Contoh Soal Transformasi Laplace Dan Jawaban.docx 1z2y6v

Jawaban contoh soal Transformasi Laplace

F (t )  1

1 `

L{F (t )}   e  st 1  f ( s) 0

p

 Lim  e  st dt p 

0



1   lim   e  st  p   s 

p

0

1 1    lim     0  p  se   se 0



1 s

1 s

 f (s )

F (t )  t

2 `

L{F (t )}   e  st t dt 0

p

 

1  lim  t.  d e  st p  s 0 p

1   lim te  st   e  st dt s p  0

p

1 1     lim  te  st  e  st  p   s s  

o

1 1 1       lim  pe  sp  e  sp    0e 0  e 0  s p  s s    1 1      0  0    0   s s 

  

1 1    0  s s 1 s2



F (t )  e at 3 `

L{F (t )}   e  st t e at dt 0

p

 lim  e ( s  a ) t dt p 

0







1 lim e ( s  a )t s  a p 



1 1 1   lim  ( s  a )   ( s  a ) 0  p    (s  a) s  e 



1 sa

F (t )  sin at

4 

L{F (t )}   e  st sin at dt 0

p 0

p

0

p

 Lim  e  st  p 

0



1 d (cos at ) a p

 1 1  cos at.e  st   cos atd (e  st )  a a 0  

 Lim  

p 



0

 1 s  cos at.e  st    cos at.e  st dt   a a p  

 Lim 

p 

 

p

0

 1 s 1  cos at.e  st   e  st . d (sin at )  a a0 a 

 Lim



p 





p

0

 1 s  cos at.e  st  2 (e  st sin at   sin at.d (e  st )  a a 0 

 Lim

p

p 





 1 s  Lim  cos at.e  st  2 (e  st sin at   sin at.  se  st )  p  a 0  a  p



 1 s s2  Lim   cos at.e  st  2 e  st sin at  2  sin at.se  st )  p  a a 0  a  p

a2  1 s  st  st   Lim 2   cos at.e  2 sin at.e  2 p  a  s a  a  

a 2  cos at s. sin at   2 st    a2  s2  a.e st a .e 



a2 a2  s2



a2  1    a2  s2  a 



a a  s2 2



 1    0  0     0   a   





p

0

p

0

p

0

p

0

F (t )  cos at

5 

L{F (t )}   e  st cos at dt 0

p

 Lim  e  st p 

0

1 d (sin at ) a

  1  1  Lim  sin at.e  st   sin atd (e  st )  p  a 0  a 

  1  s  Lim  sin at.e  st   sin at.e  st dt   p   a a p  

p

0

p

0

p

  1  s 1  Lim sin at.e  st   e  st . d ( cos at )  p  a a0 a  

0

p

p  1  s  Lim sin at.e  st  2 (e  st (  cos at )    cos at.d (e  st )  p  a 0  a 

p

p  1  s  st  st   Lim sin at.e  2 (e cos at )   cos at.  se  st dt )  p  a 0  a 

p  1  s  st s2  st   Lim sin at.e  2 (e cos at )  2  cos at.e  st )    p  a a a 0  

 Lim p 

a2  1 s  sin at.e  st  2 cos at.e  st  2 2  s a  a a 



a 2  sin at s. cos at   2 st   s 2  a 2  a.e st a .e 



a2 s2  a2



s    0  0    0  2 a  

     

p

0

0

0

p

0



a2  s    s2  a2  a2 



a s  a2 2



L{F (t )}   e  st F (t )dt 0

6 p

 lim  e  st tdt p 

0

p

1  lim  t.  d (e  st ) p  s 0 p

1   lim te  st   e  st dt s p  0

1 1     lim  te  st  e  st  s p   s 

p

0

1 1    0  s s 

1 s2

 f (s )

L{5t  3}  L{5t  3a}  L{5t}  L{3} 7  5 L{t}  3L{1}

5



1 1 3 2 s s

5 3  s2 s

L{6 sin 2t  5 cos 2t}  L{6 sin 2t}  L{5 cos 2t}

8  6 L{sin 2t}  5 L{cos 2t}

6



2 s 5 2 s 4 s 4 2

12  5s s2  4

L{( t 2  1) 2 }  L{t 4  2t 2  1} 9  L{t 4 }  L{2t 2 }  L{1}  L{t 4 }  2 L{t 2 }  L{1} 



4! s

4 1

 2!  1  2 21    s  s

24 4 1   s5 s3 s

L{4e 5t  6t 2  3 sin 4t  2 cos 2t} 10  L{4e 5t }  L{6t 2 }  L{3 sin 4t}  L{2 cos 2t}

 

 

 4 L e 5t  6 L t 2  3L sin 4t   2 L cos 2t  4



1 2 4 s 6 3 3 2 2 2 s 5 s s 4 s 4

4 12 12 2s  3 2  2 s 5 s s  16 s  4

L{F (t )} 

11 Jika

6  f ( s) ( s  2) 3

L{F (3t )} 

maka

6



 s  3  2   3 

12

3

6 .9 ( s  6) 3



L{sin at} 

1 s f( ) 3 3

a  f (s) s  a2 2

F ' (t )  a cos at , F ' ' (t )   a 2 sin at

F (t )  sin at

Misal

diperoleh L{sin at}  

sehingga

1 L{F ' ' (t ) a2

Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan diperoleh 1   L{sin at}    2   sf ( s)  sF (0)  F ' (0)  f  a  

1  2 a  s 2  s (0)  a  2  2 a  s a 



1 a2





1 a2

 as 2  as 2  a 3    s2  a2  



 as 2  a  2 2  s a  

a s  a2 2

L{t sin at}

13 Tentukan Jawab L{sin at} 

a s  a2 2

n

, maka menurut sifat perkalian dari pangkat t diperoleh

L{tF (t )}    1

n

L{t sin at}  (1)



d n f ( s) ds n

, sehingga

d  a   2  ds  s  a 2 

2as (s  a 2 ) 2 2

L{t 2 cos at} 14 Tentukan

d2  s  L{t cos at}  (1)  2  2 ds  s  a 2  2

Menurut sifat di atas,

2

d  a2  s2   2 ds  ( s  a 2 ) 2 

2 s 3  6a 2 s (s 2  a 2 ) 3

3s  12   3s  12  1  1   L  2  L  2  2  s 9   s  9  s  9

L1 

15



s  1  1    12 L  2   s  9  s  9

 3L1 

2

 3 cos 3t  12

sin 3t 3



1  sinh 3t   t  s  9

L1 

16

2

maka



  1 1 1  2 t sinh 3t  L   e 2 3  ( s  2 s  13   ( s  2)  9 

L1 

2

3s  16   2  s  s  6 

L1 

17 Tentukan







Jawab 3s  16  3s  16  1   L   2  s  s  6  ( s  2)( s  3)  

L1 

3s  16 A B   ( s  2)( s  3) s  2 s  3 

A( s  3)  B( s  2) s2  s  6



( A  B) s  (2 B  3 A) s2  s  6

atau A+B = 3 dan 2B-3A = 16 atau 2(3-A)–3A=16 sehingga didapat A = -2 dan B = 5 

3s  16  2 5  1    L    s  2 s  3  ( s  2)( s  3) 

L1 

5   2  1   L    s  2  s  3

 L1 

 2e 2t  5e 3t



 s 1  2  ( s  3)( s  2 s  2) 

L1  18 Tentukan Jawab



 s 1 A Bs  C  1   2  L   2  ( s  3)( s  2 s  2)   s  3 ( s  2 s  2) 

L1 

A Bs  C A( s 2  2 s  2)  ( Bs  C )( s  3)   s  3 s 2  2s  2 ( s  3)( s 2  2s  2) ` Sehingga

As 2  2 As  2 A  Bs 2  (3B  C ) s  3C ( s  3)( s 2  2 s  2)

 ( A  B ) s 2  (2 A  3B  C ) s  (2 A  3C )   s 1      2 ( s  3)( s 2  2 s  2)  ( s  3)( s  2s  2)    

Diperoleh A+B = 0, 2A+3B+C=1, 2A+3C=-1 

Atau A =

4 5

,B=

4 5

, dan C = 

1 5

 s 1  2  ( s  3)( s  2 s  2) 

L1 

Akhirnya diperoleh 



4 4 1   s   5  5 5   L1   2  s  3 ( s  2 s  2)   

4 4 1   s   5  5 5    4 L1  1   4  ( s  1)  L1       2 5  s  3 5  ( s  1) 2  1  s  3 ( s  2 s  2)    4 4   e 3t  e t cos t 5 5