Exemplos De Algebra f6x6c

1.2

Sistemas de Equac¸o˜ es Lineares

39

˜ elemenEste m´etodo de resoluc¸a˜ o de sistemas, que consiste em aplicar operac¸oes tares a` s linhas da matriz aumentada at´e que a matriz do sistema esteja na forma escalonada reduzida, e´ conhecido como m´etodo de Gauss-Jordan.

Exemplo 1.13. Considere o seguinte sistema   x

+



3y y −2y

+ 13z = 9 + 5z = 2 − 10z = −8

A sua matriz aumentada e´ 

1 �

 0 0

3 1 −2

13 5 −10

 9 2  −8

1a. elimina¸ca˜ o: Como o pivoˆ da 1a. linha e´ igual a 1 e os outros elementos da 1a. coluna s˜ao iguais a zero, n˜ao h´a nada o que fazer na 1a. eliminac¸a˜ o.   1 3 13 9   1 5 2   0 � 0 −2 −10 −8

2a. elimina¸ca˜ o: Olhamos para submatriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivoˆ um elemento n˜ao nulo da 1a. coluna n˜ao nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posic¸a˜ o 2,2. Como ele e´ igual a 1, precisamos, agora, “zerar” os outros elementos da ˆ Para isto somamos a` 1a. linha, −3 vezes a 2a. e somamos a` 3a. linha, 2 coluna do pivo. a vezes a 2 . . Julho 2010

Reginaldo J. Santos

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Matrizes e Sistemas Lineares 

−3×2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha 2×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha

1 0  0 1 0 0

Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema  − 2z =  x y + 5z =  0 =

−2 5 0

 3 2  −4

3 2 −4

que n˜ao possui soluc¸a˜ o.

´ Em geral, um sistema linear n˜ao tem soluc¸a˜ o se, e somente se, a ultima linha n˜ao nula � ], da forma escalonada reduzida da sua matriz aumentada for da forma [ 0 . . . 0 | bm � com bm �= 0.

Exemplo 1.14. Considere o seguinte sistema  

5x  x

6 3z − 9w = + 15y − 10z + 40w = −45 + 3y − z + 5w = −7

A sua matriz aumentada e´  ´ Introduc¸a˜ o a` Algebra Linear

0  5 1 �

0 15 3

3 −10 −1

−9 40 5

 6 −45  −7

Julho 2010

1.2

Sistemas de Equac¸o˜ es Lineares

41

1a. elimina¸ca˜ o: Como temos que “fazer” o pivoˆ igual a um, escolhemos para pivoˆ o elemento de posic¸a˜ o 3,1. Precisamos “coloc´a-lo” na primeira linha, para isto, trocamos a 3a. linha com a 1a. . 1a.

linha ←→

4a.

linha



1 �

 5 0

3 15 0

−1 5 −10 40 3 −9

 −7 −45  6

ˆ Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 1a. coluna, que e´ a coluna do pivo, para isto, adicionamos a` 2a. linha, −5 vezes a 1a. .

−5×1a.

linha +

2a.

linha −→

2a.

linha

  

1

3

0 0 0 0

−1

−5 �

3

5 15 −9

−7 −10 6

  

2a. elimina¸ca˜ o: Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivoˆ um elemento diferente de zero na 1a. coluna n˜ao nula desta sub-matriz. Escolhemos o elemento de posic¸a˜ o 2,3. Como temos que fazer o pivoˆ igual a 1, multiplicamos a 2a. linha por −1/5.   5 −7 1 3 −1  0 0 � 1 −3 −(1/5)×2a. linha −→ 2a. linha 2  6 0 0 3 −9 ˆ Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 2a. coluna, que e´ a coluna do pivo, para isto, adicionamos a` 1a. linha a 2a. e a` 3a. linha, −3 vezes a 2a. . Julho 2010

Reginaldo J. Santos

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Matrizes e Sistemas Lineares 

1  0 0

2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha −3×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha

3 0 0

0 1 0

2 −3 0

 −5 2  0

Esta matriz e´ escalonada reduzida. Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema seguinte �

x

+ 3y

z

+ 2w = −5 − 3w = 2.

ˆ A matriz deste sistema possui duas colunas sem pivos. As vari´aveis que n˜ao ˆ podem ser consideradas vari´aveis livres, isto e´ , podem est˜ao associadas a pivos assumir valores arbitr´arios. Neste exemplo as vari´aveis y e w n˜ao est˜ao associaˆ e podem ser consideradas vari´aveis livres. Sejam w = α e y = β. As das a pivos ˆ ter˜ao os seus valores dependentes das vari´aveis livres, vari´aveis associadas aos pivos z = 2 + 3α, Assim, a soluc¸a˜ o geral do sistema e´ 

  −5 − 2α − 3β x  y   β    = X= 2 + 3α z   w α

x = −5 − 2α − 3β.    

para todos os valores de α e β reais.

Em geral, se o sistema linear tiver soluc¸a˜ o e a forma escalonada reduzida da matriz ˆ as vari´aveis que n˜ao est˜ao associadas a pivos ˆ aumentada possuir colunas sem pivos, podem ser consideradas vari´aveis livres, isto e´ , podem assumir valores arbitr´arios. ˆ ter˜ao os seus valores dependentes das vari´aveis As vari´aveis associadas aos pivos livres. ´ Introduc¸a˜ o a` Algebra Linear

Julho 2010