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EJERCICIOS DE CONTEO- ANALISIS COMBINATORIO *TALLER EN LATEX #1 PRESENTADO: CESAR AUGUSTO NARANJO CASTRO CODIGO: 2011199327 EJERCICIO NUMERO UNO Encuentre el n´ umero de comidas en Comida R´apida de Kay (figura 6.1.1) que satisfacen las condiciones de los ejercicios 1 al 3. 3. Un entrem´es opcional, un plato fuerte y una bebida opcional EN T REM ES: NACHOS -SALAMI ESPECIAL P LAT OF U ERT E :HAMBURGUESA-CARNE ASADA-FILETE DE PESCADO BEBIDAOP CION AL :TE-MALTEADA-COLA-REFRESCO ENTREMES PLATOFUERTE BEBIDAOPCIONAL NACHOS HAMBURGUESA TE ALGUNAS LISSALAMI CARNE ASADA COLA NACHOS FILETE REFRESCO TAS POSIBLES * LAS OPCIONES SUFICIENTES QUE SATISFACEN LAS CONDICIONES DEL ENUNCIADO 3) SON → − 2 ∗ 3 ∗ 3 = 18 FORMAS DE ESCOJER 5. Las opciones disponibles en un modelo espec´ıfico de autom´ovil son cinco colores para el interior, seis colores de exterior, dos tipos de asientos, tres tipos de motor y tres tipos de radio. ¿De cu´an- tas posibilidades diferentes dispone el cliente? ELABOREMOS UNA TABLA DONDE VEAMOS EL ENUNCIADO ANTERIOR COLOR INTERIOR COLOR EXTERIOR TIPO DE ASIENTO TIPO DE MOTOR IN1 EX1 AS1 M1 IN2 EX2 AS2 M2 IN3 EX3 AS1 M3 IN4 EX4 AS2 M1 IN5 EX5 AS1 M2 IN1 EX6 AS2 M3 La tabla ah sido elaborada de acuerdo alas condiciones estipuladas anteriormente ; viendo asi algunas de las posibles opciones de las cuales tienen los clientes posilibilidad 1: IN1-EX1-AS1-M1-R1 posibilidad 2: IN2-EX2-AS2-M2-R2 EL TOTAL DE POSIBILIDADES QUE TIENE EL CLIENTE SON → − 5∗ 6 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 3 = 240POSIBILIDADES EN TOTAL POSEE CADA UNO DE LOS CLIENTES 6. El sistema Braille para representar caracteres fue desarrollado a principios del siglo IX por Louis Braille. Los caracteres especiales para el invidente 1

TIPO D R1 R2 R3 R1 R2 R3

consisten en puntos en relieve. Las posiciones para los puntos se seleccionan en dos columnas verticales de tres puntos cada una. Debe haber al menos un punto en relieve. ¿Cu´ antos caracteres distintos de Braille puede haber? . . . posibilidax1 esta matriz simboliza una de los caracteres presentes en . . el alfabeto braile. (8 ∗ 4) + (8 ∗ 4) = 64 caracteres en total

En los ejercicios 8 al 16, se lanzan dos dados, uno azul y otro rojo. 12. ¿En cu´ antos resultados el dado azul muestra 2? TIRO 1 1 1 1 1 1 POSIILIDAD 1 2 3 4 5 6 de acuerdo al cuadro podemos ver que dado el lanzamiento numero uno existen seis posibilidades , y ademas desde la segunda posibilidad aparece el dos en la tercera aparece de tal manera que esta contenida en tres , y asi sucesivamente hasta seis , por tanto el dado azul muestra cinco veces a dos 2 muestra2 : 5 T IRAN DOELDADO

16. ¿Cu´ antos resultados dan una suma par? como sabemos los resultados posibles o combinaciones que se pueden formar apartir del lanzamiento de los dos dados son 36 (6*6),analizemos cuantas de estas combinaciones sumadas producen un numero par denominemos S a todos las posibles sumas obtenidos apartir del lanzamiento de los dos dados S={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} , y sp al conjunto de la sumas pares entoncs sp = {2, 4, 6, 8, 10, 12} de los 36 resultados posibles 18 son divisibles por 2 entoncs existen 18 resultados que al sumar dan un numero par. 21. ¿Cu´ antas cadenas de 8 bits comienzan con 1100? 1 1 1 1 2 2 2 2 esta tabla ilustra que en las cuatro primeras casillas solo puede ir un solo valor previamente asignados en las cuatro restantes pueden ir dos (0o1). 1 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 : 2´4 = 16CADENAS EN TOTAL. 22. ¿Cu´ antas cadenas de 8 bits comienzan y terminan con 1? 1 2 2 2 2 2 2 1 de nuevo como en el anterior por el principio de multiplicacion tenemos 1 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 1 = 64 CADENAS EN TOTAL

2

23. ¿Cu´ antas cadenas de 8 bits tienen 1 en el segundo o el cuarto bit (o en ambos)? 0 2 1 2 2 2 2 2 2 CADENA CON UNO EN EL SEGUNDO 2 ∗ 1 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 = 128 2 2 2 1 2 2 2 2 CADENA CON UNO EN EL CUARTO 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 1 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 = 128 2 1 2 1 2 2 2 2 CADENA CON UNO EN EL SEGNDO Y EN EL CUARTO 2 ∗ 1 ∗ 2 ∗ 1 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 = 64

TALLER EN LATEX#2

En los ejercicios 9 al 14, determine si la relaci´on indicada es una relaci´on de equivalencia en el conjunto de todas las personas. 13.A: {(x, y)|xyytienenlosmismospadres} Digamos que si X y Y tienen los mismos padres entonces XrY r : RELACION ADO

donde

veamos si la relacion es reflexiva R es reflexiva en A si y solo si (Para todo XeA)( XrX) {(x, x)|XyXtienenlosmismospadres} entonces XrX ; asi X se relaciona connsigo mimos por por tanto la relacion cumple con la propiedad reflexiva. veamos si la relacion es simetrica R es simetrica en A si y solo si (para todo X,Ye A)(XrY entonces YrX) {(x, y)|xyytienenlosmismospadres} entoncs{(y, x)|yyxtienenlosmismospadres} como XrY y YrX entonces la relacion es simetrica

veamos si la relacion es transitiva R es transitiva en A (para todo x,y,z e A)( xry y yrz entonces xrz) (para todo x,y,e A) entoncs {(x, y)|xyytienenlosmismospadres}xry y{(y, x)|yyxtienenlosmismospadres por tanto la relacion es transitiva podemos concluir que la relacion es de equivalencia En los ejercicios 15 al 20, liste los de la relaci´on de equivalencia en {1, 2, 3, 4} definida (como en el teorema 3.2.1) por la partici´on dada. Adem´as, encuentre las clases de equivalencia [1], [2], [3] y [4]. V 3

15. {{1,2},{3,4}} clase del [a] entonces [a] ={ x e X |xRa}. 2200 R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)} [1]:{(1,2),(1,1),} [2]:{,(2,1),(2,2),} [3]:{(3,4),(3,3)} [4]:{,(4,3),(4,4)}

16.{{1},{2},{3,4}} X={1,2,3,4} r={(1,1),(2,2),(3,3),(3,4),(4,4),(4,3)} [1]:{(1,1)} [2]:{(2,2)} [3]:{(3,4),(3,3)} [4]:{,(4,3),(4,4)}

17. {{1},{2},{3},{4}} X={1,2,3,4} R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} [1]:{(1,1)} [2]:{(2,2)} [3]:{(3,3)} [4]:{(4,4)} 18.{{1,2,3},{4}} X={1,2,3,4} R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4) } [1]:{(1,1),(1,2),(1,3)} [2]:{(2,1),(2,2),(2,3)} [3]:{(3,1),(3,2),(3,3)} [4]:{(4,4)} 19.{{1,2,3,4}} X={1,2,3,4} R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)} [1]:{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)} [2]:{(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} [3]:{(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)} [4]:{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}

20.{{1},{2,4},{3}} X={1,2,3,4} R={(1,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4),(3,3)} 4

[1]:{(1,1)} [2]:{(2,2),(2,4)} [3]:{(3,3)} [4]:{(4,2),(4,4)} 21. Demuestre que R es una relaci´on de equivalencia. A R B si A U Y = B U Y.

Veamos si la relacion R es reflexiva (para todo XeA)(XRX) Para todo AeA entonces ARA SI A U Y = A U Y. lo cual es cierto por criterios de igualdad por tanto es reflexiva Veamos si la relacion R es simetrica R es simetrica en A si y solo si (para todo X,Ye A)(XrY entonces YrX) def (para todo A,Be A) entonces ARB Si A U Y = B U Y. entonces por propiedades de la igualdad es cierto afirmar que B U Y = A U Y por tanto BRA asi se cumple la propiedad simetrica Veamos si la relacion R es transitiva dado que ARB Si A U Y = B U Y. y BRA Si B U Y = A U Y. entonces por transitividad ARA Si A U Y = A U Y POR Tanto es transitiva asi que la relacion es de equivalencia

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