Ejercicios Sobre Estructuras 811l

ESTRUCTURAS

A. BUENO

EJERCICIOS SOBRE ESTRUCTURAS 2kg

1º Indicar con que fuerza atrae a un cuerpo de masa 2 kg la tierra. Solución: F= m*g = 2Kg * 9,8 m/s2 = 19,6 N F

2º En una barra empotrada en la pared de longitud 100 cm, se cuelga el peso del ejercicio anterior. Indicar cual será el momento respecto del punto de apoyo de la pared. 100 cm

Solución: M = F*d = 19,6 N * 1m = 19,6 N m

2kg

F

3º Una grúa tiene una pluma de 12 m y parte de contrapeso de 4 m, indicar cual debe ser el valor del contrapeso si la carga que debe soportar la pluma en su extremo es de 20 kg. 4m 12m ¿kg?

Solución : Para conservar el equilibrio debe cumplirse que los momentos de la pluma y de la contrapluma sean iguales, luego se cumplirá : P = 20 Kg * 9,8 m/s2 = 196 N. M1 = M2 = 196 N * 12 m = R * 4 m; donde: R = (196 * 12 ) / 4 = 588 N. Expresado en Kg será: R = 588 N /9,8 m/s2 = 60 Kg. 4º Un hombre tira con una fuerza de 300 N de una cuerda sujeta a un edificio, según se indica en la figura. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por la cuerda en el punto A?

Solución: Se ve en la figura (b) que 1

20kg

ESTRUCTURAS Fx = +(300 N) cos α,

A. BUENO Fy = - (300 N) sen α

Observando que AB = 10m se deduce que cos α = 8m/10m ; sen α = 6m/10m se obtiene pues Fx = +(300N) * 8/10 = 240 N, Fy = - (300N) 6/10 = -180 N. 5º Se aplica una fuerza de 150 N en el extremo de una palanca de 900 mm según se indica en la figura. Determinar el momento de la fuerza respecto a O.

Solución: La fuerza se sustituye por dos componentes, una componente P en la dirección OA y otra componente Q perpendicular a OA. Como O está sobre la recta soporte de P, el momento de P respecto a O es nulo, y el momento de la fuerza de 150 N se reduce al momento de Q, que tiene sentido. Q = (150N ) sen 20º = 51,3 N. Mo = Q*(0,9m) = (51,3N) * (0,9m) = 46,2 N.m 6º Una viga de 4,80m de longitud está sometida a las cargas que se indican. Reducir el sistema de fuerzas dado a: a) un sistema fuerza-par equivalente en A. b) una sola fuerza o resultante. Nota: Como las reacciones en los apoyos no están incluidas en el sistema de fuerzas dado, el sistema no mantendrá la viga en equilibrio.

Solución: a) Sistema fuerza-par en A. El sistema fuerza-par en A equivalente al sistema dado de fuerzas está formado por una fuerza R y un par M definidos como sigue: 2

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R = ΣF; R = (150 N)j – (600 N)j – (250 N)j = -(600 N)j. M = Σ (r*F); M = (1,6i)*(-600j) + (2,8i)*(100j) + (4,8i)*(-250j) = - (1880 Nm) k El sistema fuerza-par equivalente es, por tanto, R = 600 N ↓ M = 1880 Nm  b) Fuerza única o resultante. La resultante del sistema dado de fuerzas es igual a R y su punto de aplicación debe ser tal que el momento de R respecto a A sea igual a M. Se puede escribir. r * R = M; xi * (-600 N)j = -( 1880 Nm)k; -x(600N)k = -(1880 Nm)k y se obtiene que x = 3,13 m. Por tanto, la fuerza única equivalente al sistema está definida por: R = 600 N ↓ x = 3,13 m. 7º Una viga en voladizo está cargada como se indica. La viga está empotrada en su extremo izquierdo y libre el derecho. Determinar la reacción en el empotramiento.

Solución: La parte de la viga que está incrustada en el muro está sujeta a un gran número de fuerzas. Estas fuerzas, sin embargo, son equivalentes a una fuerza de componentes Rx y Ry y a un par M. Ecuaciones de equilibrio. ΣFx = 0: ΣFy = 0: ΣNA = 0:

Rx= 0. Ry –800N –400N – 200 N = 0; Ry =+1400 N. -(800N) (1,5m) – (400N) (4m) – (200 N) (6m) + M = 0. M = + 4000 Nm. La reacción en el empotramiento consiste en una fuerza vertical hacia arriba de 1400 N y un par en sentido antihorario de 4000 Nm.

8º Dibuja los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores de la viga de la figura sometida a la carga que se indica.

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Solución: Las reacciones se determinan considerando la viga entera como un sólido libre; se tendrá: RB = 46 kN RD = 14 kN  En primer lugar se determinan las fuerzas interiores a la derecha de la carga de 20 kN en A. Si se considera el trozo de viga a la izquierda de la sección 1 como un sólido libre, y suspendido en V y M sean positivos (de acuerdo con el convenio aceptado), se tendrá ΣFy = 0: -20 kN. ΣM1 = 0:

-20kN – V1 = 0; (20kN) (0m) + M1=0

V1

=

M1 = 0.

Seguidamente se tomará como sólido libre la parte de la viga a la izquierda de la sección 2 ΣFy = 0: -20 kN. ΣM2 = 0:

-20kN – V2 = 0; (20kN) (2,5m) + M2=0

V2

=

M2 = -50kNm.

El esfuerzo cortante y el momento flector de las secciones 3, 4, 5 y 6 se determinarán de forma similar a partir de los diagramas de sólido libre indicado. Se obtendrá así V3= 26kN V4= 26kN V5= -14kN V6= -14kN

M3 = -50kNm M4 = 28kNm M5 = 28kNm M6 = 0

Para varias de las secciones finales, los resultados pueden obtenerse fácilmente, considerando como sólido libre la parte de la viga que está a la derecha de la sección. Por ejemplo, considerando la parte de la viga a la derecha de la sección 4, se tendrá ΣFy = 0: 26 kN. ΣM4 = 0:

V4 -40kN + 14kN = 0; (14kN) (2m) – M4=0;

V4

=

M4 = 28kNm.

Se pueden representar ahora los seis puntos indicados sobre los diagramas de esfuerzos cortantes (V) y momentos flectores (M). El esfuerzo cortante tiene un valor constante entre las cargas concentradas, y el momento flector varía linealmente. Por consiguiente, se obtienen los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores indicados.

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A. BUENO

9º Calcula el alargamiento de un cable de 10m de longitud, sección igual a 1mm 2, del cual cuelga una carga de 20 N, para los siguientes tipos de material, acero, aluminio y cobre. Indica si se rompe. Solución: La sección en m2 será 1mm2 = 1x10-6 m2 La carga de rotura al que está sometido es: F/s = 20N/1x10-6 = 2x107 N/m2 Comparando con la tabla no se rompe en ningún caso. ∆l = 1/E * (l*F)/s; ∆lacero= 1/1,96x1011 *(10 * 20 ) / 1x10-6 = 200/1,96x105 = 1x10-3m = 1 mm. ∆laluminio= 2,91x10-3 m = 2,91 mm. ∆lcobre= 1,7x10-3m = 1,7mm. 10º Calcula la disminución de volumen de un pilar de acero de forma cilíndrica con altura = 2m, y radio = 10cm, que aguanta un peso de 20 kN. Solución: El volumen será V = π r2 * l; V = 0,0314 * 0,1 = 0,06283 m3. ∆v = -1/B * (v*F)/s; ∆v = -1/1,17x1011 * (0,06283 *20000)/0,0314 = - 3,42x10-7 m3. 11º Indicar los ángulos de cizalladura del ejercicio 8º ( ϕ1, ϕ2, ϕ3 ), si la barra es de acero y su superficie es de 10 cm x 2 cm = 2x10-3 m2. Solución: ϕ1 = 1/G * F/s = 1/7,84x1010 * 20000/2x10-3 = 1,27x10-4 radianes. ϕ 1 = (1,27x10-4 *180) / π =7,3x10-3 grados. ϕ2 = 1/G * F/s = 1/7,84x1010 * 26000/2x10-3 = 1,65x10-4 radianes. ϕ 2 = (1,65x10-4 *180) / π =9,45x10-3 grados. ϕ3 = 1/G * F/s = 1/7,84x1010 * 14000/2x10-3 = 8,95x10-5 radianes. ϕ 3 = (8,95x10-5 *180) / π =5,115x10-3 grados. 12º Calcular el ángulo de torsión aplicado a una barra de cobre de dimensiones a*b*l = 5cm x 5cm x 15 cm, a la cual se aplica un momento torsor de 100k Nm. Solución: el radio de giro vendrá dado por la expresión: Luego r = 0,0353m 5

r=

a 2 + b2 2

r b

a

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A. BUENO

El ángulo será: α = 1/G * (M*2*l)/(πr4) = 1/3,92x1010 * (100000*2*0,15)/( π*0,03534) = 0,156 radianes α = 0,156 * 180 /π = 8,99 grados. 13º Calcular la flecha de un puente de acero de 2m de ancho, 30m de largo y con un canto de 10cm cuando intenta pasar sobre él un camión de masa 10.000 kg. Indicar cual debe ser el valor del canto para reducir la flecha a un valor razonable de 2 cm. Solución: La fuerza ejercida por el camión sobre el centro del puente es: F = 10000 * 9,8 = 98000 N. La ecuación que obtiene la flecha es: d = (F/4*E)*(l3)/(a*h3); donde: E = módulo de Young (N/m2). h = canto (m). a = ancho (m). l = longitud (m). F = Esfuerzo al que está sometido (N). d = deformación (flecha) (m). d= (98000* 303)/(4*1,96x1011*2*0,1x103) = 1,687 m. El canto que cumplirá la condición será: h =3

F *l 3 98000 * 30 3 =3 = 0,438m ≈ 44cm 4* E *a *d 4 *1,96 x1011 * 2 * 0,02

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