Ecuaciones De Navier-stokes 25a5p

ECUACIONES DE NAVIER-STOKES 3 min. Intr. ¿Por qué vuela un avión? Por el flujo de Aire que pasa por las alas, por lo tanto dicho flujo es necesario para el vuelo Cuando el aire fluye a través de las alas, se genera una fuerza hacía arriba llamada sustentación, que si es suficiente compensa el peso del avión. 5 min. Datos de las ecuaciones de Navier-Stokes Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones es preciso recurrir al análisis numérico para determinar una solución aproximada. 13 min. Conceptos previos Derivada sustancial o material: Las leyes fundamentales que gobiernan el comportamiento de un fluido pueden formularse directamente para una partícula o sistema de fluido concreto. De aquí obtenemos que:

Teorema del transporte de Reynolds: Si la derivada sustancial permite calcular la variación de una magnitud fluida ligada a una partícula fluida, el teorema del transporte de Reynolds permitirá calcular la variación de una magnitud fluida extensiva ligada a un volumen fluido. Existe por tanto una analogía entre ambos conceptos, pues una partícula fluida no es más que un volumen fluido infinitesimal. En su forma general el teorema del transporte de Reynolds se expresa como: Miguel Sáenz-EDP-Navier-stokes

∫

∫

∫

Dónde: es la magnitud fluida extensiva definida por unidad de volumen (una magnitud extensiva por unidad de volumen es una magnitud intensiva) Es un volumen fluido. es un volumen de control que coincide con

en el instante .

la superficie de dicho volumen de control. la velocidad del fluido. la velocidad de la superficie de control. El segundo término del miembro derecho representa el flujo convectivo Teorema de la divergencia: Permite, bajo ciertas hipótesis, transformar integrales de superficie en integrales de volumen (y viceversa). En el caso particular de tres dimensiones podemos expresarlo como:

∭

∭

7 min. Formulación de las ecuaciones de Navier-Stoke Esta expresión representa el principio de conservación del momento lineal aplicada a un fluido general:

La ley de conservación de la masa se escribe:

En estas ecuaciones representa la densidad, las componentes cartesianas de la velocidad, las fuerzas aplicadas sobre el

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cuerpo, como la gravedad, dinámica.

la presión del fluido, y

la viscosidad

5 min. Datos curiosos de estas ecuaciones  Una importante cuestión abierta concerniente a estas ecuaciones es la determinación de si, partiendo de unas condiciones iniciales del movimiento de fluido suave y laminar, la solución de las ecuaciones para todo instante de tiempo implica también un flujo suave y laminar. Esta pregunta constituye uno de los Problemas del Milenio que el Instituto de Matemáticas Clay premia con un millón de dólares estadounidenses a quien pueda resolverlo.  El Instituto Clay de Matemáticas (inglés Clay Mathematics Institute o CMI) es una fundación sin fines de lucro de Cambridge, Massachusetts, dedicada a incrementar y diseminar el conocimiento matemático. Tiene varios premios e incentivos para matemáticos prometedores. El instituto fue fundado en 1998 A pesar de que la institución es conocida por premiar a quien resuelva los problemas del milenio, lleva a cabo un amplio catálogo de actividades, entre las que se encuentran los premios a la Investigación. Los siete problemas escogidos son considerados por el Instituto Clay como "preguntas clásicas importantes que no han sido resueltas en años". La primera persona que logre resolver siquiera uno de estos problemas recibirá un premio de un millón de dólares por cada uno de los problemas matemáticos que haya resuelto. De los siete problemas planteados, la conjetura de Poincaré fue resuelta por el matemático Grigori Preleman en el año 2003. Una vez que la solución fue comprobada por la comunidad matemática, la institución le ofreció el premio del millón de dólares. Sin embargo, él decidió rechazarlo, alegando que su contribución no era más importante que la del matemático Richard Hamilton

1. 2. 3. 4.

P versus NP La conjetura de Hodge La conjetura de Poincaré La hipótesis de Riemann

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5. Existencia de Yang-Mills y del salto de masa 6. Las ecuaciones de Navier-Stokes 7. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer 2 min. ¿Cuánto es 1 millón de dólares?

2,562,230,000 pesos colombianos (dos mil quinientos sesenta y dos millones doscientos treinta mil pesos)

Bibliografía https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Navier-Stokes ] C. Fefferman. Clay Mathematics Institute, Millenium Problems. Official problem description, http://www.claymath.org/millennium/NavierStokes Equations/

Elaborados para 35 min. Miguel Sáenz

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