Eym3f Metodo De Imagenes 2g1j3d

Electricidad y Magnetismo

2009/2010

Electrostática • • • • • •

Definición Los conductores en electrostática. Campo de una carga puntual. Aplicaciones de la Ley de Gauss Integrales de superposición. Potencial electrostático – Definición e Interpretación. Integrales de superposición. – Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase.Condiciones de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.

• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento dipolar, polarización de materiales. • Método de las imágenes. • Sistemas de conductores. Condensadores. • Energía y Fuerzas. Eym3f-1

José L. Fernández Jambrina

Método de las Imágenes. • Es un método potente que permite resolver algunos problemas complicados. – Consiste en modificar el problema, ampliando el recinto, de forma que: » Resulte más sencillo. » Se sigan cumpliendo las condiciones del problema original. – Normalmente será necesario añadir cargas fuera del recinto original.

• Ejemplo: carga frente a un plano conductor: +q

+q d

d ~

ρS

d

Φ= 0

-q José L. Fernández Jambrina

Método de las Imágenes

Eym3f-2

1

Electricidad y Magnetismo

2009/2010

Imágenes: Plano conductor indefinido • Problema original: ∆Φ = − δ (r − rq + ) ε q

r

r

Z

– Condiciones de contorno: Φ Plano = Φ z =0 = 0 » Regularidad en el infinito.

+q

r rq+ = dz$

• Problema imagen:

O

– Condiciones de contorno. » Regularidad en el infinito. – Solución: r q  2  x + y 2 + ( z − d )2 Φ I (r ) = 4πε 

(

Z

)

−

1 2

(

− x 2 + y 2 + (z + d )

)

1 2 −2

+q

  

r rq+ = dz$

• La solución del problema imagen cumple las condiciones del problema original: r q  2 Φ I (r ) z =0 =  x + y2 + d 2 4πε 

(

)

−

1 2

(

− x2 + y2 + d 2

)

−

1 2

O r rq− = −dz$

  = 0 

-q Eym3f-3

José L. Fernández Jambrina

Imágenes: Plano conductor indefinido (2) • La solución del problema imagen verifica: q r r – La ecuación ∆Φ = − δ (r − rq + ) en z>0.

ε

Z +q

r rq+ = dz$

» La carga imagen está fuera del recinto: es donde debe estar.

O

– Las condiciones de contorno. » Las condiciones de contorno son las adecuadas para garantizar la unicidad de la solución. » Conclusión: La solución del problema original es: 1  q  2 − r   x + y 2 + ( z − d )2 2 − x 2 + y 2 + ( z + d )2 Φ (r ) =  4πε   0 

(

)

(

Nota: se ha supuesto que en z<0 no hay cargas. José L. Fernández Jambrina

Método de las Imágenes

)

−

1 2

  ; 0 ≤ z  ; z≤0

Eym3f-4

2

Electricidad y Magnetismo

2009/2010

Imágenes: Plano conductor indefinido (3) • Problema: Distribución de carga frente a un plano conductor indefinido a tierra en z=0: – Solución: r r  ρ I (rI′) r 1  ρ (r ′) ′ Φ (r ) = d V + r r dV I′  r r ∫∫∫V ∫∫∫ V r − r′ 4πε  I r − rI′  r r r r r rI′ = r ′ − 2(r ′ ⋅ zˆ )zˆ ρ I (rI′) = − ρ (r ′) V

Z

Z ρ

r r′

ρ

r rI′

ρI

O

O

VI

Eym3f-5

José L. Fernández Jambrina

Imágenes: Plano conductor indefinido (4) • Problema: Carga frente a dos planos conductores indefinidos. – Infinitas cargas cada vez más alejadas => Una serie convergente. -q -q

+q

0V

-q

-q

+q

+q

0V

+q

+q

-q

-q

+q

0V

+q

0V -q

-q

-q

+q

+q

+q -q +q

José L. Fernández Jambrina

Método de las Imágenes

Eym3f-6

3

Electricidad y Magnetismo

2009/2010

Imágenes: Plano conductor indefinido (5) • Problema: Carga frente a dos planos conductores indefinidos. – Infinitas cargas cada vez más alejadas => Una serie convergente.

Φ

2 cargas

Φ

4 cargas

Φ

6 cargas

Eym3f-7

José L. Fernández Jambrina

Imágenes: Diedro conductor indefinido • Carga frente a un diedro cóncavo de 90º α=π π/2 +q

-q

+q

-q

+q

+q

-q

– Funciona para cargas en la parte interior de diedros de ángulo α=π/n. – Para otros ángulos caen cargas en la región de estudio:

+q

≈ +q

-q

-q

+q

+q

-q

+q

≠

Soluciones no válidas José L. Fernández Jambrina

Método de las Imágenes

Eym3f-8

4

Electricidad y Magnetismo

2009/2010

Imágenes: Diedro conductor indefinido (2) 1

1

0.5

0.5

0

0

0.5

0.5

1 1

0.5

0

0.5

1

1

1

Φ

0.5

0

0.5

1

Φ

Carga puntual frente a un plano conductor

Carga puntual frente a un diedro conductor de 90º Eym3f-9

José L. Fernández Jambrina

Imágenes: Esfera conductora • Problema a resolver: Distribuciones1 de carga frente a una esfera conductora a potencial cero.

Q= -1.41

0.5

• Punto de partida:

q= 1

– La superficie de potencial cero en un problema de dos cargas de 0 distinto signo es siempre una esfera. – En la figura: » q=+1 0.5 » Q= -1.41

Φ=0

1 1

0.5

0

0.5

1

Φ

José L. Fernández Jambrina

Método de las Imágenes

Eym3f-10

5

Electricidad y Magnetismo

2009/2010

Imágenes: Esfera conductora

(2)

r 2 rQ = Dzˆ   d q =   r 2 ⇒ D Q – Sean Q y -q las dos cargas: Q>q>0. rq = dzˆ = D(q Q ) zˆ  – Escogiendo el origen de forma que: Z – El potencial es:   Q r 1  Q q  Φ (r ) = −  2 2  4πε  x 2 + y 2 + ( z − D )2 x 2 + y 2 + z − D(q Q )   -q – La ecuación de la superficie Φ = 0 : O Q2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) x + y + z − D q Q = x + y + z − D q2

• Comprobación:

( [

(

( [

])

]) )

Q2 2 Q2 2 Q2 2 q2 x + 2 y + 2 z − 2 zD + D 2 2 = x 2 + y 2 + z 2 − 2 zD + D 2 2 q q q Q x2 + y2 + z 2 =

( (

) )

2

1− q2 Q2 2 q2 Q2 − q2 2  q  D = 2 2 D =  D  = Dd Q2 q 2 −1 Q Q − q2 Q 

– Resultado una esfera centrada en el origen.

Eym3f-11

José L. Fernández Jambrina

Imágenes: Esfera conductora

(3) Z

• Solución al problema de una carga puntual frente a una esfera conductora a tierra: – La imagen de una carga Q situada a una distancia D de una esfera conductora de radio a a tierra es otra carga: – De valor:

a q=− Q D

Q D q d

a O

2 – Situada en línea entre el centro d = a D de la esfera y Q a una distancia: – El radio de la esfera es la media geométrica 2 de las distancias de las cargas a su centro. a = dD

• Comentarios adicionales: – Este resultado vale tanto para cargas fuera o dentro de la esfera. – La carga total de la superficie conductora será igual a la carga interior ... » Con el mismo signo para el problema exterior. » Con el signo cambiado para el problema interior. Eym3f-12 José L. Fernández Jambrina

Método de las Imágenes

6

Electricidad y Magnetismo

2009/2010

Imágenes: Esfera conductora

(4)

r

• Cálculo de E – Suponiendo Q fuera de la esfera:  r Q  1 a   Φ (r ) = −  2 2 4 2 4πε  r 2 + D 2 − 2rD cosθ D r + a − 2ra D cosθ  r r 1 ∂Φ ˆ ∂Φ E (r ) = −∇Φ = − rˆ − θ= r ∂θ ∂r  Q  r − D cosθ a D 2 r − a 2 D cosθ rˆ − = − 32 32   2 2 2 2 4 2 4πε  r + D − 2rD cosθ D r + a − 2ra D cosθ  3   Q  1 a  D sen θθˆ − − 32 32   2 2 2 2 4 2 4πε  r + D − 2rD cosθ D r + a − 2ra D cosθ 

[

]

[

[

]

[

(

)

]

]

– Densidad de carga en la superficie de la esfera: r r Q D2 − a2 1 ρ S r =a = ε E (r ) ⋅ rˆ = − 2 2 r =a 4π a a + D − 2aD cosθ

[

]

32

Eym3f-13

José L. Fernández Jambrina

Imágenes: Esfera conductora

(5)

• Equipotenciales y líneas de campo de una carga puntual frente a una esfera a potencial cero. 1

1

0.5

0.5

Φ=0

0

0.5

1 0.5 0

0

0.5

José L. Fernández Jambrina

Método de las Imágenes

0

0.5

0.5

0.5

0

Φ=0

0.5

1

1 1

1

Ψ

Carga fuera de la esfera.

1

0.5

0

1 1

Ψ Φ

1

0.5 0

0

0.5

1

Ψ Φ

Ψ

Carga dentro de la esfera Eym3f-14

7

Electricidad y Magnetismo

2009/2010

Imágenes: Cilindro conductor indefinido • Imagen de una línea de carga constante e indefinida paralela a un cilindro conductor indefinido. – Las superficies equipotenciales de dos líneas de carga constantes, indefinidas, paralelas y del mismo módulo y distinto signo son cilindros: 1

ρ L = −λ

Y

ρL = λ

X 0.5

d

d

0

0.5

1 1

0.5

0

0.5

1

Φ

Eym3f-15

José L. Fernández Jambrina

Imágenes: Cilindro conductor indefinido

(2)

• Tomando como referencia el plano x=0, el potencial vale:

( x + d )2 + y 2 ( x − d )2 + y 2 r • La superficie de Φ (r ) = V : r λ Φ (r ) = ln 2πε

=

( x + d )2 + y 2 λ ln 4πε ( x − d )2 + y 2

ρ L = −λ

4πε

λ

= ln

( x + d )2 + y 2 ( x − d )2 + y 2

⇒e

V

4πε

λ

=

(

( x + d )2 + y 2 ( x − d )2 + y 2

)

(

)

(

)

d

= k2 ⇒

)

⇒ x 2 + d 2 + 2 xd + y 2 = k 2 x 2 + d 2 − 2 xd + y 2 ⇒

(

ρL = λ

X d

V

Y

(

)

⇒ x 2 k 2 − 1 − 2 xd k 2 + 1 + y 2 k 2 − 1 = −d 2 k 2 − 1 ⇒ 2

⇒ x 2 − 2 xd

(

2

 k + 1  2kd   + y 2 =  2 ⇒  x − d 2  k −1  k −1  2

José L. Fernández Jambrina

Método de las Imágenes

2

 k 2 +1  k 2 +1 k 2 +1 4k 2 d 2  = d 2  2  − d 2 = + y 2 + d 2  2 ⇒ 2 2 k −1 k 2 −1  k −1  k −1

)

2

¡Círculos! ¡Cilindros! Eym3f-16

8

Electricidad y Magnetismo

2009/2010

Imágenes: Cilindro conductor indefinido

(3)

• Parámetros de la superficie de Φ=V: 2

 k 2 + 1  2kd   x − d 2  + y2 =  2  k − 1   k −1 

2

k =e

– Cilindro: k 2 +1 » con centro en: xC = d 2 k −1

V

2πε

λ

y C = 0 y radio: a =

2kd k 2 −1

» Degenera en un plano si V = 0 ⇒ k = 1

• Propiedad interesante: 2

[(

)

2

]

Y

d 2 k 2 − 1 + 4k 2  2kd  d 2 + a2 = d 2 +  2  = = 2  k −1 k 2 −1  k +1 2 = d 2  2  = xC k − 1   2

(

)

d

a

2

xC

−λ

λ

X

Eym3f-17

José L. Fernández Jambrina

Imágenes: Cilindro conductor indefinido Y

– Trasladando el origen de coordenadas al eje del cilindro:  k 2 +1 2d =− 2  xλ′ = d − d 2 d k −1 k −1 x′ = x − xC ⇒  2 2 k + 1 2 dk − λ  x−′ λ = −d − d =− 2 k 2 −1 k −1 

(4) Y’

xC

a

d

X

λ

x− λ a   2kd  xλ′ =  2 a= 2 ⇒ k  ⇒ xλ′ x′−λ = a x′+ λ k − 1  x′ = − ka   −λ  – El radio de cada cilindro equipotencial es la media geométrica de las distancias a su centro de las líneas de carga. λ a

a = bc 2

José L. Fernández Jambrina

Método de las Imágenes

−λ c

b

Eym3f-18

9

Electricidad y Magnetismo

2009/2010

Imágenes: Cilindro conductor indefinido • Aplicación:

(5)

Y

– La distribución de carga imagen de una línea de carga constante, paralela a un cilindro conductor indefinido de radio a y a una distancia b, es otra línea del mismo valor y signo contrario situada a una distancia: a2 c= b – El potencial vale:

(

a c −λ

ρL = λ

b

)

2

(

)

(

)

X

2

ρ 2 + a 2 b − 2 ρ a 2 b cos ϕ r x − a2 b + y2 λ λ Φ (r ) = ln = ln 2 2 4πε 4πε ρ 2 + b 2 − 2 ρb cos ϕ (x − b) + y – El campo:

(

)

2 r r r λ ρ 2 + a 2 b − 2ρ a 2 b cos ϕ E (r ) = −∇Φ(r ) = − ∇ ln 4πε ρ 2 + b 2 − 2ρb cos ϕ

Eym3f-19

José L. Fernández Jambrina

Imágenes: Cilindro conductor indefinido

(6)

• El campo: r r r ∂Φ 1 ∂Φ E (r ) = −∇Φ(r ) = − ρˆ − ϕˆ = ∂ρ ρ ∂ϕ =

( ) ( ) (a b)senϕ + (a b ) − 2ρ a

 λ  ρ − b cos ϕ ρ − a 2 b cos ϕ ρˆ + − 2 2 2 2 2 2  2πε  ρ + b − 2ρb cos ϕ ρ + a b − 2ρ a b cos ϕ 

+

λ  bsenϕ − 2 2  πε  ρ + b − 2ρb cos ϕ ρ 2

2

2

2

2

 ϕˆ b cos ϕ 

• La densidad superficial de carga (línea exterior al cilindro): r r ρ S (ϕ) = ρˆ ⋅ εE (r )

=

( ) ) (

 λ  a − b cos ϕ a − a 2 b cos ϕ = − 2 2 2 2 2 3  2π  a + b − 2ab cos ϕ a + a b − 2 a b cos ϕ 

(

)

 λ  a − b cos ϕ b b − a cos ϕ λ a2 − b2  2 −  = 2 2 2 2 2π  a + b − 2ab cos ϕ a b + a − 2ab cos ϕ  2πa b + a 2 − 2ab cos ϕ

José L. Fernández Jambrina

Método de las Imágenes

ρ= a

=

Eym3f-20

10

Electricidad y Magnetismo

2009/2010

Imágenes: Cilindro conductor indefinido 1

1

0.5

0.5

σ

0

σ

0

0.5

(7)

0.5

1

1 1

0.5

0

0.5

1

1

Φ

0.5

0

0.5

1

Φ

Línea de carga exterior al cilindro conductor

Línea de carga interior al cilindro conductor Eym3f-21

José L. Fernández Jambrina

Línea Bifilar • Dos cilindros conductores, indefinidos, iguales y paralelos. – El problema es colocar las líneas de carga: » De la figura:

−λ

a −

2D = R + r » Además:

Y

D

V0 2

a 2 = rR » Combinando las ecuaciones:

a

+λ

O

d r

D

X

V0 2

d

R R

r

r = D ± D 2 − a 2 r 2 − 2 Dr + a 2 = 0 ⇒  R = D m D 2 − a 2 » De donde es inmediato que: d = D2 − a2 » Y ... r (x + d )2 + y 2 λ Φ (r ) = ln 4πε ( x − d )2 + y 2 José L. Fernández Jambrina

Método de las Imágenes

V0 (D − a + d ) = λ ln D + D 2 − a 2 λ = ln 2 4πε (D − a − d )2 4πε D − D 2 − a 2 Eym3f-22 2

⇒

11

Electricidad y Magnetismo

2009/2010

Línea Bifilar

C L=

λ = V0

(2)

2πε D+ D −a

2

D− D −a

2

2

ln

2

2πε

= ln

D a+ D a−

(D a )2 − 1 (D a )2 − 1

Eym3f-23

José L. Fernández Jambrina

Coaxial descentrado • El planteamiento no es complicado. b

A+δ = B ⇒

a +d +δ = b +d 2

2

2

⇓

2

a

d 2

δ + a − b  2 d=   −a 2 δ   2

A=

b2 − δ2 − a 2 2δ

2

2

B=

b2 + δ2 − a2 2δ

A

δ B

• Las ecuaciones ... λ A+ ln 4πε A − λ B+ Vb = ln 4πε B −

Va =

José L. Fernández Jambrina

Método de las Imágenes

A2 − a 2   4πε A2 − a 2  ⇒ C = λ =  2 2 2 l V − V B −b  A + A − a 2 B − B 2 − b2 a b ln 2 2  B −b  A − A2 − a 2 B + B 2 − b 2

Eym3f-24

12

Electricidad y Magnetismo

2009/2010

Convocatoria Febrero 2002

José L. Fernández Jambrina

Método de las Imágenes

Eym3f-25

13