indicatorii sintetici ai sondajului, calculaţi pentru un eşantion oarecare – media, dispersia, coeficientul de corelaţie etc. – poartă numele de estimatori. Ei sunt folosiţi ca bază de calcul în estimarea nivelurilor indicatorilor similari ai bazei de selecţie (în estimarea parametrilor acesteia). Parametrii bazei de selecţie sunt acei indicatori sintetici ai bazei de selecţie: media, dispersia, abaterea standard etc. Valoarea lor poate fi determinată direct, atunci când se fac cercetări totale, dispunând de toate datele necesare calculului respectiv, sau poate fi estimată, atunci când se fac cercetări prin sondaj, folosindu-se ca estimatori indicatorii sondajului. În ultima vreme, teoria sondajelor a cunoscut o dezvoltare importantă, reuşind să fundamenteze teoretic procedeele des utilizate, evitând astfel utilizarea metodelor empirice care prezintă numeroase lacune. Teoria sondajelor stabileşte metode de construcţie a eşantioanelor, astfel încât acestea să reproducă, într-o măsură cât mai mare cu putinţă, caracteristicile populaţiei studiate. Aceste metode sunt cunoscute sub numele de planuri de sondaj. 4.2 Metode de extragere a eşantionului Problema de maximă importanţă în efectuarea unei cercetări prin sondaj o constituie modul de formare a eşantionului. Pentru a putea generaliza rezultatele sondajului la nivelul întregii populaţii, în limitele unor toleranţe acceptate, eşantionul trebuie să fie reprezentativ pentru populaţia din care a fost extras, atât în ceea ce priveşte structura, cât şi comportamentul lotului de bază. Asigurarea reprezentativităţii unui eşantion impune, în principal, respectarea a două condiţii: a) omogenitatea populaţiei din care se extrage acest eşantion să fie cât mai mare; b) unităţile ce vor alcătui eşantionul să aibă şanse egale de a fi extrase, deci extragerea lor să se facă întâmplător. 72

În practică, un eşantion este considerat reprezentativ dacă indicatorii sondajului prezintă o marjă de eroare de 3% faţă de indicatorii lotului de bază. Pentru obţinerea eşantionului se pot folosi metode probabilistice (aleatoare) sau metode dirijate (subiective).

4.2.1 Metode aleatoare a) Procedeul folosirii tabelelor cu numere întâmplătoare Procedeul constă în generarea de numere aleatoare şi întocmirea unor tabele cu aceste numere; se asociază numărul de unităţi statistice dintr-o populaţie dată cu o secvenţă oarecare din tabelul cu numere aleatoare. Exemplu: dacă N  2000 şi n  200 , unităţilor din baza de selecţie li se asociază numerele de la 1 la 2000; cele 200 de unităţi din eşantion vor fi desemnate prin urmărirea şi înregistrarea numerelor aleatoare din tabel cuprinse între 1 şi 2000, până la epuizarea întregului eşantion. Din această prezentare rezultă faptul că tabelele cu numere aleatoare, concepute într-o asemenea manieră, pot fi folosite în cazurile în care se cunosc, în detaliu, componenţa şi structurile bazelor de selecţie. Ele sunt folosite mai frecvent în sondajele organizate în profil teritorial. Există însă şi tabele cu numere aleatoare, care cuprind combinaţii ale cifrelor de la 0 la 9. Un model este prezentat în tabelul anexă nr.3. Aceste tabele sunt folosite, îndeosebi, pentru studiul caracteristicilor alternative, cu doua stări, ca: studiul calităţii produselor, studiile de opinie etc. Cele două stări sunt asociate celor două tipuri de cifre – pare şi impare – din tabel. De pildă răspunsurile afirmative „Da” sunt asociate cifrelor „impare”. Dacă se alege o secvenţă oarecare din tabel, care va cuprinde n cifre de la 0 la 9, se vor număra cifrele impare şi numărul găsit ar echivala cu numărul de răspunsuri afirmative „Da” din „n” posibile. Pentru stabilirea intervalului de încredere, se apelează la datele din tabelele speciale 73

cu valorile teoretice ale distribuţiei binomiale. Aceste tabele sunt prezentate în tabelele anexă nr.4 şi 5. Considerăm următorul exemplu: dacă n  50 şi alegem din tabelul anexă nr.3 secvenţa care începe cu linia 31 şi coloana 6, vom găsi următoarele seturi de cifre: 8382, 1073, 3615, …până la epuizarea celor 50 de cifre, ajungând în final la seturile: 8618, 67 din linia 32 şi coloana 7 (de fapt, ultimul număr, cel din linia 32 şi coloana 7 este 6772, dar după 67 am obţinut deja 50 de cifre). Numărul cifrelor impare va fi egal cu 28, ceea ce reprezintă 56% din totalul de 50. Dacă ne-am opri la acest rezultat, am putea spune că ne aşteptăm ca ponderea răspunsurilor afirmative din cele 50 de cazuri studiate să fie de 56%; precizia cu care garantăm realizarea unui asemenea rezultat este însă mică. Pentru verificarea ipotezei şi pentru creşterea preciziei estimaţiei se folosesc datele unuia dintre tabelele prezentate în tabelele anexă nr.4 şi 5, referitoare la intervalele de siguranţă de 95% şi respectiv de 99% ale distribuţiei binomiale. Pentru exemplul nostru, alegând intervalul de siguranţă de 95% (tabelul anexă nr.4), cunoscând că numărul cifrelor impare a fost egal cu 28, pentru o probă cu n  50 se va găsi intervalul de încredere cu limitele: 41 70% . Deci, ne aşteptăm ca ponderea răspunsurilor afirmative să fie cuprinsă între 41% şi 70%, garantând precizia acestui rezultat cu o probabilitate de 95%. Afirmaţia pare corectă întrucât ştim că cifrele impare deţin în cadrul tabelei o pondere de 56%, aceasta fiind cuprinsă în intervalul stabilit pentru exemplul prezentat. b) Procedeul tragerii la sorţi Cunoscut şi sub numele de metoda urnei, are la bază principiul urnei lui Bernoulli şi comportă următorii paşi:  se introduc într-o urnă bile (cartonaşe, jetoane etc.) marcate, pentru fiecare unitate statistică din lotul de bază;  se extrag apoi aleator, din urna respectivă, bile care reprezintă de fapt unităţile statistice din eşantion. Eşantionul poate fi realizat în două variante: 74

 pe baza schemei bilei revenite;  pe baza schemei bilei nerevenite. Procedeul tragerii la sorţi pe baza schemei bilei revenite presupune formarea eşantionului prin extragerea unitate cu unitate din lotul de bază astfel încât, după fiecare extragere, unitatea se reintroduce în urnă. Astfel, volumul lotului de bază rămâne acelaşi pe toată durata extragerii, iar probabilitatea de extragere a oricărei unităţi rămâne constantă: p

1 N

unde N = volumul lotului de bază; Procedeul tragerii la sorţi pe baza schemei bilei nerevenite presupune formarea eşantionului la fel ca la procedeul anterior, cu deosebirea că unitatea odată extrasă nu se mai reintroduce în urnă. Datorită acestui fapt, pe măsură ce se efectuează extragerea unităţilor în eşantion, volumul lotului de bază se micşorează, ceea ce conduce la creşterea probabilităţii de a fi extrase pentru unităţile rămase în urnă: p1 

1 1 1 1 ; p2  ; p3  ;...; pi  ;... N N 1 N 2 N  i  1

Privind comparativ cele două procedee prezentate mai sus, trebuie să remarcăm câteva aspecte. La extragerea cu revenire, există posibilitatea apariţiei unui individ de mai multe ori în eşantion. Din contră, la extragerea fără întoarcere, atunci când un individ a fost extras, el nu poate să apară din nou în eşantion. Trebuie remarcat că doar extragerea cu revenire corespunde în mod real repetării aceleiaşi experienţe aleatoare, cea care constă în extragerea unui individ dintre cei N ai populaţiei. În cazul extragerii fără întoarcere, nu există repetiţia aceleiaşi experienţe aleatoare, căci 75

prima extragere este efectuată dintre N indivizi, a doua dintre N  1 etc. În cazul extragerii cu revenire, se pot obţine eşantioane de mărime oricât de mare se doreşte, pentru că procedeul se poate continua indefinit, în timp ce într-o extragere fără revenire nu se pot obţine eşantioane de mărime superioară mărimii N a populaţiei. De fapt, atunci când s-au extras N indivizi, populaţia a fost epuizată. Din acest motiv, extragerea fără revenire este numită extragere exhaustivă (din latinescul exhaudire – a epuiza), iar extragerea cu revenire, non-exhaustivă. Trebuie spus că, în practică – deşi este posibil în cazul extragerii cu revenire –, nu se extrag eşantioane de mărime superioară celei a populaţiei. Atunci când mărimea populaţiei este mult mai mare decât cea a eşantionului, precizarea cu sau fără revenire devine superfluă. De fapt, în acest caz, probabilităţile de extragere sunt aproape identice: 1 1 1 1 este aproape egal cu , cu ,…, cu . În N 1 N N 2 N  n 1 practică se neglijează această mică diferenţă şi se tratează extragerea fără întoarcere ca extragerea cu întoarcere. Din contră, atunci când mărimea populaţiei nu este foarte mare în raport cu cea a eşantionului, suntem obligaţi să ţinem cont de această diferenţă, introducând factori de exhaustivitate. c) Procedeul mecanic (sistematic) Se utilizează în cazul în care populaţia statistică din care urmează să extragem eşantionul este deja organizată după un anumit criteriu (de exemplu, abonaţii organizaţi alfabetic într-o carte de telefoane). Pentru aplicarea acestui procedeu se calculează mai întâi un pas de numărare: k

N , n

n - volumul eşantionului

Se introduc apoi într-o urnă, bilete (sau jetoane, cartonaşe 76

etc.) numerotate de la 1 la k din care se extrage unul singur. Numărul înscris pe biletul extras va indica numărul de ordine al unităţii statistice din lotul de bază care este prima extrasă în eşantion. Restul unităţilor care intră în eşantion se determină adăugând pasul de numărare la numărul de ordine al unităţii extrase anterior. Să presupunem, de exemplu, că un anumit serviciu telefonic de comunicaţie, doreşte să afle părerea abonaţilor în legătură cu anumite facilităţi. Pentru aceasta, din cei 100000 de abonaţi ai săi (număr „didactic”), hotărăşte („teoretic”) să apeleze la părerea a 250 de abonaţi (presupunem că aceştia sunt ordonaţi şi fiecare dintre ei are asociat un număr, în ordinea ordonării). Obţinem astfel: k

100000  400 . 250

Se introduc într-o urnă bilete purtând numerele primilor abonaţi, de la 1 la 400, din care se extrage la întâmplare unul singur. Presupunând că a fost extras biletul cu numărul de ordine 43, eşantionul va fi alcătuit din abonaţii următori: 43 - abonatul cu nr. 43  400  443 - abonatul cu nr. 443  400  843 - abonatul cu nr. .... ... - ultimul abonat inclus în eşantion (n  1)k  43  99643 . Datorită faptului că nu se realizează o extragere a eşantionului complet întâmplătoare, rezultatele acestui tip de sondaj sunt mai puţin exacte decât în cazul utilizării procedeului tragerii la sorţi pe baza schemei bilei nerevenite. Trebuie remarcat faptul că, iniţial, toate unităţile din populaţia de bază au aceeaşi şansă de a fi incluse în eşantion. După extragerea primei unităţi componente a eşantionului, cele desemnate 77

cu ajutorul pasului de numărare vor avea probabilitatea 1 de a fi incluse în eşantion, în timp ce pentru restul, această probabilitate va fi 0. Procedeul mecanic mai este cunoscut şi sub denumirea de eşantionare simplă sistematică sau cvasi-aleatoare. d) Eşantionarea prin stratificare Atunci când populaţia supusă studiului este eterogenă, se apelează la sondajul stratificat (tipic). Această metodă este aplicată în două etape: prima etapă, numită stratificare, constă în împărţirea populaţiei în K submulţimi, numite straturi, de efective N1,…, NK, cu N  N1  ...  N K . Aceste straturi sunt alese în aşa fel încât populaţia lor să fie mai omogenă decât populaţia în ansamblul său. În cea de-a doua etapă, se efectuează o extragere aleatoare simplă a ni , i  1,..., K indivizi din fiecare strat, astfel încât raportul dintre numărul lor şi volumul grupei din care s-au extras să fie egal cu raportul dintre volumul general al eşantionului şi volumul populaţiei (fracţia de sondaj), adică:

nj Nj



n , j  1,..., K . N

Să remarcăm faptul că, deşi se înlocuieşte o singură extragere dintr-o populaţie eterogenă, cu mai multe extrageri din sub-populaţii omogene, eşantionul realizat prin stratificare reflectă fidel structura populaţiei. Să presupunem, de exemplu, că la nivelul unei comunităţi de 5000 de persoane (număr „didactic”) se doreşte stabilirea priorităţilor într-un vast program de investiţii, apelându-se în acest scop la un sondaj de volum stabilit 300. Se ştie că din cei 5000 de membri ai comunităţii respective 1400 reprezintă tineri, 2100 persoane mature, 700 persoane de vârsta a treia, iar restul de 800, copii (care nu vor fi interogaţi). Se doreşte ca eşantionul alcătuit să 78

fie

reprezentativ pentru comunitatea respectivă. Avem, în cazul n 300 1   . Obţinem nostru, N  5000  800  4200, n  300 şi N 4200 14 componenţa eşantionului astfel: 1 n1  1400   100 de persoane tinere; 14 1 n 2  2100   150 de persoane mature; 14 1 n3  700   50 de persoane de vârsta a treia. 14 Se observă că n1  n2  n3  n şi că structura populaţiei (după criteriul „vârstă”) este fidel reprezentată în eşantion.

4.2.2 Metode subiective Alături de metodele aleatoare de eşantionare, în practică mai sunt utilizate şi o serie de tehnici mai puţin riguroase în ceea ce priveşte selectarea unităţilor statistice care vor compune un eşantion. Lipsa de rigurozitate se referă mai ales la neacordarea unei atenţii speciale calculării sau egalizării şanselor fiecărui individ din populaţia vizată de a face parte din eşantion. Eşantioanele obţinute în acest fel sunt denumite eşantioane neprobabiliste, iar metodele folosite pentru a obţine aceste eşantioane, metode subiective. Câteva situaţii în care utilizarea acestor metode de eşantionare îşi justifică aplicabilitatea ar fi următoarele:  populaţia statistică asupra căreia se desfăşoară cercetarea are un volum redus, iar extragerea unui eşantion folosind metodele aleatoare ar conduce la rezultate mai slabe decât dacă eşantionul ar fi alcătuit subiectiv de către un specialist;  eşantionul este alcătuit din persoane care se oferă voluntar pentru a fi investigate;  eşantionarea se realizează într-o instituţie anume care prezintă interes pentru cel care efectuează cercetarea; 79

 intervievarea persoanelor care vor alcătui eşantionul se realizează pe stradă sau în anumite spaţii publice;  eşantionul este alcătuit din persoane care răspund la chestionare publicate în ziare sau care apelează telefonic un post de radio sau de televiziune pentru a răspunde la întrebările formulate de ii unor emisiuni sau de alţi participanţi la emisiunile respective. Prezentăm în continuare câteva metode subiective de eşantionare. a) Procedeul „unităţilor-tip” La fel ca în cazul metodei de eşantionare prin stratificare, şi în cazul acestui procedeu se divizează populaţia totală în grupe relativ omogene, de volume diferite, numai că, în continuare, nu se efectuează o extragere aleatoare simplă din fiecare grupă, ci se desemnează pentru fiecare grupă o unitate reprezentativă, denumită „unitate-tip”. Drept unitate-tip a unei grupe, se va alege acea unitate componentă a grupei care prezintă nivelul variabilei studiate egal sau foarte apropiat de nivelul mediu al grupei din care face parte. În cazul în care se studiază mai multe caracteristici, este posibil ca unitatea-tip, aleasă după criteriul de mai sus, să fie reprezentativă pentru una sau mai multe caracteristici, dar la alte caracteristici cuprinse în programul studiului, să prezinte valori mult mai mari sau mult mai mici decât valoarea medie şi alte unităţi ale bazei de selecţie să se plaseze mult mai aproape de valoarea medie. În consecinţă, în astfel de situaţii, gradul de reprezentativitate al unităţii-tip este diminuat, iar alegerea unităţii-tip este dificilă, sau poate chiar imposibilă; soluţionarea alegerii unităţii-tip rămâne, în întregime, la latitudinea statisticianului. Metoda este recomandată, fiind uşor de aplicat şi cu rezultate bune, în cazul în care se studiază o singură caracteristică; dar, evident, studiile în care se ia în considerare doar o caracteristică sunt foarte rare. Folosirea sa pentru analize complexe, implică o doză însemnată de „elemente arbitrare”, iar rezultatele sondajului vor fi dominate, într-o măsură mai mare sau mai mică, de incertitudine. 80

b) Metoda itinerariilor Folosită frecvent în sondajele organizate în profil teritorial pentru studiul opiniei publice asupra unor probleme de interes general sau pentru studiul pieţelor, dar şi în alte scopuri, această metodă are ca principal avantaj faptul că limitează, într-o măsură considerabilă, iniţiativa – deci subiectivismul – operatorului în desemnarea unităţilor eşantionului. Fiecărui operator i se impune un anumit traseu (itinerar), definit până la cele mai mici detalii, indicându-i-se cu exactitate punctele în care urmează să realizeze interviurile. În acest scop, trebuie să se dispună obligatoriu de două planuri de sondaj: unul cel referitor la imobilele individuale, iar altul referitor la imobilele colective de pe traseu. De aceea, calitatea eşantionului astfel obţinut, depinde într-o foarte mare măsură de cunoştinţele geografice pe care le au cei care stabilesc itinerariile. Condiţiile în care se desfăşoară sondajul prin metoda itinerariilor se apropie foarte mult de cele impuse de sondajul aleator. Metoda nu oferă posibilitatea ca toate unităţile înscrise în itinerar să aibă şanse egale de cuprindere în eşantion, ele putând fi desemnate întâmplător, dar nu după principii probabilistice. c) Procedeul tip „bulgăre de zăpadă” Există anumite situaţii în care alcătuirea eşantionului este foarte dificilă datorită faptului că nu se cunoaşte o anumită populaţie, în totalitatea ei, ci doar un număr restrâns de indivizi aparţinând acestei populaţii. În acest caz, alcătuirea eşantionului începe cu aceşti indivizi, care sunt investigaţi, după care sunt solicitaţi să indice, dacă este posibil, alte persoane despre care se crede că întrunesc caracteristicile urmărite. Se continuă în acest mod până la constituirea eşantionului dorit. Deşi destul de greoi, procedeul este utilizabil în cazul în care populaţia vizată este formată, spre exemplu, din oameni care au anumite hobby-uri sau pasiuni, preocupări şi despre care de obicei nu se cunosc în faza iniţială multe informaţii şi nu se ştie nici câte astfel de persoane compun populaţia vizată. [21] 81

4.3 Principalele tipuri de sondaje Tipul sondajului este determinat de mai mulţi factori: a) Modul de organizare a lotului de bază în momentul extragerii: - lotul de bază neorganizat; - lotul de bază organizat în grupe tipice (straturi). b) Procedeul de eşantionare folosit. Cel mai utilizat este procedeul tip loterie (procedeul tragerii la sorţi) pe baza schemei bilei: - revenite (procedeul repetat); - nerevenite (procedeul nerepetat). c) Numărul de unităţi extrase deodată din lotul de bază: - o unitate; - un grup de unităţi (serie). Combinând cei trei factori rezultă următoarele tipuri de sondaje utilizate mai frecvent în practică: a) sondajul întâmplător: - repetat - nerepetat b) sondajul tipic (stratificat): - repetat - nerepetat c) sondajul de serii, organizat numai în varianta nerepetat, pentru că se operează cu un număr mic de serii.

4.4 Indicatorii sondajului statistic În cazul utilizării sondajului statistic pot să apară erori care privesc culegerea şi prelucrarea datelor precum şi erori specifice fiecărui tip de eşantionare folosit. Aceste erori se pot grupa în: - erori sistematice - având la bază încălcarea regulilor care trebuie respectate la organizarea sondajului; - erori întâmplătoare - care apar oricât de riguros s-ar organiza sondajul şi oricât de riguros am prelucra informaţiile culese. Acestea au la bază faptul că niciodată nu vom putea extrage 82

din loturile de bază eşantioane perfect reprezentative. Acest tip de erori, numite de reprezentativitate, pot fi estimate cu ajutorul unor indicatori statistici. Eroarea medie de reprezentativitate Convenim ca în cele ce urmează să notăm cu X variabila numerică studiată, cu N volumul populaţiei din care a fost extras eşantionul, cu n volumul eşantionului şi, pentru a face distincţie între indicatorii populaţiei şi cei obţinuţi din eşantion, să notăm cu:

 xi

m

- media variabilei X, pentru populaţie;

N

 x  x0    i

2

2

N

x

 xi

- dispersia variabilei X, pentru populaţie;

- media variabilei X, pentru eşantion;

n

  xi  x 

2

s2 

n

- dispersia variabilei X, pentru eşantion.

Să încercăm în continuare să arătăm cum se deduce eroarea medie de reprezentativitate în cazul unui sondaj simplu, pentru o variabilă numerică. De fapt, întrebarea la care vrem să răspundem s-ar putea formula astfel: cât de mare este probabilitatea ca media calculată în eşantionul extras de noi să nu aproximeze bine media din populaţie? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să facem mai întâi o distincţie clară între trei tipuri de distribuţii: distribuţia unei variabile într-un eşantion de mărime n, distribuţia aceleiaşi variabile în întreaga populaţie şi distribuţia mediilor tuturor eşantioanelor posibile de mărime n, numită şi distribuţia de eşantionare a mediei. 83

Să presupunem că unui grup de cinci elevi i-au fost propuse spre rezolvare un număr de 20 de probleme de acelaşi grad de dificultate. Rezultatele, exprimând numărul de probleme rezolvate, sunt prezentate în tabelul următor: Elevul A B C D E

Nr. probleme rezolvate (X) 13 17 16 11 18

Avem deci, în acest caz:

N 5 m

(volumul populaţiei)

 xi  15

2 

N

(media populaţiei)

 ( xi  m) 2  6,8 (dispersia populaţiei) N

Folosind schema bilei revenite vom extrage un eşantion format din doi elevi. Numărul maxim posibil de eşantioane ce s-ar putea extrage este N n ( N 2  25) . Eşantioanele posibile a fi obţinute sunt prezentate în tabelul care urmează: Eşantionul Media Erori Nr. eşantionului crt. Elevul 1 Elevul 2 ( x  m) (x ) 1 A A 13 -2 2 A B 15 0 3 A C 14,5 -0,5 84

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

A A B B B B B C C C C C D D D D D E E E E E

D E A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E

12 15,5 15 17 16,5 14 17,5 14,5 16,5 16 13,5 17 12 14 13,5 11 14,5 15,5 17,5 17 14,5 18

-3 0,5 0 2 1,5 -1 2,5 -0,5 1,5 1 -1,5 2 -3 -1 -1,5 -4 -0,5 0,5 2,5 2 -0,5 3

Să observăm că eroarea (diferenţa între media eşantionului şi media întregii populaţii) este o variabilă aleatoare care, în acest caz, ia valori în intervalul  4 ; 3 . Să realizăm în continuare distribuţia erorilor (deci, implicit, a eşantioanelor cu o anumită eroare) şi să calculăm probabilităţile (frecvenţele relative) de apariţie a acestor erori. Aceste sunt prezentate în tabelul următor:

Media eşantionului

(x ) 11 12

Erori

( x  m) -4 -3

Frecvenţe Frecvenţe absolute relative (fi) (pi) 1 0,04 2 0,08 85

13 13,5 14 14,5 15 15,5 16 16,5 17 17,5 18 Total

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 -

1 2 2 4 2 2 1 2 3 2 1 25

0,04 0,08 0,08 0,16 0,08 0,08 0,04 0,08 0,12 0,08 0,04 1

Dispersia mediilor eşantioanelor de la media generală, pe care 2 convenim să o notăm cu  rep – indicele rep (repetat) specificând că este vorba de schema bilei revenite –, va fi: 2  rep

 x  m   fi

2

fi



85  3,4 , 25

de unde obţinem abaterea standard corespunzătoare: 2  rep   rep  3,4  1,84 .

Între indicatorii: dispersia populaţiei, dispersia mediilor eşantioanelor de la media generală şi volumul eşantionului există următoarea relaţie: 2  2  n   rep , relaţia care se verifică în cazul nostru: 6,8  2  3,4 . Din această relaţie se poate determina cu anticipaţie dispersia mediilor eşantioanelor de la media generală fără a fi nevoie de extragerea tuturor eşantioanelor posibile: 86

2  rep



2 n

,

relaţie din care obţinem eroarea medie de reprezentativitate în varianta schemei bilei revenite: 2  rep   rep 

2 n

.

Practica a demonstrat că, atunci când nu se cunoaşte dispersia unui lot de bază (  2 ) şi n  100 , se poate folosi în locul ei, cu bune rezultate, dispersia sondajului ( s 2 ), adică:

 rep 

s2 . n

Să facem câteva observaţii în ceea ce priveşte utilizarea dispersiei de sondaj. În mod evident, înlocuirea lui  2 cu s 2 induce diferenţe, deoarece  2 şi s 2 nu sunt egale. Utilizarea acestor indicatori în sondajele în care se poate accepta o marjă mai mare a intervalelor de încredere (de estimare sau de previziune), implică faptul că influenţa diferenţei dintre ei este, practic, nesemnificativă. Dar, în condiţiile în care precizia estimărilor sau previziunilor sunt primordiale pentru anumite domenii, atunci se va încerca atenuarea sau chiar eliminarea influenţei diferenţei dintre  2 şi s 2 . În acest sens, sunt posibile două soluţii. Prima soluţie constă în ajustarea dispersiei de sondaj ( s 2 ) prin folosirea „corecţiei lui Sheppard”, dar care impune unele restricţii, şi anume: - variabila de grupare din cadrul seriei de distribuţie să aibă o variaţie continuă, adică nivelurile sale să fie numere reale; - frecvenţele marginale să tindă către zero, în ambele direcţii; - forma distribuţiei să fie – cel mult - moderat asimetrică; corecţia 87

lui Sheppard nu este aplicabilă distribuţiilor în formă de “J”, “U” sau extrem asimetrice. Este cunoscut faptul că, în prelucrarea statistico-matematică a seriilor de distribuţie cu variaţie continuă, în determinarea indicatorilor sintetici (medie, dispersie etc.) se folosesc ca variante de calcul ale caracteristicii de grupare centrele intervalelor, în ipoteza că valorile individuale ale acestei caracteristici, care aparţin fiecărui interval, sunt egale cu valoarea centrală a intervalului în care se integrează. Evident, într-o asemenea situaţie, între nivelul indicatorilor sintetici determinat prin folosirea centrelor intervalelor şi nivelul celor calculaţi pe baza valorilor individuale reale, există – în majoritatea cazurilor, o oarecare diferenţă, care poate fi mai mică sau mai mare în funcţie de mărimea intervalului de variaţie şi de forma distribuţiei. S-a observat, că în cazul distribuţiilor simetrice şi chiar al celor moderat asimetrice, cu un coeficient de asimetrie foarte apropiat de zero, pentru un interval de grupare ce nu depăşeşte aproximativ a douăzecea parte din amplitudinea absolută a variaţiei 1 x max  x min  ), erorile de aproximare a indicatorilor sintetici (k  20 sunt foarte mici. Deci, revenind la dispersia de selecţie ( s 2 ), pentru a diminua influenţa utilizării centrelor intervalelor distribuţiei în calculul său, dacă sunt îndeplinite condiţiile expuse mai înainte, se poate folosi corecţia Sheppard care constă în aceea că, din nivelul dispersiei de sondaj ( s 2 ) aferentă distribuţiei se scade a douăsprezecea parte din pătratul intervalului de grupare, simbolizat prin k 2 . Relaţia de corectare este: 2 s corectat  s2 

k2 . 12

A doua soluţie presupune folosirea unui eşantion de volum mare (care poate fi format şi din câteva eşantioane comasate), eşantion rezultat în urma utilizării procedeelor pur aleatoare, care elimină eventualele deplasări (perturbaţii) generate de factori 88

subiectivi. Se apreciază că în acest caz, parametrii sondajului şi mai ales dispersia de sondaj sunt foarte apropiate de parametrii bazei de selecţie, motiv pentru care ei pot fi folosiţi ca estimatori. Aşa cum am mai arătat, în situaţia în care volumul eşantionului este mic ( n  30 ), diferenţele dintre indicatorii sintetici ai sondajului şi parametrii similari ai bazei de selecţie sunt din ce în ce mai mari. Pentru a atenua erorile de reprezentativitate, în calculul dispersiei de sondaj se va folosi, în acest caz, următoarea relaţie:

 x i  x 2 1 n  2 s     xi  x  . 2

n 1

n  1 i 1

Să revenim la exemplul nostru. Folosind procedeul schemei bilei nerevenite, rezultă 20 eşantioane deoarece nu mai pot fi extrase mostrele A+A, B+B, C+C, D+D şi E+E: În acest tip de sondaj rezultă: Eşantionul Media Erori Nr. eşantionului crt. Elevul 1 Elevul 2 ( x  m) (x ) 1 A B 15 0 2 A C 14,5 -0,5 3 A D 12 -3 4 A E 15,5 0,5 5 B A 15 0 6 B C 16,5 1,5 7 B D 14 -1 8 B E 17,5 2,5 9 C A 14,5 -0,5 10 C B 16,5 1,5 11 C D 13,5 -1,5 12 C E 17 2 13 D A 12 -3 14 D B 14 -1 15 D C 13,5 -1,5 89

16 17 18 19 20

D E E E E

E A B C D

14,5 15,5 17,5 17 14,5

-0,5 0,5 2,5 2 -0,5

Distribuţia erorilor şi probabilităţile de apariţie a acestor erori, în acest caz, sunt: Media Erori eşantionului ( x  m) (x ) 12 -3 13,5 -1,5 14 -1 14,5 -0,5 15 0 15,5 0,5 16,5 1,5 17 2 17,5 2,5 Total -

Frecvenţe Frecvenţe absolute relative (fi) (pi) 2 0,1 2 0,1 2 0,1 4 0,2 2 0,1 2 0,1 2 0,1 2 0,1 2 0,1 20 1

De unde: 2  nerep

şi:

 x  m   fi

2

fi



51  2,55 20

 nerep  1,60 .

Se observă o precizie mai bună faţă de sondajul având la bază schema bilei revenite, eroarea fiind mai mică, (  1,60  1,84 ). Între dispersia mediei eşantioanelor de la media lotului de bază, în varianta schemei bilei revenite şi cea a bilei nerevenite există relaţia: 90

2  rep 2  nerep



N 1 N n

de unde:

 nerep 

N n  2  N n   . n  N 1   N 1 

2   rep 

Dacă volumul lotului de bază este mare, se aproximează (N1) cu N şi în acest caz:

 nerep 

unde factorul

2 

n  1   n  N

n  1   reprezintă coeficientul de corecţie faţă de N 

varianta bilei revenite. Pentru a putea opera cu eroarea medie de reprezentativitate este necesar să se formeze toate eşantioanele posibile şi să se calculeze erorile. În practică nu se pot extrage toate eşantioanele posibile, de aceea se foloseşte un indicator de estimare, eroarea-limită isă. Eroarea-limită isă Pentru a calcula eroarea-limită isă (x) trebuie cunoscute eroarea medie de reprezentativitate () şi un coeficient (t) care exprimă probabilitatea, cu care se garantează rezultatele sondajului, aplicând relaţia:  x  t

91

unde: t - argumentul funcţiei de repartiţie normală t  ; t  - probabilitatea cu care se garantează rezultatele sondajului (Tabelul anexă nr.6). Astfel, pentru sondajul simplu întâmplător, avem:  x rep  t rep  t

2

- în varianta schemei bilei

n

revenite;  x nerep  t nerep  t

2 

n 1   - în varianta schemei bilei n  N nerevenite.

Indicatorul eroare-limită isă este des utilizat în cadrul sondajelor statistice, cu ajutorul său extinzându-se rezultatele obţinute prin sondaj asupra colectivităţii statistice din care a fost extras eşantionul. Volumul eşantionului Există cazuri în care se cunoaşte nivelul dispersiei lotului de bază (  2 ) pe baza unui studiu anterior şi se pune problema organizării unui sondaj ale cărui rezultate să fie garantate cu o anumită probabilitate (t cunoscut). În aceste condiţii se poate determina volumul eşantionului (n) pornind de la relaţia de calcul a erorii-limită isă în sondajul întâmplător simplu repetat:

2

 x rep  t



2 x rep

t

n 2

2 n

de unde 92

nrep 

t 2 2 2 . xrep

În mod analog, pentru sondajul simplu întâmplător nerepetat se obţine:

nnerep

t 2 2  . t 2 2 2 xnerep  N

4.5 Estimarea parametrilor lotului de bază Orice studiu prin sondaj are ca finalitate extinderea rezultatelor obţinute în eşantion la nivelul întregului lot de bază. Astfel, de exemplu, cunoscându-se valoarea mediei variabilei studiate obţinută în eşantion ( x ) şi eroarea limită isă ( x ) se poate estima că valoarea mediei aceleiaşi variabile la nivelul lotului de bază (m) se va încadra, cu o probabilitate cunoscută, într-un interval determinat astfel:

x  x  m  x  x  m  x  x; x  x care poartă numele de interval de încredere. Un astfel de interval se poate determina şi pentru nivelul total (Q) estimat al variabilei studiate, la nivelul lotului de bază:

Q  N x  x; N x  x Să încercăm în continuare să prezentăm, prin exemple (o parte dintre ele preluate din [6]), modul de determinare a parametrilor pentru trei tipuri de sondaje frecvent utilizate în practică: sondajul simplu întâmplător, sondajul stratificat şi sondajul 93

de serii. Sondajul simplu întâmplător Este utilizat la cercetarea populaţiilor statistice care prezintă un grad de omogenitate ridicat. Pentru formarea eşantionului foloseşte unul din procedeele pe baza schemei bilei revenite sau bilei nerevenite. Să presupunem că dintr-un lot de 5000 de baterii de 1,5 V, produs în condiţii tehnologice noi, s-a extras un eşantion de 10% pe baza căruia se doreşte estimarea duratei medii de funcţionare a acestora cu probabilitatea de 99,73% (t=3,0). După durata de funcţionare, eşantionul prezintă distribuţia: Durata de funcţionare (ore) < 200 200 - 400 400 - 600 600 - 800 800  Total

Nr. de baterii 20 60 280 120 20 500

Reamintim că, în cazul repartiţiilor realizate după intervale de variaţie, pornind de la presupunerea că în cadrul intervalelor unităţile statistice sunt uniform repartizate, drept reprezentant al fiecărui interval se consideră centrul acestuia. Obţinem astfel:

 xi f i  100  20  300  60  ...  900  20  524 ore 20  60  ...  20  fi  ( xi  x ) 2 f i    fi

x s2

(100  524) 2  20  (300  524) 2  60  ...  (900  524) 2  20  20  60  ...  20  26624 ore2 

94

Pentru cele două procedee de eşantionare posibile avem: ♦ eroarea medie de reprezentativitate: - sondajul repetat:

 rep 

s2 26624   7,30 ore n 500

Reamintim că, în practică, atunci când nu se cunoaşte dispersia populaţiei statistice de bază,  2 şi n  100 , se poate folosi în locul ei, cu bune rezultate, dispersia sondajului, s 2 . - sondajul nerepetat:

 nerep 

s2  n 26624  500  1    1    6,92 ore n  N 500  5000 

♦ eroarea-limită isă: - sondajul repetat:  x rep   rep  t  7,30  3,0  21,90 ore - sondajul nerepetat:  x nerep   nerep  t  6,92  3,0  20,76 ore ♦ estimarea duratei medii de funcţionare pentru lotul de bază: - sondajul repetat:





m  x  x rep ; x  x rep  m  502,10; 545,90 ore

- sondajul nerepetat:





m  x  x nerep ; x  x nerep  m  503,24; 544,76 ore 95

Deci, în cazul organizării unui sondaj simplu repetat pe baza unui eşantion de 500 de baterii, durata medie de funcţionare a lotului de bază se situează în intervalul 502,10; 545,90 ore, rezultate garantate cu probabilitatea de 99,73%, faţă de 503,24; 544.76 ore, interval obţinut prin organizarea unui sondaj simplu nerepetat în aceleaşi condiţii. ♦ estimarea duratei totale de funcţionare a lotului de bază: - sondajul repetat:

Dt 2510500; 2729500 ore - sondajul nerepetat:

Dt 2516200; 2723800 ore Dacă ne interesează volumul eşantionului pe baza căruia să estimăm durata medie de funcţionare la acelaşi lot de 5000 baterii, astfel încât cu probabilitatea de 99,73% eroarea limită isă să nu fie mai mare de 10 ore: - pentru sondajul repetat:

t 2 s 2 32  26624   2396 baterii 100 x 2 2396 k  47,9% 5000

nrep 

- pentru sondajul nerepetat:

nnerep 

t 2s2 32  26624   1620 baterii t 2s2 32  26624 2 x  100  N 5000 96

k

1620  32,4% 5000

Pentru că precizia este foarte ridicată x = 10 ore faţă de 21,90 ore şi respectiv 20,76 ore, volumul eşantionului ce ar trebui extras creşte considerabil de la 500 baterii (10%) la 1620 (32, 4%) în cazul organizării unui sondaj simplu nerepetat (sau 2396 (47, 9%) în cazul sondajului simplu repetat). Aceeaşi metodologie de calcul pentru indicatorii sondajului se poate utiliza şi pentru cazul în care variabila studiată prin sondaj este de tip Bernoulli, ţinând cont de modul de determinare a principalilor indicatori ai acestei variabile (media şi dispersia). Pentru acest tip de variabilă vom folosi notaţiile: - pentru lotul de bază: m p

- media generală;

  p (1  p ) - dispersia generală; 2

- pentru eşantion: w - media; 2 s  w1  w - dispersia. Să presupunem că dintr-un lot de 5000 acumulatori auto a fost cercetat un eşantion de 500 buc., din care, în urma controlului de calitate, au fost constatate 20 rebuturi. Se cere să se estimeze procentul de rebuturi pentru întregul lot fabricat. Deci, pentru acest exemplu, avem: Calitatea bateriilor - rebut - bune Total

Numărul de baterii 20 480 500 97

Frecvenţele relative 0,04 0,96 1

Obţinem: - media rebuturilor din eşantion: w

20  0,04 (4%) 500

- dispersia eşantionului: s 2  w1  w  0,04  0,96  0,0384

- eroarea medie de reprezentativitate - sondajul repetat:

 rep 

s2 0,0384   0,00876 n 500

- sondajul nerepetat

 nerep

s2  n  1    0,00831 n  N

- eroarea-limită isă - sondajul repetat:  wrep  t   rep  3,0  0,00876  0,0262 (2,62%)

- sondajul nerepetat:  wnerep  t   nerep  3,0  0,00831  0,0249 (2,49%)

- estimarea procentului de rebuturi pentru lotul de bază - sondajul repetat: 98

p  1,38%; 6,62% - sondajul nerepetat:

p 1,51%; 6,49% Deci, în lotul de bază se estimează că procentul de rebuturi se cuprinde în intervalul 1,38; 6,62 % conform rezultatelor sondajului simplu repetat, sau 1,51; 6,49 % conform rezultatelor sondajului simplu nerepetat, care este mai precis. - estimarea numărului total de rebuturi în lotul de bază: Qt  N w  w - sondajul repetat: Qt  69 buc.; 331 buc. - sondajul nerepetat: Qt  75 buc.; 324 buc. . Sondajul tipic (stratificat) Se utilizează în cazul populaţiilor statistice care prezintă un grad de omogenitate scăzut. În astfel de situaţii, populaţia din lotul de bază se organizează, în prealabil, în grupe omogene, straturi. Pentru a respecta condiţia de reprezentativitate eşantionul trebuie format extrăgând din fiecare grupă un număr de unităţi direct proporţional cu volumul său. Pentru calculul indicatorilor sondajului, se foloseşte media dispersiilor de grupă:

2 

  i2 f i - media dispersiilor de grupă din lotul de bază,  fi

unde: 99

 i2

  x k  xi    fk

2

fk

- dispersia grupei i din lotul de bază

şi: - variabila urmărită în grupa i; xi - media grupei i; fi - volumul grupei i;  f i  N - volumul lotului de bază. Eroarea medie de reprezentativitate se calculează cu relaţiile: xk

 rep 

2 n

2

n 1   . n  N

 nerep 

Dacă volumul eşantionului este suficient de mare ( n  100 ) se poate folosi în locul mediei dispersiilor de grupă din lotul de bază (  2 ), media dispersiilor de grupă din eşantion ( s 2 ), caz în care:

 rep 

s2 n

 nerep 

s2 n

n  1   N 

Eroarea-limită isă:

 x rep  t  t

 xnerep  t  t 100

 s2 n

 s2 

n 1   . n  N

Volumul eşantionului: nrep 

t2 s2 2 x rep

nnerep 

t2 s2 2 xnerep

t2 s2  N

.

De exemplu, să presupunem că la nivelul unei firme se cunosc datele: Categoria de calificare I II III IV Total

Salariul mediu Coeficientul de Nr. de muncitori lunar xi (lei) variaţie Cvi (%) 22 580 16 38 510 21 65 480 19 75 400 18 200 * *

Se cere determinarea volumului eşantionului astfel încât pe baza lui să se poată estima salariul mediu la nivelul firmei care să nu se abată faţă de salariul mediu calculat la nivelul eşantionului cu mai mult de 35 lei, rezultatele trebuind garantate cu o precizie de 99,73% (t  3,0) . Valoarea dispersiei de grupă (  i2 ) s-a determinat pe baza relaţiei de calcul al coeficientului de variaţie corespunzător grupei:  Cv 2  x 2 Cvi  i  100   i2  i 2 i xi 100 Obţinem astfel:

101

- pentru grupa I:

 12



- pentru grupa II:  22 

- pentru grupa III:  32 

- pentru grupa IV:  42 

Cv12  x12 100 2

Cv22  x 22 100 2 Cv32  x32 100 2 Cv42  x42 100 2

16 2  580 2   8611,84 10000



212  510 2  11470,41 10000



19 2  480 2  8317,44 10000



18 2  400 2  5184 . 10000

Rezultă astfel:

2f  2   i i  7773,848

 fi

nrep  k

3 2  7773,848 35 2

 57,11399  58 muncitori

58  29% 200

nnerep 

3 2  7773,848 3 2  7773,848 35  200

 44,42  43 muncitori

2

k

43  21,5% . 200

Prin urmare, pentru a obţine rezultatele dorite în condiţiile respectării preciziei cerute trebuie extras un eşantion de 58 102

muncitori (29% din lotul de bază) în varianta sondajului tipic repetat sau 43 (21,5%) în varianta nerepetată. Dacă variabila urmărită este de tip alternativ (Bernoulli), atunci indicatorii sondajului se vor determina ţinând cont de modul de calcul al mediei şi dispersiei, şi anume: m p,

 2  p(1  p) , (p fiind probabilitatea de apariţie a evenimentului urmărit în întreaga populaţie), atunci, pentru acest tip de variabilă vom avea: - eroarea medie de reprezentativitate:

 rep 

 nerep 

p1  p  2  ; n n

p1  p   n 2  n 1    1   . n N n  N 

Şi în acest caz, dacă nu se cunoaşte  2 , dar n  100 , se poate folosi cu bune rezultate dispersia mediilor de grupă în eşantion s 2  w(1  w) (w fiind probabilitatea de apariţie a evenimentului urmărit în eşantion). - eroarea-limită isă:  x rep  t rep ;  x nerep  t nerep .

- volumul eşantionului:

103

nrep

t 2 2  ; 2 x rep

nnerep 

t 2 2 . t 2 2 2 xnerep  N

Să presupunem că, pentru estimarea părerii populaţiei unei localităţi cu 10000 de locuitori adulţi asupra unei probleme de larg interes, se interoghează un eşantion de 10% din populaţia celor trei cartiere ale localităţii, eşantion extras la întâmplare şi nerepetat. Se obţin următoarele rezultate: Cartierul A B C Total

Număr locuitori 2000 5000 3000 10000

Eşantion Persoane de extras acord 200 110 500 350 300 120 1000 580

Să se determine eroarea-limită isă pentru probabilitatea de 99,60% (t  2,88) , intervalul de încredere care include media răspunsurilor afirmative în eşantion şi să se estimeze numărul total al persoanelor de acord. Avem: wA 

110 350 120  0,55 ; wB   0,7 ; wC   0,4 200 500 300

iar w

580  0,58 . 1000

Deoarece n  100 , vom opera cu media dispersiilor de grupă în eşantion: 104

si2 f i  s  ,  fi 2

unde

si2  wi 1  wi  ;

vom avea:

s A2  0,551  0,55  0,2475

s B2  0,71  0,7   0,21

sC2  0,41  0,4  0,24 şi deci: s2 

0,2475  200  0,21  500  0,24  300  0,2265 . 1000

Obţinem astfel:

 w  2,88

0,2265  1000  1    0,0411 . 1000  10000 

Intervalul de încredere care conţine media răspunsurilor afirmative în eşantion: w  w  p  w  w p  53,89%; 62,11%.

Numărul de răspunsuri afirmative pentru întreaga populaţie va fi: N w  w  Qt  N w  w Qt  5389 persoane; 6211 persoane  .

Cu o probabilitate de 99,6% se estimează că intervalul de încredere are limitele 53,89% - 62,11%. Ne aşteptăm, în aceleaşi 105

condiţii de precizie, ca între 5389 şi 6211 persoane să dea un răspuns afirmativ la problema supusă studiului. Dacă pentru aceeaşi populaţie de 10000 de persoane ni se cere să determinăm volumul eşantionului astfel ca eroarea să fie cu 20% mai mică decât în cazul precedent, dar în condiţiile unei probabilităţi de 0,9986 (t  3,2) , vom avea: 20 w  w  0,03288 100 3,2 2  0,2265 n  1767 persoane, 3,2 2  0,2265 2 0,03288  10000 care ar reprezenta: w   w 

k

1767  100  17,67% 10000

din populaţie, iar eşantioanele, pe cartiere ar fi: 2000  1767  353 persoane 10000 5000  1767 nB   884 persoane 10000 3000  1767 nC   530 persoane. 10000 nA 

Sondajul de serii Se utilizează atunci când populaţia statistică din lotul de bază este alcătuită nu din unităţi simple, ci din unităţi complexe (de exemplu, numărul de muncitori ai unei firme organizaţi în echipe de aceeaşi mărime, produse finite de acelaşi fel ambalate în seturi). În acest caz eşantionul se formează prin extragerea de unităţi complexe (serii). 106

Convenim, pentru acest tip de sondaj, să adoptăm următoarele notaţii: r - numărul de serii ce formează eşantionul; R - numărul total de serii din care este alcătuit lotul de bază; x - media lotului de bază; xi - media seriei i;

 2 - dispersia mediilor seriilor de la media generală a lotului de bază, adică:

x  x 2 . 2   i R

Cu aceste notaţii, indicatorii sondajului de serii sunt: - eroarea medie de reprezentativitate:

 nerep 

2 Rr

 . r  R 1 

În loc de  2 care presupune cercetarea tuturor seriilor din lotul de bază, ceea ce ar reprezenta o observare totală, la calculul erorii mediei se poate folosi cu bune rezultate dispersia mediilor seriilor de la media eşantionului (  s2 ), adică:

 nerep  unde

 s2  R  r 

 , r  R 1 

x  x 2 ,  s2   i r

iar media eşantionului:

xs 

 xi

- eroarea-limită isă: 107

r

.

 x nerep  t nerep ;

- volumul eşantionului:

rnerep 

R t 2 2

2 R  1 xnerep  t 2 2

.

De exemplu să considerăm că la o firmă de îmbuteliere a apei minerale în sticle de doi litri, pentru reglarea corectă a utilajelor în vederea dozării corecte a conţinutului, se organizează un sondaj statistic. Cunoscând că produsul se livrează în baxuri de câte 6 (12 l), dintr-un lot de 300 sticle îmbuteliate se testează 5 baxuri, extrase la întâmplare şi nerepetat. Prin măsurători asupra eşantionului au rezultat: Nr. crt. al pachetului extras 0 41 48 13 24 33

Cantitatea medie de apă (ml) 1 2050 2030 1990 1960 2010

Se cer: a) eroarea-limită isă pentru o probabilitate de 99,31% ( t  2,7 ); b) intervalul în care se va încadra cantitatea medie de apă minerală dozată în cele 300 de sticle îmbuteliate; c) ce eşantion va trebui extras dacă probabilitatea cu care trebuie să garantăm rezultatele este 99,49% ( t  2,8 ), iar eroarea să nu fie mai mare de  20 ml. Se cunosc: 108

300  50 baxuri 6 r = 5 baxuri (10%)

R

xs 

 s2

 xi  2050  2030  ...  2010  2008 r

5

ml

 x i  x s 2    976 r

 x  2.7

97  50  5     36,15 ml 5  50  1 

 x  36 ml x s  x  x  x s  x

x 1972; 2044 ml. Dacă dorim să inscripţionăm pe etichetă: conţinut 2 l  20 ml şi cunoscând abaterea reală de  36 ml, evident că urmează reglajele de corecţie necesare.

r

50  2,82  976

50  1  20 2  2,82  976

 14 baxuri.

Deci, în condiţiile unui sondaj de precizie mai mare (probabilitate de 99,49% în loc de 99,31% şi o eroare în scădere de la 36 ml la 20 ml) trebuie să studiem 14 pachete din cele 50 (48%) în loc de 5 (10%). În cazul în care variabila studiată prin sondaj este alternativă (de tip Bernoulli), indicatorii sondajului se vor calcula cu relaţiile: 109

- eroarea medie de reprezentativitate:

 wnerep 

 w2  R  r 

 ; r  R 1 

- eroarea-limită isă:  wnerep  t wnerep ;

- numărul de serii ce formează eşantionul:

rnerep 

R t 2 w2

2 R  1wnerep  t 2 w2

.

De exemplu să considerăm că pentru aprecierea calităţii unui lot de 50000 de becuri de 60 W, ambalate în cutii de câte 100 becuri, se controlează un eşantion de 10 cutii extrase la întâmplare şi nerepetat. Rezultatele observării eşantionului sunt: Nr. de ordine al cutiei extrase 240 31 300 405 12 44 56 9 212 188 Total

Nr. de becuri defecte din cutie 3 5 2 4 3 2 4 3 3 2 31

Media rebuturilor în eşantion (wi) 0,03 (3/100) 0,05 (5/100) 0,02 (2/100) 0,04 (4/100) 0,03 (3/100) 0,02 (2/100) 0,04 (4/100) 0,03 (3/100) 0,03 (3/100) 0,02 (2/100) *

Să se determine eroarea-limită isă în condiţiile unei probabilităţi 99,86% ( t  3,2 ), limitele intervalului de încredere şi 110

să se estimeze numărul becurilor defecte în lotul de bază. Avem: R

50000 31  500 ; w   0,031 3,1%  ; r  10 . 100 1000

Obţinem:

 w2

 wi  w  r

2



 0,03  0,0312  0,05  0,0312  ...  0,02  0,0312  10

 0,000077

de unde:

 w  3,2

0,000077  500  10     0,0088 . 10  500  1 

- procentul de rebuturi din lotul de bază: w  w  p  w  w

p  2,22%; 3,98% ; - numărul de becuri defecte din lotul de bază: N w  w  Qdef  N w  w

Qdef  1110 becuri; 1990 becuri  .

Procentul de rebuturi estimat la nivelul lotului de bază cu o precizie de 99,86% este cuprins în intervalul 2,22; 3,98 . 111

Ne aşteptăm ca lotul de bază să conţină cel puţin 1110 şi cel mult 1990 becuri defecte.

112

5 Verificarea ipotezelor statistice 5.1 Testele statistice Testul statistic constă în elaborarea unui criteriu (de aceea testul statistic mai este întâlnit şi sub numele de criteriu de semnificaţie), cu ajutorul căruia se verifică o anumită ipoteză statistică, şi a unei reguli fixate în prealabil, cu ajutorul căreia să se poată accepta sau respinge respectiva ipoteză statistică cu o anumită probabilitate. În acest sens, se determină o statistică – o funcţie calculată pe baza valorilor dintr-un eşantion. Ipoteza statistică nu este altceva decât o presupunere făcută cu privire la distribuţia şi comportarea unor variabile aleatoare în procesul experimental. În mod evident, asupra acestor variabile acţionează o multitudine de factori, unii dintre ei cu acţiune întâmplătoare, alţii sistematici. În ce priveşte ipotezele statistice, vom întâlni două noţiuni, şi anume: - ipoteza nulă (ipoteza de nul, ipoteza diferenţei nule) – notată cu H0 şi care, cu o anumită probabilitate, afirmă că nu există o diferenţă semnificativă între repartiţia datelor empirice obţinute din eşantion şi cea a populaţiei din care provine eşantionul respectiv, sau între diferiţi indicatori obţinuţi din eşantion şi cei ai populaţiei de bază, sau între diferite eşantioane; - ipoteza alternativă – notată cu H1, afirmă, cu aceeaşi probabilitate, că aceste diferenţe există, ele sunt semnificative. Principiul construirii unui test pe baza căruia se poate accepta sau respinge ipoteza H0 presupune împărţirea spaţiului de selecţie X în două submulţimi: regiunea critică (RC) şi complementara acesteia, domeniu de încredere, (CRC). Dacă punctul definit de vectorul de sondaj x1 , x 2 ,..., x n cade în regiunea critică RC ipoteza se respinge, iar dacă punctul cade în afara regiunii critice, respectiv în CRC, ipoteza se acceptă. Testele statistice pot fi împărţite în două categorii: 113

- Teste de concordanţă. Cu ajutorul lor este verificată analogia dintre repartiţia obţinută pe baza datelor dintr-un anumit eşantion şi un anumit model teoretic. Aceste teste nu se referă la parametrii repartiţiilor, ele sunt deci teste neparametrice. - Teste de semnificaţie. Cu ajutorul lor este verificată egalitatea unui anumit parametru estimat pe baza datelor empirice dintrun eşantion cu o anumită valoare teoretică. În utilizarea lor se consideră confirmată ipoteza conform căreia datele urmează o anumită repartiţie, de obicei fiind vorba despre repartiţia normală Urmărind precizarea parametrilor unei repartiţii date, sunt, deci, teste parametrice. În procesul verificării ipotezelor statistice pot fi comise două tipuri de erori şi anume: să se respingă o ipoteză justă considerând că aceasta nu este adevărată, sau, dimpotrivă, să acceptăm o ipoteză falsă considerând că ea este adevărată. Erorile comise în primul caz se numesc erori de genul I, probabilitatea comiterii unor astfel de erori fiind denumită risc de genul I (prag de semnificaţie sau nivel de încredere, notat cu ), iar erorile comise prin acceptarea ca adevărată a unei ipoteze false se numeşte risc de genul II (notat cu ); în mod evident, cele două riscuri sunt într-o relaţie inversă (dacă unul creşte, celălalt scade), deci singura modalitate de a micşora concomitent cele două riscuri constă în mărirea volumului eşantionului. Mărimea acestor riscuri se stabileşte în funcţie de considerente economice şi de natura subiectului analizat prin sondaj. Probabilitatea  de a respinge ipoteza H0 pe baza unui test de verificare se numeşte puterea testului şi este dată de relaţia   1   . Dacă ipoteza H0 este adevărată, atunci puterea testului trebuie să fie foarte mică, iar dacă ipoteza H0 este falsă, atunci puterea testului trebuie să fie cât mai mare. O altă clasificare, în funcţie de ipotezele pe care le verifică, împarte testele statistice în şase categorii, după cum urmează: 1. Teste pentru verificarea calităţii datelor de sondaj. Este cunoscut faptul că asupra datelor de sondaj pot acţiona două tipuri de erori: erori sistematice, cu acţiune unilaterală şi erori aleatoare, cu acţiune în ambele sensuri, datorate unei multitudini de factori a căror influenţă individuală este neglijabilă. Atât erorile sistematice, cât şi 114

valorile afectate de erori grosolane trebuie depistate şi eliminate ele influenţând nefavorabil rezultatele sondajului. 2. Teste pentru compararea a doi indicatori. Sunt utilizate, aşa după cum arată şi denumirea domeniului, pentru compararea a doi indicatori proveniţi din datele a două eşantioane diferite sau din datele unui eşantion şi cei ai populaţiei de bază. Înainte abordarea acestor teste, sunt necesare câteva precizări în ceea ce priveşte modul de obţinere a acestor eşantioane şi mărimea lor. În cazul în care alegerea unui element care va face parte din primul eşantion nu are nicio influenţă asupra alegerii elementelor din cel de-al doilea eşantion, deci alegerea elementelor componente ale celor două eşantioane nu se face pe baza unei condiţii prealabile, vom spune că cele două eşantioane sunt independente. În cazul în care fiecare element din primul eşantion corespunde unui element din cel de-al doilea eşantion (de exemplu, domeniul de reşedinţă, sexul, vârsta, nivelul de cunoştinţe etc.), sau în cazul în care observaţiile privesc acelaşi eşantion, sau acelaşi eşantion este supus la probe diferite, este vorba de eşantioane perechi (sau corelate). În ceea ce priveşte mărimea eşantioanelor, acestea se împart în eşantioane mari şi eşantioane mici. În practică se consideră eşantioane mici cele ale căror volum n nu depăşeşte 30 de subiecţi. Spre deosebire de eşantioanele mari, în cadrul cărora se utilizează statistica z, în cazul eşantioanelor mici se utilizează statistica t. Specific eşantioanelor mici este faptul că numitorul dispersiei şi volumul eşantionului, în calcule, va fi n  1 , în loc de n. Tot n  1 va fi şi numărul gradelor de libertate. În cazul acestor eşantioane, valoarea tabelară t nu va mai fi fixă ca în cazul lui z, ci va depinde de volumul eşantionului n. 3. Teste pentru compararea a două distribuţii empirice. Aceste teste sunt utilizate pentru verificarea omogenităţii a două serii de date, sau, cu alte cuvinte, în verificarea ipotezei că seriile au aceeaşi distribuţie. Pentru aceasta, ele utilizează fie rangurile acordate valorilor din eşantioane, fie distanţele maxime între cele două structuri etc. Ca urmare a faptului că ele nu utilizează valorile efective, ci doar ranguri sau semne acordate acestor valori, ele 115

prezintă dezavantajul de a fi mai puţin precise. Totuşi, ca un avantaj, utilizarea acestor teste nu presupune normalitatea distribuţiilor. 4. Teste de concordanţă. Cu ajutorul lor se compară distribuţia obţinută pe baza datelor empirice ale eşantionului, fie cu distribuţia populaţiei de bază din care provine acest eşantion, fie cu o distribuţie teoretică, de obicei cea normală. 5. Teste pentru compararea mai multor indicatori. Compară indicatorii statistici proveniţi din mai multe eşantioane, punând în evidenţă semnificaţia diferenţelor dintre aceşti indicatori. 6. Teste pentru compararea mai multor eşantioane. Cu ajutorul acestor teste se compară mai multe distribuţii, omogenitatea acestora reliefând faptul că eşantioanele sunt extrase din aceeaşi populaţie şi, drept urmare, distribuţiile respective coincid în ceea ce priveşte valorile parametrilor lor. Vom încerca, în continuare, să prezentăm câteva teste statistice mai cunoscute, respectând această ultimă clasificare. Cititorul va deduce singur care din testele prezentate sunt parametrice şi care nu. Acolo unde este cazul, vom specifica dacă eşantioanele sunt independente sau perechi. De asemenea, la fiecare test prezentat, va fi ataşat şi un exemplu. Totuşi, în cazul unei înlănţuiri logice a două sau mai multe teste, exemplul prezentat le va aborda unitar. 5.2 Teste pentru verificarea calităţii datelor de sondaj Depistarea şi eliminarea erorilor sistematice se dovedeşte practic dificilă datorită multitudinii de factori care se intercondiţionează şi de aceea metodica eliminării acestor erori are un caracter foarte complex şi variat. Ţinând cont de acest lucru, ne vom mărgini la expunerea a două teste, testul iteraţiilor şi testul lui Young, care nu oferă posibilitatea eliminării erorilor sistematice, ci doar pe aceea a aprecierii influenţei cauzelor sistematice asupra datelor de sondaj. În cazul depistării valorilor afectate de erori grosolane, deci al 116

omogenizării datelor, posibilităţile „standard” de eliminare a acestor valori sunt mai numeroase. Vom prezenta testele lui GrubbsSmirnov, Irwin, Grubbs şi Chauvenet. 5.2.1 Testul iteraţiilor pentru determinarea acţiunii cauzelor sistematice Acest test are la bază ipoteza că, dacă variaţia variabilei de sondaj are loc numai sub acţiunea cauzelor întâmplătoare, valorile observate vor oscila întâmplător în jurul centrului de grupare. Se testează ipoteza: H 0 : asupra datelor de sondaj au acţionat numai factori aleatori; cu alternativa H 1 : asupra datelor de sondaj au acţionat erori sistematice. Valorile succesive ale variabilei de sondaj care au aceeaşi proprietate (adică sunt fie mai mari, fie mai mici decât centrul de grupare - caracterizat de exemplu prin mediană), formează o iteraţie. Numărul total al valorilor dintr-o iteraţie poartă numele de lungimea iteraţiei. Testul iteraţiilor poate fi aplicat atât variabilelor alternative, cât şi variabilelor măsurabile. Acestea se grupează în valori mai mari decât mediana (notate cu a), mai mici decât mediana (notate cu b), sau egale cu mediana (notate cu m). Numărul total al iteraţiilor I dintr-un şir de n valori (format din na elemente a şi nb elemente b, cu na  nb  n ) este o variabilă aleatoare care are o anumită repartiţie. Dacă n este suficient de mare, această variabilă se repartizează aproximativ normal cu: 2na nb  1 (media); n 2 n a nb ( 2 n a nb  n ) D 2 (I )  (dispersia). (na  nb ) 2 (na  nb  1)

M (I ) 

117

Când n a  nb 

n (teoretic, numerele valorilor a şi b sunt 2

egale), obţinem: M (I ) 

n 1; 2

D 2 (I ) 

n ( n  2) . 4( n  1)

Dacă în timpul efectuării sondajului asupra variabilei cercetate au acţionat numai cauze întâmplătoare, atunci va rezulta un număr mare de iteraţii care va depăşi un număr dat I, deci: P( I  I  )  1    P( I  I  )   ,

unde  este nivelul de semnificaţie ales. Utilizând variabila normală normată, putem scrie:

I z

1  M (I ) 2 D 2 (I )

1  2n a nb    1 2  n  2n a nb ( 2n a nb  n)

1  n I    2na nb 2   2n a nb ( 2n a nb  n) n 1 (na  nb ) 2 (na  nb  1) I



Pentru n a  nb 

n , obţinem: 2

n 2I  1  n 2I  1  n 2 z  . n n 2  2n n 2  2n 2 n 1 n 1 Considerând n este suficient de mare, aproximăm: 118

n 2  2n  ( n  1) 2 ,

de unde rezultă: z

2I  1  n n 1

,

deci: z n  1  2I  1  n ,

din care rezultă: z n  1  n  1  2I ,

de unde obţinem: I

1 ( n  1  z n  1) . 2

Corespunzător unui nivel de semnificaţie  ales: I 

1 ( n  1  z  n  1) 2

(z se determină din tabelele funcţiei Laplace conform relaţiei:



1   ( z ) ). 2

Ipoteza H0 (deci ordinea este întâmplătoare) se acceptă dacă: H 0 : I  I 119

şi se respinge, acceptând ipoteza alternativă, dacă: H1 : I  I

(deci ordinea nu este întâmplătoare, există erori sistematice). Aceeaşi problemă se poate rezolva şi cu ajutorul criteriului lungimii iteraţiilor. Ca şi numărul lor, lungimea iteraţiilor este o variabilă aleatoare care, pentru un volum suficient de mare al eşantionului, se repartizează după legea Poisson, iar legea Poisson, pentru n foarte mare, tinde către repartiţia normală. Dacă datele de sondaj sunt independente, atunci lungimea unei iteraţii, K, nu poate depăşi o valoare K aşa încât: P( K  K  )    P( K  K  )  1   .

Numărul mediu al iteraţiilor formate din k sau mai multe elemente a şi al celor formate din k sau mai multe elemente b, în cazul na  nb , este:

M ( I ak )  M ( I bk ) 

n 2

k 1

.

În cazul repartiţiei Poisson aveam: ak k  0 k! x

F ( x)  e a 

(parametrul a reprezentând media repartiţiei Poisson, deci în cazul n nostru a  k 1 ). 2 Considerând x  0 , obţinem: 120

P( K  K )  F (0)  e a . Dar:

P( K  K  )  1  P( K  K  )  1  

şi deci, în cazul nostru: 1  e



n 2 K 1

,

de unde, după calcule elementare, obţinem:   n lg   ln(1   )  K    1. lg 2

Dacă K max  K  , unde Kmax reprezintă lungimea maximă a iteraţiilor, atunci se poate accepta cu probabilitatea P  1   că variaţia variabilei de sondaj a fost determinată numai de cauze întâmplătoare, în caz contrar apreciindu-se că asupra variabilei au acţionat şi cauze sistematice. Observaţii. Nu se consideră iteraţii variaţiile de forma „ama” sau „bmb”. Ipoteza fiind elaborată în condiţia na  nb , va trebui ca dintre valorile egale cu mediana o parte să le repartizăm lui a, iar cealaltă parte lui b, cu condiţia ca numărul total al iteraţiilor să nu se schimbe. În acest scop vor fi satisfăcute mai întâi iteraţiile care înglobează valori egale cu mediana (de exemplu „ama” va deveni „aaa”), ulterior fiind repartizate valorile medianei plasate între două iteraţii distincte, valori ce pot fi atribuite oricăreia dintre iteraţiile care o încadrează. De exemplu, aplicând testul iteraţiilor, să se verifice caracterul aleator al variaţiei următorului şir de date, cunoscând că pentru o probabilitate de 95% avem z 0,95  1,645 : 121

5,27; 5,08; 5,21; 5,09; 5,16; 5,24; 5,21; 5,26; 5,06; 5,25; 5,08; 5,21; 5,16; 5,25; 5,06; 5,21; 5,26.

Având în vedere faptul că seria de distribuţie alcătuită din şirul valorilor date este o serie după variante ale caracteristicii de grupare, mediana va fi dată de termenul central al seriei, ordonată crescător sau descrescător, adică de termenul de rang 9. Seria, ordonată crescător, este: 5,06; 5,06; 5,08; 5,08; 5,09; 5,16; 5,16; 5,21; 5,21; 5,21; 5,21; 5,24; 5,25; 5,25; 5,26; 5,26; 5,27.

Termenul de rang 9 în această serie este 5,21, deci Me  5,21 . Vom nota cu a = valori mai mici decât mediana, cu m = valori egale cu mediana, cu b = valori mai mari decât mediana. Şirul simbolurilor, obţinut din seria dată, este : b a m a a b m b a b a m a b a m b. După cum se observă, numărul de iteraţii obţinut este I  9 . Numărul teoretic minim de iteraţii este dat de formula: I 

1 ( n  1  z  n  1) . 2

În cazul nostru: I 0,05 

1 1 (17  1  1,645  17  1)  (18  6,58)  5,71  6 . 2 2

Deoarece I  9  6  I 0,05 , acceptăm cu o probabilitate de 95% că datele nu au fost afectate de erori sistematice. Aplicând varianta care ia în considerare lungimea iteraţiilor, obţinem: 122

K 0,05

K max

    n n lg  lg   ln( 1   )  ln( 1  0,05)     1   1  8,37  1  7,37 . lg 2 lg 2 După cum se observă, în cazul nostru K max  4 şi, deoarece  4  7,37  K 0,05 , acceptăm şi în baza acestui criteriu, cu o

probabilitate de 95%, că datele nu au fost afectate de erori sistematice. 5.2.2 Testul Young pentru determinarea acţiunii cauzelor sistematice Ca şi în cazul testului iteraţiilor, se testează ipoteza: H 0 : asupra datelor de sondaj au acţionat numai factori aleatori; cu alternativa H 1 : asupra datelor de sondaj au acţionat erori sistematice. Dat fiind dat un şirul de valori experimentale x1 , x2 ,..., xn , se calculează mărimea

2 

1 n 1 2  xi 1  xi  n  1 i 1

şi mărimea

M 

2 . 2

Mărimea M astfel determinată cu valorile VCI (valoare critică inferioară) şi VCS (valoare critică superioară), alese din tabelul 5.1, şi se consideră că şirul de valori experimentale are un caracter aleator, cu probabilitatea α, dacă este îndeplinită condiţia:

VCI  M  VCS 123

Tabelul 5.1 Valorile VCI şi VCS pentru testul Young VCI VCS n   0,95   0,99   0,95   0,99 4 0,78 0,53 3,22 3,47 5 0,82 0,54 3,18 3,46 6 0,89 0,56 3,11 3,44 7 0,94 0,61 3,06 3,39 8 0,98 0,66 3,02 3,34 9 1,02 0,71 2,98 3,29 10 1,06 0,75 2,94 3,25 11 1,10 0,79 2,90 3,21 12 1,13 0,83 2,87 3,17 15 1,21 0,92 2,79 3,08 20 1,30 1,04 2,70 2,96 25 1,37 1,13 2,63 2,87

Se poate observa că testul nu poate fi aplicat decât pentru eşantioane conţinând cel mult 25 de valori experimentale. Parametrul α din tabelul 5.1 are semnificaţia unui coeficient de încredere şi poate fi ales orientativ, în funcţie de volumul eşantionului, din tabelul 5.2. Observaţie: dacă volumul eşantionului se află între două valori din tabelul 5.2, este indicat să se aleagă valoarea α corespunzătoare unui volum mai mic al eşantionului.

n α n α

Tabelul 5.2 5 6 7 8 9 10 12 14 0,960 0,970 0,976 0,980 0,983 0,985 0,988 0,990 16 18 20 25 30 50 100 150 0,991 0,992 0,993 0,994 0,995 0,996 0,997 0,9973

De exemplu, considerând acelaşi şir de date prezentat la testului iteraţiilor şi anume: 5,27; 5,08; 5,21; 5,09; 5,16; 5,24; 5,21; 5,26; 5,06; 5,25; 5,08; 5,21; 5,16; 5,25; 5,06; 5,21; 5,26 124

să se decidă utilizând testul Young dacă şirul de date are un caracter aleator. Determinăm: - media: x 

1 17   xi  5,18 ; 17 i 1

- dispersia:  2  - 2 

1 17   ( xi  x) 2  0,005975 . n  1 i 1

1 16 2  xi 1  xi   0,0172313 . 16 i 1

Avem acum: M 

 2 0,0172313   2,88 . 0,005975 2

După cum se observă din tabelul 5.2, VCS pentru n  15 (3,08) şi pentru n  20 (2,96) sunt superioare celei obţinute de noi pentru n  17 (2,88), rezultă, cu o probabilitate de 99% că nu există erori sistematice. 5.2.3 Testul Grubbs – Smirnov pentru eliminarea valorilor aberante În cazul când anumite valori de sondaj diferă mult de celelalte - fie sunt mult mai mari, fie mult mai mici - se consideră că s-a produs o eroare grosolană. În mod evident, aceste erori vor afecta rezultatele sondajului, nefiind caracteristice populaţiei de bază din care provine masa celorlalte valori. De aceea, ele trebuie depistate şi eliminate. Testul Grubbs – Smirnov se aplică în cazul în care parametrii teoretici ai populaţiei de bază, m şi 2, sunt cunoscuţi. Se testează ipoteza: 125

H 0 : în cadrul eşantionului există valori aberante; cu alternativa H 1 : valorile din eşantion nu constituie erori grosolane.

Şirul de observaţii x1 , x2 ,..., xn fiind considerat ordonat crescător, deci x1 este valoarea minimă din şir, iar xn cea maximă, funcţia de repartiţie a valorii maxime xn este dată de relaţia:

P( xn  x)  [ P( x)]n  P , unde: P( x)  P( X  x) reprezintă funcţia de repartiţie a variabilei X. Fixând o probabilitate P, există o valoare maximă xnP care nu poate fi depăşită decât cu o probabilitate mică. Dacă variabila X este repartizată normal N ( m,  2 ) , putem x m defini o variabilă z nP  nP cu ajutorul căreia se determină



valoarea teoretică maximă a unui şir de date: xnP  m  z nP   .

În cazul în care valoarea maximă din şirul de valori este mai mică decât valoarea teoretică xnP, considerăm că valoarea sa mare este datorată întâmplării, iar dacă valoarea maximă este mai mare decât valoarea teoretică xnP, ea este considerată ca fiind o eroare grosolană. Cu alte cuvinte: H0: xn  xnP valoarea nu se exclude din şir; H1: xn  xnP valoarea se exclude din şir. În mod analog putem determina un criteriu pentru eliminarea valorilor minime dintr-un şir. Repartiţia normală fiind simetrică, în acest caz limita minimă teoretică va fi dată de: 126

x1P  m  z nP   ,

deci: H0: x1  x1P valoarea nu se exclude din şir; H1: x1  x1P valoarea se exclude din şir. Valorile znP, funcţie de n şi P  0,95 sunt prezentate în tabelul 5.3. Tabelul 5.3 Valorile znP ( P  0,95 ) n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

znP 1,95 2,12 2,23 2,32 2,39 2,44 2,49 2,53 2,56 2,60

n 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

znP 2,63 2,66 2,68 2,70 2,73 2,75 2,76 2,78 2,80 2,81

n 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35

znP 2,83 2,84 2,85 2,87 2,88 2,90 2,91 2,92 2,93 2,98

n 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

znP 3,03 3,06 3,09 3,11 3,13 3,16 3,18 3,20 3,22 3,23

n 90 95 100 105 110 115 120 125 130 140

znP 3,25 3,27 3,29 3,30 3,31 3,32 3,34 3,35 3,36 3,38

n 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240

znP 3,39 3,41 3,43 3,45 3,46 3,47 3,49 3,50 3,52 3,53

n 250 260 270 280 290 300

znP 3,53 3,54 3,55 3,56 3,57 3,58

De exemplu, în urma efectuării unui sondaj de volum n  20 , dintr-o populaţie statistică despre care se ştie că are media m  7,98 şi abaterea medie pătratică   0,042 , s-au obţinut următoarele rezultate: 7,93;

7,99 8,05 7,93

7,95 7,94

7,96 7,93

8,03 8,01

7,92

7,94 8,06 7,95

8,02 7,97

8,05 7,99

7,95 8,03

Ştiind că pentru o probabilitate p  95% avem z 20;0,95  2,80 , se cere să se specifice dacă valorile extreme constituie valori aberante. Întrucât media şi dispersia colectivităţii generale sunt 127

cunoscute, se aplică testul Grubbs-Smirnov şi avem: xnP  m  z nP   , respectiv x1P  m  z nP   . Înlocuind, obţinem valorile teoretice: - maximă: x 20;0,95  7,98  2,80  0,042  8,0976 - minimă: x1;0,95  7,98  2,80  0,042  7,8624 Deoarece valoarea maximă din seria de date (8,06) este sub limita maximă isă, rezultă că ea nu constituie o valoare aberantă şi nu va fi eliminată din şirul observaţiilor. De asemenea, valoarea minimă din şir (7,92) este peste limita minimă isă, adică nici ea nu constituie o valoare aberantă.

5.2.4

Testul Irwin aberante

pentru

eliminarea

valorilor

Se aplică pentru eliminarea datelor afectate de erori grosolane în cazul în care se cunoaşte numai 2. Se testează ipoteza: H 0 : în cadrul eşantionului există valori aberante; cu alternativa H 1 : valorile din eşantion nu constituie erori grosolane.

Pentru aplicarea acestui test, considerând şirul de valori de sondaj ordonat crescător, se calculează rapoartele:



xn  xn1



, pentru valoarea maximă,

respectiv:

128



x2  x1



, pentru valoarea minimă.

Fie în cazul testării valorii maxime, fie în cazul testării valorii minime din şir, diferenţa dintre cei doi termeni situaţi la una dintre extremităţile şirului raportaţi la abaterea medie pătratică nu poate depăşi o anumită valoare dată în funcţie de nivelul de semnificaţie ales. Valorile funcţie de n şi de  sunt prezentate în tabelul 5.4. Tabelul 5.4 Valorile  ,n n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

 0,10 2,33 1,79 1,64 1,51 1,39 1,31 1,24 1,20 1,18 1,14

0,05 2,77 2,17 2,05 1,93 1,81 1,69 1,57 1,51 1,46 1,43

0,01 3,64 2,90 2,75 2,60 2,45 2,30 2,16 2,09 2,03 2,00

n 12 13 14 15 16 17 18 19 20

 0,10 1,11 1,09 1,07 1,06 1,05 1,04 1,03 1,03 1,03

0,05 1,41 1,39 1,37 1,35 1,33 1,31 1,29 1,28 1,27

0,01 1,97 1,94 1,91 1,88 1,86 1,84 1,82 1,81 1,80

Deci dacă: H 0 :    ;n valoarea extremă rămâne în şir; H 1 :    ;n valoarea extremă se elimină fiind considerată o

abatere grosolană. De exemplu, în urma efectuării unui sondaj s-au obţinut următoarele 12 rezultate: 13,4; 13,8; 13,4; 13,1; 13,3; 13,5; 13,5; 13,6; 13,6; 13,8; 13,1; 13,2. Ştiind că  0,05;12  1,41 şi   0,09 să se decidă dacă valorile extreme constituie valori aberante, pentru o probabilitate de 95%. Deoarece se cunoaşte doar abaterea medie pătratică a 129

populaţiei din care a fost extras eşantionul, se aplică testul Irwin. Considerăm şirul de valori ordonat crescător, astfel: 13,1; 13,1; 13,2; 13,3; 13,4; 13,4; 13,5; 13,5; 13,6; 13,6; 13,8; 13,8 şi calculăm rapoartele: 

x n  x n1



pentru valoarea maximă,

respectiv: 

x2  x1



pentru valoarea minimă.

13,8  13,6  2,22  1,41 , deci valoarea 0,09 13,2  13,1  1,11  1,41 , deci maximă se elimină şi, respectiv,   0,09

În cazul nostru ,  

valoarea minimă nu se elimină.

5.2.5 Testul Grubbs pentru eliminarea valorilor aberante Se aplică în cazul în care parametrii m şi 2 ai populaţiei generale nu se cunosc şi constituie o extindere a testului Grubbs Smirnov la această situaţie. Se testează ipoteza: H 0 : în cadrul eşantionului există valori aberante; cu alternativa H 1 : valorile din eşantion nu constituie erori grosolane.

Cei doi parametri necunoscuţi se estimează pe baza tuturor datelor de selecţie prin media de sondaj x şi abaterea medie pătratică de sondaj s. Facem sublinierea că s se determină pe baza tuturor datelor din eşantionul considerat, deoarece, aşa cum ne 130

amintim, în cazul eşantioanelor de volum redus ( n  30 ), la numitorul dispersiei, se considera n  1 , în loc de n. Dacă toate observaţiile x1 , x2 ,..., xn sunt extrase din aceeaşi populaţie normal repartizată, atunci repartiţia variabilei:

xnP  x s

vP 

nu depinde de parametrii m şi 2 ai populaţiei, ci de mărimea n a eşantionului. Valorile teoretice xnP şi x1P se vor determina în acest caz din relaţiile: x nP  x  s  v P ; x1P  x  s  v P .

Valorile vp funcţie de n şi P  0,90 ; P  0,95 ; P  0,99 sunt prezentate în tabelul 5.5. Dacă: H0: x n  x nP valoarea nu se exclude din şir; H1: x n  x nP valoarea se exclude din şir. iar pentru valoarea minimă, dacă: H0: x1  x1P valoarea minimă rămâne în şir; H1: x1  x1P valoarea minimă se consideră o eroare grosolană şi se elimină din şir.

131

Tabelul 5.5 Valorile v P  n/P 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0,90 0,1406 1,645 1,791 1,894 1,974 2,041 2,097 2,164 2,190 2,229 2,264 2,297

0,95 0,1412 1,698 1,869 1,996 2,093 2,172 2,237 2,294 2,343 2,387 2,426 2,461

0,99 0,1414 1,723 1,955 2,130 2,265 2,374 2,464 2,540 2,606 2,663 2,714 2,759

n/P 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

xnP  x s

0,90 2,326 2,354 2,380 2,404 2,426 2,447 2,467 2,486 2,504 2,520 2,537

0,95 2,493 2,523 2,551 2,577 2,600 2,623 2,644 2,664 2,683 2,701 2,717

0,99 2,800 2,837 2,871 2,903 2,932 2,959 2,984 3,008 3,030 3,051 3,071

De exemplu, efectuând un sondaj de volum n  25 dintr-o populaţie statistică oarecare, s-au obţinut valorile: 7,92; 7,94; 7,95; 7,98; 7,99; 8,07; 8,01; 7,98; 7,95; 7,95; 8,00; 7,91; 7,99; 7,98; 8,00; 7,90; 7,92; 7,95; 7,87; 8,19; 7,96; 7,97; 8,01; 7,99; 8,00

Se cere să se specifice dacă valorile extreme constituie valori aberante, ştiind că pentru p  95% avem v 0,95; 25  2,717 . În primul rând, deoarece media şi dispersia colectivităţii nu se cunosc, le determinăm pe baza tuturor valorilor din eşantion. Astfel, obţinem: 1 25 x  xi  7,98 ; 25 i 1 2 1 25 s2   xi  x  0,003649 ; 25 i 1





s  s 2  0,06 . Aplicând testul Grubbs obţinem: x 25;0,95  7,98  2,717  0,06  8,14302  8,19  x 25 ;

rezultă că x25 se elimină; 132

x1;0,95  7,98  2,717  0,06  7,81  7,87  x1 ;

rezultă că x1 nu se elimină. În mod evident, după eliminarea valorii maxime, testul se reia pentru eşantionul rămas.

5.2.6 Testul Chauvenet pentru eliminarea valorilor aberante Se aplică, la fel ca şi testul Grubbs, în cazul în care parametrii m şi 2 ai populaţiei generale nu sunt cunoscuţi. Se testează ipoteza: H 0 : în cadrul eşantionului există valori aberante; cu alternativa H 1 : valorile din eşantion nu constituie erori grosolane.

Fiind dat un şir de valori experimentale x1 , x2 ,..., xn , se consideră că valoarea xi este afectată de erori aberante dacă este verificată condiţia (criteriul Chauvenet): xi  x  z  s

unde x şi s reprezintă media aritmetică, respectiv abaterea standard a şirului de valori experimentale, iar mărimea z se alege din tabelul 5.6 în funcţie de numărul n de valori din şir. Din motive evidente, este suficient ca verificarea relaţiei de mai sus să fie efectuată doar pentru valorile extreme (minimă şi maximă) din cadrul eşantionului. Valoarea abaterii standard a şirului de valori experimentale este determinată în acest caz cu expresia:

133

s



1 n  xi  x n  1 i 1



2

.

Valoarea z din tabelul 5.6 poate fi determinată şi cu ajutorul relaţiei: z

0,435  0,862  a 1  3,604  a  3,213  a 2

unde: a

n 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2  n 1 . 4n

Tabelul 5.6 Valorile z pentru testul Chauvenet z n z n 1,64 14 2,10 27 – 29 1,73 15 2,12 30 – 33 1,80 16 2,14 34 – 38 1,87 17 2,17 39 – 45 1,91 18 2,20 46 – 55 1,96 19 2,23 56 – 71 2,00 20 – 21 2,26 72 – 100 2,04 22 – 23 2,29 101 – 166 2,07 24 – 26 2,33 167 – 500

z 2,37 2,41 2,46 2,51 2,58 2,65 2,75 2,88 3,09

Dacă, în urma aplicării testului, rezultă că una dintre valorile testate este afectată de erori aberante, valoarea respectivă este eliminată din cadrul eşantionului, se recalculează valorile mediei şi abaterii standard pentru valorile rămase şi se reia verificarea condiţiei iniţiale, algoritmul aplicându-se până când condiţia respectivă nu mai este verificată pentru nici una dintre cele două valori extreme ale eşantionului. De exemplu, considerând următorul şir de date: 134

20

25

17

24

29

32

33

25

28

26

23

22

19

34

35

18

20

24

22

24

se cere, utilizând testul Chauvenet, să se specifice dacă există valori aberante, ştiind că pentru   0,99 , avem z  2,26 . Determinăm: - media: x 

1 20   xi  25 ; 20 i 1

- abaterea medie pătratică: s 

1 20   ( xi  x) 2  5,35 . n  1 i 1

Avem:

xmin  17 şi xmax  35 . Deoarece: xmin  x   8  8  12,091  2,26  5,35  z  s ,

rezultă că valoarea minimă nu constituie o valoare aberantă, deci rămâne în şir; xmax  x  10  10  12,091  2,26  5,35  z  s ,

rezultă că valoarea maximă nu constituie o valoare aberantă, deci rămâne în şir.

135

5.3 Teste pentru compararea a doi indicatori

5.3.1 Verificarea ipotezelor privind media Considerând un sondaj de volum n, x1 , x2 ,..., xn , efectuat asupra unei variabile aleatoare X, repartizată normal de parametri m şi 2, cu m necunoscut, problema determinării necunoscutei m poate fi privită ca un proces de verificare a ipotezei nule H 0 : m  m0 , cu una dintre alternativele: H1 : m  m0 ; H 1 : m  m0 ; H1 : m  m0 , unde m0 este o valoare bine determinată. Pentru verificarea acestei ipoteze se utilizează testul z sau testul t, după cum se cunoaşte sau nu, din studii efectuate anterior, abaterea medie pătratică .

5.3.1.1 Testul z Este folosit pentru verificarea ipotezelor referitoare la media populaţiei statistice normal repartizată N(m,) cu parametrul  cunoscut.  Se verifică ipoteza: H 0 : m  m0 ; cu alternativa H 1 : m  m0 .

Pe baza datelor de sondaj, se determină media aritmetică de sondaj x . Dacă sondajul este extras dintr-o populaţie repartizată N (m,  ) , atunci variabila aleatoare x urmează o repartiţie normală N (m,

 n

). 136

Rezultă că variabila aleatoare z 

xm

urmează o lege de / n repartiţie N (0;1) , iar această variabilă, în cazul în care ipoteza H0 este adevărată, se poate scrie: z 

x  m0

. Valoarea z astfel calculată se / n compară cu valoarea teoretică z, corespunzătoare nivelului de semnificaţie  ales (tabelul 5.7).

 0,0001 0,001 0,002 0,005 0,01 0,02 0,025 0,03

Tabelul 5.7 Valorile zα (testul z) z z  unilateral bilateral unilateral bilateral 3,719 3,891 0,04 1,751 2,054 3,090 3,291 0,05 1,645 1,960 2,880 3,090 0,06 1,555 1,881 2,576 2,807 0,07 1,476 1,812 2,326 2,576 0,08 1,405 1,751 2,054 2,326 0,09 1,341 1,695 1,960 2,241 0,10 1,282 1,645 1,881 2,170

În cazul în care z calculat nu depăşeşte valoarea teoretică z, se poate accepta ipoteza nulă sau, cu alte cuvinte, între media de sondaj x şi media teoretică m nu există deosebiri. Nivelul de semnificaţie  fiind ales, putem determina un interval de încredere ale cărui limite să fie z1 şi z2. Astfel, se poate scrie:

P( z1 

x  m0



 z2 )  1  

n Ţinând cont de simetria curbei normale şi de faptul că aria totală de sub curbă , în regiunea critică este α, rezultă că aria fiecărei 137

 . Considerând pentru testul bilateral (figura 5.1) 2 z1  z 2  z  , obţinem:

cozi este

1

2

P( z

1





2

x  m0

z



1



)  1 ,

2

n relaţie echivalentă cu: f(z)

-/2

/2

0

-z1-/2

z1-/2

Fig.5.1. Testul z bilateral

P ( m0  z

1

 2



 n

 x  m0  z

1

138

 2



 n

)  1 ,

z

din care obţinem intervalul de încredere: m0  z

1







n

2

 x  m0  z

1





2

 n

şi regiunea critică: x  m0  z





şi x  m0  z





. 1 n n 2 2 Dacă media de sondaj x cade în regiunea critică, atunci ipoteza H 0 : m  m0 se respinge, iar dacă x este cuprins în intervalul de încredere, ipoteza se acceptă. 1





 Se verifică ipoteza: H 0 : m  m0 ; cu alternativa H1 : m  m0 sau cu alternativa H1 : m  m0 .

În aceste situaţii se utilizează testul z unilateral. În primul caz, când avem de testat ipoteza H 0 : m  m0 cu alternativa H1 : m  m0 , pentru un nivel de semnificaţie  dat, putem determina o valoare z1- (figura 5.2 a) astfel ca:

P( z1 

x  m0



n relaţie echivalentă cu:

139

)  1 ,

P(m0  z1 

 n

 x)  1   ,

din care obţinem intervalul de încredere: m0  z1 

 n

şi regiunea critică: x  m0  z1 

x

 n

.

În cazul când se testează ipoteza H 0 : m  m0 cu alternativa H1 : m  m0 , corespunzător nivelului de semnificaţie  ales, se poate determina z1- (figura 5.2 b) astfel încât:

P(

x  m0

 z1 )  1   ,



n f(z)

f(z)



 -z1-

0

0

z

b)

a) Fig.5.2. Testul z unilateral

140

z1-

z

relaţie echivalentă cu: P( x  m0  z1 

 n

)  1 ,

din care obţinem intervalul de încredere: x  m0  z1 

şi regiunea critică: x  m0  z1 

 n

 n

.

 Ca o extindere, aplicată atunci când în practică intervine situaţia comparării a două medii când nu se cunoaşte nici una dintre ele, se verifică ipoteza H 0 : m1  m2 ; cu alternativa H 0 : m1  m2 .

În această situaţie se folosesc estimaţiile valorilor medii (adică x1 şi x 2 ), iar testul z are expresia: z

x1  x 2

 12 n1



 22

dacă  12   22 ,

n2

sau:

141

x1  x 2

z

dacă  12   22 ,

1 1  n1 n2



n1 şi n2 reprezentând volumele celor două sondaje. Nivelul de semnificaţie  fiind ales, dacă: P( z  z

1



)  1

2

ipoteza H0 se acceptă, fiind respinsă în caz contrar. Relaţia probabilistică precedentă este echivalentă cu:

P(  z

1

 12







n1

2

 22

 x1  x2  z

1

n2

 12





n1

2



 22 n2

)  1 ,

de unde obţinem intervalul de încredere:

z

1





 12 n1

2



 22 n2

 x1  x2  z

1





 12 n1

2



 22 n2

şi regiunea critică:

x1  x2   z

1

 2



 12 n1



 22 n2

şi z

1

 2



 12 n1



 22 n2

 x1  x 2 .

Deci dacă x1  x2 cade în intervalul de încredere, ipoteza H 0 : m1  m2 se acceptă, adică între cele două medii comparate nu există diferenţe semnificative, această ipoteză respingându-se în cazul în care x1  x2 cade în regiunea critică. 142

Prezentăm două exemple de aplicare a testului z. 1. Să presupunem că media de vârstă a unui eşantion reprezentativ de 500 de subiecţi dintr-o localitate afectată de probleme de ordin ecologic, este de 44 de ani. Ştiind că abaterea medie pătratică este de 6,3 ani, să se verifice dacă media populaţiei este de 43 de ani, sau mai mare, utilizând   0,01 . Avem de testat ipoteza nulă H 0 : m  43 , cu alternativa H1 : m  43 . Cunoaştem m0  43 , x  44 ,   6,3 . Aplicăm testul unilateral dreapta:     x  m0  P  z1   1   .      n   Regiunea critică este dată de: x  m0  z1 

  0,01 avem obţinem: m0  z1 

z1α  z10 ,01  z 0 ,99

 n

 43  2,326 

z



. Pentru n  2,326 şi, prin înlocuire,

6,3 500

 43  0,655  43,655 .

Cum x  44  43,655 respingem ipoteza H0 şi acceptăm alternativa H1, conform căreia media de vârstă a populaţiei din localitatea respectivă, cu o probabilitate de 99%, este mai mare de 43 de ani. 2. Să presupunem că venitul brut mediu lunar al unui cadru didactic este de 2500 lei, în timp ce venitul mediu brut lunar al unui medic este de 2800 lei. Mediile au fost calculate pe baza unor eşantioane aleatoare de 200 de cadre didactice, respectiv 250 de 143

medici. Abaterile standard în întreaga populaţie statistică sunt de 300 lei pentru cadre didactice şi de 400 lei pentru medici. Se poate afirma că între cele două venituri lunare există diferenţe semnificative? Ne situăm în ultimul caz teoretic prezentat la testul z, în care se verifică ipoteza H 0 : m1  m2 , cu alternativa H 0 : m1  m2 . Pentru un nivel de semnificaţie   0,05 , avem z   1,96 . 1

2

Avem:

z  x1  x2  300 z

1

 2



 12 n1



 22

400 2 300 2  1,96    64,71 . 250 200

n2

După cum se observă, avem:

64,71  z

1

 2



 12 n1



 22 n2

 300  x1  x2 ,

relaţie care defineşte regiunea critică. Respingem deci ipoteza H0 şi acceptăm cu o probabilitate de 95% alternativa H1, adică cele două venituri medii diferă semnificativ în ansamblul populaţiei statistice.

5.3.1.2 Testul t Se foloseşte pentru verificarea ipotezelor statistice referitoare la media populaţiei statistice normal repartizate, în cazul când dispersia teoretică este necunoscută sau când volumul eşantionului este mic. Se bazează pe statistica „t” care are o repartiţie Student cu n  1 grade de libertate. Folosind datele de sondaj se calculează media aritmetică şi dispersia de sondaj: 144

x

1 n 1 n 2 s  x şi  ( xi  x ) 2 .  i n  1 i 1 n i 1

 Se verifică ipoteza H 0 : m  m0 ; cu alternativa H 1 : m  m0 .

Ne aflăm în cazul testului t bilateral. Cu ajutorul datelor de sondaj calculăm variabila aleatoare: t

x  m0 s/ n

.

Pentru un nivel de semnificaţie  ales, se poate scrie:

P( t  t ;n1 )  1   , de unde obţinem: P(

x  m0 s/ n

 t ;n1 )  1   ,

adică: P(m0  t ;n1 

s n

 x  m0  t ;n1 

s n

)  1 ,

relaţie care ne dă intervalul de încredere: m0  t ;n1 

s n

 x  m0  t ;n1 

145

s n

,

caz în care ipoteza H 0 : m  m0 se acceptă şi regiunea critică: x  m0  t ;n1 

s n

şi x  m0  t ;n1 

s , n

caz în care ipoteza se respinge. Valorile critice se regăsesc în tabelul cu valorile repartiţiei Student (Tabelul anexă nr.7), pentru un nivel de semnificaţie  dat şi n  1 grade de libertate.  Se verifică ipoteza H 0 : m  m0 ; cu alternativa H1 : m  m0 ; sau cu alternativa H1 : m  m0 .

În aceste situaţii se aplică testul t unilateral. În primul caz, se verifică ipoteza H 0 : m  m0 cu alternativa H 1 : m  m0 . Presupunând ipoteza H0 adevărată, se poate scrie:

  x  m0 P  t1 ;n 1   s  n 

    1 ,   

adică:   s P m0  t1 ;n1   x   1   , n   146

relaţie din care obţinem intervalul de încredere: m0  t1 ;n 1 

s n

 x,

caz în care H0 se acceptă şi regiunea critică: x  m0  t1 ;n 1 

s n

,

caz în care H0 se respinge. În mod analog, când se verifică ipoteza H 0 : m  m0 cu alternativa H1 : m  m0 , se obţine intervalul de încredere: x  m0  t1 ;n1 

s

x  m0  t1 ;n 1 

s

n

şi regiunea critică: n

.

 Se verifică ipoteza H 0 : m1  m2 ; cu alternativa H 0 : m1  m2 .

Aplicarea testului t în cazul verificării egalităţii a două medii teoretice este posibilă numai după aplicarea testului F (5.3.2.2) care decide dacă dispersiile celor două populaţii sunt egale (sau aproximativ egale). Variabila t are în acest caz expresia: 147

t

x1  x 2 1 1 s  n1 n 2

,

unde:

(n1  1) s12  (n2  1) s 22 , s n1  n2  2 deci:

t

x1  x 2 (n1  1) s12  (n2  1) s 22



n1n2 (n1  n2  2) , n1  n2

cu k  n1  n2  2 grade de libertate, n1, n2 fiind volumele celor două sondaje. Dacă ipoteza H 0 : m1  m2 este adevărată, atunci corespunzător unui nivel de semnificaţie  şi numărului gradelor de libertate k, avem: P( t  t ;k )  1   , relaţie din care obţinem intervalul de încredere:

t  t ;k  t ;k  t  t ;k şi regiunea critică: t  t ;k şi t  t ;k .

Prezentăm în continuare două exemple de aplicare a acestui test. 1. Conţinutul de grăsime al laptelui de vacă integral este stabilit la 3,6%. Pentru a verifica dacă această condiţie este satisfăcută, s-au luat 9 probe, obţinându-se următoarele procente de 148

grăsime: 3,7; 3,9; 3,8; 3,7; 3,5; 3,6; 3,5; 3,7; 3,9. Să se verifice ipoteza că m  3,6% la un nivel de semnificaţie   0,05 . Calitatea laptelui presupune că procentul de grăsime să fie egal sau să depăşească nivelul de 3,6%, deci putem aplica testul statistic t. Avem de testat ipoteza H 0 : m  m0 , cu alternativa H1 : m  m0 , unde m0  3,6 . Pentru n  1  8 grade de libertate şi o probabilitate de 95%, în tabelele repartiţiei Student găsim t 0,95;8  2,306 . Pe baza datelor de sondaj, calculăm: x  3,7% ; s 2  0,0225 ; s  0,15 apoi s 0,15 m0  t1 ;n1   3,6  2,306   3,7153 . n 9 Deoarece s x  3,7  3,7153  m0  t1 ;n1  n acceptăm cu o probabilitate de 95% ipoteza conform căreia procentul de grăsime este de 3,6%. 2. Proprietarul unei patiserii vrea să ştie dacă, după o campanie publicitară intensă, media încasărilor zilnice s-a mărit sau nu semnificativ. Pentru aceasta, el înregistrează veniturile realizate timp de 10 zile înainte şi 10 zile după campania publicitară, obţinând următoarele informaţii: înainte: x 1 1200 lei

după: x 2  1350 lei

s1  220 lei

s2  270 lei

Cu o probabilitate de 95%, se poate afirma că media încasărilor a crescut după campanie? 149

Avem de verificat ipoteza H 0 : m1  m2 , cu alternativa H 0 : m1  m2 (m2  m1 ) . Testul t are în această situaţie expresia:

t 

x1  x2 (n1  1) s12  (n2  1) s 22 1200  1350 9  220 2  9  270 2





n1n2 (n1  n2  2)  n1  n2

10  10  (10  10  2)  1,36 10  10

Corespunzător unei probabilităţi de 95% şi numărului gradelor de libertate k  n1  n2  2  18 grade de libertate, avem t 0,95;18  2,101 . Deoarece t  1,36  2,101  t 0,95;18 se poate trage concluzia că volumul încasărilor zilnice nu a crescut semnificativ în urma campaniei publicitare. 5.3.2 Verificarea ipotezelor privind împrăştierea 5.3.2.1 Testul Χ2 (hi-pătrat) Se verifică ipoteza:

H 0 :  2   02 ; cu alternativa H1 :  2   02 . Pe baza datelor de sondaj se calculează media de sondaj x şi dispersia de sondaj s2. Variabila aleatoare: 150

(n  1) s 2

2

x x   i  i 1    n

2

urmează o lege de repartiţie 2 cu n  1 grade de libertate. Presupunând nivelul de semnificaţie  ales, se pot determina două valori  2  şi  2 , astfel încât, dacă ipoteza H 0 :  2   02 1

2

2

este adevărată, să avem: P(  2   1

(n  1) s 2

 02

2

  2 )  1   , 2

relaţie care conduce la intervalul de încredere:

 02 n 1

2   s2  1

2

 02 n 1

 2 , 2

caz în care ipoteza H0 se acceptă şi la regiunea critică: s2 

 02 n 1

 2  şi s 2  1

2

 02 n 1

 2 2

caz în care ipoteza H0 se respinge. Valorile critice X2, în funcţie de probabilitatea  cu care se lucrează şi numărul gradelor de libertate sunt prezentate în tabelul anexă nr.8. De exemplu, în urma efectuării unui sondaj de volum n  20 , s-au obţinut următoarele rezultate: 7,93; 7,92

7,99 8,05 7,93 7,94 8,06 7,95

7,95 7,94 8,02 7,97 151

7,96 7,93 8,05 7,99

8,03 8,01 7,95 8,03

Utilizând testul Χ2, să se verifice ipoteza H 0 :  2  0,0042 H 1 :  2  0,0042 . Se cunoaşte că pentru o

cu alternativa

probabilitate P  95% , avem  02,975;19 8,91 şi  02,025;19 32,85 . Pe baza datelor de sondaj, se determină media de sondaj x  7,98 şi dispersia de sondaj s 2  0,002179 . Intervalul de încredere este dat de:

 02 n 1

2   s2  1

2

 02 n 1

 2 . 2

Determinăm limitele intervalului de încredere:

 02 n 1

 02 n 1

2   1

2

 2  2

0,0042  8,91  0,001969 19

0,0042  32,85  0,007261 . 19

Deoarece s 2  0,0042  0,001969 ; 0,007261  , acceptăm cu o probabilitate de 95% ipoteza H0 . 5.3.2.2 Testul F Se verifică ipoteza:

H 0 :  12   22 ; cu alternativa H 1 :  12   22 . 152

Verificarea ipotezei egalităţii dispersiilor  12 şi  22 a două populaţii repartizate după o lege normală prezintă o deosebită importanţă, deoarece după cum am văzut, verificarea ipotezei egalităţii a două sau mai multe medii se face numai după ce s-a verificat în prealabil dacă dispersiile sunt egale sau nu. Pentru verificarea ipotezei H 0 :  12   22 , pe baza datelor de sondaj se calculează dispersiile de sondaj s12 , s 22 care reprezintă estimaţii ale dispersiilor teoretice. Cu ajutorul acestor dispersii se calculează variabila aleatoare 2 s F  12 , variabilă care are o repartiţie Snedecor cu n1  1 şi n2  1 s2 grade de libertate. Tabelele pentru repartiţia Snedecor se construiesc de obicei numai pentru valorile F  1 . De aceea, vom conveni să luăm la numărător dispersia teoretică cea mai mare. Considerând nivelul de semnificaţie  ales, putem scrie: P( F  F ;n1 1;n2 1 )  1   .

Regiunea critică este dată de: F  F ;n1 1;n2 1 , caz în care ipoteza H 0 :  12   22 se respinge, iar intervalul de încredere: F  F ;n1 1;n2 1 , caz în care se ite ipoteza egalităţii celor două dispersii. Valorile F ;n1 1;n2 1 sunt tabelate funcţie de nivelul de semnificaţie  şi numerele gradelor de libertate n1  1 , n2  1 (Tabelul anexă nr.9). De exemplu, două grupe de copii au fost testate după ce au aplicat după două metode diferite de învăţare, obţinând următoarele rezultate: Grupa I :

9 10 5

9 10 9

6

9

Grupa I1 :

7

5 10 8

8

7 10 9

9

6

153

8

9 7

8

7

9

7

La un nivel de semnificaţie   0,05 , să se verifice dacă cele două metode de învăţare diferă semnificativ sau nu. Avem de verificat ipoteza H 0 : m1  m2 cu alternativa H1 : m1  m2 . Ipoteza verificării mediilor teoretice se face numai după verificarea egalităţii dispersiilor teoretice cu ajutorul testului F. Pe baza datelor de sondaj, obţinem: 1 10  xi1  8 10 i 1 1 15 x1   xi 2  7,5 15 i 1

x1 









2 1 10  xi1  x1 2,6 10  1 i 1 2 1 15 s 22   xi 2  x 2  2,67 15  1 i 1

s12 

Obţinem:

F

s 22 s12



2,67  1,03 2,60

Deoarece: F  1,03  2,5  F0,05;10;15

acceptăm cu o probabilitate de 95% ipoteza egalităţii dispersiilor. Domeniul de încredere pentru testul t este dat de:

 t ;h 

x1  x 2 1 1 s  n1 n2

unde: 154

 t ;h

h  n1  n2  2 s

(n1  1)s12  (n2  1) s22 10  2,6  15  2,67 66,05    1,63 . n1  n2  2 11  16  2 25 Obţinem: s  1,63 ; 8  7,5 t  0,783 . 1 1 1,63   11 16

Din tabelele repartiţiei Student, avem t 0 ,05;25  2,060 . Deoarece: t  0,783   2,060 ; 2,060 acceptăm cu o probabilitate de 95% ipoteza egalităţii mediilor teoretice, deci cele două metode nu diferă semnificativ. 5.3.3 Testul z pentru compararea a două proporţii În cazul variabilelor alternative (is/respins, DA/NU, prezent/absent etc.) se utilizează testul z adaptat particularităţilor acestei variabile şi anume: x  p ; s 2  p  (1  p ) .

Presupunând deci că avem două proporţii p1 şi p2 obţinute pe două eşantioane de volume n1 şi n2, se testează ipoteza: H 0 : p1  p 2 ; cu alternativa H1 : p1  p2 . 155

În acest sens se calculează:

z

p1  p 2 p1 (1  p1 ) p 2 (1  p 2 )  n1 n2

.

Valoarea z astfel calculată se compară cu valoarea tabelară z corespunzătoare nivelului de semnificaţie α ales (Tabelul anexă nr.10). În cazul în care valoarea calculată este mai mică decât cea tabelară, se acceptă ipoteza că cele două proporţii nu diferă semnificativ. De exemplu, o firmă producătoare de automobile, testează impresiile despre un anumit model. În acest scop, un eşantion de 500 de bărbaţi este chestionat, dintre aceştia 325 răspunzând favorabil. Separat, un alt eşantion (spre a nu exista influenţe) de 600 de femei este chestionat în aceeaşi problemă, dintre aceste 510 răspunzând favorabil. Se pune întrebarea dacă între cele două proporţii există sau nu diferenţe semnificative. Avem: 325  0,65 ; 500 510 p2   0,85 . 600 p1 

Calculăm:

z

0,65  0,85 0,65  (1  0,65) 0,85  (1  0,85)  500 600 0,20 0,20    7,75 0,0006675 0,0258



Deoarece valoarea astfel obţinută este mult mai mare decât 156

valoarea tabelară 2,29 corespunzătoare unui nivel de semnificaţie   0,05 , putem afirma cu o probabilitate de 95% că cele două proporţii diferă semnificativ. Cu alte cuvinte, femeile preferă acest model de automobil mai mult decât bărbaţii. 5.3.4 Testul z pentru compararea a doi coeficienţi de corelaţie În practică, există situaţii în care se determină coeficienţi de corelaţie pentru grupuri distincte. Se pune întrebarea dacă aceşti coeficienţi de corelaţie, la un nivel de încredere acceptat, pot fi consideraţi egali, sau nu. Deci, se verifică ipoteza: H 0 : r1  r2 ; cu alternativa H1 : r1  r2 , r1 şi r2 fiind cei doi coeficienţi de corelaţie. Se utilizează statistica:

z

z1  z 2 , S

unde z1 şi z2 sunt transformatele Fischer z i 

1 1  ri , iar ln 2 1  ri

1 1 , n1 şi n2 reprezentând volumele celor două  n1  3 n2  3 eşantioane pe care au fost calculaţi coeficienţii de corelaţie. Valoarea astfel determinată se compară cu valoarea teoretică z corespunzătoare nivelului de semnificaţie α ales. Ipoteza H0 se acceptă dacă z  z şi se respinge în caz contrar. S

De exemplu, să presupunem că pentru un eşantion de 50 de bărbaţi, coeficientul de corelaţie dintre numărul orelor petrecute în faţa televizorului şi numărul orelor emisiunilor sportive vizionate 157

este de 0,80, în timp ce, pentru un eşantion de 80 de femei, coeficientul de corelaţie dintre numărul orelor petrecute în faţa televizorului şi numărul orelor emisiunilor de divertisment vizionate este de 0,65. Se poate aprecia, la un nivel de semnificaţie   0,05 , pentru care z 0,05  1,96 că cei doi coeficienţi de corelaţie sunt egali? Avem: 1 1  r1 1 1  0,80 z1  ln  ln  1,0986 2 1  r1 2 1  0,80

z2 

S

z

1 1  r2 1 1  0,65 ln  ln  0,7753 2 1  r2 2 1  0,65

1 1   0,185 50  3 80  3 1,0986  0,7753  1,75 0,185

Ţinând cont de z  1,75  1,96  z 0,05 , putem considera, cu o probabilitate de 95% că cei doi coeficienţi de corelaţie sunt egali. 5.4 Teste pentru compararea a două distribuţii empirice 5.4.1 Testul medianei pentru compararea a două distribuţii empirice În cazul în care ipoteza normalităţii este evident infirmată (lucru ce poate fi observat, de exemplu, prin asimetria accentuată a histogramelor) se calculează în locul mediilor medianele care apoi se compară. 158

Se testează deci ipoteza: H 0 : între cele două distribuţii nu există diferenţe semnificative; cu alternativa H 1 : cele două distribuţii diferă semnificativ.

Testul se bazează pe o statistică X2, iar aplicarea sa presupune parcurgerea următorilor paşi: a) se determină mediana fiecăruia din cele două eşantioane; b) se comasează cele două eşantioane în unul singur şi se determină mediana acestuia; c) cu ajutorul medianei generale, subiecţii din fiecare eşantion sunt inseraţi într-un tabel cu două linii şi două coloane (sub şi peste mediană); Observaţie 1: în cazul în care în eşantioane există valori egale cu mediana, acestea sunt repartizate fie celor de sub mediană (varianta 1), fie celor de peste mediană (varianta 2); d) se calculează statistica 2 

(ad  bc) 2  T (a  b)(c  d )( a  c)(b  d )

unde: - numitorul este format din produsul dintre totalurile fiecărei linii şi fiecărei coloane; - numărătorul este produsul dintre pătratul diferenţei celor două diagonale şi volumul total al celor două eşantioane (T). Observaţie 2: în condiţiile observaţiei 1, se calculează două valori X2, reţinându-se valoarea cea mai mică. Observaţie 3: dacă în tabel sunt efective relativ mici, numărătorul din expresia lui X2 se corectează prin utilizarea formulei lui Yates, adică se înlocuieşte cu:

159

T  T ad  bc    2 

2

adică avem: 2

T  T ad  bc    2  2  . (a  b)(c  d )( a  c)(b  d )

Valoarea X2 astfel calculată se compară cu cea tabelară (3,84 pentru   0,05 , sau 6,64 pentru   0,01 ). Ipoteza conform căreia între distribuţii nu există diferenţe semnificative este acceptată în cazul în care valoarea X2 calculată este mai mică decât cea tabelară şi este respinsă în caz contrar. De exemplu, două grupe de subiecţi au obţinut la o probă următoarele rezultate: Grupa A x: f:

4 6

5 9

6 5

7 6

8 14

9 10

10 5

f

 55

4 5

5 7

6 7

7 9

8 10

9 11

10 6

f

 55

Grupa B x: f:

Se cere să se compare cele două eşantioane. a) determinăm medianele celor două eşantioane; avem: b) x Me A  x n1  x28  8 ; 2

x Me B  x n1  x28  7 ; 2

(după cum se observă, cele două serii de date au un număr impar de termeni, deci mediana va fi dată de acea valoare care ocupă locul central în seria ordonată crescător sau descrescător, în cazul nostru de x28); 160

c) se realizează o nouă distribuţie prin comasarea celor două eşantioane: Grupa A + B x: f:

4 11

5 16

6 12

7 15

8 24

9 21

10 11

f

 110

De această dată, seria având un număr par de termeni, mediana va fi dată de media aritmetică a celor doi termeni centrali din seria ordonată, adică:

x Me A B 

x55  x56 8  8   8. 2 2

Se alcătuieşte tabelul:

Grupa A Grupa B

Sub mediană a c

Egale cu mediana Peste mediană m b m d

Sub mediană 26 28

Egale cu mediana Peste mediană 14 15 10 17

adică:

Grupa A Grupa B

După cum se observă suntem în cazul observaţiei 1, deci vom repartiza valorile egale cu mediana fie conform variantei 1, fie conform variantei 2; obţinem: Varianta 1: Grupa A Grupa B

Sub sau egale Peste mediană cu mediana 40 15 38 17 161

Varianta 2: Sub mediană

Grupa A Grupa B

26 28

Egale cu sau peste mediană 29 27

d) calculăm, conform observaţiei 2, cele două statistici X2:  2varianta 1  

1331000  0,176 7550400

 2varianta 2  

(40  17  15  38) 2  110  (40  15)(38  17)( 40  38)(15  17)

(26  27  29  28) 2  110  (26  29)( 28  27)( 26  28)( 29  27)

1331000  0,145 9147600

În cazul aplicării corecţiei lui Yates, obţinem: 2

110   110  (40  17  15  38)  2    2varianta 1   (40  15)(38  17)( 40  38)(15  17) 332750   0,044 7550400 2 110   110  (26  27  28  29)  2   2  varianta 2   (26  29)( 28  27)( 26  28)( 29  27) 2994750   0,327 9147600

După cum se observă, toate valorile calculate pentru X2 (atât în varianta directă, cât şi în cazul aplicării corecţiei) sunt cu mult mai mici decât cea tabelară, 3,84 pentru o probabilitate de 95%, sau 162

6,64 pentru o probabilitate de 99%, deci nu există motiv pentru acceptarea ipotezei că cele două eşantioane nu diferă.

5.4.2 Testul Kolmogorov-Smirnov N.V. Smirnov a extins testul lui Kolmogorov la verificarea concordanţei a două funcţii empirice de repartiţie Fn1 ( x) şi Fn 2 ( x) . Se testează deci ipoteza: H 0 : Fn1  Fn 2 ; cu alternativa H 1 : Fn1  Fn 2 .

Teorema lui Smirnov afirmă că:

 n1n2  P Dn1n2     K ( )  n1  n2   n  n 2  1  lim

unde: Dn1n2  sup Fn1 ( x)  Fn 2 ( x)

 0 ;

x



K ( )    1k e  2 k



2 2

(funcţia lui Kolmogorov).



În cazul în care suma n1  n2 este suficient de mare, domeniul critic al testului Smirnov, în funcţie de nivelul de semnificaţie  ales, este dat de: n  n2 Dn1n2   1 , n1n2 caz în care ipoteza nulă H0 a concordanţei celor două repartiţii se respinge, iar intervalul de încredere este definit de: 163

n1  n2 , n1n2

Dn1n2  

caz în care ipoteza nulă H0 a concordanţei celor două repartiţii empirice Fn1 ( x) şi Fn 2 ( x) se acceptă. În practică,  poate fi aproximat cu valoarea

1 2

   ln  ,  = nivel de semnificaţie. De exemplu, cunoscând structura pe vârste pentru două eşantioane de volume 800 şi 1000 de subiecţi, să se verifice, utilizând testul Kolmogorov-Smirnov, la un nivel de semnificaţie   0,05 , dacă există diferenţe semnificative între cele două distribuţii. Eşantionul 1 Interv. 18-29 fi 120 pi 0,15

30-39 160 0,2

Interv. 18-29 fi 140 pi 0,14

30-39 180 0,18

40-49 180 0,225

50-59 200 0,25

60140 0,175

Σ 800 1

60150 0,15

Σ 1000 1

Eşantionul 2 40-49 220 0,22

50-59 310 0,31

Avem: n1  800 ; n2  1000 . Alcătuim tabelul: Intervalul 18-29 30-39 40-49 50-59 60-

Fn1 ( x )

Fn 2 ( x)

Fn1 ( x)  Fn 2 ( x)

0,15 0,35 0,575 0,825 1

0,14 0,32 0,54 0,85 1

0,01 0,03 0,035 0,025 0

164

Din tabel, obţinem:

Dn1n2  sup Fn1 ( x)  Fn 2 ( x)  0,035 x

Avem:

1 2

1 2

   ln    ln 0,05  1,497866  1,22387 . Calculăm:

D  

n1  n2 800  1000  1,22387   0,05805 . n1n2 800  1000

Deoarece: Dn1n2  0,035  0,05805  D , acceptăm cu o probabilitate de 95% ipoteza concordanţei celor două repartiţii.

5.4.3 Testul U (Mann-Witney) pentru compararea a două repartiţii empirice Acest test neparametric permite compararea a două repartiţii empirice obţinute pe baza datelor din două eşantioane de volume n1 şi n2. Se testează deci ipoteza: H 0 : între cele două distribuţii nu există diferenţe semnificative; cu alternativa H 1 : cele două distribuţii diferă semnificativ.

Din cele două şiruri de date corespunzătoare celor două eşantioane se formează un singur şir. Acest şir se ordonează crescător sau descrescător. Se acordă ranguri elementelor acestui şir (în cazul în care doi sau mai mulţi termeni au acelaşi rang, acestora li se 165

atribuie media rangurilor care le revin). Se calculează suma rangurilor pentru fiecare serie R1, R2, iar apoi se calculează două statistici: n (n  1) U1  n1  n2  1 1  R1 2 n (n  1) U 2  n1  n2  2 2  R2 . 2 Reţinând cea mai mică valoare U dintre cele două calculate anterior (dacă şirul a fost ordonat crescător) sau cea mai mare (dacă şirul a fost ordonat descrescător), se calculează variabila:

z

n1  n2 2 n1  n 2 (n1  n 2  1) 12 U

care se compară cu valoarea zP corespunzătoare probabilităţii alese ( P  95%, z  1,96; p  99%, z  2,58; P  99,9%, z  3,3) . Domeniul critic este dat de z  z P , caz în care ipoteza conform căreia între cele două repartiţii nu există deosebiri se respinge, iar domeniul de încredere de z  z P , caz în care se acceptă ipoteza că între cele două repartiţii nu există deosebiri. De exemplu, rezultatele medii obţinute de două echipe la un concurs constând din mai multe probe, sunt următoarele: Echipa 1 32,18 32,29 32,23 32,30 32,32 32,25 32,30 32,20

Echipa 2 32,24 32,20 32,16 32,30 32,17 32,22 32,21 32,28 166

32,25

32,25 32,27 32,26 32,25

Folosind testul Mann-Witney, cu o probabilitate de 99%, pentru care z  2,58 , să se verifice dacă rezultatele celor două echipe diferă semnificativ. Ordonăm crescător şirul format din cele două serii de date şi acordăm ranguri elementelor acestui şir. Astfel: xi 32,16 32,17 32,18 32,20 32,20 32,21 32,22 32,23 32,24 32,25 32,25 rang 1 2 3 4,5 4,5 6 7 8 9 11,5 11,5 xi 32,25 32,25 32,26 32,27 32,28 32,29 32,30 32,30 32,30 32,32 rang 11,5 11,5 14 15 16 17 19 19 19 21

După cum se observă, termenilor care se repetă li s-au acordat drept ranguri media aritmetică a rangurilor ce le reveneau. Considerând seriile iniţiale, calculăm suma rangurilor pentru fiecare serie. Seria 1 32,18 32,29 32,23 32,30 32,32 32,25 32,30 32,20 32,25

rang 3 17 8 19 21 11,5 19 4,5 11,5

Seria 2 32,24 32,20 32,16 32,30 32,17 32,22 32,21 32,28 32,25 32,27 32,26 32,25

R1 = 87

Calculăm acum cele două statistici: 167

rang 9 4,5 1 19 2 7 6 16 11,5 15 14 11,5 R2 = 89

n1 (n1  1) 9  (9  1)  R1  9  12   87  66 2 2 n (n  1) 12  (12  1) U 2  n1  n2  2 2  R2  9  12   89  97 2 2

U1  n1  n2 

Datorită faptului că şirul a fost ordonat crescător, reţinem cea mai mică valoare din cele două U  66 şi calculăm variabila:

n1  n2 2 z  n1  n2 (n1  n2  1) 12 12 12    0,85 198 14,071 U

9  12 2  9  12  (9  12  1) 12 66 

După cum se observă: z  0,85  2,58  z 0,99 , deci, cu o probabilitate de 99% putem afirma că rezultatele celor două echipe nu diferă semnificativ. 5.5 Teste de concordanţă 5.5.1 Testul X2 pentru concordanţa eşantionului cu cea a populaţiei Un caz particular de aplicare al testului X2 îl constituie acele în care se verifică concordanţa distribuţiei empirice a eşantionului cu distribuţia întregii populaţii. Cu ajutorul acestui test se verifică dacă există diferenţe semnificative între distribuţia frecvenţelor eşantionului studiat şi distribuţia frecvenţelor populaţiei statistice din care acest eşantion a fost extras, sau, cu alte cuvinte, dacă eşantionul este reprezentativ pentru populaţia de bază. Se testează deci ipoteza: 168

H 0 : distribuţia eşantionului concordă cu distribuţia populaţiei; cu alternativa H 1 : eşantionul nu este reprezentativ pentru populaţia de bază.

Particularitatea testului în acest caz constă în înlocuirea valorilor teoretice n  pi cu valorile

qi 

Ni n, N

unde Ni = populaţia din grupa i (considerând că avem k grupe); N = totalul populaţiei; n = volumul eşantionului. adică X2 va avea forma: k (n  q ) 2 i 2   i . qi i 1

 2 ;k 1

Valoarea X2 astfel calculată se compară cu valoarea teoretică corespunzătoare nivelului de semnificaţie α ales şi numărului

gradelor de libertate k  1 . În cazul în care  2   2 ;k 1 , se acceptă ipoteza reprezentativităţii eşantionului. De exemplu, să presupunem că se efectuează un studiu, privind o problemă majoră pentru populaţia activă, la nivelul ţării. În acest sens, se decide să fie chestionat un eşantion de1500 de subiecţi, structurat pe grupe de vârstă. Cunoscând că structura populaţiei ocupate, în 2005, era următoarea: Total

15-24 ani 25-34 ani 35-44 ani 45-54 ani 55-64 ani Peste 65 ani

9870000 1016610 2882040 2615550 2447760 730380 (Sursa: www.alba.insee.ro)

177660

să se verifice utilizând testul X2, la un nivel de semnificaţie   0,05 169

dacă eşantionul ales este reprezentativ, sau nu. Avem: Grupa de vârstă

ni

Ni

qi

xi  qi

( xi  q i ) 2 qi

15-24 ani 25-34 ani 35-44 ani 45-54 ani 55-64 ani Peste 65 ani Total

140 410 435 365 120 30 1500

1016610 2882040 2615550 2447760 730380 177660 9870000

155 438 397 372 111 27 1500

-15 -28 38 -7 9 3 0

1,452 1,790 3,637 0,132 0,730 0,333 8,074

Deoarece  2  8,04  11,07   0,05; 5 acceptăm ipoteza conform căreia, cu o probabilitate de 95%, eşantionul ales este reprezentativ pentru întreaga populaţie. Remarcă: valorile qi nu constituie altceva decât volumele grupelor obţinute în cazul aplicării procedeului de eşantionare prin stratificare. 5.5.2 Verificarea normalităţii O etapă obligatorie, de mare răspundere în analiza calităţii datelor de sondaj, o constituie verificarea normalităţii repartiţiilor empirice, deoarece, dacă repartiţiile empirice calculate pe baza datelor de sondaj se abat de la cele normale, parametrii acestor repartiţii implică anumite modificări în metoda de prelucrare. Normalitatea datelor de sondaj se verifică cu ajutorul unor metode precise sau orientative în funcţie de scopul urmărit. Pentru obţinerea unor rezultate orientative se folosesc metode de verificare mai expeditive, care însă nu sunt atât de puternice în respingerea ipotezei când aceasta este falsă. 5.5.2.1 Testul momentelor centrate şi metoda 170

grafică O metodă orientativă o constituie testul momentelor centrate de ordinul trei şi patru. Reamintim că momentul centrat de ordinul k este definit de relaţia:

k (X ) 

1 n  ( xi  M ( X )) k ; M ( X )  media variabilei X. n i 1

Verificarea ipotezei despre concordanţa repartiţiei empirice cu cea normală presupune satisfacerea condiţiilor:

3  0;  4  3 22 (caracteristice repartiţiei normale). De exemplu, considerând distribuţia dată mai jos să se verifice,utilizând testul momentelor centrate, dacă repartiţia acestei variabile este sau nu normală: Interv. xi fi pi

0,15 0,10 5 0,05

[0,15;0,25) [0,25;0,35) [0,35;0,45) [0,45;0,55) [0,55;0,65) 0,65 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 10 20 30 15 15 5 0,10 0,20 0,30 0,15 0,15 0,05

Avem:

  f i  100 ; x  i i  0,405 ;  fi x f

2   2 

 ( xi  x) 2 f i  0,022475 ;  fi

( xi  x) 3 f i  3   0,000013  0 ;  fi

171

( xi  x) 4 f i  4   0,001241 ;  fi 3   22  0,001515 .

Observăm că 3   22   4 . Putem trage concluzia că variabila aleatoare X urmează o lege de repartiţie N (0,405; 0,022 ). O altă metodă expeditivă o constituie metoda diagramelor. Reprezentarea grafică prin intermediul histogramei oferă o imagine orientativă asupra normalităţii repartiţiei empirice. Considerând exemplul precedent şi reprezentând grafic, obţinem: fi

0,15 0,15 - 0,25 - 0,35 - 0,45 - 0,55 - 0,65 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65

172

Interv.

Se observă că histograma poate fi încadrată, aproximativ, într-un clopot al lui Gauss, sugerând o repartiţie normală.

5.5.2.2

Testul Kolmogorov normalităţii

pentru

verificarea

Unul dintre cele mai răspândite teste pentru analiza concordanţei dintre repartiţiile teoretice şi cele empirice este testul lui Kolmogorov. Se testează deci ipoteza: H 0 : variabila studiată are repartiţia teoretică presupusă ; cu alternativa H 1 : repartiţia empirică diferă semnificativ de cea teoretică.

Se bazează pe teorema lui Kolmogorov prin care se evaluează asimptotic diferenţa dintre funcţia empirică de repartiţie Fn (x) şi cea teoretică F (x ) a unei variabile aleatoare X. Kolmogorov a demonstrat că pentru o funcţie de repartiţie continuă F(x) există relaţia: lim P(sup Fn ( x)  F ( x) 

n 

unde: Fn ( xi ) 

 0 ;

x

 n

)  K ( )

i

 f k (frecvenţe relative cumulate);

k 1



K ( )    1k e  2 k



2 2

(funcţia lui Kolmogorov).



Se observă că statistica testului este distanţa maximă între funcţia empirică şi cea teoretică: 173

max Fn ( x)  F ( x)  D 

 n

,

de unde:

D n. Valorile funcţiei lui Kolmogorov sunt tabelate (Tabelul anexă nr.11). Deci, pentru un anumit prag de semnificaţie  ales, domeniul critic este definit de:    (caz în care ipoteza concordanţei între ipoteze se respinge); în cazul    ipoteza concordanţei între repartiţii se acceptă. Intervalul de încredere este dat de: Fn ( x)  D  F ( x)  Fn ( x)  D ,

iar regiunea critică de: F ( x)  Fn ( x)  D şi F ( x)  Fn ( x)  D . De exemplu, considerând repartiţia unui grup de persoane după înălţime dată în tabelul 2.2, să se verifice, utilizând testul lui Kolmogorov, dacă repartiţia acestei variabile este sau nu normală: Interv. [145;155) [155;165) [165;175) [175;185) [185;195) [195;205) (cm) xi 150 160 170 180 190 200 fi 6 12 36 30 24 12 pi 0,05 0,10 0,30 0,25 0,20 0,10

Alcătuim tabelul: Intervalul [145;155) [155;165) [165;175) [175;185) [185;195) [195;205)

pi 0,05 0,10 0,30 0,25 0,20 0,10

Fn(x) 0,05 0,15 0,45 0,70 0,90 1,00 174

F(x) 0,167 0,334 0,501 0,668 0,835 1,002

| Fn(x) - F(x | 0,117 0,184 0,051 0,032 0,065 0,002

Avem:

D  max Fn ( x)  F ( x)  0,184 ; rezultă:

  D n  0,184  10,95  2,01 . Din tabelul funcţiei lui Kolmogorov, pentru K ( )  0,95 obţinem   1,365 . Întrucât: calculat  2,01  1,365  0,95 , respingem cu o probabilitate de 95% ipoteza de normalitate a repartiţiei. 5.5.2.3 Testul X2 pentru verificarea normalităţii Testul cel mai răspândit pentru verificarea normalităţii sondajelor de volum mare este Testul lui Pearson (X2). Se testează deci ipoteza: H 0 : variabila studiată are o repartiţie normală; cu alternativa H 1 : repartiţia variabilei studiate diferă semnificativ de cea normală.

Se presupune că valorile de sondaj se împart în k intervale de clasă ( xi , xi 1 )   i , astfel ca numărul valorilor dintr-un astfel de interval să nu fie mai mic decât 5, iar numărul intervalelor să fie mai mare sau egal cu 5. Dacă ipoteza normalităţii este adevărată, atunci probabilitatea ca variabila aleatoare X să aparţină intervalului de grupare i este: pi  P( x   i )  F ( xi 1 )  F ( xi ) ; 175

F ( x)  P( X  x)  k

 pi

x

1

 2

e



(t  m ) 2 2 2

dt ;



1.

i 1

Dacă variabila aleatoare presupusă a fi normală este şi normată, atunci pentru calculul probabilităţii pi avem: pi  ( z i 1 )  ( z i ) ;

xi  x ; s (z )  funcţia lui Laplace. zi 

Ipoteza normalităţii este acceptată dacă: (ni  npi ) 2   2 ;h . npi i 1 k

2  

De exemplu, să considerăm că în urma unui sondaj de volum n  124 efectuat asupra unei anumite caracteristici, s-au obţinut următoarele rezultate: Interv. 1,2 (1,2;1,3] (1,3;1,4] (1,4;1,5] (1,5;1,6] (1,6;1,7] (1,7;1,8] (1,8;1,9] 1,9< xi 1,15 1,25 1,35 1,45 1,55 1,65 1,75 1,85 1,95 ni 11 14 17 17 18 16 13 10 8

Să se verifice folosind testul  2 , la un prag de semnificaţie   0,05 , ipoteza conform căreia respectiva caracteristică este o variabilă aleatoare X repartizată normal. Deoarece nu cunoaştem nici media şi nici dispersia variabilei aleatoare X, le vom estima cu ajutorul datelor de sondaj. Avem: 176

x

 xi ni  188,9  1,52 ; 124  ni

( x i  x ) 2 ni  s   0,05  s  0,23 .  ni 2

Pentru aplicarea testului  2 , alcătuim următorul tabel:

Interv. ni  1,2 (1,2;1,3] (1,3;1,4] (1,4;1,5] (1,5;1,6] (1,6;1,7] (1,7;1,8] (1,8;1,9] 1,9 <

11 14 17 17 18 16 13 10 8 124

xi 1,15 1,25 1,35 1,45 1,55 1,65 1,75 1,85 1,95

xi  x  xi  x   s  s   -1,61 -1,18 -0,75 -0,32 0,11 0,54 0,96 1,41 1,84

-0,4463 -0,1190 -0,2266 -0,3745 0,5438 0,7054 0,8315 0,9207 0,9671

pi

np i

0,0537 6,6588 0,0653 8,0972 0,1076 13,3424 0,1479 18,3396 0,1693 20,9932 0,1616 20,0384 0,1261 15,6364 0,0892 11,0608 0,0329 4,0796

(ni  np i ) 2 18,84602 34,84305 13,37804 1,794528 8,959246 16,30867 6,950605 1,125297 15,36954

(ni  npi ) 2 npi 2,830242 4,303098 1,002671 0,097850 0,426769 0,813871 0,444514 0,101737 3,767413 13,78817

Elementele pi, ţinând cont şi de ( z i )  ( z i ) , s-au obţinut cu ajutorul relaţiilor:

p1  P(  X  x1 )  F ( z1 ) 

1 1  ( z1 )   (1,61)  2 2

1  (1,61)  0,5  0,4463  0,0537 2 p k  P( xk 1  X  xk )  F ( z k )  F ( z k 1 )  1 1    ( z k )    ( z k 1 )   ( z k )   ( z k 1 ) , k  2,8 2 2 p9  P( x9  X  )  F ( z 9 )  1  ( z 9 )  0,0329 . 

177

Din ultima coloană a tabelului, găsim: 2  calculat

( ni  n  p i ) 2   13,78817 . n  pi i 1 9

Valoarea astfel determinată trebuie comparată cu valoarea teoretică  2nk 1; unde n reprezintă numărul de clase (intervale), iar k numărul parametrilor estimaţi. Deoarece am estimat doi parametri (m şi 2), iar numărul intervalelor este 9, obţinem din tabelele repartiţiei  2 valoarea teoretică  62;0,05  12,59 . 2  13,78817  12,59   62;0,05 , Întrucât  calculat ipoteza normalităţii repartiţiei.

5.5.2.4

Testul lui normalităţii

Massey

pentru

respingem

verificarea

Pentru verificarea normalităţii sondajelor de volum mic se utilizează testul Massey care presupune introducerea variabilei X x aleatoare normate Z  , urmând în continuare metodologia s indicată la testul lui Kolmogorov; se calculează diferenţele: Di  F ( z i ) 

1  ( zi ) , 2

iar domeniul critic este dat de: Dmax  Dn; , caz în care ipoteza normalităţii se respinge, acceptându-se în caz contrar (valorile Dn; sunt prezentate în tabelul 5.8).

178

Tabelul 5.8 Valorile critice Dn; pentru testul Massey n 8 9 10 11 12 13

 0,05 0,10 0,140 0,163 0,134 0,158 0,130 0,156 0,129 0,155 0,128 0,154 0,127 0,153

n 14 15 16 17 18 19



n

0,05 0,10 0,128 0,151 0,127 0,148 0,126 0,144 0,124 0,142 0,122 0,138 0,120 0,136

20 21 22 23 24 25

 0,05 0,10 0,117 0,133 0,115 0,131 0,113 0,129 0,112 0,128 0,110 0,126 0,109 0,124

n 26 27 28 29 30 32

 0,05 0,10 0,108 0,121 0,107 0,120 0,105 0,118 0,104 0,116 0,102 0,114 0,090 0,111

De exemplu, ştiind că notele obţinute de o grupă de studenţi la o anumită disciplină de examen sunt: 8, 9, 6, 4, 7, 6, 10, 9, 7, 8, 4, 10, 7, 6, 8, 5, 4, 7, 9, 6, 8, 6, 7, 4, 8, 6, 10, 7,

să se verifice normalitatea repartiţiei obţinute. După cum am văzut, testul Massey presupune introducerea X x variabilei aleatoare normate Z  . Pentru aceasta, s determinăm mai întâi media şi abaterea medie pătratică de sondaj. Avem:

  7;  f i  28 ; x  i i  28  fi ( xi  x) 2 f i 90  2 s    3,33  s  1,83 . 27  fi 1 x f

196

Teoretic, în fiecare din cele 7 grupe ar trebui să se afle câte 28  4 unităţi, deci frecvenţele relative teoretice ale fiecărei grupe 7 4  0,1429 . ar trebui să fie 28 Ţinem cont, de asemenea, că ( z i )  ( z i ) . De exemplu: 179

F (1,64) 

1 1   (1,64)  F (1,64)    (1,64)  2 2

 0,1429  0,5  0,44955  0,0924 ; F (0,55) 

1   (0,55)  0,7145  0,5  0,2088  0,0057 2

. Alcătuim tabelul:

xi 4 5 6 7 8 9 10

zi -1,64 -1,10 -0,55 0,00 0,55 1,10 1,64

F(zi) 0,1429 0,2858 0,4287 0,5716 0,7145 0,8574 1,0003

(zi) -0,4495 -0,3643 -0,2088 0 0,2088 0,3643 0,4495

|F(zi ) -1/2 - (zi)| 0,0924 0,1501 0,1375 0,0716 0,0057 0,0069 0,0508

Obţinem din tabel că Dmax = 0,1501. Din tabelul valorilor critice pentru testul Massey avem că D28;0,05 = 0,105. Deoarece Dmax = 0,1501 > 0,105 = D28;0,05 , respingem ipoteza normalităţii repartiţiei.

5.6 Teste pentru compararea mai multor indicatori 5.6.1 Testul t pentru verificarea egalităţii mai multor medii Constituie o extindere a verificării ipotezei privind egalitatea a două medii prezentat în paragraful 5.2.1.2. În acest caz, se verifică ipoteza: 180

H 0 : m1  m2  ...  mk ; cu alternativa H1 : cel puţin două medii diferite,

caz întâlnit în practică atunci când pentru a obţine informaţii asupra populaţiei statistice se utilizează mai multe sondaje de volum mic n. Şi în acest caz testul t poate fi folosit numai după verificarea egalităţii dispersiilor. Presupunând că avem k sondaje de volum n asupra variabilelor Xi care urmează o repartiţie N (m,  ) , verificarea ipotezei H 0 : m1  m2  ...  mk este echivalentă cu verificarea tuturor ipotezelor H ij0 : mi  m j , i  j , 1  i, j  k , ipoteze ce se verifică folosind o statistică repartizată după legea Student cu h  ni  n j  2 grade de libertate. Considerând ni  n j  n , ipoteza H ij0 : mi  m j se acceptă dacă: xi  x j  t

s i2  s 2j



1 ;h 2

n

,

iar dacă s este o estimaţie nedeplasată pentru , obţinem: xi  x j  t



1 ;h 2

s

2 . n

Deoarece ipoteza H0 este echivalentă cu mulţimea tuturor ipotezelor H ij0 , intervalul de încredere pentru H0 va fi dat de intersecţia celor C k2 intervale de încredere pentru ipotezele H ij0 . Cu alte cuvinte, acceptăm ipoteza H0 dacă:

181

  xi  x j  sup  2 1i , j  k  s  n

   t  ,  1 2 ;h 

relaţie echivalentă cu:

q

xmax  xmin

t  . 1 ;h 2 2 s n Această ultimă formă a testului t este cunoscută sub numele de testul q al lui Tukey.

5.6.2 Testul Link-Wallace pentru compararea a k medii Acest test este utilizat pentru verificare ipotezei egalităţii mai multor medii obţinute din k eşantioane de volume egale n. Se testează deci ipoteza: H 0 : m1  m2  ...  mk cu alternativa H 1 : cel puţin două medii diferite.

Aplicarea testului presupune parcurgere următorilor paşi: a) se determină amplitudinea absolută a fiecărui eşantion în parte: i i ; Ai  xmax  xmin

b) se calculează suma celor k amplitudini:

182

k

A   Ai ; i 1

c) se determină media fiecărui eşantion: n

xj x

j 1

; n d) se determină amplitudinea mediilor:

Amed  x max  x min ; e) se calculează statistica:

L

n  Am ed . A

Se compară valoarea L astfel calculată cu valoarea tabelară Ln;k corespunzătoare volumului eşantioanelor n şi numărului k al gradelor de libertate (tabelul nr.5.9). În cazul în care valoarea L obţinută este mai mică decât cea tabelară, se acceptă ipoteza egalităţii celor k medii, respingându-se această ipoteză în caz contrar. Tabelul 5.9 Valorile critice pentru testul Link-Wallace (   0,05 ) n/k 2 3 4 5 6 7 8 5-9 1,50 1,18 0,96 0,81 0,70 0,61 0,55 10 1,52 1,20 0,98 0,83 0,72 0,63 0,57 15 1,62 1,28 1,05 0,89 0,77 0,68 0,61 20 1,72 1,36 1,12 0,95 0,82 0,73 0,65 30 1,92 1,52 1,24 1,05 0,91 0,81 0,73 40 2,08 1,66 1,35 1,14 0,99 0,88 0,79 50 2,23 1,77 1,45 1,22 1,06 0,94 0,85 100 2,81 2,23 1,83 1,55 1,34 1,19 1,07 200 3,61 2,88 2,35 1,99 1,73 1,53 1,38 500 5,15 4,10 3,35 2,84 2,47 2,19 1,97 183

De exemplu, să presupunem că rezultatele obţinute de 5 grupe de câte 10 elevi din clase diferite la un concurs sunt următoarele: I: II: III: IV: V:

7,00 6,00 8,00 6,50 6,00 7,00 9,0010,00 8,00 9,50

7,00 5,00 7,50 6,50 8,50

8,00 9,00 9,50 8,00 8,00

5,50 8,00 8,50 7,00 7,00

7,50 7,00 6,50 8,00 8,00

9,00 8,00 7,00 9,00 9,00

9,50 6,50 9,00 8,00 7,00

6,00 8,00 9,50 9,00 8,00 8,00 9,50 7,00 9,50 7,00

Să se verifice cu ajutorul testului Link-Wallace ipoteza omogenităţii mediilor. Obţinem: a) A1  4 ;

A2  4,5 ;

A3  3,5 ;

A4  3,5 ;

A5  2,5 ;

5

b) A   Ai  18 i 1

c) x1  7,35 ; x 2  7,65 ; x 3  7,70 ; x 4  8,20 ; x 5  8,15 ; d) Amed  x max  x min  8,20  7,35  0,85 ; e) L 

n  Amed 10  0,85 8,5    0,47 . A 18 18

Comparând: L  0,47  0,83  L10;5

item, cu o probabilitate de 95% ipoteza egalităţii celor 5 medii.

184

5.6.3 Testul X2 pentru compararea a k proporţii În anumite situaţii intervine necesitatea comparării mai multor proporţii obţinute din mai multe eşantioane, adică testarea ipotezei: H 0 : p1  p 2  ...  p k  p ; cu alternativa H 1 : cel puţin două proporţii diferă.

Pentru rezolvarea acestei probleme se utilizează testul Χ2. Se parcurg următorii paşi: a) se determină pentru fiecare eşantion în parte proporţiile pi 

xi favorabil ni



nr. cazuri favorabile ; nr. total cazuri

b) se calculează k

p

 xi favorabil i 1

k

;

 ni i 1

c) se determină 2 

k 1  ni ( p i  p ) 2 . p  (1  p) i 1

În cazul în care valoarea Χ2 calculată este mai mică decât valoarea  2k 1; tabelară (Tabelul anexă nr.8) corespunzătoare numărului k  1 al gradelor de libertate şi nivelului de semnificaţie  ales, se acceptă ipoteza egalităţii proporţiilor, respingându-se această ipoteză în caz contrar. 185

De exemplu, să presupunem că, în cinci zone diferite ale ţării, se organizează un sondaj privind politica guvernului într-o anumită problemă, întrebarea fiind una singură şi anume: „Sunteţi de acord cu această politică? (DA/NU)”. Rezultatele sunt prezentate în tabelul de mai jos:

xi (DA) ni

1 142 200

2 120 150

Regiunea 3 156 170

4 94 125

5 78 100

Să se aprecieze la un nivel de semnificaţie   0,05 (  24;0,05  9,49 ) dacă proporţiile diferă semnificativ sau nu.

a)

Obţinem: 142 120 156 p1   0,71; p 2   0,80 ; p3   0,92 ; 200 150 170 94 78 p4   0,75 ; p5   0,78 ; 125 100 5

b) p 

 xi favorabil i 1

5

 ni



142  120  156  94  78 590   0,79 ; 200  150  170  125  100 745

i 1

c)  2 

5 1  ni ( pi  p) 2  25,80984 . p  (1  p) i 1

Deoarece  2  25,80984  9,49   24;0,05 , respingem ipoteza egalităţii celor 5 proporţii. După cum se observă, proporţia corespunzătoare regiunii 3 este cea mai depărtată de proporţia medie. Să vedem, dacă renunţând la ea, celelalte 4 proporţii sunt sau nu omogene 186

(  32;0 ,05  7,82 ). 4

b) p 

 xi favorabil i 1

4



 ni

142  120  94  78 434   0,75 ; 200  150  125  100 575

i 1

c)  2 

4 1  ni ( pi  p) 2  4,1729173 . p  (1  p) i 1

Deoarece  2  4,1729173  7,82   32;0,05 , acceptăm această dată ipoteza egalităţii celor 4 proporţii rămase.

de

5.6.4 Testul Bartlett pentru compararea a k dispersii În practică apar deseori situaţii în care nu se pot efectua decât sondaje de volum mic, lucru care implică estimarea dispersiei populaţiei statistice pe baza mai multor dispersii de sondaj. În cazul în care s-au efectuat k sondaje şi dispersiile s1 , s 2 ,..., s k sunt omogene, putem trage concluzia că acestea constituie estimaţii ale uneia şi aceleiaşi dispersii teoretice. În acest caz dispersia 2 necunoscută a populaţiei statistice se poate estima cu ajutorul funcţiei de sondaj:

s2 

1 k

k

 (ni  1)si2 ,

 (ni  1) i 1 i 1

sau: s2 

1 k 2  si k i 1

în cazul în care sondajele sunt de volume egale. 187

Pentru verificarea omogenităţii dispersiilor de sondaj se utilizează testul lui Bartlett. Acesta a demonstrat că variabila aleatoare: 1 k s2  2   (ni  1) ln 2 C i 1 si unde:   k  1  1 1  C  1    3(k  1)  i 1 ni  1 k  (ni  1)   i 1   urmează aproximativ o lege de repartiţie Χ2 cu k  1 grade de libertate. Transformând logaritmii naturali în logaritmi zecimali, variabila se mai poate scrie: 2 

k 2,30259  k    (ni  1) lg s 2   (ni  1) lg si2  . C i 1  i 1 

Nivelul de semnificaţie  fiind ales, corespunzător numărului gradelor de libertate k  1 , putem scrie: P(  2  2 ;k 1 )  1   .

Dacă  2   2 ;k 1 , ipoteza H0 a omogenităţii celor k dispersii se acceptă, deci dispersia 2 se poate estima prin s2, iar dacă  2   2 ;k 1 ipoteza omogenităţii dispersiilor se respinge. (Exemplul de aplicare a acestui test va fi prezentat după expunerea testelor lui Cochran şi al lui Hartley, întrucât ele se succed logic) 188

5.6.5 Testul Cochran pentru eliminarea dispersiilor aberante Este o urmare logică a testului lui Bartlett în cazul în care s-a verificat ipoteza omogenităţii celor k dispersii şi s-a ajuns la concluzia că acestea nu sunt omogene. Aceasta înseamnă că nu se poate estima dispersia generală pe baza celor k dispersii de sondaj, unele dintre acestea diferind de celelalte. Testul lui Cochran permite depistarea şi eliminarea dispersiilor care diferă semnificativ de celelalte. Acest test se bazează pe repartiţia variabilei aleatoare: g

max si2 s12  s 22  ...  s k2



max si2 k



j 1

,1 i  k ,

s 2j

pentru care s-au alcătuit tabele cu valorile critice g, funcţie de nivelul de semnificaţie  ales, numărul k al sondajelor şi numărul gradelor de libertate n  1 , unde sondajele se consideră de volume egale n (Tabelul anexă nr.12 ). Dacă g  g , se consideră că dispersia maximă are o valoare mare datorită întâmplării, ea reprezentând o estimaţie a dispersiei 2 şi se poate utiliza în calculul lui s2. Dacă g  g , valoarea mare a dispersiei maxime nu poate fi pusă pe seama întâmplării, ea diferă semnificativ de celelalte k  1 dispersii şi nu va fi utilizată în calculul lui s2.

5.6.6 Testul Hartley pentru eliminarea dispersiilor aberante Şi acest test urmează logic logică testului lui Bartlett, fiind o alternativă pentru testul lui Cochran. Testul se bazează pe repartiţia variabilei aleatoare:

189

h

max si2

,1 i  k

min si2

pentru care s-au alcătuit tabele cu valorile critice h, funcţie de nivelul de semnificaţie  ales, numărul k al sondajelor şi numărul gradelor de libertate n  1 , unde sondajele se consideră de volume egale n (Tabelul anexă nr.13 ). De exemplu, pentru încadrarea unui nou produs lansat pe piaţă într-un clasament al produselor similare, 10 persoane, cunoscătoare ale produsului, sunt rugate să completeze un formular în care să aprecieze, prin note de la 1 la 5, cele 8 caracteristici supuse studiului, ale produsului. Aprecierile sunt prezentate mai jos.

Persoana 1 Persoana 2 Persoana 3 Persoana 4 Persoana 5 Persoana 6 Persoana 7 Persoana 8 Persoana 9 Persoana 10

I

II

III

1 2 1 5 2 3 1 2 2 4

2 4 3 2 4 1 3 3 2 3

4 3 3 2 1 2 2 2 1 5

Caracteristici IV V VI 5 4 4 2 3 4 2 5 4 2

4 3 4 4 5 2 5 3 4 1

3 4 5 4 3 3 3 5 3 4

VII VIII 1 2 3 4 3 5 4 2 5 2

2 1 2 3 2 2 2 4 2 2

Se cere, la un nivel de semnificaţie   0,05 , să se estimeze aprecierea medie asupra produsului, precum şi dispersia corespunzătoare. Pe baza notelor acordate, determinăm pentru fiecare persoană media şi dispersia de sondaj: xi 





2 1 1  xi ; si2   xi  x . n n 1

190

Obţinem:

Persoana 1 Persoana 2 Persoana 3 Persoana 4 Persoana 5 Persoana 6 Persoana 7 Persoana 8 Persoana 9 Persoana 10

media 2,75 2,875 3,125 3,25 2,875 2,75 2,75 3,25 2,875 2,875

dispersia 0,4028 0,4757 0,6424 0,3472 0,1701 0,0694 0,4028 0,2361 0,1701 0,2257

Pentru a vedea dacă cele 10 dispersii sunt omogene, utilizăm testul lui Bartlett. Obţinem: 1  si2  0,3142 10    10  1 1 1    1  1  10  1   1,0407 C  1  10   3(10  1)  i 1 10  1 27  9 90   (10  1)   i 1   s2 

2 

1  10 0,3142  7 10 0,3142 ( 8  1 ) ln    ln 2  10,9473 1,0407  i 1 si2  1,0407 i 1 si

Deoarece Χ 2  10,9473  16,92  Χ 02,05;9 , acceptăm cu o probabilitate de 95% ipoteza omogenităţii celor 10 dispersii. Pentru a vedea dacă eliminăm dispersii, utilizăm testul lui Cochran; avem: max si2 0,6424 g 2   0,2044 . 2 2 s1  s 2  ...  s k 3,1424 191

Deoarece: g  0,2044  0,2666  g10;7;0 ,95 ,

rezultă că dispersia maximă (a treia) nu se elimină din şirul dispersiilor. În acelaşi scop (pentru a vedea dacă eliminăm dispersii), puteam utiliza testul lui Hartley; avem:

h

max si2 min

si2



0,6424  9,25 . 0,0694

Deoarece: h  9,25  14,3  h10;7;0 ,95 ,

rezultă şi prin acest test că dispersia maximă nu se elimină. În aceste condiţii, dispersia populaţiei se estimează prin media aritmetică a celor patru dispersii, adică: s2 

1  si2  0,3142 . 10

Pentru a verifica egalitatea mediilor folosim testul t. Intervalul de încredere este dat de: xi  x j sup

2 s n

t



1 ;h 2

unde: h  ni  n j  2 .

Obţinem: 192

,

xi  x j sup

Deoarece

2 s n



0,50 2 0,3142  8

t  1,784  2,262  t

1

 1,784 .

0 ,05 ;14 2

acceptăm

cu

o

probabilitate de 95% ipoteza conform căreia mediile sunt egale. În aceste condiţii, estimaţia pentru media populaţiei generale se obţine ca o medie aritmetică a mediilor de sondaj, adică: x

1  x i  2,9375 . 10

Cu alte cuvinte, punctajul mediu obţinut de produsul nou lansat va fi, cu o probabilitate de 95%, de 2,9375 puncte, din maxim 5 posibile. 5.7 Teste pentru compararea mai multor eşantioane

5.7.1 Testul U (Mann-Whitney) pentru compararea mai multor eşantioane Acest test este utilizat pentru verificarea ipotezei conform căreia mai multe eşantioane provin din aceeaşi populaţie, deci distribuţiile lor sunt omogene, iar valorile parametrilor acestor distribuţii coincid, indiferent care sunt acestea. Unica restricţie care se impune în acest test, bazându-se pe o statistică X2, este aceea ca fiecare dintre cele k eşantioane să aibă cel puţin cinci subiecţi. Se testează deci ipoteza: H 0 : cele k eşantioane sunt omogene; 193

cu alternativa H 1 : cel puţin două eşantioane diferă semnificativ. În aplicarea testului se parcurg următorii paşi: a) se reunesc toate valorile într-o singură mulţime şi se atribuie ranguri corespunzătoare fiecărei valori (reamintim că dacă o valoare se repetă o dată sau de mai multe ori, acesteia i se atribuie drept rang media rangurilor corespunzătoare); b) se calculează suma rangurilor corespunzătoare fiecărui eşantion; c) se calculează suma totală a rangurilor şi se compară cu n(n  1) pentru verificarea corectitudinii calculelor; 2 d) se determină statistica: 2 

R2 12  i  3( N  1) N ( N  1) ni

unde: N = numărul total de valori; ni = numărul elementelor din grupa i; Ri = totalul rangurilor din grupa i. Valoarea X2 astfel calculată se compară cu valoarea  2k 1; tabelară (Tabelul anexă nr.8) corespunzătoare numărului k  1 al gradelor de libertate (k fiind numărul eşantioanelor) şi nivelului de semnificaţie  ales. În cazul în care această valoare calculată este mai mică decât cea tabelară se acceptă ipoteza conform căreia distribuţiile nu diferă semnificativ, respingându-se această ipoteză în cazul în care valoarea calculată o depăşeşte pe cea tabelară. De exemplu, să presupunem că patru grupe de subiecţi au obţinut următoarele rezultate la o anumită probă: 194

Grupa 1 Grupa 2 Grupa 3 Grupa 4 6 10 8 7 7 9 9 9 4 9 6 6 8 4 10 9 9 5 5 10 6 8 7 6

Avem: a) reunim toate valorile într-o singură mulţime şi le acordăm ranguri după cum urmează: Valori Poziţie în şir Ranguri

4 4 5 5 6 1 2 3 4 5 1,5 1,5 3,5 3,5 7

6 6 7

6 7 7

6 8 7

6 9 7

7 7 7 10 11 12 11 11 11

Valori Poziţie în şir Ranguri

8 8 8 9 9 9 9 9 9 10 10 10 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14 14 14 18,5 18,5 18,5 18,5 18,5 18,5 23 23 23

b)

Ri

Ri2

Grupa 1 Grupa 2 Grupa 3 Grupa 4 (Ranguri) (Ranguri) (Ranguri) (Ranguri) 7 23 14 11 11 18,5 18,5 18,5 1,5 18,5 7 7 14 1,5 23 18,5 18,5 3,5 3,5 23 7 14 11 7 52 72 87 89 2704

5184

c) avem:

195

7569

7921

 Ri

 52  72  87  89  300 

24  25 n(n  1)  , 2 2

deci calculele sunt corecte; d) calculăm: 2 

Ri2 12   3( N  1)  N ( N  1) ni

12  2704 5184 7569 7921        3(24  1)  24  25  5 6 7 6   0,02  3806,2524  3  25  1,125 

Din tabelul anexă nr.8, pentru un nivel de semnificaţie   0,05 şi k  4  1  3 grade de libertate, avem  32;0,05  7,82 . Deoarece 1,125   2   32;0,05  7,82 , acceptăm cu o probabilitate de 95% ipoteza că cele patru distribuţii nu diferă semnificativ.

5.7.2

Testul Friedman pentru rezultatelor aceluiaşi grup

compararea

Este o particularizare a testului Mann-Whitney, în sensul că este utilizat atunci când se compară rezultatele obţinute de acelaşi grup. Se bazează tot pe o statistică X2, ca şi testul Mann-Whitney, care, de această dată, ţinând cont de faptul că este vorba de unul şi acelaşi eşantion, are forma: 2 

12  Ri2  3  n  (k  1) n  k  (k  1)

unde: n = numărul subiecţilor; k = numărul eşantioanelor; Ri2 = pătratul sumei rangurilor din eşantionul i. 196

Aplicarea testului presupune acelaşi algoritm ca şi în cazul testului Mann-Whitney, cu deosebirea că în acest caz se acordă ranguri în cadrul fiecărei linii. De exemplu, să presupunem că o grupă de 10 subiecţi a obţinut la cinci probe următoarele rezultate la o anumită probă: Proba 1 6 7 4 8 9 7 10 8 6 10

Proba 2 10 9 9 4 5 6 5 7 8 4

Proba 3 8 9 6 10 5 8 6 4 9 6

Proba 4 7 9 6 4 10 7 6 9 10 9

Proba 5 7 9 4 10 7 9 6 8 10 5

Avem: a) acordăm ranguri fiecărui subiect, pe linie, după cum urmează: b)

Ri

Ri2

Proba 1 Proba 2 Proba 3 Proba 4 Proba 5 (Ranguri) (Ranguri) (Ranguri) (Ranguri) (Ranguri) 1 5 4 2,5 2,5 1 3,5 3,5 3,5 3,5 1,5 5 3,5 3,5 1,5 3 1,5 4,5 1,5 4,5 4 1,5 1,5 5 3 2,5 1 4 2,5 5 5 1 3 3 3 3,5 2 1 5 3,5 1 2 3 4,5 4,5 5 1 3 4 2 27,5 23,5 31 35 33 756,25

552,25

961 197

1225

1089

b) de această dată, suma rangurilor pe fiecare linie trebuie să fie:

 Ri



k (k  1)  15 2

lucru care se verifică uşor, deci calculele sunt corecte; c) calculăm: 12  Ri2  3  n  (k  1) n  k  (k  1) 12   (756,25  552,25  961  1225  1089)  3  10  6  10  5  6  3,34 2 

Din tabelul anexă nr.8, pentru un nivel de semnificaţie   0,05 şi k  5  1  4 grade de libertate, avem  24;0,05  9,49 . Deoarece 3,34   2   24;0,05  9,49 , acceptăm cu o probabilitate de 95% ipoteza că cele cinci distribuţii nu diferă semnificativ.

5.7.3 Testul Cochran pentru compararea mai multor eşantioane Se bazează tot pe o statistică X2 şi este utilizat în cazul în care variabila luată în considerare este dihotomică sau poate fi dihotomizată. Dihotomizarea unei variabile se poate face prin alocarea semnului „+” acelei valori a variabilei care depăşeşte un anumit nivel de referinţă ales (de obicei, mediana) sau a semnului „ – ” în cazul în care acea valoare este mai mică decât nivelul de referinţă ales. În cazul variabilei dihotomice, semnul „+” va semnala 198

prezenţa fenomenului (is, promovat, prezent, răspuns afirmativ etc.), iar semnul „–” va semnala absenţa fenomenului (respins, nepromovat, absent, răspuns negativ etc.). Se testează deci ipoteza: H 0 : cele k eşantioane sunt omogene; cu alternativa H 1 : cel puţin două eşantioane diferă semnificativ.

Pentru aplicarea testului se calculează statistica:

  (k  1) 2

k   C 2j  T 2 k  T   L2i

unde: C j = totalul semnelor „+” pentru coloana j;

Li = totalul semnelor „+” pentru linia i; T = totalul general al semnelor „+”; k = numărul probelor (coloanelor).

Valoarea X2 astfel calculată se compară cu valoarea  2k 1; tabelară (Tabelul anexă nr.8) corespunzătoare numărului k  1 al gradelor de libertate (k fiind numărul probelor) şi nivelului de semnificaţie  ales. În cazul în care această valoare calculată este mai mică decât cea tabelară se acceptă ipoteza conform căreia distribuţiile nu diferă, respingându-se în caz contrar. De exemplu, să presupunem că un grup de 15 candidaţi a răspuns la 7 teste. Se cere verificarea ipotezei potrivit căreia răspunsurile nu diferă semnificativ între testele analizate, rezultatele fiind apreciate prin is/respins.

199

Cand. Test1 Test2 Test3 Test4 Test5 Test6 Test7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Cj C 2j

Li

L2i 16 16 25 25 36 25 1 36 9 16 36 4 9 36 9 299

+ – + – + + – + – + + + – + – 9

+ + – + + – – + + + + – + + + 11

– + + + + + – + – – + – – + + 9

+ – + + – + + + + – + – – + – 9

– – + – + + – + – – + – + – – 6

– + + + + + – – + + + – – + + 10

+ + – + + – – + – + – + + + – 9

4 4 5 5 6 5 1 6 3 4 6 2 3 6 3 63

81

121

81

81

36

100

81

581

Avem:

 C 2j  581 ;  L2i  299 ; T 2  632  3969 . Înlocuind, obţinem:

  (k  1) 2

k   C 2j  T 2 k T  

L2i

 (7  1)

7  581  3969 98  5  3,45 7  63  299 142

Din tabelul anexă nr.8, pentru un nivel de semnificaţie   0,05 şi k  7  1  6 grade de libertate, avem  62;0,05  12,59 . Deoarece 3,45   2   62;0,05  12,59 , acceptăm cu o probabilitate de 95% ipoteza conform căreia răspunsurile nu diferă semnificativ între testele analizate. 200

Tabelul anexă nr.1 Valorile critice ale coeficientului de corelaţie r

n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35

Pragul de semnificaţie pentru testul unilateral 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 Pragul de semnificaţie pentru testul bilateral 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 0,9877 0,9969 0,9995 0,9999 1,0000 0,9000 0,9500 0,9800 0,9900 0,9990 0,8054 0,8783 0,9343 0,9587 0,9912 0,7293 0,8114 0,8822 0,9172 0,9741 0,6694 0,7545 0,8329 0,8745 0,9507 0,6215 0,7067 0,7887 0,8343 0,9249 0,5822 0,6664 0,7498 0,7977 0,8982 0,5494 0,6319 0,7155 0,7646 0,8721 0,5214 0,6021 0,6851 0,7348 0,8471 0,4973 0,5760 0,6581 0,7079 0,8233 0,4762 0,5529 0,6339 0,6835 0,8010 0,4575 0,5324 0,6120 0,6614 0,7800 0,4409 0,5139 0,5923 0,6411 0,7603 0,4259 0,4973 0,5742 0,6226 0,7420 0,4124 0,4821 0,5577 0,6055 0,7246 0,4000 0,4683 0,5425 0,5897 0,7084 0,3887 0,4555 0,5285 0,5751 0,6932 0,3783 0,4438 0,5155 0,5614 0,6787 0,3687 0,4329 0,5034 0,5487 0,6652 0,3598 0,4227 0,4921 0,5368 0,6524 0,3520 0,4130 0,4820 0,5260 0,6414 0,3440 0,4040 0,4720 0,5150 0,6304 0,3370 0,3960 0,4620 0,5050 0,6194 0,3330 0,3880 0,4530 0,4960 0,6084 0,3233 0,3809 0,4451 0,4869 0,5974 0,3170 0,3740 0,4370 0,4790 0,5887 0,3110 0,3670 0,4300 0,4710 0,5801 0,3060 0,3610 0,4230 0,4630 0,5714 0,3010 0,3550 0,4160 0,4560 0,5628 0,2960 0,3494 0,4093 0,4487 0,5541 0,2746 0,3246 0,3810 0,4182 0,5189 201

Tabelul anexă nr.1 (continuare) Valorile critice ale coeficientului de corelaţie r

n2 40 45 50 60 70 80 90 100

Pragul de semnificaţie pentru testul unilateral 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 Pragul de semnificaţie pentru testul bilateral 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 0,2573 0,3044 0,3578 0,3932 0,4896 0,2428 0,2875 0,3384 0,3721 0,4648 0,2306 0,2732 0,3218 0,3541 0,4433 0,2108 0,2500 0,2948 0,3248 0,4078 0,1954 0,2319 0,2737 0,3017 0,3799 0,1829 0,2172 0,2565 0,2830 0,3568 0,1726 0,2050 0,2422 0,2673 0,3375 0,1638 0,1946 0,2301 0,2540 0,3211

Observaţie: pentru a fi semnificativă valoarea obţinută trebuie să fie mai mare sau egală cu valoarea corespondentă din tabel.

202

Tabelul anexă nr.2 Valori pentru calculul coeficienţilor de corelaţie biserial şi triserial

p sau q

pq y

y p

p sau q

pq y

y p

0,350 0,351 0,352 0,353 0,354 0,355 0,356 0,357 0,358 0,359 0,360 0,361 0,362 0,363 0,364 0,365 0,366 0,367 0,368 0,369 0,370 0,371 0,372 0,373 0,374 0,375 0,376 0,377 0,378 0,379 0,380 0,381

0,6142 0,6144 0,6145 0,6147 0,6149 0,6151 0,6152 0,6154 0,6155 0,6157 0,6158 0,6160 0,6162 0,6163 0,6165 0,6166 0,6168 0,6169 0,6171 0,6172 0,6174 0,6175 0,6177 0,6178 0,6179 0,6181 0,6182 0,6184 0,6185 0,6186 0,6188 0,6189

1,0583 1,0564 1,0544 1,0525 1,0506 1,0487 1,0468 1,0449 1,0430 1,0411 1,0392 1,0373 1,0354 1,0336 1,0317 1,0298 1,0279 1,0261 1,0242 1,0223 1,0205 1,0186 1,0167 1,0149 1,0130 1,0112 1,0093 1,0075 1,0057 1,0038 1,0020 1,0002

0,426 0,427 0,428 0,429 0,430 0,431 0,432 0,433 0,434 0,435 0,436 0,437 0,438 0,439 0,440 0,441 0,442 0,443 0,444 0,445 0,446 0,447 0,448 0,449 0,450 0,451 0,452 0,453 0,454 0,455 0,456 0,457

0,6237 0,6238 0,6239 0,6239 0,6240 0,6241 0,6242 0,6242 0,6243 0,6244 0,6244 0,6245 0,6246 0,6246 0,6247 0,6248 0,6248 0,6249 0,6250 0,6250 0,6251 0,6251 0,6252 0,6253 0,6253 0,6254 0,6254 0,6255 0,6255 0,6256 0,6256 0,6257

0,9203 0,9186 0,9169 0,9152 0,9134 0,9117 0,9100 0,9083 0,9066 0,9049 0,9032 0,9015 0,8998 0,8981 0,8964 0,8947 0,8930 0,8913 0,8896 0,8880 0,8863 0,8846 0,8829 0,8813 0,8796 0,8779 0,8762 0,8746 0,8729 0,8712 0,8695 0,8679

203

Tabelul anexă nr.2 (continuare) Valori pentru calculul coeficienţilor de corelaţie biserial şi triserial

p sau q

pq y

y p

p sau q

pq y

y p

0,382 0,383 0,384 0,385 0,386 0,387 0,388 0,389 0,390 0,391 0,392 0,393 0,394 0,395 0,396 0,397 0,398 0,399 0,400 0,401 0,402 0,403 0,404 0,405 0,406 0,407 0,408 0,409 0,410 0,411 0,412 0,413

0,6190 0,6192 0,6193 0,6194 0,6196 0,6197 0,6198 0,6199 0,6200 0,6202 0,6203 0,6204 0,6205 0,6206 0,6208 0,6209 0,6210 0,6211 0,6212 0,6213 0,6214 0,6215 0,6216 0,6218 0,6219 0,6220 0,6221 0,6222 0,6223 0,6224 0,6225 0,6225

0,9983 0,9965 0,9947 0,9929 0,9910 0,9892 0,9874 0,9856 0,9838 0,9820 0,9802 0,9784 0,9766 0,9748 0,9730 0,9712 0,9694 0,9676 0,9659 0,9644 0,9623 0,9605 0,9587 0,9570 0,9552 0,9534 0,9517 0,9499 0,9482 0,9464 0,9446 0,9429

0,458 0,459 0,460 0,461 0,462 0,463 0,464 0,465 0,466 0,467 0,468 0,469 0,470 0,471 0,472 0,473 0,474 0,475 0,476 0,477 0,478 0,479 0,480 0,481 0,482 0,483 0,484 0,485 0,486 0,487 0,488 0,489

0,6257 0,6258 0,6258 0,6258 0,6259 0,6259 0,6260 0,6260 0,6260 0,6261 0,6261 0,6261 0,6262 0,6262 0,6262 0,6263 0,6263 0,6263 0,6263 0,6264 0,6264 0,6264 0,6264 0,6265 0,6265 0,6265 0,6265 0,6265 0,6266 0,6266 0,6266 0,6266

0,8662 0,8646 0,8629 0,8612 0,8596 0,8579 0,8563 0,8546 0,8530 0,8513 0,8497 0,8480 0,8464 0,8448 0,8431 0,8415 0,8399 0,8382 0,8366 0,8350 0,8333 0,8317 0,8301 0,8285 0,8268 0,8252 0,8236 0,8220 0,8204 0,8188 0,8171 0,8155

204

Tabelul anexă nr.2 (continuare) Valori pentru calculul coeficienţilor de corelaţie biserial şi triserial p sau q

pq y

y p

0,414 0,415 0,416 0,417 0,418 0,419 0,420 0,421 0,422 0,423 0,424 0,425

0,6226 0,6227 0,6228 0,6229 0,6230 0,6231 0,6233 0,6233 0,6234 0,6234 0,6235 0,6236

0,9411 0,9394 0,9376 0,9359 0,9342 0,9324 0,9307 0,9290 0,9272 0,9255 0,9238 0,9221

p sau q

pq y

y p

0,490 0,491 0,492 0,493 0,494 0,495 0,496 0,497 0,498 0,499 0,500

0,6266 0,6266 0,6266 0,6266 0,6266 0,6266 0,6266 0,6266 0,6267 0,6267 0,6267

0,8139 0,8123 0,8107 0,8091 0,8075 0,8059 0,8043 0,8027 0,8011 0,7995 0,7979

205

Tabelul anexă nr.3 Secvenţă de 500 de numere aleatoare din intervalul 0 - 10000 8240 5329 168 9280 1624 805 4274 3104 5609 7014 6451 8232 5386 1164 6528 242 6637 3633 74 4717 8283 1083 8625 9902 5984 6677 2986 8501 7116 3850 684 7394 1935 7240 6912 8938 9601 9128 8074 3040 9977 2295 41 2119 4505 5200 8893 3000 6933 8552

8496 6794 8834 1465 7561 9277 9108 2423 1804 5328 1383 3108 7846 8836 6553 2715 9795 9335 3584 4410 3191 6561 4254 7027 5375 6792 1051 4671 9194 362 3642 3210 6976 2631 5207 9267 6261 1213 974 2691 7833 8909 6476 4514 4563 860 8859 5181 2376 5680

2732 7892 6859 8914 4668 328 2990 254 9429 7638 3037 7800 2907 9604 5007 4592 9126 2831 3191 2744 4593 3426 3916 2277 7696 5596 5241 7364 5848 2030 6274 9341 9747 6405 6611 3611 7841 4627 6673 9604 868 8270 3384 5476 972 8366 1004 5515 7743 9351

2774 4481 7127 4016 4726 2083 2644 686 1274 9612 8345 9936 3546 2574 8521 4497 2259 8981 6799 7206 9758 7248 1541 5776 5914 9637 6885 6181 9919 7279 1792 7321 2074 4420 4008 4357 6121 7495 1893 7868 1873 6044 7696 2631 6709 6824 1959 2627 661 4428

9093 5632 8586 9479 1128 725 5077 9225 7207 2317 1241 2151 7792 2099 9947 2160 4215 9612 7125 9353 6319 5398 95 2814 8824 4611 3059 9481 8047 3527 8382 3541 4428 5746 6346 4215 4496 6001 3642 2989 716 3301 3346 8616 9802 587 4577 6246 6152 2734

7677 8004 8124 7712 5753 4870 9454 2166 1055 6598 4535 1468 5592 2149 233 7786 4284 7885 3576 4189 9141 1435 3449 3223 7926 9740 8470 3757 7546 1561 1073 8618 2798 7044 513 5592 4843 8758 1086 1262 1224 883 3145 452 200 3626 9804 6580 3506 7433

6908 218 2443 193 5841 9937 8975 5972 7472 7448 1790 8667 5698 690 298 1439 2895 2676 4124 9541 7205 9469 8260 751 4302 2147 7323 3014 3277 9913 3615 6772 5563 6934 3210 9968 4404 1189 7423 9151 8052 3783 654 8921 6654 3905 8561 3690 3153 7400

Tabelul anexă nr.4 206

4432 7234 9934 6849 869 2529 2745 6647 8818 8387 9196 7664 2532 4055 2905 2406 8499 2949 7181 5434 474 8545 5841 2435 5487 1230 5203 8140 4527 9233 355 5203 372 376 2830 7268 2655 9894 1760 2657 3558 5522 2063 7938 3585 7759 3609 6864 3542 1598

4040 4724 2553 5429 9426 4805 7656 9109 2034 5832 7443 4886 3066 1323 4540 8581 4437 2129 3470 3465 6776 7013 4039 7980 2348 3037 946 6283 1882 6665 8109 3465 1016 3042 1328 5243 8184 7034 987 6701 4684 2519 8064 3928 7967 4265 1435 3996 8015 3455

2542 3450 7696 879 6085 8858 256 6568 5514 3481 3599 8641 3696 8691 7282 5835 5818 2482 7909 6176 8672 6907 9110 9132 5954 4643 8514 226 4100 223 8040 2838 4303 5693 6101 8837 5566 4700 1653 4493 9824 8468 5724 5204 6194 9621 4119 957 1681 5233

Intervalul de siguranţă de 95 % al distribuţiei binomiale -%Numărul observat f 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

Mărimea probei n 10 0 0 3 7 12 19 26 35 44 55 69

31 0 45 0 56 2 65 4 74 8 81 12 88 16 93 21 97 27 100 32 100 38 45 52 60 68 78

15 22 32 40 48 55 62 68 73 79 84 88 92 96 98 100 100

20 0 0 1 3 6 9 12 15 19 23 27 32 36 41 46 51 56 62 69 75 83

17 25 31 38 44 49 54 59 64 68 73 77 81 85 88 91 94 97 99 100 100

30 0 0 1 2 4 6 8 10 12 15 17 20 23 25 28 31 34 37 40 44 47 50 54 57 61 65 69 73 78 83 88

50

12 17 22 27 31 35 39 43 46 50 53 56 60 63 66 69 72 75 77 80 83 85 88 90 92 94 96 98 99 100 100

0 0 0 1 2 3 5 6 7 9 10 12 13 15 16 18 20 21 23 25 27 28 30 32 34 36 37 39 41 43 45 47 50 52

207

7 11 14 17 19 22 24 27 29 31 34 36 38 41 43 44 46 48 50 53 55 57 59 61 63 64 66 68 70 72 73 75 77 79

100 0 0 0 1 1 2 2 3 4 4 5 5 6 7 8 9 9 10 11 12 13 14 14 15 16 17 18 19 19 20 21 22 23 24

4 5 7 8 10 11 12 14 15 16 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 35 36 37 38 39 40 41 42 43

FracţiMărimea unea probei observată 250 1000 f/n 0,00 0 1 0 0 0,01 0 4 2 0,02 1 5 1 3 0,03 1 6 2 4 0,04 2 7 3 5 0,05 3 9 4 7 0,06 3 10 5 8 0,07 4 11 6 9 0,08 5 12 6 10 0,09 6 13 7 11 0,10 7 14 8 12 0,11 7 16 9 13 0,12 8 17 10 14 0,13 9 18 11 15 0,14 10 19 12 16 0,15 10 20 13 17 0,16 11 21 14 18 0,17 12 22 15 19 0,18 13 23 16 21 0,19 14 24 17 22 0,20 15 26 18 23 0,21 16 27 19 24 0,22 17 28 19 25 0,23 18 29 20 26 0,24 19 30 21 27 0,25 20 31 22 28 0,26 20 32 23 29 0,27 21 33 24 30 0,28 22 34 25 31 0,29 23 35 26 32 0,30 24 36 27 33 0,31 25 37 28 34 0,32 26 38 29 35 0,33 27 39 30 36

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

54 56 57 59 62 64 66 69 71 73 76 78 81 83 86 89

80 82 84 85 87 88 90 91 93 94 95 97 98 99 100 100

50

93 100

25 26 27 28 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 1)

0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50

28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 2)

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 2)

1) Dacă f depăşeşte 50, citiţi 100 – f = numărul observat şi scădeţi fiecare limită de siguranţă din 100. 2) Dacă f/n depăşeşte 0,50, citiţi 1,00 – f/n = fracţiunea observată şi scădeţi fiecare limită de siguranţă din 100.

208

Tabelul anexă nr.5 Intervalul de siguranţă de 99 % al distribuţiei binomiale -%Numărul observat f 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Mărimea probei n 10 0 0 1 4 8 13 19 26 35 46 59

41 54 65 74 81 87 92 96 99 100 100

15 0 0 1 2 5 8 12 16 21 32 31 37 44 51 60 70

30 40 49 56 63 69 74 79 84 88 92 95 98 99 100 100

20 0 0 1 2 4 6 8 11 15 18 22 26 30 34 39 44 49 55 61 68 77

23 32 39 45 51 56 61 66 70 74 78 82 85 89 92 94 96 98 99 100 100

30 0 0 0 1 3 4 6 8 10 12 14 16 18 21 24 26 29 32 35 38 42 45 48 52 56 60 64 68 72 78 84

50

16 22 28 32 36 40 44 48 52 55 58 62 65 68 71 74 76 79 82 84 86 88 90 92 94 96 97 99 100 100 100

209

0 0 0 1 1 2 3 4 6 7 8 10 11 12 14 15 17 18 20 21 23 24 26 28 29 31 33 35 37 39 41 43 45

10 14 17 20 23 26 29 31 33 36 38 40 43 45 47 44 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 72 74 76 77 79 80

100 0 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 6 7 8 9 9 10 11 12 12 13 14 15 16 16 17 18 19 20 21

5 7 9 10 12 13 14 16 17 18 19 20 21 23 24 26 27 29 30 31 32 33 34 35 36 38 39 40 41 42 43 44 45

FracţiMărimea unea probei observată 250 1000 f/n 0,00 0 2 0 1 0,01 0 5 0 2 0,02 1 6 1 3 0,03 1 7 2 4 0,04 2 9 3 6 0,05 2 10 3 7 0,06 3 11 4 8 0,07 3 13 5 9 0,08 4 14 6 10 0,09 5 15 7 12 0,10 6 16 8 13 0,11 7 18 9 15 0,12 7 18 9 15 0,13 8 19 10 16 0,14 9 20 11 17 0,15 9 22 12 18 0,16 10 23 13 19 0,17 11 24 14 20 0,18 12 25 15 21 0,19 13 26 16 22 0,20 14 27 17 23 0,21 15 28 18 24 0,22 16 30 19 26 0,23 17 31 20 27 0,24 18 32 21 28 0,25 18 33 22 29 0,26 19 34 22 30 0,27 20 35 23 31 0,28 21 36 24 32 0,29 22 37 25 33 0,30 23 38 26 34 0,31 24 39 27 35 0,32 25 40 28 36

33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

47 49 51 53 55 57 60 62 64 67 69 71 74 77 80 83 86

82 83 85 86 88 89 90 92 93 94 96 97 98 99 99 100 100

50

90 100

21 22 23 24 25 26 27 28 29 29 30 31 32 33 34 35 36 37

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 1)

0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50

26 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

41 42 43 44 45 46 47 48 50 51 52 53 54 55 55 56 57 58 2)

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 2)

1) Dacă f depăşeşte 50, citiţi 100 – f = numărul observat şi scădeţi fiecare limită de siguranţă din 100. 2) Dacă f/n depăşeşte 0,50, citiţi 1,00 – f/n = fracţiunea observată şi scădeţi fiecare limită de siguranţă din 100.

210

Tabelul anexă nr.6 Valorile funcţiilor  ( z ) 

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30

(z) 0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,3982 0,3980 0,3977 0,3973 0,3970 0,3965 0,3961 0,3956 0,3951 0,3945 0,3939 0,3932 0,3925 0,3918 0,3910 0,3902 0,3894 0,3885 0,3876 0,3867 0,3857 0,3847 0,3836 0,3825 0,3814

(z) 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179

z 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61



1 2

e

(z) 0,3802 0,3790 0,3778 0,3765 0,3752 0,3739 0,3725 0,3712 0,3697 0,3683 0,3668 0,3653 0,3637 0,3621 0,3605 0,3589 0,3572 0,3555 0,3538 0,3521 0,3503 0,3485 0,3467 0,3448 0,3429 0,3410 0,3391 0,3372 0,3352 0,3332 0,3312

211

z2 2

; ( z ) 

(z) 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,2257 0,2291

z 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92

1 2

z

e



t2 2

dt

0

(z) 0,3292 0,3271 0,3251 0,3230 0,3209 0,3187 0,3166 0,3144 0,3123 0,3101 0,3079 0,3056 0,3034 0,3011 0,2989 0,2966 0,2943 0,2920 0,2897 0,2874 0,2850 0,2827 0,2803 0,2780 0,2856 0,2732 0,2709 0,2685 0,2661 0,2637 0,2613

(z) 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,3159 0,3186 0,3212

Tabelul anexă nr.6 (continuare) z 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27

(z) 0,2589 0,2565 0,2541 0,2516 0,2492 0,2468 0,2444 0,2420 0,2396 0,2371 0,2347 0,2323 0,2299 0,2275 0,2251 0,2227 0,2203 0,2179 0,2155 0,2131 0,2107 0,2083 0,2059 0,2036 0,2012 0,1989 0,1965 0,1942 0,1919 0,1895 0,1872 0,1849 0,1826 0,1804 0,1781

(z) 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980

z 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62

(z) 0,1758 0,1736 0,1714 0,1691 0,1669 0,1647 0,1626 0,1604 0,1582 0,1561 0,1539 0,1518 0,1497 0,1476 0,1456 0,1435 0,1415 0,1394 0,1374 0,1354 0,1334 0,1315 0,1295 0,1276 0,1257 0,1238 0,1219 0,1200 0,1182 0,1163 0,1145 0,1127 0,1109 0,1092 0,1074

212

(z) 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4391 0,4332 0,4245 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 0,4452 0,4463 0,4474

z 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97

(z) 0,1057 0,1040 0,1023 0,1006 0,0989 0,0973 0,0957 0,0940 0,0925 0,0909 0,0898 0,0878 0,0863 0,0848 0,0833 0,0818 0,0804 0,0790 0,0775 0,0761 0,0748 0,0734 0,0721 0,0707 0,0694 0,0681 0,0669 0,0656 0,0644 0,0632 0,0620 0,0608 0,0596 0,0584 0,0573

(z) 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756

Tabelul anexă nr.6 (continuare) z 1,98 1,99 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 2,30 2,32 2,34 2,36 2,38

(z) 0,0562 0,0551 0,0540 0,0519 0,0498 0,0478 0,0459 0,0440 0,0422 0,0404 0,0387 0,0371 0,0355 0,0339 0,0325 0,0310 0,0297 0,0283 0,0270 0,0258 0,0246 0,0235

(z) 0,4761 0,4767 0,4772 0,4783 0,4793 0,4803 0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 0,4909 0,4913

z 2,40 2,42 2,44 2,46 2,48 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 2,74 2,76 2,78 2,80 2,82

(z) 0,0224 0,0213 0,0203 0,0194 0,0184 0,0175 0,0167 0,0158 0,0151 0,0143 0,0136 0,0129 0,0122 0,0116 0,0110 0,0140 0,0990 0,0093 0,0088 0,0084 0,0079 0,0075

(z) 0,4918 0,4922 0,4927 0,4931 0,4934 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948 0,4951 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4965 0,4965 0,4967 0,4969 0,4971 0,4973 0,4976 0,4976

213

z (z) (z) 2,84 0,0071 0,4977 2,86 0,0067 0,4979 2,88 0,0063 0,4980 2,90 0,0060 0,4981 2,92 0,0056 0,4982 2,94 0,0053 0,4984 2,96 0,0050 0,4985 2,98 0,0047 0,4986 3,00 0,00443 0,49865 3,10 0,00327 0,49903 3,20 0,00238 0,49931 3,30 0,00172 0,49952 3,40 0,00123 0,49965 3,50 0,00087 0,49977 3,60 0,00061 0,49984 3,70 0,00042 0,49989 3,80 0,00029 0,49993 3,90 0,00020 0,49995 4,00 0,0001338 0,499968 4,50 0,0000160 0,499997 5,00 0,0000015 0,499999

Tabelul anexă nr.7 Valorile repartiţiei t (repartiţia Student) 1-   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 

0,99

0,98

0,95

0,90

0,80

0,70

0,60

63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,861 2,851 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,704 2,660 2,617 2,576

31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,423 2,390 2,358 2,326

12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,021 2,000 1,980 1,960

6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,684 1,671 1,658 1,645

3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,303 1,296 1,289 1,282

1,963 1,386 1,250 1,190 1,156 1,134 1,119 1,108 1,100 1,093 1,088 1,083 1,079 1,076 1,074 1,071 1,069 1,067 1,066 1,064 1,063 1,061 1,060 1,059 1,058 1,058 1,057 1,056 1,055 1,055 1,050 1,046 1,041 1,036

1,376 1,061 0,978 0,941 0,620 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879 0,876 0,873 0,870 0,868 0,866 0,865 0,863 0,862 0,861 0,860 0,859 0,858 0,858 0,857 0,856 0,856 0,855 0,855 0,854 0,854 0,851 0,848 0,845 0,842

214

În tabelul anexă nr.7 sunt date valorile  ale mărimilor t, care au o repartiţie Student cu  grade de libertate şi se determină din condiţia: P( t   )  1   .

Cu alte cuvinte, probabilitatea P ca mărimea măsurată t să nu întreacă în valoare absolută pe  este 1- ( fiind nivel de semnificaţie).

215

Tabelul anexă nr.8 Valorile funcţiei de repartiţie 2 în funcţie de probabilitatea   P(  2   2 ) şi numărul gradelor de libertate   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

 0,99 0,0002 0,02 0,12 0,30 0,55 0,87 1,24 1,65 2,09 2,56 3,05 3,57 4,11 4,66 5,23 5,81 6,41 7,02 7,63 8,26 8,90 9,54 10,20 10,86 11,52 12,20 12,88 13,57 14,26 14,95

0,975 0,0010 0,05 0,22 0,48 0,83 1,24 1,69 2,18 2,70 3,25 3,82 4,40 5,01 5,63 6,26 6,91 7,56 8,23 8,91 9,59 10,28 10,98 11,69 12,40 13,12 13,84 14,57 15,31 16,05 16,79

0,95 0,0039 0,10 0,35 0,71 1,15 1,64 2,17 2,73 3,32 3,94 4,58 5,23 5,89 6,57 7,26 7,96 8,67 9,39 10,11 10,85 11,59 12,34 13,09 13,85 14,61 15,38 16,15 16,93 17,71 18,49

0,90 0,0158 0,21 0,58 1,06 1,61 2,20 2,83 3,49 4,17 4,86 5,58 6,30 7,04 7,79 8,55 9,31 10,08 10,86 11,65 12,44 13,24 14,04 14,85 15,66 16,47 17,29 18,11 18,94 19,77 20,60

0,10 2,71 4,60 6,25 7,78 9,24 10,64 12,02 13,36 14,68 15,99 17,28 18,55 19,81 21,06 22,31 23,54 24,77 25,99 27,20 28,41 29,61 30,81 32,01 33,20 34,38 35,56 36,74 37,92 39,09 40,26

216

0,05 3,84 5,99 7,82 9,49 11,07 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 19,67 21,03 22,36 23,68 25,00 26,30 27,59 28,87 30,14 31,41 32,67 33,92 35,17 36,41 37,65 38,88 40,11 41,34 42,56 43,77

0,025 0,01 0,001 5,02 6,63 10,83 7,38 9,21 13,82 9,35 11,34 16,27 11,14 13,28 18,47 12,83 15,09 20,52 14,45 16,81 22,46 16,01 18,48 24,32 17,53 20,09 26,13 19,02 21,67 27,88 20,48 23,21 29,59 21,92 24,72 31,26 23,34 26,22 32,91 24,74 27,69 34,53 26,12 29,14 36,12 27,49 30,58 37,70 28,84 32,00 39,25 30,19 33,41 40,79 31,53 34,80 42,31 32,85 36,19 43,82 34,17 37,57 45,32 35,48 38,93 46,80 36,78 40,29 48,27 38,08 41,64 49,73 39,37 42,98 51,18 40,65 44,31 52,62 41,92 45,64 54,05 43,19 46,96 55,48 44,46 48,288 56,89 45,72 49,59 58,30 46,98 50,89 59,70

Tabelul anexă nr.9 Valorile lui F (testul F) 

10%

5%

1%

n1 n2 2 3 5 7 10 15 20 30  3 5 7 10 15 20 30  5 7 10 15 20 30 

1

2

3

5

7

10

15

20

30



8,5 5,5 4,1 3,6 3,3 3,1 3,0 2,9 2,7 10,1 6,6 5,6 5,0 4,5 4,4 4,2 3,8 16,3 12,2 10,0 8,7 8,1 7,6 6,6

9,0 5,5 3,8 3,3 2,9 2,7 2,6 2,5 2,3 9,6 5,8 4,7 4,1 3,7 3,5 3,3 3,0 13,3 9,5 7,6 6,4 5,8 5,4 4,6

9,2 5,4 3,6 3,1 2,7 2,5 2,4 2,3 2,1 9,3 5,4 4,3 3,7 3,3 3,1 2,9 2,6 12,1 8,5 6,6 5,4 4,9 4,5 3,8

9,3 5,3 3,5 2,9 2,5 2,3 2,2 2,0 1,8 9,0 5,1 4,0 3,3 2,9 2,7 2,5 2,2 11,0 7,5 5,6 4,6 4,1 3,7 3,0

9,3 5,3 3,4 2,8 2,4 2,2 2,0 1,9 1,7 8,9 4,9 3,8 3,1 2,7 2,5 2,3 2,0 10,5 7,0 5,2 4,1 3,7 3,3 2,6

9,4 5,2 3,3 2,7 2,3 2,1 1,9 1,8 1,6 8,8 4,7 3,6 3,0 2,5 2,3 2,2 1,8 10,1 6,6 4,8 3,8 3,4 3,0 2,3

9,4 5,2 3,2 2,6 2,2 2,0 1,8 1,7 1,5 8,7 4,6 3,5 2,8 2,4 2,2 2,0 1,7 9,7 6,3 4,6 3,5 3,1 2,7 2,0

9,4 5,2 3,2 2,6 2,2 1,9 1,8 1,7 1,4 8,7 4,6 3,4 2,8 2,3 2,1 1,9 1,5 9,6 6,2 4,4 3,4 2,9 2,5 1,9

9,5 5,2 3,2 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 1,3 8,6 4,5 3,4 2,7 2,2 2,0 1,8 1,5 9,4 6,0 4,2 3,2 2,8 2,4 1,7

9,5 5,1 3,1 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 1,0 8,5 4,4 3,2 2,5 2,1 1,8 1,6 1,0 9,0 5,6 3,9 2,9 2,4 2,0 1,0

217

Tabelul anexă nr.10 Valorile critice ale variabilei Z în funcţie de probabilitate Z 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 1,96 2,0

Prob. (%) 0 16 31 45 58 68 77 84 89 93 95 95,5

Z 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,58 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,3 4,0

218

Prob. (%) 96,4 97,2 97,9 98,4 98,8 99,0 99,1 99,3 99,5 99,6 99,73 99,9 99,994

Tabelul anexă nr.11 

Valorile funcţiei K ( )   ( 1) k e  2 k



2 2

(Funcţia lui Kolmogorov)



 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70

K( 0,0001 0,0003 0,0005 0,0008 0,0012 0,0019 0,0028 0,0039 0,0054 0,0073 0,0097 0,0125 0,0169 0,0200 0,0246 0,0300 0,0360 0,0428 0,0503 0,0585 0,0674 0,0771 0,0875 0,0986 0,1103 0,1227 0,1357 0,1492 0,1632 0,1777 0,1926 0,2079 0,2236 0,2395 0,2557 0,2721 0,2887

 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07

K( 0,3054 0,3222 0,3391 0,3559 0,3728 0,3896 0,4063 0,4230 0,4395 0,4558 0,4720 0,4880 0,5038 0,5193 0,5346 0,5497 0,5645 0,5790 0,5933 0,6072 0,6209 0,6342 0,6473 0,6600 0,6725 0,6846 0,6964 0,7079 0,7191 0,7300 0,7405 0,7508 0,7607 0,7704 0,7797 0,7888 0,7976

 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44

219

K( 0,8061 0,8143 0,8222 0,8299 0,8373 0,8445 0,8513 0,8580 0,8644 0,8706 0,8765 0,8822 0,8877 0,8930 0,8981 0,9029 0,9076 0,9121 0,9164 0,9205 0,9245 0,9282 0,9319 0,9353 0,9386 0,9418 0,9448 0,9447 0,9505 0,9531 0,9556 0,9580 0,9603 0,9624 0,9645 0,9665 0,9683

 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81

K( 0,9701 0,9718 0,9734 0,9749 0,9764 0,9777 0,9790 0,9803 0,9814 0,9825 0,9836 0,9846 0,9855 0,9864 0,9872 0,9880 0,9887 0,9894 0,9901 0,9907 0,9913 0,9919 0,9924 0,9929 0,9933 0,9938 0,9942 0,9946 0,9949 0,9953 0,9956 0,9959 0,9962 0,9964 0,9967 0,9969 0,9971

Tabelul anexă nr.12 Valorile critice pentru testul Cochran (   0,05 ) g

max s i2 s12  s 22  ...  s k2



max s i2 k



j 1

k n-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 40 60 120 

,1 i  k

s 2j

4

5

6

7

8

9

10

16

36

144

0,9057 0,7457 0,6287 0,5440 0,4803 0,4307 0,3910 0,3584 0,3311 0,2419 0,1921 0,1377 0,1082 0,0765 0,0419 0,0000

0,8772 0,7074 0,5895 0,5063 0,4447 0,3974 0,3595 0,3286 0,3029 0,2195 0,1735 0,1237 0,0968 0,0682 0,0371 0,0000

0,8534 0,6771 0,5598 0,4783 0,4184 0,3726 0,3362 0,3067 0,2823 0,2034 0,1602 0,1137 0,0887 0,0623 0,0337 0,0000

0,8332 0,6530 0,5365 0,4564 0,3980 0,3535 0,3185 0,2901 0,2666 0,1911 0,1501 0,1061 0,0827 0,0583 0,0312 0,0000

0,8159 0,6333 0,5175 0,4387 0,3817 0,3384 0,3043 0,2768 0,2541 0,1815 0,1422 0,1002 0,0780 0,0552 0,0292 0,0000

0,8010 0,6167 0,5017 0,4241 0,3682 0,3259 0,2926 0,2659 0,2439 0,1736 0,1357 0,0958 0,0745 0,0520 0,0279 0,0000

0,7880 0,6025 0,4884 0,4118 0,3568 0,3154 0,2829 0,2568 0,2353 0,1671 0,1303 0,0921 0,0713 0,0497 0,0266 0,0000

0,7341 0,5466 0,4366 0,3645 0,3135 0,2756 0,2462 0,2226 0,2032 0,1429 0,1108 0,0771 0,0595 0,0411 0,0218 0,0000

0,6600 0,4748 0,3720 0,3066 0,2612 0,2278 0,2022 0,1820 0,1655 0,1144 0,0879 0,0604 0,0462 0,0316 0,0165 0,0000

0,5813 0,4031 0,3093 0,2513 0,2119 0,1833 0,1616 0,1446 0,1308 0,0889 0,0675 0,0457 0,0347 0,0234 0,0120 0,0000

220

Tabelul anexă nr.12 (continuare) Valorile critice pentru testul Cochran (   0,01 ) g

max s i2 s12  s 22  ...  s k2



max s i2 k



j 1

k n-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 40 60 120 

,1 i  k

s 2j

4

5

6

7

8

9

10

16

36

144

0,9586 0,8335 0,7212 0,6329 0,5635 0,5080 0,4627 0,4251 0,3934 0,2882 0,2288 0,1635 0,1281 0,0902 0,0489 0,0000

0,9373 0,7933 0,6761 0,5875 0,5195 0,4659 0,4226 0,3870 0,3572 0,2593 0,2048 0,1454 0,1135 0,0796 0,0429 0,0000

0,9172 0,7606 0,6410 0,5531 0,4866 0,4347 0,3932 0,3592 0,3308 0,2386 0,1877 0,1327 0,1033 0,0722 0,0387 0,0000

0,8988 0,7335 0,6129 0,5259 0,4608 0,4105 0,3704 0,3378 0,3106 0,2228 0,1748 0,1232 0,0957 0,0668 0,0357 0,0000

0,8823 0,7107 0,5897 0,5037 0,4401 0,3911 0,3522 0,3207 0,2945 0,2104 0,1646 0,1157 0,0898 0,0625 0,0334 0,0000

0,8674 0,6912 0,5702 0,4854 0,4229 0,3751 0,3373 0,3067 0,2813 0,2002 0,1567 0,1100 0,0853 0,0594 0,0316 0,0000

0,8539 0,6743 0,5536 0,4697 0,4084 0,3616 0,3248 0,2950 0,2704 0,1918 0,1501 0,1054 0,0816 0,0567 0,0302 0,0000

0,7949 0,6059 0,4884 0,4094 0,3529 0,3105 0,2779 0,2514 0,2297 0,1612 0,1248 0,0867 0,0668 0,0461 0,0242 0,0000

0,7067 0,5153 0,4057 0,3351 0,2858 0,2494 0,2214 0,1992 0,1811 0,1251 0,0960 0,0658 0,0503 0,0344 0,0178 0,0000

0,6062 0,4230 0,3251 0,2644 0,2229 0,1929 0,1700 0,1521 0,1376 0,0934 0,0709 0,0480 0,0363 0,0245 0,0125 0,0000

221

Tabelul anexă nr.13 Valorile critice pentru testul Hartley (   0,05 )

g

k n-1 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 30 60 

max si2 max si2

, 1 i  k

2

3

4

5

6

8

10

9,60 7,15 5,82 4,99 4,43 4,03 3,72 3,28 2,85 2,46 2,07 1,67 1,00

15,5 10,8 8,38 6,94 6,00 5,34 4,85 4,16 3,54 2,95 2,40 1,85 1,00

20,6 13,7 10,4 8,44 7,18 6,31 5,67 4,79 4,01 3,29 2,61 1,96 1,00

25,2 16,3 12,1 9,70 8,12 7,11 6,34 5,30 4,37 3,54 2,78 2,04 1,00

29,5 18,7 13,7 10,8 9,03 7,80 6,92 5,72 4,68 3,76 2,91 2,11 1,00

37,5 22,9 16,3 12,7 10,5 8,95 7,87 6,42 5,19 4,10 3,12 2,22 1,00

44,6 26,5 18,6 14,3 11,7 9,91 8,66 7,00 5,99 4,37 3,29 2,30 1,00

222

Tabelul anexă nr.14 Logaritmii zecimali ai numerelor naturale de la 1 la 200

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

lg 0,00000 0,30103 0,47712 0,60206 0,69897 0,77815 0,84510 0,90309 0,95424 1,00000 1,04139 1,07918 1,11394 1,14613 1,17609 1,20412 1,23045 1,25527 1,27875 1,30103 1,32222 1,34242 1,36173 1,38021 1,39794

n 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

lg 1,41497 1,43136 1,44716 1,46240 1,47712 1,49136 1,50515 1,51851 1,53148 1,54407 1,55630 1,56820 1,57978 1,59106 1,60206 1,61278 1,62325 1,63347 1,64345 1,65321 1,66276 1,67210 1,68124 1,69020 1,69897

n 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

223

lg 1,70757 1,71600 1,72428 1,73239 1,74036 1,74819 1,75587 1,76343 1,77085 1,77815 1,78533 1,79239 1,79934 1,80618 1,81291 1,81954 1,82607 1,83251 1,83885 1,84510 1,85126 1,85733 1,86332 1,86923 1,87506

n 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

lg 1,88081 1,88649 1,89209 1,89763 1,90309 1,90849 1,91381 1,91908 1,92428 1,92942 1,93450 1,93952 1,94448 1,94939 1,95424 1,95904 1,96379 1,96848 1,97313 1,97772 1,98227 1,98677 1,99123 1,99564 2,00000

Tabelul anexă nr.14 (continuare) Logaritmii zecimali ai numerelor naturale de la 1 la 200

n 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125

lg 2,00432 2,00860 2,01284 2,01703 2,02119 2,02531 2,02938 2,03342 2,03743 2,04139 2,04532 2,04922 2,05308 2,05690 2,06070 2,06446 2,06819 2,07188 2,07555 2,07918 2,08279 2,08636 2,08991 2,09342 2,09691

n 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

lg 2,10037 2,10380 2,10721 2,11059 2,11394 2,11727 2,12057 2,12385 2,12710 2,13033 2,13354 2,13672 2,13988 2,14301 2,14613 2,14922 2,15229 2,15534 2,15836 2,16137 2,16435 2,16732 2,17026 2,17319 2,17609

n 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175

224

lg 2,17898 2,18184 2,18469 2,18752 2,19033 2,19312 2,19590 2,19866 2,20140 2,20412 2,20683 2,20952 2,21219 2,21484 2,21748 2,22011 2,22272 2,22531 2,22789 2,23045 2,23300 2,23553 2,23805 2,24055 2,24304

n 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

lg 2,24551 2,24797 2,25042 2,25285 2,25527 2,25768 2,26007 2,26245 2,26482 2,26717 2,26951 2,27184 2,27416 2,27646 2,27875 2,28103 2,28330 2,28556 2,28780 2,29003 2,29226 2,29447 2,29667 2,29885 2,30103

Tabelul anexă nr.15 Logaritmii naturali ai numerelor naturale de la 1 la 200 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

ln 0,00000 0,69315 1,09861 1,38629 1,60944 1,79176 1,94591 2,07944 2,19722 2,30259 2,39790 2,48491 2,56495 2,63906 2,70805 2,77259 2,83321 2,89037 2,94444 2,99573 3,04452 3,09104 3,13549 3,17805 3,21888

n 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

ln 3,25810 3,29584 3,33220 3,36730 3,40120 3,43399 3,46574 3,49651 3,52636 3,55535 3,58352 3,61092 3,63759 3,66356 3,68888 3,71357 3,73767 3,76120 3,78419 3,80666 3,82864 3,85015 3,87120 3,89182 3,91202

n 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

225

ln 3,93183 3,95124 3,97029 3,98898 4,00733 4,02535 4,04305 4,06044 4,07754 4,09434 4,11087 4,12713 4,14313 4,15888 4,17439 4,18965 4,20469 4,21951 4,23411 4,24850 4,26268 4,27667 4,29046 4,30407 4,31749

n 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

ln 4,33073 4,34381 4,35671 4,36945 4,38203 4,39445 4,40672 4,41884 4,43082 4,44265 4,45435 4,46591 4,47734 4,48864 4,49981 4,51086 4,52179 4,53260 4,54329 4,55388 4,56435 4,57471 4,58497 4,59512 4,60517

Tabelul anexă nr.15 (continuare) Logaritmii naturali ai numerelor naturale de la 1 la 200

n 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125

ln 4,61512 4,62497 4,63473 4,64439 4,65396 4,66344 4,67283 4,68213 4,69135 4,70048 4,70953 4,71850 4,72739 4,73620 4,74493 4,75359 4,76217 4,77068 4,77912 4,78749 4,79579 4,80402 4,81218 4,82028 4,82831

n 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

ln 4,83628 4,84419 4,85203 4,85981 4,86753 4,87520 4,88280 4,89035 4,89784 4,90527 4,91265 4,91998 4,92725 4,93447 4,94164 4,94876 4,95583 4,96284 4,96981 4,97673 4,98361 4,99043 4,99721 5,00395 5,01064

n 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175

226

ln 5,01728 5,02388 5,03044 5,03695 5,04343 5,04986 5,05625 5,06260 5,06890 5,07517 5,08140 5,08760 5,09375 5,09987 5,10595 5,11199 5,11799 5,12396 5,12990 5,13580 5,14166 5,14749 5,15329 5,15906 5,16479

n 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

ln 5,17048 5,17615 5,18178 5,18739 5,19296 5,19850 5,20401 5,20949 5,21494 5,22036 5,22575 5,23111 5,23644 5,24175 5,24702 5,25227 5,25750 5,26269 5,26786 5,27300 5,27811 5,28320 5,28827 5,29330 5,29832

Bibliografie 1 Allen, R.,G.,D., Analiză matematică pentru economişti, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1971 2 Andrei, T., Stancu, S., Statistica – teorie şi aplicaţii, Editura ALL, Bucureşti, 1995 3 Baron, T., Calitatea şi fiabilitatea produselor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1976 4 Baron, T., Ţiţan, E., Matache, S., Chiuchiţă, L., Manual practic de Statistică, Editura Expert, Bucureşti, 1999 5 Brandt, S., Statistical and Computational Methods in Data Analysis, Institute of High Energy Physics, Heidelberg University, 1970 6 Costescu,M., Ionescu, A., Prelecrarea informaţională a datelor de masurare, Editura Universitaria, Craiova, 2005 7 Costescu, M., Vasilescu, N., Ionaşcu, C., Statistică şi elemente de teoria sondajului, Editura Universitaria, Craiova, 2001 8 Croxton, E., Cowden, J., Statistică teoretică, Revista „Probleme de statistică social-economică”, Bucureşti, 1969 9 Desabie, J., Theorie et pratique des sondages, Editura Dunod, Paris, 1966 10 Dumas, R., L’entreprise et la statistique – tome 1, Technique et documentation statistiques, Editura Dunod, Paris, 1967 11 Dumas, R., L’entreprise et la statistique – tome 2, Statistique et gestion de l’entreprise, Editura Dunod, Paris, 1963 227

12 Iosifescu, M. şi colectiv, Teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1966 13 Ivănescu, I. şi colectiv, Statistică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980 14 Leach, C., Introduction to Statistics, A Nonparametric Approach for the Social Sciences, JOHN WILEY & SONS Chichester · New York · Brisbane · Toronto, 1978 15 Maliţa, M., Zidăroiu, C., Incertitudine şi decizie, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1980 16 Mihoc, Gh., Urseanu, V., Matematici aplicate în statistică, Editura Academiei Române, Bucureşti, 1964 17 Mihoc, Gh., Ciucu, G., Craiu, V., Teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1970 18 Mills, F., C., Metode statistice, vol.1 şi vol.2 (traducere), Direcţia Centrală de Statistică, Bucureşti, 1969 19 Moineagu, C., Negură, I., Urseanu, V., Statistică, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1976 20 Novak, A., Metode cantitative în psihologie şi sociologie, Editura Oscar Print, Bucureşti,1998 21 Pop, L. (coord.), STATISTICĂ 2001, Adresă Internet Universitatea Bucuresti Facultatea de Filosofie STATISTICĂ 2001... 22 Porojan, D., Statistica şi teoria sondajului, Casa de editură şi presă „ŞANSA” S.R.L., Bucureşti, 1993 228

23 Rancu, N., Tövissi, L., Statistică matematică cu aplicaţii în producţie, Editura Academiei Române, Bucureşti, 1963 24 Searle, S., R., Linear Models, John Wiley Sons, New-York, 1971 25 Seeber, G., A., F., Linear Analysis, John Wiley Sons, NewYork, 1977 27 Tiron, M., Teoria erorilor de măsurare şi metoda celor mai mici pătrate, Editura Tehnică, Bucureşti, 1972 28 Tiron, M., Prelucrarea statistică şi informaţională a datelor de măsurare, Editura Tehnică, Bucureşti, 1976 29 Titner, G., Mathematiques et statistiques pour les économistes, vol.1, Editura Dunod, Paris, 1965 30 Ţarcă, M., Tratat de statistică aplicată, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1998 31 Vasilescu, Gh., Niculescu, I., Wagner, Fl., Zaharia, O., Analiza statistico-economică în industrie, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1997 32 Vasilescu, N., Statistică – culegere de probleme, Litografia Universităţii din Craiova, 1977 33 Vasilescu, N., Statistică – sinteze teoretice şi lucrări practice, Litografia Universităţii din Craiova, 1987 34 Vasilescu, N., Statistică generală, (Ediţia a III-a – revizuită) – Metodologie, Lucrări practice şi Programe aplicative, Editura Reprograph, Craiova, 1998

229

35 Vasilescu, N. şi colectiv, Statistică, Editura Universitaria, Craiova, 2003 36 Wald, A., Statistical Decision Functions, John Wiley Sons, New-York, 1950 37 Wonnacott, T., H., Wonacott, R., J., Statistique, Editura ECONOMICA, Paris,1991 38 Yule, G., U., Kendall, M., G., Introducere în teoria statisticii, traducere din limba engleză, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1969

230

Cuprins Prefaţă ............................................................

3

1 Probabilităţi ....................................................

6

2 Clasificarea şi ordonarea datelor ................ 13 2.1 Serii de distribuţie ........................................... 2.2 Reprezentarea grafică a seriilor de distribuţie 2.3 Indicatorii seriilor de distribuţie ....................... 2.3.1 Indicatorii tendinţei centrale ....................... 2.3.2 Indicatorii variaţiei ...................................... 2.3.3 Indicatorii variabilei alternative a lui Bernoulli .....................................................

14 18 22 22 30 35

3 Corelaţia în analiza legăturilor dintre fenomene ........................................................ 37 3.1 Introducere ......................................................... 3.2 Corelaţia – noţiune, tipuri ................................. 3.3 Metode orientative în analiza corelaţiei ........... 3.3.1 Metoda grafică ........................................... 3.3.2 Metoda tabelului de corelaţie ..................... 3.4 Corelaţia simplă ................................................. 3.3.1 Coeficientul de corelaţie Pearson (cazul regresiei liniare) ......................................... 3.3.2 Cazul regresiei neliniare ............................ 3.3.3 Coeficientul de corelaţie eneahoric ........... 3.3.4 Coeficienţii de corelaţie biserial şi triserial 3.5 Metode neparametrice în studiul corelaţiei ..... 3.5.1 Corelaţia rangurilor .................................... 3.5.2 Coeficientul de asociere ............................ 3.6 Corelaţia multiplă .............................................. 3.7 Corelaţia parţială ............................................... 231

37 38 39 40 40 41 50 53 54 56 60 60 63 65 66

4 Populaţie şi eşantion ..................................... 70 4.1 Introducere ......................................................... 4.2 Metode de extragere a eşantionului ................ 4.2.1 Metode aleatoare ....................................... 4.2.2 Metode subiective ...................................... 4.3 Principalele tipuri de sondaje ........................... 4.4 Indicatorii sondajului statistic .......................... 4.5 Estimarea parametrilor lotului de bază ...........

70 72 73 79 82 82 93

5 Verificarea ipotezelor statistice .................... 113 5.1 Testele statistice ................................................ 113 5.2 Teste pentru verificarea calităţii datelor de sondaj ................................................................. 116 5.2.1 Testul iteraţiilor pentru determinarea acţiunii cauzelor sistematice ...................... 117 5.2.2 Testul Young pentru determinarea acţiunii cauzelor sistematice .................................. 123 5.2.3 Testul Grubbs – Smirnov pentru eliminarea valorilor aberante ..................... 125 5.2.4 Testul Irwin pentru eliminarea valorilor aberante .................................................... 128 5.2.5 Testul Grubbs pentru eliminarea valorilor aberante .................................................... 130 5.2.6 Testul Chauvenet pentru eliminarea valorilor aberante ....................................... 133 5.3 Teste pentru compararea a doi indicatori ....... 136 5.3.1 Verificarea ipotezelor privind media .......... 136 5.3.1.1 Testul z ................................................... 136 5.3.1.2 Testul t .................................................... 144 5.3.2 Verificarea ipotezelor privind împrăştierea 150 5.3.2.1 Testul Χ2 .................................................. 150 5.3.2.2 Testul F ................................................... 152 5.3.3 Testul z pentru compararea a două proporţii ..................................................... 155 232

5.4

5.5

5.6

5.7

5.3.4 Testul z pentru compararea a doi coeficienţi de corelaţie .............................. 157 Teste pentru compararea a două distribuţii empirice .............................................................. 158 5.4.1 Testul medianei pentru compararea a două distribuţii empirice ............................ 158 5.4.2 Testul Kolmogorov-Smirnov ...................... 163 5.4.3 Testul U (Mann-Witney) pentru compararea a două repartiţii empirice .................... 165 Teste de concordanţă ........................................ 168 5.5.1 Testul X2 pentru concordanţa eşantionului cu cea a populaţiei .................................... 168 5.5.2 Verificarea normalităţii .............................. 170 5.5.2.1 Testul momentelor centrate şi metoda grafică ..................................................... 171 5.5.2.2 Testul Kolmogorov pentru verificarea normalităţii ............................................... 173 5.5.2.3 Testul X2 pentru verificarea normalităţii .. 175 5.5.2.4 Testul lui Massey pentru verificarea normalităţii ............................................... 178 Teste pentru compararea mai multor indicatori ............................................................. 180 5.5.1 Testul t pentru verificarea egalităţii mai multor medii ............................................... 180 5.5.2 Testul Link-Wallace pentru compararea a k medii ....................................................... 182 5.5.3 Testul X2 pentru compararea a k proporţii 185 5.5.4 Testul Bartlett pentru compararea a k dispersii ..................................................... 187 5.5.5 Testul Cochran pentru eliminarea dispersiilor aberante ............................................ 189 5.5.6 Testul Hartley pentru eliminarea dispersiilor aberante ............................................ 189 Teste pentru compararea mai multor eşantioane .......................................................... 193 5.7.1 Testul U (Mann-Whitney) pentru compara233

rea mai multor eşantioane ......................... 193 5.7.2 Testul Friedman pentru compararea rezultatelor aceluiaşi grup .......................... 196 5.7.3 Testul Cochran pentru compararea mai multor eşantioane ...................................... 198

Tabele anexă .................................................. 201 Bibliografie ..................................................... 227

234