Centros De Masa 535p72

Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montealegre, Jennyffer. Aplicaciones de las integrales dobles.

Aplicaciones de las integrales dobles. Montealegre, Jennyffer.

[email protected] FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ

Resumen- Este informe tiene como fin solucionar un problema por medio de la aplicación de integrales dobles en este caso utilizando centros de masa.

I.

PROBLEMA

2 2 Una lámina ocupa la parte del disco x + y ≤ 1 en el primer cuadrante. Encuentre su centro de masa si la densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el eje x [1].

II. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA 2 2 Coloque la lámina como un sector circular x + y ≤ 1 (véase figura 1) en el primer cuadrante.

2

( x − x ) + ( y − 0)

Entonces la distancia desde un punto (x,y) a su distancia desde el eje x es Por lo tanto, la función de densidad es:

p ( x, y ) = K

2

( x − x ) + ( y − 0)

2

p ( x, y ) = Ky

Donde K es alguna constante.

1

y

x

1 1

Figura 1

2

.

Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montealegre, Jennyffer. Aplicaciones de las integrales dobles.

Como se puede observar la función de densidad como la figura anteriormente ilustrada dan la impresión de convertirse a coordenadas polares. Entonces

y = rsenθ Y la región D está dada por

0 ≤ rsenθ ≤ 1, 0 ≤ rsenθ ≤

π 2

Entonces la masa de la lámina es:

m = ∫∫ p ( x, y ) dA = ∫

1

∫

1− x 2

0 0

Kydydx

D

y2 =∫ K 0 2 1

2 La última se evalúa desde 0 a 1 − x

K 1 1 − x2 ∫ 2 0 1 K 1 = ∫ dx − ∫ x 2 dx 0 2 0 K x3 = x− 2 3 =

Evaluada desde 0 a 1 da

1 K 3 Entonces las coordenadas X y Y

MY = ∫

π

2

0

Mx = ∫

π

0

π π 1 1 1 2 3 2 Kr sen θ cos θ drd θ = K sen θ cos θ d θ = K − cos 2 θ = K [ ] ∫0 0 4 ∫0 8 8 1

2

π π 1 1 π 2 3 2 2 2 2 Kr sen θ drd θ = K sen θ d θ = K θ + sen θ = K [ ] ∫0 ∫ 0 4 0 8 16 1

Lógicamente, el centro de masa se ubicaría en el punto (3/8, 3π/16)

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REFERENCIAS

[1] Stewart J. Calculo de varias variables 6ª Edición