Evaluacion Complemento Al Calculo t2lt

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA MAT 521 234 Complemento de Cálculo para Ingeniería FPV/fpv

(08.05.2001)

Resolución Certamen I I. Escribir, la representación en Serie de Fourier de la extensión (1.1) π-periódica impar de una forma de onda arbitraria f (x), denida en el intervalo [0, π/2]; Definimos la extensión π -periódica

(

f (x)

si

0 ≤ x ≤ π/2

−f (x + π)

si

−π/2 ≤ x ≤ 0

f˜(x) =

f˜(x) = f˜(x + π)

y construimos la representación de Fourier: f˜(x)

∞ X

=

bn sin

n=1

donde bn

4 π

=

∞ X 2nπ = bn sin 2nx π n=1

π/2

Z

f (x) sin 2nxdx 0

(1.2) 4-periódica par c/r a x=5 de una forma de onda arbitraria g(x), denida en el intervalo [5, 7]. Definimos la extensión par 4-periódica:

(

g(x)

si

5≤x≤7

g(10 − x)

si

3≤x≤5

g ˜(x) =

g ˜(x) = g ˜(x + 4)

y construimos la representación de Fourier: g ˜(x)

=

an cos

n=1

donde an

∞ X

=

2 2

Z

Z

2

=

nπ (x − 5) 2

7

g(x) cos 3

nπ (x − 5)dx 2

g ˜(x + 5) cos 0

nπ xdx 2

II. Construir la extensión 2-periódica alternante de la forma de onda   2x si 0 ≤ x ≤ 1/2  f (x) =

si 1/2 < x < 1 Además, estudiar la convergencia de las sumas parciales de dicha Serie de Fourier.   −1/2

1

(1)

La extensión periódica requerida es: f (x)

si

0≤x≤1

−f (x + 1)

si

−1 ≤ x ≤ 0

( fa (x) =

fa (x) = fa (x + 2)

y construimos la representación de Fourier: fa (x)

=

∞ X

donde

1

Z a2n+1

[a2n+1 cos(2n + 1)πx + b2n+1 sin(2n + 1)πx]

n=0

=

f (x) cos(2n + 1)πxdx −1

Z =

0

1

Z f (x) cos(2n + 1)π(x − 1)dx +

0 1

2

=

............

=

2

½ realizar los cálculos!

1

f (x) sin(2n + 1)πxdx 0

=

f (x) cos(2n + 1)πxdx

f (x) cos(2n + 1)πxdx

Z b2n+1

1

0

0

análogamente

f (x) cos(2n + 1)πxdx

−1

−

Z =

1

Z f (x + 1) cos(2n + 1)πxdx +

Z =

0

−

............

½ realizar los cálculos!

Finalmente, definimos la suceción de sumas parciales: SN (x) =

N X

{a2n+1 cos(2n + 1)πx + b2n+1 sin(2n + 1)πx}

n=0

entonces:

si 0 < x < 1/2 si x = 1/2 si 1/2 < x < 1 1/2 si −1/2 < x < 0 lim SN (x) = N →∞   −1/4 si x = −1/2      −2(x + 1) si −1 < x < −1/2 −1/4 si x = −1 y en las repeticiones 2-periódicas de los puntos del intervalo fundamental [−1, 1].  2x    1/4     −1/2

III. Determine los valores propios y autofunciones del problema de Sturm-Liouville: y 00 + λy = 0 y(0) = 0,

y 0 (10) = 0

La familia de valores propios y funciones características es: λn = ( (2n+1)π )2 20

yn (x) = sin

2

(2n+1)πx 20

(2)

IV. Considere el proceso de difusión del calor en un alambre de acero de 10 [ cm ] de longitud, con constante de difusión k = 0.128 [ cm2/seg ] cuyos extremos x = 0 y x = 10 son mantenidos a 0o y 10o, respectivamente. Determinar la temperatura u(x, t) en cada punto x del alambre después de transcurrido t [ seg ], si la distribusión inicial de temperatura es modelada por (4.1) f (x) = x. Además, interprete su solución. La temperatura estacionaria es U (x) = x que coincide con la distribución inicial de temperatura, luego no existe cambio de temperatura cualesquiera sea el instante subsiguiente: u(x, t) = x, 0 < x < 10, t ≥ 0

(4.2)

f (x) =

1 x(35 25

− x).

Escriba una aproximación para la temperatura u(x, t).

Como la temperatura estacionaria es U (x) = x debemos considerar la solución v(x, t) del problema de difución del calor, donde los extremos del alambre son mantenidos a 0o y la distribución 1 inicial de temperatura es:f˜(x) = 25 (10 − x)x, es decir: u(x, t)

=

v(x, t) + x ∞ X

=

cn e−t(

sin

nπx 10

n=1

donde

Z

cn

knπ )2 10

10

1 (10 − x)x sin nπx dx 10 125 0 4 10 3 ( ) (−1)n+1 (½conrmar!) 25 nπ

= =

Así, la solución es proporcional a la siguiente expresión : u(x, t)

∝

∞ knπ 2 X e−t( 10 ) n=1

denotando u(x, t)

n3

α = e−( ∼

4 · 104 π3

knπ )2 10

α sin

(−1)n+1 sin

nπx dx 10

y observando que |cn | ∝ πx 10

3

α4t − sin 8

πx 5

1 n3

α9t + sin 27

3πx 10

− ···