Ejercicio Metodo Modal Espectral.pdf 514r2f

ANALISIS ESTRUCTURAL 2008 RESPUESTA ESTRUCTURAL A ACCIONES SISMICAS Los métodos que emplearemos para el cálculo de los desplazamientos y los esfuerzos producidos por excitación sísmica son: 1) Método de Descomposición Modal con un número de modos que cubra casi la totalidad de la masa modal del sistema ( 90% - 95% ). 2) Método de Descomposición Modal utilizando el primer modo con los resultados mayorados con un coeficiente Λ que produzca que la masa modal alcance la masa total del sistema. 3) Método Estático Equivalente (Reglamento INPRES-CIRSOC 103).

EJERCICIO N ° 1 Dado el sismo representado por el espectro reglamentario, calcular los desplazamientos máximos y los esfuerzos en las columnas del siguiente pórtico con vigas infinitamente rígidas y un peso por piso de 25 tn.

Columnas: 0.30m × 0.30m

m1 = m2 = m3 = 2.549

0.304 Ic = = 6.75 ⋅10−4 m 4 12

E = 3 ⋅106

tn m2

12 EI c tn = 900 3 h1 m

k1 = 4 ⋅ kc1 = 3600

kc2 =

12 EI c tn = 900 3 h2 m

k2 = 4 ⋅ kc2 = 3600

tn m

kc3 =

12 EI c tn = 566.8 3 h3 m

k3 = 4 ⋅ kc3 = 2267

tn m

kc1 =

tn m

tn ⋅ s 2 m

m1

h1 = 3.0m

m2

h2 = 3.0m

m3

h3 = 3.5m L = 4.0m

1

Matrices de rigidez y masa

⎡ k1 ⎢ K = ⎢ −k1 % ⎢⎣ 0

− k1 ( k1 + k2 )

⎡ m1 M = ⎢⎢ 0 % ⎢⎣ 0

0

−k2

m2 0

⎤ ⎡ 3600 −3600 0 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ = ⎢ −3600 7200 −3600 ⎥ −3600 5867 ⎥⎦ ( k2 + k3 ) ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 − k2

0 ⎤ ⎡ 2.549 0 0 ⎤ ⎥ ⎢ 0 ⎥=⎢ 0 2.549 0 ⎥⎥ 0 2.549 ⎥⎦ m3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

Modos naturales de vibración

Los modos naturales pueden calcularse con los métodos estudiados (analítico, Stodola), con algún programa de cálculo (SAP, RAM, etc.) o con los algoritmos incluidos en programas con manipulación de matrices (MathCad, MatLab, Excel, etc.). En este ejercicio se proporcionan como dato para concentrarnos en aspectos vinculados a la obtención de la respuesta sísmica. rad ω1 = 14.52 seg rad ω2 = 43.61 seg rad ω3 = 66.53 seg

T1 = 0.433 seg

⎧1.000 ⎫ ⎪ ⎪ Φ1 = ⎨ 0.851⎬ % ⎪0.575⎪ ⎩ ⎭

T2 = 0.144 seg

⎧−0.815⎫ ⎪ ⎪ Φ 2 = ⎨ 0.283 ⎬ % ⎪ 1.000 ⎪ ⎩ ⎭

T3 = 0.094 seg

⎧−0.469 ⎫ ⎪ ⎪ Φ 3 = ⎨ 1.000 ⎬ % ⎪ −0.665⎪ ⎩ ⎭

Masas y rigideces generalizadas de los modos

tn ⋅ s 2 M 1 = Φ1T ⋅ M ⋅ Φ1 = 5.236 % % % m tn ⋅ s 2 M 2 = ΦT2 ⋅ M ⋅ Φ 2 = 4.447 % % % m tn ⋅ s 2 M 3 = ΦT3 ⋅ M ⋅ Φ 3 = 4.236 % % % m

tn K1 = Φ1T ⋅ K ⋅ Φ1 = 1103 (no participa aquí) % % % m tn K 2 = ΦT2 ⋅ K ⋅ Φ 2 = 8460 (no participa aquí) % % % m tn K 3 = ΦT3 ⋅ K ⋅ Φ 3 = 18747 (no participa aquí) % % % m

Las acciones sísmicas se encuentra íntimamente ligadas al movimiento de apoyo donde los factores de participación modal Γ compatibilizan la respuesta de cada oscilador simple que representa un modo en un sistema de múltiples grados de libertad con la respuesta del modo respectivo. En la obtención de los factores de participación modal interviene el vector de desplazamientos de cuerpo rígido B . % T ΦT ⋅ M ⋅ B Φ ⋅M ⋅B Γ1 = % 1 % % = 1.181 Γ3 = % 3 % % = −0.081 M1 M3 ΦT ⋅ M ⋅ B Γ 2 = % 2 % % = 0.268 M2

BT = {1 1 1} % 2

Los signos tienen importancia en la superposición de modos en el tiempo pero pierden relevancia para el cálculo de valores finales utilizando los valores máximos de cada modo. La masa total de la estructura es 7.647 tn·s2/m ( m1 + m2 + m3 ). Las masas modales resultan: Μ1

(Φ = %

Μ2

(Φ = %

Μ3

(Φ = %

T 1

T 2

T 3

⋅ M ⋅ B) tn ⋅ s 2 % % = 7.303 M1 m

( 95.5% )

⋅ M ⋅ B) tn ⋅ s 2 % % = 0.320 M2 m

( 4.2% )

⋅ M ⋅ B) tn ⋅ s 2 % % = 0.027 M3 m

( 0.3% )

2

2

2

La utilización de los 2 primeros modos permite alcanzar el 99.7% de la masa total, por lo que se ignora el tercer modo en el cálculo de la respuesta. Cálculo elasto-plástico de desplazamientos y esfuerzos

Se asume que la estructura es capaz de absorber energía a través de mecanismos de disipación que requieren deformaciones elasto-plásticas. De esta forma se realiza un cálculo elástico de la estructura tomando pseudo-aceleraciones menores a las dadas en los espectros reglamentarios que se reducen con un coeficiente denominado factor de reducción R calculado de la siguiente forma R = 1 + ( µ − 1) R=µ

T T1

T ≤ T1 T ≥ T1

El parámetro µ se denomina ductilidad y se define en función de las características geométricas y los materiales de la estructura. El factor de reducción varía linealmente desde 1 hasta µ para períodos de la estructura que van desde 0 hasta T1 y mantiene un valor constante de µ para períodos mayores a T1. Se observa que para estructuras relativamente rígidas (periodos próximos a cero) el factor de reducción es cercano a la unidad significando que estas estructuras deben calcularse elásticamente debido a la incapacidad que poseen de desarrollar mecanismos de disipación. Los desplazamientos elasto-plásticos reales que se producen en la estructura se calculan de la siguiente forma

ur = µ ⋅ ueR % % aunque debe tenerse presente que los esfuerzos se calculan con los desplazamientos elásticos reducidos con el factor de reducción ( ueR ). En este ejercicio se asume una ductilidad   5 . % 1. Método de Descomposición Modal con los dos primeros modos

Los factores de reducción para cada modo resultan

R1    5 R2  1  5 − 1 0. 144  3. 88 0. 200 3

Las pseudo-aceleraciones máximas esperadas para cada modo son

Sa 1  9. 807  0. 24  2. 354 m2 s Sa 2  9. 807  0. 08  0. 144 0. 24 − 0. 08 0. 200

 9. 807  0. 1952  1. 914 m2 s

Las pseudo-aceleraciones máximas reducidas para cada modo son

Sa 1  2. 354  0. 471 R1 5 Sa 2 Sa R2   1. 914  0. 493 R2 3. 88 Sa R1 

m s2 m s2

Los desplazamientos generalizados máximos reducidos de cada modo son R 1,max

q

= Γ1 ⋅

R = Γ2 ⋅ q2,max

Sa1R

ω

2 1

Sa2R

ω

2 2

= 1.181⋅

0.471 = 0.002638 14.522

= 0.268 ⋅

0.493 = 0.000069 43.612

Los desplazamientos máximos reducidos por modo (para cálculo de esfuerzos) resultan u =q %

⎧1.000 ⎫ ⎧ 0.002638 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⋅ Φ1 = 0.002638 ⋅ ⎨ 0.851⎬ = ⎨ 0.002245 ⎬ % ⎪0.575⎪ ⎪0.001517 ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

u =q %

⎧−0.815⎫ ⎧−0.000056 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⋅ Φ 2 = 0.000069 ⋅ ⎨ 0.283 ⎬ = ⎨ 0.000020 ⎬ % ⎪ 1.000 ⎪ ⎪ 0.000069 ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

R 1

R 2

R 1,max

R 2,max

Los desplazamientos elasto-plásticos máximos reales por modo resultan

⎧0.01319 ⎫ ⎪ ⎪ u1 = µ ⋅ u = ⎨0.01122 ⎬ % ⎪0.00758⎪ ⎩ ⎭ R 1

⎧ −0.00028⎫ ⎪ ⎪ u2 = µ ⋅ u = ⎨ 0.00010 ⎬ % ⎪ 0.00034 ⎪ ⎩ ⎭ R 2

Para el primer modo se obtienen los mismos desplazamientos máximos que en el cálculo elástico (debido a que el factor de reducción coincide con la ductilidad), mientras que para el segundo modo los desplazamientos resultan algo mayores ( µ R2 veces más grandes).

4

Los esfuerzos de las columnas por modo resultan ⎧ kc1 ⋅ ( Φ11 − Φ12 ) ⎫ ⎧134.1 ⎫ ⎧0.354 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ R Q1 = q1,max ⋅ ⎨kc2 ⋅ ( Φ12 − Φ13 ) ⎬ = 0.002638 ⋅ ⎨248.4 ⎬ = ⎨0.655⎬ % ⎪ ⎪ ⎪325.9 ⎪ ⎪0.860 ⎪ 3 3 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎪⎩ kc ⋅ Φ1 ⎪⎭

⎧ kc1 ⋅ ( Φ12 − Φ 22 ) ⎫ ⎧−988.2 ⎫ ⎧−0.068⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ R Q2 = q2,max ⋅ ⎨kc2 ⋅ ( Φ 22 − Φ 32 ) ⎬ = 0.000069 ⋅ ⎨ −645.3⎬ = ⎨−0.045⎬ % ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 3 ⎩ 566.8 ⎭ ⎩ 0.039 ⎭ ⎪⎩ kc ⋅ Φ 2 ⎪⎭ ⎧ 0.354 ⋅ h1 2 ⎫ ⎧0.354 ⋅1.50 ⎫ ⎧ 0.531⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ M 1 = ⎨0.655 ⋅ h2 2 ⎬ = ⎨0.655 ⋅1.50 ⎬ = ⎨0.928⎬ % ⎪0.860 ⋅ h 2 ⎪ ⎪0.860 ⋅1.75⎪ ⎪1.505 ⎪ 3 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ −0.068 ⋅ h1 2 ⎫ ⎧−0.068 ⋅1.50 ⎫ ⎧ −0.102 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ M 2 = ⎨−0.045 ⋅ h2 2 ⎬ = ⎨−0.045 ⋅1.50 ⎬ = ⎨−0.067 ⎬ % ⎪ 0.039 ⋅ h 2 ⎪ ⎪ 0.039 ⋅1.75 ⎪ ⎪ 0.068 ⎪ 3 ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ Para superponer el efecto de los modos incluidos se utilizan dos criterios de superposición ⎧0.01347 ⎫ ⎪ ⎪ uI = u1 + u2 = ⎨0.01132 ⎬ % % % ⎪0.00792 ⎪ ⎩ ⎭ uII = %

2

u1 + u2 % %

2

⎧0.422 ⎫ ⎪ ⎪ QI = Q1 + Q2 = ⎨0.700 ⎬ % % % ⎪0.899 ⎪ ⎩ ⎭

⎧0.01319 ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨0.01122 ⎬ ⎪0.00759 ⎪ ⎩ ⎭

QII = %

2

Q1 + Q2 % %

2

⎧0.360 ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨0.657 ⎬ ⎪ 0.861⎪ ⎩ ⎭

⎧0.633⎫ ⎪ ⎪ M I = M 1 + M 2 = ⎨0.995⎬ % % % ⎪1.573 ⎪ ⎩ ⎭ M II = %

2

M1 + M 2 % %

2

⎧ 0.541⎫ ⎪ ⎪ = ⎨0.930 ⎬ ⎪1.507 ⎪ ⎩ ⎭

Una observación importante que debe hacerse es que la contribución de los modos altos (en este caso sólo el segundo modo) influye en forma más notoria en los esfuerzos que en los desplazamientos. La conclusión general es que para un grado de aproximación dado es necesario incluir más modos cuando interesa calcular esfuerzos que en los casos en que interesa calcular desplazamientos. Una forma alternativa muy conveniente de calcular los esfuerzos que permite utilizar las fuerzas dinámicas se describe a continuación (esta explicación que no es imprescindible ayuda a entender los fundamentos del Método Estático Equivalente tal como se explica en el reglamento).

5

Las fuerzas de piso máximas que se generan en cada modo i por efecto de la acción sísmica son Fi = qiR,max ⋅ K ⋅ Φ i = qiR,max ⋅ ωi2 ⋅ M ⋅ Φ i = Γ i ⋅ SaiR ⋅ M ⋅ Φ i % % % % % % % ⎧1.418 ⎫ ⎧−0.274 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ F1 = ⎨1.207 ⎬ F2 = ⎨ 0.095 ⎬ % ⎪ % ⎪ ⎪ ⎪ ⎩0.815⎭ ⎩ 0.337 ⎭

Las fuerzas de corte máximas por modo a una determinada altura se obtienen sumando las fuerzas de piso que actúan por encima de dicho nivel Piso 1

Q %

⎧1.418 ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨ 2.625⎬ ⎪3.440 ⎪ ⎩ ⎭

Piso 2

Q %

⎧−0.274 ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨−0.179 ⎬ ⎪ 0.158 ⎪ ⎩ ⎭

El corte que toma cada columna en un determinado piso depende de la rigidez relativa respecto a la rigidez total del piso. En la presente estructura se tienen 4 columnas iguales que toman ¼ del corte del piso cada una ⎧0.354 ⎫ ⎪ ⎪ Q1 = ⎨0.656 ⎬ % ⎪ ⎪ ⎩0.860 ⎭

⎧−0.069 ⎫ ⎪ ⎪ Q2 = ⎨ −0.045⎬ % ⎪ 0.040 ⎪ ⎩ ⎭

Salvo errores de redondeo estos valores coinciden con los calculados utilizando la rigidez de cada columna y el desplazamiento relativo entre los pisos. Los momentos flectores máximos de cada columna se obtienen multiplicando los cortes máximos de cada modo por la mitad de la altura de la columna respectiva. Las fuerzas de piso calculadas más arriba nos permiten calcular, por consideraciones de equilibrio, los esfuerzos axiales en las columnas para cada modo, practicando cortes a la mitad de la luz de las columnas entre vigas donde el momento flector es nulo 1.418 ⋅1.5 ⎧ ⎫ ⎧0.266 ⎫ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1.418 ⋅ 4.5 + 1.207 ⋅1.5 N1 = ⎨ ⎬ = ⎨1.024 ⎬ 2L ⎪ % ⎪ ⎪ ⎪ ⎩1.418 ⋅ 7.75 + 1.207 ⋅ 4.75 + 0.815 ⋅1.75⎭ ⎩2.269 ⎭ −0.274 ⋅1.5 ⎧ ⎫ ⎧ −0.051⎫ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N2 = −0.274 ⋅ 4.5 + 0.095 ⋅1.5 ⎨ ⎬ = ⎨−0.136 ⎬ 2L ⎪ % ⎪ ⎪ ⎪ ⎩−0.274 ⋅ 7.75 + 0.095 ⋅ 4.75 + 0.337 ⋅1.75⎭ ⎩ −0.135⎭ 2. Método de Descomposición Modal con sólo el primer modo

En este caso pueden mayorarse los desplazamientos y esfuerzos máximos de tal forma que la masa modal alcance la masa total del sistema. Esto se logra a través del factor Λ: Λ=

1

Μ1 ( % )

=

1 = 1.047 0.955

6

Los desplazamientos reducidos y reales elasto-plásticos resultan ⎧0.002762 ⎫ ⎪ ⎪ u = Λ ⋅ u = ⎨ 0.002351⎬ % % ⎪0.001588 ⎪ ⎩ ⎭ R e

R 1

⎧ 0.01381⎫ ⎪ ⎪ ur = µ ⋅ ueR = ⎨0.01175⎬ % % ⎪0.00794 ⎪ ⎩ ⎭

Los esfuerzos máximos resultan ⎧ 0.371⎫ ⎪ ⎪ Q = Λ ⋅ Q1 = ⎨0.686 ⎬ % % ⎪ ⎪ ⎩ 0.901⎭ ⎧0.556 ⎫ ⎪ ⎪ M = Λ ⋅ M 1 = ⎨0.972 ⎬ % % ⎪1.576 ⎪ ⎩ ⎭

3. Método Estático Equivalente

Este método consiste en una variante del anterior adoptando para el modo fundamental una forma modal con una variación lineal en altura. El período fundamental puede calcularse a través de fórmulas aproximadas que presenta el reglamento sísmico o adoptando el valor obtenido en el cálculo de los autovalores. En este caso se utiliza esta última alternativa ⎧9.5 / 9.5 ⎫ ⎧1.000 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Φ1 = ⎨6.5 / 9.5⎬ = ⎨0.684 ⎬ % ⎪3.5 / 9.5 ⎪ ⎪0.368 ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

rad ω1 = 14.52 seg

T1 = 0.433 seg

La masa generalizada, el factor de participación modal, la masa modal y el coeficiente de mayoración resultan M 1 = Φ ⋅ M ⋅ Φ1 = 4.087 % % % T 1

Μ1

(Φ = %

T 1

⋅ M ⋅ B) % % = 6.694 ( 87.5% ) M1

Φ1T ⋅ M ⋅ B Γ1 = % % % = 1.280 M1

2

Λ=

1

Μ1 ( % )

=

1 = 1.142 0.875

La pseudo-aceleración máxima reducida y el desplazamiento generalizado máximo reducido se calculan como

0.24 m = 0.471 2 5 s R Sa 0.471 = Γ1 ⋅ 21 = 1.280 ⋅ = 0.00286 ω1 14.522

Sa1R = 9.807 ⋅ R q1,max

7

Los desplazamientos máximos resultan u = Λ⋅q % R e

R 1,max

⎧1.000 ⎫ ⎧0.00326 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⋅ Φ1 = 1.142 ⋅ 0.00286 ⋅ ⎨0.684 ⎬ = ⎨0.00223⎬ % ⎪0.368⎪ ⎪0.00120 ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Las fuerzas máximas de piso que se generan por efecto de la acción sísmica son F1 = Λ ⋅ Γ1 ⋅ Sa1R ⋅ M ⋅ Φ1 % % % ⎧1.754 ⎫ ⎪ ⎪ F1 = ⎨1.200 ⎬ % ⎪ ⎪ ⎩0.646 ⎭ Las fuerzas de corte máximas a una determinada altura se obtienen sumando las fuerzas de piso que actúan por encima de dicho nivel Q1Piso %

⎧1.754 ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨ 2.954 ⎬ ⎪3.600 ⎪ ⎩ ⎭

El corte que toma cada columna en un determinado piso se obtiene para la presente estructura como ¼ del corte del piso ⎧0.438 ⎫ ⎪ ⎪ Q1 = ⎨0.738 ⎬ % ⎪ ⎪ ⎩0.900 ⎭

Los momentos flectores máximos resultan ⎧0.438 ⋅1.50 ⎫ ⎧0.657 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ M = ⎨0.738 ⋅1.50 ⎬ = ⎨1.107 ⎬ % ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩0.900 ⋅1.75⎭ ⎩1.575 ⎭

El Método de Descomposición Modal con sólo el primer modo adoptando una forma modal lineal en altura produce resultados análogos a los obtenidos con el procedimiento propuesto en el Reglamento INPRES-CIRSOC 103 para el Método Estático Equivalente. Este procedimiento parte del cálculo del corte basal V0 dado por la expresión V0 =

Sa1R ( % ) 0.24 ⋅W = ⋅ 75 = 3.6 tn R 5

Dado que se utiliza el peso total del edificio W en lugar de la masa, resulta necesario tomar la pseudo-aceleración en fracción de g para obtener el corte basal en unidades de fuerza. La fórmula propuesta para el cálculo de las fuerzas de piso máximas en cada piso k es Fk =

Wk hk n

∑ Wi hi

V0

i =1

donde

8

⎧n = 3 ⎨ ⎩hk

número de pisos altura del piso k desde la fundación

Por lo tanto, las fuerzas de piso máximas resultan n

∑W h = 487.5 tn.m i i

i =1

⎧ 25 ⋅ 9.5 ⎫ ⎧1.754 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ F = 3.6 487.5 ⋅ ⎨25 ⋅ 6.5⎬ = ⎨1.200 ⎬ % ⎪ 25 ⋅ 3.5 ⎪ ⎪0.646 ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Dado que estas fuerzas coinciden con las calculadas con la fórmula de fuerzas dinámicas utilizada más arriba se demuestra que el procedimiento propuesto por el reglamento y el cálculo dinámico riguroso producen los mismos resultados.

9