Curva Tractriz 6v5w10

CURVA TRACTRIZ I N T E G RA N T E S : - R O D R I G U E Z M A RT Í N E Z E D U A R D O - S O L I S VÁ Z Q U E Z A R M A N D O - M A RT Í N E Z R O D R Í G U E Z M A R I O A N D R É S

DEFINICIÓN: Se denomina tractriz a la curva que describe un objeto (situado en P) que es arrastrado por otro (situado en A), que se mantiene a distancia constante y que se desplaza en línea recta.

Graficas de la curva: http://www.geogebratube.org/student/m62931 http://arquimedes.matem.unam.mx/descartes.org.mx/descartes/w eb/materiales_didacticos/Tractriz/

Esta curva es conocida también como la curva del hueso del perro, debido a que se puede considerar el caso en que el amo se sitúa inicialmente en el origen, y el perro en P. El amo caminaría en sentido positivo del eje de la x, mientras el perro, que sería arrastrado por la correa del amo, haría resistencia para volver al punto P, que sería donde estaría situado el hueso.

HISTORIA: El nombre de tractriz viene del latín tractus que significa tirar, jalar, arrastrar. Esta curva empezó a estudiarse a partir del siguiente problema planteado a Leibniz ¿Cuál es el camino de un objeto arrastrado en un plano horizontal por una cadena de longitud constante cuando el extremo de ésta no unido al objeto se mueve a lo largo de una recta en el plano?

Además de Leibniz, Huygens y Bernouilli estudiaron esta curva, también llamada tractoria y curva equitangencial. La denominación de curva equitangencial, se debe a la propiedad de que cualquier segmento tangente a ella desde el punto de tangencia hasta la asíntota de la curva tiene longitud constante.

Instrumento debido a Perks para trazar la tractriz.

Eugenio Beltrami encontró una aplicación insospechada de ella en la pseudoesfera. Si hacemos girar una tractriz alrededor de su asíntota, obtenemos una superficie de revolución que tiene curvatura negativa (se curva hacia adentro) en todos sus puntos. Es la pseudoesfera.

PROPIEDADES DE LA TRACTRIZ: El eje x es una asíntota de la curva. En la tractriz cualquier segmento tangente del punto de tangencia a la asíntota es de longitud constante. La envoltura de las normales de la tractriz, es decir, la evoluta de la tractriz es la catenaria.

Catenaria a partir de tractriz

OBTENCIÓN DE LA CURVA TRACTRIZ: La tractriz es la trayectoria de un punto arrastrado por otro que se desliza en línea recta. En la figura, el punto C se desplaza hacía arriba arrastrando al punto T, que puede ser una barca arrastrada por una cuerda. Al principio la barca situada en L y en horizontal, mirando al origen de coordenadas. Después, a medida que C se desplaza por el eje Y, la barca va cambiando continuamente su rumbo, que siempre apunta a C.

Lo dicho se traduce en que, si la cuerda es completamente rígida, la trayectoria de la barca será siempre tangente a ella. Por esto a la tractriz también se le llama equitangencial, dado que la longitud del segmento de tangente comprendido entre el punto de tangencia y el punto de corte con la asíntota es constante (en la figura, el segmento rojo).

Lo que vamos a hacer es calcular, para cada punto de la gráfica, el punto de corte de la tangente con el eje vertical. Como la distancia entre ambos puntos, el de tangencia y el de corte con el eje OY, debe ser constante, podremos escribir una ecuación diferencial que, una vez integrada, nos dará la ecuación de la curva.

Sea f(x) la función que tiene por gráfica la tractriz. En un punto de abscisa x = a, la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) será:

Para hallar el punto de corte con el eje OY hacemos x = 0. Entonces; y = f(a) - a·f '(a)

Así, el punto de corte C de la tangente con el eje vertical tendrá por coordenadas (0, f(a) - a·f '(a)), mientras que las del punto de tangencia T serán (a, f(a)). Si L es la distancia que hay entre el punto arrastrado y el que arrastra (es decir, la longitud de la cuerda del barquero), se debe cumplir d(T, C) = L, es decir:

Haciendo L = 1 por comodidad y despejando se tiene:

Se toma la raíz negativa porque las pendientes de las tangentes a la curva de la figura son negativas. Tomando la raíz positiva se obtendría la ecuación de la otra rama de la tractriz, la que correspondería a un movimiento hacia abajo en vez de hacia arriba.

Ahora, integrando entre 1 y x para que f(1) = 0, queda (con el cambio de variable 1 - a2 = t2 sale fácil):

En conclusión:

  *Ejemplos de tractriz: http://www.youtube.com/watch?v=OpIvkK5JJkE

REFERENCIAS: http://www.geogebratube.org/student/m62931 http://arquimedes.matem.unam.mx/descartes.org.mx/descar tes/web/materiales_didacticos/Tractriz/ http://www.ecured.cu/index.php/Tractriz http://www.epsilones.com/paginas/fragmentos/fragmento s-014-ecuacion-tractriz.html