Estadistica Ii z2m2f

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TEMA 1: MUESTREO Y ESTIMACION OBJETIVOS 1. Explicar las razones por las cuales se hace uso del muestreo. 2. Comprender la necesidad de utilizar estimadores para los parámetros. 3. Resaltar la ayuda que presta el conocimiento de la distribución muestral de un estimador para la determinación de la precisión de las estimaciones. 4. Identificar las propiedades deseables de un estimador para hacer las mejores inferencias sobre los parámetros. 5. Conocer los principales métodos para seleccionar una muestra 6. Hacer estimaciones puntuales y por intervalo de parámetros en muestreo aleatorio simple, sistemático, estratificado y por conglomerado. 7. Hacer determinaciones de tamaños de muestras requeridos para estimar la media poblacional en muestreo aleatorio simple, estratificado y por conglomerado. 8. Aplicar correctamente las fórmulas de los estimadores por intervalo y de tamaño de muestra en la solución de problemas. 1.1 INTRODUCCION Recordemos algunos conceptos de la Estadística que serán importantes en el desarrollo de este curso POBLACIÓN Es un conjunto de elementos de naturaleza cualquiera de los cuales estamos interesados en estudiar al menos una característica común y observable de dichos elementos en un determinado lugar y en un momento dado. Observación: La población en estudios debe estar definida sin ambigüedad de manera que no de lugar a confusiones. Los elementos consideramos que se encuentran localizados en un determinado lugar o región geográfica y en un periodo de tiempo dado.

Ejemplo El conjunto de todos los supermercados de Nicaragua en un momento dado Elementos: Supermercados. Características : ventas mensuales, N° empleados, nombre, atención, N° cajeras, etc. VARIABLES Utilizaremos variables como X, Y, Z, etc. para representar las características de los elementos Para el ejemplo anterior podemos hacer que X represente las ventas mensuales DATOS ESTADISTICOS Los valores posibles de una característica X los denotaremos por x , mientras que los valores realmente observados de esa característica X , los llamaremos datos y los denotaremos por x i donde el valor del subíndice i nos indica que es la i-ésima observación de X. Con frecuencia usaremos el término población para referirnos a la totalidad de datos que podrían recopilarse en una situación dada. x1 , x2 , … , xN

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PARAMETROS Es una medida que proviene de todos los datos de la población. Los parámetros son constantes que representan por lo general características de la población. Generalmente se representan por letras griegas. Por ejemplo, la media poblacional es un parámetro que se denota y define como N

x  x 2  ...  x N μ 1  N

x

i

.

N N

El total poblacional es otro parámetro que se denota y define como

τ

x

i

Si para el ejemplo anterior X representa la venta mensual entonces  representa la venta mensual promedio y  la venta mensual total MUESTRA Es una parte de la población que se espera sea representativa de ella. Con frecuencia usaremos el término muestra para referirnos a los datos muestrales x1 , x2 , … , xn Población tamaño N X x1 x2 .

muestra tamaño n x1, x2,….xn

. xN

datos muestrales

POR QUE SE MUESTREA Tomar decisiones con base en información incompleta no es algo novedoso. Por ejemplo, muchos compradores prueban un poco de queso antes de adquirirlo. De un pedazo deducen el sabor de un trozo mayor. En medicina, una muestra de sangre puede llevar a inferir que el paciente está anémico. Como el interés primordial de la Estadística es conocer parámetros, facilitaremos la inferencia acerca de los parámetros, utilizando la información de una muestra para estimar los parámetros. Una muestra de familias de un barrio puede ser útil para estimar el número promedio de niños por familia del barrio. En la industria una muestra de artículos puede servirnos para estimar la proporción de artículos defectuosos producidos en cierto momento.

VENTAJAS DEL MUESTREO.

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1. Rapidez y bajo costo de la información requerida. El muestreo es una técnica que utiliza recursos materiales, económicos y humanos disponibles, para obtener en el menor tiempo, al menor costo y con cierta exactitud aceptable información necesaria acerca de algunos parámetros. 2. Es un procedimiento práctico cuando la población es muy grande o infinita. Decimos que una población es finita cuando sabemos cuántos elementos existen en ella, esto es, cuando posee un tamaño que denotaremos por N. Existen poblaciones finitas tan grandes que resulta imposible observar sus elementos en un período de tiempo razonable, por ejemplo, todas las familias de una ciudad. Otras son tan inmensas que muchos de sus elementos son inaccesibles y su tamaño puede ser desconocido, por ejemplo, todos los pequeños agricultores de un país. También existen poblaciones infinitamente grandes, esto es, con un número ilimitado de elementos, razón por la cual le llamaremos poblaciones infinitas. Podriamos considerar que los procesos contínuos de producción de algún bien generan poblaciones infinitas porque, teóricamente, podría suponerse que estos procesos operan indefinidamente, por ejemplo, el proceso de producción de chips de computadoras. 3. Evita la destrucción de toda la población. Esta situación se da cuando la medición de la característica de interés destruye al mismo elemento. Los catadores de vino pueden evaluarlo con unos cuántos sorbos sin necesidad de consumir toda la producción. En una compañía sólo se prueba la germinación de unas cuantas semillas antes de la temporada de siembra. Los censos, debido a la gran cantidad de recursos que requieren, se realizan en períodos retirados de tiempo. Sin embargo su aplicación es ventajosa cuando la población es muy pequeña o se requiere una exactitud completa.

1.2 METODOS DE MUESTREO

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En todo muestreo lo deseable básicamente es obtener una muestra que sea una buena representación de la población en miniatura y que además su costo sea el menor posible, ya que a mayor representatividad de la muestra se espera mayor precisión en las estimaciones de los parámetros. Existen dos métodos que tratan de obtener la muestra anterior: el muestreo no probabilístico y el muestreo probabilístico. 1.2.1

MUESTREO NO PROBABILISTICO

- En este método no todos los elementos poblacionales tendrán posibilidad de integrar la muestra, motivo por el cual se espera poca representatividad de la muestra. - Se usan el conocimiento, la experiencia y la opinion personal para identificar los elementos de la población que van a incluirse en la muestra. El conocimiento y la experiencia ayudan a aumentar la precisión de las estimaciones y la opinión personal para minimizar el costo. - La precisión de sus resultados generalmente no se puede medir en forma objetiva porque no hay ninguna ley del azar que permita medir su error de muestreo. A pesar de esta falta de objetividad los métodos de muestreo no probabilísticos son importantes en los negocios y la investigación económica. 1.2.2

MUESTREO PROBABILISTICO

- Es un método de muestreo en el cual cada elemento de la población tiene una probabilidad conocida (no igual a cero) de ser incluido en la muestra. - Las unidades muestrales se seleccionan conforme a las leyes del azar en vez del criterio personal. - La precisión de sus resultados se puede medir objetivamente porque, según veremos más adelante, los estimadores de parámetros seguirán las leyes del azar, esto es, una distribución de probabilidad conocida de la cual podremos considerar su desviación estándar como un error de muestreo esperado (promedio). Aunque el error de muestreo es de naturaleza aleatoria podremos controlarlo, es decir hacerlo más pequeño, seleccionando el tipo de muestreo más adecuado. También controlaremos el costo del muestreo seleccionando un tipo de muestreo que logre reducir sustancialmente ese costo. 1.2.3

TIPOS DE MUESTREOS PROBABILISTICOS.

Algunos tipos de muestreos probabilísticos son los siguientes: muestreo aleatorio simple, muestreo aleatorio sistemático, muestreo aleatorio estratificado y muestreo aleatorio por conglomerado.

1.3 MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Y MUESTREO ALEATORIO SISTEMATICO

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En el muestreo aleatorio simple se seleccionan las muestras mediante métodos que permitan a cada muestra posible tener igual probabilidad de ser seleccionada y a cada elemento de la población tener igual probabilidad de quedar incluido en la muestra. El muestreo aleatorio simple es un procedimiento práctico si: i) La población tiene una desviación estandar  pequeña en comparación a la magnitud de los datos y su tamaño no es muy grande. ii) Es fácil y poco costoso llegar a los elementos poblacionales. El muestreo aleatorio sistemático es un procedimiento que se aplica a situaciones donde los elementos poblacionales pueden ser seleccionados con un intervalo uniforme que se mide en el orden , en el tiempo o en el espacio. Este procedimiento trata de garantizar de que cada elemento poblacional tuvo la misma probabilidad de integrar la muestra. El muestreo aleatorio sistemático es un procedimiento práctico si: i)

Se dispone de una lista de los elementos poblacionales y se considera que dichos elementos no son muchos y están en un orden aleatorio.

Por ejemplo, podemos tomar cada sexto estudiante de una lista de estudiantes de la Escuela de Economía. ii) Se tiene un proceso contínuo de producción de algún artículo, el cual consideramos que genera una población infinita, y que por lo tanto, la manera más práctica de tomar una muestra es fijar un intervalo uniforme que me permita ir tomando artículos para control de calidad de la producción. Por ejemplo, podemos tomar cada quincuagésima pieza que sale de una planta de ensamblaje. 1.3.1 COMO SELECCIONAR LA MUESTRA ALEATORIA SIMPLE.

1. Construir el marco muestral. El primer paso al seleccionar una muestra de una población es hacer lo que llamaremos un marco muestral, esto es, una lista completa y actualizada de todos los elementos de la población.

2. Especificar si el muestreo será con o sin reposicion. También debe especificarse si la muestra se va a obtener con reposición o sin reposición. Cuando muestreamos con reposición de una población de tamaño N (el elemento seleccionado se devuelve a la población y por tanto puede seguir siendo considerado en cualquier otra extracción) la probabilidad de que cualquier elemento sea seleccionado es siempre la misma

l N

para cualquier

extracción. El muestreo sin reposición es el más usual en la práctica, motivo por el cual le daremos mayor atención. Cuando muestreamos sin reposición de una población de tamaño N (el elemento seleccionado no se devuelve a la población y por tanto no puede seguir siendo considerado para otra extracción) las

6

probabilidades de seleccionar los elementos restantes después de cada extracción van aumentando porque el tamaño de la población se va reduciendo en uno tras cada extracción. De manera que la probabilidad de seleccionar un elementor particular en la primera extracción es

l N

, la probabilidad

de seleccionar otro elemento particular en una segunda extracción consecutiva es

l N -1

y así

sucesivamente. Al seleccionar sin reposición una muestra aleatoria simple de tamaño n de una población finita de tamaño N puede demostrar que:

l i) Cada muestra posible tiene una probabilidad

 N   n

de ser seleccionada.

 ii) Cada elemento de la población tiene una probabilidad

n N

de ser incluido en la muestra.

3. Utilizar una tabla de numeros aleatorios. Una tabla de números aleatorios consiste en una serie de dígitos generados en forma aleatoria y en listados en la secuencia en la que fueron generados. Del conjunto de dígitos  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  se seleccionó con reposición y con el apoyo de una computadora los dígitos que componen la tabla, de tal forma que cada dígito tuvo siempre la misma probabilidad

l 10

de ser seleccionado.

Antes de aprender a utilizarla hay que observar como está construida. La tabla esta compuesta de números de 5 dígitos cada uno, arreglados en filas y columnas. La utilización de la tabla constará de los siguientes pasos: 1. Asignar números de códigos a los elementos de la población utilizando cierto número de dígitos. El número de dígitos a utilizar dependerá del tamaño de la población N y será el mismo para cada situación. Ejemplo, si N = 140 sus elementos se codificarán así: 001, 002, ... ,139, 140 Si N = 10 sus elementos se codificarán así: 1, 2, .... , 9, 0 donde “0” debe leerse como 10. Si N = 100 sus elementos se codificarán así: 01, 02, , 99, 00 donde “00” debe leerse como 100. Si N = 1000, N = 10,000, etc, se utilizará el mismo criterio anterior parar asignar números de códigos a los elementos poblacionales. 2.

Escoja una entrada a la tabla.

La entrada se especificará dando un número de fila y un número de columna de manera arbitraria.

7

Un método satisfactorio consiste en cerrar los ojos y colocar la punta de un lápiz en la tabla, el número señalado por la punta será la entrada a la tabla.

3.

Escoja una dirección.

Por ejemplo: Descendente    , horizontal de izquierda a derecha    , etc. Si el número a seleccionar es mayor que N (o fue seleccionado previamente en un muestreo sin reposición) se descarta y se selecciona el siguiente. Si al terminar la fila o columna en la dirección escogida, no se tienen aún los n números que requiere la muestra, continue en la siguiente fila o columna. 4.

Hágale corresponde a cada número seleccionado de código su elemento correspondiente.

EJEMPLO 1.1 Utilice la tabla de números aleatorios para obtener una muestra aleatoria de 5 estudiantes de esta clase. EJEMPLO 1.2 La población de supermercados de una ciudad se dan en la siguiente tabla. * * N° Super 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 Ventas diarias 8.1 7.5 (en miles de C$)

* 13

* 14

15

16

5.4 3.0 6.2 7.0 8.0 2.5 1.8 4.3 3.8 5..5 4.6 8.3 9.0 3.6

Si X representan las ventas diarias. i) Diga que representan  y  en el problema.  representa la venta diaria promedio de los supermercados y total de los supermercados. ii)

 representa la venta diaria

Iniciando en la fila 26 y columna 4 de la tabla de números aleatorios y con una dirección horizontal de izquierda a derecha, tome una muestra aleatoria simple de 4 supermercados. Luego márquelos con un *.

Cada número de código tendrá dos dígitos porque la población es de tamaño N = 16. Observando, para la fila 26 y columna 4, los dos primeros dígitos, obtenemos el número 96 que es rechazado porque es mayor que 16. Siguiendo en la dirección horizontal de izquierda a derecha, nos fijaremos ahora sólo en los menores o iguales que 16 y que no se repitan porque el muestreo se está realizando sin reposición. El resultado serán los números: 14, 13, 12 y 05

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que corresponden a los supermercados 14, 13, 12 y 05 señalados con un *.

1.3.2

COMO SELECCIONAR LA MUESTRA ALEATORIA SISTEMATICA

1. Numerar u ordenar los elementos poblacionales Por ejemplo:

1, 2, 3, . . . . . . . N.

O bien:

1°, 2°, 3°, . . . . . . . . . , N - ésimo.

2. Obtener el intervalo de muestreo Si vamos a seleccionar una muestra de tamaño n de una población de tamaño N, el intervalo de muestreo se denota y define así k

N n

3. Seleccionar al azar un punto de arranque r Para que cada elemento poblacional tenga igual probabilidad de integrar la muestra, se selecciona al azar el punto arranque que será un número r tal que 1  r  k

4. Tomar cada k-ésimo elemento a partir del punto de arranque r A partir del punto de arranque r aumente consecutivamente k, según se muestra abajo, hasta obtener n números. La muestra estará formada por los n números: r, r + k, r + 2k, . . . . . Esto es, cada octavo, décimo, vigésimo, trigésimo, cuadragésimo, etc. elemento a partir del arranque.

Nota: Si k no es un entero, considere un k nuevo que será el k original sin el punto decimal. Luego seleccione un número aleatorio entre 1 y k nuevo al cual se le sumará consecutivamente k nuevo hasta obtener n números. Finalmente suprima en estos n números tantas cifras a la derecha como decimales existan en el k original. Los números resultantes formarán la muestra. EJEMPLO 1.3 Tome una muestra sistemática de 6 casas a partir de una manzana que comprende 78 casas. 1.

Haga una lista de las 78 casas y numere las 78 casas así: 1, 2, 3, 4, . . . . . . . . . . 78

2.

Obtenga el intervalo de muestreo Como N = 78 y n = 6

,

k

N 78   13 n 6

3. Utilicemos la tabla de números aleatorios para seleccionar de las primeras 13 casas, aquella con la cual debemos comenzar.

9

Utilizando dos dígitos para codificar las casas, y entrando en la fila 2 columna 4 con una dirección descendente obtenemos la casa 07

4. Si seleccionemos cada décimotercera casa, arrancando con la casa 07, obtenemos los siguientes números de casas: 07, 20, 33, 46, 59, 72 EJEMPLO 1.4 A partir de una lista de 70 solicitudes de crédito tome una muestra sistemática de 8 solicitudes. 1.

Numeremos las solicitudes así:

2.

Obtenga el intervalo de muestreo. k original 

3.

1, 2, 3, . . . . . . 70

N 70   8.75 n 8



k nuevo  875

Utilicemos la tabla de números aleatorios para seleccionar un número entre 1 y 875

Usando tres dígitos, y entrando por la fila 28 columna 6 con una dirección de izquierda a derecha obtenemos el número 400 4.

A partir de 400 aumente consecutivamente 875 hasta obtener los 8 números 400, 1275, 2150, 3025, 3900, 4775, 5650, 6525

Finalmente se suprimen tantas cifras a la derecha como decimales existan en 8.75 La muestra estará formada por los siguientes números de solicitudes: 4, 12, 21, 30, 39, 47, 56, 65 Hay situaciones donde es imposible proceder en la forma que hemos descrito, obligándonos, por tal motivo, a implementar otros tipos de muestreos aleatorios. A continuación presentamos una de estas situaciones: Cuando muestreamos una población finita muy grande resulta tedioso numerar cada uno de sus elementos, elegir números aleatorios y después localizar los elementos correspondientes. Lo mismo sucederá si tratamos numerar u ordenar sus elementos para después tener que tomar cada k-ésimo elemento sobre toda la población. Aquí lo que haremos es tratar de encontrar procedimientos que no favorezcan ni ignoren ninguna parte de la población por su accesibilidad o falta de ella, sino por el contrario tratar de que todos sus elementos tengan posibilidad de ser incluidos en la muestra para que pueda tratarse como muestra aleatoria. Por ejemplo, si queremos obtener una muestra aleatoria de pequeños agricultores de un país o región, tendremos que utilizar un método o procedimiento que garantice que todos los pequeños agricultores del país tuvieron posibilidad de ser incluidos en la muestra.

10

1.3.3

MUESTRA ALEATORIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Recordemos algunos experimentos aleatorios: - Registrar el número de personas que llegan a un supermercado en un día. - Anotar el tiempo que tarda un bus en llegar a su destino. - Registrar la precipitación pluvial anual en una región determinada. - Seleccionar al azar un elemento de una población y observar la característica de interés. Asociado a cada uno de los experimento aleatorios anteriores existe una variable aleatoria que representaremos por X. ¿ Qué representa X en cada una de los experimentos aleatorios anteriores ? Si repetimos un experimento aleatorio cualquiera n veces (independientemente uno de otro y bajo las mismas condiciones) y hacemos que la variable aleatoria Xi represente la observación de X en la i-ésima realización del experimento. Entonces diremos que las variables aleatorias X1, X2,...,Xn constituyen una muestra aleatoria de X. Por ejemplo, seleccionemos una pieza electrónica de un proceso contínuo de producción de una fábrica y hagamos que la variable aleatoria X representa la duración de la pieza. La duración de la primera pieza seleccionada puede representarse por la variable aleatoria X 1, la duración de la segunda pieza seleccionada por X2 y así sucesivamente hasta la duración de la nésima pieza seleccionada por Xn. Para poder decir que X1, X2,...,Xn es una muestra aleatoria de X, debemos asegurarnos de que las observaciones sean independientes y estén hechas bajo las mismas condiciones normales de trabajo, esto es, que no se haya obtenido una observación en un momento en que el proceso de producción estaba fallando. Otro ejemplo, supongamos que la variable aleatoria X representa la precipitación pluvial anual de cierta localidad. La precipitación pluvial anual durante el presente año podría representarse por la variable aleatoria X1 . Durante los años siguientes las variables aleatorias X 2,...,Xn pueden definirse análogamente. Podemos considerar X1, X2,...,Xn como una muesta aleatoria de tamaño n, obtenida de la población de todas las precipitaciones pluviales anuales posibles en esa localidad y podría suponerse que las Xi son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. 1.3.4 ESTADISTICOS Sea X1, X2,...,Xn una muestra aleatoria de una variable aleatoria X. Sea h una función de las variables aleatorias X1, X2,...,Xn . Definimos que Y = h(X1, X2,...,Xn) es un estadístico Observación: Un estadístico es una variable aleatoria. 1.3.5 ESTIMADOR DE UN PARAMETRO Sea X una variable aleatoria con una distribución de probabilidades que depende de un parámetro desconocido  (theta). Sea X1, X2,...,Xn una muestra aleatoria de X. Sea g una función de las ˆ = g(X1, X2,...,Xn) es un estimador de  , donde variables aleatorias X1, X2,...,Xn. Se define que θ ˆ θ se leerá theta con acento cincunflejo Un estimador de un parámetro será entonces un procedimiento o fórmula que proporciona estimados de ese parámetro a partir de los datos muestrales.

11

Observación: Un estimador es un estadístico, es decir una variable aleatoria.

Por ejemplo, sea X1, X2,...,Xn una muesta aleatoria de tamaño n de una variable aleatoria X cuya distribución de probabilidad depende de la media poblacional desconocida . Entonces N

n

X 

X

i

será un estimador de la media poblacional

n

μ

x

i

que llamaremos media muestral

N

Para una población finita de tamaño N será un estimador del total poblacional τ 

NX

N

x

i

que llamaremos total muestral

EJEMPLO 1.5 1) Con la muestra del inciso ii) del ejemplo 1.2 Estime  ,  y  Las ventas diarias que corresponden a los supermercados 14, 13, 12 y 05 son presentadas en la siguiente tabla. X i2 No. Super Xi 05 12 13 14

6.2 5.5 4.6 8.3

38.44 30.25 21.16 68.89

24.6

158.74

n

 Xi 24.6 X  .   6.15 ( en miles de C$) n 4

N X  16 ( 6.15 )  98.4 ( en miles C$)

n

n

 Xi S2  .

2

2 ( X )2 i  24.6  . 158.74 158.74 - 151.29 n 4   n -1 4 1 3 7.45   2.4833  S 2.4833  1.5758 (en miles de C$ ) 3

12

2) Con la muestra del ejemplo 1.1, realice una encuesta dentro del aula de clase para estimar la cantidad promedio de dinero que trajo hoy un estudiante. ¿Cómo estimaría la cantidad total de dinero que trajeron hoy los estudiantes de esta clase.

1.3.6 PRECISION Y EXACTITUD DE UNA ESTIMACION. Cuando hacemos una encuesta o una investigación estadística, los datos pueden ser recopilados a través de un cuestionario escrito o una entrevista personal o telefónica, lo cual da lugar a que se cometan dos tipos de errores. 1. Errores de muestreo. Estos errores ocurren debido a que sólo se hace una observación parcial de la población. El error de muestreo es la diferencia absoluta entre el resultado de la muestra y el parámetro. Por ejemplo, si estamos estimando la media poblacional  entonces el error de muestreo de una estimación se denota y define así em 

X- μ

Estos errores no son medibles porque los parámetros son desconocidos y aunque son aleatorios pueden ser controlados. De manera que a menor error de muestreo mayor precisión de la estimación. Mas adelante miraremos que lo que realmente tratamos de medir es un error de muestreo esperado (promedio) al utilizar un determinado estimador. 2. Errores ajenos al muestreo. Estos errores no ocurren debido al muestreo en sí, sino a otras causas, motivo por el cual este tipo de error puede ocurrir en un censo o muestreo. Algunas causas de estos errores son: i) Los intrumentos de medida (cuestionarios, entrevistas, etc.) no son precisos, esto es, no miden lo que se pretende. ii) Los entrevistados dan respuestas incorrectas. iii) El entrevistador anota las respuestas en lugares inapropiados. Estos errores no son medibles pero pueden ser controlados evitando la causa que los producen. La exactitud de una estimación tiene que ver con lo que llamaremos el error total, esto es, un resultado del error de muestreo y los errores ajenos del muestreo. Una preocupación importante de toda encuesta o investigación estadística es hacer lo más pequeño posible el error total, es decir tratar de maximizar la exactitud aunque no sea medible directamente. Para el ejemplo 1.5 parte 1), obtenga el error de muestreo correspondiente a la estimación de 

13 N

Como

μ

x N

i

=

88.6  5.5375 entonces e m  16

x - μ

= 6.15 – 5.5375 = 0.6125 (en miles

C$) Cómo obtendría para el ejemplo 1.5 parte 2), el error de muestreo de la estimación de  1.3.7

DISTRIBUCION MUESTRAL DE UN ESTIMADOR

A partir de aquí utilizaremos la teoría de la probabilidad en la obtención de instrumentos que facilitarán la inferencia de los parámetros. Supongamos que tenemos un estimador cualquiera de un parámetro de cierta población Consideremos todas las muestras posibles de tamaño n que pueden seleccionarse de esa población y calculemos para cada muestra un estimado del parámetro. A partir de todos los estimados podemos obtener una distribución de probabilidad del estimador, que será llamada la distribución muestral del estimador. Es precisamente la media y la varianza de la distribución muestral del estimador lo que nos ayudará a conocer las propiedades deseables de un estimador para hacer las mejores inferencias sobre los parámetros. DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA Para una población con característica de interés X y media poblacional , presentamos gráficamente la idea anterior aplicable a la media muestral donde hemos supuesto que se pudieron seleccionar M muestras de tamaño n de la población.

Poblacion

muestras

media muestral

1

x1

2

x2









 xM

M

Distribución de probabilidad de X (Distribución muestral de X )

Fig. 1.1





 



14

EJEMPLO 1.6 Consideremos la población compuesta por 5 representantes de ventas y el número de seguros de vida que vendieron el mes pasado. Representante A B C D E

No. Seguros 8 6 4 10 6

Suponiendo que X representa el número de seguros vendidos. i)

Construya la distribución de la población de X representándola gráficamente.

Seleccionando todos los valores posibles de X y haciéndoles corresponder a cada uno su probabilidad obtenemos. xi

f ( xi )

4 6 8 10

0.20 0.40 0.20 0.20 1.00

Tabla 1.1

f(X) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

2

4

6

8

10

12 X

15

Fig. 1.2 ii) Considerando todas las muestras posibles de tamaño dos que pueden seleccionarse sin reposición y sin orden de la población. Construya la distribución muestral de X representándola gráficamente. Seleccionando todas las muestras posibles de tamaño n = 2 de la población de tamaño N = 5 y calculando para cada una su media muestral obtenemos. . xi Muestras 8, 6 8, 4 8, 10 8, 6 6, 4 6, 10 6, 6 4, 10 4, 6 10, 6 Verifique que hay

7 6 9 7 5 8 6 7 5 8

  N n

=

  5 2

= 10 muestras posibles

Seleccionando todas las medias muestrales posibles y haciéndoles corresponder a cada una su probabilidad obtenemos. xi

f (x i )

5 6 7 8 9

0.20 0.20 0.30 0.20 0.10 1.00

Tabla 1.2

16

f( X) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X Fig. 1.3 1.3.8 PROPIEDADES DE UN ESTIMADOR Podemos evaluar la calidad de un estimador de un parámetro analizando su distribución muestral, esto es, tomando en cuenta su media y su varianza. ˆ ( theta Supondremos que  (theta) representa un parámetro cualquiera de cierta población y que  con acento circunflejo ) representa su estimador correspondiente. Un buen estimador de un parámetro debe cumplir básicamente las siguientes propiedades: 1. Insesgadura. ˆ tiene una distribución muestral con media de ˆ de un parámetro  es insesgado si  Un estimador  ˆ igual a , lo cual denotaremos así  ˆ   ˆ se llama sesgado y a la diferencia  ˆ   De otra manera, 

le llamaremos sesgo.

Esto quiere decir que si utilizamos un estimador insesgado para hacer una estimación particular de un parámetro, ésta puede ser menor o mayor que el parámetro, pero si utilizamos muchas veces el mismo estimador entonces tendríamos que el valor medio de todas las estimaciones sería igual al parámetro. Las distribuciones muestrales para un estimador insesgado y un estimador sesgado se ilustran en la figura siguiente.

ˆ1  ˆ2 





 ˆ

17

 ˆ

Estimador insesgado

Estimador sesgado

Fig. 1.4

Fig. 1.5

2. Eficiencia Otra propiedad deseable de un estimador es que tenga distribución muestral con varianza lo más pequeña posible. Esto asegura una probabilidad alta de que una estimación particular se encuentre cerca del parámetro. ˆ1 y  ˆ 2 de un mismo parámetro  y la varianza del estimador  ˆ1 Si se tienen dos estimadores  ˆ 2 , lo cual denotaremos así. es menor que la varianza del estimador   2ˆ   2ˆ ˆ 1 es más eficiente que el estimador  ˆ2 Entonces el estimador  1

2

Las distribuciones muestrales de dos estimadores de un mismo parámetro se ilustran en la figura siguiente.

ˆ1 





ˆ2 

Fig. 1.6

Fig. 1.7 ¿Qué estimador preferiría usted?

ˆ 1 porque proporciona estimados más cerca de  que el estimador  ˆ2 , Naturalmente el estimador  2 2 esto es, porque  ˆ   ˆ 1

2

El mejor estimador posible es aquel que es insesgado y que posee una varianza menor que la de cualquier otro estimador, motivo por el cual lo llamaremos estimador insesgado de mínima varianza. ˆ , denotada por  ˆ ,como un error de Consideraremos la desviación estándar del estimador  ˆ y que vendrá a muestreo esperado (promedio) que será llamado error estándar del estimador  ser un indicador de la precisión del estimador. EJEMPLO 1.7 i) Para la distribución poblacional del ejemplo 1.6 calcule  y  2 xi

f ( xi )

xi fi

4 6

0.20 0.40

0.80 2.40

( xi - 6.8 )2 f(xi ) 1.568 0.256

18

8 10

0.20 0.20

1.60 2.00

0.288 2.048

1.00

6.80

4.160

 =  x i f (x i )  6.8 2 2 =  (x i -  ) f (x i )  4.16 2 = 4.16 seguros2  σ  4.16  2.0396 seguros

ii) Para la distribución muestral de la media del ejemplo 1.6 calcule  X y  X2 y verifique que μX  μ

xi

f( x i )

x i f( x i )

5 6 7 8 9

0.2 0.2 0.3 0.2 0.1

1.0 1.2 2.1 1.6 0.9

0.648 0.128 0.012 0.288 0.484

1.0

6.8

1.560

 X   x i f (x i )  6.8

(x i - 6.8 )

Por tanto

μX  μ

y

2

f (x i )

2  X =  (x i -  X ) 2 f (x i )  1.56

Puede demostrarse (no lo haremos aquí) que  X2 es menor que la de cualquier otro estimador de . Como  X representa el error estándar de la media muestral X , será de interés saber que X 

1.560  1.2490 seguros

Debido a que  X es considerado como un error de muestreo esperado (promedio) utilizaremos esta medida para apreciar la precisión de X como estimador de . 1.3.9 MUESTREO EN POBLACIONES CON UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD Puede demostrarse que si tenemos un población cuya variable de interés X tiene una distribución de probabilidad con media  y desviación estándar  entonces X seguirá una distribución de probabilidad con μX  μ

y

σX 

σ n

para cualquier n

siempre que el muestro se haya realizado de una población infinita o bien muestreamos con reposición de una población finita.

19

En símbolos tendríamos que X

~



(μ, σ)

X

~

( μX

 μ,

σX



σ ) n

Si el muestreo se hizo sin reposición de una población finita de tamaño N, se debe usar el factor de corrección para población finita (F C P F) al expresar el error estándar de X así σX 

σ n

N - n N - l

La introducción del F C P F hace que  X se vuelva más pequeño porque

N - n N - l

 l

Algunas observaciones importantes relacionadas con el  X son las siguientes: X   i) ii) A menor  menor  X iii) A mayor tamaño de muestra n menor  X iv) A menor  X mayor precisión del estimador X EJEMPLO 1.8 Para la distribución muestral de la media del ejemplo 1.6 calculemos ahora μ X basándonos en la distribución poblacional, esto es, aplicando las fórmulas anteriores.

y

X

Sabemos que  = 6.8 seguros y que  = 2.0396 seguros Por tanto μ X  μ = 6.8 seguros Como las muestras de tamaño n = 2 se seleccionaron sin reposición de una población finita de tamaño N tenemos que X 

 n

X

2.0396 2

=

N - n N - l 5-2 2.0396  5 -1 2

0.75  2.0396

0.375  1.2490 seguros

Comparando estos resultados con los del ejemplo 1.7 concluimos que son iguales.

Muestreo en poblaciones normales Cuando la característica de interés X de los elementos de una población sigan una distribución normal diremos que estamos ante una población normal. Puede demostrarse que si tenemos una población normal con media  y desviación estándar  entonces X seguirá también una distribución normal En símbolos tendríamos que

20 X

~

Normal (

,  )



X

~ Normal

( X

 ,

X



 n

)

siempre que el muestro se haya realizado de una población infinita Si el muestreo se hizo sin reposición de una población finita de tamaño N, el error estándar de X se expresa así

σX 

σ n

N - n N - l

Una representación gráfica de la idea anterior es la siguiente.





X



X

X

Fig. 1.8

Muestreo en poblaciones no normales No es realista suponer siempre que la población es normal. En muchos casos no se tiene nigún conocimiento de la distribución de la población. Cuando se muestrea de una población no normal no sabemos qué distribución muestral seguirá X Observemos la distribución muestral de X de la figura 1.3 del ejemplo 1.6 y preguntémonos qué aspecto tomaría si el tamaño de la muestra hubiera sido más grande; probablemente la distribución muestral de X sería más simétrica. La pregunta anterior nos conduce al teorema más importante en la Estadística básica, el teorema del límite central. Teorema del límite central Si muestreamos una población no normal, con media  y desviación estandar , utilizando un tamaño de muestra suficientemente grande, esto es n  30, entonces X tendrá una distribución aproximadamente normal. En símbolos tendríamos que

21 X

~

No Normal ( μ , σ ) y n  30



X

~

aprox. Normal ( μ X

 μ,

σX



σ ) n

siempre que el muestro se haya realizado de una población infinita Si el muestreo se hizo sin reposición de una población finita de tamaño N, el error estándar de X se expresa así

σX 

σ n

N - n N - l

Este teorema es importante porque le permite al investigador hacer inferencias en cuanto a la media poblacional  sin tener que conocer la forma específica de la distribución de la población. 1.3.10

ESTIMADOR PUNTUAL Y POR INTERVALO

Un estimador puntual de un parámetro es aquel que proporciona un único estimado de ese parámetro al utilizar los datos muestrales. Un estimador por intervalo de confianza de un parámetro es aquel que define un par de variables aleatorias Li y Ls (que llamaremos límite inferior y límite superior del intervalo) entre los cuales diremos que hay una probabilidad de 1 -  (que llamaremos nivel de confianza) de que el parámetro se encuentre entre dichos límites; y también diremos que hay una probabilidad  (que llamaremos riesgo) de que no se encuentre entre dichos límites. Cada muestra particular proporcionará un intervalo conocido que llamaremos intervalo de confianza del (1 - )100% para el parámetro. En un muestreo repetido esperamos que un (1 - )100% de los intervalos particulares cubran el parámetro y que un (  ) 100% no lo cubran. Las fórmulas que presentaremos para los estimadores puntuales y por intervalo de cualquier parámetro en un muestreo aleatorio simple serán aplicables también al muestreo aleatorio sistemático. 1.3.11 ESTIMADOR PUNTUAL DE  Y  N



Un estimador puntual de la media poblacional

μ

x

i

es la media muestral

N

n

X 



Xi

n N



Un estimador puntual del total poblacional τ   x i es el total muestral

ERROR ESTANDAR DE X Y NX

NX

22



El error estándar de la media muestral X se denota y define así

σX 



σ n

si la población es infinita y

σX 

σ n

N - n N - l

si la población es finita.

El error estándar del total muestral NX se denota y define así σ NX  Nσ X

1.3.12 ESTIMADOR POR INTERVALO PARA  y

 CUANDO  ES CONOCIDA.

Puesto que X varía de una muestra a otra, se necesita contar con un estimador de  más aplicable a la realidad, objetivo que se logra cuando tomamos en cuenta la distribución muestral de X , según veremos a continuación. Cuando la desviación estándar poblacional  sea conocida y utilicemos X como estimador de  , supondremos que tiene una distribución aproximadamente normal y que por tanto podemos expresar el error de muestreo, X -  , en unidades del error estándar de X , es decir, podemos estandarizar la variable aleatoria X así X -   Z X Obteniendo otra variable aleatoria Z que tendrá distribución normal estándar. Como P(  z α/2  Z  z α/2 )  1  α donde z α/2 es un valor de la normal estándar que tiene   a su derecha una área acumulada de y a su izquierda un área acumulada de 1 2 2 Podemos sustituir la expresión anterior de Z en esta desigualdad y obtener  X - μ  z α/2 P  - z α/2  σX 

   



1 - α

Haciendo algunas manipulaciones algebraicas dentro de la desigualdad llegamos a que: P

 X - zα/2 σx  μ  X  z α/2 σx   1 - α

El resultado anterior es equivalente a decir que hay una confianza del (1 - )100% de que

23 X - z α/2 σ x  μ

 X



z α/2 σ x

O de una manera más breve, diremos que un estimador por intervalo de confianza del (1 - )100% para  estará dado por X

donde X - z/2  X será el límite inferior intervalo.

 z /2 σ x

y

X



z/2  x

será el límite superior del

Con un razonamiente similar podemos llegar a la conclusión de que un estimador por intervalo de confianza del (1 - )100% para  está dado por NX  z /2 σ NX

donde

σ NX  Nσ X

Si sustituimos  X o  NX por su correspondiente fórmula según la población sea infinita o finita, llegamos al siguiente resultado: Si una población es normal, esto es, si su característica de interés X tiene una distribución normal con desviación estándar  conocida, entonces: 1) Un estimador por intervalo de confianza del ( 1 -  ) 100% para  está dado así: i)

Para una población infinita. X  z /2

σ n

para cualquier n

donde z α/2 es un valor de la normal estándar que tiene a su izquierda una área acumulada de  1 -

2

,

y el límite inferior ( Li ) es la diferencia señalada por las expresiones anteriores y el límite superior ( Ls ) es la suma señalada por las mismas expresiones. ii)

Para una población finita. X  z/2

σ n

N - n N - 1

para cualquier n

donde el límite inferior ( Li ) es la diferencia señalada por las expresiones anteriores y el límite superior ( Ls ) es la suma señalada por las mismas expresiones. 2) Un estimador por intervalo de confianza del ( 1 -  ) 100% para  está dado así: N X  z α/2 N

σ n

N - n N - 1

para cualquier n

donde el límite inferior ( Li ) es la diferencia señalada por las expresiones anteriores y el límite superior ( Ls ) es la suma señalada por las mismas expresiones.

24

Notas:     

z α/2 es un valor que se obtiene de la expresión

P( Z < z/2 ) = 1 -

 2

n N - n  0.05 podemos omitir el factor de corrección N N -1 N-n La introducción del factor en la fórmula reduce el error estándar del estimador. N -1 n La proporción muestral representa la proporción de la población que se ha muestreado. N n n N-n 1Podemos utilizar como una aproximación de donde 1 representa la N N N -1

Si la fracción muestral

proporción de la población que no se ha incluido en la muestra. 

Si la población es no normal pero n  30 podemos aplicar el teorema del límite central para garantizar la aplicación de las fórmulas anteriores a esas circunstancias.

1.3.13 DETERMINACION DEL TAMAÑO DE MUESTRA PARA  La determinación del tamaño de muestra podemos decir que es un procedimiento sujeto a restricciones de presupuesto, tiempo y facilidad de selección. Tratemos ahora de obtener una fórmula para el tamaño de muestra. Supongamos que X es un estimador de  X - μ

y que queremos estimar



de tal forma

 E

Esto es, que los errores de muestreo tengan un valor máximo E que llamaremos error máximo permitido en la estimación de . Si queremos tener una confianza del ( 1 -  ) 100% de que E sea el máximo error permitido, escribiremos P ( X - μ  E)  1 - α Manipulando algebraicamente esta expresión llegamos a que P

X -E  μ  X  E   1-α

El resultado anterior es equivalente a decir que hay una confianza del (1 - )100% de que X - E



μ



X  E

o de una manera más breve, diremos que un estimador por intervalo de confianza del (1 - )100% para  estará dado por

25 X

 E

lo cual es otra manera equivalente de representar el estimador por intervalo de confianza del ( 1 -  ) 100% para . X

 z/2  x

Comparando las dos expresiones equivalentes concluimos que el error máximo permitido en la estimación de  es E  z /2 σ x

De manera similar podemos concluir también que el error máximo permitido en la estimación de  es E  z/2 σ N x Si sustituimos  x por su correspondiente fórmula en E  z/2 σ x según la población sea infinita o finita y luego solucionamos para n llegamos al siguiente resultado:

El tamaño de muestra requerido n para estimar  con error máximo permitido E y un nivel de confianza de ( 1 -  ) 100% es i)

Para una población infinita 2

 z σ  n   /2  E  

ii)

Para una población finita 2

 z /2 σ 

no   

Si

no  0.05, N

E

 

n0 puede ser reducida a

n 

no

noN  ( N - 1)

Por consiguiente para determinar el tamaño de la muestra, se tienen que conocer tres factores: 1. El nivel de confianza deseado, que determina el valor de z α/2 2. El error máximo permitido, E 3. La desviación estándar poblacional,  Observe que el cuadrado del error máximo permitido es inversamente proporcional al tamaño de la muestra.

26

Para el error de muestreo permitido se debe pensar qué tanto error se puede “aceptar” y con qué nivel de confianza de manera que aún se puedan proporcionar conclusiones adecuadas. Cuando no se conozca  utilizaremos su estimador S. También, cuando estemos determinando el tamaño de la muestra, cualquier resultado decimal siempre se redondeará hacia el entero inmediato superior. Finalmente, si la población no es normal y el tamaño de muestra que se está calculando está por debajo de 30 entonces debe incrementarse a 30, porque las fórmulas anteriores se basan en el uso de la distribución normal.

EJEMPLO 1.9 Una máquina empaca azúcar en bolsas plásticas. Se quiere estimar el peso promedio de las bolsas de azúcar sabiendo por estudios anteriores que la desviación estándar poblacional es de 0.10 lbs. Del flujo de producción se toma una muestra aleatoria sistemática de 10 bolsas, obteniendo los siguientes pesos en libras. 5.10, 4.90, 4.80, 5.15, 5.05, 4.95, 4.97, 4.85, 5.03, 5.00 Suponiendo que el peso de las bolsas de azúcar se distribuye normalmente: i)

Obtenga un intervalo de confianza del 80% para el peso promedio de las bolsas de azúcar.

Iniciaremos el planteo de este problema así: Los elementos son las bolsas de azúcar. La población se considera infinita X representa el peso de las bolsas de azúcar. La población es normal con  conocida  representa el peso promedio de las bolsas de azúcar. n = 10 bolsas de azúcar. La fórmula para esta situación es

X  z/2

 n

27 n

donde

X 

X n

i



 lbs. y z α/2 lo determinamos de P( Z < z/2 ) = 1 49.8 2  4.98 10

así Como la tabla de la distribución Z sólo presenta áreas acumuladas a la izquierda, encontremos el    valor de 1 así: 1 -  = 0.80   = 0.20  = 0.10  1= 2

2

2

0.90 Según la tabla de la distribución de Z el área más cercana a 0.90 es 0.8997. Trace a partir de esta área una línea horizontal imaginaria hacia la izquierda (que señalará 1.2 ) y luego otra línea vertical imaginaria hacia arriba (que señalará 8). Se dirá que al área 0.90 le corresponde z α/2 = 1.28 Sustituyendo X , z α/2 ,  y n por su valores co rrespondientes obtenemos  0.10   10  

4.98  1.28 

4.98  1.28 ( 0.0316 ) 4.98  0.0404



Podemos decir con un 80% de confianza de que

Li = 4.9396 lbs. y Ls = 5.0204 lbs. 4.9396    5.0204

y con un 20% de riesgo de que  no está comprendida entre esos límites. ii) Identifique el error muestral promedio en la estimación por intervalo del inciso i) σ x = 0.0316 lbs. iii) Con la misma muestra anterior, obtenga otro intervalo de confianza para el peso promedio de las bolsas de azúcar, pero con un nivel de confianza del 97%. Compare la longitud de este intervalo con el obtenido en el inciso i) haciendo los comentarios pertinentes.

z α/2 lo determinamos de P( Z < z/2 ) = 1 -  así 2

1 -  = 0.97

  = 0.03



 = 0.015 2

 1-

 2

= 0.985

Según la tabla de la distribución de Z, al área acumulada 0.985 le corresponde z α/2 = 2.17 Sustituyendo X , z α/2 ,  y n por su valores correspondientes obtenemos  0.10   10  

4.98  2.17 

4.98  0.0686



Li = 4.9114 lbs. y Ls = 5.0486 lbs.

28

Podemos decir con un 97% de confianza de que 4.9114    5.0486 Observemos que la longitud de este intervalo es mayor que la longitud del intervalo del inciso i), esto significa que entre más confiable sea nuestra estimación menos precisa será. iv) Identifique el valor del error máximo permitido con una confianza del 80% en la estimación del inciso i) E = 0.0404 lbs v) Si quiero estimar el peso promedio de las bolsas de azúcar con una confiabilidad del 90% de que el error máximo permitido sea de 0.0313 lbs, ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra? Como la población es infinita, la fórmula es  z/2   E 

2

n =  

Sustituyendo z α/2 ,  y E por sus valores correspondientes obtenemos n

=

 1.65 (0.10)   0.0313  

2

= 27.7894  28 bolsas

Se necesita una muestra de tamaño n = 28 bolsas para tener una confiabilidad del 90% de que el error máximo permitido sea de 0.0313 lbs.

EJEMPLO 1.10 Consideremos el conjunto de todas las pequeñas industrias de un determinado artículo. Se quiere estimar la producción anual total de las industrias y se sabe, en base a estudios anteriores, que la desviación estándar poblacional de las producciones anuales es igual a 2 en miles de unidades. Con tal propósito se selecciona de un listado actualizado de 826 industrias una muestra aleatoria de 50 industrias, obteniendo una producción anual promedio de 5.52 en miles de unidades. i)

Encuentre un intervalo de confianza del 90% para la producción anual total de las industrias.

Los elementos son las pequeñas industrias. La población es finita de tamaño N = 826 X representa la producción anual por industria. La población se supone que no es normal y  es conocido.  representa la producción anual promedio.  representa la producción anual total n = 50 pequeñas industrias Aunque la población no sea normal podemos aplicar, según el teorema del límite central, la siguiente fórmula:

29

NX

Observe que

n N



σ n

 z/2 N

50 826

=

N-n N -1

porque n  30

0.0605  0.05 y que por tanto no podemos omitir el factor de

corrección. Sustituyendo X , z α/2 , , n y N por sus valores correspondientes obtenemos 826 (5.52)  1.65 (826)

2 50

826 - 50 826 - 1

4559.52  1.65 (826) (0.2828) (0.9698) 4559.52  373.7882



Li = 4185.7318

y Ls = 4933.3082

Podemos decir con un 90% de confianza de que 4185.7318    4933.3082 (en miles de unidades) ii) Con una confianza del 95% calcule el valor del error máximo permitido en la estimación de la producción anual total del inciso i) E  z/2 σ N X = 1.96 (226.5383) = 444.0151 iii) Si quiero estimar la producción anual promedio de las industrias con una confiabilidad del 80% de que el error máximo permitido sea de 300 unidades, ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra? Como la población es finita, la fórmula es 2

 z/2   E 

no =  

Compruebe que z α/2 = 1.28 y que E =

300 = 0.3 en miles de unidades. 1000

Sustituyendo z α/2 ,  y E por sus valores correspondientes obtenemos no =   Como =

n =

1.28 (2)  0.3 

2

= 72.8178

no 72.8178  = 0.0882  0.05, podemos reducir no a N 826

no industrias.

n0 N 72.8178 (826) 60147.5028    ( N - 1) 72.8178  825 897.8178

= 66.9930  67 pequeñas

30

1.3.14

LA DISTRIBUCION t DE STUDENT

Cuando la desviación estándar poblacional  sea desconocida y X tenga una distribución normal o aproximadamente normal, tendremos primero que estimar  para poder estimar  x . ERROR ESTANDAR ESTIMADO DE X Y NX 

El error estándar estimado de la media muestral X se denota y define así.

 S  n 

si se muestreó de una población infinita

σˆ X  

 S N - n si se muestreó sin reposición de una población finita de tamaño N  n N - 1

donde S es un estimador insesgado de  

El error estándar estimado del total muestral NX se denota y define así. σ ˆ NX  Nσ ˆX

De manera que la estandarización de X estará dada por la siguiente expresión X - μ σ ˆ x

 t

la cual incluye una variable aleatoria en el denominador porque S es variable aleatoria, y por lo tanto σ ˆ X , también es una variable aleatoria.

Esto da como resultado que la estandarización de X ya no sea la variable aleatoria Z sino otra variable aleatoria que representaremos por t y que tendrá una distribución de probabilidad conocida con el nombre de distribución t de Student con n – 1 grados de libertad, ya que fue investigada originalmente por William Gossett, quien publicó sus escritos con el seudónimo “Student”. El hecho de tener que estimar el parámetro

σx

con los mismos n datos que se utilizan para poder

calcular el valor del estadístico t, hace que t pierda un grado de libertad, esto es, que quede con n – 1 grados de libertad (g.l). CARACTERISTICAS 1. Es una familia de distribuciones t de tal forma que cada vez que se especifiquen sus grados de libertad n – 1, se produce una distribución t particular.

31

2. Es simétrica y de forma acampanada con t  0

y

n , n - 2

t 

n  2

3. Como  es ligeramente superior a 1, la distribución t es aplastada en comparación a la normal t estándar, es decir, platicúrtica. 4. Cuando el número de grados de libertad tiende a infinito, la distribución t se convierte en distribución Z. La distribución t se considera muy parecida a la distribución Z cuando n  30 dist. Z

dist. t

0

t

Fig. 1.9

1.3.15 ESTIMADOR POR INTERVALO PARA  Y  CUANDO  ES DESCONOCIDA Ahora que ya estudiamos la distribución t de student, podemos utilizar el mismo razonamiento que se utilizó para la distribución Z para demostrar que las expresiones que definen los límites inferior y superior de un intervalo de confianza para  y  son: X

 t/2 σ ˆX

y

N X

 t /2 σ ˆ NX

respectivamente. donde t α/2 es el valor de la distribución t con n – 1 grados de libertad que tiene a su derecha un área  acumulada de 2

32

ˆX o σ Si sustituimos σ ˆ N X por su correspondiente fórmula según la población sea infinita o finita, llegamos al siguiente resultado: Suponga que estamos ante una población normal y que S es una estimador de 

1) Un estimador por intervalo de confianza del ( 1 -  ) 100% para  está dado así: i)

Para una población infinita X  t/2

S n

siempre que n  30

donde t α/2 es un valor de la distribución t de Student que tiene a su derecha una área de

 2

y el límite inferior ( Li ) es la diferencia señalada por las expresiones anteriores y el límite superior ( Ls ) es la suma señalada por las mismas expresiones. ii)

Para una población finita X  t /2

S n

N-n N -1

siempre que n  30

donde el límite inferior ( Li ) es la diferencia señalada por las expresiones anteriores y el límite superior ( Ls ) es la suma señalada por las mismas expresiones. 2) Un estimador por intervalo de confianza del ( 1 -  ) 100% para  está dado así N X  t /2 N

S n

N-n N -1

siempre que n  30

Notas: 

t α/2 se obtiene de la expresión P(t  t /2 ) = 



Si

2

n  0.05 podemos omitir el factor de corrección N

N-n N -1

Observación 1. Si la población es normal y n  30 entonces según la característica 4 de la distribución t, podemos escribir en todas las fórmulas anteriores z como una aproximación de t Observación 2. Si la población es no normal, pero n  30 entonces según el teorema del límite central y la característica 4 de la distribución t, también podemos escribir en todas las fórmulas anteriores z como una aproximación de t. Según la distribución poblacional y el tamaño de muestra se presentan en la tabla de abajo distintas situaciones en las cuales los estadísticos Z o t pueden ser utilizados.

33

DISTRIBUCION DE LA POBLACION Normal No Normal

Tamaño de muestra n

 conocido

 desconocido

n  30

Z

t

n  30

Z

Z

 conocido

 desconocido

Z

Z

Con un razonamiento similar al realizado en la situación cuando  era conocido llegamos a que: El error muestral máximo permitido en la estimación de  es E  t / 2σˆ X

El error muestral máximo permitido en la estimación de  es E  t/2σˆ N X EJEMPLO 1.11 Un auditor quiere estimar el saldo promedio y el saldo total de una población de 1000 cuentas por cobrar. Con tal propósito selecciona al azar una muestra de 6 cuentas, obteniendo los siguientes resultados en miles de córdobas. 2.6 ,

3.0 ,

3.5 ,

2.4 ,

2.0

1.5

Si suponemos que los saldos de las cuentas se distribuyen aproximadamente normal. 1) Determine un intervalo de confianza del 90% para: i) el saldo promedio de las cuentas ii) el saldo total de las cuentas Los elementos son las cuentas por cobrar. La población es finita de tamaño N = 1000 X representa el saldo de la cuenta. Asumimos que la población es normal pero se desconoce   representa el saldo promedio.  representa el saldo total. n=6

i)

La fórmula correspondiente para esta situación es X  t/2

Como

n = N

S n

N-n N -1

6 = 0.006  0.05 podemos omitir el factor 1000

N-n N -1

X y S lo determinamos a partir de la muestra de la siguiente manera:

34 n

Xi 2.6

Xi

X 

9.00

3.5

12.25

2.4

5.76

2.0

4.00

1.5

2.25

i

15  2.5 (en miles de C$) 6



n

6.76

3.0

15.0

X

2

n

n

 Xi 

S2 

40.02



2

( X i ) 2 .

.

n



n  1 40.02 - 37.5 5

S 



40.02 -

 15  2 6

6 -1

2.52  0.5040 5

(en miles de C$)

0.5040  0.7099

 El valor t /2 lo determinaremos de la expresión P(t  t /2 ) =

2

Como la tabla de la distribución t de Student sólo presenta áreas acumuladas a la derecha,    0.05 encontremos el área así: 1 -  = 0.90   = 0.10  2

2

Ahora tracemos dos líneas imaginarias, una horizontal que pase por n -1 = 6 – 1 = 5 y otra vertical que pase por 0.05. En la intersección de las líneas anteriores encontraremos el valor t /2 = 2.015 Sustituyendo X , t /2 , S y n por sus valores correspondientes obtenemos. 2.5  2.015

0.7099 6

2.5  2.015 ( 0.2898 ) 2.5  0.5839

 Li = 1.9161 y Ls = 3.0839 (en miles de C$.)

Podemos decir con un 90% de confianza de que 1.9161    3.0839

ii) La fórmula correspondiente para esta situación es N X  t /2 N

donde también se puede omitir el factor

S n

N-n N -1

Como t /2 no cambia, podemos sacar de factor común N

N-n N -1

35



S   n 

N  X  t/2



1000 ( 2.5  0.5839 )

 Li = 1916.1 y Ls = 3083.9 (en miles de C$.)

Luego podemos decir con un 90% de confianza de que 1916.1    3083.9

(en miles de C$.)

2) Con una confianza del 98% calcule el valor del error máximo permitido en la estimación del saldo promedio de las cuentas del punto 1) inciso i) E  t/2σˆ X = 3.365 (0.2898) = 0.9752

(en miles de C$.)

3) Si el auditor quiere estimar el saldo promedio de las cuentas con un error de más o menos C$ 500 y con una confianza del 98%, ¿qué tamaño mínimo de muestra se requiere? Como la población es finita y  es desconocida, la fórmula es  z/2 S  E 

2

no =  

Compruebe que z α/2 = 2.33 y que E =

500 = 0.50 1000

(en miles de C$.)

Sustituyendo z α/2 , s y E por sus valores correspondientes obtenemos no =

Como =

 2.33 ( 0.7099 )    0.5  

n0 10.9438  = 0.0109  0.05, N 1000

2

= 10.9438

no no puede ser reducida

Luego n  11 cuentas por cobrar.

EJEMPLO 1.12 Suponga para el ejemplo 1.11 que ahora el auditor decide seleccionar una muestra aleatoria de 36 cuentas por cobrar, obteniendo los siguientes resultados en miles de córdobas. X = 2.6

S = 0.5

(en miles de C$) (en miles de C$)

i) Determine un intervalo de confianza del 95% para el saldo promedio de las cuentas.

36

Como la población es normal,  desconocida y n  30 podemos escribir z como una aproximación de t en la fórmula del intervalo de confianza para  , quedando así S n

X  z /2

Como

n = N

N-n N -1

36 = 0.036  0.05 podemos omitir el factor 1000

N-n N -1

Sustituyendo X , z α/2 , S y n por sus valores correspondientes 2.6  1.96

0.5 36

2.6  1.96 ( 0.0833 ) 2.6  0.1633

 Li = 2.4367 y Ls = 2.7633 (en miles de C$)

Entonces podemos decir con un 95% de confianza de que 2.4367    2.7633

(en miles de C$)

ii) Identifique el valor del error muestral promedio en la estimación del saldo promedio de las cuentas del inciso i) σˆ X = 0.0833

(en miles de C$)

EJEMPLO 1.13 Se va a vender un nuevo cereal para desayuno como prueba de mercados durante un mes en las tiendas de una cadena de autoservicio. Los resultados de una muestra de 36 tiendas indicaron ventas promedio de C$ 1200 con una desviación estándar de C$ 180. i) Establezca un intervalo de confianza del 99% para las ventas promedios reales de este nuevo cereal. Los elementos son las tiendas. La población se considera muy grande o infinita X representa las ventas por tienda. Se supone que la población no es normal y que  se desconoce  representa las ventas promedios de las tiendas n = 36 , X = 1200 y S = 180 La población no es normal, pero n  30, esto nos permite utilizar el teorema del límite central y la característica 4 de la distribución t, para escribir z como una aproximación de t en la fórmula del intervalo de confianza para , quedando así X  z /2

S n

Sustituyendo X , z α/2 , S y n por sus valores correspondientes

37

1200  2.58

180 36

1200  77.40



Li = C$ 1122.60 y Ls = C$ 1277.40

Podemos decir con un 99% de confianza de que C$ 1122.60    C$ 1277.60 ii) Si la cadena tiene 200 tiendas, establezca un intervalo de confianza del 99% para las ventas promedios reales de este producto. Si N = 200 tiendas, la población es finita y la fórmula es S n

X  z /2

Como

N-n N -1

n 36 = = 0.18  0.05, no podemos omitimos el factor N 200

N-n N -1

Sustituyendo X , z α/2 , S , n y N por sus valores correspondientes 1200  2.58

180 36

200 - 36 200 - 1

1200  77.40 (0.9078) 1200  70.2637  Li = C$1129.7363 y Ls = C$1270.2637 Podemos decir con un 99% de confianza de que C$1129.7363    C$1270.2637 Al comparar este intervalo con el obtenido en el inciso i) notamos que tiene una longitud menor, esto es, que proporciona mejor precisión al mismo nivel de confianza.

1.3.16 POBLACIONES CON DISTRIBUCIONES DE BERNOULLI En estas poblaciones la característica de interés Y es una variable aleatoria que presenta solamente dos resultados mutuamente excluyentes y exhaustivos que llamaremos éxito (E) y fracaso (F). Estos resultados pueden ser cuantificados así

38

 1 si se tiene un E Y  0 si se tiene un F Bajo las circunstancias anteriores diremos que Y tiene una distribución de Bernoulli dada por la siguiente expresión.

 p si y  1 f ( y)    1 - p si y  0 Se demuestra fácilmente que Y = p y que Y =

p (1- p )

En esta población será de nuestro interés la estimación de dos parámetros: N



El total poblacional  =

yi

y la media poblacional

.

Y =

 N

El total poblacional lo definiremos así  = N° total de éxitos en la población Debido al hecho de que Y = p , donde p es una probabilidad (un número entre 0 y 1 ), la media poblacional será llamada proporción poblacional y la denotaremos y definiremos así p

 N



N 0 total de éxitos en la población Tamaño de la población

1.3.17 ESTIMADOR PUNTUAL DE p Y  La selección de muestras aleatorias de poblaciones con distribuciones de Bernoulli, nos permitirán la utilización de los siguientes estimadores. 

El estimador de p será la proporción muestral que denotaremos y definiremos así. n

pS 



Y

i

.

n



X No. total de éxitos en la muestra  n Tamaño de la muestra

El estimador de  será el total muestral que denotaremos y definiremos así

39

N ps 1.3.18 DISTRIBUCION MUESTRAL DE pS Cuando n sea suficientemente grande, es decir cuando n p  5 y n ( 1 – p )  5, entonces pS por ser una media muestral tendrá según el teorema del limite central una distribución muestral aproximadamente normal con μ pS  μ Y  p

y

 σ Y p(1  p) p (1  p)  si la población es infinita   n  n n σ pS    σ Y N  n  p (1  p) N  n si la población es finita  n N  1 n N 1 1.3.19 ERROR ESTANDAR ESTIMADO DE pS Y N pS 

El error estándar estimado de la proporción muestral pS se denota y define así.

 p S (1  p S )  n 

si la población es infinita

σˆ pS  

 p S (1  p S ) N  n si la población es finita  n N 1

donde pS es el estimador de p 

El error estándar estimado del total muestral NpS se denota y define así. σˆ Np S  Nσˆ p S

40

1.3.20 ESTIMADOR POR INTERVALO PARA p Y  Puede demostrarse que las expresiones que definen los limites inferior y superior de un intervalo de confianza para p y  son: p S  z σˆ p S α/2

y

Np S 

z α/2

σˆ Np S

respectivamente.

ˆ p o ˆ NpS por su correspondiente fórmula, según la población sea infinita o finita, Si sustituimos  llegamos al siguiente resultado: S

Supongamos que estamos ante una población con distribución de Bernoulli y que hemos seleccionado una muestra suficientemente grande, esto es, n p  5 y n ( 1 – p )  5 1) Un estimador por intervalo de confianza del ( 1 -  )100 % para p esta dado así i)

Para una población infinita p S  z/2

pS ( 1 - p S ) n

 donde z α/2 es un valor de la normal estándar que tiene a su derecha una área acumulad de

2

y el límite inferior ( Li ) es la diferencia señalada por las expresiones anteriores y el límite superior ( Ls ) es la suma señalada por las mismas expresiones. ii)

Para una población finita

p S  z/2

p S ( 1 - pS ) n

N-n N -1

donde el límite inferior ( Li ) es la diferencia señalada por las expresiones anteriores y el límite superior ( Ls ) es la suma señalada por las mismas expresiones. Si

n  0.05 , podemos omitir el factor de corrección N

N-n N -1

2) Un estimador por intervalo de confianza del ( 1 -  ) 100% para  está dado así Np S  z/2 N

pS ( 1 - pS ) n

N-n N -1

donde el límite inferior ( Li ) es la diferencia señalada por las expresiones anteriores y el límite superior ( Ls ) es la suma señalada por las mismas expresiones.

41

Si

n  0.05 , podemos omitir el factor de corrección N

N-n N -1

1.3.21 DETERMINACION DEL TAMAÑO DE MUESTRA PARA p Haciendo un razonamiento similar al utilizado para el tamaño de muestra para  podemos concluir que el error máximo permitido en la estimación de p es E  z/2 σˆ p S ˆ p por su correspondiente fórmula, según la población sea infinita o finita y luego Si sustituimos  resolvemos para n llegamos al siguiente resultado: S

El tamaño de muestra requerido n para estimar p con un error máximo permitido E y un nivel de confianza de ( 1 -  ) 100% es i)

Para una población infinita 2

 z /2 

n  p(1  p) 

ii)



donde p puede ser estimado con pS

E 

Para una población finita. 2

 z/2 

n 0  p(1  p) 

Si

no  0.05, N



donde p puede ser estimado con pS

E 

n0 puede ser reducida a n 

no

noN  ( N - 1)

Si no se cuenta con una estimación de p , utilizaremos en la fórmula anterior el valor de p que hace máxima la expresión p ( 1 – p ), es decir tomaremos p = 0.50 EJEMPLO 1.14 El gerente de una cadena de tiendas de departamentos desea determinar la proporción de poseedores de tarjetas de crédito que comprarían en las tiendas si estuvieran abiertos los domingos. Con tal propósito decide selecciónar una muestra aleatoria de 100 tarjetahabientes, la cual informó que 60 comprarían los domingos. i) Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la proporción real de tarjetahabientes que comprarían los domingos.

42

Iniciaremos el problema planteándolo así Los elementos son los tarjetahabientes La población se considera muy grande o infinita Y representa la disposición de los tarjetahabientes en comprar o no comprar. Como estamos interesados en los que están dispuestos a comprar, el éxito será “comprar”.esto es,

 1 si compra Y  0 si no compra La población tiene una distribución de Bernoulli p representa la proporción de tarjetahabientes que comprarían los domingos. n = 100 tarjetahabientes, X = 60 tarjetahabientes y pS =

X 60  = 0.60 n 100

Como n pS = 100 (0.60) = 60  5 y n ( 1 - pS ) ) = 100 (0.40) = 40  5, la fórmula es pS  z α/2

pS ( 1 - pS ) n

donde z α/2 = 2.58 El gerente seleccionó un elevado nivel de confianza del 99% en la estimación de p porque quiere sentirse seguro antes de tomar esta importante decisión de comercialización. Sustituyendo pS , z α/2 y n por sus valores correspondiente obtenemos 0.60  2.58

0.60 (0.40)) 100

0.60  2.58 (0.0490) 0.60  0.1264



Li = 0.4736

Podemos decir con un 99% de confianza de que 0.4736  p  0.7264

y

Ls = 0.7264

43

ii)

Identifique el valor del error máximo permitido en la estimación de la proporción real de tarjetahabientes que comprarían los domingos del inciso i) E = 0.1264

iii) Si el gerente quiere estimar la proporción real de tarjetahabientes que comprarían los domingos con un 99% de confianza de tener una tolerancia de  0.025, ¿qué tamaño de muestra se requiere? Como la población es muy grande, la fórmula correspondiente es  z/2    E 

2

n = p(1–p) 

Utilizando pS como una estimación de p y sustituyendo z α/2 y E por sus valores correspondientes n = 0.60 (0.40 )  

2.58   0.025 

2

= 0.24 (10650.24) = 2556.0576  2557 tarjetahabientes.

Observe que la muestra de tamaño 100 del inciso i) tiene el mismo nivel de confianza (99%), pero tiene alrededor de 5 veces más error muestral que el permitido aquí al estimar la proporción verdadera. EJEMPLO 1.15 Suponga para el ejemplo 1.14 que la cadena de tiendas de departamentos cuenta con 10,000 poseedores de tarjetas de crédito. i) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para el total de tarjetahabientes que comprarían los domingos. 

representa el total de tarjetahabientes que compraría los domingos.

Como la población es finita de tamaño N = 10,000 tarjetahabientes, la fórmula es

Np S  z/2 N Como

n = N

pS ( 1 - p S ) n

N-n N -1

100 = 0.010  0.05 se puede omitir el factor 10000

Sustituyendo N , pS , z α/2 ,

N-n N -1

y n por sus valores correspondientes

44

10,000 (0.60)  1.96 (10,000)

0.60(0.40) 100

6000  1.96 (10,000) ( 0.049 ) 6000  960.40



Li = 5039.60 y Ls = 6960.40

Podemos decir con un 95% de confianza de que 5040    6960 tarjetahabientes. ii) Determine el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción real de tarjetahabientes que comprarían los domingos con un 95% de confianza de tener una tolerancia de  0.025. Como la población es finita, la fórmula es  z/2    E 

2

no = p ( 1 – p ) 

Utilizando pS como una estimación de p y sustituyendo z α/2 y E por sus valores obtenemos no = 0.60 (0.40 ) 

1.96   0.025  

Como

n =

n0 = N

no

2

= 0.24 (6146.56) = 1475.1744

1475.1744 = 0.1475  0.05 , n0 puede ser reducido a 10000

no N 1475.1744 (10,000) 14,751744  =  ( N - 1) 1475.1744  9999 11474.1744

= 1285.6475  1286 tarjetahabientes.

45

1.4 MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO Este muestreo exige tener un conocimiento previo de la población y es práctico utilizarlo en poblaciones heterogéneas, esto es, en poblaciones donde la característica de interés X tenga una gran variabilidad (  es grande en comparación a la magnitud de los datos). Consiste en dividir la población en subpoblaciones o estratos de manera de que cada estrato debe presentar una pequeña variación en su interior con respecto a la característica de interés X que estemos investigando, y entre los distintos estratos las diferencias sean las más grandes posibles. Luego seleccionamos una submuestra de cada estrato utilizando muestreo aleatorio simple para finalmente conformar la muestra aleatoria estratificada. Los motivos principales para utilizar muestreo aleatorio estratificado en lugar de muestreo aleatorio simple son los siguientes: 1. Reducción del error máximo de estimación. 2. Reducción del costo por observación. 3. Se pueden obtener estimaciones de parámetros para las subpoblaciones. Antes de presentar las fórmulas de estimación de los parámetros introduzcamos la siguiente notación. X

representa la característica de interés de los elementos

L

representa el número de estratos en que se divide la población.

Ni representa el número de unidades muestrales del estrato i o tamaño del estrato i.  i representa la media poblacional para el estrato i.  i2 representa la varianza poblacional para el estrato i.  i representa el total poblacional para el estrato i. L

N =

N .

i

representa el tamaño de la población.

46

 =

L



i

representa el total poblacional

.

 N

 = ni

representa la media poblacional.

representa el tamaño de la submuestra del estrato i. L

n

n =

i

representa el tamaño de la muestra estratificada.

.

Suponga que Xij es la j-ésima observación en los elementos del estrato i. La media, la varianza y total de la submuestra del estrato i son dadas a continuación: ni

Xi 

X ij  1 j

ni

,

S

2 i



X  1

ij

 Xi 

2

j

,

Ni Xi

ni ni - 1 2 que representan estimadores de  i ,  i y  i respectivamente. Una ilustración gráfica del muestreo aleatorio estratificado es la siguiente. POBLACION

SUBMUESTRAS

N1

n 1

n

N2

2

. . . Estrato i

Ni

. . . Xi

M.A.S ni

. . .

. . . NL

n L

Fig. 1.10 1.4.1

ESTIMADOR DE  Y 

S i2 Ni Xi

47



 N

Como  =

=

 1   2  ...   L N

Un estimador insesgado de la media poblacional  se denota y obtiene así X st

Xst 

N1 X1  N 2 X 2    N L X L N

= 1 N

L

N

i

L

=

 NX i

.

i

Luego

N

Xi

.

donde el subíndice st indica que se ha utilizado muestreo aleatorio estratificado. A X st se le denomina media de la muestra aleatoria estratificada o simplemente media muestral estratificada. 

Un estimador insesgado del total poblacional  se denota y obtiene así N X st = N

l N

L

 N i Xi .

L

NXst   N i Xi .

que llamaremos total de la muestra aleatoria estratificada o simplemente total muestral estratificado. 1.4.2 ERROR ESTANDAR ESTIMADO DE Xst Y N Xst 1 L  Como X st =  N i Xi , la varianza estimada de X st se denota y obtiene aplicando la N . regla del producto de una constante por una variable. 2  ˆ Xst 

1 N

2

L

 .

2 N i2  ˆ Xi

El error estándar estimado de la media muestral estratificada X st se denota y obtiene de la siguiente manera: σˆ X st 

σˆ X st 

1 N 1 N

L

 Ni2σˆ 2X i

donde

.

L

 N i2 .

S i2 n (1  i ) ni Ni

σˆ 2X i 

Si2 n (1  i ) ni Ni

48

Si la fracción muestral correción (1  

ni  0.05 para los estratos i = 1, 2, ... , L , podemos omitir el factor de Ni

ni ) dentro del radical. Ni

El error estándar estimado del total muestral estratificado N X st se denota y obtiene así. σˆ NX st  Nσ ˆ X st

σˆ NX st 

1.4.3 1.

L



σˆ NX st  N

o bien

N i2

.

1 N

L



N i2

.

Si2 n (1 - i ) ni Ni

S i2 n (1 - i ) ni Ni

ESTIMADOR POR INTERVALO PARA  Y 

Un estimador por intervalo de confianza del 95% para  está dado por X st  1.96  ˆ Xst

o bien la aproximación

Xst  2 σ ˆ X st

El error máximo permitido en la estimación de  es E  2σˆ X st

ˆ X por sus correspondientes fórmulas obtenemos otra manera equivalente Si sustituimos X st y  de expresar el intervalo st

1 L 1 N i Xi  2  N . N

L



N i2

S i2 n (1 - i ) ni Ni

donde el límite inferior (Li) es la diferencia señalada por las expresiones anteriores y el límite superior (Ls) es la suma señalada por las mismas expresiones. ni Si la fracción muestral  0.05 para los estratos i = 1, 2, ... , L, podemos omitir el factor de Ni ni ) dentro del radical. corrección (1  Ni 2.

Un estimador por intervalo de confianza del 95% para  está dado así

NXst  2 σ ˆ N X st

o

N X st ± 2 N ˆ X

El error máximo permitido en la estimación de  es E  2σ ˆ NX st

st



N( X st  2 σˆ X st )

49

ˆ NX por sus correspondientes fórmulas obtenemos otra manera Si sustituimos N X st y  equivalente de expresar el intervalo st

L



N i Xi  2

.

L



N i2

S i2 n (1 - i ) ni Ni

donde el límite inferior (Li) es la diferencia señalada por las expresiones anteriores y el límite superior (Ls) es la suma señalada por las mismas expresiones. ni Si la fracción muestral  0.05 para los estratos i = 1, 2, ... , L, podemos omitir el factor de Ni ni ) dentro del radical. corrección (1  Ni EJEMPLO 1.16 Una cadena de 3 almacenes está interesada en estimar el saldo promedio de sus cuentas por cobrar. En los almacenes 1, 2, y 3 hay respectivamente 150, 200, y 250 cuentas por cobrar. Un muestreo aleatorio estratificado con cada almacen como estrato le señala al gerente de la cadena que debe tomar de los almacenes 1, 2, y 3 submuestras de tamaño 3, 4, y 5 respectivamente. Con los resultados presentados en la siguiente tabla Almacen

ni

1 2 3

Xij ( Saldos de las cuentas en miles de C$ )

3 4 5

3.5, 4.5, 5.5 6.5, 7.0, 8.0, 8.5 6.5, 8.0, 10.5, 12.5, 10

a) Estime el saldo promedio de las cuentas por cobrar de la cadena. b) Estime el saldo total de las cuentas por cobrar de la cadena c) Calcule el error máximo permitido con una confianza del 95% en la estimación del inciso b) Los elementos son las cuentas por cobrar, la característica de interés X representa el saldo y Xij es el j-ésimo saldo observado en las cuentas correspondientes al almacen i. Teniendo presente esto formemos la siguiente tabla

Almacen 1 2 3

Ni

ni

150 200 250 600

3 4 5

Xi

4.5 7.5 9.5

NX i

675 1500 2375 4550

S

2 i

1.0000 0.8333 5.3750

Según las fórmulas correspondientes y los resultados anteriores tenemos que:

S i2 ni 7500 8333 67187.5 83020.5 N i2

50

1 L  N i Xi N .

a)

Xst 

b)

NXst   N i Xi



4550  7.5833 (en miles de C$) 600

L

=

4550

(en miles de C$)

.

c)

E  2σˆ NX st = 2

L



N i2

.

=

2 83020.5

S i2 ni

porque

ni Ni

 0.05 para los estratos i = 1, 2, 3

= 2(288.1328) = 576.2656

(en miles de C$)

EJEMPLO 1.17 Una empresa publicitaria esta interesada en estimar el número promedio de horas por semana que los hogares de un determinado municipio dedican a ver la televisión. El municipio comprende dos pueblos, pueblo A y pueblo B, y un área rural. En el pueblo A existen 155 hogares de los cuales la mayoría son de trabajadores fabriles con niños en edad escolar. El pueblo B consta de 62 hogares con personas mayores que tienen pocos niños. En el área rural existen 93 hogares. Suponga que la empresa decide realizar una encuesta por muestreo a 40 hogares, tomando 20 del pueblo A y 8 del pueblo B y 12 del área rural. Los resultados presentados en la siguiente tabla corresponden a la media y la varianza de cada submuestra obtenida del pueblo A, el pueblo B y el área rural. ESTRATO (Pueblo A) (Pueblo B) (Area rural)

1 2 3

Ni 155 62 93 310

ni 20 8 12 40

Xi

Si2

33.900 25.125 19.000

35.358 232.411 87.636

1. a) Estime el número promedio de horas por semana que los hogares del municipio dedican a ver televisión. b) Estime el número total de horas por semana que los hogares del municipio dedican a ver televisión. c) Calcule el error muestral promedio para la estimación del inciso a) y b) Los elementos son los hogares y X representa el número de horas por semana dedicados a ver T.V.

ESTRATO 1 2 3

Ni X i

ni (1  ) Ni

5254.50 1557.75 1767.00

0.871 0.871 0.871

N i2

Si2 ni

(1 

ni ) Ni

36994.6776 97267.6059 55015.5365

51

189,277.8200

8579.25

Según las fórmulas correspondientes y los resultados anteriores tenemos que: a) Xst 

1 L  N i Xi N .

1 = 310

L

(8579.25) = 27.675 horas b) NXst   N i Xi

= 8579.25

.

horas c)

L

1 N

σˆ X st 

 N i2 .

L



σˆ NX st 

N i2

.

S i2 n (1  i ) ni Ni

=

S i2 n (1 - i ) ni Ni

1 189277.82  1.4034 310

=

189277.82

horas

= 435.0607 horas

2. Obtenga un intervalo de confianza del 95% para el número promedio de horas por semana que los hogares del municipio dedican a ver televisión. Sustituyendo los resultados de la tabla anterior anterior en la fórmula de un intervalo de confianza del 95% para  1 N

L



Ni Xi  2

1 N

L



1 1 ( 8579.2)  2 310 310

N i2

S i2 n (1 - i ) ni Ni

189277.82

27.675  2 ( 1.4034 ) ˆX Observe que cuando hay conocimiento de los valores de X st y  se puede llegar fácilmente al resultado anterior mediante la sustitución directa de esos valores en la fórmula. st

X st  2  ˆ Xst

Continuando llegamos a que 27.675  2.8068



Li = 24.8682 horas

Luego podemos decir con un 95% de confianza de que

y

Ls = 30.4818 horas. 24.8682    30.4818

3. Obtenga un intervalo de confianza del 95% para el número total de horas por semanas que los hogares del municipio dedican a ver televisión. Sustituyendo los resultados de la tabla anterior en la fórmula de un intervalo de confianza del 95% para .

52 L

N

i

Xi  2

8579.2 5 

2

L

N

S i2 ni

2 i

(1 -

ni ) Ni

189277.82

8579.25  2 ( 435.0607 ) ˆ NX Observe que cuando hay conocimiento de los valores de N X st y  resultado anterior mediante la simple sustitución de esos valores en la fórmula.

st

se puede llegar al

ˆ NXst N X st  2 

Continuando llegamos a que 8579.25  870.1214  Li = 7709.1286 horas y Ls = 9449.3714 horas. Luego podemos decir con un 95% de confianza de que 1.4.4

7709.1286    9449.3714 horas.

SELECCIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA ESTIMAR 

Suponga que X st debe estar dentro de E unidades de la media poblacional con una probabilidad aproximadamente igual a 0.95, esto es, que E represente el error máximo permitido. Simbólicamente queremos ˆX E = 1.96 

Es decir que

2 E2  ˆ Xst =

4

st

o bien

ˆX E = 2

o sea 1 N2

L

N

2 i

st

S i2 n E2 (1  i )  ni Ni 4

De esta ecuación no podemos despejar n, a menos que sepamos algo acerca de la relación entre ni y n. Hay muchas maneras para asignar un tamaño de muestra n a los diversos estratos. El mejor esquema de asignación está influido por tres factores. 1. El número de elementos en cada estrato (Ni) 2. La variabilidad de las observaciones dentro de cada estrato ( i) 3. El costo por obtener una observación de cada estrato (ci) Asignación de costo mínimo y menor error de muestreo. Aquí nuestro objetivo es usar una asignación que presente una cantidad especificada de información a un costo mínimo. N iS i / ci ni  n L  N iS i / ci donde ci representa el costo para obtener una observación individual del estrato i. El resultado anterior nos permite ahora poder despejar n de la ecuación

53

L

1 N2

N

S i2 n E2 (1  i )  ni Ni 4

2 i

y obtener la siguiente fórmula para el tamaño de muestra requerido. 

  N i S i / ci     2  E    N 2   4 

L

 

n  



L

N L

N

i

i

Si



ci  

S i2

Asignación de Neyman. En algunos problemas el costo por obtener información es el mismo para todos los estratos. Si los costos son desconocidos, podríamos suponer que los costos por observación son iguales. Si c1 = c2 =  = cL = c, entonces los términos de costos en la fórmula de asignación de costo mínimo se cancelan y queda así ni  n

N iS i L

N S i

i

Este método para seleccionar los ni se denomina asignación de Neyman. Observe también que la fórmula para el tamaño de muestra total n toma la forma 





n  N 2 

 

 E2 4

2



L



N i S i  



  

L

N

i

S i2

Asignación proporcional. Además de encontrar costos iguales podemos suponer que las varianzas dentro de los estratos son iguales, esto implica que, S12 = S22 =  = S 2L = S 2 En tal caso se cancelan las desviaciones estándar en la fórmula de asignación Neyman y queda ni  n

Ni

N

 Ni    N 

 n 

L

i

54

Este método es llamado asignación proporcional porque los tamaños de submuestras n 1 , n 2 , , nL son proporcionales a los tamaños de los estratos N 1 , N 2 , , N L respectivamente. También podemos comprobar que la fórmula para el tamaño de muestra total n toma la forma. n 

N S2 E2    S2 4  

N  

donde S2 es la varianza común de cada estrato.

EJEMPLO 1.18 La empresa publicitaria del ejemplo 1.17 encontró que cuesta más obtener una observación del área rural que una del pueblo A o del pueblo B. El incremento es debido a los costos de traslado de un hogar rural a otro. El costo por observación en cada pueblo se ha estimado en C$ 9 y los costos por observación en el área rural se han estimado en C$ 16. De una encuesta previa se estimó que las varianzas de las submuestras de los estratos 1, 2 y 3 son S12 = 25, S 22 = 225 y S 32 = 100 respectivamente. i) Encuentre el tamaño de muesta n y los tamaños de submuestras n 1 , n 2 y n 3 para los estratos 1, 2, y 3 respectivamente que permiten a la empresa estimar, al mínimo costo, el tiempo promedio que se ve televisión con un error máximo permitido de 2 horas. Ni ESTRATO 1 155 2 62 3 93 310

S i2

Si

ci

Ni Si / c i

25 225 100

5 15 10

9 9 16

258.3333 310.0000 232.5000 800.8333

Ni Si

Ni S i2

ci

2325 2790 3720 8,835

3875 13950 9300 27,125

Como el costo de obtener una observación no es el mismo en todos los estratos y como las varianzas tampoco son iguales tenemos que 

3

 

n  

N

i

Si / 

N 2  

  ci     2 E    4 

3

N

i

3

N

i

Si Si2



ci  

donde

 E2  4

N 2 









 310 2 (1)  96100

porque N = 310 y E = 2 =

 800.8333 

( 8835 ) (800.8333) (8835)  = 57.4182  58 hogares 96100  27125 123225

55

La asignación del tamaño de muestra a los tres estratos corresponderá a una asignación de costo mínimo n1  n

N 1S1 / c i

 258.3333   =58(0.3226) = 18.7108  19 hogares  800.8333 

= 58 

3

N S i

/ ci



310    800.8333 

n 2  58

n 3  58

i

= 58(0.3871) = 22.4518  22 hogares

 

232.5    800.8333 

= 58(0.2903) = 16.8374  17 hogares



ii) Determine el costo mínimo de la información muestral anterior L

Costo mínimo =

c n i

i

Costo mínimo = c1n1  c 2 n 2  c3n 3 = 9(19) + 9(22) + 16(17) = 171+ 198 + 272 = C$ 641 iii) Suponga que la empresa publicitaria tiene únicamente C$ 500 para gastar en muestreo, determine el tamaño de muestra y los tamaños de submuestras por estrato necesarios para ese presupuesto. Ya que el costo total debe ser C$ 500, tenemos que

c1 n 1  c 2 n 2  c 3 n 3  500

9n 1  9n 2  16n 3  500

O bien

Ya que cada

ni  n

N i Si / c i 3

N S i

n1= n(0.3226) ,

i

/ ci

n2 = n(0.3871) ,

podemos escribir según los resultados anteriores que n3 = n(0.2903)

y por tanto podemos hace la siguiente sustitución en la ecuación 9n 1  9n 2  16n 3  500 9 n (0.3226) + 9 n (0.3871) + 16 n (0.2903) = 500 2.9034 n + 3.4839 n + 4.6448 n = 500 11.0321 n = 500 Al despeja n, obtenemos: n 

500 = 45.3223  46 hogares 11 .0321

La asignación correspondiente está dada por: n 1  46

 0.3226 

= 14.8396  15 hogares

56

n 2  46

 0.3871 

= 17.8066  18 hogares

n 3  46

 0.2903 

= 13.3538  13 hogares

EJEMPLO 1.19 Suponga que la firma publicitaria del ejemplo 1.18 decide utilizar entrevistas por teléfono en lugar de entrevistas personales, porque todos los hogares en el municipio tienen teléfono y este método reduce los costos. El costo de obtener una observación es entonces el mismo en los 3 estratos.. Las varianzas de las submuestras de los estratos 1, 2 y 3 son de nuevo aproximadas por S12 = 25, S 22 = 225 y S 32 = 100 respectivamente. Encuentre el tamaño de muestra n y los tamaños de submuestras n1, n 2 y n 3 para los estratos 1, 2 y 3 respectivamente, que permiten a la empresa estimar el tiempo promedio que se ve televisión con un error máximo permitido de 2 horas.

ESTRATO 1 2 3

Como

 E2  4

N 2 

 

n  

N 2  

 

N

 E2 4



Si  

=

L

N

  

Ni Si 775 930 930 2635

Ni S i2 3875 13950 9300 27125

y el costo de obtener una observación es el mismo.

2



i

Si 5 15 10

25 225 100

 310 2 (1)  96100 

L



S i2

Ni 155 62 93 310

i

Si2

 2635  2 96100  27125

=

 2635  2 = 56.3459  57 hogares 123225

El tamaño de muesta obtenido en el inciso i) del ejemplo 1.18 es casi igual al de este ejemplo, pero la asignación del tamaño de la muestra a los 3 estratos corresponde a una asignación de Neyman. n1  n

N 1S1 3

N S i

i

 775   = 16.7647  17 hogares  2635 

= 57 

57



930   2635  

n 2  57 

= 20.1176  20 hogares



930   = 20.1176  20 hogares  2635 

n 3  57 

Observe que para el área rural se toman ahora más hogares porque el costo se ha reducido.

EJEMPLO 1.20 La empresa publicitaria del ejemplo 1.18 considera ahora que las varianzas de los estratos son iguales. El valor común S2 fue aproximado por 100 en un estudio preliminar. Se van a efectuar entrevistas por teléfono, por lo que los costos serán iguales en todos los estratos. La empresa desea estimar el número promedio de horas por semana que se ve la televisión en los hogares del municipio, con un error máximo permitido de 2 horas. Encuentre el tamaño de muestra y los tamaños de submuestras por estrato necesarios para lograr esta exactitud. Como el costo de obtener una observación es el mismo en todos los estratos y las varianzas se suponen iguales tenemos que

n  

N S2 E2    S2 4 

N  

=

310  100  310  100

=

donde

31000 410

 E2    310(1)  310  4 

N

porque N = 310, E = 2 y S2 = 100

= 75.6098  76 hogares

La asignación del tamaño de muestra a los tres estratos corresponderá a una asignación proporcional

n1



 n  



n2  n   

n3  n  

N1   N 

 155   = 38 hogares  310 

= 76 

N2   N 

= 76 

N3   N 

= 76 

 62   = 15. 2  15 hogares  310   93   = 22.8  23 hogares  310 

58

1.5 MUESTREO ALEATORIO POR CONGLOMERADOS. Consiste en dividir la población en colecciones de elementos que llamaremos conglomerados de tal forma que lo ideal es que cada conglomerado se parezca a los demás. Considerando a estos conglomerados como unidades muestrales tomemos una muestra aleatoria simple de conglomerados y después hagamos un censo a cada conglomerado seleccionado para finalmente obtener la muestra aleatoria por conglomerado buscada. El muestreo por conglomerados es menos costoso que el muestreo aleatorio estratificado o simple si se cumple lo siguiente: 1. No se encuentra disponible o es muy costoso obtener un buen marco que liste los elementos de la población. 2.

El costo por obtener observaciones se incrementa con la distancia que separa los elementos.

Por lo tanto al aplicar este método se logra fácilmente la construcción de un marco que liste todos los conglomerados y la reducción del costo por observar un elemento. Introduciremos ahora la siguiente notación. X

representa la característica de interés de los elementos.

N

representa el número de conglomerados en la población.

mi representa el número de elementos en el conglomerado i N

M =

m

M =

M representa el tamaño promedio de los conglomerados en la población. N

i

representa el número de elementos en la población o tamaño de la población.

Suponga que xij es la j-ésima observación de X en los elementos del conglomerado i entonces mi

 i   x ij j 1

representa el total de las observaciones en el conglomerado i

59

N

 =

 i

 =

 M

representa el total poblacional

representa la media poblacional.

n representa el número de conglomerados en la muestra n

m =

m

i

representa el tamaño promedio de los conglomerados en la muestra.

n

Una ilustración gráfica del muestreo por conglomerado es la siguiente: POBLACIÓN

MUESTRA

m1

m1

m2

m2

. . .

. . . mi

mi

Censo mi

 i   x ij j 1

. . .

. . . mn

mN

Fig. 1.11 1.5.1 

ESTIMADOR DE

 Y 

El estimador de la media poblacional  se denota y obtiene así:

60 n

Xc 



τ

i

A X c le llamaremos media muestral por conglomerado

n

m

i

Un estimador del total poblacional  se denota y obtiene así:  n







  τi M Xc





M



A 

n

 m  i   

M X c le llamaremos total muestral por



conglomerado. Como M  porque

M N



M  NM

ˆ  Nm M puede ser estimado con M

,

m es un aproximado de M

1.5.2 ERROR ESTANDAR ESTIMADO DE X c Y M X c 

El error estándar estimado de la media muestral por conglomerado X c se denota y presenta de la siguiente manera:

 1  

σ ˆ Xc   

n  ( τ i - m i Xc ) 2

n   N

nM 2







n -1

Si M es desconocido, M puede ser estimado por Si



n N

m

 0.05 podemos aproximar el factor ( 1 -

n ) dentro del radical a 1. N

El error estándar estimado del total muestral por conglomerado M X c se denota y obtiene de la siguiente manera: σˆ MX c  Mσˆ X c

 ˆ MXc  M 



2







n n    i - m i X c  2 1-  N n M2  n -1  

61

 σ ˆ MX c 

1 

n

N2 

 



n N

n -1 



Si

n 2   τ i - m i Xc 

n   N  

 0.05 podemos aproximar el factor ( 1 -

n ) dentro del radical a 1 N

1.5.3

ESTIMADOR POR INTERVALO PARA  Y 

1.

Un estimador por intervalo de confianza del 95% para  esta dado por Xc



2 σ ˆX

c

El error muestral máximo permitido en la estimación de  es E  2σˆ X

c

Si sustituimos X c y ˆ Xc por sus correspondientes fórmulas obtenemos otra manera equivalente de expresar el intervalo.

n  τi n  mi

  2



 

 

n n    τ i - m i Xc  2 1-  N n M2  n -1  

donde el límite inferior (Li) es la diferencia señalada por las expresiones anteriores y el límite superior (Ls) es la suma señalada por las mismas expresiones. Si 2.

n N

 0.05 podemos aproximar el factor ( 1 -

n ) dentro del radical a 1 N

Un estimador por intervalo de confianza del 95% para  está dado así: M Xc



2 σ ˆ MX

c

o

M Xc



2 M ˆ

Xc

62

El error muestral máximo permitido en la estimación de  es E  2σˆ MX

c

Si sustituimos M X c y ˆ MX c por sus correspondientes fórmulas obtenemos otra manera equivalente de expresar el intervalo.  n    τi  









M



 n    m i  

2



n   1  N  N2  n      

n 2   τ i - m i Xc  . n -1

donde el límite inferior (Li) es la diferencia señalada por las expresiones anteriores y el límite superior (Ls) es la suma señalada por las mismas expresiones. EJEMPLO 1.21 Los municipios de un país hipotético están distribuidos de manera natural en 20 departamentos. Se quiere estimar el número promedio de agricultores por municipio de cierta hortaliza. Considerando los departamentos como conglomerados, se toma una muestra aleatoria de 4 departamentos y se registra para cada departamento el número de municipios y luego para cada municipio el número de agricultores. Los resultados se presentan en la siguiente tabla Departamentos

N° de municipios

1 2 3 4

8 11 5 6

i)

N° de agricultores 5, 2, 8, 9,

8, 7, 3, 6, 4, 6, 8 4, 6, 5, 5, 3, 5, 5, 3, 9, 3 10, 4, 6, 7 6, 5, 4, 7, 11

Estime el número promedio de agricultores por municipio.

Los elementos son los municipios, la característica de interés X representa el número de agricultores mi

y  i   x ij (donde xij es el j-ésimo número de agricultores observado en los municipios del j 1

departamento i ) representa el total de agricultores en el departamento i. Departamentos 1 2 3 4

mi

i

8 11 5 6

47 50 35 42

30

174

63

Según los resultados de la tabla anterior tenemos que: n  i Xc



n  mi



174 30

 5.8

agricultores

ii) Si en el país hay 160 municipios estime el número total de agricultores en el país. M X c = 160 (5.8) = 928 agricultores

Como M = 160 municipios,

EJEMPLO 1.22 Se quiere estimar el ingreso anual promedio por adulto en cierta ciudad pequeña. Como no existe una lista disponible de adultos residentes, la ciudad es dividida en 100 bloques rectangulares tomando cada bloque rectangular como un conglomerado. Suponga que se selecciona una muestra aleatoria simple de 6 bloques rectangulares y entrevista a los adultos de cada hogar dentro de cada conglomerado, obteniendo los siguientes resultados.

BLOQUES

No. adultos residentes

( en miles $ ) Ingreso total

1

18

36

2

14

40

3

15

60

4

16

48

5

17

50

6

10

27

1. Obtenga un intervalo de confianza del 95% para el ingreso anual promedio por adulto en la ciudad. mi

Los elementos son los adultos , X representa su ingreso anual y  i   x ij (donde xij es el j-ésimo j 1

ingreso anual observado en los adultos del conglomerado i) representa el ingreso anual total en el bloque i.

 τ i - m i Xc  2

BLOQUES

mi

i

1

18

36

262.44

2

14

40

0.36

3

15

60

272.25

64 4

16

48

2.56

5

17

50

0.49

6

10 90

27 261

4.00 542.10

Según los resultados de la tabla anterior tenemos que: n

 i 

Xc

n

 mi



261  2.9 en miles de $ 90

Sabemos que N = 100 y n = 6 , como M es desconocido, M será estimado por n  mi m 

90 6



n

 15

Luego

n n    i - mi Xc  2 1-  N nM2  n -1     

ˆ X  c    ˆ X

c



 0.94     1350 

 108.42 



6  100  6 (15)2 





 1

 542.10   5  

= 0.2748 en miles de $

Sustituyendo los resultados anteriores en la fórmula de un estimador por intervalo de confianza del 95% para  Xc



2  ˆX

c

obtenemos 2.9  2 ( 0.2748 ) 2.9  0.5496



Li = 2.3504

Podemos decir con un 95% de confianza de que

y

Ls = 3.4496 en miles de $

65

2.3504    3.4496 (en miles de $) Observe que este intervalo se pudo haber obtenido también con la siguiente fórmula de un intervalo de confianza del 95% pora .

n  i n  mi

 

 

2   

n n    i - mi Xc  2 1-  N n M2  n -1  

Sabemos que N = 100, n = 6 y que M es estimado en 15. Sustituyendo los resultados de la tabla anterior llegamos a que: 261 90

 



2   

2.9 



6 100 6(15) 2

 1 -

2

 542.10   5  



0.94   108.42  1350  

2.9  2 ( 0.2748 ) 2.9  0.5496 2. a)



Li = 2.3504

y

LS = 3.4496 (en miles de $)

Estime el ingreso anual total de todos los adultos residentes de la ciudad.

ˆ  N m  100(15)  1500 adultos . Como M es desconocido, será aproximado con M

Según las fórmulas correspondientes y los resultados anteriores tenemos que: M X c = 1500 (2.9) = 4350 (en miles de $)

b) Con un 95% de confianza calcule el error máximo permitido para la estimación anterior. 2 ˆ MX c



2M ˆ X

c

= 2(1500)(0.2748) = 2(412.2) = 824.4 (en miles de $)

c) Obtenga un intervalo de confianza del 95% para el ingreso anual total de los adultos de la ciudad.

66 M Xc

Utilicemos la fórmula Sustituyendo M X c 4350  2(412.2)

y

4350  824.4



ˆ

MX



c

2 σ ˆ MX

c

por sus valores

Li = 3525.6

y

Ls = 5174.4

(en miles de $)

Luego podemos decir con un 95% de confianza de que 3525.6    5174.4

1.5.4 SELECCIÓN DEL NUMERO DE CONGLOMERADOS EN LA MUESTRA PARA ESTIMAR  Suponiendo que E representa el error máximo que se desea tolerar al estimar , queremos que con una confianza del 95% E  2  ˆ



n N   nM 2







  τ i - mi Xc 









n

 1-

De la ecuación

ˆ 2

es decir que

Xc

n -1 

Xc

2



E2

4

E2 4

=

podemos despejar n, esto es, el número de

conglomerados en la muestra y obtener la siguiente fórmula 2 N Sc

n  

E2 4

N M 2  

   



2 Sc

n

donde

S c2 

2   i - m i X c 

puede calcularse de una muestra preliminar y M puede ser

n -1 estimado por m con la misma muestra para finalmente obtener el número de conglomerados en la muestra. EJEMPLO 1.23 Tomando los resultados de la encuesta del ejemplo 1.22 como una muestra preliminar, determine el número necesario de bloques rectangulares en la muestra para estimar el ingreso anual promedio por adulto con un error máximo permitido de C$ 300.

  i - m i X c  n

Usando los cálculos del ejemplo tenemos que

m = 15

S c2 

n -1

2



542.10  108.42 5

y

67



2 Como N M 



E2 4



 0.32 

  

 100 (15) 2  

2 N Sc

n  N M 2 

 

E2 4 









2 Sc

100 (108.42) 10842  506.25  108.42 614.67

4





 100 (225) (0.0225)  506.25

=  17.6387

Entonces se deben muestrear 18 bloques rectangulares.

EJERCICIOS PROPUESTOS DEL TEMA 1: MUESTREO Y ESTIMACIÓN 1. A continuación se presenta una población de 5 cuentas por pagar de una empresa con sus correspondientes montos en decena de miles de córdobas. Cuenta C D E F G

Monto 3 3 7 10 14

Suponiendo que X representa el monto de las cuentas. i) Construya la distribución poblacional de X y represéntela gráficamente. ii) Para la distribución poblacional del inciso i) calcule  y  iii) Considerando tadas las muestras posibles de tamaño 2 que pueden seleccionarse sin reposición y sin orden, construya la distribución muestral de X y represéntela gráficamente. Para la distribución muestral de X pedida por el inciso iii) del ejercicio 1, calcule  X y  X y verifique que μ X  μ 2.

3. Para el ejercicio 1 tome todas las muestras posibles de tamaño 3 y construya la distribución muestral de X representándola gráficamente. 4.

Para la distribución muestral de X pedida por el ejercicio 3, calcule  X y  X

5. Consideremos la población compuesta por 4 agentes de ventas con sus correspondientes gastos de representación en cientos de córdobas de la semana pasada. Representante

Gasto

A

2

68

B C D

4 6 8

Suponiendo que X representa el gasto de representación. i) Construya la distribución poblacional de X y represéntela gráficamente. ii) Considerando todas las muestras posibles de tamaño 2 que pueden seleccionarse sin reposición y sin orden. Construya la distribución muestral de X y represéntela gráficamente. iii) Para la distribución muestral del inciso ii) calcule la media de X y el error estándar de X iv) Con todas las muestras posibles de tamaño 3 que pueden seleccionarse sin reposición y sin orden, construya la distribución muestral de X y represéntela gráficamente. Luego calcule  X y X

6.

Considere la siguiente población de cuentas por cobrar de una compañía.

01 No. Cuenta Monto (en miles de C$) 1.5

02

03

04

05

06

07

08

2.3 1.0

1.8

1.9

2.0

3.5 1.5

09

10

11

12

13

14

15

2.4 1.2

1.8

4.5

3.0

2.1

3.5

1) Utilizando la fila 3 columna 4 como una entrada a la tabla de números aleatorios, seleccione una muestra aleatoria de 4 cuentas señalándolas con un * 2) Suponiendo que X representa el monto de las cuentas. i) Diga que representa  y  según el problema. ii) Estime el monto promedio de las cuentas y el monto total de las cuentas utilizando la muestra seleccionada en 1) 3) Obtenga los errores de muestreo correspondientes a las estimaciones de  y  hechas en el inciso ii) de la parte 2) 7.

La población de supermercados de una ciudad se presenta en la siguiente tabla.

01 No. Super Ventas diarias (en miles de C$) 84

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

13

14

15

73

50

35

62

38

26

25

56

45

90

20

87

30

40

1) Tome una muestra aleatoria sistemática de 3 Supermercados. Luego señalelos con un * 2) Suponiendo que X representa las ventas diarias.

69

i)

Diga que representa  y  según el problema.

ii)

Estime  ,  y  utilizando la muestra del inciso 1)

iii) Obtenga los errores de muestreo correspondientes a las estimaciones de  y  hechas en el inciso ii)

8. Se quiere investigar el número total de calculadoras que hay en inventario en un centro comercial. En el siguiente plano se presentan los módulos que componen el centro.

i) Entrando en la fila 11 y columna 8 de la tabla de números aleatorios y con una dirección descendente (  ) , seleccione una muestra aleatoria de 4 módulos, señalándolos con un * ii) Suponiendo que la encuesta reveló para el primer módulo seleccionado en el inciso i) la existencia de 10 calculadoras, para el segundo módulo la existencia de 15 calculadoras, para el tercer módulo 20 calculadoras y para el cuarto módulo 3 calculadoras. Estime el número promedio de calculadoras por módulo y el número total de calculadoras en el centro. 9. Se desea investigar en un barrio la cantidad de niños en edad escolar con el fin de estudiar las necesidades educativas a nivel primario (se piensa construir una escuela). Con tal fin se dispone del siguiente mapa del barrio. Parque Iglesia Predio vacío

70

i) Seleccione una muestra aleatoria sistemática de 4 manzanas. Luego ubíquelas poniéndoles un * ii) Suponiendo que la encuesta reveló para la primera manzana seleccionada en el inciso i) la existencia de 18 niños, para la segunda manzana la existencia de 21 niños, para la tercera manzana la existencia de 27 niños y para la cuarta manzana la existencia de 10 niños. Estime el número promedio de niños por manzana y el total de niños en el barrio.

10. Un auditor quiere investigar el total de páginas que tienen los documentos de una empresa. En su poder hay 280 documentos numerados del 001 al 280. i) Entrando en la fila 1 y columna 4 de la tabla de números aleatorios, seleccione una muestra de 20 documentos, escribiendo el número de documento de cada uno. ii) Suponiendo que los 20 documentos muestreados del inciso i) resultaron con un promedio de13.4 páginas Estime el número total de páginas en todos los documentos. 11. Suponga que los salarios mensuales de los trabajadores a destajo de una empresa tienen una distribución normal y que además se sabe que la desviación estándar de los salarios es de C$ 100. El jefe del departamento de personal selecciona al azar los expedientes de 16 trabajadores y encuentra que el salario mensual promedio es de C$ 2500 i) Suponiendo que el número de trabajadores a destajo es muy grande, estime el salario mensual promedio de los trabajadores de la empresa utilizando un intervalo de confianza del 80%. ii) Identifique el valor del error muestral promedio en la estimación del salario mensual promedio de los trabajadores de la empresa del inciso i) iii) Suponiendo que la empresa tiene 150 trabajadores a destajo, estime el salario mensual promedio de los trabajadores de la empresa utilizando un intervalo de confianza del 90%. 12. Se desea estimar la venta promedio por cliente, en córdobas, de una tienda. Sobre la base de datos de otras tiendas similares, se sabe que la desviación estándar de ese tipo de ventas es de aproximadamente C$ 3200. ¿Qué tamaño de muestra se debe utilizar, como mínimo, si desea estimar la venta promedio con un margen de error de C$ 1000 y una confianza del 99%?

71

13. Para una cadena de 250 tiendas suponga que se conoce por experiencias anteriores que la desviación estándar de las ventas anuales por tienda para un producto determinado es de C$ 200,000. Si una muestra aleatoria de 40 tiendas del año pasado nos informa que hubo una venta promedio de C$ 3,425,000. 1) Determine un intervalo de confianza del 98% para: i) ii)

la venta promedio por tienda durante el año pasado. la venta total de todas las tiendas durante el año pasado.

2) Si quiero estimar la venta promedio de las tiendas con un error de más o menos C$ 30,000 y con una confianza del 95%, ¿ qué tamaño de muestra se requiere?

14. Se quiere estimar el consumo mensual promedio en córdobas de energía eléctrica por casa en el mes de Diciembre. Con base en estudios efectuados en otras ciudades, se supone que la desviación estándar de los consumos es de C$ 20. La estimación del consumo mensual promedio se quiere hacer con una aproximación de  C$ 3 del promedio real y con un 99% de confianza. i)

Si la ciudad se considera muy grande, ¿qué tamaño de muestra se necesita?

ii) Si la ciudad tuviera un total de 3000 casas, ¿qué tamaño de muestra se necesita? 15. Una empresa comercializadora de granos básicos está estudiando la posibilidad de comprar 1000 sacos de frijol. Con el fin de determinar el peso promedio de materias extrañas por saco y el peso total de materias extrañas tomó una muestra aleatoria de 40 sacos obteniendo un promedio de 2.4 lbs y una desviación estándar de 0.62 lbs de materias extrañas. a) Obtenga un intervalo de confianza del 95% para el peso promedio de materias extrañas por saco. b) Obtenga un intervalo de confianza del 90% para el peso total de materias extrañas en los 1000 sacos. c) Si se quiere estimar el peso promedio de las materias extrañas por saco con una confiabilidad del 98% de que el error máximo permitido sea de  0.10 lbs, ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra? 16. Una muestra aleatoria de 100 medidores de agua es controlada dentro de una comunidad para estimar el consumo mensual promedio de agua por casa durante un período estacional seco. La media muestral fue de 30.5 m3 y la desviación estándar muestral de 5m3. Si suponemos que hay 10,000 casas dentro de la comunidad.

72

i) Obtenga un intervalo de confianza del 98% para el consumo mensual promedio de agua por casa. ii) Estime el total de m3 de agua usado mensualmente durante el período seco, luego determine con un 95% de confianza el error máximo permitido en esta estimación. 17. Como supervisor del proceso de empacado de café en sobres, suponga que se toma una muestra aleatoria de 12 sobres de la planta empacadora, de la cual resulta un peso neto promedio por sobre de 15.97 gramos y una desviación estándar del peso neto por sobre de 0.15 gramos. Suponiendo que el peso neto del café por sobre tiene distribución normal: i) Estime el peso neto promedio por sobre de café utilizando un intervalo de confianza del 95%. ii) Identifique el valor del error máximo permitido con una confianza del 95% en la estimación del peso neto promedio por sobre de café del inciso i) ii) ¿Qué tamaño de muestra debo utilizar para tener una confianza del 95% de que el error máximo tolerado sea de 0.04 gramos?

18. Para una muestra de 50 empresa tomadas de una industria determinada, se encuentra que el número promedio de trabajadores por empresa es de 420.4, con una desviación estándar de 55.7. Suponiendo que existe un total de 380 empresas en esa rama industrial. i) Determine un intervalo de confianza del 90% para estimar el número total de trabajadores empleados en esa industria. ii) Identifique el valor del error muestral promedio en la estimación del número total de trabajadores del inciso i) 19. Los ingresos del impuesto sobre ventas en una comunidad particular se recogen cada trimestre. Los siguientes datos representan los ingresos (en miles de córdobas), cobrados durante el primer trimestre en una muestra de 9 establecimientos de menudeo en la comunidad. 16, 18, 11, 17 13, 10,

22, 15, 16

Suponiendo que los ingresos trimestrales del impuesto sobre ventas se distribuyen aproximadamente normal. a) Establezca un intervalo de confianza del 98% para el ingreso trimestral promedio del impuesto sobre ventas de los establecimientos de menudeo. b) Si hay un total de 300 establecimientos de menudeo en esta comunidad, establezca un intervalo de confianza del 95% de los ingresos totales por impuestos sobre ventas que se lograrán este trimestre. c) Si quiero estimar el ingreso trimestral promedio del impuesto sobre ventas de los establecimientos con una confianza del 95% de que el error máximo sea de C$ 1000. ¿ qué tamaño de muestra se requiere ?

73

20. Consideremos que cierta región del país cuenta con 500 establecimientos comerciales. Con el fin de estimar el número promedio de empleados por establecimiento y el número total de empleados, se seleccionó una muestra aleatoria simple de 20 establecimientos con los siguientes números de empleados. 5 9

8 4

8 6

5 2

7 3

3 4

7 3

8 5

2 4

5 6

Suponiendo que el número de empleados por establecimiento se distribuye normalmente. i) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para el número promedio de empleados por establecimiento. ii) Encuentre un intervalo de confianza del 98% para el número total de empleados. iii) Si quisiera estimar el número promedio de empleados por establecimiento con una confiabilidad del 95% de que el error máximo permitido sea de 1 empleado, ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra? 21. Un auditor detecta que cierta empresa regularmente exagera las cantidades de dinero en dólares de los inventarios, a causa de los retrasos en el registro de los retiros. El auditor quiere estimar la cantidad total exagerada sobre 800 artículos listados, obteniendo las cantidades exactas (revisadas) del inventario mediante una muestra aleatoria de 6 artículos, y comparando estas cifras exactas con las cantidades registradas. Los datos en dólares para los artículos seleccionados se muestran en la siguiente tabla. Cantidad Cantidad No. Artículo revisada registrada 1 2 3 4 5 6

175 295 68 74 128 241

210 305 91 82 140 250

Suponiendo para las cantidades exageradas una distribución aproximadamente normal i) Estime la cantidad total exagerada sobre los 800 artículos. ii) Con una confianza del 95% establezca el error máximo permitido en la estimación del inciso i iii) Si quiero estimar la cantidad promedio exagerada por artículo con una confianza del 99% de que el error máximo sea de 10 dólares, ¿Qué tamaño de muestra se requiere ? 22. Un auditor muestrea aleatoriamente 12 cuentas por cobrar de las 500 cuentas de una empresa. El auditor lista el monto de cada cuenta y verifica si los documentos respectivos cumplen con los procedimientos establecidos. Los datos son como sigue (cantidad en dólares, S = si , N = no ): No. cuenta

Monto

Verificación

74

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

278 192 310 94 86 335 310 290 221 168 200 300

N S S N S S N S S S N N

Suponiendo que los montos de las cuentas tienen una distribución aproximadamente normal. 1) Obtenga un intervalo de confianza del 95% para el monto total de las 500 cuentas de la empresa. 2) Obtenga un intervalo de confianza del 95% para la proporción de cuentas de la empresa que no cumplen con los procedimientos establecidos. 23. Un auditor de una compañía mayorista de productos metálicos quiere estimar la proporción de facturas para los clientes con errores en los precios. Una muestra aleatoria de 300 facturas de las operaciones del mes anterior, indicó que 45 contenían errores en los precios. i) Establezca un intervalo de confianza del 95% para las proporción real de facturas con errores en los precios. ii) Si en el mes anterior se expidieron 5000 facturas, establezcas un intervalo de confianza del 95% para el total real de facturas con errores en los precios. iii) Si el auditor desea un 95% de confianza de estar en lo correcto con aproximación de  2.5% del porcentaje real de facturas con errores en los precios y si se supone según experiencia previa que el porcentaje de facturas con errores es 10% ¿Qué tamaño de muestra necesita? 24. Un auditor de una dependencia gubernamental de protección al consumidor quiere determinar la proporción de reclamaciones sobre pólizas de enfermedades que paga la compañía de seguros en un plazo de dos meses de haber recibido la reclamación. Se selecciona una muestra de 200 reclamaciones y se determina que 80 fueron pagadas en un plazo de dos meses después de recibirlas. Establezca un intervalo de confianza del 99% para la proporción real de reclamaciones pagadas en ese plazo de dos meses. 25. El gerente de una sucursal bancaria en una ciudad pequeña quiere determinar la proporción de sus cuentahabientes a los cuales se les paga el interés por trimestre. Se selecciona una muestra aleatoria de 100 cuentahabientes, en la cual 30 indican que se les paga por trimestre. i) Establezca un intervalo de confianza del 90% para la proporción real de cuentahabientes a quienes se les paga por trimestre.

75

ii) Con un 96% de confianza calcule el error máximo permitido en la estimación de la proporción real de cuentahabiente del inciso i) ii) Si el banco tiene 1000 cuentahabientes, establezca un intervalo de confianza del 90% para el total real de cuentahabientes a quienes se les paga por trimestre. iii) Si el gerente quiere tener 90% de confianza de que está en lo correcto con aproximación de  0.05 de la proporción de sus cuentahabientes a quienes se les paga por trimestre, ¿qué tamaño de muestra necesita? 26. Una compañía de televisión por cable (Cablevisión) quiere estimar la proporción de sus suscriptores que compararían su revista con la programación. La compañía quiere tener 95% de confianza de que su estimación está correcta con aproximación de  0.05 de la proporción real. La experiencia previa en otras áreas indica que el 30% de los suscriptores compararon la revista. ¿Qué tamaño de muestra se necesita?

27. Una corporación desea estimar el número total de horas-hombre perdidas debido a accidentes de los empleados en un mes determinado. Ya que los obreros, los técnicos y los istrativos tienen diferentes tasas de accidentes, el investigador decide usar muestreo aleatorio estratificado con cada grupo formando un estrato. Datos de años previos sugieren las varianzas, mostradas en la tabla anexa, para el número de horas-hombre perdidas por empleado en los 3 grupos, y de datos actuales se obtienen los tamaños de los estratos. Si2 Estrato Ni Obreros

132

36

Técnicos

92

25

istrativos

27

9

1) Determine la asignación de Neyman para una muestra de 30 empleados. 2) Estime el número total de horas-hombre perdidas durante el mes indicado y establezca el máximo error muestral para esa estimación. Use los datos de la tabla siguiente, obtenida de una muestra de 18 obreros, 10 técnicos y 2 istrativos. Estrato

ni

Número de horas-hombres perdidas

Obreros

18

8, 24, 0, 0, 16, 32, 6, 0, 16, 7, 4, 4, 9, 5, 8,18, 2, 0

Técnicos

10

4, 5, 0, 24, 8, 12, 3, 2, 1, 8

istrativos

2 30

1, 8

76

28. Una empresa desea estimar con la máxima precisión posible el monto promedio y total de sus cuentas por cobrar, mediante una muestra aleatoria de 50 cuentas. Suponga por previa disposición que las cuentas se van arreglando así: en el archivo 1 se guardan las cuentas que tienen un monto inferior a 1000 dólares, en el archivo 2 las cuentas que tienen un monto entre 1000 y 2000 dólares, en el archivo 3 se guardan las cuentas que tienen un monto superior a los 2000 dólares. El número de cuentas guardadas en los archivos 1, 2 y 3 es respectivamente 250, 150 y 50. 1) Considerando por conveniencia istrativa que cada archivo es un estrato y que el costo del muestreo es el mismo para los 3 archivos y que las desviaciones estándar de los montos de las cuentas son iguales a 50 dólares para cada uno de los archivos, ¿cómo asignaría las 50 cuentas de la muestra a los 3 archivos? 2) Suponiendo que para las submuestras de los archivos 1, 2 y 3 del inciso 1) se obtuvieron montos promedios de 800, 1400 y 2600 dólares, establezca un intervalo de confianza del 95% para: i) el monto promedio de las cuentas ii) el monto total de las cuentas

29. Una región que comprende 800 granjas ganaderas se ha dividido en 5 estratos de acuerdo con el área de cada una. ESTRATOS No. granjas 1 2 3 4 5

300 200 160 100 40 800

1) Suponga que se planea seleccionar una muestra aleatoria estratificada de 40 granjas. Como no tiene información previa respecto a las varianzas de los estratos, y como el costo del muestreo es el mismo en cada estrato, decide aplicar asignación proporcional. ¿Qué tamaño tendrían las submuestras de cada estrato? 2) Suponiendo que para las submuestras del inciso 1) se obtuvieron números promedios de cabezas por granja en miles de 4, 6, 10, 13 y 15 para las submuestras de los estratos 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente y varianzas en miles2 de 1.20, 1.00, 0.90, 1.50 y 0.80 para las submuestras de los estratos 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente. i) Estime el número promedio de cabezas por granja en la región. ii) Estime el total de cabezas en la región. iii) Calcule el error muestral promedio para cada una de las estimaciónes de los incisos i) y ii) iv) Establezca un intervalo de confianza del 95% para el total de cabezas en la región. 30. Un distribuidor de comestibles al mayoreo en una gran ciudad desea saber si la demanda es lo bastante grande como para justificar la inclusión de un nuevo producto a sus existencias. Para tomar la decisión, planea añadir este producto a una muestra de los almacenes a los que abastece para

77

estimar el promedio de las ventas mensuales. Él únicamente suministra a 4 grandes cadenas en la ciudad. Así que, por conveniencia istrativa, decide usar muestreo aleatorio estratificado con cada cadena como un estrato. Hay 24 almacenes en el estrato 1, 36 en el estrato 2, 30 en el estrato 3 y 30 en el estrato 4. El distribuidor tiene suficiente tiempo y dinero para obtener datos sobre ventas mensuales en 20 almacenes. 1) Dado que no tiene información previa respecto a las varianzas de los estratos, y como el costo del muestreo es el mismo en cada estrato, decide aplicar la asignación proporcional. ¿Qué tamaño tendrían las submuestras de cada estrato? Suponga que el nuevo producto es introducido en cada submuestra del inciso 1) obteniendo después de un mes ventas promedios en córdobas de 99, 100, 98 y 100 para las submuestras de los estratos 1, 2, 3 y 4 respectivamente y varianzas en córdobas2 de 78.67, 55.60, 39.50 y 112.50 para las submuestras de los estratos 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Obtenga un intervalo de confianza del 95% para la venta mensual promedio del nuevo producto. 2)

3) Identifique el valor del error máximo permitido en la estimación de la venta mensual promedio del nuevo producto del inciso 2) 31. Un investigador que desea estimar la venta anual promedio de 56 empresas ha decidido estratificar la población según sus ventas anuales de la siguiente manera Estrato 1 2 3

(en miles de C$) Venta 100 - 200 200 - 350 350 - 500

Nº empresas 25 18 13 56

Si2 16 9 4

Datos de años anteriores sugieren las varianzas, que muestra la tabla de arriba, para las ventas anuales en miles de C$ 1. Suponiendo que planea seleccionar una muestra aleatoria estratificada de 15 empresas, ¿qué tamaño tendrán las submuestras de cada estrato al aplicar una asignación de Neyman? 2. Suponiendo que para las submuestras del inciso 1. se obtuvieron ventas promedios en miles de C$ de 150, 300 y 400 para las submuestras de los estratos 1, 2 y 3 respectivamente. i) Establezca un intervalo de confianza del 95% para la venta anual promedio de las empresas ii) Estime la venta anual total de las empresas señalando el error máximo permitido en la estimación 32. Un servicio forestal estatal está realizando un estudio de la gente que utiliza las instalaciones de campamentos operados por el estado. El estado tiene 2 áreas para acampar, una localizada en las montañas y otra localizada a lo largo de la costa. Las dos áreas para acampar forman convenientemente 2 estratos, la localidad de la montaña como el estrato 1 tiene 120 sitios para acampar y la localidad de la costa como el estrato 2 tiene 80 sitios para acampar. Suponiendo que el servicio desea estimar el número promedio de personas por sitio dentro de los campamentos con un error máximo tolerado de 1 persona y que los costos de muestreo son los

78

mismos en cada estrato, encuentre el tamaño de muestra y los tamaños de submuestras por estrato necesarios considerando que: i) las varianzas de los estratos 1 y 2 son aproximadas por 4 y 9 respectivamente. ii) las varianzas de cada estrato son iguales con un valor común aproximado de 4.

33. Una corporación desea obtener información acerca de la efectividad de una máquina comercial. Se va a entrevistar por teléfono a un número de jefes de división, para pedirles que califiquen la maquinaria con base en una escala numérica. Las divisiones están localizadas en Norteamérica, Europa y Asia, motivo por el cual, usaremos muestreo estratificado. La tabla siguiente proporciona los costos en dólares por entrevista, varianzas aproximadas de las calificaciones y los tamaños de los estratos que se han establecido. Estrato

Ni

Si2

ci

Norteamérica

112

2.25

9

Europa

68

3.24

25

Asia

39

3.24

36

i) Si la corporación quiere estimar la calificación promedio con un error máximo permitido de 0.6325, determine el tamaño de muestra requerido, y según la asignación apropiada, los tamaños de submuestras por estrato. ii) Suponga que la corporación tiene únicamente 400 dólares para gastar en muestreo, determine el tamaño de muestra y los tamaños de submuestras por estrato necesarios para ese presupuesto. 34. Supongamos que una región tiene 20 municipios. Se quiere estimar el número promedio de cabezas de ganado por granja y el número total de cabezas en esa región. Se decide usar muestreo por conglomerado tomando cada municipio como un conglomerado. Con tal fin seleccionamos una muestra aleatoria simple de 4 municipios obteniendo los resultados que presenta la tabla siguiente. Municipio 1

No. granjas 3

No. de cabezas (en miles) 1, 3, 2

79

2 3 4

5 4 3

4, 3, 2, 5, 6 4, 3, 3, 2 3, 4, 2

Obtenga un intervalo de confianza del 95% para: i) el número promedio de cabezas por granja ii) el número total de cabezas en la región

35. El gerente de circulación de un periódico desea estimar el número promedio de ejemplares comprados por familia en determinada comunidad. Los costos de transporte de un hogar a otro son sustanciales. Es por eso que se listan los 4000 hogares de la comunidad en 400 conglomerados geográficos de 10 hogares cada uno, y se selecciona una muestra aleatoria simple de 4 conglomerados. Se realizan las entrevistas con los resultados que se muestran en la tabla anexa. Conglomerado 1 2 3 4

Número de periódicos 1 1 2 1

2 3 1 1

1 2 1 3

3 2 1 2

3 3 1 1

2 1 3 5

1 4 2 1

4 1 1 2

1 1 3 3

1 2 1 1

1) a) Obtenga un intervalo de confianza del 95% para el número promedio de periódicos comprados por hogar en la comunidad. b) Establezca el error máximo permitido para la estimación anterior. 2) ¿Cuántos conglomerados debe seleccionar en la muestra para estimar el número promedio de periódicos comprados por hogar con un error máximo permitido de 0.12 periódicos? 3) Estime el número total de periódicos comprados por todos los hogares de la comunidad. 36. Los comercios solicitan frecuentemente a los contadores la realización de inventarios. Ya que un inventario completo es costoso, a través del muestreo se pueden realizar inventarios cada cuatro meses. Supóngase que una empresa abastecedora de artículos de plomería desea un inventario para muchos artículos pequeños en existencia. La obtención de una muestra aleatoria de artículos es muy difícil. Sin embargo, los artículos se encuentran dispuestos en anaqueles, y la selección de una muestra aleatoria de anaqueles es relativamente fácil, considerando a cada anaquel como un conglomerado de artículos.

80

Una muestra de 10 anaqueles de un total de 48 dió los resultados que se muestran en la tabla siguiente. (en dólares) Conglomerado No. Artículos Cantidad registrada 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

42 27 38 63 72 12 24 14 32 41

83 62 45 112 96 58 75 58 67 80

Obtenga un intervalo de confianza del 95% para la cantidad total en dólares de los artículos en los 48 anaqueles. 37. El número de casas, el número de residentes y el número el número de cuartos dentro de las casas para una muestra aleatoria de 5 manzanas seleccionadas al azar, de una ciudad donde suponemos que el número de manzanas es 500, se presenta en la siguiente tabla Manzana 1 2 3 4 5

Nº casas 12 14 10 20 8

Nº residentes Nº cuartos 60 38 89 56 61 30 92 45 52 25

Considerando a cada manzana como un conglomerado de casas i) Estime el número promedio de residentes por casa y señale el error máximo permitido de esa estimación. ii) Estime el número promedio de cuartos por casa y señale el error máximo permitido de esa estimación. 38. Un fabricante de sierras quiere estimar el costo de reparación promedio mensual para las sierras que ha vendido a ciertas industrias. El fabricante no puede obtener un costo de reparación para cada sierra, pero puede obtener la cantidad total gastada en reparación y el número de sierras que tiene cada industria. Entonces decide usar muestreo por conglomerados con cada industria como un conglomerado. El fabricante selecciona una muestra aleatoria simple de 10 industrias de 96 industrias a las que da servicio. Los datos sobre costo total de reparaciones por industria del mes pasado y el número de sierras por industria se presentan en la tabla anexa. (en dólares) Industria No. sierras Costo total 1 2 3

3 7 11

50 110 230

81

4 5 6 7 8 9 10

9 2 12 14 3 5 9

140 60 280 240 45 60 230

1) Estime el costo promedio de reparación por sierra para el mes pasado estableciendo el error máximo permitido para esa estimación. 2) Estime la cantidad total gastada por las 96 industrias en la reparación de sierras el mes pasado estableciendo el error máximo permitido para esa estimación. 3) Si el fabricante quiere estimar el costo de reparación promedio por sierra para el mes siguiente, ¿Cuántos conglomerados (industrias) debe seleccionar en la muestra si quiere que el error máximo tolerado sea de 2 dólares?

TEMA 2: PRUEBA DE HIPOTESIS OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. 5.

Definir que es una hipótesis y una prueba de hipótesis. Describir el procedimiento de la prueba de hipótesis. Identificar si la prueba es unilateral o bilateral. Realizar pruebas de hipótesis respecto a una media poblacional. Realizar pruebas de hipótesis respecto a una proporción poblacional.

2.1. INTRODUCCION. Se conoce como prueba de hipótesis a una rama de la Estadística inferencial que podría verse como un procedimiento especial de toma de decisiones. LA PRUEBA DE HIPOTESIS COMO UN PROBLEMA DE DECISION. El problema de decisión a estudiar tendrá: i) 2 estados de la naturaleza mutuamente excluyentes y exhaustivos (Hipótesis). Cualquiera de las hipótesis será una negación de la otra. ii) 2 cursos de acción (Alternativas). EJEMPLO 2.1. Al juzgar a una persona por asesinato, se presume que el acusado es inocente, es decir no culpable, hasta que se demuestre lo contrario, según la justicia conservadora. La situación anterior implica que estamos en presencia de un problema de decisión a resolver que tiene 2 hipótesis que definiremos así:

82

Inocente Culpable y 2 alternativas que definiremos así Dejarlo libre Echarlo preso Hipótesis estadística. Le llamaremos hipótesis estadística a un supuesto que se hace acerca del valor de un parámetro de una población o acerca de valores de parámetros que corresponden a distintas poblaciones.

EJEMPLO 2.2 Supongamos que cierta región del país cuenta con 200 plantaciones donde se cultiva maíz sin hacer uso de ningún abono. Por muchos años el rendimiento promedio ha sido de 44 quintales por manzana. El MAG está tratando de convencer a los agricultores de la aplicación de cierto fertilizante, lo que significaría un mayor rendimiento promedio y por lo tanto un mejor beneficio económico. A manera de prueba los agricultores usaron el fertilizante en 36 plantaciones seleccionadas aleatoriamente, obteniéndose un rendimiento promedio de 47.30 quintales por manzana y una desviación estándar de 6.60 quintales por manzana. ¿Debemos aplicar el fertilizante a un nivel de significación del 5%? En este problema los elementos a estudiar son las plantaciones y la característica de interés X será el rendimiento de las plantaciones en quintales por manzana. Estaremos interesados en suposiciones que se hagan acerca de la media poblacional  que representará el rendimiento promedio de las plantaciones. Observemos que estamos ante un problema de decisión con 2 hipótesis que definimos así:  = 44   44 y 2 alternativas que definimos así: No aplicar el fertilizante. Aplicar el fertilizante. Ahora trataremos de desarrollar un procedimiento general de la prueba porque, en principio, todas las pruebas estadísticas son similares a las que vamos a estudiar en este tema.

83

PROCEDIMIENTO DE LA PRUEBA DE HIPOTESIS Una prueba de hipótesis será un procedimiento en el cual una de las hipótesis que llamaremos nula se probará contra otra hipótesis que llamaremos alterna, tomando como base la información proporcionada por una muestra aleatoria, la cual nos permitirá poder rechazar o no rechazar la hipótesis nula, con el fin de poder seleccionar la alternativa más adecuada. Debido al gran parecido que tiene este procedimiento en la manera de razonar con el empleado en un juicio, retomaremos el ejemplo 2.1 como una motivación al tema. 1.

Supongamos que la presunción de inocencia es la hipótesis nula y que la culpabilidad es la hipótesis alterna. Esto es probaremos las hipótesis: Inocente Culpable

2.

El juicio presenta 4 situaciones presentadas abajo Altenativas Dejarlo libre Echarlo preso

Estados de la naturaleza Inocente es V Culpable es V Correcta Error II Error I Correcta

donde pueden cometerse dos tipos de errores: Error I: Echarlo preso cuando en realidad es inocente. Error II: Dejarlo libre cuando en realidad es culpable. ¿Cuál de los dos tipos de error se considera más grave? Naturalmente el error tipo I, motivo por el cual se quiere que la probabilidad de caer en este error I sea mínima. Por tanto mantendremos la probabilidad de caer en este error I debajo de una frontera, sin preocuparnos por la probabilidad de caer en el error II. 3.

Antes de investigar al acusado las leyes tienen establecida la siguiente regla de decisión:

i) Si rechazamos la hipótesis nula de inocencia entonces estamos aceptando la hipótesis alterna de culpabilidad. ii) Si no podemos rechazar la hipótesis nula de inocencia, entonces “aceptamos” la hipótesis nula de inocencia. 4. Ahora la acusación trata de recoger y presentar suficiente evidencia (documentos, testigos oculares, huellas dactilares, retratos hablados, etc) para que sea valorada por el jurado.

84

5. Finalmente con la evidencia ya valorada se aplica la regla de decisión que nos permitirá seleccionar la alternativa más adecuada. i) Si el jurado valora que hay suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula de inocencia entonces estamos aceptando la hipótesis alterna de culpabilidad lo cual implica que debemos seleccionar la alternativa de echarlo preso. ii) Si el jurado valora que no hay suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula de inocencia entonces “aceptamos” la hipótesis nula de inocencia, pero débilmente porque talvez la acusación fue deficiente en la recolección de evidencias, lo cual implica seleccionar la alternativa de dejarlo libre o bien no tomar ninguna alternativa y reanudar el jucio en otra ocación.

2.2 PROCEDIMIENTO DE LA PRUEBA ACERCA DE . Para fines de estudio consideraremos la prueba de hipótesis dividida en los siguientes pasos: 1. FORMULACION DE LAS HIPOTESIS. Consiste en especificar las hipótesis e indentificar a una de ellas como la hipótesis nula y a la otra como las hipótesis alterna. Hipótesis nula. La hipótesis nula será generalmente la que afirma en los problemas ausencia de efecto alguno para determinadas acción o tratamiento y la denotaremos por Ho. 

Como esta hipótesis es la que siempre debe especificarse en una forma más exacta, el signo = siempre la acompañará.  Hipótesis alterna. A cualquier hipótesis que diga lo contrario de la hipótesis nula, esto es que hay presencia del efecto para la acción o tratamiento, la llamaremos hipótesis alterna y la denotaremos por H1. Como esta hipótesis es generalmente especificada con menos exactitud, los signos  ,  o  la acompañan. Para el ejemplo 2.1 en que se juzga a una persona por asesinato, podemos ver el juzgar como la acción y la culpabilidad como el efecto. Por tanto podemos escribir. H0 : Inocente o no es culpable H1 : Culpable

A0 : Dejarlo libre A1 : Echarlo preso

85

donde la hipótesis nula H0 está suponiendo ausencia de culpabilidad mientras que la hipótesis alterna H1 supone presencia de culpabilidad. Para el ejemplo 2.2 podemos ver la fertilización de las plantaciones como la acción y el aumento de rendimiento promedio con respecto a 44 como el efecto. Por tanto podemos escribir. H0 :  = 44 H1 :   44

A0 : No aplicar el fertilizante A1 : Aplicar el fertilizante

donde la hipótesis nula H0 está suponiendo que no hay aumento en el rendimiento promedio, mientras que la hipótesis alterna H1 supone que hay aumento en el rendimiento promedio. La aceptación de cada una de las hipótesis anteriores tendrá asociada una alternativa. A la aceptación de H0 le corresponderá la alternativa A0 y a la aceptación de H1 le corresponderá la alternativa A1

 Tipos de pruebas. De acuerdo a la forma en que pueden estructurarse las hipótesis tendremos: 1) Pruebas unilaterales. Son aquellas en las cuales la presencia del efecto en la hipótesis alterna se traduce como un interés por sólo las desviaciones hacia un lado con respecto a un valor supuesto  0 de  i) Pruebas de cola izquierda H0 :  = 0 (   0 ) H1 :   0

ii) Pruebas de cola derecha H0 :  = 0 (   0 ) H1 :   0

Note que la hipótesis nula puede también especificarse de una manera menos exacta como o   0.

  0

2) Pruebas bilaterales. Son aquellas en las cuales la presencia del efecto en la hipótesis alterna se traduce como un interés por las desviaciones tanto hacia la izquierda como hacia la derecha con respecto a un valor supuesto  0 de  H0 :  = 0 H1 :   0 Para el ejemplo 2.2 observe que la prueba es de cola derecha porque sólo nos interesan los aumentos en el rendimiento promedio con respecto a 44. 2. ELEGIR UN NIVEL DE SIGNIFICACION

86

En el procedimiento de la prueba pueden presentarse 4 situaciones indicadas por la siguiente tabla. Altenativas Seleccionar A0 Seleccionar A1

Estados de la naturaleza H0 es V H1 es V Correcta Error II Error I Correcta

donde puede observarse que se pueden cometer dos tipos de errores. Error I : Seleccionar A1 cuando H0 es V Error II : Seleccionar A0 cuando H1 es V A la probabilidad máxima de cometer el error I le llamaremos nivel de significación de la prueba y la denotaremos por . Esto es P ( error I )  

La probabilidad máxima de cometer un error II, la denotaremos por . Esto es P ( error II )    y  representan los riesgos máximos asociados con alternativas incorrectas. Los valores  y  son probabilidades condicionales que están estrechamente relacianadas. Cuando el tamaño de la muesta n es fijo,  y  varían inversamente, esto es, cuando nos alejamos de un peligro aumentamos el otro. La prueba se llevará acabo controlando  sin preocuparnos por . ¿Cómo se hará la elección de ? Generalmente el error I es más grave que el error II, razón por la cual le daremos a  un valor pequeño, usualmente se toma  = 0.01 ó  = 0.05 según el caso En casos en que las consecuencias de cometer un error I son muy graves debemos tomar  = 0.01 (ó un riesgo aún menor). Si las consecuencias de cometer el error I no son tan graves podemos tomar  = 0.05 ( ó un riesgo aún mayor). Para el ejemplo 2.2 Observemos que el procedimiento de la prueba presenta 4 situaciones indicadas abajo.

87

Altenativas

Hipótesis H0 :  = 44 es V H1 :   44 es V A0: No aplicar el fertilizante Correcta Error II A1: Aplicar el fertilizante Error I Correcta

donde podemos observar que: Error I : Aplicar el fertilizante cuando en realidad no aumenta el rendimiento promedio de maíz. Error II : No aplicar el fertilizante cuando en realidad aumenta el rendimiento promedio de maíz. Restringiremos el error I suponiendo que P ( error I )  0.05 Así que hemos elegido un nivel de significación  = 0.05

3. IDENTIFICAR EL ESTADISTICO DE PRUEBA Y ESTABLECER UNA REGLA DE DECISIÓN. Si observamos el ejemplo 2.2 notamos que hay una diferencia entre la media muestral X y el valor supuesto μ 0 , esto es, existe una diferencia que expresamos así X -  0 = 47.30 – 44 = 3.30 quintales por manzana. La hipótesis nula H0 como representa ausencia de efecto de una acción determinada mantendrá que la diferencia X -  0 no es significativa. La hipótesis alterna H1 como representa presencia de efecto de la acción mantendrá que la diferencia X -  0 es significativa. ¿ Cómo saber si esta diferencia X -  0 es significativa o no es significativa ? Como las hipótesis son suposiciones acerca de  , el estadístico de prueba que utilizaremos será la media muestral X pero estandarizada, esto es, la diferencia X -  0 expresada en unidades del error estándar de X , lo cual expresamos así X   X que puede ser igual al estadístico Z o t según la tabla que presentamos abajo. Tamaño de muestra n

DISTRIBUCION DE LA POBLACION Normal No Normal  conocido

 desconocido

 conocido

 desconocido

88

n  30

Z

t

n  30

Z

Z

Z

Z

Esto significa que el valor del estadístico de prueba Z o t se obtendrá de una muestra de tamaño n y representará en una prueba de hipótesis una diferencia que puede ser considerada significativamente distinta de cero o no significativamente distinta de cero. ¿ Pero cómo sabremos si esta diferencia Z o t es significativamente distinta de cero o no? Por el momento diremos simplemente si Z o t está suficientemente alejada de cero. Estableceremos un valor de referencia o valor crítico que dependerá del tipo de prueba y del nivel de significación 

 Prueba de cola derecha La diferencia Z es considerada significativamente distinta de cero si existe un valor crítico z  tal que Z  z donde z se determina de P( Z  z | Z = 0 ) =  utilizando la tabla Z y su propiedad de simetría, o bien la diferencia t es considerada significativamente distinta de cero si existe un valor crítico t tal que t  t donde t se determina de P( t  t | t = 0) =  utilzando la tabla t.

Esto quiere decir que Z o t está suficientemente “alejado” de cero si cae a la derecha de z  o t según se observa en la figura de abajo

 Z o t 0

z t NR

R

Figura 2.2 Como decir que Z es significativamente distinto de cero es equivalente a decir que rechazamos H0 La regla de decisión dirá: Rechazamos H0 a un nivel de significación  si Z  z

o

t  t

En caso contrario no rechazaremos H0 , es decir, "aceptamos" H0

89

 Prueba de cola izquierda La diferencia Z es considerada significativamente distinta de cero si existe un valor crítico -z tal que Z < - z donde -z se determina de P( Z < -z | Z = 0 ) =  utilizando la tabla Z, o bien la diferencia t es considerada significativamente distinta de cero si existe un valor crítico -t tal que t < -t donde -t se determina de P( t < -t | t = 0 ) =  utilizando la tabla t y su propiedad de simetría. Esto quiere decir que Z o t está suficientemente “alejado” de cero si cae a la izquierda de -z  o -t según se observa en la figura de abajo

 Z o t -z -t R

0 NR Figura 2.1

Por tanto la regla de decisión dirá: Rechazamos H0 a un nivel de significación  si Z  - z

t  - t

o

En caso contrario no rechazaremos H0 , es decir, "aceptamos" H0 Para cada nivel de significación  que nos fijemos en una prueba de una cola existirá un valor crítico que dividirá el rango de Z o t en dos regiones disjuntas, una región de no rechazo o “aceptación” y otra de rechazo.

 Prueba de dos colas La diferencia Z es considerada significativamente distinta de cero si existen dos valores críticos -z/2 y z/2 tales que Z  -z/2 o Z  z/2 donde -z/2 y z/2 se determinan partiendo de P( Z < -z/2 | Z = 0 ) =

 2

o

 P(Z  z/2 | Z = 0) = , utilizando la tabla Z y su propiedad de 2

simetría, o bien la diferencia t es considerada significativamente distinta de cero si existen dos valores críticos -t/2 y t /2 tales que t  -t/2 o t  t /2 donde -t/2 y t /2 se determinan de P(t  t /2 ) =  2

utilizando la tabla t y su propiedad de simetría.

Esto quiere decir que Z o t está suficientemente “alejado” de cero si cae a la izquierda de -z/2 o a la derecha de z/2 ( a la izquierda de -t/2 o a la derecha de t /2 ) según se observa en la figura de abajo

90



α 2

2

α 2

Z o t - z/2 - t/2 R

z/2

0

t/2

NR

R

Fig. 2.3 Por tanto la regla de decisión dirá: Rechazamos H0 a un nivel de significación  si Z  -z/2

o

Z  z/2

o bien

t  -t/2

o

t  t /2

En caso contrario no rechazaremos H0 , es decir, "aceptamos" H0

Para cada nivel de significación  que nos fijemos en una prueba de dos colas existirán 2 valores críticos que dividirán el rango de Z o t en tres regiones disjuntas, una región de no rechazo o “aceptación” y dos regiones de rechazo. Las reglas de decisión para probar H0 :  =  0 (    0 ,    0 ) contra H1 , pueden resumirse en la siguiente tabla.

Tipo de Prueba según H1 Cola derecha    0 Cola izquierda    0 Dos colas    0

Reglas de decisión Estadístico Z Estadístico t Rechazo H0 si Rechazo H0 si Z  z t  t Z  - z t  - t Z  - z/2 o Z 

z/2 t  - t/2 o t 

t/2

En caso contrario diremos que no podemos rechazamos H0 ,es decir, “aceptamos” H0. Cuando a partir de la información muestral H0 sea rechazada con un nivel de significación  = 0.05, diremos que el resultado de la prueba fue significativo, esto es, que si hicieramos un muestro

91

repetido podríamos esperar que sólo en 5 ocaciones de 100 cometeriamos el error I, en otras palabras se tendría un 95% de confianza de que se tomó la alternativa adecuada. Cuando H0 sea rechazada a un nivel  = 0.01 diremos que el resultado fue altamente significativo.

Para ejemplo 2.2 Para una población no normal con  desconocido y n  30 le corresponde una casilla con Z en la tabla, por tanto el estadístico de prueba será: Z =

X  

ˆ X

Como la prueba es de cola derecha y el nivel de significación es  = 0.05 El valor crítico z se determina de P( Z  z | Z = 0 ) =  = 0.05, pero como la tabla de la distribución de Z sólo proporciona valores de z que tiene a su izquierda el área acumulada que señala dicha tabla, determinemos el valor z de P( Z < z | Z = 0 ) = 1 -  = 0.95 así Los valores más cercanos a 0.95 son 0.9495 y 0.9505. Tomaremos 0.9505 al cual le corresponde z = 1.65 Es decir que Z es significativamente distinto de cero si cae a la derecha de 1.65 según se observa en la figura de abajo

92

0.05 Z 0

1.65 NR

R

Fig. 2.4 Por tanto la regla de decisión dirá: Rechazo H0 :  = 44 a un nivel de significación  = 0.05 si Z  z = 1.65 En caso contrario no rechazo H0 :  = 44 . “Acepto” H0 :  = 44.

4. TOMAR UNA MUESTRA ALEATORIA Y DETERMINAR EL VALOR DEL ESTADISTICO DE PRUEBA. Es importante destacar que la muestra se selecciona después de haber establecido la regla de decisión. Con la información muestral vamos a valorar el estadístico de prueba X  

X

que puede ser igual a Z o t

Para el ejemplo 2.2. De una muestra aleatoria de tamaño n = 36 plantaciones se obtuvo un rendimiento promedio y una desviación estándar dados por X = 47.30 qq/mz S = 6.60 qq/mz Como la población es finita de tamaño N = 200 plantaciones. El valor del estadístico de prueba es Z =

X  

ˆ X

donde ˆ X =

S n

N - n = N -1

6.60 36

200 - 36 = 0.9986 199

93

Así que Z = 5.

47.30 - 44 3.30 = = 3.3046 0.9986 0.9986

SELECCIONAR UNA ALTERNATIVA.

Ahora estamos listos para aplicar la regla de decisión que nos permitirá seleccionar la alternativa más adecuada. Si el valor del estadístico de prueba Z o t cae en la región de rechazo entonces diremos que rechazamos H0 a un nivel , esto es, que aceptamos H1 Luego debemos seleccionar la alternativa correspondiente a la aceptación de H1 que es A1 con un nivel de confianza del ( 1 -  ) 100%. 

Si el valor del estadístico de prueba Z o t cae en la región de no rechazo o “aceptación” entonces diremos que no hay suficiente evidencia para rechazar H0, esto es, “ aceptamos “ H0 , pero débilmente. Luego podemos seleccionar la alternativa correspondiente a la aceptación de H0 que es A0 

Para el ejemplo 2.2 Como Z = 3.3046, cae en la región de rechazo Rechazamos H0 :  = 44 a un nivel  = 0.05 ,esto es, aceptamos H1 :   44. Luego debemos seleccionar la alternativa A1 de aplicar el fertilizante con un nivel de confianza de 95%. EJEMPLO 2.3 Suponga que se tiene un proceso de producción de llenado de cajas de cereal del cual se supone que el peso neto de cereal en las cajas tiene una distribución normal, y que además, proporciona un peso neto promedio de cereal en las cajas de 2 libras. Puesto que este proceso esta sujeto a inspecciones periódicas por representantes de la Oficina local de protección a los consumidores, quienes únicamente les interesa la “falta de peso” en los productos, se tomó una muestra aleatoria de 6 cajas obteniendo los siguientes pesos netos en libras. 1.85 ,

2.10 ,

1.95 ,

1.83 ,

2.18 ,

1.97

¿Existe evidencia suficiente para decir que el proceso no está funcionando correctamente a un nivel de significación del 1%? 1. FORMULACION DE LAS HIPOTESIS En este problema los elementos a estudiar son las cajas de cereal y la característica de interés X será el peso neto de cereal en las cajas. Estaremos interesados en suposiciones que se hagan acerca de la media poblacional  que representará el peso neto promedio de las cajas. Podemos ver el proceso de producción de llenado de las cajas como la acción y la disminución de peso neto promedio de los productos con respecto a las 2 lbs como el efecto.

94

Por tanto podemos escribir. H0 :  = 2

El proceso está funcionando correctamente

H1 :   2

El proceso no está funcionando correctamente

donde H0 :  = 2 está suponiendo que no hay disminución del peso neto promedio con respecto a las 2 lbs mientras que la hipótesis alterna H1 :   2 supone que hay disminución del peso neto promedio con respecto a las 2 lbs. Observe que la prueba es de cola izquierda porque sólo nos interesan las disminuciones en el peso neto promedio con respecto a 2. 2.

ELEGIR UN NIVEL DE SIGNIFICACION.

La prueba presenta 4 situaciones indicadas abajo. Altenativas

Hipótesis H0:  = 2 es V H1:   2 es V El proceso está funcionando correctamente. Correcto Error II El proceso no está funcionando correctamente. Error I Correcto

donde el error I consiste en decir que el proceso no está funcionando correctamente cuando en realidad el proceso está llenando las cajas con un peso neto promedio de 2 lbs. Controlaremos el error I suponiendo que P ( error I )  0.01

Así que hemos elegido un nivel de significación  = 0.01

3. IDENTIFICAR EL ESTADISTICO DE PRUEBA Y ESTABLECER UNA REGLA DE DECISION. Para una población normal con  desconocida y n  30 le corresponde el estadístico de prueba t dado por t =

X  

ˆ X

Como la prueba es de cola izquierda y  = 0.01 El valor crítico -t  se determina de P( t < -t | t = 0 ) =  = 0.01, pero como la tabla de la distribución de t sólo proporciona valores de t que tiene a su derecha el área acumulada que señala arriba dicha tabla, apliquemos su propiedad de simetría para determinar el valor positivo t  de P( t > t  | t = 0 ) =  = 0.01 así Para  = 0.01 y n - 1 = 6 - 1 = 5 g.l. t  = 3.365 y su opuesto será - t  = - 3.365

95

Es decir que t es significativamente distinto de cero si cae a la izquierda de - 3.365 según se observa en la figura de abajo

0.01 - 3.365 R

0

t

NR Fig. 2.5

Por tanto la regla de decisión dirá: Rechazo H0 :  = 2 a un nivel de significación  = 0.01 si t  - t  = - 3.365 En caso contrario no rechazo H0 :  = 2, es decir “acepto” H0 :  = 2

4. TOMAR UNA MUESTRA ALEATORIA Y DETERMINAR EL VALOR DEL ESTADISTICO DE PRUEBA. El análisis de la información muestral proporcionada por n = 6 cajas se da a continuación. Xi

Xi 2

1.85 2.10

3.4225 4.4100

1.95 1.83

3.8025 3.3489

2.18

4.7524

1.97 11.88

3.8809 23.6172

96

X 

S2 

S2 

 Xi



n



Xi

2

-

11.88  1.98 lbs. 6

  Xi  2 n



n -1 0.0948 5

 0.01896

 11.88  2

23.6172 -

6 5



S 

0.01896  0.1377 lbs

Como la población se considera infinita el valor del estadístico de prueba es: t =

5.

X   X -  =  ˆX S/ n

=

1.98 - 2.00 0.1377 / 6

=

- 0.02 = - 0.3559 0.0562

SELECCIONAR UNA ALTERNATIVA.

Como t cae en la región de no rechazo diremos que no hay suficiente evidencia para rechazar H0 :  = 2 , es decir, “aceptamos” H0 :  = 2. Luego debemos seleccionar la alternativa que dice que el proceso de producción está funcionando correctamente.

EJEMPLO 2.4. Suponga que una empresa tiene una cantidad muy grande de cuentas por cobrar y que los saldos de esas cuentas tienen aproximadamente una distribución normal. En los libros de la empresa aparece registrado un saldo promedio para esas cuentas de C$ 25850. Un auditor con el fin de reducir la cantidad de revisión detallada que necesita utiliza muestreo estadístico para seleccionar una muestra de 100 cuentas, obteniendo un saldo promedio de C$ 27,550 y una desviación estándar de los saldos de C$ 1200. ¿Deberá el auditor concluir que el saldo es distinto a C$ 25850 y que, por lo tanto, debe hacer un asiento de ajuste al valor en libros a un nivel de significación del 2%? 1.

FORMULACION DE LAS HIPOTESIS

En este problema los elementos a estudiar son las cuentas y la característica de interés X será el saldo de las cuentas. Será de interés hacer suposiciones acerca de la media poblacional  que representará el saldo promedio de las cuentas.

97

Podemos ver la revisión de los saldos de las cuentas por cobrar como la acción y la diferencia del saldo promedio con respecto a C$ 25850 como el efecto. Por tanto podemos escribir las hipótesis así H0 :  = 25850

No hacer un asiento de ajuste al valor en libros

H1 :   25850

Hacer un asiento de ajuste al valor en libros.

donde H0 :  = 25850 está suponiendo que no hay diferencia en el saldo promedio con respecto a C$ 25850 mientras que la hipótesis alterna H1 :   25850 supone que hay diferencia en el saldo promedio con respecto a C$ 25850. Observe que la prueba es de dos colas porque nos interesan tanto las diferencias del saldo promedio hacia la izquierda de C$ 25850 como hacia la derecha de C$ 25850.

2.

ELEGIR UN NIVEL DE SIGNIFICACION.

La prueba presenta 4 situaciones indicadas abajo. Altenativas

Hipótesis H0:  = 25850 es V H1:   25850 es V No hacer asiento de ajuste Correcta Error II Hacer asiento de ajuste Error I Correcta

donde Error I se da cuando hacemos un asiento de ajuste en libros cuando en realidad el saldo promedio de las cuentas es igual a C$ 25850. Controlaremos el error I suponiendo que P ( error I )  0.02

De esta manera hemos elegido un nivel de significación  = 0.02

3. IDENTIFICAR EL ESTADISTICO DE PRUEBA Y ESTABLECER UNA REGLA DE DECISION.

98

Para una población normal con  desconocida y n  30 le corresponde el estadístico de prueba Z, como una aproximación de t , dado por Z =

X  

ˆ X

Como la prueba es de dos colas  quedará repartido en las dos colas así  = 0.02 

 = 0.01 

 Los valores críticos -z/2 y z/2 se determinan respectivamente de P( Z < -z/2 | Z = 0) = = 2

0.01 y

 P(Z  z/2 | Z = 0) = = 0.01, pero como la tabla de la distribución de Z sólo 2

proporciona valores de z que tienen a su izquierda el área acumulada que señala dicha tabla,

 podemos determinar primero el valor negativo -z/2 de P( Z < -z/2 | Z = 0) = = 0.01, o bien 2

podemos determinar primero el valor positivo. Una vez determinado el primero, el segundo será, según la propiedad de simetría, el opuesto. Determinemos primero el valor negativo - z α 2 encontrando el área más cercana a 0.01, que es 0.0099, a la cual le corresponde - z α 2 = - 2.33. El otro valor crítico será el opuesto del anterior, esto es, z α 2 = 2.33

Es decir que Z es significativamente distinto de cero si cae a la izquierda de -2.33 o a la derecha de 2.33 según se observa en la figura de abajo

0.01

0.01 Z - 2.33 R

0 NR Fig. 2.6

Por tanto la regla de decisión dirá:

2.33 R

99

Rechazo H0 :  = 25850 a un nivel  = 0.02 si Z  - z = - 2.33 o Z  z  = 2.33 En caso contrario no rechazo H0 :  = 25850. “Acepto” H0 :  = 25850. 4. TOMAR UNA MUESTRA ALEATORIA Y DETERMINAR EL VALOR DEL ESTADISTICO DE PRUEBA. De una muestra aleatoria de tamaño n = 100 cuentas se obtuvo la siguiente información. X = C$ 27550

S = C$ 1200 Como la población se considera muy grande el valor del estadístico de prueba es: Z =

5.

X   X -  =  ˆX S/ n

=

27550 - 25850 1700 = = 14.1667 1200/ 100 120

SELECCIONAR UNA ALTERNATIVA.

Como el valor de Z cae en la región de rechazo diremos que hay suficiente evidencia para rechazar H0 :  = 25850 a un nivel de significación  = 0.02, lo cual implica que estamos aceptando H1 :   25850. Luego debemos hacer un asiento de ajuste al valor en libros.

2.3 PROCEDIMIENTO DE LA PUEBA ACERCA DE p Del tema anterior recordemos que cuando la característica de interés Y de los elementos poblacionales siguen una distribución de Bernoulli, se demuestra fácilmente que: μY  p

σY 

y

p (1 - p)

Motivo por el cual a la media poblacional de Y le llamamos proporción poblacional y la denotamos por p. Ahora como la proporción poblacional es una media poblacional, el procedimiento para probar hipótesis acerca de p será el mismo que se utilizó para . Como las hipótesis serán suposiciones acerca de p, el estadístico de prueba será naturalmente la proporción muestral pS pero estandarizada, esto es, la diferencia pS - p0 expresada en unidades del error estándar de pS pS - p 0 ˆ p S

,

p0 es el valor supuesto de p

100

donde ˆ p  S

o ˆ p  S

ˆ Y n

ˆ Y n

= N-n N -1

p0 (1 - p0 ) n

=

si la población es infinita

p0 (1 - p0 )

N-n

n

N -1

si la población es finita.

Esta expresión puede ser aproximadamente igual al estadístico Z si n es suficientemente grande, esto es, si np0  5 y n (1 – p0)  5 Esto significa que el valor del estadístico de prueba Z se obtendrá de una muestra de tamaño n y representará también una diferencia que puede ser significativa o no significativa. EJEMPLO 2.5. Suponga que se tiene un proceso de producción de llenado de envases plásticos de café. Con base en la experiencia acumulada se sabe que por lo menos el 4% de los envases no cumplen con los estándares de sellado y tienen que ser reprocesados. Después de haber desarrollado un nuevo sistema de envase el gerente de control de calidad decide tomar una muestra aleatoria de 400 envases la cual señala que es necesario reprocesar 10. ¿Tiene suficiente evidencia el gerente para concluir a un nivel de significación del 5% que el nuevo sistema es mejor que el anterior, esto es, que la proporción de envases defectuosos ha descendido?

1.

FORMULACION DE LAS HIPOTESIS.

En este problema los elementos a estudiar son los envases plásticos y la característica de interés Y es la seguridad que ofrece el envase en cuanto a si cumple o no cumple los estándares de sellado. Como estamos interesados en los envases defectuosos el éxito será que no cumplen. Por tanto estamos en presencia de una población de Bernoulli de la cual nos interesan las suposiciones acerca de la proporción p de envases que no cumplen los estándares de sellado. Podemos ver el proceso de producción de llenado de los envases plásticos como la acción y el descenso de la proporción de envases defectuosos con respecto a 0.04 como el efecto. Así que las hipótesis serán: H0 : p  0.04 H1 : p  0.04

El nuevo sistema no es mejor El nuevo sistema es mejor

donde H0 : p  0.04 está suponiendo que no hay descenso en la proporción de envases que no cumplen con respecto a 0.04 mientras que la hipótesis alterna H1 supone que hay descenso en la proporción de envases que no cumplen.

101

Observe que la prueba es de cola izquierda porque sólo nos interesan los descensos de la proporción de envases que no cumplen con respecto a 0.04. 2.

ELEGIR UN NIVEL DE SIGNIFICACION.

La prueba presenta las 4 situaciones indicadas abajo. Alternativas

Hipótesis H0: p  0.04 es V H1: p  0.04 es V Correcta Error II Error I Correcta

El nuevo sistema no es mejor El nuevo sistema es mejor

donde el error I consiste en decir que el nuevo sistema es mejor cuando en realidad no hay descenso en la proporción de envases que no cumplen. Controlaremos el error I suponiendo que P (error I)  0.05 De esta manera hemos elegido un nivel de significación  = 0.05 3.

IDENTIFICAR EL ESTADISTICO DE PRUEBA Y ESTABLECER UNA REGLA DE DECISION. Como la población tiene una distribución de Bernoulli, el estadístico de prueba es Z = Porque

pS - p 0 ˆ p S

np0 = 400 (0.04) = 16  5

y

n ( 1 – p0 ) = 400 (0.96) = 384  5

Como la prueba es de cola izquierda y  = 0.05 , el valor crítico -z  se determina de P( z < -z | Z = 0 ) =  = 0.05, como la tabla de la distribución de Z sólo proporciona valores de z que tiene a su izquierda el área acumulada que señala dicha tabla, determinemos el valor negativo -z  así El área más cercana a 0.05 es 0.0505 ó 0.0495 Tomemos 0.0505 a la cual le corresponde - z = - 1.64 Es decir que z es significativamente distinto de cero si cae a la izquierda de - 1.64 según se observa en la figura de abajo

0.05

102

- 1.64 R

0

Z

NR

Fig. 2.7 Por tanto la regla de decisión dirá lo siguiente: Rechazo H0 : p  0.04 a un nivel de significación  = 0.05 si Z  - z = - 1.64 En caso contrario no rechazo H0 : p  0.04 , esto es “acepto” H0 : p  0.04 4. TOMAR UNA MUESTRA ALEATORIA Y DETERMINAR EL VALOR DEL ESTADISTICO DE PRUEBA. De la muestra aleatoria de tamaño n = 400 envases se puede obtener la siguiente información pS =

X n

=

10 400

= 0.025

Como la población se considera infinita el valor del estadístico de prueba es

pS - p 0 Z = ˆ p S

pS - p0 =

p0 (1  p0 ) n

0.025 - 0.04 - 0.015 0.04 (0.96) = = = -1.5306 0.0098 400

5. SELECCIONAR UNA ALTERNATIVA Como el valor de Z cae en la región de no rechazo diremos que no hay suficiente evidencia para rechazar H0 : p  0.04 , es decir, “aceptamos” H0 : p  0.04. Luego el nuevo sistema no es mejor que el anterior. EJEMPLO 2.6. Una empresa tiene 1500 cuentas por cobrar. En los libros de la empresa aparece registrado que sólo el 2% de los documentos no satisfacen los requisitos establecidos. Un auditor selecciona una muestra aleatoria de 300 y verifica que 12 no satisfacen los requisitos establecidos. ¿Hay evidencia suficiente para que el auditor declare a un nivel de significación del 1% que más del 2% de las cuentas no satisfacen los requisitos establecidos por la institución? 1.

FORMULACION DE LA HIPOTESIS.

Ahora los elementos a estudiar son las cuentas por cobrar y la característica de interés Y es la verificación de las cuentas en cuanto a si satisfacen o no satisfacen los requisitos. Por lo tanto hay una población de Bernoulli de la cual nos interesan las suposiciones acerca de la proporción p de cuentas que no satisfacen los requisitos establecidos. Podemos ver la verificación de las cuentas como la acción y son más del 2% la proporción de cuentas que no satisfacen los requisitos como el efecto.

103

La hipótesis quedan formuladas así: H0 : p = 0.02 H1 : p  0.02

Declarar que el 2% de las cuentas no satisfacen los requisitos Declarar que más del 2% de las cuentas no satisfacen los requisitos

donde H0 : p = 0.02 está suponiendo que no son más del 2% la proporción de cuentas que no satisfacen los requisitos, mientras que la hipótesis alterna H1 : p  0.02 supone que son más del 2% la proporción de cuentas que no satisfacen los requisitos. Observemos que la prueba es de cola derecha porque sólo nos interesa si son más del 2% la proporción de cuentas que no satisfacen los requisitos. 2.

ELEGIR UN NIVEL DE SIGNIFICACION

La prueba presenta las 4 situaciones indicadas abajo. Alternativas

Hipótesis H0: p = 0.02 es V H1: p  0.02 es V El 2% de las cuentas no satisfacen. Correcta Error II Más del 2% de las cuentas no satisfacen. Error I Correcta donde Error I consiste en declarar que más del 2% de las cuentas no satisfacen los requisistos cuando en realidad sólo el 2% de las cuentas no satisfacen los requisitos. Controlaremos el error I suponiendo que P ( error I )  0.01

Así que hemos elegido un nivel de significación  = 0.01

3. IDENTIFICAR EL ESTADISTICO DE PRUEBA Y ESTABLECER UNA REGLA DE DECISION. Como la población tiene una distribución de Bernoulli el estadístico de prueba será: Z = Porque np0 = 300 (0.02) = 6  5

pS - p 0 ˆ p S y

n (1 – p0 ) = 300 (0.98) = 294  5

Como la prueba es de cola derecha y el nivel de significación es  = 0.01 El valor crítico z se determina de P( Z  z | Z = 0 ) =  = 0.01, pero como la tabla de la distribución de Z sólo proporciona valores de z que tiene a su izquierda el área acumulada que señala dicha tabla, determinemos el valor z de P( Z < z | Z = 0 ) = 1 -  = 0.99 así El área más cercana a 0.99 es 0.9901 a la cual le corresponde z = 2.33

104

Es decir que Z es significativamente distinto de cero si cae a la derecha de 2.33 según se observa en la figura de abajo

0.01 Z 0

2.33 NR

R

Fig. 2.8 Por tanto la regla de decisión dirá: Rechazo H0 : p = 0.02 a un nivel de significación  = 0.01 si Z  z = 2.33 En caso contrario no rechazo H0 : p = 0.02. “Acepto” H0 : p = 0.02

4. TOMAR UNA MUESTRA ALEATORIA Y DETERMINAR EL VALOR DEL ESTADISTICO DE PRUEBA. De la muestra de tamaño n = 300 cuentas se obtiene la siguiente información. pS =

X n

=

12 = 0.04 300

El valor del estadístico de prueba es pS - p 0 Z = ˆ p S

pS - p 0 =

p0 (1- p0 ) n

Porque la población es finita con

N - n N -1

n 300 = = 0.20  0.05 N 1500

105

Así que

Z =

5.

0.04 - 0.02 0.02 (0.98) 1200 300 1499

0.02

= (0.0081) (0.8947) = = 2.7597

SELECCIONAR UNA ALTERNATIVA

Como Z cae en la región de rechazo diremos que hay suficiente evidencia para rechazar H0 : p = 0.02 a un nivel de significación  = 0.01, lo cual implica que aceptamos H1 : p  0.02 Luego el auditor debe declarar que más del 2% de las cuentas no satisfacen los requisitos institucionales.

EJERCICIOS PROPUESTOS DEL TEMA 2: PRUEBA DE HIPOTESIS 1. Suponga, según registros históricos de la industria de la langosta en Nicaragua, que la captura de langosta por trampa tiene una distribución normal y que además la captura promedio de langostas ha sido de 30.31 libras. Hace unos años el gobierno de un país vecino declaró que se prohibía a los pescadores nicaragüenses operar en la parte de su plataforma continental, razón por la cual se cree la captura promedio de langosta en libras por trampa ha disminuido notablemente. Una muestra aleatoria de 10 trampas para langostas, desde que la restricción entró en vigor, proporcionó los siguientes resultados: 17.4, 18.9, 39.6, 34.4, 19.6, 33.7, 37.2, 27.5, 41.7, 24.1 ¿ Ha disminuido la captura promedio de langosta por trampa a un nivel de significación del 1% ? 2. El rendimiento promedio de maíz en las plantaciones hace un tiempo era de 50qq. por manzana con una desviación estándar de 4qq. Se utilizó un nuevo fertilizante a un grupo de 52 plantaciones seleccionadas al azar obteniendo un rendimiento promedio de 55qq. por manzana. Suponiendo que la desviación estándar de los rendimientos con el nuevo fertilizante sigue siendo la misma, ¿ Se

106

puede afirmar que ha habido un incremento significativo en el rendimiento? Use un nivel de significación del 5%. 3. Suponga que se tiene un proceso de produccion de llenado de cajas de pasas del cual se supone que el peso neto de las pasas en las cajas tiene una distribución aproximadamente normal, y que además, proporciona un peso neto promedio de pasas por caja de 15 onzas. Debido a que ha habido quejas de consumidores que dicen que las cajas contienen un peso neto menor que el anunciado por la etiqueta del producto, se tomó una muestra aleatoria de 20 cajas para aclarar el asunto obteniéndose un peso neto promedio de 13.5 onzas y una desviación estándar de 1 onza. ¿ Podemos decir a un nivel de significación del 1% que el reclamo de los consumidores es justo ? 4. Un vendedor de neumáticos está interesado en comprar unidades cuya duración promedio sea mayor de 15,000 millas. Una firma productora le informa que posee neumáticos que cumplen con ese requisito. El vendedor selecciona una muestra aleatoria de 25 unidades y determine que: X  25,000 millas

y

S2 = 625,000 millas2

Suponiendo que la duración de los neumáticos sigue una distribución normal. ¿Habrá acuerdo entre la firma productora y el vendedor a un nivel de significación del 10%? 5. Un fabricante vende ejes traseros de camiones. Los ejes han de soportar una capacidad promedio de resistencia de 80,000 lbs por plg2 en las pruebas de esfuerzo, pero los ejes demasiados fuertes elevan considerablemente los costos de producción. La experiencia indica que la desviación estándar de los ejes es de 4,000 lbs por plg2. El fabricante selecciona una muestra de 100 ejes en la última serie de producción, los somete a prueba y averigua que la capacidad promedio de resistencia de la muestra es de 79,000 lbs por plg2. ¿ Puede decir el fabricante que los ejes no cumplen los requisitos de esfuerzo a un nivel de significación del 5%? 6. Un laboratorio lanza al mercado un nuevo producto logrado a base de hormonas afirmando que al ser suministrado a las aves de corral el peso promedio de sus huevos será igual o mayor que 3 onzas. En una de nuestras granjas avícolas se aplicó el tratamiento masivamente y un día determinado se tomaron de forma aleatoria 80 huevos, y se comprobó que el peso promedio de los mismos era de 2.9 onzas, con una desviación estándar de 0.2 onzas. ¿Podría decir usted que la afirmación del laboratorio no es cierta a un nivel de significación del 5%? 7. La biblioteca de una universidad sospecha que el número promedio de libros prestados a cada alumno por visita ha cambiado en los últimos años. Anteriormente, un promedio de 3.4 litros se prestaba a los alumnos. Sin embargo, una muestra reciente de 23 estudiantes dio un promedio de 4.3 libros por visita, con una desviación estándar de 1.5 libros. Suponiendo que el número de libros prestados sigue una distribución normal ¿ Ha cambiado el promedio de libros prestados? En un nivel de significación de 0.01. 8. Una tienda ha iniciado una promoción especial para su horno de gas propano y piensa que la promoción deberá culminar en un cambio de precios. Sabe desde antes de comenzar la promoción que el precio de menudeo de los hornos sigue una distribución normal y que el precio promedio de menudeo de los hornos era de C$ 419.50, con una desviación estándar de C$53.60. La tienda

107

muestrea 16 de sus detallistas una vez iniciada su promoción y descubre que el precio promedio al menudeo de los hornos es de C$ 389.50. En un nivel de significación de 0.02. ¿ tiene motivos para pensar que el precio promedio al menudeo ha disminuido? 9 Un proceso industrial usado por una fábrica durante algunos años da una producción promedio de 100 unidades por hora con una desviación estándar de 8 unidades. Acaba de ponerse en el mercado una nueva máquina para producir el mismo producto. Aunque es muy costosa comparada con la que se usa actualmente, su adopción sería muy lucrativa , si su producción promedio fuera mayor de 150 unidades por hora. La gerencia de la fábrica compra una de las nuevas máquinas como un experimento y la prueba durante 35 horas encontrando una producción promedio de 160 unidades por hora. Suponiendo que la desviación estándar de la producción para la nueva máquina es idéntica a la de las antiguas, ¿ deberá ser adquirida la nueva máquina a un nivel de significación del 1% ? 10. Un nuevo sistema de enseñanza de cierto curso de Estadísticas asegura que proporciona un rendimiento promedio de 75 puntos. En una muestra aleatoria de 10 estudiantes se comprobó que sus calificaciones fueron: 70, 80, 75, 55, 65, 85, 90, 60, 75, 55. Suponiendo que la distribución de las calificaciones es normal, ¿Podemos decir que el nuevo sistema no alcanza el rendimiento promedio que asegura? Use un nivel de significación del 5%. 11. El gerente de una compañía financiera se queja de que el 7% de los pagos parciales de préstamos hechos a consumidores no se cubren a tiempo. ¿Podríamos afirmar que esta cifra es diferente, si 80 de 1500 pagos de préstamos no se hacen a tiempo? Utilice un nivel de significación del 1%?

12. Un corredor de bolsas sostiene que puede predecir con un 85% de exactitud si una acción del mercado bursátil cambiará de valor durante el próximo mes. A manera de prueba predice el resultado de 60 acciones y acierta en 45 de sus pronósticos. ¿Ofrecen los datos evidencia concluyente, cuando el nivel de significación es del 2%, de qué la exactitud de su predicción es significativamente diferente al 85% afirmado por el corredor?. 13. ENEL utiliza decenas de miles de luminarias cada año. La marca que ha utilizado hasta ahora tiene una vida promedio de 1,000 horas con una desviación estándar de 90 horas. Se le ofrece una nueva marca al director de ENEL a un precio mucho más bajo que el que ha estado pagando. El director decide que se debiera comprar la nueva marca ahora a menos que tengan una vida promedio menor de 1,000 horas en un nivel de significación de 0.05. Se prueba 100 luminarias de la nueva marca, que dan promedio de 990 horas. Suponiendo que la desviación estándar para la nueva marca es la misma que la vieja. ¿ Cuál sería la decisión del director de ENEL?. 14. Una empresa de camiones de carga sospecha que la duración promedio de 25,000 Kms que se le adjudica a ciertos neumáticos es demasiado larga. Para demostrar la afirmación la empresa coloca una muestra tomada al azar de 35 neumáticos en sus camiones y descubre después que su duración

108

promedio es de 24410 Kms y la desviación estándar es de 1348 Kms. ¿Se podría concluir a un nivel de significación de 0.01 que la duración promedio no es tan larga como se afirma? 15. Una persona que planea abrir un restaurante cerca de una zona residencial de cierta ciudad, informa al banco al que desea pedir el capital necesario, que por lo menos el 50% de los residentes en ese distrito patrocinarán su restaurante esporádicamente cuando este abierto. Suponga que Ud. Es el encargado de préstamos del banco y desea verificar si lo que dice la persona no es cierto con un nivel de significación del 5%. Además suponga que de una muestra aleatoria de 50 residentes de ese distrito solamente el 44% indicaron su intención de patrocinar el restaurante propuesto. a)

¿ No debo autorizarle el préstamo ?.

b) Suponga que la muestra ha sido de 200 en lugar de 50, y que la proporción muestral fuera aún de 0.44, ¿ Sería diferente su conclusion ? 16. Un fabricante de salsa de tomate está a punto de decidir si producir una marca nueva de mucho condimento. El departamento de investigación de la fabrica aplicó una encuesta telefónica a nivel nacional a 6,000 familias y averiguó que la salsa sería comprada por 335 de ellas. Un estudio mucho más exhaustivo hecho dos años antes reveló que el 5% de las familias comprarían la marca. En un nivel de significación de 1% ¿ Debería la compañía concluir que hay un mayor interés en el sabor tan condimentado? 17. La experiencia de un comerciante en aparatos y rios mostró que el 10% de clientes que compran a plazos liquidan sus cuentas antes del vencimiento de la última mensualidad. Al sospechar un incremento en este porcentaje, el comerciante muestreó 200 compradores a crédito para saber sus intenciones, 33 de ellos afirmaron tener planeado pagar sus deudas antes de la última mensualidad. ¿Son los datos suficientes para indicar que el porcentaje de compradores a plazos que pagarán sus deudas antes de la última mensualidad excede de 10% ?. Haga la prueba con un nivel de significacion de 0.02.

18. El departamento de personal de una empresa quiere estimar los gastos médicos promedios por familia de sus empleados, a fin de determinar un plan de seguro médico. Una muestra aleatoria de 10 empleados mostró los gastos médicos familiares siguientes en un año: $110 , 362 , 246 , 85 , 510 , 208 , 173 , 425 , 316 , 179 . Suponiendo que los gastos médicos por familia siguen una distribución normal A un nivel de significación de 0.10. ¿ Podría concluir el gerente de personal que los gastos médicos promedios por familia de todos los empleados es distinto a $200. 19. El departamento de servicio a cliente de una empresa local de servicios públicos telefónicos quiere estimar el tiempo promedio entre la llegada de la solicitud de servicio y la conexión del mismo. De los registros disponibles del año anterior se seleccionó una muestra aleatoria de 15 casos. Los resultados en días fueron los siguientes: 114 , 78 , 96 , 137 , 78 , 103 , 117 , 126 , 86 , 99 , 114 , 72 , 104 , 73 , 86 .

109

Suponiendo que la distribución de los tiempos entre la llegada de la solicitud y la conexión es normal. Aun nivel de significación de 0.01. ¿es posible que el tiempo promedio de espera en el año anterior haya sido mayor de 90 dias?. 20. Un fabricante de televisores anuncia que el 90% de sus aparatos no necesitan ninguna reparación durante los dos primeros años de uso. La oficina de protección al consumidor selecciona una muestra de 100 aparatos y encuentra que 14 necesitan alguna reparación durante los dos primeros años de uso. A un nivel de significación de 0.05. ¿a qué conclusión puede llegar la oficina de protección al consumidor? 21. El editor de una revista encontró basándose en su experiencia que el 60% de sus suscriptores renuevan sus suscripciones. Como la compañía se encaminaba a una recesión en sus negocios, decidió seleccionar una muestra de clientes para determinar si planeaban renovar sus suscripciones. 108 personas de una muestra de 200 indicadores que si pensaban renovarlas. ¿Proporcionan los datos suficiente evidencia para detectar una reducción en la proporción de los suscriptores que si renovarán? Realice la prueba usando un nivel de significación del 5%. 22. Aproximadamente uno de cada diez consumidores de una región determinada prefieren el refresco de cola marca A. Después de una campaña de promoción en esa región, se seleccionó aleatoriamente 200 consumidores de ese producto resultando que 26 expresaron su preferencia por el refresco de cola marca A. ¿ Hubo aumento en la preferencia del refresco de cola marca A en la región a un nivel de significación del 10% ? 23. Un fabricante de azúcar que la empaca en bolsas de plástico dice que cuando el proceso está bajo control cada bolsa debe contener 10 onzas como promedio. Periódicamente se toma una muestra de 9 bolsas para comprobar el proceso. Se acaba de tomar una muestra aleatoria de 9 bolsas y se encontró que el peso promedio es de 10.3 onzas con una desviación estándar de 0.45 onzas. Suponiendo que los pesos de las bolsas de azúcar siguen una distribución normal, ¿ podrá decirse que el proceso está fuera de control a un nivel de significación del 2%?

TEMA 3. ANALISIS DE REGRESION LINEAL SIMPLE OBJETIVOS 1. Conocer el establecimiento formal del modelo de regresión lineal normal con dos variables. 2. Estimar la función de regresión poblacional e interpretar sus coeficientes obtenidos. 3. Trazar la línea de regresión estimada sobre el diagrama de dispersión y conocer algunas propiedades de ella. 4. Hacer un análisis de varianza cuando se ajusta una línea de regresión a los datos determinando medidas de asociación entre las dos variables e interpretando sus valores 5. Probar si existe relación lineal significativa entre las dos variables. 6. Utilizar el modelo de regresión lineal simple en la estimación o predicción (puntual o por intervalo) de variables económicas. 3.1. INTRODUCCION

110

El propósito fundamental del análisis de regresión es estimar la relación que puede existir entre dos o más variables, con el fin de que la media de una variable pueda ser estimada o predicha a partir de valores conocidos o fijados de la otra u otras. La variable que va a ser estimada o predicha la denotaremos por Y y la llamaremos variable explicada, predicha o dependiente. Las otras variables generalmente se denotan por Xi y las llamaremos variables explicativas, predictoras o independientes. Algunas situaciones ilustrativas son las siguientes: 1. Un economista puede esta interesado en estudiar la relación entre las siguientes variables. Y : Consumo familiar mensual. X1 : Ingreso familiar mensual. X2 : No de hijos. 2. En contabilidad de costos, un contador o un de una empresa puede estar interesado en estudiar la relación entre las siguientes variables: Y : Costo de mano de obra directa de una orden de producción. X1 : No horas máquinas utilizadas. X2 : No artículos producidos. 3. En agricultura, un economista agrícola o un ingeniero agrónomo puede estar interesado en estudiar la relación entre las siguientes variables: Y : Rendimiento en qq/mz de una plantación de maíz. X1 : Cantidad de fertilizante utilizado en lbs/mz. X2 : Cantidad de insecticida utilizado. X3 : Cantidad de lluvia. En este tema sólo estudiaremos la relación entre 2 variables, motivo por el cual al análisis de regresión se le llama simple. 3.2 EL MODELO DE REGRESION LINEAL NORMAL CON DOS VARIABLES. Este modelo considera solamente la relación entre las variables X, Y, en cuya población de observaciones suponemos que: 1. Para cada valor que tome X hay una distribución normal de Y. 2. Las medias de las distribuciones de Y varían linealmente con X. Una representación gráfica de este modelo es la siguiente:

111

Yi  4300

Yi  3500

Fig. 3.1 A la línea que pasa por las medias de Y la llamaremos línea de regresión poblacional Por ejemplo, supongamos que las características de interés en las familias de una comunidad están dadas por las siguientes variables: X representa el ingreso mensual y Y representa el consumo mensual. Si xi representa el i-ésimo valor que toma X y Yi la i-ésima observación de Y, entonces podemos decir que para un nivel de ingreso xi = C$ 4000 hay una subpoblación en la cual podemos suponer que Yi tiene una distribución normal con un consumo promedio dado por μ Yi | x i  C$3800 Supongamos que para el nivel xi = C$ 4000 se selecciona al azar una familia y se registra la observación Yi = C$ 4300 Supongamos ahora que para el nivel x i = C$ 4000 se selecciona al azar una familia y se registra la observación Yi = C$ 3500 En la figura 3.1 pueden apreciarse estas observaciones y toda la población de observaciones con la línea de regresión poblacional pasando sobre las medias de Yi.

3.2.1 ESTABLECIMIENTO FORMAL DE MODELO. Supongamos que xi representa el i-ésimo valor que toma X y Yi la i-ésima observación de Y Para cada xi existe una subpoblación de observaciones de Y que pueden apreciarse en la figura 3.2 y que consideramos provienen de una variable aleatoria Yi que será vista como la suma de 2 componentes:

112

Fig. 3.2 i)

Un término constante explicado linealmente por X y que denotaremos por o + 1 xi

donde o y  1 son los parámetros de regresión que llamaremos respectivamente intercepto y pendiente de la línea de regresión. ii)

Un término aleatorio o error aleatorio, no explicado por X, que denotaremos por i y que se verá como una variable aleatoria sustituta de todas las demás variables omitidas en el modelo y que pueden estar relacionadas con Y. Esta componente  i es la que le imparte aleatoriedad a Yi Por lo tanto el modelo queda establecido con la expresión Yi = o +  1 xi +  i

y los siguientes supuestos:

Supuesto 1. X no es variable aleatoria. Este supuesto plantea que X toma valores xi fijados por el investigador y éstos se mantienen constantes en muestreos repetidos. Si X toma valores al azar, pero con una distribución de probabilidad independiente de los  i, entonces para cualquier fin práctico podemos continuar trabajando como si X fuera no aleatoria.

Supuesto 2. Los  i son variables aleatorias distribuidas normalmente. Este supuesto implica que también Yi es una variable aleatoria con distribución normal. Esto quiere decir que cada observación particular yi se considerará que proviene de una distribución normal de Yi.

113

Su presencia simplificará la teoría del análisis de regresión cuando estemos utilizando procedimientos de estimación y prueba más adelante. Supuesto 3. Los  i son variables aleatorias independientes Este supuesto plantea que para dos observaciones diferentes i y j los errores  i y  j , además de estar distribuidos normalmente, no están correlacionados. La anterior implica que  i y  j son independientes. Como consecuencia de este supuesto podemos decir que también las observaciones Yi y Yj son independientes, esto es, que cada observación es independiente de cualquier otra observación que se haya dado. Supuesto 4. La media de los  i es cero ( Neutralización de los  i ) μ i | x i  0

μ Yi | x i  β 0  β1x i



donde la expresión μ  | x se leerá, la media de i cuando que X toma el valor xi , y la expresión μ Yi | x i se leerá la media de Yi cuando que X toma el valor xi i

i

Sustituyendo o + 1 xi por μ Y | x en el modelo obtenemos Yi = μ Y | x +  i donde podemos observar que el error aleatorio puede expresarse así:  i = Yi - μ Yi | x i Además  i es positivo si Yi está encima de μ Y | x , y negativo si Yi está debajo de μ Y | x Por ejemplo, suponiendo que las familias de la comunidad con un nivel de ingreso de x i = C$4000 tienen siempre un consumo promedio dado por μ Yi | x i  C$3800 entonces los errores aleatorios para los consumos de las familias seleccionadas al azar anteriormente estarían determinadas así: i

i

i

i

i = Yi - μ Y

i

| xi

= 4300 – 3800 = C$500

i

i

y

i

i

i = Yi - μ Y | x = 3500 – 3800 = C$ -300 i

i

y pueden apreciarse en la figura 3.1 Este supuesto plantea que aquellas variables que no están incluidas en el modelo, incorporadas, por tanto, en  i , no afectan sistemáticamente la media de Yi. En otras palabras, los valores positivos de  i se cancelan con los valores negativos de tal manera que su efecto sobre la media de Yi es cero. En las figuras 3.1 y 3.2 puede apreciarse una población de observaciones y una línea de regresión poblacional neutralizando los errores aleatorios  i , esto es, pasando sobre las medias de Yi

Le llamaremos función de regresión poblacional de Y sobre X a la expresión. μ Y | X  β 0  β1 X

para cualquier valor X dentro del alcance del modelo.

114

Observe que las medias de Y están relacionados linealmente con los valores conocidos de X. Al gráfico de esta función le llamaremos línea de regresión poblacional. Los parámetros de regresión  o y  1 serán interpretados así:  1 es la pendiente de la línea de regresión. Representa el cambio en la media de Y por cambio unitario en X. El valor de  1 puede ser positivo o negativo. Si  1 es positiva diremos que hay una relación lineal positiva entre X , Y ; lo cual significa que si X aumenta, μ Y| X también aumenta. En las figuras 3.1 y 3.2 pueden apreciarse una relación lineal positiva. Si  1 es negativa diremos que hay una relación lineal negativa entre X , Y; lo cual significa que si X aumenta, μ Y| X disminuye. En la figura 3.3. puede apreciarse una relación lineal negativa.

Fig.3.3  o es el intercepto de la línea de regresión. Representa la media de Y en X = 0 Si el alcance del modelo no incluye X = 0,  o no tiene ningún significado a menos que el contexto del problema lo sugiera, esto es, cuando se considera que X = 0 no se aleja mucha del alcance del modelo. El valor de  o puede ser positivo o negativo. En las figuras 3.1, 3.2 y 3.3 se aprecia un  o positivo, mientras que en la figura 3.4 se aprecia un  o negativo. Supuesto 5.

Homoscedasticidad o igual varianza de los  i

σ2i | x i  σ 2



σ 2Yi | x i  σ 2

2 2 La expresión σ  i | x i se leerá, la varianza de i cuando que X toma el valor xi y la expresión σ Yi | x i se leerá la varianza de Yi cuando que X toma el valor xi

115 2 En este supuesto observe que σ 2 no tiene el subíndice i, lo cual significa que σ  i para cada xi es 2 una constante igual a σ 2 , lo cual implica que σ Yi para cada xi es también una constante igual a σ 2 . En otras palabras las distribución de probabilidad de Yi tienen siempre la misma varianza independientemente del valor que tome X. En las figuras 3.4 y 3.5 pueden apreciarse dos líneas punteadas trazadas a una distancia  de la línea de regresión poblacional y paralelas a esa misma línea de regresión, que nos señala que posiblemente la mayor parte de las observaciones quedan dentro de esos límites. La magnitud de  me indicará qué tanto se alejan o se acercan las observaciones Yi de las medias de Yi que están sobre la línea de regresión poblacional. Al comparar la figura 3.4 con la figura 3.5 pueden apreciarse distintos valores para . En qué figura las observaciones están más alejadas de su línea de regresión?

Fig 3.4

Fig. 3.5 Finalmente todos los supuestos anteriores pueden resumirse diciendo que los x i son valores constantes y que los Yi son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente con μ Yi | x i  β 0  β1 x i y σ 2Yi | x i  σ 2

3.3 ESTIMACION DE LA FUNCION DE REGRESION POBLACIONAl.

116

Como en la función de regresión poblacional μ Y | X  β 0  β1 X los parámetros de regresión  o y  1 no son conocidos necesitamos estimarlos a partir de una muestra. Antes de establecer cómo estimar los parámetros, digamos algo acerca del significado de una muestra aleatoria en el contexto presente. Denotemos el i-ésimo experimento por el par ordenado (xi , Yi) donde xi se considera una constante y Yi una variable aleatoria Por ejemplo, el primer experimento se considera que es la primera familia seleccionada al azar de la comunidad con el primer ingreso mensual fijado x 1 por el investigador y con el primer consumo mensual observado Y1, el segundo experimento se considera que es la segunda familia seleccionada al azar de la comunidad con el segundo ingreso mensual fijado x2 por el investigador y con el segundo consumo mensual observado Y2 ,y así sucesivamente. Si consideramos n experimentos entonces al conjunto de pares ordenados ( x 1 , Y1 ) , ( x2 , Y2 ) , . . . , ( xn , Yn ) le llamaremos muestra aleatoria de tamaño n , y la presentaremos así xi x1 x2 . . .

Yi Y1 Y2 . . .

xn

Yn

Cuando los pares ordenados (xi , Yi) de la muestra tomen sus propios valores los ubicaremos sobre un plano cartesiano para obtener una nube de puntos que llamaremos diagrama de dispersión.

Y

X

0

Fig. 3.6 La impresión visual de este diagrama nos va a sugerir si existe posiblemente una relación lineal entre X , Y

117

Para estimar los parámetros de regresión  o y denotaremos así

 1 necesitaremos estimadores insesgados que

bo será el estimador de  o b1 será el estimador de  1 Teniendo los estimadores b0 y b1 resulta natural definir la función de regresión muestral así ˆ  b 0  b1 X Y

ˆ ( lea Y sombrero ) es el valor de la función de regresión muestral para el nivel X. donde Y ˆ es un estimador puntual insesgado de μ Y | X , razón por la cual se identificará como una media Y estimada de Y para el nivel X.

Al gráfico de esta función le llamaremos línea de ajuste o línea de regresión estimada. Para un valor particular xi de X ˆ i  b 0  b1x i Y

será llamado valor ajustado de Y para el nivel xi Los estimados bo y b1 se llamarán y se interpretarán así: b1 es la pendiente estimada. Representa una estimación del cambio en el valor medio de Y por cambio unitario de X. bo es el intercepto estimado. Representa una estimación del valor medio de Y en X = 0.

118

3.3.1. METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS. Supongamos que a un valor particular xi de X le corresponde una observación Yi Denotaremos y definiremos el i-ésimo resíduo de una observación Yi como ˆi ei = Yi - Y ˆi Esto es la diferencia entre el valor observado Yi y el valor ajustado Y

Cuando conocemos el intercepto y la pendiente de una línea decimos que dicha línea está claramente especificada. La línea de regresión estimada quedará determinada cuando conozcamos las fórmulas que definen a los estimadores bo y b1. Un buen método para encontrar las fórmulas para bo y b1 es buscar una línea que mejor se ajuste a la nube de puntos, esto es, que pase por ella minimizando la suma de los cuadrados de la resíduos, según se muestra en la figura siguiente.

Y

Línea de regresión estimada

Yi

ei

b1

ˆi Y b0 b 0  b1 x i

xi

0

X

Fig. 3.7 Hagamos que Q 

n

e

2 i

.

n

entonces

Q    Yi - Yˆi   .

2

n

2   Y b b x  i 0 1 i en donde n es el tamaño de la muestra. .

Sabemos que Q es una función que depende de bo y b1 , esto es, Q = f ( bo , b1 )

119

Minimicemos Q aplicando el calculo diferencial así Q  bo

 2

Q  b1

 2

n

  Yi - b o - b1

x i  ( -1 )

.

n

  Yi - bo - b1 x i  ( - x i ) .

igualando a cero ambas ecuaciones y arreglando términos nos queda. n

1.

n

 Yi  n bo  b1  x i .

n

2.

 .

.

n

n

.

.

x i Yi  b o  x i  b1  x i 2

que son llamadas ecuaciones normales. Despejando bo y b1 de este sistema de ecuaciones se tiene n

n

b1 



n

x Y i

x i Yi -

.



 .



x -  2 i

n

n

.

n

i

.

x .

 i

y

2

n

b0 





Yi - b1

.

n

x

i

.

n



n

Una vez calculado los valores b0 y b1 procedemos a sustituirlos en la función de regresión muestral ˆ  b 0  b1 X Y

cuyo gráfico, según este método, podrá llamarse línea de ajuste o línea de los mínimos cuadrados. 3.3.2 PROPIEDADES PRINCIPALES DE LA LINEA DE AJUSTE 1.

La suma de los resíduos es cero. n

e

i

0 n

2.. Siempre pasa por el punto ( x, Y ) donde

x

 xi n

n

y

Y

i

Y

n

120

EJEMPLO 3.1. La gerente de una compañía desea estimar la relación entre los costos de materiales usados en un proceso químico (Y) y las horas de operación (X). Con esta información ella espera ser capaz de preparar un presupuesto más preciso y tener un mejor control sobre los costos. Datos sobre los costos en centenas de dólares para varias horas de operación del proceso son presentados abajo. Horas 50 20 30 50 40 30 30 10 40 20

i)

Costos 6.5 4.0 4.5 6.0 5.5 5.0 5.5 3.5 6.0 4.5

Construya un diagrama de dispersión. Y 7 Línea de ajuste

6 5 4 3 2 1 0 0

10

20

30

Fig. 3.8

40

50

X 60

121

ii)

Encuentre la función de regresión lineal muestral e interprete los coeficientes de regresión estimados. xi 50 20 30 50 40 30 30 10 40 20 320 n

n

b1 

x

i

Yi -



Yi 6.5 4.0 4.5 6.0 5.5 5.0 5.5 3.5 6.0 4.5 51.0

xi

.



Y

i



x -  2 i

Y i2 42.25 16.00 20.25 36.00 30.25 25.00 30.25 12.25 36.00 20.25 268.50

320 ( 51 ) 10 = = ( 320) 2 11800 10 1740 -

n 

xi Yi 325 80 135 300 220 150 165 35 240 90 1740

n .

.

n

xi2 2500 400 900 2500 1600 900 900 100 1600 400 11800

2



n

x

i

.

 

n

.

1740 - 1632 108   0.0692 11800 - 10240 1560 n

b0 



Yi - b1

.

 2.8856

n

x .

i

=

n

51 - 0.0692 ( 320 ) 10

=

51 - 22.1440 28.8560  10 10

ˆ = 2.8856 + 0.0692 X Y

b1 se interpreta así: Por cada hora adicional de operación el costo promedio de materiales usados en el proceso aumenta en 0.0692 (en centenas de $) iii)

Estime el costo promedio de materiales utilizados cuando el proceso opere 15 horas. ˆ = 2.8856 + 0.0692 (15) = 2.8856 + 1.038 = 3.9236 Y

iv)

(en centenas de $)

Trace sobre el diagrama de dispersión anterior la línea de ajuste

Determinaremos los pares ordenados de dos puntos cualesquiera: ˆ = 2.8856 + 0.0692 (45) = 2.8856 + 3.114 = 5.9996 (en centenas de $) Para X = 45 , Y Para

ˆ = 3.9236 X = 15 , Y

(en centenas de $)

122

En la figura 3.8 se han unido estos puntos con una recta. 3.4. ANALISIS DE VARIANZA DE Y Para cualquier nivel xi , la diferencia Yi - Y cuando no se ha ajustado ninguna línea de regresión se llama desviación total. Al ajustar la línea de regresión Yi - Y puede ser descompuestos en dos partes: Para la i-ésima observación de Y. Yi - Y =

( Yˆ i - Y )  ( Yi  Yˆ i )

Desviación total = Desviación explicada por X + Desviación no explicada por X. ˆ i con respecto Y La desviación explicada por X es la desviación del valor ajustado Y ˆ i , esto La desviación no explicada por X es la desviación de Yi con respecto al valor ajustado Y es, el i-ésimo resíduo ei.

La siguiente figura muestra la descomposición de Yi - Y

Fig. 3.9 Para las n observaciones de Y la suma de los cuadrados de estas desviaciones puede demostrarse que es n



Yi

- Y

2

n



  Yˆ i

=

SSR

- Y

2

+

SSE



n

Y

i

ˆi  - Y

que denotaremos así SST

donde

2

123



SST Será llamada suma de cuadrados total y representa una medida de variación de las observaciones Yi alrededor de Y . Esta medida tendrá asociada n – 1 grados de libertad. Un grado de libertad es perdido debido a la restricción

n

 ( Yi - Y)  0 que tienen sus .

desviaciones. 

SSE Será llamada suma de cuadrados debida al error y representa una medida de variación de Y no explicada por X alrededor de la línea de regresión estimada. Esta medida tendrá asociada n - 2 grados de libertad. Dos grados de libertad son perdidos debido a la estimación de los dos parámetros  o y  1.



SSR Será llamada suma de cuadrados debida a la regresión y representa una medida de variación de Y, explicada por X, y asociada con la línea de regresión estimada. Esta medida tendrá asociada 1 grado de libertad.

Las fórmulas computacionales para SST, SSR y SSE puede demostrarse que son las siguientes.

 n

SST 



SSE 

Y

n

n

 2 Yi

2 i

-







2



Yi  



n

n

- bo

Y

SSR = SST - SSE

i

n

- b 1  x i Yi

124

3.4.1 TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA DE Y Las sumas de cuadrados anteriores y sus grados de libertad correspondientes son presentados en lo que llamaremos una tabla de análisis de varianza o simplemente tabla ANOVA. Fuente de variación Regresión Error

SS SSR SSE SST

GL 1 n-2 n-1

MS MSR = SSR/1 MSE = SSE/n -2

Una suma de cuadrados dividida por sus correspondientes grados de libertad la llamaremos media cuadrática y la denotaremos por MS. Estaremos interesados en la media cuadrática de regresión denotada y definida así: MSR =

SSR 1

= SSR

y la media cuadrática del error denotada y definida así: MSE =

SSE n - 2

3.4.2 EL ESTIMADOR DE  Recordemos que  2 representa la varianza de Y alrededor de la línea de regresión poblacional y que  representa la desviación estándar de Y para cualquier nivel de X. Puede demostrarse que MSE es un estimador insesgado de  2. En otras palabras que la varianza estimada de Y alrededor de la línea de regresión podemos denotarla y obtenerla así: σˆ Y2  MSE y la desviación estándar estimada de Y por

σ ˆY 

MSE 

SSE n-2

ˆ Y es un estimador insesgado de  que proporciona medidas expresadas en las Observe que σ mismas unidades que los datos originales, logrando con esto una mejor apreciación de la variabilidad de Y entorno a la línea de regresión.

Una fórmula alternativa para calcular la desviación estándar estimada de Y es la siguiente:

n

σˆ Y



Y

2 i

n

n

- b o  Yi - b 1  x i Yi n-2

ˆ Y nos será de gran utilidad para hacer inferencias sobre  1. El estimador σ

EJEMPLO 3.2 Utilizando los resultados del ejemplo 3.1 i) construya la tabla de análisis de varianza

125

ii) obtenga un estimado de . i)

Sabemos que

n

x

i

n

n

Y

 320 ,

= 51 ,

i

n

Y

2 i

= 268.5

,

xY i

i

= 1740

ˆ = 2.8856 + 0.0692 X y que Y



Y 

n

SST 

Y

SSE 

Y

2 i

n

-

2



n



i



  

= 268.5 -

n

(51) 2 = 268.5 - 260.1 = 8.4 10

n

n

- b o  Yi - b 1  x i Yi = 268.5 - 2.8856 (51) - 0.0692 (1740)

2 i

= 268.5 - 147.1656 - 120.408 = 0.9264 SSR = SST - SSE = 8.4 - 0.9264 = 7.4736 Arreglando estas sumas de cuadrados con sus correspondientes grados de libertad llegamos a la siguiente tabla ANOVA. Fuente de variación Regresión Error

SS 7.4736 0.9264 8.4000

GL 1 8 9

ˆY= Observe que MSE = 0.1158 y que por lo tanto σ

ii)

MS 7.4736 0.1158

MSE



0.1158

 0.3403

Con la fórmula alternativa tenemos que n

Y

i

σˆ Y



=

2

n

n

- b o  Yi - b 1  x i Yi n-2

0.9264 8

=

0.1158

 0.3403

3.4.3 MEDIDAS DE ASOCIACION ENTRE X,Y Dos medidas de asociación son frecuentemente usadas en la práctica para describir el grado de relación entre X, Y. COEFICIENTE DE DETERMINACION. Podríamos considerar que SST es una medida de variación total de las observaciones Yi que refleja la incertidumbre en estimar o predecir Y cuando ninguna variable independiente X es tomada en

126

cuenta. Cuando un modelo de regresión que utilice la variable independiente X es utilizado SST se dividirá en dos componentes SSE y SST tales que el cociente SSE SST

representará una medida de la proporción de la variación de Y no explicada por X que aún queda y el complemento r2  1 

SSE SST  SSE SSR   SST SST SST

donde 0  r 2  1

una medida de la proporción de la variación total de Y explicada por X que llamaremos coeficiente de determinación muestral. Esta medida podrá verse también como una reducción proporcional de la variación total de Y (incertidumbre) cuando la variable independiente X es introducida. De manera que r2 podrá interpretarse así:  Es la proporción de la variación total de Y que es explicada por X.  Es la reducción proporcional de la variación total de Y cuando la variable independiente X es introducida. Límites de los valores de r2 n

1. r2 = 1 

SSE = 0





ˆ i )2  0 (Yi  Y



ˆi Yi  Y

La relación entre X,Y es perfecta en los datos muestrales. Aquí toda variación en las observaciones Yi es explicada por X. Este caso es mostrado en la siguiente figura.

Y

ˆ  b0  b1X Y

Yi

X

Fig. 3.10 n

2. r2 = 0 

SSR = 0





ˆ i - Y) (Y

2

 0

ˆ i  Y  b1 = 0  Y

No hay relación entre X , Y en los datos muestrales. Aquí la variación en las observaciones Yi no son explicadas por X. X no ayuda a reducir la variación en las observaciones Yi Este caso es mostrado en la siguiente figura.

127

En la práctica r2 toma valores entre 0 y 1. La cercanía de r2 a 1 implica un alto grado de asociación entre X , Y. Y

ˆ Y Y

X

Fig. 3.11 EJEMPLO 3.3. Para el ejemplo 3.1 determine el coeficiente de determinación e interprételo. Utilizando la tabla ANOVA del ejemplo 3.2 llegamos a que: r

2



7.4736 8.4000

 0.8897

El 88.97% de la variación en el costo de materiales se puede explicar por las horas de operación del proceso. La variación total en el costo de materiales es reducida en un 88.97% cuando las horas de operación es considerada. COEFICIENTE DE CORRELACION. La raíz cuadrada de r2. r  

r2

,

-1  r  1

,

r tiene el mismo signo que b1

es llamada coeficiente de correlación. Observe que r2 < | r | o sea que r puede dar la impresión de una relación “más fuerte” entre X , Y que la correspondiente. Por ejemplo r2 = 0.10 indica que la variación total en Y es reducida en sólo un 10% cuando X es introducida, y | r | = 0.3162 puede dar la impresión de una mayor asociación entre X , Y. Interpretación de r No tiene una interpretación tan clara como la de r2 , sin embargo podemos decir que a medida que | r | se acerque a 1 mayor será el grado de relación entre X, Y, lo cual permitirá hacer inferencias más precisas sobre Y a partir de X. EJEMPLO 3.4 Para el ejemplo 3.1 determine el coeficiente de correlación.

128

Como la pendiente b1 = 0.0692 es positiva r 

 0.9432

0.8897

La cercanía de r con 1 implica que posiblemente hay alto grado de relación entre X, Y 3.5 INFERENCIAS SOBRE  1 Frecuentemente estaremos interesados en hacer inferencias sobre la pendiente de la línea de regresión poblacional. Por ejemplo será de interés saber si hay una relación lineal significativa entre X , Y para la cual haremos una prueba de hipótesis sobre  1. También puede ser que queramos obtener un intervalo de confianza para  1. Antes de considerar inferencias sobre  1 necesitamos considerar la distribución muestral de b1. 3.5.1 DISTRIBUCION MUESTRAL DE b1 Puede demostrarse que el estimador b1 es una combinación lineal de las observación Yi . Esto es, b1 = 

ki

Yi

donde los ki son constantes.

Como las observaciones Yi tienen distribución normal (según el supuesto 2) b1 tiene también una distribución normal con

σ

σ b1 

μ b1  β 1

y

n

x .

2 i

  -

2 n  xi .

n

ERROR ESTANDAR ESTIMADO DE b1 El error estándar estimado de la pendiente b1 se denota y obtiene así σˆ Y

σˆ b1 

 .

3.5.2

  n

n

2 xi

-

 xi .

2

ˆ Y es el estimador de  donde σ

n

PRUEBA DE SIGNIFICACION SOBRE  1

Recordemos que la función de regresión poblacional estaba dada por μ Y | X  β 0  β1 X Si suponemos β 1  0 en la expresión anterior nos queda que μ Y|X  β

0

Es decir no habría relación entre X, Y Por tanto para que haya relación entre X, Y debemos suponer que β 1  0

129

El procedimiento de la prueba será el siguiente: 1. FORMULACION DE LAS HIPOTESIS. Podemos ver la verificación del valor que toma la pendiente  1 como la acción y la diferencia de  1 con respecto a cero como el efecto. Por tanto podemos escribir las hipótesis así H 0 : β1  0

No hay relación entre X , Y Hay relación entre X , Y

H1 : β1  0

donde H 0 : β 1  0 esta suponiendo que no hay diferencia de  1 con respecto a cero, mientras que la hipótesis alterna H 1 : β 1  0 supone que hay diferencia de  1 con respecto a cero. Observe que la prueba es bilateral porque nos interesan tanto las diferencias de  1 hacia la izquierda de cero como hacia la derecha de cero. 2. ELEGIR UN NIVEL DE SIGNIFICACION. El error I consiste en decir que hay relación entre X , Y cuando en realidad no hay. Controlaremos el error I suponiendo que P (error I )   3. IDENTIFICAR EL ESTADISTICO DE PRUEBA Y ESTABLECER UNA REGLA DE DECISION. Como las hipótesis son suposiciones acerca de  1 el estadístico de prueba será su estimador b1 pero estandarizado, esto es, b1 - 0 σˆ b

1

puede demostrarse que

b1 σˆ b

sigue una distribución t de Student con n – 2 grados de libertad.

1

Por tanto el estadístico de prueba será

t 

b1 Pendiente estimada  σˆ b El error estándar de b1

σˆ Y

donde σˆ b  1



1

n

2  xi .

La regla de decisión será

n



  xi  .  -  n

2

130

o t  t /2 Rechazo H 0 : β 1  0 a un nivel de significación  si t  - t /2 En caso contrario no podemos rechazar H 0 : β 1  0 , es decir, “aceptamos” H 0 : β 1

 0

Una ilustración gráfica de la regla se muestra abajo.

α

α

2

2

- t / 2

R

t

t /2

0 NR

R

Figura 3.12 4. TOMAR UNA MUESTRA ALEATORIA Y DETERMINAR EL VALOR DEL ESTADISTICO DE PRUEBA. Con la información muestral calculemos primero b1 y σˆ b para obtener el valor de t 1

5. SELECCIONAR UNA ALTERNATIVA Si t cae en la región de rechazo entonces diremos que rechazamos H 0 : β 1  esto es, que aceptamos H 1 : β 1  0 . Luego hay relación lineal entre X , Y.

0

a un nivel  ,

Si t cae en la región de no rechazo entonces diremos que no hay suficiente evidencia para rechazar H 0 : β 1  0 , esto es, aceptamos H 0 : β 1  0 . Luego no hay relación lineal entre X , Y.

EJEMPLO 3.5. Para el ejemplo 3.1 pruebe si hay una relación lineal significativa entre el número de horas de operación del proceso y el costo de los materiales a un nivel de significación del 5%. 1. FORMULACION DE LAS HIPOTESIS. Las hipótesis se escribirán así H 0 : β1  0

H1 : β1  0

No hay relación entre X , Y Hay relación entre X , Y

131

donde H 0 : β 1  0 esta suponiendo que no hay diferencia de  1 con respecto a cero mientras que la hipótesis alterna H 1 : β 1  0 supone que hay diferencia de  1 con respecto a cero. Observe que la prueba es bilateral porque nos interesan tanto las diferencias de  1 hacia la izquierda de cero como hacia la derecha de cero. 2. ELEGIR UN NIVEL DE SIGNIFICACION. El error I consiste en decir que hay relación entre el número de horas de operación del proceso y el costo de materiales cuando en realidad no hay. Controlaremos el error I suponiendo que P (error I )  0.05. Luego hemos elegido un nivel de significación  = 0.05. 3. IDENTIFICAR EL ESTADISTICO DE PRUEBA Y ESTABLECER UNA REGLA DE DECISION. El estadístico de prueba será b t  1 donde σˆ b 1

σˆ Y

σˆ b1 



n

 .

x i2

n



2

  xi  .  -  n

y la regla de decisión: t  - t /2  - 2.306

Rechazo H 0 : β 1  0 a un nivel  = 0.05 si En caso contrario no podemos rechazar H 0 : β 1

 0,

o

esto es, "aceptamos"

t  t /2  2.306 H 0 : β1  0

Los valores críticos - t  / 2 y t  / 2 se determinaron con la tabla de la distribución t de Student así α  0.05



α 2

 0.025

y

n - 2  10 - 2  8 g.l.

Luego t /2  2.306 y - t /2  - 2.306

Una ilustración gráfica de esta regla se presenta debajo.

α 2

α

 0.025

2

 0.025

t - 2.306

R

0 NR

2.306

R

132

Figura 3.13 4. TOMAR UNA MUESTRA ALEATORIA Y DETERMINAR EL VALOR DEL ESTADISTICO DE PRUEBA. Con la información muestral calculemos primero b1 y

x

Sabemos del ejemplo 3.1 que b1 = 0.0692 ,

i

σˆ b

1

 320

,

2

 x i  11800

.

Además sabemos del ejemplo 3.2 que σˆ Y  0.3403 Por tanto σˆ Y

σˆ b1  n

2

 xi .

 .

 320  2

n

11800 - 10240

b

11800 -



0.3403



2

 n x  i

0.3403





0.3403 1560



0.3403 39.4968

10  0.0086

0.0692

1   8.0465 Luego t  σ 0.0086 ˆ b1

5. SELECCIONAR UNA ALTERNATIVA. Como t cae en la región de rechazo diremos que hay suficiente evidencia para rechazar H 0 : β 1  0 a un nivel  = 0.05, lo cual implica que aceptamos H 1 : β 1  0 . Luego hay relación entre el número de horas de operación y el costo de materiales del proceso.

ESTIMADOR POR INTERVALO DE CONFIANZA PARA μ Yh Si x h es un valor dentro del alcance modelo y μ Y es la media de la distribución de Y cuando X = x entonces el valor ajustado de Y para el nivel x h que denotamos así Yˆh  b 0  b1 x h es un 3.5.3

h

h

estimador puntual e insesgado de μ Yh ˆ h es una combinación lineal de las observaciones Yi Puede demostrarse que Y ˆ h sigue también una distribución Como las observaciones Yi siguen una distribución normal, Y normal con

133

μ Yˆh  μ Yh

1

σ Yˆ  σ Y

n

h

y

 xh

 n

2

 xi .

-x

2 2

 n x  i  .



n

ˆ h se denota y obtiene así: El error estándar estimado del valor ajustado Y

σˆ Yˆ  σˆ Y h

1 n

 xh

 n

2

 xi . Como

ˆh - μY Y h σˆ Yˆ h

- x

2 2

 n x  i  .

donde σˆ Y es el estimador de



σ

n

sigue una distribución t de Student con n – 2 grados de libertad

puede demostrarse que un estimador por intervalo de confianza del ( 1 -  ) 100% para μ Yh esta dado por ˆ h  t /2 σˆ Yˆ h Y

Fig. 3.14 Observe el efecto del término (x h  x) 2 en A medida que x h se aleja de

x mayor es

σ ˆ

σ ˆ ˆ Y h

ˆ Y h

y a medida que x h se acerque a

La mayor precisión de la estimación se obtiene cuando x h



x porque

σ ˆ

ˆ Y h

x menor será σˆ . ˆ Y h

toma su valor mínimo.

EJEMPLO 3.6 Para el ejemplo 3.1 construya un intervalo de confianza del 99% para el costo promedio de materiales utilizados cuando el proceso opere 40 horas.

134

ˆ h = 2.8856 + 0.0692(40) = 2.8856 + 2.768 = 5.6536 ( en centenas de $ ), Para x h  40 horas , Y n

Sabemos que σˆ Y  0.3403 y que

x

x

i

n



320  32 10

Por tanto

1

σˆ Yˆ  σˆ Y h

n

 xh

 n

- x

1

 .

2

10

(40 - 32)



11800 -

2

 n x  i

 xi .

 ( 0.3403 )

2 

n 2

(320)

2

1

 ( 0.3403 )

10



64 1560

 ( 0.3403 )

0.1410

10

 0.3403 (0.3755)  0.1278

Para α  0.01 

α  0.005 2

y

n – 2 = 10 - 2 = 8 g.l.

tenemos que t /2  3.355

Sustituyendo estos valores en la fórmula del intervalo de confianza. 5.6536  3.355 (0.1278) 5.6536  0.4288 Luego podemos decir con un 99% de confianza de que 5.2248  μ Yh  6.0824

(en centenas de $)

3.5.4 ESTIMADOR POR INTERVALO DE PREDICCION PARA UN VALOR INDIVIDUAL Yh

Para un valor xh supongamos que queremos predecir los límites del valor individual Yh ˆh Como los límites de predicción de Yh tienen que tomar en cuenta tanto la variabilidad de Y asociada a la posición que puede tener μ Yh como la variabilidad de Y alrededor de esa posición. La varianza estimada del valor individual Yh será la suma de dos componentes: ˆ h y la varianza estimada de Y. La varianza estimada de Y

Esto es,

135 

 





 σ ˆ

2 Yh

 σ ˆ

2 ˆ Y h

 σ ˆ

2 Y

 σ ˆ

 

1



n

2 Y



(x

 n





2



 xi .



 x)

h

 



n





2

 xi .  n

 σ ˆ



2

2 Y

 σ ˆ

 1 1 

2 Y





n

 

n



σˆ Y

h

 σˆ Y

1

1 n

 xh

 n

2

 xi .

 t /2 σ ˆ Yh

donde

2

- x

 n x   . i

2

n

σ ˆ Yh se verá como un error estándar estimado del valor individual Yh y t /2 es un valor de la distribución t de Student con n – 2 grados de libertad que tiene a su

derecha un área de

α 2

Hay una diferencia conceptual entre un estimador por intervalo de predicción y un estimador por intervalo de confianza. Un estimador por intervalo de confianza representa una inferencia sobre un parámetro. Un estimador por intervalo de predicción es una proposición acerca del valor que puede tomar una variable aleatoria.

EJEMPLO 3.7 Para el ejemplo 3.1 determine un intervalo de predicción del 99% del costo de materiales que serán utilizados en un proceso particular que operará 40 horas. La fórmula correspondiente es

ˆh Y

 t /2 σ ˆ Yh

ˆ h = 5.6536 ( en centenas de $ ) y sabemos que σˆ Yh  0.3403 Para x h  40 horas , Y

Por tanto

2

 xi .



Puede demostrarse que un estimador por intervalo de predicción del (1 - )100% para una valor individual Yh está dado por ˆh Y

(x



h



136

ˆ Yh  ˆ Y

1 1  n

 xh n

x

2 i

- x

- 

2 n  xi .

n

.

= Como

0.3403

1  0.1410  0.3403

t /2  3.355

2

1.1410  0.3403 ( 1.0682)  0.3636

tenemos que

5.6536  3.355 ( 0.3636 ) 5.6536  1.2199 Luego hay una confianza del 99% de que 4.4337 

Yh

 6.8735

( en centenas de $ )

Observe que el intervalo de predicción del 99% para un valor individual Yh aquí obtenido es más ancho que el intervalo de confianza del 99% para μ Y obtenido en el ejemplo 3.6, la razón es que ˆ h como la cuando predecimos un valor individual tomamos en cuenta tanto la variabilidad en Y variación dentro de la distribución de probabilidad de Y.

EJERCICIOS PROPUESTO DEL TEMA 3: ANALISIS DE REGRESION LINEAL. 1. El Vicepresidente de investigación y desarrollo de una empresa de productos químicos piensa que las utilidades anuales (Y) dependen de la cantidad que invierta (X) en investigación y desarrollo. Suponga que se dispone de los siguientes datos históricos en millones de C$

Año 1997 1998 1999 2000

Cantidad Invertida 2 3 4 5

Utilidad anual 20 25 30 34

137

2001 2002

11 5

40 31

a) Dibuje un diagrama de dispersión y comente las impresiones visuales que le ofrece la figura. b) Obtenga la función de regresión muestral de Y sobre X e interprete la pendiente. c) Prediga la utilidad anual para 2003 suponiendo una inversión de 8 millones de C$ en investigación y desarrollo. d) Trace sobre el diagrama del inciso a) la línea de ajuste. 2. El ministerio de Agricultura hizo un estudio para determinar la relación que existe entre la producción de café (Y) y la cantidad de fertilizante utilizado (X) en una región determinada. Se tomó una muestra aleatoria de 6 haciendas y se recopiló la siguiente información:

Hac. 1 2 3 4 5 6

(en qq) (miles de qq) Cantidad Producción fertilizante de Café 34 15 40 18 48 19 49 15 51 20 51 22

a) Construya un diagrama de dispersión. b) Obtenga la función de regresión muestral de Y sobre X e interprete los coeficientes de regresión estimados. c) Estime la producción promedio de café cuando se utilicen 45 qq de fertilizante. d) Trace sobre el diagrama del a) la línea de regresión estimada.

3. La demanda de un artículo en toneladas (Y) para diferentes precios en córdobas (X) se presenta en la tabla de abajo. X 20.5 21.0 21.0 21.5 21.5 21.5 22.0 22.0 22.5

Y 4.5 4.0 4.7 3.5 3.0 4.0 3.5 2.5 2.0

138

23.0 a) b) c) d)

1.8

Construya un diagrama de dispersión y comente las impresiones visuales que le ofrece la figura. Determine la función de regresión muestral de Y sobre X e interprete la pendiente estimada. Obtener la demanda esperada si el precio del bien fuese de C$ 22.40 Trace sobre el diagrama de dispersión del inciso a) la línea de los mínimos cuadrados.

4. Para probar en cierto tipo de fábricas el efecto de un filtro purificador que absorbe parte de la emisión de gases residuales, se han medido los niveles de CO 2 (dióxido de carbono) emitidos por 7 fábricas donde éste se ha instalado. Hemos supuesto que X representa el número de días después de la instalación y Y representa la emisión de CO2 en mg/dl para presentar los siguientes resultados. X 5 10 15 20 25 30 35

Y 5.2 4.8 4.6 4.5 4.3 4.0 3.8

a) Construya un diagrama de dispersión. b) Determine la ecuación de regresión lineal que mejor exprese la variación de la contaminación en función de los días transcurridos después de la instalación del filtro. Interprete la pendiente estimada c) Si una fabrica tiene 30 días de tener instalado el filtro, ¿qué emisión de CO2 espera tener? d) Trace sobre el diagrama de dispersión del inciso a) la línea de ajuste. e) ¿En qué porcentaje la variación de la emisión de CO2 es explicada por el número de días transcurridos desde la instalación del filtro?

5. El Banco Central quiere estimar la relación entre la cantidad de dinero circulante (X) y el ingreso nacional (Y). Suponga que dispone de los siguientes datos históricos en millones de dólares.

Año 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Cantidad Circulante 3.3 4.0 4.2 4.6 4.8 5.0

Ingreso Nacional 7.2 7.3 8.4 9.0 9.7 10.0

139

a) Construya un diagrama de dispersión. b) Obtenga la función de regresión muestral de Y sobre X e interprete la pendiente estimada. c) Prediga para 2003 el Ingreso nacional correspondiente a un circulante de 5.6 millones de dólares. d) Trace sobre el diagrama de dispersión anterior la línea de ajuste. 6. El gerente de personal de una empresa intuye que quizás haya relación entre el ausentismo en días (Y) y la edad en años (X) por lo que quiere tomar la edad de un trabajador para desarrollar un modelo de predicción de días de ausencia durante un año laboral. Se selecionó una muestra aleatoria de 10 trabajadores con los resultados que se presentan a continuación: X 27 61 37 23 46 58 29 36 64 40

Y 15 06 10 18 09 07 14 11 05 08

Construya un diagrama de dispersión y comente las impresiones visuales que le ofrece la figura.. b) Obtenga la función de regresión muestral de Y sobre X e interprete la pendiente c) ¿Cuántos días espero que un trabajador de 45 años se ausente durante el año? d) Trace sobre el diagrama de dispersión anterior la línea de mínimos cuadrados. a)

7. Supóngase que una cadena de supermercados financia un estudio sobre los gastos anuales en comestibles de familias de 4 . La investigación se limitó a familias con ingresos netos (después de los impuestos) que van de C$20000 a C$60000. Se obtuvo la siguiente ecuación de regresión lineal: ˆ = Y

- 200 + 0.10X

En la cual Y representa los gastos anuales estimados en comestibles y X representa los ingresos netos anuales Supóngase que la ecuación proporciona un ajuste razonablemente bueno, y que se obtuvieron los datos por medio de métodos de muestreo aleatorio, a)

Estime los gastos de una familia de 4 , con un ingreso anual de C$25000.

140

b) Uno de los vicepresidentes de la compañía se preocupa por el hecho de que la ecuación aparentemente indica que una familia que tiene un ingreso de C$2000 no gastaría nada en alimentos. ¿ Cuál sería su respuesta? c) Explique brevemente por qué no se podría usar la ecuación anterior en cada uno de los siguientes casos: c.1 Estimación de los gastos en comestibles de familias de cinco . c.2 Estimación de los gastos en comestibles de familias que tengan ingresos netos de más de 60000 córdobas anuales. 8. Un asegurador de propiedades realizó un estudio para investigar el pago anual (Y) por concepto de demandas por daños a propiedades (en miles de dólares) en la región norte de Nicaragua como una función del número X de huracanes que azotan esa región durante el año. Un modelo de regresión lineal, que se ajusta a los datos de un período de 10 años, produjo la siguiente ecuación: ˆ = 22.4 + 15.8 X Y

con



x i  15

,

x

2 i

= 27.45

, σˆ Y2

= 41.2

a) ¿Proporcionan los datos evidencia suficiente para indicar que el número X de huracanes aportan información para predecir la cantidad anual pagada por el asegurador por concepto de daños a propiedades a un nivel de significación del 5%? b) Encuentre un intervalo de confianza del 90% para el pago anual promedio si un huracán azota la región en un año dado. c) Obtenga un intervalo de predicción del 90% para el pago anual si dos huracanes azotan la región en un año dado.

9. Un estudio de mercado trata de cuantificar el efecto que sobre la demanda de un artículo tiene una campaña publicitaria en televisión. Para ello se miden las cantidades demandadas, en miles de unidades, antes de la campaña (X) y la cantidades demandadas, en miles de unidades, después de la campaña (Y). Después de 3 semanas de emisión del anuncio en 10 regiones se obtuvo la siguiente relación lineal estimada entre X, Y. ˆ = 65.5812 + 0.3547X Y

con un error estándar de su pendiente de 0.1826 ¿Existe relación lineal significativa entre X, Y a un nivel de significación  = 0.02 ? 10. Un investigador esta interesado en conocer la relación entre los años de experiencia en ventas (X) y el volumen de ventas en millones de córdobas (Y) de los vendedores de cierta compañía.

141

Los datos muestrales resumidos para tal fin, se dan a continuación. n = 5 ,







x i = 15 ,

x i Yi = 84.6 ,

Y

2 i

x i2 = 55 ,

Y

i

= 23 ,

= 130.98

Si con la información anterior se obtuvo la siguiente relación lineal estimada. ˆ = - 0.08 + 1.56 X Y

y la tabla de análisis de varianza que aparece abajo Fuente Regresión Error

SS 24.336 0.844 25.180

G.L 1 3 4

MS 24.3360 0.2813

i) Interprete la pendiente. ii) ¿Qué proporción de la variación total del volumen de ventas puede ser explicada por los años de experiencia? iii) Estime la varianza de Y alrededor de la línea de regresión. iv) ¿Existe relación lineal significativa entre los años de experiencia y el volumen de ventas a un nivel de significación del 2%? v) Determine un intervalo de confianza del 99% para el volumen esperado de ventas de un vendedor que tiene 3.5 años de experiencia.

11. Un economista desea establecer la relación entre las exportaciones FOB (X) y las importaciones FOB (Y). De los Indicadores Económicos publicados por el Banco Central de Nicaragua para los años 1994 – 2002 resume la siguiente información. (no incluye importaciones ni exportaciones de Zona Franca). n = 9 ,  x i = 3791.1 ,  x i2 = 1846729.93 ,

Y Y

i

2 i

= 7705.2 , = 7072151.74

x Y = i

i

3548993.65

donde X representa las Exportaciones FOB (en millones de dólares) Y representa las Importaciones FOB (en millones de dólares) a) Suponiendo una relación lineal, use el método de mínimos cuadrados para encontrar los coeficientes de regresión bo y b1. b) Interprete el significado del intercepto bo y la pendiente b1.

142

c) Prediga el valor de las importaciones cuando las exportaciones asciendan a 500 millones de dólares. d) Calcule el coeficiente de determinación y el coeficiente de correlación e interprete sus significados. e) A un nivel de significación de 0.01 ¿Hay alguna relación lineal significativa entre las exportaciones y las importaciones para los años mencionados?. 12. Una cadena de tiendas de repostería ha tenido grandes fluctuaciones en sus ingresos durante los últimos años. Abundantes ofertas y técnicas de publicidad se han utilizado durante este tiempo, por lo cual es difícil determinar cuáles de esos factores tienen la influencia más profunda en las ventas. El departamento de mercadotecnia ha estudiado varias relaciones y piensa que los gastos mensuales destinados a carteles pueden ser significativos. Se muestreó 7 meses con los siguientes resultados:

x

i

 167

,

Y

i

 203

,

x Y i

i

 5427 ,

x

2 i

 4703

,

Y

2 i

 6527

donde X representa el gasto mensual en carteles (en centenas de C$) y Y representa el ingreso mensual por ventas (en decenas de miles de C$). Si con la información anterior se obtuvo la siguiente relación lineal estimada ˆ = 9.6185 + 0.8124X Y

a) Interprete el intercepto y la pendiente. b) Obtenga la tabla de análisis de varianza. c) ¿Existe relación lineal significativa entre el ingreso mensual por ventas y los gastos mensuales destinados a carteles a un nivel de significación del 1%? d) Encuentre los coeficientes de determinación y correlación. Luego interprételos. e) Para un mes con un gasto de C$2800 en carteles, desarrolle un intervalo de confianza del 90% para las ventas mensuales esperadas en ese mes.

13. Con los siguientes datos sobre el costo de construcción de residencias unifamiliares en miles de dólares (Y) y el tamaño del lote en miles de pies cuadrados (X). n = 12 ,  x i = 198 ,  Yi = 625.5 ,  x i2 = 4396 ,  Yi2 = 34878.58

x Y = i

i

11840.1

a) Encontrar la función de regresión muestral de X sobre Y e interprete la pendiente. b) ¿Cuál debería ser el costo promedio de construcción de casas que se van a construir en un lote de 15000 pies cuadrados? 14. Una investigación del departamento de publicidad de una empresa en la que se buscaba la relación entre las ventas en unidades (Y) y el número de comerciales televisados (X) dió los siguientes resultados:

143

n = 7 ,  x i = 340 ,  Yi = 751 ,  x i2 = 19000 ,  Yi2 = 90571

x Y = i

i

41450

a) Encontrar la función de regresión muestral de Y sobre X e interprete el intercepto y la pendiente. b) Obtenga la tabla de análisis de la varianza. c) ¿Existe relación lineal significativa entre el número de comerciales televisados y las ventas a un nivel de significación del 5%? d) Calcule el coeficiente de determinación e interprételo. e) Obtenga un intervalo de predicción del 90% para el numero de unidades vendidas si el número de comerciales televisados es de 30. 15. Un analista toma una muestra aleatoria de 10 embarques recientemente enviados por camión y registra la distancia en kilómetros (X) y el tiempo de entrega en días (Y) para determinar si existe relación entre ellos y obtiene los siguientes resultados:

x

i

= 7620 ,

Y

i

= 28.5 ,

x Y i

i

= 26370 ,

x

2 i

= 7104300 ,

Y

2 i

= 99.75

Si con la información anterior se obtuvo la siguiente relación lineal estimada: ˆ = 0.1181 + 0.0036X Y

a) ¿Existe relación lineal significativa entre X y Y a un nivel del 1%? b) Obtenga un intervalo de confianza del tiempo promedio de entrega para una distancia de 350 km y una confiabilidad del 90%. f) Encuentre el coeficiente de determinación e interprételo.

16. El gerente de mercadotecnia de una cadena de supermercados quiere determinar el efecto del espacio de las estanterías en pies (X) sobre la venta semanal de cosméticos en cientos de córdobas (Y). Seleccionó una muestra aleatoria de 12 tiendas de igual tamaño obteniendo los resultados siguientes:

x

i

= 150 ,

Y

i

= 28.5 ,

x Y = i

i

384 ,

x

2 i

ˆ = 1.45 + 0.074X Encontró la ecuación de regresión: Y

y construyó la tabla de análisis de varianza: Fuente Regresión Error

SS 2.0535 1.0490 3.1025

G.L 1 10 11

MS 2.0535 0.1049

= 2250 ,

Y

2 i

= 70.79

144

a) Interprete la pendiente. b) Pruebe al nivel de significación de 0.05 si los resultados de la muestra permiten llegar a la conclusión de que hay una relación lineal significativa entre el espacio en las estanterías y la venta semanal de cosméticos. c) Calcule los coeficientes de determinación y de correlación e interprételos. d) Obtenga un intervalo de predicción del 90% de las ventas semanales de una tienda con 8.6 pies de espacio en estantes destinados a cosméticos. 17. Los economistas a menudo quieren estimar las funciones consumo. Esto lo hacen obteniendo la regresión del consumo Y sobre el ingreso X (en esta regresión, los economistas dan a la pendiente el nombre de propension marginal al consumo). En una muestra de 15 familias, se calculó una pendiente de 0.9 y un error estándar de la pendiente de regresión de 0.25. A un nivel de significación  = 0.05 ¿existe alguna relación lineal significativa entre el consumo y el ingreso? 18. Con el propósito de determinar el efecto del precio del galón de diesel en el costo de la canasta básica de 53 productos de la ciudad de Managua se extrajeron los datos que se presentan a continuación: Año

1993

1994

1995

1996

X 1.14 5.67 5.88 Y 517.27 718.01 730.02

7.02 887.00

1997

1998

1999

2000

2001

7.75 8.4 10.38 12.31 13.94 19.81 970.61 1078.89 1225.59 1402.82 1552.64 1624.11

Fuente: Banco Central de Nicaragua. Gerencia de Estudios Económicos. X representa el precio promedio del diesel (en córdobas por galón). Y representa el costo de la canasta básica (en córdobas)

Al utilizar el paquete estadístico denominado SPSS, se obtuvo los siguientes resultados: Múltiple R .95772 R Square .91723 Adjusted R Square .90689 Standard Error 114.32865 Analysis of Variance Regression Residual F=

88.65582

DF 1 8

2002

Sum of Squares 1158823.72109 104568.31455 Signif F = .0000

Mean Square 1158823.72109 13071.03932

145

------------------ Variables in the Equation -----------------Variable X (Constant)

B

SE B

69.193900 7.348762 432.036306 76.862781

Beta .957722

T 9.416 5.621

Sig T .0000 .0005

Los resultados obtenidos que se relacionan con nuestro curso son los siguientes: Coeficiente de correlación, r = 0.95772 Coeficiente de determinación, r2 = 0.91723 SSR = 1158823.72109; SSE = 104568.31455; SSE/(n-2) = 13071.03932 b0 = 432.036306; b1 = 69.193900; Error estándar del estimador b1 = 7.348762 tn-2 = 9.416. Ahora conteste: a) Escriba la ecuación de la línea de mínimos cuadrados que nos permitirá predecir el costo promedio de la canasta básica de la ciudad de Managua en términos del precio del diesel. b) Interprete b1 . c) Suponiendo que para el año 2003 que el precio del diesel será de C$ 21.50, estime el costo promedio de la canasta básica para ese año en la ciudad de Managua d) Interprete el coeficiente de determinación y el coeficiente de correlación. e) ¿Existe relación lineal significativa entre el precio del diesel y el costo de la canasta básica a un nivel de significación del 5%?.

TEMA 4: SERIES DE TIEMPO OBJETIVOS. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Saber que es una serie de tiempo y que utilidad tiene su estudio. Explicar la naturaleza de cada componente de una serie de tiempo. Determinar la ecuación de tendencia lineal utilizando el método de los mínimos cuadrados. Saber convertir una ecuación de tendencia anual a una de tendencia trimestral. Determinar los índices estacionales utilizando el método del cociente del promedio móvil. Hacer predicciones de una variable en base a lo que ha ocurrido en el pasado.

4.1. INTRODUCCION Toda institución (la familia, la escuela, la empresa, el gobierno) tiene que hacer planes para el futuro si ha de sobrevivir y progresar.

146

La familia:

Sus planes tienen que ver con el ingreso, el consumo.

La Escuela: Sus planes tienen que ver con su desarrollo futuro para ofrecer servicios educativos adecuados a la siempre creciente población. La empresa: Sus planes tienen que ver con la demanda de sus productos, la producción, la financiación, el personal, las ventas, las inversiones, el mercadeo. El gobierno: Sus planes tienen que ver con los ingresos y gastos futuros para influir de esta manera en la actividad comercial agregada de modo que el progreso económico del país no se vea demorado por la inflación o la deflación. La técnica más importante para hacer inferencias sobre el futuro con base en lo ocurrido en el pasado es el análisis de las series de tiempo que se puede definir así: Un conjunto de observaciones de una variable que se refieren a diferentes períodos sucesivos de tiempo usualmente de la misma magnitud (años, trimestres, meses, etc). Ejemplos de series de tiempo:    

Los ingresos totales anuales por ventas de una firma determinada. Los informes trimestrales del Producto Nacional Bruto (PNB). La publicación mensual del Indice de Precios al Consumidor. Los cambios semanales en porcentajes de ventas de un supermercado.

La creencia de que el comportamiento pasado de una serie puede continuarse en el futuro constituye una base racional para la predicción estadística. Los movimientos de las series de tiempo son causados por una variedad de factores, algunos económicos, algunos naturales y otros institucionales. Más aún, algunos de los factores tienden a afectar los movimientos a largo plazo de las series, mientras que otros tienden a producir fluctuaciones a corto plazo. 4.2. COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPO Una serie la consideraremos constituida por los siguientes componentes que son las que explican los cambios observados en un período de tiempo. i) ii) iii) iv)

La tendencia. Las variaciones estacionales. Las variaciones cíclicas. Las variaciones irregulares.

Para obtener una impresión visual de los movimientos de una serie de tiempo, se contruye sobre un plano cartesiano una gráfica en la cual la variable de interés Y estará en el eje vertical y los períodos sucesivos de tiempo en el eje horizontal.

147

Ejemplo. Los siguientes datos representan producciones trimestrales de cierto artículo en miles de unidades de un país hipotético durante 1999 - 2003. Y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

tendencia lineal

datos originales variaciones

variaciones cíclicas

estacionales

1

2

3

4

1999

1

2

3

2000

4

1

2

3

4

1

2001

2

3

4

2002

1

2

3

2003

4

X

Figura 4.1 LA TENDENCIA Es el movimiento suave y regular de una serie que refleja un crecimiento o una declinación en un período de tiempo muy prolongado (al menos de 15 años) (debe incluir 2 ó más ciclos). Observe que los movimientos de la serie de tiempo de la figura 4.1 tienden en promedio a desplazarse continuamente hacia arriba a través del tiempo. Se representa mediante una recta a través de la curva irregular. La tendencia mide el cambio de la variable de interés por unidad de tiempo.

LAS VARIACIONES ESTACIONALES Si estudiamos la serie de la figura 4.1 de año en año vemos que en el primer trimestre comienza siendo baja, luego crece, después alcanza la mayor altura alrededor del tercer trimestre de cada año y finalmente desciende nuevamente. Las variaciones estacionales pueden definirse como los movimientos periódicos que vuelven con cierta regularidad dentro de un período especificado (un año) Factores que influyen en estas variaciones: las estaciones del año, condiciones climáticas, costumbres sociales, festividades religiosas. En condiciones climáticas y estaciones del año tenemos: la producción agrícola, los trabajos de construcción, la explotación de bosques y aserraderos, el consumo energía eléctrica, etc.

148

En costumbres Sociales y festividades religiosas tenemos: la demanda de ciertos artículos para el día de la madre, del padre, de los enamorados, por navidad, por semana santa, etc. LAS VARIACIONES CICLICAS Observando la curva en forma de zig-zag sobre la serie irregular original encontramos fluctuaciones pronunciadas que se desplazan hacia arriba y hacia abajo. Las variaciones cíclicas pueden definirse como los movimientos recurrentes ascendentes y descendentes con respecto a la tendencia que tienen por lo general una duración de 2 ó más años. Cada ciclo puede diferir de todo el resto en duración, amplitud y causas. Ello explica la existencia de tantas teorías de los ciclos como casi números de ciclos registrados. En general son de naturaleza económica y reflejan el estado de las actividades comerciales. A continuación se ilustra gráficamente un ciclo.

Prosperidad

Recesión Pico

Pico

Recuperación

depresión

bache

Línea de tendencia

bache Figura 4.2

Un ciclo se mide de bache a bache o de pico a pico. LAS VARIACIONES IRREGULARES Las pequeñas irregularidades en forma de dientes de serrucho en la serie original es lo que se llama variaciones irregulares. Las variaciones irregulares pueden definirse como movimientos que son por lo general de corta duración y que son causados por fuerzas aleatorias o por fuerzas esporádicas tales como: huelgas, terremotos, inundaciones, cortes de energía, guerras, sequías y otras calamidades naturales. Observaciones: A veces las series contiene todas las componentes anteriores, otras veces contienen solamente algunas de ellos. A veces hay tanto predominio de una componente que se le puede reconocer a partir de los datos originales como:

149

La producción de fibras sintéticas y la producción de alimentos congelados que tienen una fuerte tendencia ascendente. Los bienes duraderos que sufren grandes cambios cíclicos. Las ventas de tiendas que son predominantemente estacionales. 4.3. ANALISIS DE LAS SERIES DE TIEMPO CON DATOS ANUALES La componente que se estudia con más frecuencia en estas series de tiempo es la tendencia. Estudiaremos la tendencia como una ayuda para hacer pronósticos a mediano y largo plazo. 4.3.1 CALCULO DE LA TENDENCIA LINEAL. Consiste en obtener la ecuación de una línea recta que me indique el comportamiento de la variable de interés a través de los años. Utilizaremos los métodos que exponemos a continuación tomando la mitad de cada año (1 de Julio) como punto de representación de los datos de ese año. METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS PARA UN NUMERO PAR DE AÑOS Para una serie de datos con un número par de años el método dice que hagamos lo siguiente: i)

Codificación del tiempo.

Le asignamos al primer año de la serie el código 0, convirtiendo de esta manera el primer año de la serie en el año origen. Después, a cada año sucesivo se le asignan los códigos 1, 2, 3, 4, ..., de modo que el último año en la serie, el n-ésimo año, tenga el código n-1.

ii)

Aplicar las mismas fórmulas que utilizamos para estimar la función de regresión poblacional. n

n

b1 

 x Yi i

n

x Y i

-

.

n

.

 n

 .



x -  2 i

i

.

2



n

x .

n

i





Representa el cambio anual estimado del valor anual de Y.

150 n

b0 

iii)



Yi - b1

.

n

x

Representa el valor anual estimado de Y para X  0.

i

.

n Obtener la ecuación de tendencia lineal

Sustituir bo y b1 en la expresión: ˆ = bo + b1X Y Origen: 1 de julio del año X = 0 X en años

EJEMPLO 1 Las ventas anuales de una empresa desde el año 1997 al 2002 se presentan a continuación en decenas de miles de C$ AÑO 1997 1998 1999 2000 2001 2002

xi 0 1 2 3 4 5 15

a) Construya el gráfico de la serie

Yi Ventas 78 70 65 46 46 35 340

xi Yi 0 70 130 138 184 175 697

x i2 0 1 4 9 16 25 55

151

Y

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1996

1997

1998

0

1

1999 2000 2

3

2001

2002

4

5

2003 X

Figura 4.3 b) Encuentre la ecuación de tendencia lineal e interprete bo y b1

b1 

(15) (340) 6 ( 15) 2 55 6

bo 

340  8.7429 (15) 6

697 -





697 - 850 - 153   - 8.7429 55 - 37.5 17.5

340  131.1435 471.1435   78.5239 6 6

La ecuación de tendencia lineal es ˆ = 78.5239 - 8.7429 X Y Origen: 1- Jul - 97 X en años La disminución anual estimada de las ventas anuales es 8.7429 en decenas de miles de C$. La venta anual estimada para el año 97 es 78.5239 en decenas de miles de C$. c) Trace la línea de tendencia sobre el gráfico de la serie Determinaremos los pares ordenados de dos puntos cualesquiera suficientemente alejados, digamos ˆ = 78.5239 Para x = 0, Y en decenas de miles de C$ ˆ = 78.5239 - 8.7429 (5) = 78.5239 - 43.7145 = 34.8094 Para x = 5, Y en dec. miles C$ En la figura 4.3 se han unido estos puntos con una recta d) Prediga las ventas anuales para el año 2003 ˆ = 78.5239 - 8.7429 (6) = 78.5239 - 52.4574 = 26.0665 en dec. de miles de C$ Para x = 6, Y METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS PARA UN NUMERO IMPAR DE AÑOS Para una serie de tiempo con un número impar de años el método dice que hagamos lo siguiente:

152

i)

Codificación del tiempo.

El esquema más eficiente de codificación que se puede seleccionar para facilitar los cálculos es elegir el año central de la sucesión como origen y asignarle el código x = 0. Después, a todos los años posteriores se les asignan códigos crecientes de enteros 1, 2, 3, 4, ... , mientras que a todos los años anteriores se les asignan códigos decrecientes de enteros -1, -2, -3, -4, ... , de modo que n

 xi 

siempre ocurrirá que

0

.

ii)

Aplicar las mismas fórmulas que utilizamos para estimar la función de regresión poblacional.

El esfuerzo de los cálculos se reduce haciendo

 xi 

0 en dichas fórmulas, con lo cual quedan

.

así: n

b1 

x

i

Yi

.

n

x

Representa el cambio anual estimado del valor anual de Y 2 i

.

n

b0  iii)

Y

i

.

Representa el valor anual estimado de Y para

X  0.

n

Obtener la ecuación de tendencia lineal

Sustituir los valores bo y b1 en la expresión ˆ = b o + b1 X Y Origen: 1 de Julio del año X = 0 X en años

EJEMPLO 2 Las ventas anuales de una empresa desde el año 1999 al 2003 se presentan a continuación en decenas de miles de C$ Yi

153

AÑO 1999 2000 2001 2002 2003

xi -2 -1 0 1 2 0

Ventas 32 46 50 66 68 262

x i2 4 1 0 1 4 10

xi Yi -64 -46 0 66 136 92

a) Haga el gráfico de la serie Y

80 70 60 50 40 30 20 10 0 1998

1999

2000

-2

-1

2001 0

2002 1

2003

2004

2

X Figura 4.4 b) Encuentre la ecuación de tendencia lineal e interprete bo y b1 92  9.2 10 El incremento anual estimado de las ventas anuales es 9.2 en dec miles C$

b1 



bo La venta anual estimada para el año 2001 es 52.4 en dec miles C$

La ecuación de tendencia lineal es ˆ = 52.4 + 9.2 X Y Origen: 1 – Jul - 2001 X en años

c) Trace la línea de tendencia sobre el gráfico de la serie ˆ = 52.4 + 9.2 (-2) = 34 Para x = -2, Y ˆ = 52.4 + 9.2 (2) = 70.8 Para x = 2, Y

262 5

 52.4

154

d) Prediga las ventas para el año 2004 ˆ = 52.4 + 9.2 (3) = 80 en dec. miles C$ Para x = 3, Y 4.4 ANALISIS DE LAS SERIES DE TIEMPO CON DATOS TRIMESTRALES Las observaciones de una variable de interés Y de una serie de tiempo pueden corresponder a períodos más pequeños que los de un año tales como: trimestres, meses, semanas, días, etc. Analicemos ahora las series de tiempo con datos trimestrales. 4.4.1 CALCULO DE LA TENDENCIA Cuando se trabaja con una serie de tiempo con datos trimestrales y queremos obtener su tendencia lineal, se ahorrará mucho esfuerzo sin demasiada pérdida de exactitud si se forman los totales anuales (la suma de los valores trimestrales de cada año) y se ajusta una línea de tendencia de mínimos cuadrados a los datos anuales. La expresión resultante, en términos anuales, se puede convertir con facilidad a términos trimestrales al dividir el intercepto entre 4 y la pendiente entre 16. Luego se hace el desplazamiento del origen de la serie desde el 1 de Julio hasta el centro del siguiente trimestre formado por Julio, Agosto y Septiembre (15 de Agosto), sumando la mitad del valor de la pendiente en la ecuación de tendencia trimestral anterior. La idea anterior queda reflejada así: Ecuación de tendencia lineal anual ˆ  b 0  b1X Y Origen : 1 de Julio del año X  0 X en años

donde y

Ecuación de tendencia lineal trimestral 

ˆ  b 0  b1 ( X  0.5 ) Y 4 16 Origen :15 de Agosto del año X  0 X en trimestres

b1 representa el cambio trimestral estimado del valor trimestral de Y 16

b 0 b1  (0.5) representa el valor trimestral estimado de Y para X = 0 (el trimestre origen) 4 16

EJEMPLO 3 Los datos que aparecen a continuación son las importaciones trimestrales de materiales de construcción en miles de dólares durante el período 2000 - 2002 Trimestre

155

AÑO 2000 2001 2002 a)

1 90 83 125

2 104 99 170

3 113 126 165

4 100 127 144

Construir un gráfico de las importaciones trimestrales. Y

180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1

2

3

2000

4

1

2

3

4

2001

1

2

3

4

2002

X

Figura 4.5 b) Determinar la ecuación de tendencia lineal de las importaciones trimestrales e interprete el intercepto y la pendiente estimada. Yi AÑO xi Imp xi Yi x i2 2000 -1 407 -407 1 2001 0 435 0 0 2002 1 604 604 1 0 1446 197 2 n

b1 

x

i

Yi

.

n

x

n

 2 i

197 2

 98.5 en miles de $,

.

de $

La ecuación de tendencia lineal de los totales anuales es ˆ = 482 + 98.5 X Y Origen: 1 – Jul -2001

b0 

Y

i

.

n



1446 3

 482 en miles

156

X en años Para convertir la ecuación de tendencia anual anterior a una de tendencia trimestral cuyo origen sea el 15 de Agosto de 2001 procedemos así. ˆ  Y

482 4



98.5 ( X  0.5 ) 16

ˆ = 120.5 + 6.1562 ( X + 0.5 ) = 120.5 + 3.0781 + 6.1562 X Y ˆ = 123.5781 + 6.1562 X Y

Origen: 15 – Ago - 2001 X en trimestres Interpretación de la pendiente y el intercepto: El aumento trimestral estimado de las importaciones trimestrales es 6.1562 en miles de dólares. La importación trimestral estimada para el tercer trimestre del año 2001 es 123.5781 en miles de dólares. c) Trace sobre el gráfico anterior la recta de tendencia Determinaremos los pares ordenados de dos puntos cualesquiera suficientemente alejados, digamos los correspondientes al primer trimestre del año 2000 y al cuarto trimestre del año 2002. Como X toma el valor 0 para el tercer trimestre del año 2001 (porque es el trimestre origen) , X tomará el valor -6 para el primer trimestre del año 2000 y el valor 5 para el cuarto trimestre del año 2002. Para X = -6,

ˆ = 123.5781 + 6.1562 (-6 ) = 123.5781 - 36.9372 = 86.6409 Y

ˆ = 123.5781 + 6.1562 (5 ) = 123.5781 + 30.781 = 154.3591 Para X = 5, Y

En la figura 4.5 se han unido estos puntos con una recta d) Prediga las importaciones trimestrales para el primer trimestre de 2003 ˆ = 123.5781 + 6.1562 (6 ) = 123.5781 + 36.9372 = 160.5153 en miles de dólares Para X = 6, Y

4.4.2 CALCULO DE LOS INDICES ESTACIONALES Las variaciónes estacionales de una serie de tiempo pueden detectarse haciendo que las observaciones de la variable de interés Y correspondan a periodos de tiempo pequeños (días, semanas, meses o trimestres).

157

Las medidas de las variaciones estacionales serán expresadas por números índices estacionales. Un procedimiento para determinar los índices estacionales es el siguiente. METODO DEL COCIENTE DEL PROMEDIO MOVIL Este método esta basado en el modelo multiplicativo de una serie que expresa que cualquier valor observado Yi es el producto de los valores de las cuatro componentes, es decir, ˆ i · Si · Ci · Ii Yi = Y ˆ i es la tendencia que expresaremos en las mismas unidades de los datos originales, donde Y mientras que las componentes Si , Ci , Ii son los valores de las variaciones estacionales, cíclicas e irregulares respectivamente que expresaremos como porcentajes cuyo valor medio es 100. ˆ i , Ci e Ii de las observaciones originales Yi Los índices estacionales serán obtenidos eliminando Y en base a cocientes según los siguientes pasos. 1. Determinar el total móvil de 4 trimestres para la serie de tiempo. De la suma de los valores de los 4 trimestres del primer año obtenemos el total móvil de esos trimestres, el cual se asociará al punto medio de dichos trimestres. El siguiente total móvil se obtiene eliminando del total móvil anterior el valor del primer trimestre del primer año y agregando el valor del primer trimestre del segundo año, el cual se asociará al punto medio de los 4 trimestres que se conservan. Continuamos de esta manera el proceso de desplazar el total móvil de 4 trimestres sobre la serie de tiempo hasta incluir el último valor de ella. 2. Asociarle a cada total móvil un promedio móvil de 4 trimestres. La división de cada total móvil por 4 proporciona un promedio móvil. 3. Calcular los promedios móviles centrados. Asociamos a cada trimestre (excepto los dos primeros y los dos últimos de la serie de tiempo) el promedio de los dos promedios móviles que caen arriba y abajo, que llamaremos promedio móvil centrado. Con este proceso de divisiones se han eliminado los componentes estacionales e irregulares (Si Ii) quedando los componentes cíclicos y los de tendencia, esto es, la tendencia cíclica ˆ iCi ) (Y

4. Determinar qué porcentaje de cada promedio móvil centrado es igual a su valor trimestral correspondiente. Para determinar este porcentaje dividimos cada valor trimestral entre su correspondiente promedio móvil centrado, luego multiplicamos el resultado por 100. Este paso nos permite aislar los componentes estacional e irregular así

158

Yi ˆ i Ci Y

(100) 

ˆ i Si C i I i Y ˆ i Ci Y

(100)  S i I i (100)

5. Arreglar los porcentajes de los promedios móviles centrados Si Ii(100) del paso anterior según el número de trimestre de cada año luego calculamos el promedio de los primeros, segundos, terceros y cuartos trimestres de los años de la serie. Los valores Si Ii para los mismos trimestres se promedian para eliminar I i quedando aislado de esta manera el índice estacional Si . Por tanto cada número de trimestre tendrá asociado un índice estacional, esto es, habrán 4 índices estacionales. 6. Ajustar los índices estacionales. La base de un índice estacional es 100, en consecuencia, los 4 índices deberán sumar 400. Si la suma de los 4 índices estacionales calculados no es igual a 400, para corregir este error multiplicamos cada uno de estos índices por una constante de ajuste que determinamos así. Constante de ajuste 

Suma deseada de los índices Suma real de los índices

Los índices estacionales ajustados S se obtienen así: S = (Indice sin ajustar) (Constante de ajuste) Lográndose de esta manera que la suma de los 4 índices estacionales sea 400.

EJEMPLO 4 Para las importaciones trimestrales de materiales de construcción en miles de dólares del ejemplo 3. i) Calcule los índices estacionales para los 4 trimestres por el método del cociente del promedio móvil. Haga una representación gráfica de los índices estacionales.

159

METODO DEL COCIENTE DEL PROMEDIO MOVIL ( 1) (2) (3) (4) DATOS TOTAL MOVIL DE PROMEDIO PROMEDIO PORCENTAJE DEL AÑO TRIMESTRE YI = YSCI 4 TRIMEST. MOVIL MOVIL CENTRADO PROMEDIO MOVIL 2000

1 2

90 104

3

113

4 2001

407

101.75

400

100.00

100

1

395

98.75

408

102.00

435

108.75

477

119.25

548

137.0

587

146.75

604 -

151.0 -

83

2

99

3

126

4 2002

-

127

1

125

2

170

3 4

165 144

-

-

100.9

112.0

99.4

100.6

100.4

82.7

105.4

93.9

114.0

110.5

128.1

99.1

141.9

88.1

148.9

114.2

-

-

5. Los porcentajes del promedio móvil (SI) para los mismos trimestre se promedian para eliminar I quedando solamente los índices estacionales pero sin ajustar

AÑO 2000 2001 2002 Indice estacional sin ajustar Indice estacional ajustado (S)

1 82.7 88.1 85.4 85.3

Trimestres 2 3 112.0 93.9 110.5 114.2 104.0 111.2 103.9 111.1

4 100.6 99.1 99.8 99.7

Suma real = 400.40 Suma deseada = 400

6. Ajustemos ahora los índices estacionales Constante de ajuste =

Suma deseada de los indices Suma real de los índices



400 400.4

 0.9990

Indice estacional ajustado = (Indice sin ajustar)( constante de ajuste)

160

Una representación gráfica de los índices estacionales ajustados S es dada a continuación S

120 100 80 60 40 20 0

1

2

3

4

Trimestres Figura 4.6 ii)

Interprete los índices estacionales ajustados que corresponden al primero y tercer trimestre.

Las importaciones trimestrales del primer trimestre han estado por lo general un 14.7% por debajo de las importaciones trimestrales promedio del año cuyo centro corresponde a ese trimestre. Las importaciones trimestrales del tercer trimestre han estado por lo general un 11.1% por encima de las importaciones trimestrales promedio del año cuyo centro corresponde a ese trimestre. iii) Prediga las importaciones para el primer trimestre de 2003 utilizando la tendencia y los índices estacionales. ˆ = 123.5781 + 6.1562 (6 ) = 160.5153 Para X = 6, Y

Importaciones trimestrales para el primer trimestre del 2003 85.3% de 160.5153 = 160.5153 (0.853) = 136.9196 en miles de dólares.

APLICACIONES DE LOS INDICES ESTACIONALES Una aplicación frecuente de los índices estacionales consiste en eliminar los efectos de la estacionalidad en los datos de una serie de tiempo. A esos datos se les denomina datos ajustados estacionalmente o datos desestacionalizados. Los ajustes estacionales son de particular importancia cuando se desea comparar datos con períodos tales como (trimestres,meses, etc.) con el objeto de determinar si se ha presentado un aumento o una disminución con respecto a las expectativas estacionales.

161

Para desestacionalizar los valores de una serie dividimos los valores reales de la serie entre el índice estacional correspondiente y luego multiplicamos por 100, esto es, Yi (100) Si Yi Si

(100) 

Debido a que

ˆ S C I Y i i i i Si

ˆ C I (100) (100)  Y i i i

los datos desestacionalizados de una serie pueden verse como una tendencia cíclica irregular expresada en las mismas unidades que los datos originales, pero que no representan ocurrencias reales, más bien son valores que sólo tienen sentido para propósitos de comparación. EJEMPLO 5. Para las importaciones trimestrales de materiales de construcción en miles de dólares del ejemplo 3. i) Calcule las importaciones trimestrales desestacionalizadas para 2002. Trim 1 2 3 4

Yi 125 170 165 144

S 85.3 103.9 111.1 99.7

Yi desestacionalizado 146.5 163.6 148.5 144.4

ii) Comente la comparación de las importaciones trimestrales de los trimestres primero y segundo de 2002, con base en los valores trimestrales reales y los valores trimestrales desestacionalizados. Al pasar del primero al segundo trimestre hay un aumento de las importaciones trimestrales de 45 mucho mayor que lo esperado estacionalmente 152.3 - 125 = 27.3, pues se considera que la tendencia cíclica irregular de las importaciones trimestrales la levantó al pasar de 146.5 a 163.6 iii) Comente la comparación de las importaciones trimestrales de los trimestres segundo y tercero de 2002, con base en los valores trimestrales reales y los valores trimestrales desestacionalizados Al pasar del segundo al tercer trimestre las importaciones trimestrales disminuyen 5 contrario a lo que estacionalmente se esperaba que era un aumento de 181.8 - 170 = 11.8 , se considera que la tendencia cíclica irregular de las importaciones trimestrales la bajó al pasar de 163.6 a 148.5

EJERCICIOS PROPUESTOS DEL TEMA 4: SERIES DE TIEMPO. 1. Con qué componente de una serie de tiempo asociaría usted cada uno de los siguientes factores: a)

Un aumento en las ventas de televisores en el mes de Diciembre.

162

b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)

Una declinación durante dos años en la construcción de viviendas. Una huelga de trabajadores de la industria automotriz Un aumento de las ventas de helados en un trimestre de verano. Un descenso de la mortalidad infantil en el período 1990 – 2003. Una caída súbita en la producción tabacalera debido a una plaga (moho azul). Un aumento de la producción de papas en el período de marzo y abril. Una declinación en las ventas de helados en el mes de Diciembre a causa del frío. Un aumento en el rendimiento de arroz debido al desarrollo de nuevas variedades de este cereal. La repetición sistemática de la crisis en la economía capital. Un aumento del Producto Nacional Bruto (PNB) durante 3 años.

2. Supongamos que se dispone de datos sobre las ventas trimestrales de libros de texto en la librería de la Universidad durante los últimos 10 años. a) ¿Cree usted que estos datos acusarían una tendencia definida? Explicar por qué. b) ¿Cree usted que estos datos trimestrales mostrarían un esquema estacional? ¿Si así fuera, porqué? c) ¿Qué factores podrían causar una variación cíclica en las ventas trimestrales? d) ¿Qué factores tenderían a causar variaciones irregulares en los datos? 3. La producción en Nicaragua de cierto artículo en millones de unidades durante los años 19962002 aparece en la siguiente tabla. Año 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 a) b) c) d)

Producción 10 9 8 8 5 6 3

Haga el gráfico de la serie. Encuentre la ecuación de tendencia lineal e interprete el intercepto y la pendiente. Pronostique la producción para el año 2003. Trace la línea de tendencia sobre el gráfico de la serie.

4. Una compañía de productos alimenticios tiene los siguientes datos sobre el número de cajas de cereal en miles que ha vendido en los últimos 6 años. Año 1997

Producción 21.0

163

1998 1999 2000 2001 2002

19.4 22.6 28.2 30.4 25.0

a) Construya el gráfico de la serie. b) Determine la ecuación de tendencia lineal que mejor se ajuste a los datos anteriores e interprete la pendiente y el intercepto. c) Prediga la venta del número de cajas de cereal para 2003 d) Trace la línea de tendencia sobre el gráfico del inciso a). 5. El total de ventas anuales de una compañía están dadas en millones de córdobas por la siguiente tabla. Año 1998 1999 2000 2001 2002

Ventas 21 24 29 29 34

a) Encontrar la ecuación de la recta de tendencia por el método de mínimos cuadrados. Interprete la pendiente. b) ¿Cuál sería la venta estimada para 2003? c) Encontrar la ecuación de la recta de tendencia de las ventas trimestrales de la compañía con origen en el 15-08-2000 6. Dados los siguientes datos sobre producción de una compañía en millones de unidades. Año 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Producción 24 17 20 18 14 15

a) Calcule la ecuación de la recta de tendencia por el método de los mínimos cuadrados. b) Pronostique la producción para los años 2003 y 2004 ¿Cuál de estos pronósticos sería más seguro? Argumente su respuesta. c) Convierta la ecuación calculada en a) a una ecuación de tendencia de producciones trimestrales con origen en el 15-8-1997. 7. Dados los siguientes datos sobre producción de café Año 1998 1999

Producción 80 82

164

2000 2001 2002

85 84 89

Pronostique la producción trimestral de café para el 2° trimestre de 2003. 8. Dada la siguiente serie relativa a la existencia de ganado ovino y caprino en miles de cabezas en una Empresa Agropecuaria.. Año

Ovino

caprino

Total

1999 2000 2001 2002

56 63 81 90

24 20 17 15

80 83 98 105

a) Determine la ecuación de tendencia lineal de la existencia total de ganado. Interprete la pendiente y el intercepto. b) Determine la ecuación de tendencia lineal de la existencia de ganado caprino. Interprete la pendiente. c) Pronostique la existencia de ganado ovino para 2003. 9. Suponga que la siguiente ecuación nos expresa la estimación de tendencia de la producción anual de azúcar refinada en miles de toneladas métricas. ˆ = 677.7 + 1.4 X Y

Origen: 1 - 7 - 2000 X en años a) b)

Interprete los elementos que intervienen en esta ecuación dentro del contexto del problema. Pronostique la producción de azúcar para el 2° trimestre de 2003

10. La ecuación de tendencia para las producciones trimestrales de cierto artículo (en miles de unidades) es: ˆ = 12.25 + 0.50 X Y Origen:15 - 08 - 2001 X en trimestres a) Interprete los elementos que intervienen en esta ecuación dentro del contexto del problema. b) Prediga la producción para el 1er trimestre de 2003.

11. Los datos que aparecen a continuación son las ventas trimestrales en millones de una empresa durante el período 2000-2002. Trimestres Año 1 2 3 4 2000

4.9

5.9

6.1

7.6

165

2001 2002

5.0 5.7

6.3 7.0

6.6 7.5

8.3 9.2

a) Construir un gráfico de las ventas trimestrales. b) Determinar la ecuación de tendencia lineal de las ventas trimestrales. Trace sobre el gráfico anterior la recta de tendencia e interprete la pendiente estimada. c) Calcule los índices estacionales para los cuatro trimestres. Haga una representación gráfica de los índices estacionales e interprete el 4º índice estacional. d) Calcule las ventas trimestrales desestacionalizada para 2001. e) Comente la comparación de las importaciones trimestrales de los trimestres tercero y cuarto de 2001, con base en los valores trimestrales reales y los valores trimestrales desestacionalizados. 12. La siguiente tabla muestra la producción trimestral de mantequilla en millones de libras de un cierto país hipotético durante los años 1999 - 2002. Trimestres Año 1 2 3 4 1999 2000 2001 2002

3.8 3.3 2.5 2.6

4.7 4.4 4.0 3.8

3.3 3.5 3.2 3.4

2.7 2.9 2.6 2.2

a) Construir un gráfico de las producciones trimestrales. b) Determinar la ecuación de tendencia lineal de las producciones trimestrales. Trace sobre el gráfico anterior la recta de tendencia. c) Calcule los índices estacionales para los cuatro trimestres e interprete el 2º índice estacional d) Pronostique las producciones trimestrales para el 3er trimestre de 2003 utilizando la ecuación de tendencia y los índices estacionales. 13. A continuación aparecen datos trimestrales de ventas ( en miles de córdobas ) para una pequeña empresa de materiales de construcción en 3 años recientes. Trimestres Año 1 2 3 4 1 2 3

50 45 35

35 35 20

25 20 15

40 30 25

a) Construya un gráfico de las ventas trimestrales y observe si hay un patrón estacional constante. b) Determinar la ecuación de tendencia lineal de las ventas trimestrales. Trace sobre el gráfico anterior la recta de tendencia e interprete la pendiente estimada. c) Calcule los índices estacionales para los cuatro trimestres. Haga una representación gráfica de los índices estacionales e interprete el 3er. Índice estacional. 14. Una compañía constructora ha reunido datos trimestrales sobre número de casas que ha iniciado durante los últimos cuatro años. Trimestres Año 1 2 3 4 1999

7

9

6

4

166

2000 2001 2002

8 8 9

10 11 12

7 7 8

4 5 6

a) Construir un gráfico del número de casas que ha iniciado trimestralmente. b) Determinar la ecuación de tendencia lineal del número de casas iniciadas trimestralmente. Trace sobre el gráfico anterior la recta de tendencia e interprete la pendiente estimada. c) Calcule los índices estacionales para los cuatro trimestres. Haga una representación gráfica de los índices estacionales e interprete el 2º índice estacional. e) Pronostique el número de casas que se iniciarán para el 2° trimestre de 2003 utilizando la ecuación de tendencia y los índices estacionales. 15. La producción trimestral de madera de pino, en miles de pies cuadrados del aserradero LUMBER, desde 1999 es: Trimestres Año 1 2 3 4 1999 2000 2001 2002

7.8 6.9 8.9 10.7

10.2 11.6 9.7 12.4

14.7 17.5 15.3 16.8

9.3 9.3 10.1 10.7

a) Determine el patrón estacional para los datos de producción e interprételo. b) Desestacionalice los datos correspondientes a 2002. c) Comente la comparación de las importaciones trimestrales de los trimestres segundo y tercero de 2002, con base en los valores trimestrales reales y los valores trimestrales desestacionalizados. 16. Un fabricante de cierto artículo comprueba que el índice estacional de ventas en el 1 er trimestre es de 40%, en tanto que en el 2° trimestre es de 160%. ¿Cómo interpretaría usted estos resultados? 17. El índice estacional de ventas para la compañía ABC en el 1er trimestre fue de 40%. Si en el primer trimestre de 2002 las ventas totalizaron 120 millones de córdobas ¿A qué son iguales las ventas desestacionalizadas? 18. El personal empleado por una industria de productos químicos agrícolas aumentó de 10 mil en el 2° trimestre a 15 mil en el 3 er trimestre. La información desestacionalizada índica una declinación de 10 mil a 7.5 mil. a) ¿Cuál es el índice estacional para el 3er trimestre? b) ¿Cómo explicaría la declinación en esta información desestacionalizada?. Tabla 1

Tabla de números aleatorios Columna

Fila 1 2

1 10480 22368

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15011 46573

01536 25595

02011 85393

81647 30995

91646 89198

69179 27982

14194 53402

62590 93965

36207 34095

20969 52666

99570 19174

91291 39615

90700 99505

167 3 4 5

24130 42167 37570

48360 93093 39975

22527 06243 81837

97265 61680 16656

76393 07856 06121

64809 16376 91782

15179 39440 60468

24830 53537 81305

49340 71341 49684

32081 57004 60672

30680 00849 14110

19655 74917 06927

63348 97758 01263

58629 16379 54613

6 7 8 9 10

77921 99562 96301 89579 85475

06907 72905 91977 14342 36857

11008 56420 05463 63661 53342

42751 69994 07972 10281 53988

27756 98472 18876 17453 53060

53498 31016 20922 18103 59533

18602 71194 94595 57740 38867

70659 18738 56869 84378 62300

90655 44013 69014 25331 08158

15053 48840 60045 12566 17983

21916 63213 18425 58678 16439

81825 21069 84903 44947 11458

44394 10634 42508 05585 18593

42880 12952 32307 56941 64952

11 12 13 14 15

28918 63553 09429 10356 07119

69578 40961 93969 61129 97336

88231 48235 52636 87529 71048

33276 03427 92737 85689 08178

70997 49626 88974 48237 77233

79936 69445 33488 52267 13916

56865 18663 36320 67689 47564

05859 72695 17617 93394 81056

90106 52180 30015 01511 97735

31595 20847 08272 26358 85977

01547 12234 84115 85104 29372

85590 90511 27156 20285 74461

91610 33703 30613 29975 28551

78188 90322 74952 89868 90707

16 17 18 19 20

51085 02368 01011 52162 07056

12765 21382 54092 53916 97628

51821 52404 33362 46369 33787

51259 60268 94904 58586 09998

77452 89368 31273 23216 42698

16308 19885 04146 14513 06691

60756 55322 18594 83149 76988

92144 44819 29852 98736 13602

49442 01188 71585 23495 51851

53900 65255 85030 64350 46104

70960 64835 51132 94738 88916

63990 44919 01915 17752 19509

75601 05944 92747 35156 25625

40719 55157 64951 35749 58104

21 22 23 24 25

48663 54164 32639 29334 02488

91245 58492 32363 27001 33062

85828 22421 05597 87637 28834

14346 74103 24200 87308 07351

09172 47070 13363 58731 19731

30168 25306 38005 00256 92420

90229 76468 94342 45834 60952

04734 26384 28728 15398 61280

59193 58151 35806 46557 50001

22178 06646 06912 41135 67658

30421 21524 17012 10367 32586

61666 15227 64161 07684 86679

99904 96909 18296 36188 50720

32812 44592 22851 18510 94953

26 27 28 29 30

81525 29676 00742 05366 91921

72295 20591 57392 04213 26418

04839 68086 39064 25669 64117

96423 26432 66432 26422 94305

24878 46901 84673 44407 26766

82651 20849 40027 44048 25940

66566 89768 32832 37937 39972

14778 81536 61362 63904 22209

76797 86645 98947 45766 71500

14780 12659 96067 66134 64568

13300 92259 64760 75470 91402

87074 57102 64584 66520 42416

79666 80428 96096 34693 07844

95725 25280 98253 90449 69618

31 32 33 34 35

00582 00725 69011 25976 09763

04711 69884 65795 57948 83473

87917 62797 95876 29888 73577

77341 56170 55293 88604 12908

42206 86324 18988 67917 30883

35126 88072 27354 48708 18317

74087 76222 26575 18912 28290

99547 36086 08625 82271 35797

81817 84637 40801 65424 05998

42607 93161 59920 69774 41688

43808 76038 29841 33611 34952

76655 65855 80150 54262 37888

62028 77919 12777 85963 38917

76630 88006 18501 03547 88050

36 37 38 39 40

91567 17955 46503 92157 14577

42595 56349 18584 89634 62765

27958 90999 18845 94824 35605

30134 49127 49618 78171 81263

04024 20044 02304 84610 39667

86385 59931 51038 82834 47358

29880 06115 20655 09922 56873

99730 20542 58727 25417 56307

55536 18059 28168 44137 61607

84855 02008 15475 48413 49518

29080 73708 56942 25555 89656

09250 83517 53389 21246 20103

79656 36103 20562 35509 77490

73211 42791 87338 20468 18062

41 42 43 44 45

98427 34914 70060 53976 76072

07523 63976 28277 54914 29515

33362 88720 39475 06990 40980

64270 82765 46476 67245 07391

01638 34476 23219 68350 58745

92477 17032 53416 82948 25774

66969 87589 94970 11398 22987

98420 40836 25832 42878 80059

04880 32427 69975 80287 39911

45585 70002 94884 88267 96189

46565 70663 19661 47363 41151

04102 88863 72828 46634 14222

46880 77775 00102 06541 60697

45709 69348 66794 97809 59583

46 47 48 49 50

90725 64364 08962 95012 15664

52210 67412 00358 68379 10493

93974 33339 31662 93526 20492

29992 31926 25388 70765 38391

65831 14883 61642 10592 91132

38857 24413 34072 04542 21999

50490 59744 81249 76463 59516

83765 92351 35648 54328 81652

55657 97473 56891 02349 27195

14361 89286 69352 17247 48223

31720 35931 48373 28865 46751

57375 04110 45578 14777 22923

56228 23726 78547 62730 32261

41546 51900 81788 92277 85653

51

16408

81899

04153

53381

79401

21438

83035

92350

36693

31238

59649

91754

72772

02338

Tabla 2 z

Función de distribución acumulada de Z 0

1

2

3

4

5

6

7

(Areas a la izquierda de z) 8

9

168 -3.

.0013

-2.9 -2.8 -2.7 -2.6 -2.5

.0019 .0026 .0035 .0047 .0062

.0018 .0025 .0034 .0045 .0060

.0017 .0024 .0033 .0044 .0059

.0017 .0023 .0032 .0043 .0057

.0016 .0023 .0031 .0041 .0055

.0016 .0022 .0030 .0040 .0054

.0015 .0021 .0029 .0039 .0052

.0015 .0021 .0028 .0038 .0051

.0014 .0020 .0027 .0037 .0049

.0014 .0019 .0026 .0036 .0048

-2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2.0

.0082 .0107 .0139 .0179 .0227

.0080 .0104 .0136 .0174 .0222

.0078 .0102 .0132 .0170 .0217

.0075 .0099 .0129 .0166 .0212

.0073 .0096 .0125 .0162 .0207

.0071 .0094 .0122 .0158 .0202

.0069 .0091 .0119 .0154 .0197

.0068 .0089 .0116 .0150 .0192

.0066 .0087 .0113 .0146 .0188

.0064 .0084 .0110 .0143 .0183

-1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5

.0287 .0359 .0446 .0548 .0668

.0281 .0351 .0436 .0537 .0655

.0274 .0344 .0427 .0526 .0643

.0268 .0336 .0418 .0516 .0630

.0262 .0329 .0409 .0505 .0618

.0256 .0322 .0401 .0495 .0606

.0250 .0314 .0392 .0485 .0594

.0244 .0307 .0384 .0475 .0582

.0239 .0300 .0375 .0465 .0571

.0233 .0294 .0367 .0455 .0559

-1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1.0

.0808 .0968 .1151 .1357 .1587

.0793 .0951 .1131 .1335 .1562

.0778 .0934 .1112 .1314 .1539

.0764 .0918 .1093 .1292 .1515

.0749 .0901 .1075 .1271 .1492

.0735 .0885 .1056 .1251 .1469

.0721 .0869 .1038 .1230 .1446

.0708 .0853 .1020 .1210 .1423

.0694 .0838 .1003 .1190 .1401

.0681 .0823 .0985 .1170 .1379

-.9 -.8 -.7 -.6 -.5

.1841 .2119 .2420 .2743 .3085

.1814 .2090 .2389 .2709 .3050

.1788 .2061 .2358 .2676 .3015

.1762 .2033 .2326 .2643 .2981

.1736 .2005 .2297 .2611 .2946

.1711 .1977 .2266 .2578 .2912

.1685 .1949 .2236 .2546 .2877

.1660 .1921 .2206 .2514 .2843

.1635 .1894 .2177 .2483 .2810

.1611 .1867 .2148 .2451 .2776

-.4 -.3 -.2 -.1 -.0

.3446 .3821 .4407 .4602 .5000

.3409 .3783 .4168 .4562 .4960

.3372 .3745 .4129 .4522 .4920

.3336 .3707 .4090 .4483 .4880

.3300 .3669 .4052 .4443 .4840

.3264 .3632 .4013 .4404 .4801

.3228 .3594 .3974 .4364 .4761

.3192 .3557 .3936 .4325 .4721

.3156 .3520 .3897 .4286 .4681

.3121 .3483 .3859 .4247 .4641

.0 .1 .2 .3 .4

.5000 .5398 .5793 .6179 .6554

.5040 .5438 .5832 .6217 .6591

.5080 .5478 .5871 .6255 .6628

.5120 .5517 .5910 .6293 .6664

.5160 .5557 .5948 .6331 .6700

.5199 .5596 .5987 .6368 .6736

.5239 .5636 .6026 .6406 .6772

.5279 .5675 .6064 .6443 .6808

.5319 .5714 .6103 .6480 .6844

.5359 .5753 .6141 .6517 .6879

.5 .6 .7 .8 .9

.6915 .7257 .7580 .7881 .8159

.6950 .7291 .7611 .7910 .8186

.6985 .7324 .7642 .7939 .8212

.7019 .7357 .7673 .7967 .8238

.7054 .7389 .7704 .7995 .8264

.7088 .7422 .7734 .8023 .8289

.7123 .7454 .7764 .8051 .8315

.7157 .7486 .7794 .8079 .8340

.7190 .7517 .7823 .8106 .8365

.7224 .7549 .7852 .8133 .8389

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

.8413 .8643 .8849 .9032 .9192

.8438 .8665 .8869 .9049 .9207

.8461 .8686 .8888 .9066 .9222

.8485 .8708 .8907 .9082 .9236

.8508 .8729 .8925 .9099 .9251

.8531 .8749 .8944 .9115 .9265

.8554 .8770 .8962 .9131 .9279

.8577 .8790 .8980 .9147 .9292

.8599 .8810 .8997 .9162 .9306

.8621 .8830 .9015 .9177 .9319

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

.9332 .9452 .9554 .9641 .9713

.9345 .9463 .9564 .9649 .9719

.9357 .9474 .9573 .9656 .9726

.9370 .9484 .9582 .9664 .9732

.9382 .9495 .9591 .9671 .9738

.9394 .9505 .9599 .9678 .9744

.9406 .9515 .9608 .9686 .9750

.9418 .9525 .9616 .9693 .9756

.9429 .9535 .9625 .9700 .9761

.9441 .9545 .9633 .9706 .9767

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

.9773 .9821 .9861 .9893 .9918

.9778 .9826 .9864 .9896 .9920

.9783 .9830 .9868 .9898 .9922

.9788 .9834 .9871 .9901 .9925

.9793 .9838 .9875 .9904 .9927

.9798 .9842 .9878 .9906 .9929

.9803 .9846 .9881 .9909 .9931

.9808 .9850 .9884 .9911 .9932

.9812 .9854 .9887 .9913 .9934

.9817 .9857 .9890 .9916 .9936

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

.9938 .9953 .9965 .9974 .9981

.9940 .9955 .9966 .9975 .9982

.9941 .9956 .9967 .9976 .9982

.9943 .9957 .9968 .9977 .9983

.9945 .9959 .9969 .9977 .9984

.9946 .9960 .9970 .9978 .9984

.9948 .9961 .9971 .9979 .9985

.9949 .9962 .9972 .9979 .9985

.9951 .9963 .9973 .9980 .9986

.9952 .9964 .9974 .9981 .9986

3.

.9987

Tabla 3

Distribución t de Student

169

(Areas acumuladas a la derecha de t) G.L.

0.10

0.05

0.025

1 2 3 4 5

3.078 1.886 1.638 1.533 1.476

6.314 2.920 2.353 2.132 2.015

12.706 4.303 3.182 2.776 2.571

6 7 8 9 10

1.440 1.415 1.397 1.383 1.372

1.943 1.895 1.860 1.833 1.812

11 12 13 14 15

1.363 1.356 1.350 1.345 1.341

16 17 18 19 20

0.01

0.005

0.0005

31.821 6.965 4.541 3.747 3.365

63.657 9.925 5.841 4.604 4.032

636.619 31.598 12.941 8.610 6.859

2.447 2.365 2.306 2.262 2.228

3.143 2.998 2.896 2.821 2.764

3.707 3.499 3.355 3.250 3.169

5.959 5.405 5.041 4.781 4.587

1.796 1.782 1.771 1.761 1.753

2.201 2.179 2.160 2.145 2.131

2.718 2.681 2.650 2.624 2.602

3.106 3.055 3.012 2.977 2.947

4.437 4.318 4.221 4.140 4.073

1.337 1.333 1.330 1.328 1.325

1.746 1.740 1.734 1.729 1.725

2.120 2.110 2.101 2.093 2.086

2.583 2.567 2.552 2.539 2.528

2.921 2.898 2.878 2.861 2.845

4.015 3.965 3.922 3.883 3.850

21 22 23 24 25

1.323 1.321 1.319 1.318 1.316

1.721 1.717 1.714 1.711 1.708

2.080 2.074 2.069 2.064 2.060

2.518 2.508 2.500 2.492 2.485

2.831 2.819 2.807 2.797 2.787

3.819 3.792 3.767 3.745 3.725

26 27 28 29 30

1.315 1.314 1.313 1.311 1.310

1.706 1.703 1.701 1.699 1.697

2.056 2.052 2.048 2.045 2.042

2.479 2.473 2.467 2.462 2.457

2.779 2.771 2.763 2.756 2.750

3.707 3.690 3.674 3.659 3.646

40 60 120 

1.303 1.296 1.289 1.282

1.684 1.671 1.658 1.645

2.021 2.000 1.980 1.960

2.423 2.390 2.358 2.326

2.704 2.660 2.617 2.576

3.551 3.460 3.373 3.291

170

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