Estatica Parte 1 482i5b
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2.23 Dos riostras resisten una fuerza de 3000 N como se indica en la figura. Determinar la componente
componente
Fv
Fu de la fuerza según el eje AB de una riostra y la
de la fuerza según el eje BC de la otra.
SOLUCIÓN: Diagrama de Cuerpo Lbre del componente AB y BC.
Fu Fv 3000 = = sen 75 ° sen 45 ° sen 60 ° Fu =
3000∗sen 45 ° =2196.1 N sen 75 °
F v=
3000∗sen 60 ° =2689.8 N sen 75 °
2.26 Una barra y una riostra resisten una fuerza de 100 kN en la forma que e indica en la figura. Determinar la componente de eje AB de la barra y la componente riostra.
Fv
Fu
de la fuerza según el
de la fuerza según el eje AC de la
SOLUCIÓN: Por ley de senos:
Fu Fv 100 = = sen 59.5 ° sen 53.1° sen 37.4 °
Fu =
100∗sen 53.1° =92.8 kN sen 59.5 °
FV =
100∗sen 67.4 ° =107.1 kN sen 59.5°
3.9 Una esfera homogénea que pesa 50N se apoya sobre dos planos lisos que forma una V según se indica en la figura P3-9. Determinar las fuerzas que dichos planos ejercen sobre la esfera en los puntos de o A y B.
SOLUCIÓN:
FA FB 50 = = sen 105 ° sen 30 ° sen 45 ° FA=
50∗sen 30 ° =25.88 kN sen 105°
F B=
50∗sen 45° =36.60 kN sen 105 °
3.14 las tuberías de 200 mm de diámetro representadas en la figura P3-14 tienen, cada una de ellas, una masa de 200kg. Determinar las fuerzas que ejercen los apoyos sobre las tuberías en los os A, B y C. Supóngase lisas todas las superficies.
SOLUCIÓN:
FC FD 1962 = = sen 90 ° sen 45° sen 45 °
FD=
1962∗sen 45° =1,387 kN sen 90 °
W B+ F D sen 45° =F A sen 45 ° 1,962+ 1,387 sen 45° =F A sen 45 ° FA=
1,962+ 1,387 sen 45° sen 45 °
F A =4,16 F B=F A cos 45° + F D cos 45 °
¿
4,16∗√2 1,387∗√ 2 + 2 2
F B=3,92 kN 3.18 Dos cuerpos A y B que pesan 800 N y 200 N, respectivamente, se mantienen en equilibrio sobre superficies perpendiculares mediante un cable flexible que los une y que forma un ángulo
θ
con la horizontal, según se
indica en la figura P3-18. Hallar las reacciones de las superficies sobre los cuerpos, la tensión del cable y el ángulo en todas las superficies.
SOLUCIÓN:
θ . Suponer ausencia de rozamiento
DCL para el cuerpo A:
RA 800 T = = sen(60° +θ) sen (90 ° +θ) sen 30 °
RA=
T=
800∗sen ( 90+θ ) … … …(α ) sen(60+ θ)
800∗sen 30 ° … … …(1) sen (60+θ)
DCL para el cuerpo B:
RB 200 T = = sen(30° −θ) sen(90 ° +θ) sen 60 °
RB =
T=
200∗sen ( 90+θ ) … … …(β ) sen(30−θ)
200∗sen 60 ° … … …(2) sen (30−θ)
Igualando (1) y (2)
800∗sen 30 ° 200∗sen 60° = sen ( 60+θ ) sen ( 30−θ ) Se tiene que:
θ=6.6°
De donde:
R A =866 N RB =500 N 3.27 A un anclaje se aplica tres fuerzas en la forma que se indica en la figura. El módulo de la resultante R de las tres fuerzas 50 kN. Si la fuerza por módulo 30 KN, determinar los módulos de las fuerzas
F2 y F 3 .
F1 tiene
SOLUCIÓN:
R=∑ F=T A +T B +T C +W =0
[
−4 ⃗i −1 ⃗j+ 5 ⃗k =T A (0.617 i⃗ −0.154 ⃗j+0. 772 ⃗k ) √ 42
[
2 i⃗ +2 ⃗j−5 k⃗ =T B (−0.348 ⃗i −0.348 ⃗j+0. 870 ⃗k ) √33
[
3 i⃗ −2 ⃗j−5 ⃗k =T C (−0.487 ⃗i + 0.324 ⃗j+0.811 k⃗ ) √ 38
T A =−T A
T B=−T B
T B=−T B
]
]
]
w=25 kN R=( 0.617 T A −0.348 T B−0.487T C ) ⃗i
( 0.154 T A −0.348T B −0.324 T C ) ⃗j (0. 772T A−0.870T B −0.811 T C ) ⃗k
T A =12.00 kN T B=11.70 kN T C =6.85 kN
3.30 Las masas de los cilindros A y B de la figura son 4 kg y 90 kg respectivamente. Determinar las fuerzas que sobre los cilindros ejercen las superficies inclinadas y el modulo, dirección y sentido de la fuerza que el cilindro A ejerce sobre el B cuando ambos cilindros estén en equilibrio. Suponer lisas todas las superficies.
SOLUCIÓN: DCL para el cilindro A:
FA FC 392.4 = = sen(60+θ) sen(90+θ) sen 30°
FA=
392.4∗sen (90+θ) … … …(α ) sen(60−θ)
FC =
392.4∗sen 30 … … …( 1 ) sen ( 60−θ )
DCL para el cilindro B:
FB FC 882.9 = = sen(75+ θ) sen(90−θ) sen 15 °
F B=
882.9∗sen (90−θ) … … …( β ) sen (75+θ)
FC =
882.9∗sen 15° … … …(2) sen (75+θ)
Igualando (1) y (2):
392.4∗sen 30 882.9∗sen 15 ° = sen ( 60−θ ) sen (75+ θ ) Se tiene que:
θ=2.9
De donde:
F A =466.8 N F B=901.8 N FC =233.7 N 4.33 Se aplica una fuerza de 100 N a una barra curva, según se indica en la figura. Determinar el momento de la fuerza respecto al punto B. SOLUCION
F=( 100∗cos 35° i⃗ + 100∗sen 35 ° ⃗j ) N r A =(−16 i⃗ −16 ) mm B
|
⃗i ⃗j M B=r x F= 16 −16 100∗con 35° 100∗sen 35 °
|
k⃗ 0 =( 16∗100∗sen 35 ° +16∗100∗cos 35 ° ) ⃗k 0
M B=22.284 m. N 4.61 Una barra curva está sometida a una fuerza de 3300 N en la forma que se indica en la figura. Determinar el momento de la fuerza respecto al eje BC. Expresar el resultado en forma vectorial cartesiana.
SOLUCIÓN:
F=3300(
122 ⃗ ⃗ 122 ⃗ i + 0 j− i) 172.5 172.5 2333.9 ⃗i +2333.9 ⃗j + ⃗k )N ¿¿ −122 ⃗ 183 ⃗ ⃗ uBC =¿ ( i+ j+0 k ) 219.9 219.9 ¿
⃗ ⃗ ⃗ (-0.55 i + 0.832 j+ 0 k )
r A =¿ C
|
||
⃗ ⃗ ⃗ ( 1.22 i +0 j + 0.61 k ¿ m
|
u x u y u z −0.555 0.832 0 M BC = r x r y r z = 1.22 0 0.61 =1184.9−2369 0 2333.9 F x F y F z 2333.9
M BC =−1184.5 N . m 4.64 Un soporte está sometido a una fuerza de 384 N, según se indica en la figura. Determinar el momento de la fuerza respecto al eje OC. Expresar el resultado en forma vectorial cartesiana. SOLUCIÓN:
F=384(
150 ⃗ 250 ⃗ 50 ⃗ i− j+ k) 384 384 384
¿ ( 150 i⃗ −250 ⃗j+50 ⃗k ) N
Para el eje OC, el vector unitario
e OC
y el vector de posición
rA C
son:
300 ⃗ 500 ⃗ 50 ⃗ i− j+ k ( 634.4 634.4 634.4 )
e OC =
e OC =( 0.473 ⃗i −0.788 ⃗j+0.079 k⃗ ) r A =( 0.150 ⃗i −0.250 ⃗j+0 ⃗k ) m C
|
||
|
u x u y u z 0.473 0.788 0.079 M OC = r x r y r z = 0.150 −0.250 0 =(−5.91−2.97 ) −(−2.97 +5.91 ) 150 −250 50 Fx F y Fz M OC =−11.82 N . m 4.132 Un soporte está sometido al sistema de fuerzas y par que se indica en la figura. Determinar a. El módulo, dirección y sentido de la fuerza resultante R. b. La distancia del pasador O a la recta soporte de la resultante.
SOLUCIÓN:
F X → 200∗cos 30 °+ 300∗30 °=433 F y → 200∗sen 30 °+ 300∗sen 30 °−400=−150 R= √ 4332+ 1502−2 ( 433 ) ( 150 )∗cos 90 ° R=458.3 N 5.93
SOLUCIÓN:
3.33
F1= A=∫ wdx= ∫ A
0
3.33
M A=∫ xwdx= ∫ x A
0
3
|
4
|
5 2 5 x 3.33 5 x dx= = ( 3.33 )3 =20.51 N 3 3 3 ¿0 9 5 2 5 x 3.33 5 x dx= = ( 3.33 )4=51.23 N 3 3 4 ¿ 0 12
x 1=
M A 51.23 = =2.50 m A 20.51
F2 =A 2=4500∗1.67=7515 N 1 x 2=3.33+ ( 1.67 )=4.165 2 R=F 1 + F2=20.51+7515=7535.51 N M A=Rd=F 1 x 1 + F2 x2 ¿ 20.51∗2.5+7515∗4.165
M A=31351.25 N . m ´ d= X=
M A 31351.25 = =4.16 m R 7535.31
componente
Fv
Fu de la fuerza según el eje AB de una riostra y la
de la fuerza según el eje BC de la otra.
SOLUCIÓN: Diagrama de Cuerpo Lbre del componente AB y BC.
Fu Fv 3000 = = sen 75 ° sen 45 ° sen 60 ° Fu =
3000∗sen 45 ° =2196.1 N sen 75 °
F v=
3000∗sen 60 ° =2689.8 N sen 75 °
2.26 Una barra y una riostra resisten una fuerza de 100 kN en la forma que e indica en la figura. Determinar la componente de eje AB de la barra y la componente riostra.
Fv
Fu
de la fuerza según el
de la fuerza según el eje AC de la
SOLUCIÓN: Por ley de senos:
Fu Fv 100 = = sen 59.5 ° sen 53.1° sen 37.4 °
Fu =
100∗sen 53.1° =92.8 kN sen 59.5 °
FV =
100∗sen 67.4 ° =107.1 kN sen 59.5°
3.9 Una esfera homogénea que pesa 50N se apoya sobre dos planos lisos que forma una V según se indica en la figura P3-9. Determinar las fuerzas que dichos planos ejercen sobre la esfera en los puntos de o A y B.
SOLUCIÓN:
FA FB 50 = = sen 105 ° sen 30 ° sen 45 ° FA=
50∗sen 30 ° =25.88 kN sen 105°
F B=
50∗sen 45° =36.60 kN sen 105 °
3.14 las tuberías de 200 mm de diámetro representadas en la figura P3-14 tienen, cada una de ellas, una masa de 200kg. Determinar las fuerzas que ejercen los apoyos sobre las tuberías en los os A, B y C. Supóngase lisas todas las superficies.
SOLUCIÓN:
FC FD 1962 = = sen 90 ° sen 45° sen 45 °
FD=
1962∗sen 45° =1,387 kN sen 90 °
W B+ F D sen 45° =F A sen 45 ° 1,962+ 1,387 sen 45° =F A sen 45 ° FA=
1,962+ 1,387 sen 45° sen 45 °
F A =4,16 F B=F A cos 45° + F D cos 45 °
¿
4,16∗√2 1,387∗√ 2 + 2 2
F B=3,92 kN 3.18 Dos cuerpos A y B que pesan 800 N y 200 N, respectivamente, se mantienen en equilibrio sobre superficies perpendiculares mediante un cable flexible que los une y que forma un ángulo
θ
con la horizontal, según se
indica en la figura P3-18. Hallar las reacciones de las superficies sobre los cuerpos, la tensión del cable y el ángulo en todas las superficies.
SOLUCIÓN:
θ . Suponer ausencia de rozamiento
DCL para el cuerpo A:
RA 800 T = = sen(60° +θ) sen (90 ° +θ) sen 30 °
RA=
T=
800∗sen ( 90+θ ) … … …(α ) sen(60+ θ)
800∗sen 30 ° … … …(1) sen (60+θ)
DCL para el cuerpo B:
RB 200 T = = sen(30° −θ) sen(90 ° +θ) sen 60 °
RB =
T=
200∗sen ( 90+θ ) … … …(β ) sen(30−θ)
200∗sen 60 ° … … …(2) sen (30−θ)
Igualando (1) y (2)
800∗sen 30 ° 200∗sen 60° = sen ( 60+θ ) sen ( 30−θ ) Se tiene que:
θ=6.6°
De donde:
R A =866 N RB =500 N 3.27 A un anclaje se aplica tres fuerzas en la forma que se indica en la figura. El módulo de la resultante R de las tres fuerzas 50 kN. Si la fuerza por módulo 30 KN, determinar los módulos de las fuerzas
F2 y F 3 .
F1 tiene
SOLUCIÓN:
R=∑ F=T A +T B +T C +W =0
[
−4 ⃗i −1 ⃗j+ 5 ⃗k =T A (0.617 i⃗ −0.154 ⃗j+0. 772 ⃗k ) √ 42
[
2 i⃗ +2 ⃗j−5 k⃗ =T B (−0.348 ⃗i −0.348 ⃗j+0. 870 ⃗k ) √33
[
3 i⃗ −2 ⃗j−5 ⃗k =T C (−0.487 ⃗i + 0.324 ⃗j+0.811 k⃗ ) √ 38
T A =−T A
T B=−T B
T B=−T B
]
]
]
w=25 kN R=( 0.617 T A −0.348 T B−0.487T C ) ⃗i
( 0.154 T A −0.348T B −0.324 T C ) ⃗j (0. 772T A−0.870T B −0.811 T C ) ⃗k
T A =12.00 kN T B=11.70 kN T C =6.85 kN
3.30 Las masas de los cilindros A y B de la figura son 4 kg y 90 kg respectivamente. Determinar las fuerzas que sobre los cilindros ejercen las superficies inclinadas y el modulo, dirección y sentido de la fuerza que el cilindro A ejerce sobre el B cuando ambos cilindros estén en equilibrio. Suponer lisas todas las superficies.
SOLUCIÓN: DCL para el cilindro A:
FA FC 392.4 = = sen(60+θ) sen(90+θ) sen 30°
FA=
392.4∗sen (90+θ) … … …(α ) sen(60−θ)
FC =
392.4∗sen 30 … … …( 1 ) sen ( 60−θ )
DCL para el cilindro B:
FB FC 882.9 = = sen(75+ θ) sen(90−θ) sen 15 °
F B=
882.9∗sen (90−θ) … … …( β ) sen (75+θ)
FC =
882.9∗sen 15° … … …(2) sen (75+θ)
Igualando (1) y (2):
392.4∗sen 30 882.9∗sen 15 ° = sen ( 60−θ ) sen (75+ θ ) Se tiene que:
θ=2.9
De donde:
F A =466.8 N F B=901.8 N FC =233.7 N 4.33 Se aplica una fuerza de 100 N a una barra curva, según se indica en la figura. Determinar el momento de la fuerza respecto al punto B. SOLUCION
F=( 100∗cos 35° i⃗ + 100∗sen 35 ° ⃗j ) N r A =(−16 i⃗ −16 ) mm B
|
⃗i ⃗j M B=r x F= 16 −16 100∗con 35° 100∗sen 35 °
|
k⃗ 0 =( 16∗100∗sen 35 ° +16∗100∗cos 35 ° ) ⃗k 0
M B=22.284 m. N 4.61 Una barra curva está sometida a una fuerza de 3300 N en la forma que se indica en la figura. Determinar el momento de la fuerza respecto al eje BC. Expresar el resultado en forma vectorial cartesiana.
SOLUCIÓN:
F=3300(
122 ⃗ ⃗ 122 ⃗ i + 0 j− i) 172.5 172.5 2333.9 ⃗i +2333.9 ⃗j + ⃗k )N ¿¿ −122 ⃗ 183 ⃗ ⃗ uBC =¿ ( i+ j+0 k ) 219.9 219.9 ¿
⃗ ⃗ ⃗ (-0.55 i + 0.832 j+ 0 k )
r A =¿ C
|
||
⃗ ⃗ ⃗ ( 1.22 i +0 j + 0.61 k ¿ m
|
u x u y u z −0.555 0.832 0 M BC = r x r y r z = 1.22 0 0.61 =1184.9−2369 0 2333.9 F x F y F z 2333.9
M BC =−1184.5 N . m 4.64 Un soporte está sometido a una fuerza de 384 N, según se indica en la figura. Determinar el momento de la fuerza respecto al eje OC. Expresar el resultado en forma vectorial cartesiana. SOLUCIÓN:
F=384(
150 ⃗ 250 ⃗ 50 ⃗ i− j+ k) 384 384 384
¿ ( 150 i⃗ −250 ⃗j+50 ⃗k ) N
Para el eje OC, el vector unitario
e OC
y el vector de posición
rA C
son:
300 ⃗ 500 ⃗ 50 ⃗ i− j+ k ( 634.4 634.4 634.4 )
e OC =
e OC =( 0.473 ⃗i −0.788 ⃗j+0.079 k⃗ ) r A =( 0.150 ⃗i −0.250 ⃗j+0 ⃗k ) m C
|
||
|
u x u y u z 0.473 0.788 0.079 M OC = r x r y r z = 0.150 −0.250 0 =(−5.91−2.97 ) −(−2.97 +5.91 ) 150 −250 50 Fx F y Fz M OC =−11.82 N . m 4.132 Un soporte está sometido al sistema de fuerzas y par que se indica en la figura. Determinar a. El módulo, dirección y sentido de la fuerza resultante R. b. La distancia del pasador O a la recta soporte de la resultante.
SOLUCIÓN:
F X → 200∗cos 30 °+ 300∗30 °=433 F y → 200∗sen 30 °+ 300∗sen 30 °−400=−150 R= √ 4332+ 1502−2 ( 433 ) ( 150 )∗cos 90 ° R=458.3 N 5.93
SOLUCIÓN:
3.33
F1= A=∫ wdx= ∫ A
0
3.33
M A=∫ xwdx= ∫ x A
0
3
|
4
|
5 2 5 x 3.33 5 x dx= = ( 3.33 )3 =20.51 N 3 3 3 ¿0 9 5 2 5 x 3.33 5 x dx= = ( 3.33 )4=51.23 N 3 3 4 ¿ 0 12
x 1=
M A 51.23 = =2.50 m A 20.51
F2 =A 2=4500∗1.67=7515 N 1 x 2=3.33+ ( 1.67 )=4.165 2 R=F 1 + F2=20.51+7515=7535.51 N M A=Rd=F 1 x 1 + F2 x2 ¿ 20.51∗2.5+7515∗4.165
M A=31351.25 N . m ´ d= X=
M A 31351.25 = =4.16 m R 7535.31
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