Estatica Dos Fluidos (1) 3kv46

CAPÍTULO 2 - ESTÁTICA DOS FLUIDOS 1.

INTRODUÇÃO A estática dos fluidos é a ramificação da mecânica dos fluidos que estuda o comportamento de um fluido em uma condição de equilíbrio estático.

Se a soma das forças externas agindo sobre um elemento fluido é zero, o fluido está em repouso ou em equilíbrio. Neste capitulo, consideraremos os fluidos em um estado de equilíbrio. Portanto, para um elemento de fluido em repouso, a tensão deve sempre atuar perpendicularmente à superfície do elemento. Esta tensão normal na ausência do movimento é denominada pressão. Os fluidos que possuem velocidade constante podem ser tratados estaticamente, uma vez que sua aceleração é nula. Há um grande número de aplicações de estática dos fluidos, como o estudo da distribuição da pressão na atmosfera e nos oceanos, a concepção de instrumentos de medida de pressão, freio de automóveis, prensas industriais, e a flutuabilidade dos corpos, etc.

PRINCIPIO DE PASCAL

Figura 2.1 – Elevador Hidraulico

Na figura apresentada a seguir, os êmbolos A e B possuem áreas de 80 cm2 e 20 cm2 , respectivamente. Despreze os pesos dos êmbolos e considere o sistema em equilibrio estático. Sabendo-se que a massa do corpo colocada em A é igual a 100kg, determine a massa colocada em B.

Figura 2.2 – Aplicação do principio de Pascal

Como com um simples pistão em um pedal, podemos parar um carro de uma tonelada?

Figura 2.3 – Aplicação do Principio de Pascal

1.1 EQUAÇÃO BÁSICA DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS A fim de determinar a variação de pressão, onde P(x,y,z), considere o elemento de fluido indicado na figura 1. As forças que atuam sobre o elemento de fluido são tensões no fluido vizinho (pressão) e a força devido à gravidade (peso)

Figura 2.4 – Forças sobre um elemento fluido.

As forças são iguais e opostas. Aplicando a 1ª lei de Newton: F = 0 e F = PA, obtemos as seguintes equações escalares em três direções:

 Fx  Px ΔyΔz   Px Δx  ΔyΔz   0

(2.1)

 Fy  Py  ΔxΔz   Py  Δy  ΔxΔz   ρg  ΔyΔxΔz   0

(2.2)

 Fz  Pz ΔxΔy   Pz  Δz ΔxΔy   0

(2.3)

Dividindo as equações 2.1, 2.2 e 2.3 por xyz e tomando o limite quando x, y ez tendem a zero, tem-se:

 Fx 

Px P P  x  Δx ~  0 Δx Δx x

 Fy 

Py

 Fz 

Δy



P  ρg ~   ρg  0 Δy y

Py  Δy

Pz Pz Δz ~ P   0 Δz Δz z

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Somando as equações 2.4, 2.5 e 2.6, tem-se:

 P P P     ρg  0      x y z    P  g  0  Eq. Básica da estática dos Fluidos P  g

(2.7)

Avaliando as equações 2.4, 2.5, 2.6 e 2.7, verificamos que com as considerações feitas, a pressão é independente das coordenadas x e z, e depende apenas de y, então:

dP  ρ.g y dy

(2.8)

g está no sentido de y negativo, logo:

dP   ρ.g dy

(2.9)

Fluidos Incompressíveis Se a densidade é constante, o fluido é referido como ''isocórico'' (ou seja, uma dada massa ocupa um volume constante), também conhecido como fluido incompressível. Se a gravidade (g) também é constante, as únicas variáveis são pressão e y, que podem então ser integradas entre quaisquer dois pontos em um determinado fluido, temos então: (2.9)

dP   ρ.g.dy P

y

Po

yo

 dP   ρ.g.  dy

(2.10)

P  P0   ρ.g.(y  y0 )

(2.11)

P  P0  ρ.g.(y0  y)

(2.12)

A diferença de pressão entre dois pontos, num fluido incompressível, é diretamente proporcional à diferença de altura entre esses dois pontos:

h  y0  y

P0  Patm

Assim a equação 2.12 torna-se:

P  Patm  ρ.g.h

(2.13)

P  Patm  ρ.g.h

(2.14)

O peso específico (peso por unidade de volume) é dado por:

γ  ρ.g

Kg  N ,  m 3 m 2  s 2 

A diferença de pressão (equação 2.13) entre dois pontos num fluido estático pode ser determinada medindo-se a diferença de elevação entre eles.

Assim a equação 2.12 torna-se:

P  Patm  ρ.g.h

(2.13)

P  Patm  ρ.g.h

(2.14)

A diferença de pressão (equação 2.13) entre dois pontos num fluido estático pode ser determinada medindo-se a diferença de elevação entre eles. O peso específico (peso por unidade de volume) é dado por:

γ  ρ.g

Kg  N  m 3 , m 2  s 2 

PRINCÍPIO DOS VASOS COMUNICANTES

Figura 2.5 – Vasos comunicantes

Gás Ideal Para um grande número de situações pode-se considerar alguns fluidos como sendo gases ideais, exemplo o ar, então ρ

PM RT

(2.15)

Então substituindo a equação 2.15 na 2.9 pode se representar da seguinte forma dP PMg  dy RT

(2.16)

Agora, se a temperatura é constante para todo y (condição isotérmica), tem-se entre dois pontos: dP Mg y2    dy RT y1 P1 P

P2

ln(P2 )  ln(P1 )  

P2  P1e



Mg  y2  y1  RT

Mg  y2  y1  RT

(2.17) (2.18) (2.19)

Já se tivermos uma condição onde não há transferência de calor nem dissipação de energia do fluido ando de um estado 1 para um estado 2, pode-se considerar um sistema isentrópico, então

P1 P  cte  ρk ρ1k

sendo

k

(2.20)

cv

A densidade pode ser eliminada utilizando a equação 2.20 na equação 2.15 T P   T1  P1 

k 1 k

(2.21)

Utilizando a equação 2.21 para eliminar T da equação 2.16, temos após a integração   k  1  gM  y2  y1    P2  P1  1    k RT   1  

(2.22)

Que relaciona temperatura com a pressão em dois pontos diferentes. Pode-se reescrever a equação 2.22 para medida da pressão em qualquer ponto da terra. A temperatura atmosférica cai quase linearmente com y até uma altitude de cerca de 11km, então

T  T1  By

(2.22)

Utiliza-se como ponto de referencia o nível do mar e para estes casos T1 é esta referência que vale 15ºC (media da temperatura ao nível do mar) e B igual 0,00605K/m.

Pressão Relativa, Absoluta e Vácuo Para a engenharia é necessário especificar a pressão como absoluta ou valor relativo a do ambiente. O valor relativo é geralmente utilizado em instrumentos de medida de pressão. A pressão sempre tem uma relação especifica com a pressão atmosférica local. A pressão pode ser dada pela relação a diversas referências, por exemplo: 1) Pressão Absoluta → Quando a referência é o vácuo absoluto. Os valores são positivos sempre; 2) Pressão Relativa ou Manométrica → Quando a referência é a pressão atmosférica; 3) Pressão Atmosférica Padrão → É a pressão média a nível do mar; 4) Pressão Atmosférica ou Pressão Atmosférica Local → É a pressão em qualquer ponto de elevação – medida pelo barômetro.

A figura 2.6 apresenta as diversas referências de pressão.

Referência das medidas de pressão.

Por tanto utilizando a Figura tem-se a seguinte relação para os manômetros.

Pman  Pabs  Patm

(2.23)

Desta forma a equação (2.14) torna-se:

Pman  ρgh  γh

(2.23)

Essa ultima equação indica que a pressão depende somente da profundidade abaixo da superfície livre. Desde que atenda as seguintes restrições: 1) Fluido Estático; 2) A gravidade é a única força de campo; 3) O eixo y é vertical e para cima.

Determine a pressão absoluta que um mergulhador esta submetido, quando se encontra nas seguintes condições mostradas na figura

Considerando que os dois meios apresentados na figura estão a 25ºC e a densidade da água do mar é 1030kg/m3 e a do lago de Itaipu é de 1000kg/m3. Solução: A pressão atmosférica para os dois casos é 101325Pa o que equivale a 101325 kg/ms2. Utilizando a equação 5.14 tem-se para o lago de Itaipu Pabs  101325

kg kg m kg  1000 .9,8 .15m  248325  248325Pa ms 2 m3 s2 ms 2

Fazendo o mesmo procedimento para o Oceano Atlântico Pabs  101325

kg kg m kg  1030 .9,8 .15m  2 52735  252735Pa ms 2 m3 s2 ms 2

A pressão que o mergulhador sofrerá no Oceano Atlântico é maior devido a densidade da água do mar ser maior.

A muitos casos de ambientes fluidos com diferentes concentrações ou fluidos. A figura 2.6 apresenta um recipiente contendo quatro fluidos imiscíveis. A pressão em cada mudança de fluido é calculada separadamente.

Figura 2.6 – Distribuição de pressão hidrostática em coluna contendo múltiplos fluidos. Se quisermos saber a pressão total na base podemos utilizar a seguinte função simplificada P4  Patm  ρ1 gh1  ρ2 g h2  h1   ρ3 g h3  h2   ρ4 g h4  h3 

(2.25)

A manometria consiste de um dos métodos mais convenientes para medir pressões, que emprega colunas de líquidos ou deformação elástica para determinar a de pressão desejada. Considere o tipo mais simples de manômetros o tubo em U mostrado na figura 2.7.

Figura 2.7 – Manômetro do tipo tubo em U. Para conseguir a expressão que dá a pressão (P) do manômetro mostrado na figura 2.7, a equação hidrostática deve ser aplicada dentro do mesmo fluido, do ponto de medição ao ponto de pressão de referência. Para este caso será adotado a pressão atmosférica como referência, sendo a mesma tanto na extremidade aberta quanto na do ponto 3.

Entre os pontos 0 e 1 no manômetro, tem -se: P  P1  ρa gy1

(2.26)

Como o ponto 1 e o ponto 2 estão no mesmo nível P1  P2

(2.27)

Então entre os pontos 2 e 3, tem-se: P2  P3  ρb gy 2

(2.28)

P1  Patm  ρb gy 2

(2.29)

ou

substitui ndo a equação 2.29 na equação 2.26 P  Patm  ρb gy 2  ρa gy1

(2.29)

Os manômetros de coluna de liquido são muito simples, mas apresentam respostas lentas e não podem ser utilizados em indústria de fármacos e alimentos. Para estes casos utilizam-se os manômetros de deformação elástica como: tipo fole, membrana ou bourbon.

Figura 2.8 – Manômetro do tipo fole.

Problemas: P2.1 – Manômetros de tubo inclinado são muito utilizados para medir pequenas variações de pressão em gases. Determine a pressão P0 para o esquema apresentando na figura 2.9.

Figura 2.9 – Manômetro de tubo inclinado.

P2.2 – Segundo o fabricante de

elevadores hidráulicos para carros seu novo

modelo a uma pressão máxima da 700kPa. Determine o diâmetro do pistão capaz de levantar todos os carros na tabela 2.1. Tabela 2.1 – Massa de diferentes automóveis Modelo

Massa (kg)

Peugeot 206 S16

1116

Ford KA

905

Audi A3

1233

S10 Cabine Estendida

1755

P2.3 - Considere um manômetro conectado a uma tubulação como mostrado na figura 2.10. Determine h.

Dados: a=1g/cm3; a=13,6g/cm3