Coeficiente De Restitucion 1v4i47

Practica No. 9:

Coeficiente de Restitución. Autores:

Hernández Alejandre Francisco López Lugo Víctor Hugo Pantoja Arcos Luis Eduardo

Practica No. 9:

Coeficiente de Restitución. Autores:

Aguilera Verdugo Jose de Jesus Hernández Alejandre Francisco López Lugo Víctor Hugo Pantoja Arcos Luis Eduardo

Resumen El objetivo del trabajo es poder encontrar el coeficiente de restitución de una pelota, determinar sus alturas conforme va rebotando usando ese coeficiente, encontrar la velocidad, la perdida de energía y el tiempo que le toma llegar a las diferentes alturas. El método experimental utilizado fue una grabación con cámara en inmóvil sobre un tripie a la pelota rebotando sobre una mesa en un movimiento de caída libre lo mas recto posible. Comparamos su caída con una regla de 1 metros en posición vertical y una marca de cinta adhesiva en el fondo. Los resultados obtenidos fueron útiles pues se tuvo una excelente comparación usando los videos y fueron resultados esperados.

Introducción El objetivo de este experimento es comprobar la acción del coeficiente de restitución, su valor y la variación de las alturas durante el movimiento, la velocidad, la perdida de energía que se da durante el movimiento utilizando la gravedad, el tiempo que le toma llegar a cada una de las diferentes alturas, usando una fricción muy pequeña con el aire, 1 cuerpos, 1 cámara y 1 regla como apoyo. Este experimento fue realizado anteriormente por Newton, aunque no con el mismo procedimiento. Esto determino el coeficiente de fricción y su relación con diferentes cuerpos. Se define como coeficiente de restitución (e) al módulo del cociente entre las velocidades relativas antes y después del choque. Se ha encontrado experimentalmente que en una colisión frontal de dos esferas solidas como las que experimentan las bolas de billar, las velocidades después del choque están relacionadas con las velocidades antes del choque. Para choques en una dimensión la relación es: (

)

(1)

Este coeficiente da cuenta del porcentaje de deformación permanente de los cuerpos a causa del evento que varia entre 0 y 1. Esta relación fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada. El valor de 1 es para un choque perfectamente elástico y el valor de 0 es para un choque perfectamente inelástico.

Cuando hay un rebote de una pelota sobre una superficie rígida, la componente de la velocidad perpendicular al tablero disminuye, quedando la componente paralela constante, o sea (2)

(3)

1

Alturas de los sucesivos rebotes Supongamos que una pelota se deja caer desde una altura inicial h. Vamos a calcular las alturas de los sucesivos rebotes.

2

1

Figura 1. Representación grafica del rebote de una pelota con sus componentes de velocidad.

1.-Primer rebote La velocidad de la pelota antes del choque con el suelo se calcula aplicando el principio de conservación de la energía

La velocidad de la pelota después del choque es (en módulo) v1=e·u1 La pelota asciende con una velocidad inicial v1, y alcanza una altura máxima h1 que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía y usando la ecuación anterior

2.-Segundo rebote La velocidad de la pelota antes del choque con el suelo se calcula aplicando el principio de conservación de la energía

La velocidad de la pelota después del choque es v2=e·u2 La pelota asciende con una velocidad inicial v2, y alcanza una altura máxima h2 que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía y sustituyendo la ecuación anterior y la anterior a esa

3.-Rebote n Después del choque n, la altura máxima que alcanza la pelota es, por generalización: (4)

2

Figura 2. Representación grafica de las alturas que obtiene la pelota al rebotar conforme pasa el tiempo.

Pérdida de energía que experimenta la pelota 1. En el primer choque, la pelota pierde una energía

2. En el segundo choque, la pelota pierde una energía

Que obtenemos de sustituir la ecuación anterior en esta. 3. En el choque n la pelota pierde una energía (5)

La suma de ΔE1+ ΔE2+ ΔE3+…. ΔEn es la energía perdida por la pelota después de n choques. Después de infinitos choques la pelota habrá perdido toda su energía inicial mgh. Vamos a comprobarlo sumando los infinitos términos de una progresión geométrica de razón e2 y cuyo primer término es ΔE1

Tiempo que tarda la pelota en pararse. 1. El tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo cuando se deja caer desde una altura h partiendo del reposo es

Usando las ecuaciones de caída libre con y0=0 2. La pelota rebota y sube hasta una altura h1, a continuación cae de nuevo al suelo. El tiempo que tarda en subir y bajar es

Sustituyendo la ecuación anterior en esta 3. La pelota rebota y sube hasta una altura h2, y a continuación cae de nuevo al suelo. El tiempo que tarda en subir y bajar es

El tiempo total tras infinitos rebotes es la suma de t0 y los términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 2t0e y cuya razón es e.

Si a la pelota se le proporciona una velocidad inicial horizontal vx. Después de infinitos rebotes se desplaza una distancia horizontal x=vx·t∞ Pues como vimos en la ecuación (2) la componente horizontal se ve inalterada a lo largo del proceso. Medida del coeficiente de restitución e y la aceleración de la gravedad g. El tiempo tn que pasa la pelota en el aire entre dos sucesivos choques con el suelo es (6)

Tomando logaritmos Ln tn=n *ln e+ ln (2t0)

(7)

Si representamos gráficamente ln tn en función de n obtenemos una línea recta, cuya pendiente es el coeficiente de restitución e, y cuya ordenada en el origen es ln(2t0)

3

Midiendo la ordenada en el origen obtenemos 2t0 (8)

Conocida la altura h a la que se ha dejado caer inicialmente a la pelota despejamos la aceleración de la gravedad g. La ecuación señalada con la flecha sin relleno (1) será la que utilicemos en este experimento para determinar el coeficiente de restitución comparándola con el resultado de la ecuación (7) al menos 1 vez para que veamos la igualdad. La ecuación señalada con la flecha rellenada (4) será la que utilicemos en este experimento para determinar las alturas. La ecuación (5) será la usada para determinar la perdida de energía en los rebotes y la ecuación (6) será la que utilicemos para determinar el tiempo que le toma subir y bajar conforme va rebotando y perdiendo energía. Nos referiremos a la ecuación (1) como “.del coeficiente de restitución”

3

Figura 3. Representación grafica de los valores del tiempo con respecto a los rebotes. En esta intervienen el tiempo inicial y el coeficiente de restitución.

Desarrollo Experimental 

Descripción del dispositivo experimental

El equipo utilizado en la práctica fue el siguiente:

1 regla de 1mde largo de madera utilizada como referencia para la medición de las alturas

1 pelota de pin pong de plástico y 50gr de masa que es la que dejamos rebotar para medir el coeficiente de restitución

1 cámara digital utilizada para grabar videos sin movimiento que tiene un retraso de 2s desde el momento en que se presiona el disparador para comenzar a grabar.

1 marca de cinta adhesiva pegada a al fondo de la grabación cono referencia de la distancia de la marca a la regla y el lugar de donde comienza a caer la pelota

1 tripie para apoyar la cámara.



Explicación clara y detallada del método que se siguió para efectuar las mediciones

Las mediciones se realizaron al grabar la caída y los rebotes de la pelota contra la mesa y usar la regla de 1 metros sujeta a mano como referencia a la hora de analizar los videos con el Tracker. Primero colocamos la regla hasta que quedara en la posición mas conveniente y clara para su manejo y grabación. Luego se coloco la marca en el fondo (sobre la cortina) de cinta adhesiva para usarla de referencia esta estando a 45cm sobre la regla. Luego se enfoco la cámara sobre el tripie para que abarcara el mayor espacio posible y tuviera buen ángulo de iluminación. El último preparativo fue colocar la pelota en la altura inicial marcada para dejarla caer al comenzar las grabaciones. Se realizaron 8 grabaciones cada una sin cambios voluntarios con respecto a las anteriores, fue el mismo suceso grabado varias veces, así que los únicos cambios que se dieron se deben a los agentes externos y al mal pulso. Por ultimo solo se copiaron las grabaciones en la computadora para que fueran analizadas.

En este experimento la pelota caía debido a la gravedad y rebotaba por la fuerza normal ejercida por la mesa siendo estos 2 factores el primero constante y el segundo variable con cada altura; el primero es considerado independiente del análisis al igual que la resistencia del aire, la altura inicial, el coeficiente de fricción(pues la velocidad inicial es la misma en todos los casos y la velocidad de la mesa siempre es 0) y las pequeñas variaciones de inclinación de la regla debido al mal pulso. Las otras variables a considerar, las dependientes, son la perdida de energía, el tiempo de subida, las alturas y las velocidades pues estas dependen de la altura inicial y la velocidad inicial al igual que el coeficiente de fricción. La cámara permanece inmóvil de su posición original durante todas las grabaciones así que no hay cambio de coordenadas o movimientos que afecten el análisis. 

Ecuaciones relacionadas con el tratamiento que se dará a los datos experimentales

La ecuaciones que se necesitan son las ecuaciones (1)-(7), (4), (5) y (6)

|

(

|

(1)

)

(

)

(7) (6)

(5) (4)

Donde e es el coeficiente de restitución de la pelota con respecto a la mesa, v1 y v2 son las velocidades de la pelota y la mesa respectivamente. To y tn son el tiempo inicial y tiempo de algún rebote respectivamente. ΔEn es la energía perdida en el rebote n y h y hn son la altura inicial y la altura de algún otro rebote respectivamente. De estas ecuaciones podemos saber que e nunca es mayor que

1 ni menor que 0 pues no se le esta dando algún impulso para que las velocidades finales sean mayores que las iniciales por lo que, a lo mas, son iguales, y no es negativo pues no rebota y se sigue para abajo, a lo menos, se detiene. Otra observación es que los tiempos de subida van siendo menores conforme va rebotando pues se esta multiplicando por el coeficiente de restitución y, a lo menos (si e=1), el tiempo de subida es el doble que el del inicio. El mismo argumento se puede utilizar para ver que las alturas van disminuyendo o igualándose y para la perdida de energía que, a lo mas, es 0 con e=1 o e=0.

Resultados Los resultados de las grabaciones obtenidos después de haberlos analizado con el Tracker y haber usado la ecuación (1) son: Grabación 1 T

h

Vy

K

0

1.59545455

0.034

1.59707658

0.05739451

0.00349943

0.067

1.59929998

0.02304693

5.98E-04

0.1

1.59859768

-0.15559521

0.01433163

0.134

1.5888751

-0.49097308

0.12682085

0.167

1.56570248

-0.84173635

0.36294819

0.2

1.5333205

-1.13583157

0.65546165

0.233

1.4907376

-1.44998443

1.05767048

0.267

1.43617154

-1.81068152

1.64254948

0.3

1.36942193

-2.17287506

2.36474835

0.334

1.29058891

-2.55043718

3.25962304

0.367

1.19854264

-2.95544646

4.37188525

0.4

1.09552945

-3.33310295

5.55696146

0.433

0.97855785

-3.63124242

6.59518343

0.467

0.85223621

-4.11440725

8.4683333

0.5

0.70289256

-4.39380545

9.65276327

0.534

0.55785124

-4.49611447

10.1136848

0.567

0.40165289

-5.74755823

16.5235631

0.6

0.1785124

-5.5507586

15.4116227

0.634

0.02975207

-1.11015172

0.62238061

0.667

0.10413223

4.73328325

11.2273865

0.7

0.34214876

5.29676935

14.0294703

0.733

0.45371901

3.60799309

6.52267199

0.767

0.5838843

3.66350068

6.76607827

0.8

0.69917355

2.8174305

3.99435865

2.367

0.31138068

2.37752718

2.89401835

0.833

0.76983471

2.66436413

3.55558029

2.4

0.38260225

1.92247776

1.91063447

0.867

0.87768595

2.33131861

2.74217198

2.434

0.4401867

1.53163057

1.2343376

0.9

0.92603306

1.66522758

1.41114019

2.467

0.4852215

1.14926047

0.71156246

0.934

0.9892562

1.55421241

1.23243684

2.5

0.51603789

0.7377223

0.31656272

0.967

1.03016529

1.18332081

0.75727706

2.534

0.53464889

0.35242255

0.11609715

1

1.06735537

0.88812138

0.4082447

2.567

0.5396502

-0.01401893

0.05810754

1.034

1.08966942

0.3885531

0.08935167

2.6

0.53372364

1.067

1.09338843

0.05634861

0.02698891

1.1

1.09338843

-0.27753793

0.0400542

1.134

1.07479339

-0.7771062

0.30348757

1.167

1.04132231

-1.07062359

0.59851876

1.2

1.00413223

-1.34168513

0.9617619

1.233

0.9527711

-1.71832224

1.48260422

1.267

0.88900464

-2.06487361

2.13767146

1.3

0.81442456

-2.47410948

3.0675544

1.333

0.72571342

-2.81877722

3.97813267

1.367

0.62556649

-2.64242462

3.49415276

1.4

0.54867097

-3.03757316

4.61562526

1.434

0.42204909

-4.69214098

11.0084718

1.467

0.23429752

-4.76057345

11.3339775

1.5

0.10785124

-2.88639447

4.16717708

1.534

0.04090909

1.11015172

0.67167808

1.567

0.1822314

4.05709992

8.33163521

1.6

0.30867769

3.26754661

5.39715673

1.634

0.40115703

2.73878831

3.80479172

1.667

0.4921765

2.59060354

3.4093334

1.7

0.57213686

2.13873129

2.33846081

1.733

0.63333277

1.65921553

1.41889777

1.767

0.6833043

1.3352614

0.93093025

1.8

0.72279528

0.93878348

0.4800737

1.833

0.74526401

0.50329372

0.16271872

1.867

0.75651596

0.1633728

0.04698626

1.9

0.75620999

-0.18232702

0.0474049

1.934

0.74430005

-0.5279613

0.17032409

1.967

0.72083658

-0.9000322

0.44471454

2

0.68489793

-1.24331331

0.80947475

2.034

0.63753459

-1.59831352

1.31073927

2.067

0.57781092

-1.9744281

1.97552089

2.1

0.50722234

-2.22481895

2.4879633

2.134

0.42874805

-2.58782933

3.35702071

2.167

0.33383777

-3.04527664

4.64403624

2.2

0.22775979

-3.35438232

5.63108767

2.233

0.11244854

-2.75872629

3.80828877

2.267

0.04292513

0.18665173

0.03406144

2.3

0.1249542

2.73307272

3.79266591

2.333

0.22330793

2.78248481

3.94070758

Grabación 2 t

H

0

1.63076923

0.033

1.63078332

0.066

1.63083487

0.00314584

5.03E-06

0.099

1.63099095

-0.04714042

0.00111634

0.133

1.62767646

-0.19714875

0.01952345

0.166

1.61778198

-0.45257806

0.10253527

Vy

K

9.94E-04

6.18E-07

0.2

1.59735373

-0.77772465

0.3029551

0.233

1.56567443

-1.12654243

0.63724992

0.266

1.52300193

-1.40338632

0.98836402

0.3

1.47164755

-1.72193374

1.48696124

0.333

1.40763237

-2.05116311

2.11018798

0.366

1.33627078

-2.43225718

2.96599468

0.399

1.24710339

-2.80213452

3.93459988

0.433

1.14852777

-3.17450702

5.04780327

0.466

1.03441142

-3.62057421

6.56912503

0.5

0.9059493

-4.07858805

8.33715771

0.533

0.76114602

-4.65083563

10.8350431

0.566

0.59899414

-5.13783939

13.2213732

0.599

0.42204862

-5.67165837

16.112124

0.633

0.21899303

-5.45178139

14.8931806

0.666

0.05677927

0.2072995

0.02481967

0.7

0.2328821

4.95836742

12.2948791

0.733

0.38898989

4.41286638

9.7377655

0.766

0.52413128

3.89851006

7.59998232

0.8

0.65019006

3.42547041

5.86720006

0.833

0.7536378

2.92991525

4.29239256

0.866

0.84356447

2.48866657

3.09677976

0.899

0.91788979

1.98467982

1.96951327

0.933

0.97653802

1.55840577

1.21446949

0.966

1.02230298

1.1969214

0.71651928

1

1.05673175

0.85242023

0.36432389

1.033

1.07941513

0.50416481

0.12933401

1.066

1.09000663

0.1348379

0.01114852

1.099

1.08831443

-0.20271819

0.02316652

1.133

1.07642451

-0.54800495

0.15306874

2.7

0.47598367

-1.79156841

1.60485907

1.166

1.0515981

-0.91079431

0.41827753

2.733

0.41057536

-2.24201017

2.51330495

1.2

1.01540129

-1.25291747

0.79056974

2.766

0.328011

-2.69191196

3.62320476

1.233

0.96765263

-1.63390176

1.34248332

2.8

0.23021726

-3.0590208

4.67882541

1.266

0.90756377

-1.99845756

2.00482463

2.833

0.12305661

-2.74953724

3.77998012

1.3

0.83375598

-2.38605573

2.85430608

2.866

0.0487478

0.73942453

0.27702187

1.333

0.74769804

-2.79730628

3.9206364

2.899

0.17185863

3.15931225

4.99840282

1.366

0.64913376

-3.18623778

5.08460731

2.933

0.26042172

2.36919948

2.81256735

1.399

0.53740635

-3.5762281

6.40523508

2.966

0.33059499

1.93991878

1.88982801

1.433

0.40952648

-4.00368742

8.02305422

2.999

0.38845636

1.49302604

1.12265435

1.466

0.26915929

-4.33953711

9.42232315

3.033

0.43062774

1.08922486

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1.5

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-2.03540938

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3.066

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1.533

0.13278686

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3.1

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1.566

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3.133

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1.599

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1.633

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3.2

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1.666

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3.233

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1.7

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1.71927819

3.266

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1.1404197

1.733

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1.1485436

3.3

0.32441777

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1.75815109

1.766

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1.13152333

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3.333

0.25512029

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1.8

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3.366

0.17233023

-2.71917943

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1.833

0.78711905

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3.399

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1.866

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1.899

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3.499

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1.999

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2.1

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3.666

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2.133

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-3.11042701

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3.7

0.38278809

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2.166

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3.766

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2.2

0.15443145

-3.57080701

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2.233

0.05150557

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0.05495866

2.266

0.17631277

3.4732876

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2.3

0.28421584

3.01501342

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2.333

0.37831867

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2.366

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2.09436166

2.399

0.51326161

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1.31148549

2.433

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2.466

0.59617883

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2.499

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2.533

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2.566

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2.6

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2.633

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-1.0759557

0.57888512

2.666

0.53061044

-1.42888937

1.02086277

Grabación 3

1.467

0.28720155

-5.47406029

15.0326763

1.5

0.04695652

-3.23532492

5.31339266

1.534

0.07043478

3.02896921

4.59008839

1.567

0.24989746

4.20948617

8.88800794

0.00172901

1.6

0.34826087

3.14827858

4.97025369

-0.03667973

0.00358281

1.633

0.45768385

3.01636282

4.55381361

1.68903622

-0.2845731

0.0431242

1.667

0.55035718

2.61811889

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0.167

1.674817

-0.61130778

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1.7

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1.734

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0.3

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1.867

0.80217391

0

0.02728788

0.367

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1.9

0.80217391

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2.034

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0.567

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0.6

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2.167

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0.667

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2.2

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0.7

0.29416708

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2.234

0.03521739

0

0.13814487

0.734

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11.154238

2.267

0.14478261

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0.767

0.61043478

2.19367589

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2.3

0.25434783

2.87799966

4.18842693

0.8

0.70434783

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2.333

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0.833

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2.367

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0.867

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2.4

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0.9

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2.434

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0.934

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0.967

1.06043478

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2.5

0.66913043

1

1.1073913

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1.034

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1.067

1.14385556

0.11544986

0.01673517

t

H

0

1.69043478

0.034

Vy

K

1.69139958

0.01580566

2.85E-04

0.067

1.69149376

0.03763359

0.1

1.6938834

0.134

1.1

1.1424023

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1.133

1.12999085

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1.167

1.10136326

-1.08275428

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1.2

1.05744631

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1.14411028

1.234

1.00117269

-1.88446549

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1.267

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-2.29759492

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1.3

0.84953143

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3.65477761

1.333

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1.367

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1.4

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5.89656573

1.434

0.4082445

-3.42789538

5.89267178

Grabacion4 t

H

0

1.66538462

0.034 0.067

Vy

K

1.66652202

-0.01343913

0.00798783

1.66448419

-0.22513098

0.03745562

0.1

1.65166338

-0.53224008

0.15444139

0.133

1.62935635

-0.82691323

0.35895313

0.167

1.59626019

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0.2

1.55294364

-1.512193

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0.234

1.49494326

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0.3

1.34820925

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0.333

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1.14395029

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0.4

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0.467

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0.5

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0.667

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0.7

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0.734

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0.767

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0.8

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1.02307692

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0.9

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1

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1.034

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1.067

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1.1

1.16761623

-0.69786867

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1.133

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Grabación 5 t

H

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Vy

K

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Grabacion1.5 t

H

Vy

K

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1.466

0.24021383

-4.74395768

11.2554547

1.5

0.03375

-1.57035563

1.23888448

1.533

0.135

3.40909091

5.81740702

1.566

0.25875

3.82158958

7.36734568

1.599

0.38722491

3.30184462

5.49982992

1.633

0.47997359

2.64347633

3.52096758

1.666

0.56433783

2.37227318

2.83488241

1.7

0.63891589

2.03999365

2.10170633

1.733

0.7010174

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1.766

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1.8

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0.77112241

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1.833

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1.866

0.80711965

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0.00950011

1.899

0.80092286

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0.0820857

1.933

0.7813527

-0.77992608

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1.966

0.74866782

-1.1606464

0.67854694

2

0.70358939

-1.5722172

1.24020302

2.033

0.64332926

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1.9704172

2.066

0.57264074

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2.099

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2.133

0.39365326

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5.0585613

2.166

0.2775

-3.58064568

6.41172664

-3.6380597

6.62400451

2.2

0.15375

2.233

0.03375

-0.625

0.23566632

2.266

0.1125

3.15680874

4.99864185

2.3

0.24525619

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4.39681862

2.333

2.98359453

0.3111063

2.42036082

2.366

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2.399

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1.79104478

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2.433

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1.01811372

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1.13636364

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2.499

0.6

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0.36443698

2.533

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2.566

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2.6

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2.633

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2.666

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2.7

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1.39037392

2.733

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2.766

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2.8

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-2.57775331

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Grabación 7 t

H

2.4546872

0

1.71923077

2.933

0.20057078

2.62869259

3.46990666

2.966

0.28133769

2.20880492

Vy

K

1.7194416

0.0088886

0.00182278

2.999

0.3463519

1.73357565

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0.033

3.033

0.39748726

1.3186439

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0.067

1.71982631

-0.00502416

9.15E-04

3.066

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3.1

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3.2

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0.333

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0.4

1.16562527

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0.5

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-5.18599

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0.533

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0.567

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0.6

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-5.38268684

14.5228792

0.633

0.00582351

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0.08197779

0.667

0.12402882

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0.7

0.33457688

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14.6353898

0.733

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0.766

0.62662

4.07071973

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0.8

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0.833

0.86626883

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0.866

0.96095158

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0.9

1.03976587

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0.933

1.10241844

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1.37269202

0.967

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1

1.18473994

0.8118243

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1.033

1.2043381

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0.08072845

1.066

1.21123046

0.01034293

1.40E-04

1.1

1.20503108

-0.40052964

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1.133

1.18439497

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1.167

1.1504154

-1.2056557

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1.2

1.10361604

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1.233

1.04190211

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2.18041944

1.266

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-2.47790848

3.0781072

1.3

0.87588224

-2.88286651

4.16892682

1.333

0.77277157

-3.28041069

5.39235608

Grabación 8

1.4

0.52533804

-4.14545144

8.61152195

1.433

0.38249493

-4.49282374

10.1116972

1.467

0.22431885

-4.84533242

11.7495419

1.5

0.05785766

-3.09280771

4.78558747

1.533

0.02019354

1.79492206

1.615712

1.566

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5.20951094

13.6162375

1.6

0.36923077

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1.633

0.43211781

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2.733

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1.667

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2.766

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1.7

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2.8

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-2.52760309

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1.733

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2.06962032

2.833

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-2.470031

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1.766

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2.867

0.16923077

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1.8

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2.9

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1.833

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2.933

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1.867

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1.9

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1.933

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1.967

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2

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2.066

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-2.23858995

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2.1

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-2.6218855

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2.133

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-3.40054232

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2.2

0.24953683

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2.233

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2.266

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2.3

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2.333

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2.433

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2.5

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2.566

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2.6

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2.633

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2.667

0.57683874

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2.7

0.53483698

-1.44119979

1.09289302

2.599 t

0.58701384

-0.03731274

0.01107002

2.633 H 0.57980369 Vy-0.41200084 K 0.09393625

0

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0.033

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0.00157339

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1.633652

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-8.84E-04

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0.333

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0.366

1.37590734

-2.39241763

2.88817571

1.4

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0.4

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1.433

0.433

1.19198209

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1.466

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0.466

1.07949066

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1.499

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0.499

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1.533

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1.566

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1.6

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0.6

0.55235688

-5.31106373

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1.633

0.3456488

3.93813838

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0.633

0.36533928

-5.92577506

17.6166392

1.666

0.4235535

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0.51859398

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3.44519001

0.666

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-4.21582661

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1.699

0.699

0.08709472

0.87283807

0.38176703

1.733

0.59918668

2.22083011

2.47453072

0.733

0.21973588

4.89190374

11.9983537

1.766

0.6673896

1.82550541

1.67444075

0.766

0.41485227

4.36939173

9.57247711

1.8

0.72149554

1.39244537

0.9751506

0.76068343

0.9649582

0.47035464

0.8

0.51248513

3.10178273

4.83125547

1.833

0.833

0.62267172

3.36697164

5.69756298

1.866

0.78518278

0.51087106

0.13437168

0.866

0.73470525

3.1243399

4.90733142

1.9

0.7949118

0.12324206

0.01024241

0.9

0.83200249

2.64623206

3.52455064

1.933

0.79344

-0.23594537

0.03041725

0.7793394

-0.63232405

0.2012008

0.933

0.9120028

2.2384529

2.52519102

1.966

0.966

0.97974038

1.8097005

1.65475893

1.999

0.75170661

-1.03306064

0.53394255

0.999

1.03144303

1.35335882

0.93077187

2.033

0.71012434

-1.44093058

1.03820287

1.033

1.07041542

0.94272692

0.45537192

2.066

0.65516426

-1.83473425

1.68312643

0.58719714

-2.21383854

2.4506653

1.066

1.09460574

0.51908104

0.14330869

2.1

1.1

1.10519385

0.13154177

0.01630535

2.133

0.50683708

-2.61206502

3.41160837

1.133

1.10341904

-0.22148619

0.03032509

2.166

0.41480085

-2.99235843

4.47732994

1.166

1.09057576

-0.58112825

0.1720028

2.199

0.30934142

-3.34838266

5.60673272

0.19045921

-3.66987288

6.7349452

1.199

1.06506457

-0.98154096

0.48427891

2.233

1.233

1.02481252

-1.39083101

0.9685817

2.266

0.06345994

-2.20944103

2.44082118

1.266

0.9718789

-1.77510818

1.57570176

2.3

0.04242667

1.44887952

1.05842227

2.333

0.16053487

3.35780471

5.6688726

2.366

0.26404178

2.85103716

4.09215003

2.4

0.35155436

2.40128024

2.90976902

2.433

0.42492755

2.02130749

2.0711508

2.466

0.48496065

1.63192838

1.3545844

2.499

0.53263483

1.17514903

0.71051638

2.533

0.56369564

0.74132558

0.29284947

2.566

0.58230364

0.3533061

0.07641968

2.666

0.55940978

-0.78497907

0.3152615

2.7

0.52721009

-1.17521545

0.69678868

2.733

0.48067035

-1.59527704

1.27881731

2.766

0.4219218

-1.95638277

1.91906321

2.8

0.3495927

-2.31076187

2.67414513

2.833

0.26710076

-2.67646855

3.58294778

2.866

0.17294578

-2.94692036

4.34245052

2.9

0.06965709

-1.94939727

1.90017511

2.933

0.04233616

0.98518011

0.4909965

2.966

0.13467898

2.62870804

3.47182875

2.999

0.21583089

2.06642566

2.14608189

3.033

0.2731295

1.47506015

1.09193917

3.066

0.31465992

1.08095714

0.58637915

3.099

0.34447267

0.66963805

0.22581612

3.133

0.35952567

0.26326335

0.03549047

3.166

0.36211132

-0.11036786

0.00668365

3.2

0.35213102

-0.51182287

0.13148803

3.233

0.32781918

-0.94144546

0.44333664

3.266

0.28999562

-1.31671663

0.86689476

3.3

0.23959917

-1.74376782

1.52036462

3.333

0.17316318

-2.20189548

2.42419442

3.366

0.09427407

Promedio

U1

U2

U3

V1

V2

V3

Vy

K

1

-5.7475582

-4.7605734

-3.3543823

5.29676935

4.05709992

2.78248481

-0.411783

3.2914931

1.1

-5.4517814

-4.3395371

-3.7074101

4.95836742

3.74487075

3.4732876

-3.45E-01

2.66E+00

1.2

-7.0438785

-5.4740603

-3.5167422

7.76768332

4.20948617

3.3201581

-0.4365711

4.06E+00

1.3

-5.5672482

-4.0125445

-3.6422711

4.42341829

4.70723307

3.88330013

-0.4504032

3.31013552

1.4

-5.1749449

-4.4709389

-3.2557018

4.78957671

4.01884023

2.8627355

-0.4369237

3.06570705

1.5

-7.0407664

-4.7439577

-3.63806

6.06895954

3.82158958

3.15680874

-0.3945602

3.26E+00

1.6

-5.926791

-4.8453324

-3.8331289

5.40909699

5.20951094

3.32724029

-0.5807198

3.9003821

1.7

-5.9257751 -5.984843

-3.957663 -4.5755759

-3.6698729 -3.5771961

4.89190374 5.45072192

4.61412425 4.29784436

3.35780471 3.27047749

-0.4499749

2.86470895

-0.4381932

3.30120775

Total

La última fila muestra el promedio de la velocidad inicial y final de cada rebote junto con la velocidad en general y la energía cinética. El promedio total de la velocidad fue: -0.4381932 El promedio total de la energía cinética fue: 3.30120775

Y también podemos ver el movimiento de la partícula en estas graficas cada una correspondiente a cada tabla en las que lo rojo corresponde a las alturas (lo mas estable), lo verde a la velocidad (lo que mas baja), lo azul a la energía cinética (lo que mas sube) y la pequeña línea negra a un ajuste de recta (con ordenada al origen b=1.21 y pendiente m= -0.37):

Ahora solo falta determinar los valores que nos habíamos planteado. 

Primero el coeficiente de restitución. Para ello usaremos la ecuación (1) y lo corroboraremos después con la ecuación (7) usando las velocidades promedio obtenidas:

|

(

)

(1)

|

Usando los promedios obtenidos para las velocidades en cada rebote, sean u la velocidad inicial y v la velocidad final, el subíndice uno el correspondiente a la pelota y el subíndice 2 al de la mesa. Entonces |

(

)

|

|

|

|

|

|

|

|

|

Por lo tanto:

Y esta es nuestra e que afecto el cambio de velocidad en la pelota y las diferencias de altura.

De acuerdo a las actividades añadidas en las hojas al final, también tenemos que 

Calcular la velocidad y la altura del primer y segundo rebote. Para saber la velocidad solo hay que mirar la tabla y buscar a U1 y U2, pero para la altura usaremos la ecuación (4), la altura inicial (que es 1.45m ya que la regla es de 1m y la marca de inicio esta a 45cm de la regla) y nuestro coeficiente de restitución ya obtenido.

(4) ( ) ( )

Y estas son las alturas a las que llego en el primer y segundo rebote



Lo siguiente en las actividades es comprobar la perdida de energía que tiene la pelota en el primer y segundo rebote. Para ello nos apoyaremos en la ecuación (5), sabiendo que la masa es 50gr, la altura inicial 1.45m, la gravedad es 9.81m/s2 y nuestra e.

(5) (

)

(

(

) )

(

( )

) (

)

Y estas son las cantidades de energía que pierde el cuerpo en su primer y segundo rebote.



Lo penúltimo a realizar es calcular el tiempo en que tarda en subir y bajar la pelota en la primer y segunda altura. Para ello usaremos la ecuación (6) y tendremos que hacer una sustitución para incluir las diferentes alturas, sustituiremos la ecuación (8) en la ecuación (6) y luego despejaremos h en la (4) para sustituirla en la obtenida. De ahí procederemos a obtener los tiempos.

√

√

√

Y esta es la ecuación que usaremos para calcular esos tiempos

√

√

√

√

Estos son los tiempos que le tomo subir y bajar en la altura 1 y 2. 

Y por ultimo hay que determinar la aceleración de la gravedad. Para ello podemos usar una de las ecuaciones del inciso anterior para que sea más cómodo. Usemos t1.

⁄ Con esto terminamos las actividades marcadas y vimos lo diferentes valores que influyen en el experimento. Ahora solo por deuda textual con firmaremos el valor de e usando la ecuación (7). En esta tn es el tiempo que pasa la pelota en el aire entre 2 rebotes y 2t0 es nuestro tiempo inicial (nótese que esta ecuación salió de tomar el ln de la ecuación (6)). Por facilidad usemos a t1 (E=el numero e no el coeficiente de restitución).

(

)

(

)

(

)

(

) (√

(7)

)

Que es el mismo valor que ya habíamos obtenido.

Discusión Vemos que los resultados de las grabaciones son coherentes con lo esperado pues lo agentes externos no causaron un cambio brusco en el movimiento de la pelota por lo que en el sistema de referencia de la cámara, la pelota hace casi el mismo movimiento una y otra vez. Si sustituimos en las ecuaciones que acabamos de utilizar podemos encontrar valores para el coeficiente de restitución, las alturas y el tiempo en el aire que son consistentes con la realidad y, en el caso del tiempo, con los valores de la tabla. Esto es porque los agentes externos no producen grandes cambios y porque el movimiento de la pelota se da debido a una fuerza constante que es la de la gravedad, además de que a pesar de no ser una colisión completamente elástica, la mesa contra la que choca no se mueve o se deforma en gran medida cuando aquella choca por lo que el coeficiente de restitución es diferente de 1 y este es el que va haciendo variar la altura de la pelota junto con su velocidad con la que sube. Un resumen de lo realizado seria:

|

(

)

|

√

Las mediciones no fueron demasiado precisas por varios aspectos: primero, el mal pulso al sostener la regla y al dejar caer la pelota y; segundo, porque a pesar de la mesa no se movía había alguno hoyos en ella al igual que en la pelota por lo que sucedía que en algún choque se desviaba un poco al clavarse en los hoyos y eso alteraba la velocidad con que salía.

Conclusiones Los resultados más importantes obtenidos fueron:  



Se comprobaron las ecuaciones utilizadas para determinar el coeficiente de restitución, el tiempo en el aire, las alturas y la perdida de energía. Se encontró la relación entre cada una de las ecuaciones por la forma en que se obtuvieron, ya que cada una era causa y consecuencia de alguna otra y Se observo que, verticalmente, la componente horizontal de la velocidad no juega algún papel en todo esto, todo esta enfocado a la componente vertical antes y después del choque pues la componente horizontal siempre es constante.

El valor obtenido más relevante fue el coeficiente de restitución pues prácticamente de este se desprenden los demás. Hubo algunos valores extraños en cada grabación como cambios de velocidad muy radicales e incluso cambiar directo al 0 pero esto se debe a los problemas con el Tracker. Otra observación interesante en los valores obtenidos es que ni en la velocidad ni en la energía ni en la altura se vuelven a alcanzar los máximos que se obtuvieron anteriormente, esto lo podemos ver claramente en las graficas y corroborarlo en las tablas y mas que nada se debe a la perdida de energía el que la velocidad o la altura no rebasen su máximo alcanzado anteriormente y esta perdida de energía se da, a fin de cuentas, por el coeficiente de restitución. El experimento fue bueno pues pudimos lograr los resultados mencionados y comprender mejor como es que se trabaja con el coeficiente de restitución y vimos como calcularlo y como es que afecta a otros valores y al movimiento mismo. Experimentalmente vimos los efectos del coeficiente y la importancia de fuerzas externas “constantes” pues el movimiento era casi idéntico de una grabación a la otra, solo afectado por el mal pulso y las deformaciones en la mesa. Bibliografía  

http://www.fisica-relatividad.com.ar/sistemas-inerciales/relatividad-de-galileo-1 Física para Ciencias e Ingenierías; Serway, Jewett; editorial Cengage Learning; México 2008; Séptima edición; págs. 1113-1116