Conos De Monge 6w29y

Sergio Porres Blanco Ecuaciones Funcionales

Entrega no 2 Se considera la ecuaci´ on ut = u3x .

1) Obt´ enganse los conos de Monge. 2) Calc´ ulese mediante la resoluci´ on del sistema caracter´ıstico la soluci´ on del problema de Cauchy: 3

u(x, 0) = 2x 2 , x > 0.

3) H´ allese una integral completa para la ecuaci´ on en derivadas parciales considerada. 4) Resu´ elvase el problema de Cauchy del apartado 2) mediante la integral completa obtenida. 5) Estudiar cu´ ando la soluci´ on deja de estar bien definida para t > 0 para el PPVI: u(x, 0) = h(x), x ∈ R. ————————————————————————————————————————————————— 1) F (x, y, z, p, q) = 0 ⇐⇒ p3 − q = 0. |Fp | + |Fq | = 3p2 + 1 > 0. Calculamos las parciales de F respecto de las 5 variables: Fp = 3p2

Fq = −1

Fx = 0

Fy = 0

Fz = 0.

(1)

En este caso, los conos de Monge ser´ an del tipo: z − z0 = p(x − x0 ) + q(y − y0 ). Usamos la condici´ on F (x, y, z, p, q) = 0 ⇐⇒ p3 − q = 0 ⇐⇒ q = p3 .

1

(2)

As´ı, sustituyendo en (2) el valor de q: ( z − z0 = p(x − x0 ) + p3 (y − y0 ) γp : 0 = (x − x0 + 3p2 (y − y0 )

,

donde la segunda ecuaci´ on sale de derivar la primera respecto a p. Por tanto,

s p=±

−

(x − x0 ) . 3(y − y0 )

Sustituimos p en la primera ecuaci´ on de γp : s

(x − x0 ) (x − x0 ) ± z − z0 = ± − 3(y − y0 ) s ⇒± −

⇒

3(y − y0 ) (z − z0 ) = (x − x0 ) + (x − x0 )



s

(x − x0 ) − 3(y − y0 )

!3 (y − y0 )

−(x − x0 ) 2 (y − y 0 ) = (x − x0 ) 3 (y − y 3 0)

−3(y − y0 ) 4 2 2 (z − z0 ) = (x − x0 ) . x − x0 9

Por consiguiente, el cono de Monge ser´ a: −27(y − y0 ) (z − z0 ) 2 = 4 (x − x0 ) 3 . 2) Problema de Cauchy: 3

u(x, 0) = 2x 2 , x > 0 x = s = f (s) |f 0 | + |g 0 | = 1 6= 0

3

z = 2s 2 = h(s)

y = 0 = g(s) 1

h0 (s) = 3s 2 .

H1) Completar la banda integral. 1

1

Φ(s), Ψ(s); h0 = f 0 Φ + g 0 Ψ ⇒ 3s 2 = 1 · Φ(s) + 0 · Ψ(s) ⇒ Φ(s) = 3s 2 3 F (f, g, h, Φ, Ψ) = 0 ⇐⇒ p3 − q = 0 ⇒ (Φ(s)) 3 = Ψ(s) ⇒ Ψ(s) = 27s 2 . Por lo que tenemos una u ´nica banda integral:

3 1 3 s, 0, 2s 2 , 3s 2 , 27s 2 .

2 H2) ¿Puntos caracter´ısticos? Fp = 3p2 = 3 32 s 2 = 27s 0 f Fp 1 27s 0 = g Fq 0 −1 = −1 6= 0 ⇒ Todos los puntos son NO caracter´ısticos. Como consecuencia, tendremos una u ´nica soluci´on. 2

Resolvemos el sistema caracter´ıstico usando (1): dx = Fp = 3p2 , dτ

x(0, s) = s.

(3)

dy = Fq = −1, dτ

y(0, s) = 0.

(4)

dz = pFp + qFq = 3p3 − q, dτ

z(0, s) = 2s 2 .

dp = −Fx − pFz = 0, dτ

p(0, s) = 3s 2 .

dq = −Fy − qFz = 0, dτ

q(0, s) = 27s 2 .

3

(5)

1

(6)

3

(7)

De (3) llegamos a que x˙ = 27s x(0, s) = s

⇒ x(τ, s) = 27sτ + s.

De (4) llegamos a que y˙ = −1 y(0, s) = 0

⇒ y(τ, s) = −τ.

De (5) llegamos a que 3

3

3



z˙ = 3 · 27s 2 − 27s 2 = 2 · 27s 2 3 z(0, s) = 2s 2

1

⇒ z(τ, s) = 2(27sτ + s)s 2 .

De (6) llegamos a que p˙ = 0 1 p(0, s) = 3s 2



q˙ = 0 3 q(0, s) = 27s 2



1

⇒ p(τ, s) = 3s 2 .

De (7) llegamos a que

Como x = 27sτ + s, tenemos que s =

3

⇒ q(τ, s) = 27s 2 .

x . Adem´as, 1 − 27y

r x x x z = 2(27sτ + s)s ⇒ z = 2 27 (−y) + 1 − 27y 1 − 27y 1 − 27y 32 r x x ⇒z=2 (−27y + 1) = 2 · x. 1 − 27y 1 − 27y 1 2

Por lo tanto, r u(x, y) = 2x

3

x 1 − 27y

3) ¿G(x,y,λ, µ)? Tenemos que ver que rg

Gλ Gµ

Gλx Gµx

Gλy Gµy

= 2.

(X 0 (x)) 3 = Y 0 (y) = λ. As´ı, 0

X (x) =

√ 3



Y (y)√= λy + C1 (cte) λ ⇒ X(x) = 3 λ · x + C2 (cte)

⇒ z = X(x) + Y (y) =

√ 3

λ · x + λy + µ (cte).

(8)

Veamos ahora que rg 

x +y 3  3√ λ2 1

Gλ Gµ

Gλx Gµx

Gλy Gµy

√x + y 1  tiene rango 2, pues 3 3 λ2 1 0 

1 √ 3 3 λ2 0

=2: 1 = −1 6= 0. 0

4) Completamos la banda integral: 3

x = s(= f )

y = 0(= g) z = 2s 2 (= h). √ 3 Calculamos λ(s), µ(s) tal que z = G(x, y, λ(s), µ(s)) = λs + 0 · λ + µ y h0 = f 0 Gx (f, g, λ, µ) + g 0 Gy (f, g, λ, µ) √ √ 1 3 Gx = 3 λ 3 ⇒ 3s 2 = 1 · λ + 0 · Gy ⇒ λ(s) = 27s 2 . Gy = λ As´ı, G(x, y, λ, µ) =

√ 3

3

1

3

λs + µ(s) ⇒ µ(s) = 2s 2 − 3s 2 s = −s 2 .

Luego

1

3

3

z = G(x, y, λ(s), µ(s)) = 3s 2 x + 27s 2 y − s 2 . ·) Calculamos la envolvente: Derivamos respecto de s: 3 −1 81 3 1 s 2 x + y − s2 . 2 2 2 1 Despejamos s y sustituimos en (9). Para ello multiplicamos lo anterior por s 2 : 3 81 3 0= x+ y− s 2 2 2 −3x x ⇒ s = 81 2 3 = . 1 − 27y y− 2 2 12 32 32 x x x Por tanto, z = 3 x + 27 y− , 1 − 27y 1 − 27y 1 − 27 0=

lo que implica que 12 12 27xy x x 3x − 81xy + 27xy − x u(x, y) = 3x + − = 1 − 27y 1 − 27y 1 − 27y 1 − 27y 12 12 x 2x − 54xy x . = = 2x 1 − 27y 1 − 27y 1 − 27y

x 1 − 27y

4

(9)