Coordenadas Polares ( Completo)[1] 5hn1p

COORDENADAS POLARES MAT-21225 MATEMÁTICA II. 2011

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COORDENADAS POLARES Es un sistema en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. Para formar sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u origen) y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, θ ), como sigue: r = distancia dirigida de O a P “coordenada radial” θ = ángulo dirigido “coordenada angular”, en sentido contrario del reloj desde el eje polar hasta el segmento OP

Plano de coordenadas polares.

En coordenadas rectangulares, cada punto (x, y) tiene una representación única. En coordenadas polares, no sucede así. Las coordenadas (r,θ ) y (r, 2π +θ ) representan el mismo punto.

Representación de puntos en coordenadas polares.

 π a 2, ,  3

5π   b − 2,  4  

 11π  c 3,  6  

1

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Asignación (1):

a (1,π )

 π b 2,   4

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Graficar los siguientes puntos en 3π   7π   π  c 3, d 3,  e 2, −   f 

4 



6



2 

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el sistema de coordenadas polares. 5π    − 2, −  6  

Conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares ó viceversa.

y x x cos θ = ⇒ x = r.cos θ r y sen θ = ⇒ y = r.sen θ r r 2 = x2 + y 2 tan θ =

Transformación de coordenadas polares a rectangulares.  Dado el punto (r, θ ) = (2, π ) x = r.cos θ = 2cos π = – 2 y y = r.sen θ = 2sen π = 0 2

COORDENADAS POLARES MAT-21225 MATEMÁTICA II. 2011 UNEFA - ACARIGUA Por lo tanto las coordenadas rectangulares son (x, y) = (– 2, 0) 

Dado el punto (r, θ ) = (

π  3 x = 3 cos  = 6  2

3 , π /6)

y=

y

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3 π  3 sen   = 2 6 

3 3  Por lo tanto las coordenadas rectangulares son (x, y) =  2 , 2    Transformación de coordenadas rectangulares a polares.  Dado el punto (x, y) = 3,1 x 2 2 r = x +y Esto implica tan θ = y 2

(

r =

( 3)

+ ( 1)

)

2

x r = 3 +1 = 4 y r = 2 1 Asignación (2): Transformar a coordenadas θ = tan −1 = 30º cartesianas los siguientes puntos. 3  2π   13π  c1, a 2, θ = π  6    3  6

π  b −1,  6 

θ = tan −1

 π d  2,   4

que un conjunto de coordenadas polares es

( r ,θ ) =  2, π  6



Asignación (3): Transformar a coordenadas polares los siguientes puntos. a (3,2 )

( c (2

b −2,

3

3 ,2

)

)

Gráficos de ecuaciones polares: Una manera de trazar la grafica de una ecuación polar consiste en transformarla a coordenadas rectangulares para luego trazar la grafica de la ecuación rectangular. Trazado de ecuaciones polares. Rectas en coordenadas polares. r =

c a.cos θ + b.sen θ

θ =α

3

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Recta vertical r = k.sec θ

Recta horizontal r = k .csc θ

Circunferencia en coordenadas polares. Circunferencia con centro en el polo.

Circunferencia que pasa por el polo.

Si la ecuación r = ±2 a. cos θ ± 2b.sen θ b =0

Si la ecuación r = ±2 a. cos θ ± 2b.sen θ a =0

GRAFICAS POLARES ESPECIALES “Los Caracoles” Caracol con rizo

Cardioide

4

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Caracol con hoyuelo

“Curvas Rosas” n pétalos si n es impar.

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Caracol convexo

2n pétalos si n es par.

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LEMNISCATAS

LA NEFROIDE DE FREETH Esta es una curva muy reciente si hablamos relativamente a las demás. Hay curvas polares que tienen varios siglos de existir, mientras que esta que trataremos en este momento es bastante reciente, pues fue desarrollada por el matemático inglés T.J. Freeth, quien descubrió esta curva en 1879. Un ejemplo se aprecia en este gráfico:

6

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CONCOIDES DE NICÓMENES Nicómenes nació sobre el año 280 antes de Cristo en Grecia y murió en el año 210 a.C. Se sabe muy poco de su vida pero es famoso por su "Las líneas de la Concoide". Veamos un gráfico en coordenadas polares de la concoide de Nicómenes:

Veamos un nuevo ejemplo de una concoide de Nicómenes. La gráfica anterior está hacia la derecha, mientras que la que se presenta a continuación tiene una dirección hacia arriba. Veamos: 7

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Un tercer ejemplo de Concoide de Nocómenes lo tenemos en el gráfico que se muestra a continuación, donde su forma se ve diferente a los dos gráficos anteriores de este mismo tipo debido a que se le está restando un número uno a la función. El mismo gráfico veríamos si se le estuviera sumando uno a la función. El gráfico quedará así:

CISOIDE DE DIOCLES Esta es una curva muy famosa y útil en el cálculo. Fue utilizada por un griego llamado Diocles para resolver el problema de la duplicación del cubo. El gráfico aparece de esta forma: 8

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PARÁBOLA Esta figura es muy conocida en el mundo del Cálculo. Tal como podemos generar funciones de parábolas en coordenadas cartesianas, lo podemos hacer también en coordenadas polares. Veamos el ejemplo:

ESPIRAL Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. La forma de una espiral la vemos en una serpiente enrollada por ejemplo. El gráfico que se presenta a continuación es también conocido como Espiral de Arquímedes, precisamente en honor Arquímedes, quien fue un notable físico y matemático griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva, realizó un estudio profundo sobre sus propiedades matemáticas en su escrito titulado Sobre las espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo. Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos la siguiente función en coordenadas polares que formará la espiral polar siguiente: 9

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

θ

0

r

3



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Graficar el caracol con rizo r = 1 + 2cosθ π /3 π /2 2π /3 π 4π /3 3π /2 2

1

0

-1

Graficar la curva rosa r = 2cos 3θ

0

1

5π / 3 2

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2 π 3

con θ = {0, π /6, π /3, π /2, 2π /3, 5π /6, π }

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Resp.



Graficar en coordenadas polares las siguientes funciones.

a) r = 4senθ b) r = 2 + 2cosθ c)

r=1

d) r = 3 – 4cosθ

con θ = {0, π /6, π /2, 5π /6, π } con θ = {0, π /3, π /2, 2π /3, π , 4π /3, 5π /3, 2π } con θ = {0, π /3, π /2, 2π /3, π , 4π /3, 5π /3, 2π }

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Área de un sector circular

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ÁREA DE UNA REGIÓN POLAR

1 2

El área de un sector circular es A = θr 2

Área = suma de las áreas de los n sectores.

12

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Tomando una partición del intervalo [α , β ] en n sub-intervalos de igual longitud. Y considerando que f es continua y no negativa en el intervalo [α , β ], entonces el áreas de la región limitada por la grafica r = f(θ ) entre las rectas radiales θ = α y θ = β esta dada por 2 1 β [ f (θ )] dθ ∫ 2 α 1 β 2 = ∫ r dθ 2 α

A=

Hallar el área de la región acotada por la circunferencia r = 3cos(x) y cardioide r = 1 + cos(x) Solucion. Circunferencia: Cardioide: Intersección Se iguala r = 2a cosθ r = a + b cosθ 3cosθ = 1 + cosθ r = 3 cosθ r = 1 + 1 cosθ a/b = 1/1 = 1 3cosθ - cosθ = 1 a = 3/2 2cosθ = 1 θ = cos-1 (1/2) θ = 60º = π /3

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A2 = región comprendida en el intervalo [0,π /3] A1 = región comprendida en el intervalo [π /3, π /2] El área total At = A1 + A2

2. Hallar el área de a) Primero determino la gráfica buscando los límites apropiados de integración: b) Se observa que la gráfica entre 0 y es la mitad de la gráfica total. Entonces

14

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2. Calcule el área de la región que se encuentra dentro de la cardioide con ecuación

y fuera del círculo con ecuación

Solución: Primero se debe buscar la intersección entre las dos gráficas: (en el fondo, puntos en común). Así: ¿Cuándo

es

? En

Como las dos gráficas se intersectan en los puntos indicado aumenta de

a

y

el elemento de área

. Usando la fórmula tenemos:

¿Te das cuenta quienes son los límites de integración? 16

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TABLA RESUMEN GRÁFICAS CONOCIDAS Ecuación

Curva Círculo de radio a, con centro en el polo. Cardioide Espiral de Arquímedes Rosa de tres pétalos (con un lazo simétrico en torno a

) , impar Rosa de n-pétalos Rosa de 2n-pétalos , par , impar , par

Rosa de n-pétalos (con un lazo simétrico en torno a Rosa de 2n-pétalos Recta Recta

, ,

1.

Círculo de radio

a través del polo y

lemniscata

EJERCICIOS DE COODENADAS POLARES. Hallar el área de un pétalo de la curva rosa dada por r = cos 2θ

R=

π 3

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2.

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Hallar el área de la región interior de r = 1 – sen θ , 0 ≤ θ ≤ 2π

3π 2

R= Hallar el área de la region sombreada generada por la circunferencia r = 2, y la curva rosa r = 4sen 2θ

4 3 + R=

8π 3

Sugerencia: Determina el punto de interseccion. Y aplica la integral:

1 2

2

∫ [ ( 4 sen2θ ) − ( 2) 5π

π

12

2

]dθ

12

Luego el resultado se multiplica por 4 COORDENADAS POLARES 

Transforma de coordenadas polares a rectangulares. o Dado el punto (r, θ ) = (2, π ) o Dado el punto (r, θ ) = (3/2, π /2) o Dado el punto (r, θ ) = ( 2 , π /4) o Dado el punto (r, θ ) = (5, 2π /3)



Transforma de coordenadas rectangulares a polares. o Dado el punto (x, y) = (4, 0) 18

COORDENADAS POLARES MAT-21225 MATEMÁTICA II. o Dado el punto o Dado el punto o Dado el punto 

a.) b.) c.) d.) e.) f.)

2011 UNEFA - ACARIGUA (x, y) = (-2, 5 ) (x, y) = (0, -2) (x, y) = (-3, - 3 )

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Graficar en coordenadas polares las siguientes funciones. r = 4cos θ con θ = {0…2π } r = 3 – 2sen θ con θ = {0, π /6, π /4, π /3, π /2, 2π /3, 5π /6, π , 7π /6, 4π /3, 3π /2, 5π /3, 11π /6, 2π } r = 2 – 3cos θ con θ = {0, π /6, π /3, π /2, 2π /3, 5π /6, π , 7π /6, 4π /3, 3π /2, 5π /3, 11π /6, 2π } r2 = 16sen(2θ ) con θ = {0, π /6, π /4, π /3, π /2} r = 3cos(4θ ) con θ = {0, π /6, π /3, π /2, 2π /3, 5π /6, π , 7π /6, 4π /3, 3π /2, 5π /3, 11π /6, 2π } r = 3 – 3sen θ con θ = {0, π /6, π /3, π /2, 2π /3, 5π /6, π , 7π /6, 4π /3, 3π /2, 5π /3, 11π /6, 2π } Respuestas de graficas.

a.)

b.)

c.)

d.)

e.)

f.)

PROPUESTOS PARA PRACTICAR.  Graficar en coordenadas polares las siguientes funciones.  r = 3 + 2cos θ  r = 2 + 2cos θ  r = 2 + 3cos θ  r = 5sen(5θ )  r2 = 16cos(2θ )  r2 = 16sen(2θ ) Función: _____________________________ Función: _____________________________

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Función: _____________________________

Función: _____________________________

Función: _____________________________

Función: _____________________________

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