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Ecuaciones de Navier-Stokes - Wikipedia, la enciclopedia libre

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De Wikipedia, la enciclopedia libre Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos. Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la formulación diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos. Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones hemos de recurrir al análisis numérico para determinar una solución aproximada. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante el ordenador se la denomina dinámica de fluidos computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón Computational Fluid Dynamics).

Contenido 1 Conceptos previos 1.1 Derivada sustancial o material 1.2 Teorema del transporte de Reynolds 1.3 Teorema de la divergencia 2 Las ecuaciones de Navier-Stokes 3 Fluidos no viscosos 4 Otras consideraciones 5 Véase también 6 Enlaces externos

Conceptos previos Derivada sustancial o material Debido a que generalmente adoptamos la descripción euleriana la derivada ordinaria ya no representa toda la variación por unidad de tiempo de una determinada propiedad del fluido φ siguiendo a la partícula fluida. Esto se debe al movimiento del fluido. Para reflejar esta variación usaremos la derivada sustancial (o derivada siguiendo a la partícula fluida). La derivada sustancial o derivada material se define como el operador:

Donde es la velocidad del fluido. El primer término representa la variación de la propiedad en un punto fijo del espacio y por ello se la denomina derivada local, mientras que el segundo representa la variación de la propiedad asociado al cambio de posición de la partícula fluida, y se la denomina derivada convectiva. Este es el procedimiento que sigue José de Echegaray para demostrar la derivada material. Véase una demostración de cómo llegar a una derivada material. Tomando las coordenadas de Euler como:

.

Calcularemos la aceleración para estas coordenadas:

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Desarrollamos cada derivada total de cada componente, así podremos seguir un desarrollo fácil de recordar:

Si sumamos termino a términos y sacamos factor común nos damos cuenta de que podemos factorizar bastante:

Vemos que la parte de las derivadas parciales espaciales se pueden escribir como: Si ahora sustituimos velocidad por

obtenemos formalmente la expresión de la derivada material:

Teorema del transporte de Reynolds Si la derivada sustancial permite calcular la variación de una propiedad del fluido siguiendo a una partícula fluida, el teorema del transporte de Reynolds permitirá calcular la variación de una magnitud fluida extensiva ligada a un volumen fluido. En su forma general el teorema del transporte de Reynolds se expresa como:

donde φ es una propiedad extensiva definida por unidad de volumen, Vf es un volumen fluido, Vc es un volumen de control que la velocidad de la coincide con Vf en el instante t, Sc la superficie de control ligada a dicho volumen, la velocidad del fluido y superficie de control. Expresado en términos coloquiales puede decirse que el teorema del transporte de Reynolds viene a decir que la variación de una propiedad extensiva en un volumen fluido, es igual a la variación de dicha propiedad en el interior de ese volumen más la cantidad de dicha propiedad que atraviesa la superficie del volumen.

Teorema de la divergencia El teorema de la divergencia (o teorema de Gauss), nos permite transformar integrales de superficie en integrales de volumen ( y viceversa). En el caso particular de tres dimensiones podemos expresarlo como:

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Esta expresión representa el principio de conservación del momento lineal aplicada a un fluido general: . La ley de conservación de la masa se escribe:

En estas ecuaciones ρ representa la densidad, ui (i = 1,2,3) las componentes cartesianas de la velocidad, Fi las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo, como la gravedad, P la presión del fluido, y μ la viscosidad dinámica.

donde Δ = eii es la divergencia del fluido y δij la delta de Kronecker. D / Dt es la derivada total o derivada material temporal siguiendo el fluido:

La no-linealidad de las ecuaciones se debe precisamente al término relacionado con la derivada total. Cuando μ es uniforme sobre todo el fluido las ecuaciones de fluido se simplifican de la manera siguiente:

O en forma vectorial:

Fluidos no viscosos Para fluidos de viscosidad nula, es decir cuando μ = 0, las ecuaciones resultantes se denominan ecuaciones de Euler que se utilizan en el estudio de fluidos compresibles y en ondas de choque. Si además ρ puede ser considerada constante (como en un líquido):

y la ecuación de continuidad adquiere la forma siguiente:

Otras consideraciones Una importante cuestión abierta concerniente a estas ecuaciones es la determinación de si, partiendo de unas condiciones iniciales del movimiento de fluido suave y laminar, la solución de las ecuaciones para todo instante de tiempo implica también un flujo suave y laminar. Esta pregunta constituye uno de los Problemas del Milenio que el Instituto de Matemáticas Clay premia con un millón de

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dólares estadounidenses a quien pueda resolverlo.

Véase también Número de Reynolds Número de Mach

Enlaces externos Página de la Universidad de Cambridge (http://www.navier-stokes.net/) (en inglés) Página del Instituto Clay sobre el problema de Navier-Stokes (http://claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/) Potter, Merle; David Wiggert (Tercera edición). Thomson. ISBN 970-686-205-6. Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Navier-Stokes" Categorías: Mecánica de fluidos | Ecuaciones de dinámica de fluidos Esta página fue modificada por última vez el 13 feb 2011, a las 19:41. El texto está disponible bajo la Licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0; podrían ser aplicables cláusulas adicionales. Lee los términos de uso para más información. Política de privacidad Acerca de Wikipedia Descargo de responsabilidad

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