Ecuaciones Diferenciales Crecimiento Y Decrecimiento Poblacional 66235c

ECUACIONES DIFERENCIALES : CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA POBLACION

Los primeros estudios sobre crecimiento demográfico fueron realizados por Thomas Malthus en 1978, describiendo así un principio por el cual la población crece en progresión geométrica, entonces era posible determinar la cantidad de individuos en un espacio de tiempo:

𝑑𝑃 = 𝐾𝑝 , 𝑐𝑜𝑛 𝐾 > 0 𝑑𝑡

• Donde:

𝑑𝑃 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑡 𝐾 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑃 = 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

Pero, teniendo en cuenta la mortalidad presente en las poblaciones ,obtuvimos una variación de la población respecto al tiempo : 𝑑𝑃 𝑃 = 𝑟𝑝 1 + 𝑑𝑡 𝑘 Donde: •

𝑑𝑃 𝑑𝑡

= 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

• 𝐾 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 • 𝑃 = 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 • 𝑟 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑟𝑡𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

En el campo de la química, el comportamiento de la composición de algunos elementos radiactivos es inestable y genera q a través del tiempo ,la cantidad de masa atómica cambie, lo que se expresó de la siguiente manera: 𝑑𝐴 = 𝑘𝐴 𝑑𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 < 0 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑖𝑐𝑎

Donde: •

𝑑𝐴 𝑑𝑡

= 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑎𝑡ó𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

• 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑖𝑐𝑎 • 𝐴 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

EJERCICIO 1: Un cultivo de células dispuestas en un laboratorio tiene una cantidad inicial Po , al transcurrir una hora , el analista observa que la cantidad es 4/3 de la cantidad inicial ; si se sabe que la rapidez del crecimiento en la población es proporcional a la cantidad de células presentes .¿Cuál será el tiempo necesario para que la población se haya duplicado?

DESARROLLO: Datos: • En t=0 ,P=Po • En t=1 ,P=Po(4/3) Interrogantes: • t=? para P=2Po Fórmula:

𝑑𝑃 𝑑𝑡

= 𝐾𝑝

después de obtener la información anterior tenemos : 𝑑𝑃 = 𝐾𝑝 → 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑑𝑡 1 𝑑𝑃 = 𝑘𝑑𝑡 𝑃 𝐿𝑛𝑃 = 𝐾𝑡 + 𝐶1 𝑒 𝐿𝑛𝑃 = 𝑒 𝑘𝑡 . 𝑒 𝐶1 𝑃 = 𝑒 𝑘𝑡 . 𝑒 𝐶1 donde esta ecuación relaciona la población con el tiempo : 𝑃(𝑡) = 𝐶𝑒 𝑘𝑡

Para conocer el valor de las constantes usamos las condiciones de valor inicial: Sabemos que en t=0, P=Po ; entonces: 𝑃 𝑡 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡

𝑃(𝑡) = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 → 𝑃𝑜 = 𝐶𝑒𝑘 0 → 𝑃𝑜 = 𝐶

De los datos del problema obtuvimos que en t=1,P=Po(4/3) de lo que obtenemos:

4 4 𝑃 = 𝑃𝑜 → 𝑃𝑜 = 𝑃𝑜. 𝑒 𝑘(1) 3 3 4 𝐿𝑛 = 𝑘 → 𝑘 = 0,2876 3

Como ya conocemos el valor de las constantes, podemos decir que la población en cualquier instante está determinada por la ecuación:

𝑃 𝑡 = 𝑃𝑜. 𝑒 0.2876𝑡 Como ya obtuvimos la ecuación que nos permite conocer la población en cualquier tiempo, podemos responder el interrogante planteado. 𝑡 =? 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑃 = 2𝑃𝑜 2𝑃𝑜 = 𝑃𝑜. 𝑒 0.2876𝑡 Reemplazamos en la ecuación que queremos hallar, lo que queremos encontrar y cancelamos Po. 𝐿𝑛2 = 0.2876𝑡 𝑡=

𝐿𝑛2 0.2876

= 2,41 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Ejercicio 2: En cualquier tiempo t, la cantidad de bacterias en un cultivo crece de forma proporcional al número de bacterias presentes, transcurridas 3 horas se observa la población de bacterias en el cultivo es de 700.luego de 13 horas, se encuentran en el cultivo 4500 especimenes.deacuerdo a esto, ¿Cuál era la población inicial de bacterias en el cultivo?

Solución: Datos: • En t=0 ,P=Po • En t=3, P=700 • En t=13, P=4500 Interrogantes: • Po=? Fórmula:

𝑑𝑃 𝑑𝑡

= 𝐾𝑝

De lo visto en el ejercicio anterior,luego de aplicar variables separables se obtiene:

𝑑𝑃 = 𝐾𝑝 → 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑑𝑡 1 𝑑𝑃 = 𝑘𝑑𝑡 𝑃 𝐿𝑛𝑃 = 𝐾𝑡 + 𝐶1 𝑒 𝐿𝑛𝑃 = 𝑒 𝑘𝑡 . 𝑒 𝐶1 𝑃 = 𝑒 𝑘𝑡 . 𝑒 𝐶1 donde esta ecuacion relaciona la poblacion con el tiempo : 𝑃(𝑡) = 𝐶𝑒 𝑘𝑡

Considerando las condiciones de valor inicial tenemos: • 𝑒𝑛 𝑡 = 3, 𝑃 = 700 → 700 = 𝐶𝑒 3𝑘 … … . . 1 • 𝑒𝑛 𝑡 = 13, 𝑃 = 4500 → 4500 = 𝐶𝑒 13𝑘 … … . . 2 obtenemos un sistema de ecuaciones de (2)x(2). resolviendo el sistema de ecuaciones;dividimos la ecuacion (1) /(2) 700 𝐶. 𝑒 3𝑘 7 1 45 10𝑘 = → = → = 𝑒 4500 𝐶. 𝑒 13𝑘 45 𝑒 10𝑘 7 Donde: 45 𝐿𝑛 7 = 𝑘 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑘 = 0,186 10 Despues de hallar la constante k.podemos hallar C : 700 = 𝐶. 𝑒 3(0,186) 700 𝐶 = 3 0,186 → 𝐶 = 400,64 𝑒

entonces al resolver el sstema de ecuaciones .encontramos las constantes,de tal modo que la poblacion de bacterias esta dada por: 𝑃 = 400,64𝑒 0.186𝑡 Despues de definir esta ecuacion,respondemos la pregunta del problema: En t=0.P=Po

𝑃𝑜 = 400,64. 𝑒 0.186𝑡 = 400,64

Entonces la poblacion inicial de bacterias es 400,64 especimenes.