1.2
Sistemas de Equac¸o˜ es Lineares
39
˜ elemenEste m´etodo de resoluc¸a˜ o de sistemas, que consiste em aplicar operac¸oes tares a` s linhas da matriz aumentada at´e que a matriz do sistema esteja na forma escalonada reduzida, e´ conhecido como m´etodo de Gauss-Jordan.
Exemplo 1.13. Considere o seguinte sistema x
+
3y y −2y
+ 13z = 9 + 5z = 2 − 10z = −8
A sua matriz aumentada e´
1 �
0 0
3 1 −2
13 5 −10
9 2 −8
1a. elimina¸ca˜ o: Como o pivoˆ da 1a. linha e´ igual a 1 e os outros elementos da 1a. coluna s˜ao iguais a zero, n˜ao h´a nada o que fazer na 1a. eliminac¸a˜ o. 1 3 13 9 1 5 2 0 � 0 −2 −10 −8
2a. elimina¸ca˜ o: Olhamos para submatriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivoˆ um elemento n˜ao nulo da 1a. coluna n˜ao nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posic¸a˜ o 2,2. Como ele e´ igual a 1, precisamos, agora, “zerar” os outros elementos da ˆ Para isto somamos a` 1a. linha, −3 vezes a 2a. e somamos a` 3a. linha, 2 coluna do pivo. a vezes a 2 . . Julho 2010
Reginaldo J. Santos
40
Matrizes e Sistemas Lineares
−3×2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha 2×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
1 0 0 1 0 0
Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema − 2z = x y + 5z = 0 =
−2 5 0
3 2 −4
3 2 −4
que n˜ao possui soluc¸a˜ o.
´ Em geral, um sistema linear n˜ao tem soluc¸a˜ o se, e somente se, a ultima linha n˜ao nula � ], da forma escalonada reduzida da sua matriz aumentada for da forma [ 0 . . . 0 | bm � com bm �= 0.
Exemplo 1.14. Considere o seguinte sistema
5x x
6 3z − 9w = + 15y − 10z + 40w = −45 + 3y − z + 5w = −7
A sua matriz aumentada e´ ´ Introduc¸a˜ o a` Algebra Linear
0 5 1 �
0 15 3
3 −10 −1
−9 40 5
6 −45 −7
Julho 2010
1.2
Sistemas de Equac¸o˜ es Lineares
41
1a. elimina¸ca˜ o: Como temos que “fazer” o pivoˆ igual a um, escolhemos para pivoˆ o elemento de posic¸a˜ o 3,1. Precisamos “coloc´a-lo” na primeira linha, para isto, trocamos a 3a. linha com a 1a. . 1a.
linha ←→
4a.
linha
1 �
5 0
3 15 0
−1 5 −10 40 3 −9
−7 −45 6
ˆ Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 1a. coluna, que e´ a coluna do pivo, para isto, adicionamos a` 2a. linha, −5 vezes a 1a. .
−5×1a.
linha +
2a.
linha −→
2a.
linha
1
3
0 0 0 0
−1
−5 �
3
5 15 −9
−7 −10 6
2a. elimina¸ca˜ o: Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivoˆ um elemento diferente de zero na 1a. coluna n˜ao nula desta sub-matriz. Escolhemos o elemento de posic¸a˜ o 2,3. Como temos que fazer o pivoˆ igual a 1, multiplicamos a 2a. linha por −1/5. 5 −7 1 3 −1 0 0 � 1 −3 −(1/5)×2a. linha −→ 2a. linha 2 6 0 0 3 −9 ˆ Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 2a. coluna, que e´ a coluna do pivo, para isto, adicionamos a` 1a. linha a 2a. e a` 3a. linha, −3 vezes a 2a. . Julho 2010
Reginaldo J. Santos
42
Matrizes e Sistemas Lineares
1 0 0
2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha −3×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
3 0 0
0 1 0
2 −3 0
−5 2 0
Esta matriz e´ escalonada reduzida. Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema seguinte �
x
+ 3y
z
+ 2w = −5 − 3w = 2.
ˆ A matriz deste sistema possui duas colunas sem pivos. As vari´aveis que n˜ao ˆ podem ser consideradas vari´aveis livres, isto e´ , podem est˜ao associadas a pivos assumir valores arbitr´arios. Neste exemplo as vari´aveis y e w n˜ao est˜ao associaˆ e podem ser consideradas vari´aveis livres. Sejam w = α e y = β. As das a pivos ˆ ter˜ao os seus valores dependentes das vari´aveis livres, vari´aveis associadas aos pivos z = 2 + 3α, Assim, a soluc¸a˜ o geral do sistema e´
−5 − 2α − 3β x y β = X= 2 + 3α z w α
x = −5 − 2α − 3β.
para todos os valores de α e β reais.
Em geral, se o sistema linear tiver soluc¸a˜ o e a forma escalonada reduzida da matriz ˆ as vari´aveis que n˜ao est˜ao associadas a pivos ˆ aumentada possuir colunas sem pivos, podem ser consideradas vari´aveis livres, isto e´ , podem assumir valores arbitr´arios. ˆ ter˜ao os seus valores dependentes das vari´aveis As vari´aveis associadas aos pivos livres. ´ Introduc¸a˜ o a` Algebra Linear
Julho 2010