Criterio De La Segunda Derivada p17s

Criterio de la segunda derivada Introducción Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente, o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen) se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva.

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Como vimos en el módulo 23, la monotonía de una curva coincide con el signo de la primera derivada; igualmente, como veremos ahora, la concavidad coincide con el signo de la segunda derivada. Completaremos de esta forma todos los elementos teóricos necesarios para el trazado de una curva con todos sus elementos, lo cual será el objetivo principal del módulo 25.

Un avión comienza a descender desde una milla de altura y situado a cuatro millas de la pista. Es posible determinar una función polinómica p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d que describe la trayectoria suave del aterrizaje.

a1

.c

Objetivos del módulo

w.

ww

Preguntas básicas

M

at em

at

ic

1. Establecer, usando la segunda derivada, otro criterio para determinar extremos relativos de una función. 2. Usar la segunda derivada para determinar los intervalos de concavidad de una curva y dónde ocurren posiblemente los llamados puntos de inflexión. 3. Completar los elementos teóricos necesarios para el trazado de curvas.

1. Sean f, g dos funciones positivas definidas sobre un intervalo abierto. Supongamos que son derivables y poseen segundas derivadas que no se anulan en el mismo intervalo. Sean F ( x) = ln f ( x), y G ( x) = ln g ( x). a. b. c. d. e.

Si F es cóncava hacia arriba, ¿lo es f necesariamente? Si f es cóncava hacia arriba, ¿lo es F necesariamente? Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ( f + g) lo es? Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ( f · g) lo es? Si F y G son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ln ( f · g) lo es?

Analice sus respuestas.

Contenidos del módulo 24.1 Concavidad y puntos de inflexión 24.2 Teorema 1: Criterio de la segunda derivada para concavidad 24.3 Teorema 2: Criterio de la segunda derivada para extremos relativos

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 235

Módulo 24: Criterio de la segunda derivada

24.1 Concavidad y puntos de inflexión Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones de tipo intuitivo.

ic

a1

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om

Considere la función f cuya gráfica aparece en la figura 24.1. Note que la curva que f representa tiene tangente en todos sus puntos.

at

Figura 24.1

M

at em

Se observa que en los puntos «cercanos» a x1, pero diferentes de x1, la curva se encuentra por «debajo» de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia abajo en el punto x1.

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w.

Igualmente se observa que en los puntos «cercanos» a x2, pero diferentes de x2, la curva se encuentra por «encima» de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia arriba en el punto x2. El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad «cambia» se conoce con el nombre de punto de inflexión de la curva. A pesar de que las ideas que se acaban de presentar son más de carácter visual que analítico, éstas pueden demostrarse analíticamente utilizando el teorema del valor medio para derivadas y el criterio de monotonía (vea el ejemplo 1 de este mismo módulo). Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones: Definiciones Sea f una función derivable en un punto c. i.

f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x ≠ c, se cumple que Z ( x) = N f ( x) − f ′(c)( x − c) − f (c ) > 0

(figura 24.2a). y y c

t

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

237

ww

w.

M

at em

at

ic

a1

.c

om

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada

Figura 24.2

yc: y de la curva; yt : y de la tangente. ii.

f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c si existe un intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x ≠ c, se cumple que Z ( x) = f ( x) − f ′(c)( x − c) − f (c ) < 0 (figura 24.2b).

iii.

f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de I.

iv.

Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión si existe un intervalo abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los subintervalos (a, c) y (c, b).

Se usará el símbolo ∪ para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o cóncava positiva. Igualmente, se empleará el símbolo ∩ para denotar que una curva es cóncava hacia abajo o cóncava negativa.

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Módulo 24: Criterio de la segunda derivada El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, establece una condición suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.

24.2 Teorema1: Criterio de la segunda derivada para concavidad Sea f una función dos veces derivable en todos los puntos de un intervalo abierto I. Entonces: i.

Si f ′′( x) > 0 para todo x ∈ I , f es cóncava hacia arriba en I.

ii.

Si f ′′( x) < 0 para todo x ∈ I , f es cóncava hacia abajo en I.

Observaciones En muchas ocasiones el teorema anterior se enuncia diciendo que el signo de la concavidad coincide con el signo de la segunda derivada.

2.

En muchas ocasiones puede suceder que exista cambio de concavidad de la curva sin existir punto de inflexión; en este caso, simplemente se dice que «hay inflexión» sin existir punto de inflexión. La gráfica de la figura 24.3 indica esta posibilidad. Allí se muestran inicialmente los intervalos de concavidad para una curva dada.

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w.

M

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at

ic

a1

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om

1.

Figura 24.3

Note que los puntos A (c1, f (c1)), B (c2, f (c2)), C (c3, f (c3)) son puntos de inflexión. En c4, la curva cambia de concavidad, pero no existe punto de inflexión. Como es de suponer, los puntos para los cuales f ′′( x) = 0 o f ′′( x) no existe, son «candidatos» viables para ser puntos de inflexión. Puede suceder que para un valor de c del dominio de una función se cumpla que f ′′(c) = 0, y sin embargo el punto P (c, f (c)) no es punto de inflexión. Considere, por ejemplo, la función definida por f (x) = x4, cuya gráfica aparece en la figura 24.4.

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial 239

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada

Figura 24.4

a1

.c

om

Como f ( x ) = x 4 , f ′( x) = 4 x 3 , f ′′( x) = 12 x 2 .

at em

at

ic

Para c = 0, f ′′(0) = 12 · (0) 2 = 0. Sin embargo, el punto P (0, f (0)) = P(0, 0) no corresponde a un punto de inflexión, puesto que para valores de x anteriores y posteriores a x = 0, f ′′(0) > 0, y no cambia la concavidad de la curva.

ww

w.

M

A continuación se enuncia, sin demostración, un teorema conocido como el criterio de la segunda derivada para extremos relativos, el cual permite, en algunos casos, determinar de una manera más fácil si un valor crítico dado corresponde a un máximo o a un mínimo relativo.

24.3 Teorema 2: Criterio de la segunda derivada para extremos relativos Sea f una función dos veces derivable en un intervalo abierto I, y sea c un punto de I, tal que f ′(c) = 0. Entonces: i.

Si f ′′(c) < 0, entonces f presenta un máximo relativo en c.

ii.

Si f ′′(c) > 0, entonces f presenta un mínimo relativo en c.

Observación Si f ′′(c) = 0, entonces la naturaleza del valor crítico c no queda determinada, como lo ilustran los siguientes casos: La función f (x) = x4 satisface f ′(0) = 0 y f ′′(0) = 0. Sin embargo, f (x) presenta un mínimo relativo en x = 0 (figura 24.5a).

240 U de @ - Educación no presencial

Módulo 24: Criterio de la segunda derivada Igualmente, la función g (x) = − x4 satisface g ′(0) = 0 y g ′′(0) = 0. Sin embargo, g (x) presenta un máximo relativo en x = 0 (figura 24.5b).

ww

w.

M

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a1

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om

También la función h (x) = x3 satisface h′(0) = 0 y h′′(0) = 0, pero h (x) es creciente en todo el eje real y no presenta extremo relativo en x = 0 (figura 24.5c).

Figura 24.5

El teorema 2 tiene mayor utilidad en los problemas de optimización en los cuales, para un valor crítico dado, se analiza si corresponde a un máximo o mínimo relativo, sin determinar los cambios de signo de la primera derivada.

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

241

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada En los ejercicios resueltos 1, 2 y 3 del módulo 25 se ilustra cómo determinar para la gráfica de una función dada los intervalos de concavidad, así como también los posibles puntos de inflexión. Para ello se explica el método gráfico que es mucho más expedito que el método analítico. Ilustramos, sin embargo, la aplicación de los dos teoremas de la sección, justificando lo que se plantea en la pregunta básica en el inicio del módulo. Ejemplo 24.1 Utilice el TVM para probar que la gráfica de una función f cóncava hacia arriba siempre está por encima de su recta tangente, es decir, demostrar que: f ( x) > f (c) + f ′(c)( x − c), siempre que x ≠ c.

Solución Caso 1: Supongamos que x > c. f ( x ) − f (c ) = f ′( a ), para algún a ∈ (c, x ). x−c

om

Por el TVM,

(1)

a1

.c

De aquí, f ( x) − f (c) = f ′( a)( x − c), para algún a ∈ (c, x).

at em

at

ic

Ahora, como f es cóncava hacia arriba, de acuerdo al teorema 1, f ′′ > 0 ⇔ ( f ′)′ > 0, y por el teorema de monotonía (teorema 1, módulo 23) f ´es creciente en el intervalo (c, x). Es decir,

(2 )

w.

M

c < a < x ⇒ f ′(a) > f ′(c).

ww

De (1) y (2) se deduce entonces que f ( x) − f (c) = f ′(a )( x − c) > f ′(c)( x − c). Por tanto, f ( x) > f (c) + f ′(c)( x − c), para x > c.

Caso 2: Supongamos que x < c.

Por el TVM,

f (c ) − f ( x ) = f ′(a ), para algún a ∈ ( x, c ). c−x

De aquí, f (c) − f ( x) = f ′(a )(c − x), para algún a ∈ ( x, c).

(1)

Ahora, como f es cóncava hacia arriba, de acuerdo al teorema 1, f ′′ > 0 ⇔ ( f ′)′ > 0, y por el teorema de monotonía (teorema 1, módulo 23) f ´es creciente en el intervalo ( x, c). Es decir, x < a < c ⇒ f ′(c) > f ′(a).

242 U de @ - Educación no presencial

(2 )

Módulo 24: Criterio de la segunda derivada De (1) y (2) se deduce que f (c) − f ( x) = f ′(a )(c − x) < f ′(c)(c − x). Es decir, − f ( x) < − f (c) + f ′(c)(c − x) ⇔ f ( x) > f (c) + f ′(c)( x − c). Por tanto, f ( x) > f (c) + f ′(c)( x − c) para x < c. En consecuencia, f ( x) > f (c) + f ′(c)( x − c), siempre que x ≠ c. Ejemplo 24.2 Sean f, g dos funciones positivas definidas sobre un intervalo abierto. Supongamos que son derivables y poseen segundas derivadas que no se anulan en el mismo intervalo. Sean F ( x) = ln f ( x) y G ( x) = ln g ( x).

.c

om

Si F es cóncava hacia arriba, ¿lo es f necesariamente? Si f es cóncava hacia arriba, ¿lo es F necesariamente? Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que (f + g) lo es? Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que (f ⋅ g) lo es? Si F y G son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ln (f ⋅ g) lo es?

a1

a. b. c. d. e.

at

¿Si F ′′( x) > 0, entonces f ′′( x) > 0?

at em

La pregunta puede formularse de la siguiente manera:

w.

M

f ′( x) En primer lugar, si F ( x) = ln f ( x), entonces F ′( x) = f ( x) , y

ww

a.

ic

Solución

F ′′( x ) =

f ′′( x) f ( x) − ( f ′( x)) 2 . f ( x) 2

F ′′( x) > 0 ⇔

f ′′( x) f ( x) − ( f ′( x)) 2 > 0, f ( x) 2

⇒ f ′′ ⋅ f − ( f ′) 2 > 0 (puesto que el denominador siempre es positivo),

⇒ f ′′ >

( f ′)´2 > 0 (puesto que ( f ′) 2 > 0 y f > 0), f

⇒ f es cóncava hacia arriba.

Elementos Básicos de Cálculo Diferencial

243

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada b.

No necesariamente. Considere por ejemplo la función f ( x ) = x 2 definida en el intervalo (1, 2). f ( x) > 0, para todo x ∈ (1, 2).

Como F ( x ) = ln x 2 , entonces F ′( x) =

2 −2 y F ′′( x) = 2 < 0, lo que indica que x x

F es cóncava hacia abajo. c.

Como f es cóncava hacia arriba, entonces f ′′( x) > 0. Como g es cóncava hacia arriba, entonces g ′′( x) > 0. De otro lado, ( f + g )′′ = f ′′ + g ′′ > 0, lo que indica que (f + g) es cóncava hacia arriba.

d.

No necesariamente. Considere por ejemplo las funciones f ( x ) = x 2 y g (x) = (1 − x)2, definidas en

ic

a1

.c

om

el intervalo (0, 1), f ′( x) = 2 x, f ′′( x) = 2 > 0, lo que indica que f es cóncava hacia arriba en el intervalo (0, 1).

at em

at

También, g ′( x) = −2(1 − x), g ′′( x) = 2 > 0, lo que indica que g es cóncava hacia arriba en el intervalo (0 , 1).

ww

w.

M

De otro lado, si H ( x ) = ( f ⋅ g )( x ) = x 2 (1 − x ) 2 = x 2 − 2 x 3 + x 4 , H ′( x ) = 2 x − 6 x 2 + 4 x 3 , H ′′( x) = 2 − 12 x + 12 x 2 ,

⎛1⎞ H ′′ ⎜ ⎟ = 2 − 6 + 3 = −1 < 0, ⎝2⎠ 1 lo que indica que es cóncava negativa en las cercanías de x = . 2

e.

Sea H ( x) = ln ( f ⋅ g )( x) = ln f ( x) + ln g ( x) = F ( x) + G ( x). Por tanto, H ′′( x) = F ′′( x) + G ′′( x), y como por hipótesis F ′′( x) > 0, G′′( x) > 0, se sigue que H ′′( x) > 0, lo que indica que H ( x) = F ( x) + G ( x) es cóncava hacia arriba.

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