Conjunto Denso 6y5f3q

Cap´ıtulo I: Espacios m´etricos.

7 de octubre de 2008

1.

Conjuntos densos.

Sea (E, d) un espacio m´etrico. Definici´ on 1 Se dice que A ⊆ E es denso (en E) si A intersecta todas las bolas abiertas de E. Es decir, A es denso si A ∩ Bo (x, R) 6= ∅ para todo x ∈ E y todo R > 0. Ejemplo 1 Los conjuntos Q y R \ Q son densos en (R, | · |). Ejercicio 1 Sea E = [0, 1] con la m´etrica d(x, y) = |x − y|. Probar que el siguiente conjunto es denso en E: k A = { n : n ≥ 0, 0 ≤ k ≤ 2n }. 2 A se conoce como el conjunto de los n´ umeros di´ adicos. Proposici´ on 1 Sea A ⊆ E. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1.

A es denso en E.

2.

A = E.

3.

Todo abierto no vac´ıo O ⊆ E satisface A ∩ O 6= ∅.

Demostraci´ on: La equivalencia entre las afirmaciones 1 y 3 es directa de la definici´on de abierto y de conjunto denso. Para probar que la afirmaci´on 1 es equivalente a la 2, recordemos que A es el conjunto de todos los x ∈ E tales que para todo R > 0, Bo (x, R) ∩ A 6= ∅. Luego, A = E es equivalente a decir que para todo x ∈ E y R > 0 se tiene Bo (x, R) ∩ E 6= ∅, lo que significa que A es denso. Definici´ on 2 Se dice que el espacio m´etrico (E, d) es separable si existe un subconjunto numerable de E que es denso. Ejemplo 2 (R, | · |) es separable, pues Q ⊆ R es denso y numerable. Definici´ on 3 Se dice que A ⊆ E es nunca denso si el exterior de A es denso en E. Proposici´ on 2 A ⊆ E es nunca denso si y s´ olo si int(A) = ∅. 1

Demostraci´ on: Si existe x ∈ int(A) entonces existe R > 0 tal que Bo (x, R) ⊆ A. Ya que c A = (int(A ))c , esto implica que Bo (x, R) ∩ int(Ac ) = ∅ y, por lo tanto, int(Ac ) no es denso. Con esto mostramos que si A es nunca denso entonces int(A) = ∅. c Si int(A) = ∅, entonces para todo x ∈ E y todo R > 0 la bola Bo (x, R) intersecta A . Como c A = int(Ac ), esto implica que todo x ∈ E est´a en int(Ac ), lo que significa que int(Ac ) es denso. Observaci´ on 1 El interior de A no necesariamente es igual al interior de A. Por ejemplo, si tomamos R con la m´etrica natural, el interior de Q es vac´ıo, pero el interior de Q = R es igual a R. Ejemplo 3 El conjunto de Cantor en [0, 1] es nunca denso.

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