Ejercicios 3l6c5o

ejercicio N°02 Se decide estimar la media \x del nivel de ansiedad de todos los estudiantes preuniversitarios. Se supone que la población de los puntajes de la prueba para, medir la ansiedad se distribuye normalmente con desviación estándar igual a 10 puntos. a) Determinar el intervalo para Li con confianza del 95%, si una muestra aleatoria de tamaño 100 ha dado una media de 70 puntos. b) Si u se estima en 70 puntos con el nivel de confianza del 98%, ¿es el error de la estimación puntual superior a 5 puntos? c) Si Ud. considera que el intervalo encontrado en a) no es muy preciso, ¿qué acción debería tomar para que el intervalo de estimación al 95% sea más preciso?

Solución u , 102 X N¿ )

X= nivel de ansiedad

Z0.975=1.96

X: puntajes a) α =0.05 x´ p¿ –

Z

n=100

σ ≤u ≤ √n

´x

1.96 (10) =1.96 10

b¿

σ + Z √n ¿=1−α

¿>¿

α =0.02

NO , es 2.33 c) si R → 0=¿

´x =70

Z0.99=2.33

( 70 ±1.96 ¿

e=2.33

n→α

se debería aumentar el tamaño de muestra

ejercicio N°11

( 1010 )=2.33

Las cajas de un cereal producidos por una fábrica deben tener un contenido promedio de 160 gramos. Un inspector de INDECOPI tomo una muestra aleatoria de 10 cajas para calcular los pesos X f en gramos. Si de la muestra resultan las siguientes sumas: 10

∑ X i=1 590 i=1 10

∑ Xi 2=252 858 i=1

Mediante un intervalo de confianza del 98% para u, ¿es razonable que el inspector multe al fabricante? Suponga que el peso de las cajas del cereal tiene distribución normal.

Solución

De los datos podemos sacar

H0 H1

n=10 ¿ 159 ŝ =2,309

:µ

160gr (no lo multe al fabricante)

:µ

160gr (multe al fabricante)

= 2% = 0,02

t 0=t ∝ ,n −1 = t 0,05; 9 = t ∝ ,n −1 = −t 1−∝;n −1 = −t 0,98 ;9

Tk

−u0 s = √n

=

159−160 2,309 √100

= -2.398

= - 1,33 en grafico se ubica en la región aceptación.

Tk

Aceptamos

= - 1,33

t0

= -2,389

zk

cae en la región aceptación.

H 0 : u = 160gr.

No se multa al fabricante.

ejercicio N°20 Dos candidatos A y B compiten como favoritos en las próximas elecciones. En la última encuesta a partir de una muestra grande de electores se estima con una misma confianza que A tendría 40% de los votos con un error máximo de 3%, mientras que B tendría a entre 31 % y 39% de los votos. a) En base a esta encuesta. ¿cuál de los dos candidatos seria el ganador absoluto? b) ¿Qué tamaño de muestra se debe elegir si se quiere tener una confianza del 98% de que el error de estimación de todos los electores a favor de A no sea superior al 2%?

Solución a) El intervalo de confianza a favor de A es [37%,43%] El intervalo de confianza a favor de B es [31%,39%] Dado que la intersección de los intervalos no es vacía, no se puede proclamar un ganador. En este caso se decide que hay un empate técnico. b)

n=z2∗p∗(1− p)/ e2 reemplazando :

Rp. a) Cualquiera, pues hay empate técnico. c) 3258 o 3394 (sin usar proporción)

ejercicio N°29 Se quiere estimar la diferencia entre los promedios de tiempos (en minutos) que utilizan dos operarios para realizar determinada tarea. Suponga que las poblaciones de los dos tiempos se distribuyen normal mente con varíanza común. Estime la diferencia entre los dos promedios poblacionales mediante un

intervalo de confianza del 95% si el registro de 16 tiempos de cada operario han dado: X1, =38, S1, = 6 , y X2 = 35, S2 = 4

Rp. ES= 1.8028, gl=30, 3 + 3.68, p,-p 3 e[-0.68. 6.68]

ejercicio N°38 Dos muestras aleatorias de 250 mujeres y 200 hombres indican que 75 mujeres y 80 hombres consumirán un nuevo producto unisex que acaba de salir al mercado. Utilizando un intervalo de confianza del 95%, ¿se puede aceptar que es igual la proporción de preferencias de mujeres y hombres en toda la población?, si no es así, ¿cuál es la relación?

Rp. -0. 1 T\ 96(0.0452). [-0.189, -0 01 1 ). pj^ademas es /;

ejercicio N°47 De una población normal con media u y desviación estándar 18, se extrae una muestra aleatoria de tamaño 36. Para comprobar la hipótesis nula Ho: u=50 contra H1: u≠50, Si se utiliza la región de aceptación: 43 ≤ X ≤ 57, calcular el nivel de significancia de la prueba. Rp a = 0.0198

ejercicio N°56 Se afirma que el peso de los alumnos varones de la universidad tiene una media de 68 kg. y una desviación estándar de 3.6 kg. Si para verificar p =68 se utiliza la región critica RC = {X <67 o X >69} donde X es la media de muestras de tamaño 64, ¿en qué porcentaje de casos esta región critica no detecta una

diferencia igual a 2 kg. en el promedio de los pesos y por encima de 68 kg?

Rp. p=0.0132 en 132 casos de 10,000

ejercicio N°65 Se afirma que el ingreso promedio mensual de un sector de informales es $400. Diseñe una prueba para probar esta hipótesis con un riesgo de 5% de cometer error tipo I y un riesgo de 1% de cometer error tipo II cuando realmente es u=$460. Suponga que σ=$90.

Rp. n= 36, K =424.675

ejercicio N°74 Se asegura que el 70% de los trabajadores están asegurados bajo el régimen particular de pensiones (AFP). Para probar esta afirmación se toma una muestra de 80 personas que trabajan. Si menos de 52 personas de la muestra están aseguradas en el régimen indicado, se rechaza que el 70% de la población de trabajadores está asegurado en AFP.

a) ¿Cuál es el nivel de significación de la prueba?

b) ¿Se podría decir que la prueba puede detectar una diferencia de 20% por debajo de lo indicado en la hipótesis nula?

Rp. a) a=0. 1635, b) p=P[ P > 0.65 Ip = 0.50]=P[Z > 2.68]= 0.0037. La prueba detecia la

diferencia el l-p= 99.63% de las veces

ejercicio N°83 Se quiere determinar la diferencia entre los promedios de tiempos (en minutos) que utilizan los hombres y las mujeres para realizar determinada tarea. Con este fin se escogen 16 hombres y 16 mujeres al azar resultando los tiempos

promedios respectivos 40 y 35 minutos, y desviaciones estándar respectivos 9 y 8 minutos. Suponga que las poblaciones de ambos tiempos son independientes y que se distribuyen normalmente con varianzas iguales. Al nivel de significación del 1% ^es el tiempo promedio de hombres mayor al tiempo promedio de mujeres?

Rp. gk=30, error estándar=3 .01, 1 .66, RC-{T>2.457} % No, u1=u2

ejercicio N°92 Una compañía debe decidir entre dos tipos de fluorescentes para todos los ambientes de su local. Por cuestiones de precio la compañía desearía comprar los fluorescentes de marca A, a menos que haya evidencia que la marca B tenga mayor duración que la marca A. Se prueban 8 fluorescentes de cada marca y se obtienen las siguientes duraciones en horas Marca A: 1500, 1700, 1600, 1800, 1700, 1900, 1200, 1300 Marca B: 1200, 1000, 1300, 1100, 1200, 1500, 1400, 1500 Suponiendo normalidad y utilizando un nivel de significación del 5%, a) ¿Se podría concluir que las varianzas poblacionales son iguales? b) ¿Que marca debe comprar la empresa?.

Rp. 1.739, gl:7,7. sigf.biI-0.482 se acepta (ct,) 2 =(ct 3 ) 2 , b) fc=2.9l5. g.l=14, ES=107 217, sigf.bil^O.l 1 , sigf.unil=0.005, se acepta pi>p 2 adquinr marca A.