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Marcelo Rufino de Oliveira

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Com formação pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) Coordenador das Turmas Militares do Colégio Ideal Professor de Matemática das Turmas Militares do Colégio Ideal Coordenador Regional da Olimpíada Brasileira de Matemática

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COLEÇÃO ELEMENTOS DA MATEMÁTICA

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Marcelo Rufino de Oliveira

ÁLGEBRA PROPORÇÃO FRAÇÕES Fortaleza – CE 1ª edição

Editora Vestseller (2012)

Copyright ” 2011 by marcelo rufino de oliveira

Todos os direitos desta edição estão reservados à Marcelo Rufino de Oliveira Belém – Pará – Brasil E-mail: [email protected]

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LOUDES PACHECO Ficha Catalográfica

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Ilustração da Capa Rafael Feitosa parente

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F48c.........Oliveira, Marcelo Rufino de

Coleção elementos da matemática, 0 : álgebra, proporção, frações / Marcelo Rufino de Oliveira. – 1 ed. - Belém: 2009. 254p.

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ISBN: 978-85-60653-18-8

APRESENTAÇÃO À 1ª EDIÇÃO Este é o volume zero da Coleção Elementos da Matemática. A coleção foi inicialmente programada para apresentar apenas o conteúdo de Ensino Médio, dividido em seis volumes. Entretanto, os autores acharam interessante também abranger o conteúdo de Ensino Fundamental, notadamente os tópicos cobrados em concursos militares, fazendo com que o volume 0 fosse adicionado à coleção em 2011. Os principais tópicos abordados no volume 0 são álgebra (potenciação e radiciação, operações algébricas, equações e inequações), sistema métrico, frações (ordinárias e algébricas) e razão e proporção. O capítulo sobre bases de numeração, que constava no apêndice do volume 1, agora será abordado com mais detalhes no volume 0.

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Volume 0 – Álgebra, Proporção e Frações Autor: Marcelo Rufino de Oliveira

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A coleção Elementos da Matemática está agora organizada da seguinte maneira:

Volume 1 – Conjuntos, Funções, Exponencial, Logaritmo e Aritmética Autor: Marcelo Rufino de Oliveira e Márcio Rodrigo da Rocha Pinheiro Volume 2 – Geometria Plana Autores: Marcelo Rufino de Oliveira e Márcio Rodrigo da Rocha Pinheiro Volume 3 – Seqüências, Combinatória, Probabilidade, Matrizes e Trigonometria Autor: Marcelo Rufino de Oliveira e Manoel Leite Carneiro

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Volume 4 – Números Complexos, Polinômios e Geometria Analítica Autores: Marcelo Rufino de Oliveira Volume 5 – Geometria Espacial Autor: Marcelo Rufino de Oliveira

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Volume 6 – Cálculo Autor: Márcio Rodrigo da Rocha Pinheiro

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A idéia de número muito provavelmente nasceu com a natural necessidade humana de contar os objetos do mundo ao seu redor, como animais, frutas ou pessoas. Para esse propósito (contagem ou cardinalidade), o conjunto dos números naturais serve perfeitamente. Além dessa finalidade (de número cardinal), os naturais são também utilizados como números ordinais, ou seja, para colocar objetos em uma certa ordem (tal qual uma fila). Obviamente, mesmo quando não havia ainda a escrita (os algarismos) para representar a contagem, o que possivelmente já ocorria era uma comparação entre os objetos de dois conjuntos diferentes, como um conjunto de pedras numa pequena sacola e o conjunto de animais de um rebanho. Com o decorrer do tempo houve a necessidade de medir grandezas (massas, comprimentos, volumes, tempo, etc.). Medir uma grandeza significa compará-la com outra, da mesma espécie, denominada unidade de medida (padrão). Dessa forma, para exemplificar, quando se diz que a massa de uma pessoa é igual a 87 kg, compara-se a massa do indivíduo com a de um bloco de platina (o quilograma padrão), guardado na França, e adotado como unidade padrão de medida de massa pela maior parte do mundo (há outras, como a libra e a onça). Mas não é necessário um exemplo tão formal: basta notar a utilização de partes do corpo como padrão unitário (como os pés, medindo uma “travinha”, ou o palmo da mão, medindo os mais diversos comprimentos). Entretanto, é de esperar-se que nem todo ser humano (ou qualquer outro material) tenha uma massa correspondente a um múltiplo inteiro de 1 kg. É comum encontrar massas “quebradas”, isto é, do tipo 87,654 kg, por exemplo. Esta medida significa que, ao dividir-se a

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unidade padrão de medida, 1 kg, em 1000 partes de mesma massa (denominado miligrama, por sinal um dos vários submúltiplos do quilograma), a massa fracionária corresponde a 87 blocos originais mais 654 unidades de cada uma das partes da divisão. Analogamente, quando se mede um comprimento usando os palmos da mão, é freqüente não caber um número inteiro de palmos. Dessa forma, surge a necessidade da noção dos números racionais (ou “fracionários”), para os quais a unidade é subdividida em quantidade conveniente de partes iguais, até que alguma dessas partes caiba um número inteiro de vezes na grandeza a ser medida. A tempo, quando o resultado da comparação de uma grandeza com uma unidade previamente escolhida resulta sempre em números inteiros (até agora, naturais), diz-se que se está realizando uma contagem. Tal fato ocorre quando, por exemplo, vai ser medida a quantidade de vacas num rebanho: sempre se tem 1 vaca, 2 vacas, ou 56 vacas, ou mesmo 0 vacas. Nunca se conta (de um modo geral) 5,7, 3 69 ou S vacas, por exemplo. A grandeza, nesta situação, é denominada discreta. Já quando essa comparação com a unidade permite que ocorram (todos os) valores – reais – entre dois inteiros consecutivos, lida-se com grandezas denominadas contínuas. Não se usa mais o termo contagem para medidas deste tipo, mas sim medição. Como exemplos, podem ser citadas a massa ou a temperatura de um corpo. A massa de um corpo não a, abruptamente (instantaneamente), de 79 kg para 80kg. a-se por todos os valores intermediários, como 79,1 kg, 79,567 kg, 79,666... kg, 6345 3 705 kg (ainda que não se possa vê-los, explicitamente, na balança). Essencialmente, o desenvolvimento numérico do ser humano atingiu esse ponto desde a pré-história até aproximadamente o século V antes de Cristo. Esses resultados já predominavam na antigüidade, como entre os babilônios, egípcios e, mais tarde, gregos. Estes tinham a noção de números racionais, sem a notação atual, é claro. Para eles, os números serviam quase que exclusivamente para efetuar medições (ou contagens), de modo que eram principalmente interpretados como segmentos de reta. Desse modo, números reais para eles consistiam em qualquer segmento de reta que pudesse ser desenhado, construído ou concebido, em última análise.

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Fixando “u” como segmento unitário (unidade de medida), tem-se como era entendido o número inteiro 4: AB.

É de esperar-se que AB não seja sempre inteiro. O que fazer, então? Fácil! Basta subdividir a unidade “u” em subunidades (ou melhor, submúltiplos) “w”, de modo que “w” caiba exatamente um número inteiro de vezes em “u”. Ao lado, tem-se, assim, u = 5w œ w = u/5, e, conseqüentemente, AB = 3u + 4w = 19/5 unidades.

Em geral, quando se pode dividir a unidade “’u” em q segmentos congruentes “w” (de medida 1/q), e quando p destes segmentos “w” justapostos cabem exatamente sobre AB , dizse que AB = p/q, com p e q inteiros. Perceba-se, então, que até alguns séculos antes de Cristo, tudo que se sabia sobre números dizia respeito aos conjuntos N, Z+ e Q +, sendo que este último, na verdade, era imaginado como uma espécie de Z + “composto” (quociente de dois inteiros). O que havia para os gregos no último exemplo, em que AB = 19/5, não era bem o resultado da divisão de 19 por 5, mas sim 19 segmentos “novos unitários”, adjacentemente dispostos em AB. Isso é evidenciado, com grande destaque, em uma seita de cunho místico, os pitagóricos, que pregavam, em essência, exatamente esta idéia: a de que tudo (no universo) é número (ou

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pode ser explicado por eles). Ressalte-se que o conceito de número, na época (séculos VI e V a.C., aproximadamente), restringia-se ao de números inteiros positivos. Quando uma grandeza pode ser medida por esse processo (isto é, através de um número racional), ela é dita comensurável (com a unidade escolhida). Por ironia do destino, foram os próprios pitagóricos que descobriram, concomitantemente com o teorema pelo qual eles ficaram famosos (ou , pelo menos, seu líder: o Teorema de Pitágoras), que nem tudo pode ser explicado por razões entre inteiros. Até então, era aceita a idéia que sempre era possível subdividir a unidade, de forma a obter um submúltiplo conveniente. Se não fosse conveniente subdividir a unidade em 2 partes iguais, efetuava-se a divisão em 3, 4, 5, ... partes iguais até caber um número inteiro de vezes no segmento a ser medido. Esta consideração era oriunda da harmonia existente entre cordas musicais cujas medidas estivessem entre si na mesma razão de dois inteiros. Na prática, esse processo sempre chegava a um fim num certo número inteiro positivo q, o qual criava a subunidade 1/q, uma vez que o olho humano (e mesmo o aparelho de medida mais sofisticado da atualidade) possui o que se chama de precisão limitada, o que significa, por exemplo, que dividir a unidade em 20 partes aparenta o mesmo resultado para a divisão em 19 partes. A partir de resultados puramente teóricos, todavia, descobriu-se que, adotando o lado de um quadrado como unidade de medida jamais a diagonal do mesmo poderia ser medida por um número racional. Muito estranho, para a época, uma vez que era óbvio que a referida diagonal existe (é real). A saída foi abandonar (PARA FINS TEÓRICOS) a idéia de que o processo de subdivisão da unidade fosse impecável, e aceitar a existência de grandezas incomensuráveis, ou seja, para as quais a medida não é sempre um número racional. Surgem, assim, os números irracionais. O matemático grego Eudóxio (aproximadamente século V a.C.) foi quem criou, posteriormente e pela primeira vez, definições e propriedades convenientes (para a época e por muitos séculos depois), as quais ensinavam a lidar com esses “monstros numéricos”, os irracionais. Deve-se a ele as idéias básicas vistas anteriormente de compreender perfeitamente um número irracional qualquer por meio de suas aproximações por falta e por excesso. Outro resultado fundamental, a ser visto quando do estudo de funções afins, é um poderoso método de demonstração, conhecido por método da exaustão, que serve basicamente para estender uma propriedade dos números racionais para os números reais, sob certas condições. O curioso é que a existência de números negativos só foi aceita muito tempo depois, principalmente sob influência de mercadores orientais (árabes, por exemplo), que já trabalhavam comercial e algebricamente com noções de saldo credor (positivo) e saldo devedor (negativo). Somente após o Renascimento, em meados do século XV, os números negativos foram sendo introduzidos mundo afora. O número zero também demorou a ser aceito e utilizado, mas essa verdadeira conquista é uma outra história... Finalmente, no final do século XIX, a humanidade alcançou o ponto de dominar os conceitos dos conjuntos numéricos, quando grandes matemáticos como Dedekind, Peano, Cantor e Weierstrass desenvolveram teorias rigorosas que explicavam os números reais e, assim, os números irracionais. O interessante é que muitas das idéias partiram (ou estavam bem próximas) dos resultados obtidos por Eudóxio, 24 séculos antes. Obviamente, de modo bem mais operacional e completo. A propósito, as letras representativas dos principais conjuntos numéricos acima (N, Z e Q) significam, respectivamente, número, zahl (número, em alemão) e quociente.

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Índice 1 6 8 11 12 16

Capítulo 2. Bases de Numeração 1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Conversão de uma base b para base 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Conversão de base 10 para uma base b qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Capítulo 3. Médias 1. Média Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Média Ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Média Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Média Harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Média Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Capítulo 4. Sistema Métrico 1. Comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Conversão entre Unidades Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Capítulo 1. Potências e Radiciação 1. Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Expoentes Fracionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Expoentes Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Métodos de Aproximação para Extração da Raiz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 48 54 57 61 67 72

Capítulo 6. Operações Algébricas 1. Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Adição e Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Produtos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Divisão de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Máximo Divisor Comum de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Mínimo Múltiplo Comum de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 97 97 98 101 111 115 117 118

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Capítulo 5. Razões e Proporções 1. Razão entre Duas Grandezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Proporção de suas Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Regra de Três Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Regra de Três Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Juros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Capítulo 8. Equações 1. Identidades e Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Princípios Gerais Sobre a Transformação de Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Equações do 1º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Equações do 2º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Equações Biquadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Equações Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Equações Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Sistema de Equações Não-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Capítulo 9. Inequações 1. Desigualdades e Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Inequações do 1º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Sistema de Inequações do 1º Grau do uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Sistema de duas Inequações do 1º Grau com duas incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Inequações do 2º Grau do uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Sistemas de Inequações do 2º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Inequações Envolvendo Funções Produto e Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . 9. Inequações Simultâneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Inequações Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Inequações Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Capítulo 7. Frações 1. Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Racionalização de Denominadores Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Representação Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Decimais Exatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Dízimas Periódicas Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Dízimas Periódicas Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Gabaritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

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