Corrige De L Exercice Sur La Dichotomie g2s4u

Corrigé exercice 2 Méthode de dichotomie pour la résolution d’une équation f ( x ) = 0 Théorème : Soit f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a0 ; b0 ] telle que

f ( a0 ) × f ( b0 ) ≤ 0 , le corollaire du TVI assure alors que l’équation f ( x ) = 0 et une unique solution α dans [a0 ; b0 ] . Donc [a0 ; b0 ] est donc un encadrement de α d’amplitude b0 − a0 Etude d’un exemple : Ici f est la fonction définie sur R par f ( x ) = x + 2 x − 1 Justifier que f ( x ) = 0 a une unique solution α dans R , montrer que 0 ≤ α ≤ 1 3

Corrigé : f est un polynôme donc dérivable sur R. Pour tout x ∈ R , f ' ( x ) = 3 x² + 2 ≥ 2 > 0 Donc f est strictement croissante sur R. polynôme

lim f ( x ) =

x → −∞

polynôme

lim x 3 = −∞ ; lim f ( x ) =

x → −∞

x → +∞

lim x 3 = +∞ ; et 0 ∈ ]− ∞;+∞[

x → +∞

Le TVI assure alors que l’équation f ( x ) = 0 et une unique solution

α dans R.

De plus f est une fonction continue et strictement croissante sur l’intervalle [0;1] , car sur R, et f ( 0 ) × f ( 1 ) = −0 ,125 ≤ 0 , le corollaire du TVI assure alors que l’équation f ( x ) = 0 et une unique solution

α dans [0;1] .

Conséquence:L’équation f ( x ) = 0 et une unique solution

α dans R, et α ∈ [0;1]

Mettre en place sur une feuille Excel le calcul d’un encadrement à d’amplitude 10 3 solution de l’équation f ( x ) = x + 2 x − 1 = 0 , par la méthode de Dichotomie.

−3

de la

Corrigé : n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

an 0 0 0,25 0,375 0,4375 0,4375 0,453125 0,453125 0,453125 0,453125 0,453125

bn M=(an+bn)/2 f(an) f(M) f(an)*f(M) 1 0,5 -1 0,125 -0,125 0,5 0,25 -1 -0,484375 0,484375 0,5 0,375 -0,484375 -0,19726563 0,09555054 0,5 0,4375 -0,19726563 -0,04125977 0,00813913 0,5 0,46875 -0,04125977 0,04049683 -0,00167089 0,46875 0,453125 -0,04125977 -0,00071335 2,9433E-05 0,46875 0,4609375 -0,00071335 0,01980734 -1,413E-05 0,4609375 0,45703125 -0,00071335 0,00952607 -6,7954E-06 0,45703125 0,45507813 -0,00071335 0,00440115 -3,1396E-06 0,45507813 0,45410156 -0,00071335 0,0018426 -1,3144E-06 0,45410156 0,45361328 -0,00071335 0,0005643 -4,0254E-07

bn-an 1 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125 0,015625 0,0078125 0,00390625 0,00195313 0,00097656

α ∈ [0 ,4531250 ; 0 ,4541016] ; amplitude =0,000 9766 < 0,001

Lycée Berthelot L.Gulli

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Corrigé exercice Dichotomie

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