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1

3. ESTABILIDAD PERMANENTE 3.1

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

La estabilidad permanente (o de estado estacionario) o de pequeña señal es la habilidad del SEP para mantenerse en sincronismo cuando está sometido a las pequeñas perturbaciones normales durante su operación. •

Se dice que un sistema de potencia es estable (durante su operación) en estado estacionario, si en todo momento logra amortiguar las pequeñas perturbaciones representadas por los continuos cambios en las cargas del sistema.

Estabilidad permanente es el término clásico y el más difundido, el segundo (estabilidad de pequeña señal) alude a la magnitud de la perturbación. •

Ya que la magnitud de las perturbaciones esta predefinida, la estabilidad es una propiedad del sistema de potencia (SEP) y en ella influye su condición de operación estacionaria.

•

En tal sentido, una estrategia para estudiar este tipo de estabilidad es linealizar las ecuaciones del SEP alrededor del punto de operación y utilizar algún método para la estabilidad de sistemas lineales.

La inestabilidad puede presentarse en dos formas: a.

Con un incremento estacionario en el ángulo del rotor del generador debido a la carencia o al insuficiente torque sincronizante (inestabilidad monotónica). Se le denomina también aperiódica y está asociada con aquella condición de operación en la cual se ha excedido el límite de transmisión de potencia en estado estacionario del sistema. Matemáticamente esta inestabilidad corresponde al caso en que las ecuaciones linealizadas tienen al menos una raíz real positiva.

b.

Con oscilaciones rotóricas de amplitud creciente debido al insuficiente torque de amortiguamiento o porque es negativo (inestabilidad oscilatoria). Corresponde a aquella situación en la cual surgen oscilaciones electromecánicas entre máquinas o grupos de máquinas.

3.1.1

MODOS DE OSCILACIÓN DEL SEP

Los Modos de Oscilación (MO) reflejan las interacciones entre el sistema eléctrico de transmisión y el sistema mecánico de impulso de los generadores, pueden ocurrir entre una maquina síncrona o una central eléctrica y el resto del sistema o entre grandes grupos de unidades generadoras. Desde los años 60 se ha observado en las líneas de interconexión entre zonas o sistemas

2

eléctricos, oscilaciones en la potencia, tensión, corriente y frecuencia. Pueden aparecer ante los cambios de operación del sistema eléctrico o después de que ha soportado con éxito un proceso transitorio originado por una determinada perturbación. Los MO se dividen en categorías: Modos Locales, Modos Interárea, Modos de Control y Modos de Torsión. En la Figura 3.1 se muestra las oscilaciones estudiadas por la estabilidad permanente o de pequeña señal.

Figura 3.1 Oscilaciones estudiadas por la estabilidad permanente

3

•

MODOS LOCALES E INTERÁREA

Como se aprecia en la Figura 3.1 la dinámica de las Oscilaciones Electromecánicas (OE) está determinada por los modos locales e interárea del sistema de potencia. Las OE se manifiestan mediante oscilaciones de potencia, son imposibles de evitar y siempre están presentes en los sistemas de potencia, ya que son originadas por los

pequeños y continuos cambios en la

generación y carga. Aunque las OE afectan muchas variables del sistema (tensión, corriente, frecuencia, etc.), la velocidad de los generadores y la potencia que fluye por la red, resultan las más afectadas. Los Modos Locales de oscilación son los más comunes, tienen un rango de frecuencia de 1,5 a 2,5 Hz y corresponden al escenario en el cual un generador o un grupo de generación oscila frente al resto del sistema, al cual están conectados mediante un enlace débil. Son provocadas generalmente por sistemas de excitación y reguladores automáticos de tensión, agudizándose cuando los sistemas de excitación tienen alta velocidad de respuesta. El amortiguamiento de estos modos de oscilación denominados también máquina–sistema, se logra eficazmente con la incorporación y ajuste de estabilizadores de sistemas de potencia (PSS).

Figura 3.2 Modo Local Maquina – Sistema.

También se incluye en este tipo a los Modos Intraplanta que expresa la oscilación entre máquinas de una determinada central eléctrica y su frecuencia esta en el rango de 0,8 a 1,8 Hz. Estas dos formas de oscilación solamente comprometen a una parte del sistema, por lo cual representa un problema local.

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Figura 3.3 Modo Local Intraplanta. Los Modos interárea se presentan cuando un grupo de máquinas en una parte del sistema (que presentan un comportamiento coherente), oscila con respecto a otro grupo de máquinas ubicadas en otra parte del sistema. Estas oscilaciones tienen una frecuencia entre 0,1 a 1,0 Hz y se manifiestan cuando los dos sistemas eléctricos (zonas) están interconectados mediante un enlace débil (una línea que posee una capacidad de transporte inferior al menor valor de potencia que surge de considerar las potencias de generación de cada una de las zonas vinculadas).

Figura 3.4 Modo Interárea

Las oscilaciones interárea tienen menor amortiguamiento y menor frecuencia, y son las de mayor peligro en los sistemas de potencia. Su aparición causa fluctuaciones en las tensiones del sistema

5

y las variaciones de potencia suelen alterar las protecciones de los equipos e incluso causan su disparo.

•

MODOS DE CONTROL Y TORSIÓN

Normalmente cuando se utiliza el término permanente o de pequeña señal se hace referencia al estudio de los modos locales e interárea. Sin embargo, la estabilidad de pequeña señal también agrupa a los Modos de Control y de Torsión (Figura 3.1). Modos de control Son asociados con los controladores del generador. Usualmente son originados por incorrectos ajustes en los sistemas de excitación y excepcionalmente en los reguladores de velocidad. Estos modos tienen frecuencias más altas (mayores a 2,5Hz) y mayores amortiguamientos. Modos de torsión Son asociados con los componentes de torque que se conjugan en el sistema turbina-generador. La inestabilidad de estos modos puede ser causada por la interacción entre los controles del sistema de excitación, el regulador de velocidad y líneas largas con capacitores serie. Estos modos también se denominan Modos Oscilatorios Subsíncronos y tienen frecuencias superiores a 5 Hz.

En la actualidad, los problemas de estabilidad de pequeña señal en sistemas eléctricos de potencia se presentan principalmente como consecuencia de la falta de amortiguamiento en las oscilaciones del sistema.

3.1.2

MÉTODO DE ESPACIO DE ESTADO

El comportamiento de la dinámica de un sistema puede ser descrito por:

p X = F (X, u, t)

donde:

X: vector de estado, n x 1 u: vector de entradas, r x 1

(3.1)

6

t : tiempo p : d/dt

En particular, un SEP es llamado sistema autónomo, porque las derivadas de sus variables de estado no son funciones explícitas del tiempo; por ello (3.1) puede ser expresada como:

p X = F (X, u)

(3.2)

Asimismo, el sistema tiene ciertas variables de salida que deben ser observadas; estas variables conforman el vector Y, de orden m x 1:

Y = G (X, u) •

(3.3)

PUNTOS DE EQUILIBRIO

Se denominan puntos de equilibrio a todos los “puntos de operación” en los cuales todas las derivadas de las variables de estado pX1, pX2, ......, p X

n

son simultáneamente cero. En estas

condiciones se dice que el sistema está en reposo, satisfaciéndose la siguiente ecuación: F (X0) = 0

(3.4)

X0 : vector de estado X en el punto de equilibrio. Si las funciones Fi (i =1, 2,......., n) son lineales, se dice que el sistema es lineal y tiene un único estado de equilibrio. Un sistema no lineal tiene más de un estado o punto de equilibrio. •

ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DINÁMICO

La estabilidad de un sistema lineal es completamente independiente de la entrada, y el estado de un sistema estable con entrada cero siempre regresará al origen del espacio de estado independiente del estado inicial finito. Sin embargo la estabilidad de un sistema no lineal depende del tipo y magnitud de la entrada y del estado inicial. •

LINEALIZACIÓN

Sea X0 el vector de estado inicial y u0 el vector de entrada correspondiente al punto de equilibrio, alrededor del cual se va a investigar el comportamiento del sistema en pequeña señal.

p X0 = F (X0, u0) = 0 Aplicado una pequeña perturbación al sistema, se obtiene el nuevo estado:

(3.5)

7

x = x 0 + ∆x

(3.6)

u = u 0 + ∆u

(3.7)

donde el prefijo ∆ denota una pequeña perturbación. El nuevo estado deberá satisfacer la ecuación 3.5, por lo tanto,

x& = x&0 + ∆x& = f [( x0 + ∆x ), (u0 + ∆u)]

(3.8)

Como son pequeñas perturbaciones, la función no lineal f ( x , u ) puede ser expresada en términos de la expansión de la serie de Taylor. Ignorando las potencias mayores al segundo orden de ∆ x y ∆ u , de esta manera:

x& i = x& i 0 + ∆ x& i = f i [( x 0 + ∆ x ), ( u 0 + ∆ u ) ]

x&i = f i ( x0 , u0 ) +

(3.9)

∂f i ∂f ∂f ∂f ∆x1 + ... + i ∆xn + i ∆u1 + ... + i ∆ur ∂x1 ∂xn ∂u1 ∂ur

(3.10)

Dado que x& i 0 = f ( x0 , u 0 ) , se obtiene:

∆x& i =

∂f i ∂f ∂f ∂f ∆x1 + ... + i ∆x n + i ∆u1 + ... + i ∆u r ∂x1 ∂x n ∂u1 ∂u r

(3.11)

siendo i = 1,2,..., n .

De la misma manera, de la ecuación (3.3):

∆y j =

∂g j ∂x1

∆x1 + ... +

siendo j = 1,2,..., m .

∂g j ∂x n

∆x n +

∂g j ∂u1

∆u1 + ... +

∂g j ∂ur

∆u r

(3.12)

8

De esta manera, se obtiene la forma linealizada de las ecuaciones 3.2 y 3.3 ∆ x& = A ∆ x + B ∆ u

(3.13)

∆y = C∆x + D∆u

(3.14)

siendo: ∆x el vector de estado de dimensión n

∆y el vector de salida de dimensión m ∆ u el vector de entrada de dimensión r

Las matrices A, B, C y D se hallarán alrededor del punto de equilibrio en el cual el sistema está siendo analizado.

 ∂f 1  ∂x  1 A =  ...  ∂f n  ∂x1   ∂g 1  ∂x  1 C =  ...  ∂g m  ∂x1 

... ... ...

∂f 1  ∂x n   ...  ∂f n  ∂x n  

∂g 1  ∂x n   ... ...  ∂g m  ... ∂x n   ...

 ∂f1  ∂u  1 B =  ...  ∂f n  ∂u1   ∂g1  ∂u  1 D =  ...  ∂g m  ∂u1 

... ... ...

∂f1  ∂u r   ...  ∂f n  ∂u r  

∂g 1  ∂u r   ... ...  ∂g m  ... ∂u r  ...

(3.15)

A es llamada la matriz de estado de tamaño n x n , B es la matriz de entrada de tamaño n x r , C es la matriz de salida de tamaño m x n y D es la

matriz de transmisión directa

(realimentación) de tamaño m x r (es cero en la mayoría de sistemas físicos). •

ESTABILIDAD DEL SISTEMA LINEALIZADO

Si el estado inicial es cero, al aplicar la transformación de Laplace a las ecuaciones (3.13) y (3.14) se obtiene:

 sI − A  C 

− B  ∆ x(s)  0  = D   ∆ u ( s )   ∆ y ( s ) 

(3.16)

9

La función de transferencia del sistema G (s) = ∆ Y (s) / ∆ U (s), resulta:

G (s) =

C * adj [ sI − A ] + det[ sI − A ] * D = C * [ sI − A ] −1 * B + D det[ sI − A ]

(3.17)

La ecuación característica del sistema linealizado es: det(s I – A) = 0 y sus raíces se denominan los valores característicos de la matriz de estado A.

La respuesta en el tiempo para la variable de estado “ x i “ del sistema de orden “n” después de una perturbación es de la forma:

x i ( t ) = K 1 e λ 1 t + K 2 e λ 2 t + K 3 e λ 3 t + ......... + K n e λ n t En (3.18) λ 1, λ 2,..... , λ n,

(3.18)

son los valores propios o característicos del sistema y K1, K2, .., Kn

son constantes de integración.

Una condición necesaria y suficiente para que un sistema dinámico lineal sea estable es que todos los valores propios tengan parte real negativa. Para un valor propio λ i = σ i ± j ω i , el amortiguamiento (ζ i ) y la frecuencia ( f i ) de este modo de oscilación se calculan mediante:

ζi =

−σi

σ +ω 2 i

2 i

y

fi =

ωi 2π

Para (Ver Figura): (1) ω = 0, σ < 0 respuesta unidireccional amortiguada. (2) ω ≠ 0, σ < 0 respuesta oscilatoria amortiguada. (3) ω ≠ 0, σ = 0 respuesta oscilatoria de amplitud constante. ω ≠ 0, σ > 0 respuesta oscilatoria con oscilaciones crecientes sin límite. (4) ω = 0, σ > 0 respuesta unidireccional monótonamente creciente (5)

(3.19)

10

Los modos de interés en los problemas de estabilidad permanente tienen frecuencia comprendida entre 0.1 Hz a 3.0 Hz, los devanados amortiguadores proveen el amortiguamiento de los modos de oscilación de más altas frecuencias, por ello las oscilaciones electromecánicas se presentan a bajas frecuencias.

3.2

MODO LOCAL

Se estudia el sistema elemental de la Figura 3.5, conformado por una central (operando con una tensión en bornes V y suministrando una potencia P + j Q) que está conectada a una barra (con tensión Vs y frecuencia fs constantes) de un sistema de gran potencia

Figura 3.5 Configuración del sistema

3.2.1

SISTEMA G-L-BI SIN REGULACIÓN

Supuestos El generador se representa utilizando el Modelo Clásico, despreciando la resistencia del generado, se tiene el circuito de la Figura 3.6.

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Figura 3.6 Equivalente del sistema

Ecuación de estado A partir de las condiciones iniciales de operación, despreciando la resistencia del sistema de transmisión, se calcula la corriente I, E′q y el ángulo inicial del rotor δo. Del capítulo 2, se tiene:

pδ = wr − w0

(a)

Pm =

2 H wr pwr + PP + Pe w0 w0

(b)

Pe =

wr (ψ d iq −ψ q id ) w0

(c)

En estas ecuaciones: Pm , Pe y PP están en p.u., δ en radianes (rad), wr y w0 en r/s y el operador “p” se expresa en 1/s. Las perdidas mecánicas por fricción y ventilación del generador pueden expresarse como: PP = K D

Toda vez que

( wr − w0 ) k ( w0 ) 2 donde K D = w0 SB

wr ≅ 1 , entonces las ecuaciones (b) y (c) se reducen a: w0

Pm = 2 H p

wr + PP + Pe w0

Pe = (ψ d iq − ψ q id ) =

Eq' VS X d' + X E

(d) senδ

Linealizando (a), (d) y (e) resulta:

p∆δ = ∆wr = w0 ( ∆ w r ) ∆Pm = 2 H p ( ∆ w r ) + K S ∆δ + ∆PP

w ∆ wr = r ; w0

KS = (

Eq' VS X d' + X E

) cos δ 0

(e)

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Al linealizar la potencia de perdidas mecánicas, se está representando la componente amortiguante del torque, dado por: ∆ PP = K D ∆ w r . Las ecuaciones diferenciales linealizadas alrededor del punto de operación δ = δo y ordenadas convenientemente resultan:

K  ∆ w   1  ∆ w  − K D − S (2 H ) ( 2 H )   r  +  (2 H )  ∆Pm p r  =    ∆δ   0  w0 0  ∆δ  

(3.20)

Si se desea inspeccionar las variables de estado ∆ω r y ∆δ el vector de salida será:

 ∆ w r  1 0   ∆ w r  0    =  +   ∆Pm   ∆δ  0 1   ∆δ  0 

(3.21)

Las ecuaciones (3.20) y (3.21) constituyen la ecuación de estado de este sistema. A partir de estas ecuaciones se construye el diagrama de bloques que muestra la ecuación de oscilación linealizada mostrando los coeficientes de torque sincronizante y de amortiguamiento (Figura 3.7).

Coeficiente de torque sincronizante y de amortiguamiento Para cualquier oscilación en el ángulo del rotor de un generador síncrono se desarrollan torques de frenado debido a los devanados de la máquina y a sus sistemas de control. Estos torques pueden ser representados mediante dos componentes, una componente en fase con el ángulo del rotor (torque sincronizante) y otra que está en fase con la velocidad del rotor (torque de amortiguamiento).

Figura 3.7 Máquina conectada a barra infinita (modelo clásico)

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Los coeficientes que definen los torques sincronizante y de amortiguamiento se expresan como:

KS = −

∆Tac ∆δ

KS = −

y

∆Tac ∆wr

(3.22)

La estabilidad de un generador conectado a una barra de un sistema de potencia, en primera aproximación, puede ser determinada considerando todas las fuentes de torque sincronizante y de amortiguamiento.

El coeficiente de torque sincronizante KS está dado por:

KS =

E q' V S XT

cos( δ 0 )

(3.23-a)

El coeficiente de torque amortiguante se denomina KD. Tiene tres componentes atribuidas: (a)

Al motor primo, que queda representado cuando se modela el sistema de regulación de velocidad.

(b)

Al generador síncrono.

(c)

Al sistema de potencia, que está definida por la dependencia de las cargas con la frecuencia y queda considerado al modelar apropiadamente las cargas.

La componente de torque amortiguante asociada al generador síncrono tiene dos contribuciones, la provocada por la absorción de energía del devanado de excitación durante el transitorio y la que produce el devanado amortiguador. Sin embargo por el valor grande la constante de tiempo del devanado de excitación (T’do) esta componente en muy pequeña. Al representar el generador síncrono utilizando modelos de mayor orden al “modelo clásico” ambas componentes de torque amortiguante del generador síncrono quedan representadas de manera implícita. Para el caso del modelo clásico se suele considerar el efecto del torque amortiguante dado por devanado amortiguador utilizando una expresión simplificada para el coeficiente de torque de amortiguamiento [Selden B. Crary, Power System Stability, Vol. II] dada por la siguiente ecuación:

K Daverage ≅ 0.5 * ( a + b) * w0

(3.23-b)

Donde:

a = Vt 2 * [ b = Vt 2 * [

( X d' − X d'' ) 1 * ]s ' '' ( X d + X E )( X d + X E ) α d ( X q' − X q'' )

Siendo:

αd = [

*

1

( X q + X E )( X + X E ) α q '' q

( X d' + X E ) 1 * ] 1/s ( X d'' + X E ) Tdo''

]s

14

αq = [

(X q + X E )

1 ] 1/s ( X + X E ) Tqo'' '' q

*

Estabilidad del sistema G-L-BI sin regulación Para este sistema de segundo orden los eigenvalores resultan:

λ1, 2 = −ζwn ± jwn (1 − ζ 2 )

(3.24)

donde:

wn =

K S w0

KD (2 H ) y ζ = (4 Hwn )

(3.25)

Se deduce que, para que el sistema sea dinámicamente estable debe cumplirse que KS > 0 y KD>0. En este caso elemental analizado se aprecia que KS depende de: a.

Las condiciones iniciales representadas por E’q y δo.

b.

Del tipo de diseño del generador (X d) y de la fortaleza del sistema de transmisión

’

(reactancia externa, XE) De las relaciones (3.25) se puede concluir que: a.

La razón de amortiguamiento depende directamente del coeficiente de torque de amortiguamiento KD e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la inercia H del rotor y del coeficiente de torque sincronizante KS.

b.

La frecuencia natural no amortiguada wn depende del coeficiente del torque sincronizante KS y la inercia del rotor H.

c.

Entonces la frecuencia de oscilación de cada eigenvalor será menor a wn cuanto mayor amortiguamiento tenga el valor característico en particular.

Aplicaciones Ejercicio 1 Analizar el efecto de la reactancia externa, la constante de inercia H y la magnitud de potencia ’

activa generada, sobre la frecuencia de oscilación del Modo Local (X d = 0.26, VS = V = 1.0 p.u., P=0.90 p.u. y H=2.0 s).

(1)

Efecto de la reactancia externa

15

4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0

90 70 Grados

Hz

OPERACION CON P=0.90 P.U. EFECTO DE LA REACTANCIA EXTERNA SOBRE LA FRECUENCIA DE OSCILACION Y SOBRE EL ANGULO DELTA

50 30 10 -10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Xe (p.u.) Frecuencia Natural

(2)

Angulo Delta (°)

Efecto de la constante de inercia H

Hz

OPERACION CON P=0.90 P.U. EFECTO DE H SOBRE LA FRECUENCIA NATURAL DE OSCILACION 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

X e (p.u.) H=2

(3)

Efecto de la potencia activa generada

H=3.5

H=4

1

1.2

16 EFECTO DE LA POTENCIA ACTIVA GENERADA SOBRE LA FRECUENCIA NATURAL DE OSCILACION 4.0 3.5 3.0 Hz

2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X e (p.u.) P=0.90

P=0.7

P=0.5

Ejercicio 2 Considerar el generador síncrono de la C.H. El Platanal de 120 MVA, 13.8 kV y factor de potencia 0.9, cuyos parámetros son: Xd 1.1

Xq 0.72

X' d 0.31

X" d 0.26

X' q 0.72

X" q 0.25

T" do 0.07

T" qo 0.01

H 2.73

Calcular la respuesta transitoria ante un escalón de potencia mecánica de 0.10 p.u., considerando de manera aproximada el coeficiente de amortiguamiento. Reemplazando los datos se obtiene K D ≅ 8 .57 p.u.. Los resultados de la respuesta transitoria son: CAMBIO EN EL ANGULO DELTA P.U. 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0

1

2

3

4

5

6

7

TIEMPO (s) KD=4.285 p.u.

KD=8.57 p.u.

8

9

10

17 CAMBIO EN LA VELOCIDAD P.U. 0.003 0.002 0.002 0.001 0.001 0.000 -0.001 -0.001 -0.002 -0.002 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

asa KD=4.285 p.u.

3.2.2

KD=8.57 p.u.

SISTEMA G-L-BI CON REGULACIÓN

Supuestos El Generador Síncrono se representa utilizando el Modelo de Orden III y despreciando la resistencia de armadura: (1) Ecuaciones Algebraicas del estator

E q' − Vq = X d' I d 0 − Vd = − X q' I q (2) Ecuaciones Diferenciales Del rotor

Tdo' pE q' = E fd − E q' + ( x d − x d' ) I d Del Sistema Mecánico

pδ = wr − w0 Pm =

2H ; pwr + PP + Pe w0

Pe = V d I d + V q I q

Solo se va a considerar el efecto del Sistema de Excitación y Regulación de Tensión. Se supone que la función de transferencia está dada por:

Ge ( s) =

KA (1 + sTA )

18

Modelo de sistema G-L-BI con regulación Ecuación del Torque Electromagnético El torque electromagnético:

Te = V d I d + V q I q

(3.26)

Donde se cumple:

Vd = X q I q

(3.27)

Vq = E ' q − X ' d I d

(3.28)

Sustituyendo en la ecuación del torque se obtiene:

Te = (E ' q + (X q − X ' d ) I d ) I q

(3.29)

Luego de linealizar la ecuación (3.29) resulta la expresión:

(

)

(

)

∆ Te = I q 0 ∆ E q' + E q' 0 ∆ I q + X q − X d' I d 0 ∆ I q + X q − X d' I q 0 ∆ I d

(3.30)

Ecuaciones de la máquina De (3.27) y (3.28) se tiene:

V q  0  = V d   X q

− X d'   0 

 I q   E q'   +   I d   0 

(3.31)

− X d'   ∆I q   ∆E q'    + 0   ∆I d   0 

(3.32)

Al linealizar esta ecuación:

∆V q   0  = ∆V d   X q

Ecuaciones del sistema de transmisión Se considera un sistema máquina-barra infinita, como el mostrado en la Figura 3.8

Figura 3.8 Sistema elemental Máquina barra infinita

La tensión en terminales de la maquina en la referencia del sistema es:

V t =(R E + jX E ) I m + V s

(

)

V t = (R E + jX E ) I mr + j I mi + V sr + jV si

(

Vt + jVt = R E I − X E I + V + j X E I + R E I + V r

i

r m

i m

r s

r m

i m

i s

)

(3.33)

19

En forma matricial

Vt r   R E  i= Vt   X E

− XE  R E 

 I mr  V sr   i + i   I m  V s 

(3.34)

Cambiando la referencia de la ecuación (3.34) a los ejes (q, d)

Vq  cos δ  = Vd   sen δ

sen δ  − cos δ 

RE   X E

− X E  cos δ  R E   sen δ

sen δ  − cos δ 

 I q  cos δ  +  I d   sen δ

sen δ  − cos δ 

V sr   i V s 

(3.35) Y considerando que:

V sr = V s Cos α

Sen α

(3.36)

 I q   V s Cos (δ − α )  +   I d   V s Sen (δ − α ) 

(3.37)

V si = V s

y

La ecuación matricial (3.34) se reduce a:

Vq  Vd

  Re  =  − X e

Xe Re 

Linealizando se obtiene:

 ∆V q   R E  = ∆Vd  − X E

XE  RE 

 ∆I q   − Vs Sen (δ 0 − α ) ∆δ   +    ∆I d   Vs Cos (δ 0 − α ) ∆δ 

(3.38)

Igualando las expresiones para el sistema (3.38) y la máquina (3.32) se obtiene:

0   X q

− X d'   0 

∆I q  ∆E q'   R E =  + ∆I d   0  − X E

XE RE 

∆I q  − Vs Sen (δ 0 − α ) ∆δ    + ∆I d   Vs Cos (δ 0 − α ) ∆δ  (3.39)

Se despejan las corrientes:

∆I q  1  RE  =  ∆I d  K (X q + X E )

Donde:

(

)

− X d' + X E   RE 

∆E q'   Vs Sen (δ 0 − α ) ∆δ   +      0  − Vs Cos (δ 0 − α ) ∆δ  

(3.40)

20

(

)

K = (X E + X q ) X d' + X E + R E

2

(3.41)

Sustituyendo las ecuaciones de corriente (3.40) en el par electromagnético se obtiene la expresión final:

∆ Te = K 1 ∆ δ + K 2 ∆ E q'

(3.42)

Donde:

(

(

))

V R V  ' K 1 = E qo + I do X q − X d'  E S sen(δ o − α ) + S ( X d' + X E ) cos(δ o − α ) − K  K  V R V  I qo ( X q − X d' )  E S cos(δ o − α ) − S ( X q + X E ) sen(δ o − α ) K  K 

K2 =

(R K

I qo

2 E

)

+ (X E + X q )2 +

RE ' ( E qo − I do ( X q − X d' )) K

(3.43)

(3.44)

Variación del flujo concatenado en el eje d Está expresada según la ecuación diferencial del devanado de excitación:

[

d 1 E' q = ' E fd − E' q + ( X d − X ' d ) I d dt Tdo

]

(3.45)

Linealizando y despejando se obtiene:

∆ E ' q (s ) =

K3 K3 K 4 ∆Ε fd (s ) − ∆ δ (s ) (1 + K 3 T ' do s ) (1 + K 3 T ' do s )

(3.46)

Donde:

1

K3 = 1+

K4 =

(3.47)

( X d − X d' )( X q + X E ) K

(

)[

VS X d − X d' ( X q + X E ) sen(δ o − α ) − Re cos(δ o − α ) K

]

(3.48)

Tensión en bornes

La tensión en bornes, en función de las componentes de los ejes d y q esta dada por:

Vt 2 = V d2 + V q2

(3.49)

21

Linealizando alrededor de un punto de operación se obtiene:

V  V  ∆ Vt =  do  ∆ Vd +  qo  ∆ Vq  Vto   Vto 

(3.50)

Sustituyendo la expresión para ∆V d y ∆V q y ∆ I q y ∆ I d resulta:

∆Vt = K 5 ∆δ + K 6 ∆Ε ' q

(3.51)

Donde:

[

]

 X qV S    R E sen(δ o − α ) + ( X d' + X E ) cos(δ o − α ) +  K  Vqo  X d' V S    R E cos(δ o − α ) − ( X q + X E ) sen(δ o − α ) Vto  K  K5 =

Vdo Vto

[

]

(3.52)

K6 =

Vqo  X d'  V X R  1− ( X q + X e )  + do  q e   Vto  K  Vto  K 

(3.53)

Resumen de ecuaciones

Las ecuaciones del par electromagnético y del flujo concatenado en el eje “d”, del modelo linealizado son:

∆T e = K 1 ∆δ + K 2 ∆Ε ' q

∆Ε 'q (s ) =

(3.54)

K3 K3 K 4 ∆E fd (s ) − ∆δ (s ) (1 + T 'zo s ) 1 + T 'zo s

(3.55)

Donde:

T ' zo = K 3

T ' do

Por lo tanto, de estas dos ecuaciones se obtiene:

(3.56)

22

∆Τe (s ) = K1 ∆δ (s ) +

K 2 K3 K K K ∆Ε fd (s ) − 2 3 4 ∆δ (s ) (1 + T 'zo s ) (1 + T 'zo s )

(3.57)

 K K K  K2 K3 ∆Ε (s ) ∆Τe (s ) =  K 1 − 2 3 4  ∆δ (s ) − (1 + T ' zo s )  (1 + T 1 zo s ) fd 

(3.58)

Que se reduce a:

La ecuación de la tensión en bornes linealizada:

∆V t (s ) = K 5 ∆δ (s ) + K 6 ∆E ' q (s )

(3.59)

Asimismo, también se cumple:

∆V = ∆V ref − ∆Vt (

1 ) 1 + sT R

(3.60)

El diagrama de bloques de la Figura 3.9 expresa estas ecuaciones diferenciales, suponiendo que TR=0.

Figura 3.9 Diagrama de bloques del sistema con regulador de tensión

En la Figura 3.10 se muestra el diagrama de bloques linealizado de un generador (con efecto del devanado amortiguador despreciable) conectado a una barra infinita mediante una sistema de transmisión equivalente (RE+jXE), cuyo regulador de tensión posee un estabilizador que procesa la señal de velocidad.

23

En la Figura 3.10 se ha considerado que el sistema de excitación y regulación de tensión está representado por la función:

Ge ( s) =

KA (1 + sTA )

(3.61)

Figura 3.10 Diagrama de bloques del sistema con regulador de tensión

Los parámetros K i de la Figura 3.9 y 3.10 se definen como:

•

K1 = ∆ Te / ∆ δ : cambio en el torque eléctrico para un cambio en el ángulo del rotor a flujo ´

concatenado en el eje directo constante (E q=cte).

•

K2 = ∆ Te / E´q: cambio en el torque eléctrico para un cambio en el flujo concatenado en eje directo a ángulo del rotor constante. ´

•

K3 : factor de impedancia, cuando R e ≈ 0, se reduce a (X d + Xe)/( X d + Xe)

•

K4 = (1/ K3) ∆ E q / ∆ δ) : efecto desmagnetizante de un cambio en el ángulo del rotor

•

K5 = ∆ V t / ∆ δ : cambio en la tensión en bornes para un cambio en el ángulo del rotor en

´

a E´q constante.

•

´

´

K6 = ∆ Et / ∆ E q: cambio en la tensión en bornes para un cambio en E q a ángulo del rotor constante.

24

•

´

T d0 : constante de tiempo transitoria a circuito abierto.

Podría añadirse un estabilizador de sistemas de potencia (PSS) que trabaja con una señal de entrada igual a la velocidad, con función de transferencia similar a:

G pss ( s) = K stab

sTW 1 + sT1 1 + sTW 1 + sT2

(3.62)

SISTEMA G-L-BI CON TENSIÓN CONSTANTE APLICADA AL CAMPO Se obtiene esta condición haciendo ∆Efd = 0 en la Figura 3.9; con ello, solo se incorpora el efecto de las pérdidas del devanado de campo del generador. ’

Se aprecia que ∆T2, es la contribución en el torque eléctrico debido a la variación de E q y estará dado por:

∆T2 = −

K2 K3K4 ∆δ ; 1 + sT3

T3 = K 3Tdo'

(3.63)

A una frecuencia de oscilación wos; s= j wos, se tendrá que

∆T2 = −

K 2 K3 K 4 K K K wT ∆δ + 2 3 4 0 2 3 ∆w 2 1 + ((wosT3 ) ) 1 + ((wos T3 ) )

∆wr = j

wos ∆δ w0

(3.64)

(3.65)

Donde: En (3.63) ∆T2, tiene una componente en fase con el ángulo del rotor que va a disminuir el coeficiente de torque sincronizante Ks. La segunda componente está en fase con la velocidad y tiene carácter amortiguante, con lo cual se tendrá:

K S = K1 −

K2 K3 K4 K K K wT ; KD = 2 3 4 023 2 1 + ((wosT3 ) ) 1 + (( wos T3 ) )

(3.66)

Por lo tanto cuando la máquina síncrona opera con tensión de campo constante se produce una disminución del torque sincronizante y la aparición de una componente amortiguante.

25

EFECTO DEL REGULADOR DE TENSIÓN Mediante un proceso similar se obtiene la expresión de ∆T2, para el tipo de regulador considerado. Suponiendo TR y TA ≈0

T (K 4 + K5 ) K 2 w0 EQ (K 4 + K5 ) K6 KA K6 KA ∆ δ + ∆wr 1 + (( wos TEQ ) 2 ) 1 + (( wos TEQ ) 2 )

K2 ∆T2 = −

(3.67)

Donde:

TEQ =

Tdo'

(3.68)

( K6 K A )

Si se supone que K4/KA << K 5

K2

∆ T2 = −

(K 5 )

K 2 w0

T EQ

(K ) K6 K6 5 ∆ δ + ∆w r 1 + (( wos TEQ ) 2 ) 1 + (( wos TEQ ) 2 )

(3.69)

En este caso:

K2

(K ) K6 5 y K S = K1 − 1 + (( wos TEQ ) 2 )

KD =

K 2 w0

TEQ

(K ) K6 5 1 + (( wos TEQ ) 2 )

(3.70)

Como K1, K2, K6> 0, la estabilidad del sistema estará definida por el signo que asuma el coeficiente K5, que dependerá en cierta medida del grado de excitación del generador, pero presenta mayor dependencia de la reactancia externa que conecta al generador con el sistema, pudiendo hacerse negativo. Por lo tanto si K5 >0 el torque sincronizante disminuye porque Ks disminuye, podría haber inestabilidad aperiódica porque el torque sincronizante se hace negativo, aún cuando el torque de amortiguamiento sea positivo.

Sin embargo, cuando K5 es negativo la inestabilidad ocurrirá debido a que el amortiguamiento se hace negativo, aún cuando se halla incrementado el torque sincronizante.

26

G ~

-200.00 48.46 51.19

1.2000

DIgSILENT

B1

B2

220.00 1.00 0.00

-200.00 48.46 135.01

216.31 0.98 22.34

200.00 30.67 135.01

-200.00 -30.67 85.74

200.00 48.46 85.74

B3

13.80 1.00 57.24

200.00 48.46 85.74

Linea 2

BARRA INFINITA

APLICACIÓN 1

T1

~ G

GENERADOR

3.2.3

Damped Frequency [Hz]

0.7200

0.2400

-3.00E+1

-2.40E+1

-1.80E+1

-1.20E+1

Neg. Damping [1/s]

-6.00E+0

-0.2400

-0.7200

-1.2000 Stable Eigenvalues Unstable Eigenvalues

Eigenvalue sin avr

Date: 5/7/2012 Annex: /1

1.2000

DIgSILENT

27

Damped Frequency [Hz]

0.7200

0.2400

-30.000

-24.000

-18.000

-12.000

Neg. Damping [1/s]

-6.0000

-0.2400

-0.7200

-1.2000 Stable Eigenvalues Unstable Eigenvalues

Eigenvalue CON AVR

Date: 5/7/2012 Annex: /2

3.2.4

APLICACIÓN 2

Se ha utilizado la CH Cañón del Pato. A.

Cálculo de coeficientes de estabilidad permanente

(a)

Al cambiar las condiciones de operación de la central

Para evaluar este efecto sobre los coeficientes de estabilidad permanente se ha supuesto:

•

La reactancia externa ( X 12 ) es constante e igual a 0,42 p.u.

•

La potencia activa generada se ha fijado en 0,95 p.u..

•

La potencia reactiva se ha variado en el rango de –0,156 a 0,312 p.u.

28

Figura 3.11 Coeficientes con P1= 0,95, X12= 0,42 y Q1 variable

Se aprecia que a excepción de K 5 todos los coeficientes son positivos.

(b)

Ante cambios ambios en las Condiciones de Operación del SEP

Se ha supuesto: •

Escenarios de operación sobrexcitado y subexcitado, con un despacho de 0,95 + j 0,31 p.u. y 0,95 –j0,187 j0,187 p.u., respectivamente.

•

Se ha variado la reactancia externa desde un mínimo de 0,025 p.u. hasta un máximo de 1,0 p.u., para representar cambios topológicos importantes en el SEP.

Figura 3.12 Coeficientes con P1= 0,950, Q1= 0,31 y X12 variable

29

Figura 3.13 Coeficientes con P1=0,950, Q1=- 0,187 y X12 variable A excepción de K 5 todos los coeficientes son positivos. B.

Cálculo álculo de eigenvalores sin efecto del PSS

En la Figura se muestra el Diagrama de Bloques Linealizado alrededor de un punto de operación de la CH Cañón del Pato, conectada al sistema mediante una reactancia externa, que incluye el Sistema de Excitación y Regulación de Tensión y el Estabilizador de Sistemas de Potencia.

30

(a)

Al cambiar las condiciones de operación de la central

En la Figura se muestra el comportamiento de los Eigenvalores correspondientes a diferentes puntos de operación con la central conectada al SEIN mediante una reactancia X12 = 0.42 p.u., sin considerar el efecto del PSS en el SERT.

(b)

Cambios en el SEP (variar X12 en un amplio rango)

Caso generador Sobrexcitado

31

Caso Generador Subexcitado

C.

Análisis nálisis de la respuesta en el tiempo sin efecto del PSS

(a)

Al cambiar las condiciones de operación de la central

Se muestran los resultados de las simulaciones de los casos X12= 0.42 p.u. y que corresponden a las siguientes situaciones:

Respuesta a un Escalón Unitario de Torque Mecánico con P1= 0.95, X12 = 0.42 y Q1 = - 0.156

32

Respuesta a un Escalón en la Referencia de Tensión con P1= 0.95, X12 = 0.42 y Q1 =- 0.156

Respuesta a un Escalón Unitario de Torque Mecánico con P1 = 0.712, X12 = 0.42 y Q1 = 0.699

33

Respuesta a un Escalón de Torque Mecánico con P1 = 0.475, X12 =0.42 y Q1 = - 0.440 (b)

Efecto de las condiciones de operación del SEP a.- Generador operando sobreexcitado

Respuesta a un Escalón Unitario de Torque Mecánico con P1 = 0.95, Q1 = 0.312 y X12 = 0.90

34

b.- Generador Operando Subexcitado

Respuesta a un Escalón de Torque Mecánico Mec con P1 = 0.712, Q1 = - 0.281 y X12 = 0.90 D.

Efecto fecto de la incorporación del PSS

A continuación se incluye el efecto del estabilizador de sistemas de potencia para dar solución a los problemas de amortiguamiento, detectados cuando el PSS está desactivado.

(a)

Cambios en las condiciones de operación de la central

Figura 3.24 Eigenvalores de la condición de operación de la central

35

(b)

Cambios en las condiciones de operación del SEP

Figura 3.25 Eigenvalores de la condición de operación del SEIN Generador Sobrexcitado

Figura 3.26 Eigenvalores de la condición de operación del SEIN Generador Subexcitado

36

3.3

MODO INTERAREA

3.3.1

Sistema G-L-M sin regulación

En la Figura 3.27 se muestra el sistema elemental de dos máquinas, que consiste de un generador síncrono suministrando potencia a un motor síncrono a través de un circuito compuesto por una reactancia Xe. Cada una de las máquinas se representa con el Modelo Clásico, una fuerza electromotriz ’ ’ constante en serie con una reactancia constante: el generador con por E d1 y X d1 y el motor ’ ’ mediante E d2 y X d2

Figura 3.27 Sistema elemental de dos maquinas

Como en el sistema de transmisión las pérdidas son despreciables, entonces la potencia eléctrica de salida del generador debe ser absorbida por el motor. Por otro lado, como la acción del gobernador de velocidad tiene un proceso lento, las potencias mecánicas Pm1 y P m2 se mantienen constantes. Las ecuaciones de oscilación de las dos máquinas son: d ω −1 2H1 = Pm1 − Pe1 − K D1∆ω1 dt d δ1 = ω 0 * (ω − 1) −1 dt d ω − 2 2H 2 = Pm 2 + Pe 2 − K D 2 ∆ω 2 dt d δ2 = ω 0 * (ω − 1) − 2 dt

(3.71)

Donde: Pe1 = − Pe 2 = P12

P12 es la potencia transmitida por la línea de interconexión, dada por:

P12 =

E1' * E 2' sin δ 12 ; X d' 1 + X e + X d' 2

Linealizando (3.71) y (3.72) se obtiene:

δ 12 = δ 1 − δ 2

(3.72)

37

d∆ ω 2H1

−1

dt

= ∆Pm1 − ∆P12 − K D1∆ ω

−1

d∆δ 1 = ω0 * ∆ ω −1 dt d∆ ω − 2 2H 2 = ∆Pm 2 + ∆P12 − K D 2 ∆ ω − 2 dt d∆δ 2 = ω0 * ∆ ω − 2 dt

(3.73)

∆P12 = K s12 * ∆(δ1 − δ 2 ) (3.74)

K s12

E ' * E2' = ' 1 cos δ 12 X d 1 + X e + X d' 2

Con las ecuaciones (3.73) y (3.74) resulta el siguiente diagrama de bloques:

EQUIVALENTE DE UNA MAQUINA Restando las ecuaciones de (3.71), se obtiene una ecuación de oscilación equivalente:

dω 2 H12

− 12

dt

= Pm12 − Pe12 − K D1∆ ω + K D 2 ∆ ω −1

dδ12 = ω0 ∆ω12 dt Donde: H12 =

H1 H 2 ; δ12 = δ1 − δ 2 H1 + H 2

 H P − H1Pe 2   H P − H 1 Pm 2    ; Pe12 =  2 e1 Pm12 =  2 m1 H1 + H 2    H1 + H 2 

(3.75)

−2

(3.76)

38

Linealizando estas ecuaciones se obtienen:

2H12

d∆ w12 K K = ∆Pm12 − ∆Pe12 − D1 ∆ω1 + D 2 ∆ω2 dt H1 H2

d∆δ12 = w0 ∆w12 dt

∆Pe12 = K S12 ∆δ12

(3.77)

3.78)

Para simplificar la ecuación (3.77) se supondrá que aproximadamente se cumple:

K D1 K D 2 = H1 H2

Entonces la ecuación (3.77) se puede reemplazar por:

2H12

d∆ w12 K = ∆Pm12 − ∆Pe12 − D1 ∆ω12 dt H1

(3.79)

Resolviendo el sistema de segundo orden equivalente (3.79) y (3.78) se obtiene: (1)

La frecuencia natural de oscilación entre máquinas:

wn12 =

K S12 w0

ζ 12 = ( K D1 / H 1 ) (2)

(2 H12 )

( 4 H 12 wn )

El factor de torque sincronizante:

K s12 =

E1' * E2' cosδ120 X d' 1 + X e + X d' 2

Las ecuaciones de oscilación (3.77) y (3.78) y de la potencia transmitida en el sistema de dos máquinas, tienen la misma forma que las ecuaciones de una máquina conectada a una barra infinita.

3.4

ESTABILIDAD PERMANENTE EN EL SEIN-ANÁLISIS MODAL

Se muestran resultados del Análisis Modal realizados en el marco del Estudio de Diagnostico Operativo del SEIN en el periodo 2011-2015. Los resultados cumplen con el criterio: “En los análisis de corto plazo el amortiguamiento de los modos electromecánicos de oscilación interárea del SEIN en toda condición normal de operación (Red Completa) no debe ser menor al 4%”. Existen modos electromecánicos de oscilación con un amortiguamiento mayor al 2 % y menor al 4 %, que aparecen en los años 2011, 2012, 2013 y 2014, que son del tipo local (frecuencias del orden de 1.4 Hz), solo son observados en los bornes de la central involucrada y su efecto no se aprecia en el resto del sistema.

39

EIGENVALORES AÑO 2011-CONDICIONES NORMALES

PARTE IMAGINARIA (RAD/S) 10

8

6

4

2

-1.20

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

PARTE REAL (1/S) MAN11 AV11MIN 4%

ES11MIN AV11MED 6%

ES11MED AV11MAX 10%

ES11MAX 2%

0 0.00

40

EIGENVALORES AÑO 2012-CONDICIONES NORMALES

PARTE IMAGINARIA (RAD/S) 10

8

6

4

2

-1.20

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0 0.00

PARTE REAL (1/S) MAN12 AV12MIN 4%

ES12MIN AV12MED 6%

ES12MED AV12MAX 10%

ES12MAX 2%

EIGENVALORES AÑO 2013-CONDICIONES NORMALES

PARTE IMAGINARIA (RAD/S) 10

8

6

4

2

-1.20

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

PARTE REAL (1/S) MAN13 AV13MIN 4%

ES13MIN AV13MED 6%

ES13MED AV13MAX 10%

ES13MAX 2%

0 0.00

41

EIGENVALORES AÑO 2014-CONDICIONES NORMALES

PARTE IMAGINARIA (RAD/S) 10

8

6

4

2

-1.20

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0 0.00

PARTE REAL (1/S) MAN14 AV14MIN 4%

ES14MIN AV14MED 6%

ES14MED AV14MAX 10%

ES14MAX 2%

EIGENVALORES AÑO 2015-CONDICIONES NORMALES

PARTE IMAGINARIA (RAD/S) 10

8

6

4

2

-1.20

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

PARTE REAL (1/S) MAN15 AV15MIN 4%

ES15MIN AV15MED 6%

ES15MED AV15MAX 10%

ES15MAX 2%

0 0.00

42

3.5

OSCILACIONES SUBSÍNCRONAS

En la Figura se muestra un sistema TURBOGENERADOR-LINEA-CAPACITOR SERIESEP. E’q

Vc

V

R+jX Generador

Barra Infinita

Los turbogeneradores son generadores síncronos accionados por turbinas de vapor. Constituyen un complejo sistema mecánico formado por masas, correspondientes a cada uno de los cuerpos de las turbinas y del generador síncrono, acopladas elásticamente. Los rotores de los turbogeneradores presentan oscilaciones torsionales en el margen de frecuencias Subsíncrona, es decir, inferiores a la frecuencia fundamental (50 Hz o 60 Hz). Las oscilaciones torsionales son debidas a los acoplamientos elásticos entre las masas de los turbogeneradores. En las oscilaciones electromecánicas (de frecuencia próxima a 1 Hz), todas las masas del rotor del turbogenerador oscilan al unísono. Por tanto, el límite inferior del margen de frecuencias de las oscilaciones torsionales es 1 Hz. Las oscilaciones torsionales pueden ser excitadas por perturbaciones como los cortocircuitos en la red y la sincronización fuera de fase. Si bien los rotores de los turbogeneradores están diseñados para soportar los pares que resultan de dichas perturbaciones, la determinación de la fatiga debido a ellas ha sido un tema de gran interés en la literatura técnica SISTEMA DE TRES MASAS

Las ecuaciones diferenciales de este sistema mecánico son:

43

pω 1 =

1 D K Pm1 − 1 ω1 − 12 (δ 1 − δ 2 ) 2H1 2H1 2H1

pω 2 =

K 1 D K Pm 2 − 2 ω 2 − 12 (δ 2 − δ 1 ) − 2 g (δ 2 − δ ) 2H 2 2H 2 2H 2 2H 2

pω = −

D K Pe − g ω − 2 g (δ − δ 2 ) 2H g 2H g 2H g

dδ 1 dδ 2 dδ = w0 ∆ w1 ; = w0 ∆ w2 ; = w0 ∆ w dt dt dt Al linealizar estas ecuaciones resulta una ecuación de estado de la forma:

∆ x& = A ∆ x + B ∆ u Los elementos de la matriz A son:

 − D1  2H 1   0   A= 0   ω  0  0   0

0

0

− D2 2H 2

0

0

− Dg

ω0

2H g 0 0

0

ω0

0

− K 12 2H1 K 12 2H 2

K 12 2H1 − ( K 12 + K 2 g ) 2H 2 K 2g

0 0 0

2H g 0 0

0

0

   K 2g   2H 2 − K 2g + K S )    2H g  0  0   0  0

SISTEMA GLBI (CON COMPENSACION SERIE CAPACITIVA)

Se modelado en el DIgSILENT Power Factory este sistema y se ha calculado los eigenvalores en los siguientes casos: (1) Rotor modelado como una sola masa. (2) Rotor como una sola masa y compensación serie capacitiva. (3) Rotor modelado como seis masas (Turbina con cuatros etapas, el generador y la excitatriz). (4) Rotor

modelado

como

seis

masas

y

compensación

serie

capacitiva.

44

45

La frecuencia (Hz) de los modos electromecánicos oscilatorios y el amortiguamiento (p.u.) se muestran en el cuadro. CASO 1 2

3

4

Frecuencia de Oscilacion (Hz)

Amortiguamiento (p.u.)

1.528 1.978 0.987 14.440 20.070 24.840 31.050 47.450 1.272 14.464 20.070 24.840 31.050 47.450

0.0670 0.0600 0.0750 0.0017 0.0001 0.0028 0.0007 0.0011 0.0645 0.0019 0.0132 0.0028 0.0007 0.0011

Conclusiones: (1) Las centrales térmicas del vapor, provocan oscilaciones subsíncronas, aunque en el sistema de transmisión no exista compensación serie capacitiva. Resonancia Subsíncrona La resonancia Subsíncrona estudia la inestabilidad de las oscilaciones torsionales de turbogeneradores conectados a través de líneas con compensación serie capacitiva, utilizada para reducir la reactancia inductiva de la conexión de un generador a una red cuando la longitud de las líneas de conexión es muy grande. La Resonancia Subsíncrona puede ocurrir cuando la frecuencia natural de oscilación de la línea con compensación serie está próxima a una de las frecuencias de las oscilaciones torsionales del rotor del turbogenerador. La Frecuencia de Resonancia de este “circuito eléctrico” está dada por: f e = f 0 K se , siendo K se =

X C0 . X L0

46

47

47.456

DIgSILENT

48

Damped Frequency [Hz]

28.473

9.4911

-5.0000

-4.0000

-3.0000

-2.0000

Neg. Damping [1/s]

-1.0000

-9.4911

-28.473

-47.456 Stable Eigenvalues Unstable Eigenvalues

DIgSILENT

IEEE First Benchmark Model

ROTOR SEIS MASAS

Date: 10/30/2010 Annex: 1 /6

47.456

DIgSILENT

49

Damped Frequency [Hz]

28.473

9.4911

-5.0000

-4.0000

-3.0000

-2.0000

Neg. Damping [1/s]

-1.0000

-9.4911

-28.473

-47.456 Stable Eigenvalues Unstable Eigenvalues

DIgSILENT

IEEE First Benchmark Model

ROTOR SEIS MASAS Y CAP SERIE Date: 10/30/2010 Annex: 1 /7

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